Содержание к диссертации
Введение
1 Общая аппроксимационная схема 48
1.1 Дискретная сходимость 48
1.2 Аппроксимация спектра линейных операторов 53
1.3 Области сходимости 55
1.4 Сходимость в случае условии Анселоне 56
1.5 Компактная сходимость резольвент 59
2 Определяющие семейства и их возмущения 62
2.1 Задача Кошн 63
2.2 Уравнения 1-го и 2-го порядков 64
2.2.1 Измеримость полугрупп и косинус оператор-функций 64
2.2.2 Co-определяющие семейства 65
2.3 Семейства операторов U(-) и V'(-) 68
2.3.1 Измеримость и непрерывность семейств /7(-) и V(-) . 69
2.3.2 Преобразование Лапласа семейств U(-) и V(-) 71
2.4 Семейства операторов F(-) и G(-) 77
2.4.1 Измеримость и непрерывность семейств F(-) и G'(-) . 78
2.4.2 Преобразование Лапласа семейств F{-) и G'(-) 83
2.5 Почти периодичность семейств 89
2.5.1 Почти периодические G'o-полугруппы 90
2.5.2 Почти периодические семейства U(-) и V(-) 91
2.5.3 Почти периодические С'о-КОФ 92
2.5.4 Почти периодические семейства F(-) и G'(-) 97
2.6 Компактность оператор-функций 98
2.6.1 Компактность Co-полугрупп операторов 99
2.6.2 Компактность семейств U(-), V() 99
2.6.3 Компактность С0-КОФ 100
2.6.4 Компактность семейств F(-) и G'(-) 102
2.7 Общие мультипликативные теоремы I 103
2.7.1 Приложения к аддитивным возмущениям 113
2.7.2 Возмущения, порождаемые семейством [/() 116
2.7.3 Возмущения, порождаемые семейством V(-) 121
2.8 Общие мультипликативные теоремы II 126
2.8.1 Возмущения, порождаемые семейством F(-) 137
2.8.2 Возмущения, порождаемые семейством G'(-) 141
2.8.3 Сравнение С'о-косннус оператор-функций 145
2.9 Возмущения с условием на интегральный оператор 149
2.9.1 Теорема о возвышении для С'о-групп 151
2.9.2 Теорема о возвышении для С'о-КОФ 155
2.9.3 Возмущения Co-групп операторов 157
2.9.4 Возмущения С'о-косинус оператор-функций 160
Аппроксимация определяющих семейств 163
3.1 Дискретизация С0-полугрупп 163
3.1.1 Простейшие схемы дискретизации 164
3.1.2 Рациональная аппроксимация 179
3.1.3 Метод экстраполяции Ричардсона 188
3.1.4 Аппроксимация возмущенных Со-полугрупп 190
3.2 Обратная задача Кошн 193
3.2.1 С'-полугруппы и некорректные задачи 198
3.2.2 Теорема о полудискретной аппроксимации 201
3.2.3 Аппроксимация дискретными С'-полугруппами 206
3.3 Неравенства коэрцитивностп 209
3.3.1 Неравенство коэрцитивностп в LpTn([0,Т];Еп) 218
3.4 Аппроксимации полулинейных уравнений 22G
3.4.1 Аппроксимация задачи Кошп 227
3.4.2 Аппроксимация периодической задачи 238
Приложения 247
4.1 Определяйте семейства 247
4.1.1 Задача Кошп для полного уравнения n-го порядка . 248
4.1.2 Задачи Кошп для уравнений 1-го и 2-го порядка . 257
4.1.3 Резольвентные семейства 264
4.2 Аппроксимация с переменным шагом 265
4.3 Аппроксимация управляющего элемента 267
4.4 Аппроксимация аттракторов 275
4.4.1 Аппроксимация стационарных точек 284
4.4.2 Локальные неустойчивые многообразия 285
4.4.3 Непрерывность аттракторов сверху и снизу 290
Литература 296
- Аппроксимация спектра линейных операторов
- Измеримость и непрерывность семейств F(-) и G'(-)
- Теорема о полудискретной аппроксимации
- Аппроксимация управляющего элемента
Введение к работе
Теория разностных и проекционных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных имеет глубокую историю. Достаточно упомянуть работу [111], в которой, по-видимому впервые, было серьезно обращено внимание на устойчивость и неустойчивость простейших разностных схем для одномерного дифференциального уравнения в частных производных. Основополагающими вехами в развитии теории разностных схем для решения дифференциальных уравнений в частных производных были достижения советской школы, широко представленные, например, в [8], [33], [47] - [49], [226]-[227]. Проекционные методы и методы конечных элементов усиленно развивались как у нас, так и за рубежом [38], [81], [144]. По-видимому, статья Троттера [247] стала одной из первых работ, где была явно сформулирована общая концепция, объединяющая конечно-разностные проекционные методы и метод конечных элементов. Эта философия нашла широкий отклик в исследованиях самых различных международных школ [4], [29], [81], [152] - [157], [236], [4G], [238] - [239], [249] - [253]. Тот факт, что дискретная задача в пределе должна перейти в исходную, выражается наличием отображений рп : Е —» Еп со свойством ІІ^н^ІІЕп —* \\х\\е Для любого х Є Е (см. [47] ). Это так называемые связывающие отображения (иногда вводят в рассмотрение восстанавливающие отображения гп : Еп —» Е см., например, [81]). Определив дискретную сходимость элементов, приходят к естественному понятию дискретной сходимости (аппроксимации) операторов. Практически через 20 лет после работы [247] появляется статья [248], в которой делается отчаянная попытка прорваться в исследовании простейших разностных схем (явный, неявный методы) на уровень Co-полугрупп операторов. К сожалению, Teruo Ushijima не смог избежать инертности алгебраических представлений и получил неприемлемое условие устойчивости для явного метода г„||А^|| = 0(1), п Є IN. Он не дотянулся до уровня использования тонких качественных свойств определяющих семейств, например таких, как аналитичность, позитивность, почти периодичность, которые отражают специфику конкретных практических задач.
Аппроксимация операторов, или точнее семейств операторов, базируется на информации о том, что мы имеем в наличии некоторые свойства (к примеру свойства гладкости) определяющих семейств, в качестве которых для нестационарных задач выступают С'о-полугруппы операторов и С'о-косннус оператор-функции.
Принято считать, что теория С'о-полугрупп операторов появилась в 1948 году, когда была опубликована знаменитая теорема Хнлле-Иоснды. Однако еще Джузеппе Пеано в 1887 году переписал систему линейных дифференциальных уравнений dt dun(t) = апщ{і) + aV2u2{t) Н + alnun{t) + /i(), = «,,i«i(0 + «ігМО + f" dnnUn{t) + fn{t), в матричном виде ^-tu(t) = Au(t) + f{t) и решил ее, используя обозначение etA = H
В то же время, переход от конечномерного пространства к бесконечномерному является весьма не тривиальным. В результате была получена возможность вторгаться, например, в такие разделы математики, как дифференциальные уравнения в частных производных и численные методы в дифференциальных уравнениях. Итак, родоначальные работы Э. Хилле, Р. Филлнпса, К. Иосиды, Н. Данфорда, М.Г. Крейна, С.Г. Крейна, Ю.Л. Далецкого, Дж. Годстейна и др. вызвали цепную реакцию публикаций по теории С'о-полугрупп операторов и их приложений. Мы отсылаем читателя к обзорным работам [30], [273], [274], [275], библиография которых насчитывает сегодня тысячи наименований [276]. В нашей стране теория Co-полугрупп операторов до 1990 года интенсивно развивалась раз-лычными школами, см., например, [15], [18], [19], [29], [80]. К сожалению, после 1990 года работы в России резко пошли на убыль, в то время как за рубежом поток монографий начал стремительно нарастать [276].
Семейство Co-полугрупп операторов — определяющее семейство операторов для задачи Кошп с уравнением первого порядка. Для уравнения второго порядка таким семейством явилась Co-косинус оператор-функция, введенная в обиход классической работой М. Совы [232] в 1966 году. Несмотря на кажущееся сходство свойств С'о-гюлугрупп операторов и С'о-косинус оператор-функций, они имеют ряд принципиальных различий, что заставляет рассматривать их как существенно разные объекты.
В данной диссертации мы коснемся также теории возмущений определяющих семейств и аппроксимации возмущенных определяющих семейств. Дело в том, что как определяющие семейства, так и семейства мультипликативных и аддитивных возмущений, имеют в популяционных моделях особую смысловую нагрузку, и их аппроксимация является весьма актуальной вычислительной задачей.
Пусть ехр(-Л) — С'о-полугруппа, заданная на банаховом пространстве Е. На практике часто возникает вопрос будет ли оператор А + В также порождать С'о-полугруппу, если В Є В(Е). Хорошо известно, что ответ на этот вопрос положителен [22]. Однако, уже в случае, когда В не является ограниченным, ответить на поставленный вопрос удается не всегда. Гораздо сложнее возникает ситуация, когда требуется выяснить является ли оператор А{І+В) ннфнннтезимальным генератором С'о-полугруппы при В Є В{Е). Формально можно было бы написать A(I+B) = А+АВ, однако, это равенство, вообще говоря, не выполняется, т.к. В не обязан отображать Е в D(A). Таким образом, аддитивные возмущения А -\-В сводятся к мультипликативным путем А + В = A(I + А~1В) или А + В — (I + ВА~1)А, но мультипликативные возмущения не сводятся к аддитивным. Мультипликативные возмущения, вообще говоря, меняют область определения опера- тора D{A) ф D(A(I+B)), поэтому этот случай является особенно интересным с точки зрения приложений. В диссертации строится общая теория мультипликативных возмущений определяющих семейств. Все известные в литературе теоремы о возмущениях получаются как простые следствия из наших общих результатов. Заметим, что изучение мультипликативных возмущений требует введения понятия С'о-семейства мультипликативных возмущений. Доскональному изучению свойств этих семейств посвящены разделы 2.3-2.6 второй главы диссертации.
Численный анализ дифференциальных уравнений мы излагаем с точки зрения аппроксимации определяющих семейств. В основополагающих работах [8], [33], [47] - [49], численный анализ дифференциальных уравнений развивался, как правило, с использованием гильбертовости исходного пространства Е. Теория определяющих семейств позволила провести численный анализ в общем банаховом пространстве и отказаться от свойства самосопряженности операторов. В данной диссертации разработана новая концепция аппроксимации эволюционных уравнений на основе теории определяющих семейств и общей дискретнзационной схемы. Как будет показано, этот подход позволяет привлечь аппарат теории определяющих семейств, например, к решению практически важных задач аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных, задач управления, некорректных задач, полулинейных задач в общих банаховых пространствах и аппроксимации аттракторов. Кроме того, в случае полулинейных задач, используя свойство компактности определяющих семейств, удалось привлечь к аппроксимации теорию вращения векторных полей и принцип компактной аппроксимации по Г. Вайннкко, что позволило получить теоремы сходимости. Абстрактная формализация свойства параболнчности дала возможность также достаточно полно исследовать вопросы устойчивости при аппроксимации дробями Падэ, используя теорию аналитических С'о-полугрупп. В частности, была решена проблема устойчивости диагональных аппроксимаций Падэ, стоявшая открытой более 40 лет.
Следует подчеркнуть, что полученные результаты во многих направлениях распространяются на более общие семейства операторов, например, как проинтегрированные полугруппы, так и С-полугруппы. Возможны рассмотрения задач, когда производящий оператор А имеет не плотную область определения D(A). Мы не касаемся здесь этих вопросов, но отметим, что разработанная техника не ограничивается рамками С'о -семейств операторов.
Итак, сформулируем кратко цели работы: построить общую теорию дискретизационных методов эволюционных задач на уровне определяющих семейств операторов; исследовать свойства определяющих семейств и семейств возмущений; поскольку практические задачи как правило являются возмущением модельных, построить общую теорию возмущений определяющих семейств и аппроксимации возмущенных определяющих семейств; построить теорию разностных схем для аппроксимации определяющих семейств базируясь на свойствах аналитичности, компактности, положительности и почти периодичности определяющих семейств; установить дискретные неравенства коэрцитпвности в пространствах L?n([0,T];„); построить теорию аппроксимации полулинейных задач, основываясь на принципе компактной аппроксимации операторов.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложений и списка литературы. Работа изложена на 326 стр. и выполнена в пакете LATEX. Список основных работ автора по теме диссертации приведен в конце библиографии, начиная со стр. 321, и насчитывает более 40 работ.
Для удобства читающего мы приведем основные обозначения используемых понятий. Множество натуральных чисел обозначается W, JNq '== IN U {0}, целых - Ж, вещественных - Ж, комплексных - G. Набор чисел 1,2,...,771, т Є IN обозначаем 1,777., вещественную полуось (0,оо) - Ш+. а [0, ос) обозначаем через Ш+.
Буквой Е будем обозначать банахово пространство над полем комплексных чисел с нормой || ||. Для гильбертова пространства со скалярным произведением (, ) будем использовать обозначение Я.
Границу множества Q будем обозначать dQ, внутренность множества Q обозначим int(Q), замыкание в сильной топологии — О.
Линейную оболочку системы векторов {хі,Х2,...,Хп}, Хі Є Е, І = l,n, обозначим C{xi, X2,..., xn}..
Сопряженное к E пространство, как обычно, будем обозначать Е*, с элементами — х*, у*, ..., а значение функционала х* Є Е* на элементе х Є Е запишем в виде (х,х*).
Область определения и область значений оператора .4 будем записывать соответственно как D(A) и 7v(.4), а нуль-пространство — ./V(-4). Замкнутые операторы в Е с плотной областью определения (D(A) = Е) выделим в множество С(Е) С L(E). В случае замкнутого линейного оператора .4 линейное многообразие D(A), наделенное нормой \\х\\а '— ||^'|| + ||-4х-||, становится банаховым пространством, будем обозначать его V(A).
Множество линейных операторов, действующих из D(A) С Е в Е обозначим через L(E), а множество линейных непрерывных операторов через В(Е). В случае, если операторы действуют из одного пространства Е в другое пространство F, будем писать соответственно L(E,F) и B(E,F). Множество компактных операторов на пространстве Е обозначим Во(Е).
Традиционную запись будем использовать для резольвентного множества р(А) и спектра ст(А) оператора .4, который, как обычно, будем делить на точечный — Ра(А), непрерывный — Са(А), остаточный — Ra(A).
Пусть J := [ci,/3] — отрезок вещественной прямой. В дифференциальных уравнениях в банаховых пространствах фигурируют функции, принимающие значения в банаховом пространстве Е. Функция и(-) : J —> Е называется непрерывной в точке t0 Є J, если lim ||«(0-u(*o)|| = 0.
Функция называется непрерывной на ./, если она непрерывна в каждой точке t Є -/; при этом пишут и(-) Є С (J', Е) или просто и Є C{J; Е).
Здесь C(J;E), как обычно, — пространство непрерывных функций, определенных на ./, со значеннями в Е и с нормой ||«||c(./;zr) := піах/.є./ ||м()ІІ
Производной функции «() : J —> Е в точке to Є J называется такой элемент и'(t0) Є Е, что u(t0 + h) - u(t0) - и (к) h-*Q,t0+heJ
Если функция u(-) имеет непрерывную производную u'(t) в каждой точке t Є J, то она называется непрерывно дифференцируемой на J. При этом пишут и(-) Є Cl(J;E). Аналогично определяют множество к - раз непрерывно дифференцируемых функций Ck{J; Е).
Интеграл от функции и(-) : J —> Е со значеннями в банаховом пространстве Е будем понимать в смысле Бохнера (см., например, [16]) и обозначать
IS «W dt.
Первая глава диссертации посвящена общей аппрокспмашюнной схеме. В ней приведены теоремы сходимости, включая случаи банаховых решеток Е. Понятие общей аппрокснмацнонной схемы и видов сходимости на ней восходит к работам [47], [58], [152], [247], [251], [252]. Мы показываем, в частности, что понятие собственной сходимости является фундаментальным при аппроксимации спектра и неограниченного оператора. Так например, в случае, когда Вп —> В компактно, а В — компактный оператор, Анселоне [68] доказал, что ||(В„ - В)Вп\\ -> 0, \\(Вп - В)В\\ -> 0 при п -> со. (0.1)
Заметим, что из компактной сходимости Вп —> В следует собственная сходимость XI — Вп —> XI — В для любого А ф 0. Мы демонстрируем, что в условиях Анселоне (0.1) удается извлечь собственную сходимость операторов и, тем самым, доказать сходимость спектров.
Теорема 1 Предположим,, что В Є В(Е) компактен и Вп —> В. Если \\(Вп — В)Вп\\ —> 0 при п —> со, то для любого ненулевого Л0 Є о~(В) имеем Хо1 — Вп —» XqI — В собственно и, следовательно, справедливы следующие уте ероіедения: (і) для любого Xq Є о~(В) П Л существует последовательность {Л„}, Лп Є а(Вп), п Є IN, такая, что Хп —> Л() при п —> со; (п) если для некоторой последовательности {ЛП},ЛП G cr(Bn), п Є IN, имеем Хп —> Л0 Є Л при п —> со, то До Є сг(В); (Ш) для любого х Є W(Ao,jB) существует последовательность {хп}, хп Є У^(Х0,6;Вп), п Є IN, такая, что хп —> х при п —> со; (iv) существует щ Є i/V, такое, что dimW(\o,5;Bn) = dim W( До, -В) для всех п > щ; (v) любая последовательность {хп},хп Є W(Xq,5; Вп), п Є IN, с \\хп\\[?п = 1 является V-компактной, а любая предельная точка этой последовательности принадлежит W(Xq,B).
Теорема 2 Предположим, что Вп —> В и выполнено \\(Вп - В)Вп\\ -> 0, ||(Вп - В)В\\ -> 0 npw м -> со.
Тогда для любой ненулевой точки Рисса Д0 Є &(В) последовательность XqI — Вп —> XqI — В собственно и, следовательно, справедливы утверждения (і) - (г'-у) теоремы 1.
Теорема 3 Предположгім, что В компактен, Вп —) В, а \\Вп{Вп — В)\\ —у 0. Тогда Х{)1 — Вп —> XqI — В собственно для любого Д0 ф 0 и, следовательно, справедливы утверждения (і) - (iv) теоремы 1.
Эти утверждения означают, что условия Ансслоне достаточны для извлечения собственной сходимости в одном пространстве.
Теорема 4 Предположим, что В компактен,. Вп —> В, а \\В„(Вп — В)\\ —> 0 для некоторого к Є IN. Тогда Х{)1 — Вп —> Х01 — В собственно для любого До ф 0 и, следовательно, справедливы утверждения (i) - (iv) теоремы 1.
Как было показано нами ранее, устойчивость изолированного собственного значения Д0 по Т. Като эквивалентна тому, что Д0 Є А,. (А,. — это множество точек Д Є G таких, что Х1п — Вп —> XI — В собственно). Можно усилить условие Д0 Є Дг, добавив свойство компактности резольвенты. А именно, вводится множество точек компактной сходимости резольвент Асс (см. определение 1.5.2), т.е. это множество Д, для которых (Х1п—Ап)~1 —> (XI—А)~1 компактно. Имеют место следующие результаты:
Теорема 5 Предположим, что Дсс ф 0. Тогда для любого Є As справедлива следующая импликация: \\хп\\еп = 0(1) & ||(Сп-A»)zn|U„ = 0(1) =>> {хп} - V-компактна. (0.2)
Обратно, если для некоторого Є Дс П р(А) справедлива импликация (0.2), то Дсс^0.
Следствие 1 Предположим, что Дсс ф 0. Тогда Асс — Дс П р(А).
При аппроксимации полулинейных задач компактная сходимость резольвент является принципиальной, когда для экспоненциально убывающей С'о-полугруппы ||exp(L4)|| < Me~~<l,t > 0,7 > 0, нужно получить, что аппроксимирующие С'о-полугруппы || exp(L4n)|| < Л/іе~71' при t > 0 и 7 > 7i > О равномерно по п.
Теорема 6 Пусть Дсс ф 0. Тогда Дг = Є .
Этот факт особенно примечателен поскольку большинство работ по по-лунепрерывностн аттракторов полулинейных динамических систем до сих пор оперирует сходящимися спектрами, а не теоремами типа Троттера-Като, см., например, [78]. В силу Д,. = Є аппроксимация спектров линеаризованных уравнений получается как следствие компактной сходимости резольвент. Это же касается и аппроксимации по пространству, когда получают, что асимптотическая динамика полулинейной задачи совпадает с асимптотической динамикой ее дискретного аналога.
Теоремы об аппроксимации спектра существенны также при аппроксимации эволюционных задач с почти периодическими решениями ( см. Определение 10 и Теорему 30).
Во второй главе диссертации определяются семейства мультипликативных возмущений как для С'0-полугрупп, так и для С'о-косинус оператор-функций и изучаются их свойства.
Определение 1 Семейством мультипликативного возмущения {U(t); t > 0} операторов в В(Е) для С'о-полугруппы ехр(-Д) называется семейство операторов, удовлетворяющее соотношению U(t + s) - U(t) = exp(tA)U(s) для t, s > 0 и начальному условию U(0) = 0.
Семейством аддитивного возмущения {V(t); t > 0} операторов в В(Е) для Co-полугруппы ехр(-А) называется семейство операторов, удовлетворяющее соотношению V[t + s)- V(t) = V(s) Gxp{tA) для t, s > 0, и начальному условию V'(0) = 0.
Установлено (см. Теорему 2.3.1), что если семейство мультипликативного возмущения U(-) сильно (равномерно) измеримо на (0,оо), тогда U(-) является сильно (соответственно, равномерно) непрерывным на (0,оо). Если семейство аддитивного возмущения V(-) равномерно измеримо на (0,со), тогда V(-) равномерно непрерывно на (0,оо).
Наконец, поскольку (см. Предложение 2.3.1) семейство мультипликативного возмущения (пли семейство аддитивного возмущения) для С'о-полугруппы ехр(-Л) сильно (равномерно) непрерывно на [0,оо), если оно сильно (соответственно, равномерно) непрерывно в нуле справа, то мы вводим в рассмотрение С'о-семейства мультипликативных и аддитивных возмущений.
Затем изучаются свойства этих семейств и установлен явный вид С'о-семейств возмущений. Доказано
Предложение 1 Пусть [/() есть С^-семейство мультипликативного возмущения и V(-) — С'о-сем,ейство аддитивного возмущения для С\)-полугруппы ехр(-А). Имеют, место следующие свойства : (i) (схр(*.4) - I)U(.s) = (ехрМ) - I)U(t) и V'(.s)(exp(L4) - /) = V{t){exp(sA) - I) для t, s > 0; (ii) функции U(-) и V(-) экспоненциально ограничены; (ііі) ft[X{XI - A)~lU(t)x] = exp{tA)X2U(X)x ft(V(t)X(XI - A)~lx) = X2V{X) exp{tA)x для хЄЕ, \>u,u t> 0; (iv) U(t)x = (A2/ - А) /0< exp(sA)XU(X)x ds = = J* exp(sA)X2U(X)x ds - (exp(tA) - I)XU(X)x для x Є E, > 0; (v) V{t)x = XV{X)(XI-A)J0texp(sA)xds = = A2t>(A) f* exp{sA)x ds - At>(A)(exp(f A) - I)x для x Є E, t > 0. Наконец, d обозначениях UB\{t)x := {A - XI) f exp{sA)Bxds, VB,x(t)x := ['exp{sA)B(A - XI)xds, Jo установлено
Предложение 2 Для любого X > ш, отображение Ф : В —> Ub,x{-) есть биекция из В(Е) на множество С о-семейств мультипликативных возмущений, и отображение Ф : В —> Vb,x{-) есть биекция из В(Е) на множество всех С'о-семейсгпв аддитивных возмущений для ехр(-Л). Кроме того, Ф'ЧЩ-)) = -XU{X) и Ф"1^-)) = -AV'(A).
Далее вводится понятие пнфннптезпмального генератора пары.
Определение 2 Пусть U(-) является С'о-семейством мультипликативных возмущений для ехр(--4). Инфипитезималъный оператор Wy семейства U(-) определяется как \Уцх = 11111/,^0+ ~кх-> с естественной областью определения. Инфипитезималъный оператор Аи пары (схр(-A), U()) определяется как . (exp(l,A) + U(h)-I)x
Ацх := Inn ; , с естественной областью определения. /»-*о+ h
Точно так же, инфинитезимальный оператор Wy Со-семейства аддитивных возмущений V(-) и инфинитезимальный оператор Ау пары (У(-),ехр(-Л)) определяются как г VWx , .. (ехр(Ы) + V(h) - 1)х Wvx := hm \ и Аух := hm -—— —-—— —. л-+о+ h /»->о+ h
Оказывается (см. Теорему 2.3.2), что операторы Wv и Ац замкнуты и могут быть записаны в виде Wu = Л(Л/ - А)Щ\), Аи = .4(1 - \U{\)) + А2ЩА),
Аи = A(l-l-j^ exp(.sA)ds) + і (Л J* exp(sA)ds - (cxp(tA) - I))\U{\), где t Є IR+,Re\ > u.
Инфннитезнмальные операторы Wy и Ay всегда плотно определены и имеют следующие свойства для ReX > и : D{A) С D{WV) и N'V*" = AV'(A)(A/ - А)х для х Є (-4), )(.4) С D{AV) и .4v-.r = (/- АТ>(А)).4л: + A2F(A):r для х Є D(A).
Кроме того, если V(t) равномерно непрерывна по t, тогда Ау замкнут, D{AV) = D(A), и Ay = {I - AV'(A)).4 + A*2V'(A) для больших A.
Аналогичные понятия введены в диссертации для С'о-семепств мультипликативных и аддитивных возмущении F(-) и '() для С'о-косннус оператор-функций. Изучены их основные свойства и установлены соответствующие соотношения. В некоторых моделях естествознания (см., например, [65], [133]) семейства U(-) и V'(-) имеют определенный физический смысл. В популяцнонной модели определяющие семейства, а также U(-) и V(-), наглядно демонстрируют необходимость исследования свойств, изучаемых в разделах 2.5 - 2.6.
А именно, далее рассматриваются такие свойства операторных семейств как почти периодичность, компактность. На самом деле уже изучены также свойства асимптотического поведения С'о-семейств. Однако, применение асимптотического поведения С'о-семейств в вычислительных процессах для динамических систем полулинейных уравнений только дорабатываются и потому мы их здесь не приводим. Во введении перечисляются результаты только для Co-косинус оператор-функций, поскольку зачастую эти формулировки менее очевидны, чем для Co-полугрупп операторов. Для Co-полугрупп утверждения аналогичны и следуют общей философии. Сначала рассмотрим свойство почти периодичности.
В теоремах устойчивости разностных схем для задач с почти периодическими решениями мы по существу воспользуемся свойством (г'г'г) из теорем типа 7.
Теорема 7 Co-косинус оператор-функция С(-,Л) является почти периодической тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия: (г) Co-косинус опер>ат.ор-функция С'(, Л) равномерно ограничена; (и) спектр о'(А) С Ш-; (г'г'г) множество всех линейных комбинаций собственных векторов производящего оператора А плотно в пространстве Е.
Если при этом /г Є о~(А) — изолированная точка спектра, то /г является простым полюсом резольвенты (XI — А)~[ и Е = 7v(/t/ — А)($Лі'(/.іІ — А).
Теорема 8 Задача К огни ( u"(t) = Au(t), t Є [0,оо), \ и[0) = м, w'(0) = и1, и0 Є D{A), и1 ЄЕ\ имеет почти периодическое обобщенное решение для любых и0, и1 Є Е тогда и только тогда, когда выполнены условия (і)-(ііі) Теоремы 7 и ОЄр(А).
Условие периодичности обобщенного решения более ограничительно.
Теорема 9 Функция C(t,A)u + S(t,A)ul является 2тг- периодической при любых -и0,-//.1 Є Е тогда и только тогда, когда выполнены условия (г) Сц-косинус оператор-функция С'(, А) и С^-синус оператор-функция S(-,A) равномерно ограничены; (п) спектр о~(А) является гармоническим подмножеством в Ш- и О Є р(А); (ш) множество всех линейных комбинации собственных векторов производящего оператора А плотно в пространстве Е.
Обратим внимание на тот факт, что условие О Є р(А) является присущим только для Co-косинус оператор функций; для С'о-полугрупп оно не появляется.
Определим аналогично случаю Co-полугрупп Ub,x{') и Vb,\{') функции Fb,x{-) и Gb,\{') по формулам FB,x{t)x := (А2/ - Л) / S(s,A)Bxds, х Е, t > О, GB \{t)x := В{\21 - .4) f Sis, A)x ds, x Є E, t > 0.
Эти функции играют для С'о-коспнус оператор-функций роль функций мультипликативных и аддитивных возмущений.
Теорема 10 Каждое Со-семейство мультипликативного возмущения F(-) для С(-,Л) почти периодично тогда и только тогда, когда С(-,А) почти периодическая и 0 Є р{А). То же самое утверждение справедливо и для Co-семейства аддитивного возмущения.
Теорема 10 дословно переформулируется для периодических семейств F(-). Кроме того показано, что в этом случае, F(-) и С(-,А) имеют одинаковый период.
Свойства компактности определяющих семейств используются в главе 3 при аппроксимации полулинейных уравнений. В то же время свойства компактности имеют и самостоятельный интерес.
Теорема 11 Следующие условия эквивалентны: (і) производящий оператор А Є Bq(E); (и) оператор C(t,A) — І Є B{)(E) для любого t Є Ш; (Ні) оператор S(t,A) — tl Є В{)(Е) для любого t Є Ш; (iv) оператор А2(А2/ — .4)-1 — І Є В$(Е) для каждого А > шс(А).
Показано (см. Предложение 2.6.9), что если семейство мультипликативного возмущения F(-) компактно, то оно непрерывно по норме на Ш+. Кроме того, установлено
Предложение 3 Если Co-косинус оператор-функция С(-,А) на банаховом пространстве Е такова, что каждое из Co-семейств мультипликативного возмущения F(-) (или Co-семейств аддитивного возмущения С(-)) для С(-,А) компактно, тогда Е должно быть конечномерно.
В конце второй главы построена общая теория мультипликативных возмущений Co-полугрупп и С'о-косинус оператор-функций. Мы вновь обозначим здесь утверждения лишь для Со-коспнус оператор-функций, поскольку этот случай несколько богаче на вариации, чем случай С'о-полугрупп. Вводится класс мультипликативных возмущений Mul(A) для оператора А.
Определение 3 Говорят., чт.о оператор 5R Є В{Е) принадлежит классу
Л/1 (Л) мультипликативных возмущений Co-косинус оператор-функции
С(-,А), если оператор В = $1 — I удовлетворяет условию (Л/1): для всех непрерывных функций / Е C([0,t]',E) (Ml,,) fiS(t-s,A)Bf{s)dseD(A), (МП) ||Л JolS(t - s,A)Bf(s)d4 < Л/7в(0||/Н[о.ф где 7в ' [0,оо) —> [0,оо) — некоторая непрерывная неубывающая функция со свойством 7в(0) = 0, и \\f\\[o,i] = sup ||/(s)||.
Теорема 12 Пусть А порождает С(-,А) на Е. Если оператор 3 принадлежит Л/1 (А), то оба оператора АШ. и ША порождают Со-косинус оператор-функции. Кроме т.ого, Co-косинус оператор-функция З'(-), порождаемая оператором ЛИ, удовлетворяет \\$s(t) — C(t,A)\\ = О(7#(0) при -)-0 + .
Пусть (Z, | |) — банахово пространство, удовлетворяющее условию (Z) в соответствии с С(-,А): (Za) пространство Z непрерывно вложено в Е, (Zb) для всех непрерывных функций ф Є С'([0, t]; Z) Ґ S(t-s,A)
Легко проверить, что условие (Z) выполняется для пространств V{A) и класса Фавара (Favc(.,A)i I ' 1^аис(.)Л))- Действительно, если Z = V(A), то условие (Z) удовлетворяется с 7(0 = 0{t'2) при —> 0 + .
Следствие 2 Если Z является банаховым пространством, удовлетворяющим условию (Z), то I + B(E,Z) С Ml (Л), так что для любого В Є B(E,Z) оба оператора А{1 + В) и (I + В)А порождают С^-косинус оператор-функцию.
Определение 4 Будем говорить, что оператор 3 Є В{Е) принадлежит классу М2(А) мультипликативных возмущений оператора „4, если оператор В = Ш. — I удовлетворяет при t —> 0+ условию S„(t) := sup{ Ґ \\BS(s,A)Ax\\d» : x Є D(A), \\x\\ < 1} -> 0. Jo
Как показал Фатторпнп [141], в случае Е = Ьр имеет место неравенство ||AS(*,.4).r|| < 0{t2a-1) при t -» 0 для 1/2 < а < 1 и ж б >((А - d)a). Поэтому ?ft Л/2(.4), например, в случае В = (А — с/)_/? при /3 > 1/2. Аналогично случаю класса Ml (Л) для класса М2(.4) имеет место
Теорема 13 Пусть А является генератором Со-косинус операт.ор-функции С'(-,.4) на Е. Если Ш. принадлежит М2(.4), то оба оператора IRA и Adt порождают С^-косинус оператор-функцию. Более того, ) - C{t,A)\\ = 0(SB[t)) при t -4 0+.
Следующая теорема дает характерпзацню класса Л/1 (.4) в терминах полу-варнацнн F#,a(-). На самом деле, характеі)іпацня определяется поведением полуварпацнн слагаемого A Sq S(s,A)Bds = (C(t,A) — I)B.
Теорема 14 Оператор 3 Є В(Е) принадлежит классу М1(А), т.е. В = 3ft — / удовлетворяет условию (Ml) тогда и только тогда, когда полувариация SV(FBi\(-),t) = о(1) при t —> 0+ для некоторых (и, значит, всех) А > и. Более того, в условии (М1ь) можно положить 7в(0 = SV(FBtX{-),t) в случае SV(FB;\(-),t) = 0(t2), и lB(t) = 0(t2) в случае SV(FB>x(.),t)=.o(t2).
Из теоремы 14 вытекает
Теорема 15 Пусть задана Co-косинус оператор-функция С'(-, .4) на Е. Если Р Є B(V(A),E) таков, что
I' S{t-s,A)Pg{s)dsD{A), (0.4)
IIЛ f S(t - S,A)Pg(s)ds\\ < -yP(t) sup \\g(s)\\V{ (0.5) для всех g Є C([Q,t];V(A)) и для некоторой функции ^р(-) с jp(t) = о(1) при t —> 0-f, то операторы А 4- Р и А + (А — Х1)Р(А — Л/)-1 при А > и порождают С^-косинус оператор-функции.
Определим функцию /J(G'B>A(-M) :=siip{V'ar(Gfl|A(.)*,) : * Є D{A),\\x\\ < ХЬ которая дает характернзашію класса возмущений М2(А).
Теорема 16 Оператор Ш Є В(Е) принадлежит к классу возмущений М2(А), т.е. В = $t — I удовлетворяет условию (Л/2), тогда и только тогда, когда {3(GB}\(-),t) = о(1) при t —> 0+ для некоторого (и, значит, всех) А > и. Кроме того, функции (3(GBi\(-),t) и $в(ї) из условия (А/2) имеют, одинаковый порядок сходимости к нулю, если хотя бы один из них имеет порядок не больший, чем, 0(t2).
Вообще говоря, классы Л/1(A) и М2(А) являются строгими подмножествами множества / 4- В(Е). Каждое из условии iV/1(-4) = /4- В(Е) и M2(A) = I + B(E) эквивалентно тому, что оператор А ограничен. Действительно, если для любого оператора В Є В(Е) оператор (/ + В)А порождает Co-косинус оператор-функцию, то для В = —21 мы получаем, что —А тоже порождает Co-косинус оператор-функцию. Следовательно, оба оператора А и —А порождают аналитические полугруппы, а, значит, А ограничен.
Из приведенных общих теорем о возмущениях легко вытекает следующий результат. Это типичное утверждение в духе Миядеры, но мы даем также оценку ннфннитезимальной разности семейств.
Теорема 17 Пусть А порождает С(-,А) на Е. Если оператор Р удовлетворяет условиям: D(A) С D(P) и Р{\21 - А)'1 Є В(Е) для некоторого А > ш, (0.6)
МО := sup{ \\PS(s,A)x\\ds;x Є D(A), \\x\\ < 1} < 1 для некоторого t > 0, m.o операторы A + P и A + {A — \I)P{A — A/)-1 порождают С'о-косинус оператор-функции. Более того, \\C{t,A + Р)- C(t,A)\\ = O{0P{t)) при t -+ 0+.
Из теоремы 15 можно получить следующую теорему о возмущении М. Watanabe [2G0] (Теорема 2).
Следствие 3 Пусть задана Co-косинус оператор-функция С'(-, А) на Е. ЕслиР Є В{Е\Е), то А+Р и А+(А-Х1)Р(А-\1)-1 (А > и) порождают С о-ко сину с оператор-функцию. Более того, \\C(t,A + P) — C(t,A)\\ = 0{t) при t —> 0+.
Любопытно, что оценка ннфннитезимальной разности \\C(t, A+P)—C{t. А)\\ не была получена М. Watanabe. Кроме того, такая же скорость сходимости к нулю имеет место при наличии условия (ЯС), см. теорему 21. Обратим внимание, что утверждения, касающееся операторов типа А+{А—\1)Р(А— А/)-1 доказаны впервые. Из теоремы 17 тривиально вытекает следствие : при а = оо, — это теорема А в [231] (см. также [229], Следствие 2.1]), а при а < со, — это Следствие 2.2 в [229], которое содержит Теорему 3.2 в [231].
Следствие 4 Пусть задана Co-косинус оператор-функция С(-,А) на Е. Пусть оператор Р удовлетворяет условию (0.6) и
ДА) := sup{ Г e-x*\\PS(s,A)x\\ds; х Є (A),||s|| < 1} < оо (0.7) для некоторого а Є (0, оо] и А > и. Пусть, наконец, Z(oo) := Птд-юо L(X). Тогда для каждого є с \s\ < L(oo)~l, операторы А + еР и A + s(A — XI)P(A — А/)-1 при А > и порождают С^-косинус оператор-функции.
Структура возмущенного производящего оператора, получаемого с помощью Со-семепства аддитивных возмущений и Со-мультнпликатнвных возмущений, устанавливается в следующих теоремах. Эти результаты вытекают из Теорем 14, 1G.
Теорема 18 Если С^-семейство мультипликативных возмущений F{-) для С(-,А) является семейством локально ограниченной полувариации и SV{F{-),t) = о(1) при t -> ()+, то оператор А{ := А{1 - \F{\)) + A:iF(A), А > и, порождает С'о-косииус оператор-функцию.
Теорема 19 Если С'о-семейство аддитивных возмущений G(-) для С(-,А) имеет локально ограниченную сильную вариацию и если P(F(-),t) = о(1) при t -> 0+; то оператор А2 := (/ — AG'(A))A + A3G'(A), А > и, порождает С'о-косинус оператор-функцию.
В диссертации получена исчерпывающая картина структуры возмущенных пнфннптезнмальных операторов Ai и А-2 для случаев, когда ннфнни-тезимальная разность С'о-косннус оператор-функций ||С(^, --4.x) — 0'(f, -4.) [| = 0{t2), t -> 0+, пли \\C{t,A2) ~ C{t,A)\\ = 0{t2), -> 0 + . Выясняется, что оператор А[ = A(I + D) + А2Б порождает С'0-косннус оператор-функцию с ||С(, Ai) - С(, А)\\ — 0(f2), t —> 0+, тогда и только тогда, когда А\ — А* ограниченный оператор из D{A*) в Е*. Для оператора А2 = (/ + В)А + Х2В условие \\C(t, А2) — C(t,A)\\ = 0(t2), t -» 0+, эквивалентно представлению A2 = A + Q, где Q Є B(E).
Основным предположением предыдущих теорем была малость полувариации мультипликативного (аддитивного) С'о-семейства. Однако, можно получить теоремы о возмущениях в предположении ограниченности интегрального оператора (KTf)(t) := A f S(t - 5, A)Bf(s) ds, t Є [0, T] С Ж+, (0.8) в пространстве Lp([0,T]; Е). В случае С'о-полугрупп операторов кроме условия ограниченности интегрального оператора добавляется условие "гиперболичности", которое означает, что ехр(-А) доллша продоллсаться на некоторый интервал [—а,0],а > 0, т.е. фактически быть С'о-группон операторов.
Теорема 20 Предположим, что существуют Т0 > 0, 1 < р\ < +оо и 1 <
Р2 < +со mmzue, что \\Kt\\b{lpi([q,t\-,e),lp-{[u,T\\E)) < - Тогда существуют. L > 0 и а > 0 такие, что для любого Т > 0 выполнено неравенство SV(A't,T) < LenTTl/pi.
Более т.ого, оператор А,п = A(I + Б) порождает Cq-kocuwjc оператор-функцию и \\C{t,A) - C(t,Am)\\ = 0(t1^) при t -+ 0.
Нам удается получить оценку 0(t), вводя дополнительное условие.
Определение 5 Мы говорим, что оператор Кг в (0.8) удовлетворяет условию НС; если существуют константы С'о > 0 и Т0 > 0 такие, что, для любого х Є Е, существует функция hx L([Q,T];E), обладающая свойствами
НС1 И/ьИг-ооЦО.Т];^) < С\\х\\
НС2 Bhx{t) =C(t-T,A)Bx, 0 Заметим, что по крайней мере в двух случаях условие НС выполнено, а именно, : (і) когда В коммутирует с C(t,A), при t Є Ш, можно положить hx(t) = C{t-T,A)x, 0 Теорема 21 Предположим, что условие НС выполнено. Предположим, также, что существуют Го > 0 и pi, p-i Є [1,+оо] такие, что \\^To\\b(lpi([o,t0];E),lp2([o,To};E)) < +00. Тогда Ат = А(1 + В) есть производящий оператор С^-косинус оператор-функции и имеет место оценка \\C(ttA)-C(t,Am)\\=0{t) nput-^0. Подобные теоремы о возмущении позволили доказать, например, что предположение наличия-неравенства коэрцнтнвностн для задачи Кошн с уравнением второго порядка влечет ограниченность оператора .4. Теорема 22 Пусть задача Когии и" (i) = Au{t) + f{t), t Є [0,T], u(0) = и,и'{0) = и\ при каком нибудь І < р < оо коерцитивно разрешима в LP([Q,T]; Е). Тогда А ограничен. Результаты по дискретизации дифференциальных уравнении начинаются со следующей версии теоремы Троттера-Като на общей аппрокснма-ционнон схеме. В работе [248] для доказательства теоремы Троттера-Като на общей аппроксимационной схеме налагались дополнительные условия на пространства Еп и связывающие отображения {рп}- Нам удалось такие ограничения снять. Теорема 23 (Теорема ABC) Следующие условия (А) и (В) эквивалентны условию (С). (А) Согласованность. Существует А Є р{А) П Пп р(Ап) т,акое, что имеет место сходимость резольвент: (Х1п — Ап)~1 —> (XI — А)~1; Устойчивость. Существуют некоторые постоянные М > 1 и и>, не зависящие от п, такие, что || exp(L4n)|| < М exp(uit) при t > 0 и любом п Є IN; Сходимость. Для любого конечного Т > О тах<е[о,т] || exp(tAn)Un — рп exp(tA)u\\ —) О при п —у оо как только ип —) и. В случае аналитических полугрупп этот результат можно переформулировать, вводя сходимость полугрупп на "комплексном компакте временіГ. Теорема 24 Пусть операторы А и Ап порождают аналитические Cq-полугруппы. Следующие условия {А) и (В\) эквивалентны условию (Сі). (А) Согласованность. Существует А Є р(А) П Пп р(Ап) такое, что имеет место сходимость резольвент: (Х1п — Ап)-1 —) (XI — А)~1; (Ві) Устойчивость. Существуют постоянные М2 > 1 и ш2, не зависящие от п, такие, что ||(А/„ - А„Г[\\ < М* ВеХ > и2,п G N; \Л — Ш2\ (С\) Сходимость. Для любого конечного [і > 0 и некоторого 0 < 0 < | max || схр(ї]Ап)ип - рп ехр(7/А)м|| -> О при п —> оо как тюлько и„ —> и0. Здесь 0,(9,^,) = {z Є (#) : \z\ < /*}, w (#) = {.; Є Сформулируем аналог теоремы Троттера-Като для положительных С'о-полугрупп. Дадим сначала некоторые определения. Определение б С'о-полугруппа ехр(-„4), заданная на банаховой структуре Е, называется положительной, если при каждом t Є Ш оператор exp(tA) положителен. Определение 7 Говорят., что линейный оператор A : D(A) С Е -» Е обладает свойством внедиагональной положительности (СВП), если {Аи, ф) > 0 ка7ь тюлько 0 < и Є D{A) и 0 < ф Є Е* с (и, ф) = 0. Замечание 1 Пусть Е = R с естественной покоординатной упорядоченностью и A : md -> md — матрица A = (a;j). Тогда А обладает ЛВС [41] тогда и только тогда, когда a^j > О при г ф j. Кроме того, следующие утверждения эквивалентны: (і) матрица А обладает ЛВС, (и) Co-полугруппа ехр(-.4) положительна. Определение 8 Говорят, что элемент є Є Е+ является порядковой единицей Е, если для любого х Е существует 0 < Л Є Ш такое, что —\е < х < Ле. Для є Є intE+ можно определить норму порядковой единицы как \\х\\е = inf{A > 0 : -Ле <х< Ле}. Полуупорядоченное банахово пространство Е называется пространством с порядковой единицей, если существует элемент є intE+ т.акой, что || || = || ||с. Теорема 25 Пусть операторы А и Ап: порождающие Со-полугруппы соответственно на Е и Е„ согласованы и пусть Е и Еп — полуупорядоченные пространства с порядковыми единицами, а еп D{An) П intE*. Предположим., что операторы Ап обладают свойством, СВП и Апеп < О для достаточно больших п. Тогда cxp(tAn) —> cxp(tA) равномерно по t Є [О, Г]. Не ограничивая общности, молено считать, что условия (А) и (В) для соответствующего полугруппового случая справедливы, если рассматриваются любые процессы дискретизации по времени. Если обозначить через Тп(-) семейство дискретных полугрупп, т.е. Ап = ^-(Тп(тп) — І) Є В(Еп) и Tn(t) = Тп{тп)кп, где кп = [ф-], при тп —> 0, п —У со, то получаем следующее утверждение: Теорема 26 (Теорема ABC — discr) Следующие условия (А) и (В') эквивалентны условию (С). (А) Согласованность. Существует, Л Є р{А) П П„ р(Ап) такое, что имеет место сходимость резольвент: (Х1п — -4rl)_1 —> (XI — А)~1; (В1) Устойчивость. Существуют постоянные Mi > 1 и иі, не зависящие от п, и тп такие, что \\Tn{t)\\ < Miexpiuit) при tem+ = [0,оо),п Є N; (С) Сходимость. Для любого конечного Т > 0 имеем maxte [о,т] ||^n(^)w?j — pnexi>{tA)u0\\ —> 0 при п -> оо, как только ип -» «. Понятно, что если выбрать для дискретизации задачи Копій в Е u'(t) = Au(t), u(0) = w, t Є Ш+, (0.9) полудискретную аппроксимацию в En в виде u'n{t) = Anun{t), м„(0) = un, t Є 2R+, (0.10) а дискретную полугруппу как Тп{тп) = (/„ + гпЛ„), т.е. Tu(t) = [In + тпАп)кп, кп = [t/rn], то мы получаем явную схему. .Если же положить Ап = Ап(1п - тпАи)~1, то Тп{тп) = (/„ + т„Ап) = (/„ + т„Ап{1п - г„Д„)-1) = (/„ - тпАп)~1 и, значит, Tn{t) = (Jn - r„-4n)~fcn,fc„ = [*/r„], т.е. получаем неявную разностную схему. Наконец, положив Ап — Ап(1п — rn.4„/2) , получаем схему Кранка-Николсон Tn(t) = {j^^)[l,Tn]. Теорема 27 [248] Предположим, что выполнены условия (А) и (В) теоремы 23, а также справедливо условие т„||4||=0(1). (0.11) Тогда разностная схема Un{t + тп) - Un(t) = AnUn(t), Un(0) = ul (0.12) устойчива, т.е. \\{1п + г„.4Г1)*п|| < Me^'^t = knrn Є Ш+1 и дает аппроксимацию решения задачи (0.9), т.е. Un(t) = (/„ + тпАп)кпип —> u(t) V-сходит.ся равномерно по t — кптп Є [0,Т] при п —> оо, &„ —> оо, тп —> 0. Понятно, что условие (0.11) не имеет практического интереса для корректно поставленных задач. Тем не менее, для явной разностной схемы в самом общем случае оно позволяет установить устойчивость. Для аналитических Co-полугрупп мы получаем весьма точное условие устойчивости. Теорема 28 Предположим, что выполнены условия (А) и (В\) теоремы 24, а также справедливо условие тп\\Ап\\ Тогда разностная схема (0.12) устойчива и дает аппроксимацию решения задачи (0.9), т.е. Un(t) = (In + тпАп)кпи„ —> u(t) дискретно V-сходятся равномерно по t = knrn Є [0, Г] при u —> uQ, п — со, кп —> со, тп —> 0. Пусть оператор А = А* < 0 определен на гильбертовом пространстве Н, и мы рассмотрим схему Кранка-Николсон. Понятно, что для самосопряженного оператора норма реализуется на спектре 11(^)1 = sup |(i±g)»| < 1, і - тА сєо-(л) 1 - т(> и, значит, имеет место устойчивость при любом т > 0. Первая попытка установить устойчивость схемы Кранка-Николсон в sup-норме была сделана, по-видимому, СИ. Ссрдюковой [52] для конкретной задачи в пространстве С'([0,Т]; C(Q)), но она, к сожалению, не получила развития. Проблема устойчивости диагональных аппроксимаций Падэ в общем банаховом пространстве Е стояла открытой более 40 лет. Теорема 29 Пусть выполнено условие [В]). Тогда существует постоянная С, зависящая от /(), такая, что если рациональная дробь ?() является А(9)-приемлема, точна порядка d и 9 Є (7г/2 — а, 7г/2] для а из условия \\{\1п - Ап)~1\\ < 2 для любогоX Є S(tt/2 + а), А — LJ\ 1Кг„ЛГ1)*|| < СМ2 при тп > ОД- Є IN. (0.14) Подчеркнем, что если свойство аналитичности полугрупп опустить, то теорема 29 не верна. А именно, имеются примеры, когда ||г(гп.Ап)Л|| > с\/к при тп > 0, к Є IN и Ап, порождающих Co-полугруппы. Отметим, что устойчивость в произвольном банаховом пространстве Еп схемы Кранка-Николсон В,\,і{тпАп)к на самом деле есть ни что иное, как устойчивость схемы порожденной преобразованием Кели. Этот факт в теории управления играет решающую роль, когда рассматривается вопрос стабилизации дискретных систем. Он послужил импульсом для доказательства стабилизации в гильбертовом пространстве при условии, что оба оператора Ап и А~1 порождают ограниченные С'о-полугруппы ( аналитичность не требуется ). Однако, в преобразовании Кели отсутствует шаг дискретизации по времени и это упрощает конструкции доказательств в теории управления. Отметим также работы [145], [146], где точное решение задачи Кошн (0.9) строится как u[t) = e-^S0(-l)fc40)(270(2/7,A + У7,*+і), где Lf.' (27О — полиномы Лагерра, а у^ = 2jzjy~r,k-u т-е- связаны преобразованием Кели. Теорема 29 позволяет подняться с этими результатами до уровня общего банахова пространства. Рассмотрим также разностную схему и»{ктп + тп) - Un{krn - т„) = 2rnAUn{kTn), (0.15) Un{Q) = u, Un(rn) = (/„ + тпАп)ип. Определение 9 Разностная схема называется абсолютно устойчивой, если существует константа с, не зависящая от п, и такая, что \\Un(kTn)\\ Разностная схема называется экспоненциально устойчивой, если существуют константы с, и, не зависящие от п, и такие, что \\Un(kTn)\\ Определение 10 Будем говорить, что выполняется условие почти периодической аппроксимации, если (г) Сц-полугруппы ехр(-Л),ехр(-Лп) являются почти периодическими и удовлетворяются условия (А), (В); (и) если х Є j\f(fil — А) и f.t Є Ро-(А), то существт/ют последовательности {хп} и {fJ.n}: хп Є Л/'(///„ — Ап), f-in Є Ро-(Ап) такие, что -> X, fln -) Ц. Теорема 30 Пусть выполняется условие почти периодической аппроксимации для задач (0.9),(0.10) в гильбертовых пространствах Н,Нп. Тогда существуют обратимые, положительные, самосопряженные операторы Q и Qn и такие, что операторы L = —iQAQ~l и Ln = —iQnAnQ~{ также салю сопряженные. Если разностная схема (0.15) абсолютно устойчива, то Т,г\\Ьп\\ < 1. , если r„||I„|| При дискретизации положительных Co-полугрупп также можно получить условие устойчивости. Теорема 31 Пусть в условиях ТеоремыТЬ дополнительно пространства Еп конечномерны, Ап — матрицы и для схемы (0.12) выполняется условие гп||.4п|| < 1. Тогда Un{t) -> exp(L4) равномерно по t Є [0,Т] для любого конечного числа Т > 0 и, более того, операторы Un(t) положительны при любом t Є Ш+ и Co-полугруппа ехр(-.4) положительна. Итак, в случае аналитических С'о-полугрупп для явной схемы, как мы показали, имеем следующее условие устойчивости: гп||Лп|| < 1/(М + 2), которое неулучшаемо даже для самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах. В случае почти периодических С'о-полугрупп и явной схемы для дифференциальных уравнений первого порядка по времени (0.15), получается необходимое и достаточное условие устойчивости 7"п|Ип|| < 1. Условие устойчивости явной схемы типа (0.12) для положительных Co-полугрупп может быть также записано в виде гп||Лп|| < 1. Завершая раздел 3.4, мы наметим таюке, каким образом можно получить выполнение условия mdu (-) = 1 в случае положительных С о-полугрупп, пользуясь понятием порядковой устойчивости. Схема рассуждений для доказательства сходимости в случае положительных Co-полугрупп остается прежней и мы её не обсуждаем. В качестве примера применения теорем 6, 42, 45 отметим, например, задачу аппроксимации аттрактора полулинейного уравнения параболического типа. А именно, в случае градиентной динамической системы с гиперболическими стационарными точками из компактной сходимости резольвент, во-первых, вытекает устойчивая по Като аппроксимация спектра линеаризованной задачи, т.е. совпадение размерности операторов, порождающих неустойчивые многообразия, а во-вторых, мы получаем сходимость решений аппроксимирующих полулинейных задач к решению исходной полулинейной задачи, опираясь на совпадения вращения векторных полей при компактной аппроксимации. Этой информации оказывается достаточно, чтобы доказать аппроксимацию аттракторов. В заключении сформулируем основные результаты работы: Разработана новая концепция аппроксимации эволюционных уравнений на основе теории определяющих семейств операторов и общей дискретиза-цнонной схемы в общих банаховых пространствах. Этот подход открыл возможность привлечь аппарат теории определяющих семейств к решению практически важных задач аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных, задач управления, некорректных задач, полулинейных задач в общих банаховых пространствах и аппроксимации аттракторов. Опираясь на свойства, вытекающие из аналитичности исходной полугруппы операторов (это абстрактная формализация свойства параболичности), установлена устойчивость метода дискретизации, базирующегося на диагональных аппроксимациях, порожденных дробями Падэ. В частности, была решена проблема, стоявшая открытой более 40 лет, т.е. было показано, что схема Кранка-Николсон устойчива в произвольном банаховом пространстве для параболических задач. Построена общая теория мультипликативных возмущений генераторов определяющих семейств операторов. Кроме того, установлены оценки нн-финитезимальных разностей определяющих семейств и исследовано порождение определяющих семейств в некоммутативном случае сомножителей. В случае С о-полугрупп операторов доказаны теоремы аппроксимации возмущенных Со-полугрупп. Рассмотрено обоснование метода квазиобращения на уровне локальных С -полугрупп операторов. Разработана теория аппроксимации локальных С-полугрупп, являющихся регуляризаторами исходной задачи. Установлены теоремы сходимости при аппроксимации дифференциальных уравнений, регуляризнрующнх обратную задачу теплопроводности. На основе принципа компактной аппроксимации разработана концепция аппроксимации на общей днскретизацнонной схеме полулинейных задач Кошн и задач с периодическими решениями, используя теорию вращения векторных полей. Получены теоремы сходимости полудискретной и полной дискретизации для полулинейных уравнений первого порядка по времени. Аналогичные результаты получены для уравнений второго порядка вида u"{t)=Au{t) + f(t,u{t)). Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах МГУ (руководители акад. В.А. Садовничий "Обратные задачи математической физики и анализа", акад. А.А. Самарский "Научно-исследовательский семинар кафедры вычислительных методов", акад. Н.С. Бахвалов "Семинар кафедры вычислительной математики", а также проф. В.А. Морозов "Семинар лаборатории вычислительных методов" ), на семинаре в Институте Вычислительной Математики АН РАН, в Воронежских Зимних Математических школах, University of Essen ( Essen, Germany), University of Tubingen ( Tubingen, Germany), Waseda University (Tokyo, Japan), University of Los-Angeles (UCLA, USA), University of South Florida (Tampa, USA), Stockholm University ( Stockholm, Sweden), Brunei University (London, UK), Ohio University (Athens, USA), Institute of Analysis (Dresden, Germany), Technical University of Delft (Holland), Center for Mathematics and Computer Science (Amsterdam, Holland), University of Antwerpen (Belgium), University of Valladolid ( Valladolid, Spain), University of Poitiers ( Poitiers, France), University of Valencia (Valencia, Spain), University de Franche-Comte (Besan-con, France), University Claude Bernard Lyon 1 (France), Osaka University (Osaka, Japan), Stefan Banach International Mathematical Center (Warsaw, Poland), Jean Monnet University ( St-Etienne, France), Universite des Sciences et Technologies de Lille ( Lille, France), Universitat Innsbruck (Innsbruck, Austria), Universitat Augsburg (Augsburg, Germany), University of Valenciennes ( Valenciennes, France), University of Tokyo (Tokyo, Japan), Normal University of Taipei (Taipei, Taiwan), School of Mathematics, University of New South Wales (Sydney, Australia ), School of Mathematics and Statistics, The University of Sydney (Sydney, Austarlia ), School of Mathematical Sciences, Australian National University (Canberra, Australia), University of Karlsruhe (Karlsruhe, Germany), University of Augsburg (Augsburg, Germany), Johann Wolfgang Goethe University (Frankfurt, Germany), University of Hannover (Hannover, Germany), National Central University (Chung-Li City, Taiwan), National Chung-Hsing University (Taichung City, Taiwan), University of Sao Paulo (Sao Carlos, Brazil). Рассмотрим теперь важный класс операторов, имеющих компактную резольвенту. Это свойство будет использоваться как предположение относительно генератора в разделе 3.4. В этом случае естественно рассматривать аппроксимирующие операторы, сохраняющие это свойство. Определение 1.5.1 Последовательность операторов {Вп}, Вп Є В(Еп), п Є IN, компактно сходится к оператору В В(Е), если Вп - В и выполнено следующее условие компактности: \\ХП\\ЕП = 0(1) =Ф- {Впхп} — V-компактна. Определение 1.5.2 Область компактной сходимости резольвент Дсс = Асс(Ап, А), где Лп Є С(Еп) и А Є С(Е), определяется как множество всех А Є Дс П р(А) таких, что (Х1П — Ап) 1 — (XI — А)-1 компактно. Обратно, если для некоторого ( Є ДСП р(А) справедлива импликация (1.4), то Асс ф 0. Доказательство. Пусть (pln — Ап) 1 — (pi — A) l компактно для некоторого р Є Асс. Тогда при \\хп\\Еп = 0(1) и \\((Іп - Ап)хп\\Еп = 0(1), из тождества Гильберта (С/„ - An)-1 - (ріп - Ап)-1 = (р- C)(C/n - An)-\pln - An)-\ (1.5) получаем, что xn = (pln - An) l{QIn - An)xn - (C - / )(M» - An) lxn, a значит {xn} -компактна. Обратно, пусть выполнена импликация (1.4) для некоторого Со Є Ас П р(А). Покажем, что (0 Є Асс. Беря ограниченную последовательность {уп}, п Є IN, получаем, что последовательность (СоЛ» — АП) 1УП\\ЕП = 0(1) при п Є IN. Применим импликацию (1.4) к последовательности хп = (Со п — Ап) 1уп- Легко видеть, что {хп} 7 -компактна. Следовательно, ("о Є Асс. Понятно, что импликация (1.4) удобна для извлечения условия Дсс ф 0, используя неравенство типа АппІ2(Пл) сжп//і(Пд) для эллиптических операторов. Следствие 1.5.1 Предположим, что Асс ф 0. Тогда Дсс = Ас П р(А). Доказательство. Ясно, что Дсс С АсПр(А). Чтобы доказать, что Асс Э АсПр(А), рассмотрим тождество Гильберта (1.5). Пусть теперь р Є Асс. Тогда р Є Дсс П Дс Г) р(А). Следовательно, для любого Є Дс П /э(А) и для любой ограниченной последовательности {жп}, гг G IN, последовательность {((In — An) lXn) является "Р-компактной. Доказательство. Возьмем любую точку Аі Є Є. Требуется доказать, что (Ai/n — Лтг,\\1 — А) собственно согласованы. Предположим, что .„І„ = 0(1), a {(Ai7n — An)xn} -компактна. Для того, чтобы показать, что {хп} "Р-компактна, возьмем \х Є Асс- Применяя (/л1п — Ап) 1, получаем (ц1п — An) l(XiIn-An)xn = (Лі- ц)(р1п- An)-lxn+xn. Отсюда следует, что {хп} Р-компактна. Предположим теперь, что хп — х и (Ai/n — Ап) ххп - т/, при п - со в W С 2ZV. Тогда (ц1п - АП) 1(Л1/П - Ап)хп - (у.1 - A) ly = (Хі - р)(цІ - A) lx + х, откуда х Є D(A) и (Лі/ - А)ж = у. Условие Асс ф 0, как мы видим, весьма сильное, оно обеспечивает собственную согласованность операторов и, тем самым, дает полную картину аппроксимации спектра. Естественно возникает вопрос не следует ли из Асс ф 0, скажем, условие [В\) или (В) на стр. 164, если оператор .4 порождает С о-полугруппу. В общем случае ответ на этот вопрос отрицателен. Тогда A l — Л-1 компактно, скажем, при a . = &2, мо условие (В) не выполняется поскольку а(Ап) Э ап и ап — +со при п -4 со. Прежде чем заниматься аппроксимацией семейств операторов необходимо сначала изучить качественные свойства этих семейств. Понятно, что свойства гладкости, компактности, почти-периодичности и т.д. могут быть использованы в численном анализе. Мы отводим большую часть этой главы для изложения таких свойств. Кроме того, в настоящей главе построена общая теория возмущений С о-полугрупп операторов и С о-коспнус оператор функций. Полученные результаты покрывают все известные теоремы о возмущениях определяющих семейств. Этот подход легко обобщается на С -семейства, проинтегрированные полугруппы и КОФ. Мы начинаем с определения корректной постановки задачи Коши в банаховом пространстве. Это понятие корректности связано с условием существования С о-полугруппы и Co-косинус оператор-функции, выступающих в качестве определяющих семейств операторов задачи Коши. Как отмечалось, если полугруппа ехр(-Д) почти периодическая, то exp(tA) - бнекцня для каждого t 0, и она продолжается в С 0-группу exp(tA) = ехр(—tA) l для t 0. Таким образом, получаем, что ехр(-Л) является почти периодический С о-группой. В этом случае молено продолжить С о-семейство U(-) ( соответственно С о-семейство V(-)) с [0,оо) на всю ось Ш так, что для Л и и t Є Ш Теорема 2.5.2 Каждое Co-семейство мультипликативных возмущений U(-) для ехр(-А) является почти периодическим, тогда и только тогда, когда ехр(-Л) почти периодическая и 0 Є р{А). То оке самое утверждение справедливо для СQ-семейств а аддитивного возмущения V(-). Доказательство. Пусть ехр(-А) является почти периодической. Тогда из условия О Є р(А) вытекает, что оператор-функция является также почти периодической, и из предложения 2.3.3 (iv) следует почти периодичность /() Наоборот, если каждое С о-семейство мультипликативных возмущений U(-) для ехр(-А) почти периодическое, тогда два частных Со-семейства мультипликативных возмущений {ехр(А) — 7, t 0} н {/Q exp(sA) ds, t 0} являются почти периодическими. Если х Є yV(A), тогда х = exp(sA)x — J0S exp((A)Axd( = exp(sA)x для всех s 0 и x = t l J0l exp(sA)x ds - 0 при t — со, потому что любая почти периодическая функция ограничена. Следовательно, А — инъективен. Поскольку почти периодическая функция эргодична (см., например, [67], с. 21), то предел j JQ f0s ехр(тА)х dr ds существует при t - оо для каждого х Є Е. Так как ехр(-А) равномерно ограничена, то из [230] следует, что 7Z(A) = X. Поэтому 0 Є р{А). Из предыдущей теоремы можно легко вывести следующую теорему. Теорема 2.5.3 Каждое Co-семейство мультипликативных возмущений U(-) для С о-полугруппы ехр(-А) является периодическим, если и только если ехр(-Л) периодическая и 0 Є р(А). В этом случае U(-) и ехр(-Л) имеют один и тот же период. То же самое утверждение справедливо для Co-семейства V(-). Определение 2.5.4 С о-косинус оператор-функция или С о-синус оператор-функция называются почти периодическими (п.п.) или равномерно п.п., если при любом х Є Е функции С( ,А)х или S(-,A)x являются п.п. (равномерно п.п.). Аналогично типу С о-полугруппы для КОФ определяют тип UJC(A) как инфимум всех CJ, что удовлетворяют оценке С (, А) Mch(ut),t 0. Теорема 2.5.4 CQ-KOCUHIJC оператор-функция С(-,А) является почти периодической тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия: (г) CQ-KOCUHIJC оператор-функция С (, А) равномерно ограничена; (и) спектр о-(А) С Ш-,; {иг) множество всех линейных комбинации собственных векторов производящего оператора А плотно в пространстве Е. Если при этом \х Є сг(А) — изолированная точка спектра, то f.i является простым полюсом резольвенты (XI — А) 1 и Е = lZ(p,I — А)фЛ/"(/ 1 — А). Доказательство. Достаточность. Для произвольных х Є Е и є О существуют собственные векторы Хі,Х2,...,хп такие, что \\х-Щ=1акхк\\ є/М. При этом, в силу C(t,A)xj = ch(i\jt)xj, Таким образом, для любого х Є Е функция C(t,A)x есть равномерный предел на Ш непрерывных п.п. функции и поэтому является п.п. функцией. Необходимость. Почти периодическая функция ограничена, поэтому по принципу равномерной ограниченности, из ограниченности функции C(t,A)x,x Є Е, находим supf 0 \\C(t, А)\\ со. Значит, шс(А) = 0 н поэтому спектр сг(А) лежит на Ш_. Определим теперь Известно [140], что J\f(X2I -\- А) = {Ш(Х;х) : х Є Е.} Покажем, что множество линейных комбинаций собственных векторов оператора А плотно в Е. Для этого от противного предположим, что для некоторого х Є Е , х ф 0, имеем (я, х ) = 0 для всех х Є . В силу того, что ЯЛ С -С пли Ш = 0 мы получаем (х,х ) — 0 для всех х ЭДТ. Но это означает, что сд = 0 для и поэтому (С(, A)x,# ) = 0, і Є Ш, в силу единственности коэффициентов. Пололшв t = О, получаем (#,# ) = 0. Так как х пробегает все Е, то х = 0, что противоречит нашему выбору элемента х . Теорема 2.5.5 Задача Коши (2.7) имеет п.п. обобщенное решение для любых и0] и1 Є Е тогда и только тогда, когда выполнены условия (і) —(иг) Теоремы 2.5.4 и 0 Є р(А). Доказательство. Достаточность. Воспользуемся следующим результатом [32], стр. 93: пусть /() : Ш — Е является п.п. функцией и ее спектр Фурье \гп\ а 0. Тогда функция F(t) = /Q f(s)ds почти периодична. Так как 0 Є р(Л), то Р(—А2) = 0 для любого Л є с достаточно малым є. Отсюда в силу п.п. C(t,A)x устанавливаем п.п. S(t,A)x. Остается заметить что обобщенное решение задачи Коши (2.7) дается по формуле u(t) = C(t,A)u +S{t, A)ul. Таким образом, нам нужно практически проверять только условие {Ml ). (И) Если условие (Ml) выполняется с 7в(0 = ( 2) то { ) = С (-,.4) (см. [316] Следствие 3.6J, и, значит, А{1 + В) = А, т.е. АВ = 0. Обратно, последнее условие влечет С(-,А)В = В и AJQ S(t — s,A)Bf(s)ds = О для всех f Є C([0,t],X). Таким образом, (Ml) выполняется с 7я(0 = (t2) тогда и только тогда, когда АВ = О, и в этом случае условие (Мі) на самом деле выполняется с 7в(") — О Пусть (Z, ) — банахово пространство удовлетворяющее условию (Z) в соответствии с С (-,Л): (Za) пространство Z непрерывно вложено в Е, (Zb) для всех непрерывных функций ф Є С ([0, t], Z) где 7(-) : [0,oo) — [0, со) — непрерывная неубывающая функция со свойством 7(0) = 0. Легко проверить что условие (Z) выполняется для пространств D(A) и класса Фавара (Favc(.,A), \favC{.A))- Действительно, если Z = Т (А), то условие (Z) удовлетворяется с y(t) = 0(t2) при t - 0 + . Следствие 2.8.1 Если Z является банаховым пространством., удовлетворяющим условию (Z), то I + B(E,Z) С М1(Л), так что для любого В Є B(E,Z) оба оператора А{1 + В) и (I + В)А порождают С о-косинус оператор-функцию. 133 Определение 2.8.2 Будем говорить, что оператор 5 Є В(Е) принадлежит классу М2(А) мультипликативных возмущений оператора А, если оператор В = $, — I удовлетворяет условию SB(t) :=sup{f \\BS(s,A)Ax\\ds : х Є D{A), \\x\\ 1} -» 0 (2.46) J U при t — 0 + . Замечание 2.8.3 Как показал Фатторини [138], в случае Е = Ьр имеет место неравенство \\AS(t,A)x\\ 0(t2a 1) при t — 0 для 1/2 а \.и х Є D((A — cl)a). Поэтому 5ft Є М2(А), например, в случае В = (А — сІ) при (3 1/2. Теорема 2.8.3 Пусть А является генератором С о-косинус оператор-функции С(-,А) на Е. Если оператор 3ft принадлежит М2(А), то оба оператора 1R.A и A R. порождают С о-косинус оператор-функцию. Более того, С о-косинус оператор-функция С\(-), порожденная оператором 3Л, удовлетворяет \\C\(t) — C{t, А)\\ = 0(8 s(t)) при t —» 0+. Доказательство. Выберем такое т 0, что 8в(т) 1/2. Для заданной сильно непрерывной функции W(-) : [0, г] — В(Е) определим для любого х Є D(A) (TW)(t)x = C(t,A)x + [ W{s)BS{t - s,A)Axds, 0 t r. (2.47) Jo Ясно, что (TW)(t)x линейно зависит от х из D(A) и непрерывно зависит от t в [0, г]. Поскольку \\(ТЩ(Ь)х\\ \\C(t,A)x\\ + f \\W(s)\\\\BS(t-s,A)Ax\\ds Jo C(M) + sup{W(s) :0 s r} f\\BS(t-s,A)Ax\\ds Jo (\\C(t,A)\\ +sup{W(.5) : 0 з r}5B(t))\\xl для любого t Є [0,г], то оператор (TYJ)(t) может быть расширен по непрерывности до непрерывного линейного оператора на Е, и расширенная 134 оператор-функция (TW)(-) является сильно непрерывной на [0, г]. Следовательно, оператор Г отображает пространство С([0, г]; BS(E)) в себя, где В3(Е) обозначает пространство всех ограниченных операторов на Е с сильной операторной топологией. Поскольку С([0,т];В3(Е)) — банахово пространство с нормой ЦУУЦоо = sup{W() : 0 t г}, и поскольку (TWi - TW2)(t)x\\ f Wi(в) - W2(s) \\BS(t - s,A)Ax\\ds Wi - ПУІоо M W! - W2ooM/2 для всех x Є Elite [0, г], так что Г Уі - Г У2оо Ж - W2U то существует единственное W(-) С([0,т];В3(Е)), удовлетворяющее \V(t)x = C(t,A)x + $W(s)BS(t - s,A)Axds, x Є D(A), 0 t т. Далее, мы расширим VV(-) на [0,со), полагая C\(t) = W() для t Є [0,г] и C\(t) := -Ci(2nr - t) + 2С\(пт)С\{і - пт) для пт t (п + 1)г, п 1. Для того, чтобы доказать по индукции, что d{t)x = C{t,A)x+ [ Ci{s)BS(t - s, A)Axels, х Є D{A), (2.48) Jo t имеет место для всех t 0, мы предположим, что (2.48) верно для 0 t пт. Тогда для пт t (п + 1)т и х Є D(A) мы имеем Сі {t)x = -C i (2nr - t)x + 2d (nr)Ci (t - пт)х = Лпг= -C(2nr - t, A)x - / Ci(s)S(2nr - - s, A) Acds-H Уо +2Ci(nr)C(i-nr,A)a; + 2Ci(nr) / C\{s)BS(t - пт - s,A)Axds = Jo = -С(2пт - t,A)x - f ПТ Ci{s)BS(2nr - t - s,A)Axds+ Jo +2(C(nr, A) + Г C\{s)BS(nT - 5, A)Ads)C( - nr, A) -} +2Ci(nr) Ґ ПГC\{s)BS{t - пт - s,A)Axds = Jo = C{t,A)x - f ПТ Ci(s)BS(2nr - t - s,A)Axds+ Jo 135 + Г d(s)B[S(t - s,A) - S(t - 2пт + s,A)} Axds+ rt—nr + / 2Ci(nr)Ci(s)BS(t -пт-s, A)Axds. Jo После замены переменных : 2пт — s = rj и пт + s == мы получаем d{t)x = C{t,A)x- [ d(2nr - i])BS(t - n,A)Axdn J2TIT ft rrir .. + / 2Ci{riT)Cl(Z-nT)BS{t,A)AxdZ+ I d(s)BS{t - s,A) Axds Jnr JO + / C\{2nr-r])BS(t-r],A)Axdrj Jlnr = C(t,A)x+ f d(s)BS(t-s,A)Axds. Jo Поскольку, в силу определения, Ci(-) удовлетворяет C\(t) = —С\(2пт — t) + 2Ci(nr)C\(t — пт) для пт t (п + 1)г, то молено показать, что IICiMII M .t 0, with А/і = sup{C i(s) : 0 s т} и и{ = г"1 In Mi. Теперь молено взять преобразование Лапласа в (2.48) и получить, что для всех больших Л и х Є Е С\(Х)х = А(А2/ - А)-[х + С\{\)В{\21 - А) 1 Ах, и, следовательно, С і(А)(/ - ВА(\21 - А) 1)х = Л(Л2/ - А) 1х для всех х Є Е, что влечет С\(\)(\2І— {I + В)А)у = у для всех у Є D{A). Если мы сумеем показать, что А2/ — (/ + В)А обратим для некоторого Л, то C i(A) = Л(Л2/— (I + В)А) 1 и, значит, С\(-) является С о-косинус оператор-функцией с производящим оператором (/ + В)A = iRA. Для этого рассмотрим функцию Q(t)x := /J BS(s, A)Axds, х Є D(A). Как и ранее Q(t) может быть расширена до функции непрерывных операторов на Е и IIQWII 7в(0 " 0 при і - 0+. Мы имеем AQ(A) = (Л2/- )-1!! -» ОАппроксимация спектра линейных операторов
Измеримость и непрерывность семейств F(-) и G'(-)
Теорема о полудискретной аппроксимации
Аппроксимация управляющего элемента
Похожие диссертации на Аппроксимация дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
