Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Разностные схемы для решения нелинейного уравнения типа Шредингера
1. Введение 19
2. Двухслойная консервативная конечно- разностная схема 23
3. Двухслойная консервативная псевдо спектральная схема 59
4. Трехслойные разностные схемы 67
5. Конечно-разностная схема переменнных направлений 92
Глава II. Численное исследование устойчивости самофокусировки мощншс оптических пучков в нелинейныхсредах 113
1. Постановка задачи. Выбор разностной схемы 113
2. Результаты расчетов устойчивости самофокусировки мощных оптических пучков в нелинейных средах 122
Список литературы 143
- Двухслойная консервативная конечно- разностная схема
- Конечно-разностная схема переменнных направлений
- Постановка задачи. Выбор разностной схемы
- Результаты расчетов устойчивости самофокусировки мощных оптических пучков в нелинейных средах
Введение к работе
После создания оптических квантовых генераторов и усилителей (лазеров), когда стали очевидными разнообразные уникальные возможности их применения, началась работа по реализации этих возможностей. В настоящее время интенсивно развиваются различные научно-технические направления, основанные на использовании мощных оптических пучков. Среди этих направлений - лазерный термоядерный синтез, оптическая связь, применение лазеров в химии, биофизике и фотобиологии, лазерная спектроскопия, лазерное разделение изотопов и многие другие [1 - к ].
Развитие этих направлений требует детального изучения процессов распространения мощных оптических пучков в различных нелинейных средах. Среди многочисленных явлений, выявленных в результате этого изучения, выделим самофокусировку [5' 11 ] мощных оптических пучков, которая есть результат самовоздействия пучка в нелинейной среде с показателем преломления, зависящим от интенсивности проходящего пучка.
В большинстве работ рассмотрена самофокусировка пучка как целого. Однако, вследствие возможной неустойчивости распространения мощного излучения, которая для плоских пучков была впервые показана в Г 1Z ] , может происходить разбиение пучка на некоторое количество зон с последующей фокусировкой каждой зоны в отдельную нить. Такой процесс называется мелкомасштабной самофокусировкой. В настоящее время мелкомасштабная самофокусировка является одним из наиболее существенных препятствий для создания мощных твердотельных лазеров. Нелинейные искажения фазы и амплитуды светового пучка, возникающие при
_ ц. _
мелкомасштабной самофокусировке, приводят к ухудшению яркости излучения и разрушению оптических элементов. Этим объясняется актуальность задачи изучения самофокусировки и нахождения путей для ее подавления.
Создание мощных ЭВМ открыло новую возможность для изучения сложных задач науки и техники - вычислительный эксперимент [43]. Особенно важна его роль как метода решения нелинейных задач, полное аналитическое решение которых, как правило, неизвестно.
К числу таких задач относится и смешанная задача для нелинейного дифференциального уравнения Щредингера, описывающая в квазиоптическом приближении процесс распространения мощных оптических пучков в нелинейных средах:
И + tDAiA + і/(МІг)А=0 .Ог.у.г^п (ол)
А|г.0*Ао(х,у) , (*,у)*е, (**;
-з* 7)г
*-
П = &х (0tL) , Єс* , Лі = ^і
її >
Здесь II^M^W ,и^ і --1- "ЭХ* ^
^ ~ """* > D - действительная константа, функция J- описывает нелинейные свойства среды.
_ 5 -
Вопросам существования в целом или малом и единственности обобщенного решения задачи Коши или смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения Щредингера (ОД) при различных видах нелинейности j- посвящены работы \ 14 - 21 ].
В двумерном случае (х, ), когда решение зависит от одной продольной и одной поперечной координат, для задачи Коши для уравнения Щредингера (ОД) с кубической нелинейностью
~JL Т методом обратной задачи рассеяния были построены точные решения солитонного типа [ 22 J .
Однако, в важном с физической точки зрения трехмерном случае (две поперечные и одна продольная координаты) основным средством решения математических задач нелинейной оптики являются численные методы. С помощью численного решения задачи (ОД) -(0.3) в ряде работ были выявлены некоторые закономерности процессов самофокусировки мощных оптических пучков в нелинейных средах.
Основные закономерности процессов самофокусировки были получены для радиально-симметричных пучков. Первая группа расчетов была проведена [ 23-25 ] для пучков с гауссовым начальным распределением амплитуды
Шло выяснено, что в этом случае в процессе распространения, пучка образуется многофокусная структура [" 23-25 J , представляющая собой конечную совокупность отдельных фокусов на оси пучка, получающихся в результате последовательной фокуси-
- б -
ровки различных кольцевых зон пучка. Общее число фокусов в многофокусной структуре примерно равно Р0/Ркр, где PQ - полная начальная мощность пучка, Р^ - критическая мощность самофокусировки [ 25 J . При этом в каящый фокус входит мощность, примерно равная Р„_.
Следующая группа расчетов была проведена [ 26-28 ] для пуч
ков с супергауссовыми (платообразными) начальными распределе
ниями амплитуды . * / \ л/
~ г (Vet) , N
ААг) -А. Є , л/>2ч (0-5)
Было выяснено, что с ростом степени аподизации Ы ( А/ > 2) происходит трансформация многофокусной структуры, характерной для гауссового начального распределения амплитуды ( Ы =2). О увеличением /И первые фокусы многофокусной структуры начинают стягиваться к первому фокусу, происходит их частичное перекрытие, и, затем, в некоторой области по /V , А/ ** /^(Pq/Pj-j) > 2, образуется один или несколько (при больших Р0/Ркр) мощных фокусов на оси пучка, в которые втекает существенная часть мощности всего пучка [ 26-28 ] . Такое различие в поведении пучков с гауссовым (0,4) и платообразным
hi , /^о^с/^кр) в (0,5) начальными распределениями амплитуды объясняется различным характером начальной (линейной) стадии дифракции этих пучков.
Ввиду возможной неустойчивости самофокусировки пучков, приводящей к разбиению пучков на мелкомасштабные нити, встала задача исследовать устойчивость распространения пучков с гауссо-
вым и платообразным начальными распределениями амплитуды относительно малых возмущений, нарушающих радиальную симметрию. пучка. Требовалось выяснить, в каких случаях и при "возмущенных" начальных распределениях будут образовываться фокусы на оси пучка (устойчивая саиофокусировка), а в каких вносимые угловые возмущения будут приводить к разбиению пучка на периферийные нити (неустойчивая самофокусировка). Отметим, что аналитические исследования [ 29 ] устойчивости распространения ограниченных пучков не позволяют в рассматриваемых случаях полностью проследить картину развития возмущений. Это объясняется проводимыми при аналитических исследованиях линеаризацией. уравнения для возмущений и довольно грубой аппроксимацией решения невозмущенной задачи.
Возникла необходимость в проведении подробного численного исследования устойчивости самофокусировки мощных оптических пучков в нелинейных средах. Некоторые примеры подобных расчетов приведены в работах [ 30-34 ] . Среди основных сложностей, возникающих при проведении численных расчетов рассматриваемой задачи выделим следующие.
Нелинейность задачи. Необходимость проведения больших серий
расчетов с различными значениями этих параметров..
Трехмерность задачи. Решение задачи (ОД) - (0,3) зависит при рассматриваемой постановке этой задачи от трех пространственных переменных (х, у, Z ) (или ( ?, У, Z )).
Мелкомасштабность изучаемого процесса. Характерный масштаб изменения решения по поперечным координатам (х, у) (или (1, У)) становится при фокусировке пучков много меньше размеров об-
ласти, в которой ищется решение.
Указанные свойства решаемой задачи налагают определенные (в какой-то степени противоречивые) требования на применяемые численные методы ее решения. Это требует проведения сравнительного анализа методов решения рассматриваемой задачи, их обоснования (т.е. доказательства сходимости схем и, в случае нелинейных схем, доказательства сходимости итерационных процессов), выбора разностной схемы, наиболее эффективной для рассматриваемой постановки задачи.
Для численного решения смешанной задачи (0.1) - (0.3) для нелинейного дифференциального уравнения Шредингера различными авторами было рассмотрено немало схем ["35"- 61 J. Остановимся на некоторых из них.
Двухслойная симметричная схема (схема Кранка-Николсона) рассматривалась, например, в работах
tk2> 5Z-56, И,*3].
Характерные черты этой схемы - симметричность, абсолютная устойчивость в линейном случае, консервативность (т.е. наличие разностного аналога закона сохранения мощности в тех случаях, когда последний существует), нелинейность по верхнему слою. Нелинейность диктует применение итерационного процесса для нахождения решения на каждом слое по J? , что замедляет расчеты и иногда считается слишком дорогой платой за перечисленные выше положительные качества. Укажем, что существуют явные (или линейные по верхнему слою) консервативные схемы решения задачи (0.1) - (0.3). (Например, метод решения из f 54 ] или трехслойная симметричная консервативная схема, рассматриваемая в
главе I). В работах 5$-5Є] предложен специаль-
ный вид аппроксимации нелинейного члена, при котором схема Кранка-Николсона имеет разностные аналоги двух законов сохранения задачи (0.1) - (0.3). При ограничениях на рост нелинейного члена уравнения Шредингера (0.1) сходимость двухслойной разностной схемы изучалась в работах 5 - 5 Ч ] «В них была доказана сходимость решения схемы Кранка-Николсона к достаточно гладкому решению дифференциальной задачи (0.1) - (0.3) при нелинейности полиномиального роста. В работе ^8 ] проведено сравнение двухслойной симметричной схемы с другими схемами на тестовых расчетах двумерных солитонных решений.
В работах \2Q~Z%~\ для расчета распространения ради-
ально-симметричных пучков в нелинейных средах использовалась трехслойная симметричная разностная схема. Эта схема, являясь абсолютно устойчивой в линейном случае, в нелинейном случае не принадлежит к классу консервативных схем. Она линейна по верхнему слою, решается прямыми методами и является более "быстрой" по сравнению с нелинейными схемами. (В 4 главы I рассмотрен консервативный вариант трехслойной схемы). В работе
[ 5~ J рассмотрена трехслойная явная ( Ыси> - jtOQ ) схема (схема Ричардсона) и доказана ее сходимость к достаточно гладкому решению исходной дифференциальной задачи (0.1) - (0.3). Отметим, что использование этой схемы может привести к численной неустойчивости. Результаты расчетов, демонстрирующие резкое возрастание ("взрыв") при некотором S? = 2ВЗ погрешности ttOisp- fooQ схемы, приведены в работе Г5" J» в которой предлагается устойчивая консервативная модификация
этой схемы (без доказательства сходимости).
В работах Г 48, 51, 58-61 J рассмотрены псевдоспектральные схемы для численного решения задачи (0,1) - (0,3), в которых применяется Фурье-аппроксимация оператора Лапласа. Впервые метод фурье-аппроксимации дифференциальных операторов был изложен в работах [ 62-64 J и применен для задач гидродинамики несжимаемой жидкости [ 63-66 ] . Затем этот метод был перенесен для решения других дифференциальных задач. В применении для решения задачи (ОД) - (0,3) двухслойная симметричная псевдоспектральная схема обладает теми же свойствами, что и конечно-разностная схема Кранка-Николсона. Обе они симметричны, консервативны, нелинейны по верхнему слою. Заметим, что реализация двухслойной псевдоспектральной схемы еще более "дорога", чем в случае схемы Кранка-Николсона. В работе L 48 J, следуя [ 51 ] , рассмотрена устойчивая модификация трехслойной псевдоспектральной явной ( Шр - fa9) схемы и проведено ее сравнение с другими схемами на тестовых расчетах двумерных солитонных решений. Сходимость двухслойной симметричной псевдоспектральной схемы к достаточно гладкому решению задачи (0,.1) - (0,3) при нелинейности в (ОД) полиномиального роста доказана в работе Г 58 J . Рассмотрение нелинейности более общего вида, а также обоснование других разностных схем потребовали проведения дальнейших исследований.
Перейдем к изложению содержания диссертации.
диссертация состоит из введения и двух глав, содержащих 7 параграфов.
- II -
В первой главе диссертации доказывается сходимость разностных схем для решения смешанной задачи для.нелинейного дифференциального уравнения типа Шредингера (0.1) - (0.3).
Вид нелинейности L /(/A Р)А заменяется на более общий Р(А).
На нелинейность Р(А) накладывается единственное требование
F(A) С'(Иг) , (0.6)
т.е. рассматриваются произвольные функции комплексного переменного F(A), лилшицируемые в любом замкнутом круте К« радиуса R (с центром в начале координат) комплексной плоскости R** с константой Липшица С_(R ), зависящей, вообще говоря, от R . (В теории нелинейных операторов операторы с аналогичным свойством называются ограниченно липшиц-непрерывными [6g ; с.79]), Никаких ограничений на рост нелинейности F ( А ) и ее конкретный вид не налагается. В частности, Р (А) может описывать произвольное усиление (поглощение) в среде.
Сходимость разностных схем доказывается в предположении существования в рассматриваемом цилиндре П- Q У Г О, L] единственного, достаточно гладкого решения исходной дифференциальной задачи (ОД) - (0.3). Если нелинейность Р (А) приводит к возникновению при некотором %=%р(%.А>>0) особенности у решения задачи (0.1) - (0.3) (фокуса, в окрестности которого решение неограниченно возрастает по модулю), сходимость схем доказывается в произвольной фиксированной области
/7= & * [О, I] при 0VL<
В первом параграфе главы I дается постановка задачи и формулируются основные цели исследования разностных схем.для нелинейного дифференциального уравнения типа Шредингера.
Во втором параграфе рассматривается двухслойная симметричная консервативная конечно-разностная схема для численного решения задачи (0.1) - (0.3) и доказывается сходимость ее решения к достаточно гладкому решению задачи (0.1) - (0.3) в сеточной норме 1оо( 0,1; LZ(G)) со скоростью
Одновременно доказывается сходимость итерационных процессов и существование у нелинейной двухслойной симметричной схемы единственного решения.
В работах f 5"-5"к] сходимость двухслойной симметричной схемы доказывалась при нелинейности полиномиального роста в (0.1). Нелинейность записывалась в виде
F(A) = t(A,/\4),
где на функцию Ч налагались ограничения
- ІЗ -
Сходимость двухслойной симметричной схемы при нелинейности (0.7) доказывалась при следующих ограничениях на шаги сетки:
*"/ h^, hi - достаточно малых,
г- о((кЛ.) ) * r«J,
В 2 главы I сходимость двухслойной симметричной разностной схемы доказана при произвольной нелинейности вида (0.6) при
Ті kit п^ - достаточно малых,
t*0((U*)i).
Здесь Т; hi, ҐІ - шаги разностной схемы по х, у,
соответственно.
Отметим, что в формулировке теоремы сходимости из 5"3 ,SH3 были замечены неточности.
В третьем параграфе главы I рассмотрена двухслойная симметричная псевдоспектральная схема для решения краевой задачи вида (0.1) - (0.3) с периодическими граничными условиями и доказана сходимость ее решения к достаточно гладкому решению дифференциальной задачи при произвольной нелинейности вида (0.6) со скоростью
При нелинейности Р (А) полиномиального роста (0.7) сходимость двухслойной симметричной псевдоспектральной схемы доказана в работе [58 1 при следующих ограничениях на шаги сетки:
^ ) hi, kz, - достаточно малые,
В 3 главы I сходимость двухслойной симметричной псевдоспектральной схемы доказана при произвольной нелинейности вида (0.6) при
Т, hi, k^ - достаточно малых,
Параграф 4 главы I посвящен рассмотрению трехслойных симметричных разностных схем для численного решения задачи (0.1) -(0.3). Первая из них, предназначенная для решения задачи (0.1) -(0.3) при произвольной нелинейности Р (А) вида (0.6) - неконсервативна в нелинейном случае. Для случая нелинейности Р (А) вида
F(A)~ J( А )А ,
где на функцию j наложено ограничение, аналогичное (0.6),
і (А) Є C"(HZ), (0,8)
построена консервативная трехслойная разностная схема. Доказана сходиглость решений обеих трехслойных схем к достаточно гладкому решению исходной дифференциальной задачи (0.1) - (0.3) при произвольных нелинейностях, удовлетворяющих (0.6), (0.8), в сеточной норме /оо С Q Ь ') ^1 &) ) со скоростью
О (тг+ /,* + к
при следующих ограничениях на шаги сетіш: Г Пі h% - достаточно малые 9
т*0((кХ)*
В работе [ 5~ ] для численного решения задачи (0.1) -(0.3) в двумерном случае (х, % ) при
рассмотрена трехслойная явная ( #tlf> - ^ой ) схема и доказана сходимость ее решения к достаточно гладкому решению задачи (0.1) - (0.3) при следующих ограничениях на шаги сетки:
V, л-f - достаточно малые,
О t Т * ** (Г
/х>1 ; 4
Как уже отмечалось, использование явной трехслойной
) схемы для численного решения задачи (0.1) -(0.3) может привести к численной неустойчивости.
В 5 главы I рассмотрена.схема переменных направлений для численного решения задачи (0.1) - (0.3) и доказана сходимость ее решения к достаточно гладкому решению исходной дифференциальной задачи (0.1) - (0.3) при произвольной нелинейности F (А) вида (0.6) в сеточной норме /,оо ( О, L' ] /^р(^))со скоростью
при следующих ограничениях на шаги сетки: V к і к? ~ Достаточно малые,
где О г. < і .
Методы доказательства сходимости рассмотренных разностных схем могут быть обобщены на другие разностные схемы, на случай цилиндрической системы координат, а также могут применяться при анализе схем для других нелинейных эволюционных уравнений, "близких" к уравнению (0.1) или обобщающих его. В частности, все доказанные теоремы сходимости справедливы и в случае полулинейного параболического уравнения, когда в (0.1) - (0.3) А(х, у, « ) - действительная функция и в (0.1) и, соответственно, во всех разностных схемах CD перед лапласианом заменяется на ~D; D > О ( ~* D Д j_ A ).
Вторая глава диссертации посвящена численному исследованию устойчивости самофокусировки мощных оптических пучков в нелинейных средах.
В I главы 2 дается постановка задачи и анализируются свойства конечно-разностной схемы переменных направлений для численного решения задачи (ОД) - (0?3) в цилиндрической системе координат. Показано, что указанная схема хорошо учитывает специфику постановки задачи при численном исследовании устойчивости радиально-симметричных пучков относительно малых возмущений, нарушающих радиальную симметрию пучков.
Во втором параграфе главы 2 приводятся результаты численного исследования устойчивости самофокусировки в кубических средах с трехфотонным поглощением мощных оптических пучков с гауссовыми и супергауссовыми (платообразными) начальными распределениями амплитуды. На основе приведенных результатов можно сделать следующие основные выводы.
Самофокусировка пучков с гауссовым начальным распределением амплитуды (0,4) устойчива по отношению к малым возмущениям, нарушающим радиальную симметрию пучков. Как и в радиально-симметричном случае [ 23-25 J , при распространении пучков с "возмущенным" гауссовым распределением амплитуды образуется многофокусная структура.
При Р0 / 10 Ркр для пучков с платообразным начальным распределением амплитуды при достаточно больших N ,
У1/^ /\/0(Р0/Ркр), (при Р0 в 10 Ркр, No * 3,5) характерна неустойчивость самофокусировки. Вместо мощного фокуса на оси
пучка, образовывавшегося в радиально-симметричном случае Еге~21 ? при наличии возмущений происходит разбиение пучка на периферийные нити (мелкомасштабная самофокусировка).
3. Тем не менее, при Р0 ~ 10 Ркр для супергауссовых пучков существует небольшая область по М (при Р0 = 9 Р , IV ** 3.2) устойчивого образования мощного фокуса на оси пучка, в который втекает существенная часть мощности всего пучка.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [?l-5j.
Двухслойная консервативная конечно- разностная схема
Двухслойная симметричная схема (схема Кранка-Николсона) рассматривалась, например, в работах
Характерные черты этой схемы - симметричность, абсолютная устойчивость в линейном случае, консервативность (т.е. наличие разностного аналога закона сохранения мощности в тех случаях, когда последний существует), нелинейность по верхнему слою. Нелинейность диктует применение итерационного процесса для нахождения решения на каждом слое по J? , что замедляет расчеты и иногда считается слишком дорогой платой за перечисленные выше положительные качества. Укажем, что существуют явные (или линейные по верхнему слою) консервативные схемы решения задачи (0.1) - (0.3). (Например, метод решения из f 54 ] или трехслойная симметричная консервативная схема, рассматриваемая в главе I). В работах 5$-5Є] предложен специаль ный вид аппроксимации нелинейного члена, при котором схема Кранка-Николсона имеет разностные аналоги двух законов сохранения задачи (0.1) - (0.3). При ограничениях на рост нелинейного члена уравнения Шредингера (0.1) сходимость двухслойной разностной схемы изучалась в работах 5 - 5 Ч ] «В них была доказана сходимость решения схемы Кранка-Николсона к достаточно гладкому решению дифференциальной задачи (0.1) - (0.3) при нелинейности полиномиального роста. В работе 8 ] проведено сравнение двухслойной симметричной схемы с другими схемами на тестовых расчетах двумерных солитонных решений.
В работах \2Q Z% \ для расчета распространения ради ально-симметричных пучков в нелинейных средах использовалась трехслойная симметричная разностная схема. Эта схема, являясь абсолютно устойчивой в линейном случае, в нелинейном случае не принадлежит к классу консервативных схем. Она линейна по верхнему слою, решается прямыми методами и является более "быстрой" по сравнению с нелинейными схемами. (В 4 главы I рассмотрен консервативный вариант трехслойной схемы). В работе рассмотрена трехслойная явная ( Ыси - jtOQ ) схема (схема Ричардсона) и доказана ее сходимость к достаточно гладкому решению исходной дифференциальной задачи (0.1) - (0.3). Отметим, что использование этой схемы может привести к численной неустойчивости. Результаты расчетов, демонстрирующие резкое возрастание ("взрыв") при некотором S? = 2ВЗ погрешности ttOisp- fooQ схемы, приведены в работе Г5" J» в которой предлагается устойчивая консервативная модификация этой схемы (без доказательства сходимости).
В работах Г 48, 51, 58-61 J рассмотрены псевдоспектральные схемы для численного решения задачи (0,1) - (0,3), в которых применяется Фурье-аппроксимация оператора Лапласа. Впервые метод фурье-аппроксимации дифференциальных операторов был изложен в работах [ 62-64 J и применен для задач гидродинамики несжимаемой жидкости [ 63-66 ] . Затем этот метод был перенесен для решения других дифференциальных задач. В применении для решения задачи (ОД) - (0,3) двухслойная симметричная псевдоспектральная схема обладает теми же свойствами, что и конечно-разностная схема Кранка-Николсона. Обе они симметричны, консервативны, нелинейны по верхнему слою. Заметим, что реализация двухслойной псевдоспектральной схемы еще более "дорога", чем в случае схемы Кранка-Николсона. В работе L 48 J, следуя [ 51 ] , рассмотрена устойчивая модификация трехслойной псевдоспектральной явной ( Шр - fa9) схемы и проведено ее сравнение с другими схемами на тестовых расчетах двумерных солитонных решений. Сходимость двухслойной симметричной псевдоспектральной схемы к достаточно гладкому решению задачи (0,.1) - (0,3) при нелинейности в (ОД) полиномиального роста доказана в работе Г 58 J . Рассмотрение нелинейности более общего вида, а также обоснование других разностных схем потребовали проведения дальнейших исследований.
Перейдем к изложению содержания диссертации.диссертация состоит из введения и двух глав, содержащих 7 параграфов. В первой главе диссертации доказывается сходимость разностных схем для решения смешанной задачи для.нелинейного дифференциального уравнения типа Шредингера (0.1) - (0.3).
Конечно-разностная схема переменнных направлений
Работа над созданием мощных лазерных систем и применением их в различных областях науки и техники потребовала детального изучения процессов распространения мощных оптических пучков в нелинейных средах.
Нелинейное самовоздействие мощных оптических пучков, проявляющееся в виде самофокусировки и, как наиболее распространенной формы, мелкомасштабной самофокусировки пучков, является в настоящее время одним из существенных факторов, ограничивающих мощность твердотельных лазеров.
Проведение больших серий численных расчетов распространения мощных оптических пучков в нелинейных средах явилось важным инструментом для изучения закономерностей протекания исследуемых физических процессов. Основное внимание при расчетах в силу сравнительной простоты реализации было уделено радиально-сим-метричным пучкам. Характер протекания самофокусировки ради-ально-симметричных пучков в нелинейных средах при различных начальных распределениях амплитуды изучен достаточно подробно. Однако, вследствие возможной неустойчивости самофокусировки, показанной для случая плоских волн в [/ 1, необходимо исследовать влияние малых возмущений, нарушающих радиальную симметрию пучков, на процессы их распространения.
Результаты аналитических исследований устойчивости распространения ограниченных пучков в нелинейных средах не дают полной картины развития возмущений. Это объясняется двумя моментами аналитических исследований; линеаризацией уравнения для возмущения и довольно грубой аппроксимацией решения невозмущенной задачи.
С целью подробного исследования нелинейной стадии развития возмущений, нарушающих радиальную симметрию пучков, была проведена большая серия численных расчетов распространения мощных оптических пучков с нарушенной радиальной симметрией. Проведенные расчеты, в частности» показали, что определяющее влияние на характер развития возмущений оказывает вид решения невозмущенной задачи. Это подтверждает необходимость проведения численного исследования устойчивости самофокусировки мощных оптических пучков в нелинейных средах.
Отметим основные сложности, возникающие при проведении указанных расчетов.Нелинейность задачи. Существенная зависимость вида решения от параметров решаемого уравнения и входных данных. Необходимость проведения больших серий расчетов с различными значениями этих параметров.
Трехмерность задачи. Решение рассматриваемой задачи (1.8) -(1.10) зависит при данной постановке этой задачи от трех пространственных переменных (х, у, ) или ( У, У, % ), где j -ось распространения пучка, (х, у) или ( t У ) - поперечные координаты. Поэтому, при проведении расчетов необходимо иметь несколько двумерных массивов, в которых хранятся действительная и мнимая части решения.
Мелкомасштабность изучаемого процесса. Характерный масштаб изменения решения по поперечным координатам (х, у) (или (t, f)) становится при фокусировке пучков много меньше размеров области, в которой ищется решение.
Указанные свойства решаемой задачи налагают определенные требования на применяемые численные методы ее решения. Среди них отметим: простоту реализации, быстроту счета, минимально возможные требования на объем памяти ЭЕМ, хорошие качества при решении невозмущенной радиально-симметричной задачи. Возникает необходимость сравнительного исследования численных методов, выбора метода, наиболее эффективного при рассматриваемой постановки задачи. Из рассмотренных в первой главе схем для численного решения задач (1.8) - (1.10), (1.56) - (1.58) наиболее полно учитывающей специфику рассматриваемой постановки задачи оказалась схема переменных направлений в цилиндрической системе координат:
Постановка задачи. Выбор разностной схемы
Первые расчеты устойчивости самофокусировки оптических пучков проводились по разностной схеме переменных направлений (1.95) - (1.96) в декартовой системе координат.
Однако, схема (1.95) - (1.96) в декартовой системе координат не оптимальна для решения задачи (1.8) - (1.10) с радиально-симметричными (2.14) и близкими к радиально-симметричным (2.16) начальными функциями. Объем оперативной памяти, отводимой пользователю на БЭСМ-6 в пакетном режиме, дает ограничения на число узлов сетки по переменным х, у - A/J 100, Л 100. Такого числа узлов декартовой сетки недостаточно для расчета задачи (1.8) - (1.10) с начальными распределениями (2.14) при 4и начальной мощности PQ 15 Ркр. Расчеты по трехслойной разностной схеме (1.88), записанной в цилиндрической системе координат в радиально-симметричном случае, показали Г 26-28 ] , что при распространении пучков с указанными значениями N и Р0 образуется одно или несколько (при Р0 , 30 Р ) дифракционных колец, которые затем схлопы-ваются на оси пучка, образуя мощные фокусы. В аналогичных расчетах по схеме (1.95) - (1.96) при PQ , 15 PKD, // з радиальная симметрия колец нарушалась, и процесс фокусировки сильно искажался - вместо фокуса на оси пучка образовывались "выбросы" на осях х = 0, у = 0. Это объясняется тем, что разностная схема (/. 95") - на декартовой сетке не сохраняет радиальную симметрию решения. Хорошее совпадение результатов расчетов радиально-симметричных пучков с платообразными ( N"? 2) распределениями амплитуды, полученных по схеме (/. 9$) - ( «%) и схеме (/ И) для радиально-симметричного случая, имело место лишь при № 3, PQ : 10 КХ). Jim расчетов с помощью схемы ( / 95) - (/.$) радиально-симметричных пучков с платообразными распределениями амплитуды ( IV? 2) и большей мощностью необходимо иметь большее число узлов декартовой сетки.
Благодаря перечисленным в I главы 2 свойствам 1-5 разностной схемы переменных направлений (2.1) - (2.2) в цилиндрической системе координат стало возможным рассчитывать по этой схеме пучки с начальными распределениями (2.14), (2.16), имеющие начальную мощность PQ 100 Ркр, что на порядок превышает максимально допустимое значение мощности при расчете по схеме U 9?) - ( /J6). Основные закономерности процессов самофокусировки радиаль но-симметричных пучков с гауссовым (А/ = 2 в (2.14)) и платооб разным (супергауссовым) ( fr 2) начальными распределениями амплитуды изложены в работах [23-22 J, t При распространении радиально-симметричных пучков с гауссовым ( р/ = 2) начальным распределением амплитуды образуется много фокусная структура [23-25 ] - последовательность от дельных фокусов на оси пучка, в каждый из которых входит мощ ность I Р и общее число которых Р0/Ркр. Проведен ные расчеты 2-23] п\ И /1/ показали отличие этого случая от рассмотренных ранее гауссовых пучков. При увеличении /V ( М 2) происходит трансформация многофокусной структуры, первые фокусы многофокусной структуры начинают сближаться с первым фокусом, происходит их частичное перекрытие, и, затем, в некоторой области по многофокусная структура переходит в один мощный фокус (или несколько фокусов при больших P0/PKD), в который (которые) втекает мощность, превышающая I Р и составляющая значительную часть мощности всего пучка. Встала задача исследовать устойчивость самофокусировки гауссовых ( /1/ = 2) и супергауссовых ( М 2) пучков относительно малых возмущений, нарушающих радиальную симметрию пучков. Будем называть самофокусировку пучков неустойчивой, если внесение угловых возмущений в начальное распределение амплитуды (т.е. рассмотрение начальных распределений вида (2.16)) приводит к разбиению пучка на некоторое число зон с последующей фокусировкой каждой зоны в отдельную периферийную нить (мелкомасштабная самофокусировка), и устойчивой, если и при "возмущенных" начальных распределениях (2.16) пучок фокусируется аналогично радиально-симметричному случаю (т.е. образуется один или несколько фокусов на оси пучка). Проведенные численные расчеты показали, что самофокусировка пучков с гауссовым начальным распределением амплитуда (/1/= 2) устойчива по отношению к малым возмущениям, нарушающим радиальную симметрию пучков. Как и в радиально-симметричном случае, при распространении пучков с "возмущенным" гауссовым распределением амплитуды (2.16) при Р0 10 Р , р 0,01 образуется многофокусная структура. Различие с радиалъно-сим-метричным случаем состоит в совершенно незначительном по сравнению с длиной фокусировки (расстоянием до первого фокуса) смещении фокусов по оси Z .
В противоположность гауссовым пучкам для пучков с платооб-разным (супергауссовым) начальным распределением амплитуды при Р0 10 PRp и достаточно больших А/, А/& А/о (Р0/Ркр), характерна неустойчивость самофокусировки. Вяесто мощного фокуса на оси пучка, образовывавшегося в радиально-симметричном случае, при б а 0,01 происходит разбиение пучков на периферийные нити (мелкомасштабная самофокусировка). На рис. 1-3 показана самофокусировка пучка с платообразным начальным распределением амплитуды при Р0 = 9 Р , А/ - 8, =0,01. На расстоянии по Z , существенно меньшим длины фокусировки в радиально-симметричном случае, образуются четыре нити, в которые "втекает" суммарная мощность 6 Р (см. рис. 2). Оставшейся мощности хватает на образование еще одного фокуса на оси пучка при 2 , уже существенно большем длины фокусировки в радиально-симметричном случае (см. рис. 3).
Результаты расчетов устойчивости самофокусировки мощных оптических пучков в нелинейных средах
При этих значениях параметров, как и в радиально-симметрич-ном случае ( So. = 0), образуется один мощный фокус на оси пучка, в который втекает значительная часть мощности всего пучка (см. рис. 5).
Следует отметить, что не существует четкой границы по Л/ между устойчивой и неустойчивой самофокусировками. Расчеты самофокусировки пучков, проведенные при Р0 = 9 Р и /Vt["3, 4] показали следующее. При уменьшении А/ (от 4 к 3) мелкомасштабные нити (см. рис. 2) образуются все ближе к оси пучка, длина мелкомасштабной самофокусировки (расстояние по Z, до нитей) увеличивается, и, затем, в некоторой области по л/ самофокусировку можно трактовать как охлопывание на оси пучка нерадиально-симметричного дифракционного кольца. М (3.2; 3.25) является такой областью при PQ = 9 Р , лежащей между устойчивой и неустойчивой областями. Эта область, которую будем называть переходной областью, начинается практически сразу же после смены многофокусной структуры одним мощным фокусом. Длина переходной области незначительна, поэтому длина области ( по А/ ) устойчивой самофокусировки пучка в один мощный фокус является малой (0.05 - 0.2). При увеличении мощности пучка переходная область сдвигается в область меньших и область устойчивой самофокусировки уменьшается. Так, самофокусировка при Р0 = 10 Р D, о аналогична самофокусировке при Р0 = 9 Ркр, А/ = 3.25. В обоих случаях при tf = 0.01 образуются четыре нити, переходящие в фокус на оси пучка.
Еще одна серия расчетов была проведена для пучков с плато-образным начальным распределением амплитуды /V" 8 и начальной мощностью Р0 от 30 РКр до 50 Ркр. Расчеты радиально-сим-метричных пучков Г 26-28 J показали, что в этом случае при распространении пучков образуются два дифракционных кольца, которые затем последовательно схлопываготся на оси пучка, образуя мощные фокусы. Второй фокус, образующийся при охлопывании внешнего кольца, намного мощнее первого.
Затем были проведены расчеты с "возмущенными" начальными распределениями (2.16), в которых присутствовало четыре частоты f- = 4, 8, 12, 16. В одних расчетах величины возмущений задавались равными 6 = 8g = #= /$= 0.01, в других Єч, «? , f&, &16 рассматривались как случайные величины, равномерно распределенные на [ 6,8] , - 0.01. Во всех расчетах (Р0 = 30 РКТ) 50 Рк_) сначала внешнее кольцо разваливалось на восемь нитей, затем еще четыре нити образовывались во внутреннем кольце (см. рис. 6-14). Таким образом, самофокусировка пучков при Р = 30 РКТ) 50 Ркр, А/ 8 существенно неустойчивая, вносимые малые возмущения качественно изменяют характер решения. Наиболее неустойчивой частотой в этом случае для внешнего кольца является = 8, а для внутреннего - f- - 4. Следует отметить, что образование ярких нитей интенсивности, расположенных на нескольких концентрических окружностях, при распространении мощных оптических пучков наблюдалось экспериментально (см., например, [ 70 J ). На рис. 6-14 изображен процесс мелкомасштабной самофокусировки при Р0 = 30 Ркр, А/ = 8, = = 8а = # = 0.01.
Похожие диссертации на Численное исследование явления многомерной оптической самофокусировки
