Введение к работе
"актуальность темы. Система обыкновенных дифференциальных уравнений /ОДУ/ i=f(x,t); x(t0 )=xQ - локально-неустойчива, если ее решение x(t,xQ) проходит через область неустойчивости вариационной матрицы fx(x,t)=Df(x,t)/Dx. В этой области происходит возрастание погрешности численного интегрирования по мере движения вдоль траектории решения, и это обстаятель-ство требует повышенной точности самого алгоритма интегрирования и аккуратности вычисления его локальной погрешности.
Для жестких систем ОДУ положение осложняется тем, что в области неустойчивости хорошо разработанные неявные разностные методы нередко приводят к качественно неверным результатам, если не обеспечен надежный контроль за величиной шага интегрирования. Однако, организация такого контроля обходится существенно дороже чем само интегрирование.
В то же время, локально-неустойчивые системы моделируют очень широкий класс реальных процессов с положительной обратной связью, и разработка эффективного и надежного метода их численного решения является актуальной.
Целью работы является разработка схем численного решения задачи Коши для жестких, в том числе и локально-неустойчивых систем ОДУ, на основе метода локальной линеаризации / МЯЛ /, с обеспечением надежного контроля за точностью численного решения.
Научную новизну работы представляют :
- формулы для вычисления погрешности численного решения сис
тем ОДУ полученные с помощью рекуррентных соотношений для
матриц exp(At) и C(t)=A~1(exp(At-1);
- метод оценки правой границы спектра матрицы At с использо
ванием Tr(exp(Ati)); t
- метод вычисления интегралов J'eAl't""sV(s) ds основанный на
о сингулярной аппроксимации ядра exp(A(t-s)) :
A? m ,, е «ct^HZ^1 1
где =t-s; Є(Є)-обобщенная функция;
- применение степенной аппроксимации для быстрорастущих под-
интегральных функций ц(э);
- алгоритм решения интегрального уравнения МЛЛ для системы
i=r(x,t) t
г A(t-s)
Z=Ct(7^^)+Je |i(Z(S)) us ,
где M.(z(s))=f(xn+z,tn+s)-As-f(xn,tn) , T=t-tn.
Практическая значимость. Полученный алгоритм может быть использован для создания стандартных программ для интегрирования жестких систем ОДУ, а также включен в качестве вычислительной основы в пакет прикладных программ для моделирования сложных процессов в различных областях науки: физике , химии, экологии, биологии, экономике.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на V Всесоюзной конференции " Математические методы в химии " (г. Грозный, 1985г.), на I Всесоюзной конференции " Новые подходы к решению дифференциальных уравнений " (г. Дрогобич, 1987г.), на научных семинарах в ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, на научных семинарах в математическом отделе ИХФ АН СССР.
Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы.Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, и списка литературы, включающего 40 наименований. Общий объем диссертационной работы составляет 96 листов машинописного текста.
