Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Регуляризация линейных операторных уравнений с В-симметричным и >-положительным оператором 17
1.1. Постановка задачи 18
1.2. Метод регуляризации 21
1.3. Дискретная аппроксимация регуляризующего алгоритма 31
1.4. Численное моделирование 44
Глава 2. Итерационный метод решения линейных операторных уравнений в банаховых пространствах 47
2.1. Постановка задачи 48
2.2. Дуальные отображения, дистанция Брэгмана 50
2.3. Сходимость итерационного процесса с точными данными 57
2.4. Итерационный алгоритм с асимптотически уточняемыми данными и принцип невязки 66
2.5. Численное моделирование 74
Глава 3. Многошаговый итерационный метод решения линейных операторных уравнений в банаховых пространствах 78
3.1. Постановка задачи 79
3.2. Проекция Брэгмана и её свойства 81
3.3. Сходимость многошагового итерационного процесса с точными данными 87
Список литературы 92
- Дискретная аппроксимация регуляризующего алгоритма
- Дуальные отображения, дистанция Брэгмана
- Итерационный алгоритм с асимптотически уточняемыми данными и принцип невязки
- Сходимость многошагового итерационного процесса с точными данными
Введение к работе
Актуальность темы. Понятие корректности задачи математической физики было введено французским математиком Ж.Адамаром в начале XX века. Им было высказано мнение о том, что корректная постановка является обязательным условием, которому должна удовлетворять всякая математическая модель, описывающая физическую реальность. Эта точка зрения не подвергалась сомнению в течение многих лет. Корректные модели хороши тем, что классическая вычислительная математика позволяет решать задачи традиционными методами.
Однако часто имеющаяся у исследователя информация позволяет построить лишь такую математическую модель, для которой нет теорем существования решения в естественных функциональных пространствах и, самое главное, нет устойчивости решения по входным данным задачи. Для такой модели нельзя получить регулярные вычислительные алгоритмы с помощью традиционных методов.
В 1943 году появилась работа А.Н.Тихонова1, в которой впервые была указана практическая важность неустойчивых по входным данным (некорректно поставленных) задач и принципиальная возможность их успешного решения в условиях принадлежности точного решения компактному множеству. В середине 50-х годов и, особенно интенсивно, в начале 60-х годов прошлого столетия началось систематическое изучение некорректных задач. Образовалось новое направление, лежащее на стыке функционального анализа и вычислительной математики, которое затем оформилось в самостоятельную область науки. Основопологающие подходы для теории некорректных задач связаны с именами А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова. Большой вклад в развитие этой теории и её приложений внесли их ученики и
1 Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39, № 4. С. 195-198.
последователи: А.Л. Агеев, А.Б. Бакушинский, В.В. Васин, В.А. Гончарский, СИ. Кабанихин, М.Ю. Кокурин, А.И. Короткий, А.С. Леонов, В.И. Максимов, И.В. Мельникова, Л.Д. Менихес, В.А. Морозов, В.Г. Романов, И.П. Рязанцева, В.П. Танана, Г.В. Хромова, А.Г. Ягола.
Начиная с 60-х годов прошлого столетия теория некорректных задач в банаховых и даже топологических пространствах развивается параллельно с исследованиями в гильбертовых пространствах, хотя и не имеет, естественно, к настоящему времени такой степени завершенности, как в гильбертовых. Уже в первых работах В.К. Иванова и его учеников (см. [4] и др.) вариационные методы (методы квазирешений, невязки и Тихонова) рассматривались в пространстве С[а, Ь], в нормированных Е—пространствах и более общих пространствах Ефимова-Стечкина, которые по геометрическим свойствам близки к гильбертовым.
Большой цикл исследований для операторных уравнений и вариационных неравенств в банаховых пространствах с операторами монотонного типа, посвященный методам регуляризации и итерационным процессам был выполнен в работах Я.И. Альбера и И.П. Рязанцевой. Эти исследования в основном были направлены на получение наиболее общих (с точки зрения условий на операторы и пространства) теорем существования и сходимости приближенных решений.
В последнее десятилетие в области некорректно поставленных задач появились публикации, посвященные прикладным задачам, в которых привлекаются нормированные (негильбертовы) пространства, что позволяет более адекватно описать постановку задачи и получить более качественное решение: Е. Resmerita, F. Schopfer, Т. Schuster, А.К. Louis. В частности, весьма востребованными оказались пространства Лебега и Соболева (lp: Lpj Wp).
Альтернативой вариационным методам регуляризации Тихонова, Иванова являются итерационные методы типа Ландвебера, простой итерации, наи-
скорейшего спуска, сопряженных градиентов и др. В последние несколько лет появились исследования, обобщающие такие итерационные процессы на случай банаховых пространств. Здесь прежде всего стоит отметить работы F. Schopfer, Т. Schuster, А.К. Louis [10, 11, 12] и В. Kaltenbacher [8], а также K.S. Kazimierski, в которых рассматриваются методы решения линейных операторных уравнений с непрерывным оператором.
В данной диссертационной работе изучаются линейные некорректные задачи — операторные уравнения первого рода с >-симметричным и >-поло-жительным оператором — в банаховых пространствах и методы их решения путем вариационной и итерационной регуляризации. Операторы, удовлетворяющие условиям ^-симметричности и >-положительности или схожим к ним, изучались ранее в той или иной трактовке в работах К.О. Фридрихса, М.Ш. Бирмана, В.М. Шалова [7], Л.А. Калякина [5] и других авторов. В целом такой подход позволяет обобщить традиционый метод (когда в качестве оператора В используется сам исходный оператор задачи) построения эквивалентной задачи в самосопряженной и положительно полуопределенной форме, которая обладает рядом замечательных свойств, открывающих дорогу к хорошо исследованным методам решения. Несмотря на то, что имеются отдельные примеры построения таких нетривиальных (т.е. отличных от исходного и от нулевого) операторов, которые приведены в данной диссертации, в общем случае вопрос о возможности детерминированным способом построить оператор В остается открытым.
Цель диссертационной работы состоит в том, чтобы для линейного операторного уравнения в банаховых пространствах с >-симметричным и >-положительным оператором строго обосновать как метод регуляризации вместе с его дискретной аппроксимацией, так и итерационные методы решения: одношаговый и многошаговый. Предметом исследования является также разработка и обоснование всех этапов вычислительных алгоритмов и
проведение модельных экспериментов.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и позволяют обобщить и дополнить работы отечественных и зарубежных авторов по данной проблематике. Все утверждения, формулируемые в работе, сопровождаются строгими математическими доказательствами.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет определенную теоретическую и практическую значимость. В работе построены модификации известных методов решения некорректно поставленных задач для линейных задач с >-симметричным и >-положительным оператором и исследована их сходимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы при решении задач, возникающих при математическом моделировании процессов в различных областях естествознания в рамках рассматриваемого подхода.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
5-й Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"(Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 года);
40-й Всероссийской молодежной школ е-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 26-30 января 2009 года);
I Молодежной международной научной школе-конференции "Теория и
численные методы решения обратных и некорректных задач"(Новосибирск,
10-20 августа 2009 года);
41-й Всероссийской молодежной школ е-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 1-5 февраля 2010 года);
II Молодежной международной научной школе-конференции "Теория и
численные методы решения обратных и некорректных задач"(Новосибирск,
21-29 сентября 2010 года);
42-й Всероссийской молодежной школ е-конференции "Современные про-
блемы математики"(Екатеринбург, 30 января - 6 февраля 2011 года);
6-й Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"(Екатеринбург, 31 октября - 5 ноября 2011 года);
43-й всероссийской молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики"(Екатеринбург, 29 января - 5 февраля 2012 года).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них 3 статьи — в рецензируемых журналах (работы [14-16] из списка литературы), 7 тезисов докладов — в трудах конференций.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором, за исключением вспомогательных результатов, используемых в доказательствах, которые приводятся в тексте диссертации для полноты изложения и специально отмечены.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
-
глав и списка литературы. Общий объем диссертации 106 страниц, включая
-
рисунка. Библиография содержит 94 наименования.
Дискретная аппроксимация регуляризующего алгоритма
Опишем аппарат дискретной аппроксимации в соответствии с подходом, изложенным в работах [9, 88, 14, 15]. Отметим, что весь предваряющий материал, описывающий различные свойства дискретных сходимостей, известен (за исключением разве что предложения 1.3.3) и приводится здесь с доказательствами для полноты изложения. Пусть X — вещественное банахово пространство, Хп — семейство вещественных банаховых пространств.
Определение 1.3.1. Говорят, что семейство пространств {Хп} образует дискретную аппроксимацию пространствах (обозначение Хп X), если существует семейство {рп} связывающих операторов рп : X — Хп = рпХ, обладающее свойствами
В дальнейшем индексы у норм всюду опускаются, поскольку по принадлежности элемента определенному пространству однозначно определяется его норма.
Будем предполагать также, что X X , причём выполнено условие согласованности аппроксимаций:
Вводятся понятия дискретной сильной и дискретной слабой сходимости элементов.
Определение 1.3.2. Говорят, что последовательность элементов {жп}, хп Є Хп дискретно (сильно) сходится к х Є X (обозначение хп — х при п — +оо), если lim \\рпх — хп\\ = 0.
Определение 1.3.3. Говорят, что последовательность элементов {хп}} хп Є Хп дискретно слабо сходится к х Є X (обозначение хп — х при п — +оо), если нормы этих элементов ограничены в совокупности, и для любого функционала / Є X выполняется соотношение п—т +00 Нам понадобятся следующие свойства дискретно сходящихся последовательностей, обобщающие известные свойства из анализа.
Предложение 1.3.1. Справедливы нижеприведённые утверждения:
1) предел дискретно сильно или слабо сходящейся последовательности единствен; \ (І / dw
3) в случае, когда X и (Хп) — рефлексивные пространства, для сходимости
{%п, fn) к {%}f) достаточно, чтобы одна из последовательностей {xn}}{fn} сходилась соответственно кх}/ дискретно сильно, а другая лишь дискретно слабо; Доказательство. I) Пусть xn — X\ и xn — x i- Іогда для произвольного / Є X имеем Следовательно, (х\, f) = (x2,f) или (х\ — X2,f) = 0. Из свойства тотальности функционалов получим, что Х\ = х . Поскольку \\р„х — хп\\ — 0 в силу дискретной сходимости хп к ж, а \\рпх\\ — ж в силу свойства (а) связывающих операторов, то получим, что жп — ж. Для произвольного / Є X имеем Учитывая ограниченность {жп}, дискретную сходимость /п к / и дискретную слабую сходимость жп к ж, получим требуемое. Случай, когда хп — ж, /п — f рассматривается аналогично. 4) Пусть сначала хп — х и х п — х . Имеем I П V Jt"J I "у ) -ТЬ ТЪ Ujty-, ЛУ/ "\; г ТЬ V Jt"J I "у ) (Л/L/YI AJ ЛІ IJ tij (Л/ r rn "OJ І Учитывая свойство (b) связывающих операторов, ограниченность {хп} и все сходимости из условия, получим апхп + а пх п — ах + а х . j-г dw і dw і тт Пусть теперь хп — х и хп —У х . Из оценки получим ограниченность последовательности {апхп + а ж }. Выберем произвольный / Є X . Имеем По определению дискретной слабой сходимости (xn,p nf) — (ж, /) и (x n,p nf) — (x ,f). Поэтому из приведенной оценки получим (апжп + a nx n}p nf) — (аж + aV, /), что означает апжп + а ж — ах + aV. 5) Поскольку {хп} ограничена, то нижний предел в доказываемом нера венстве конечен. Предположим от противного, что ж с lim жп. П—т +00 По следствию из теоремы Хана-Банаха найдется такой фукционал / Є X , что ПЛІ = 1 и (ж,/) = ж. По определению дискретной слабой сходимости XmPnf) {x f). С другой стороны имеем
Получено противоречие. Предложение 1.3.1 доказано.
Доказывается свойство дискретной слабой компактности ограниченной последовательности элементов [88]. Предложение 1.3.2. Если X — рефлексивное сепарабельное пространство, то любая ограниченная последовательность {хп} элементов хп Є Хп дискретно слабо компактна, т.е. существуют подпоследовательность {хПк} и элемент х Є X, для которых выполнено хПк — х при к — +оо.
Доказательство. Так как X рефлексивно, то X = X , поэтому X также сепарабельно. Следовательно, X сепарабельно (см. [19]). Выберем в X счетное всюду плотное множество {/«,} Рассмотрим числовую последовательность {{xmPnfi)}- Из оценки
(учитывая ограниченность жп по условию и /i как сходящейся) получим ограниченность этой последовательности. Выберем в ней сходящуюся подпоследовательность {(Xn (1) P n (1) fl)} Пусть уже выбрана подпоследовательность номеров пк , такая что {(х Поскольку она ограничена, выберем из нее сходящуюся подпоследовательность {(х (i+1),pf (i+1)/j+i)}, взятую по номерам щ . По индукции будет построено семейство подпоследовательностей пк , вложенных друг в друга, таких что для любого і Є N числовая последовательность х (i)iP\i)fi) сходится. Построим теперь искомую подпоследовательность {хПк} по номерам rik = щ . Нетрудно видеть, что для любого і Є N последовательность (xnkiPnkfi) сходится. В самом деле, при индексах к і (г) последовательность П& является подпоследовательностью в пк , для которой по построению {(х (i)iP (i)fi)} сходится. Покажем теперь, что для любого пк Пк f Є X последовательность (хПк,р п f) будет сходится. Для этого проверим, что она фундаментальна. Действительно, пусть є 0. Поскольку {/«,} всюду плотно в X , найдется номер j, такой что \\fj — f\\ є. Имеем
Дуальные отображения, дистанция Брэгмана
Изложим здесь для полноты основные известные факты о геометрии банаховых пространств. Существует тесная взаимосвязь между такими свойствами банахова пространства, как выпуклость, гладкость и определенными свойствами дуального отображения. Приведем кратко те из них, которые потребуются нам в дальнейшем. Более подробная информация со всеми доказательствами может быть найдена в специализированной литературе, например в [70, 21, 80].
Определение 2.2.1. Функция 5х [0, 2] — [0,1], определяемая правилом fo(e) :=inf {l- -(х + у) : \\х\\ = \\у\\ = 1, \\х - у\\ є} , называется модулем выпуклости пространства X. Определение 2.2.2. Функция рх [0, +оо) — [0, +оо), определяемая правилом Рх{т) = 2SUP{ll + 2/ll + ll -2/ll 2: IMI = 1 Ы\ г} называется модулем гладкости пространства X. Определение 2.2.3. Линейное нормированное пространство X (a) называется строго выпуклым, если единичная сфера в этом пространстве не содержит отрезков прямой, т.е. для любых Х\,Х2 Є X таких, что жі = ж2ІІ = 1? %і 7 х2} и для всех А Є (0,1) выполнено \\XXI + (1 — А)ж2ІІ 1; (b) называется гладким, если для любого і Є I, ж / 0, существует единственный х Є X такой, что ж = 1 и (ж, ж ) = ж; (c) называется равномерно выпуклым, если $х(є) 0 для всех є Є (0,2]; (d) называется равномерно гладким, если lim [рх{т)/т] = 0. Перечислим основные свойства функции рх{т) [21, 80]: рх{0)=0, рх(т) т;
Рх(т) выпуклая, непрерывная и строго монотонно возрастающая функция;
Рх{т)/т — неубывающая функция.
Определение 2.2.4. Пусть if : М+ — М+, (р(0) = 0, непрерывная строго возрастающая функция (такая функция называется функцией роста). Отображение J у: X — 2х , определяемое по формуле
Jv(x) = {х Є X (х ,х) = ж ж, ж = (ж) } , (2.2.1) называется дуальным отображением пространства X с функцией роста ср.
Всюду в дальнейшем мы будем использовать дуальные отображения банаховых пространств со степенными функциями вида (p(t) = tp l (р 1) в качестве функций роста, которые будем обозначать Jp(x) и называть для краткости дуальными отображениямир-й степени. В этом случае соотношение (2.2.1) примет вид
При р = 2 дуальное отображение называется каноническим или нормализованным, дуальным отображением и обозначается J(x). Через Зщ: X — X обозначаем определяемое аналогично дуальное отображение сопряженного пространства X . В случае рефлексивности пространства X можно считать, что ]щ действует из X в X.
Следующая теорема (см. [85, с. 314], а также [21, 70]) собирает воедино основные известные факты о свойствах выпуклости и гладкости пространств и показывает, что эти понятия являются взаимно двойственными.
Теорема 2.2.1. Пусть X — банахово пространство. Тогда
(a) X равномерно выпукло (соответственно равномерно гладко) Ф X равномерно гладко (соответственно равномерно выпукло).
(b) Если X равномерно выпукло, то X рефлексивно и строго выпукло.
(c) Если X равномерно гладко, то X рефлексивно и гладко.
(d) Пусть X рефлексивно. Тогда X строго выпукло (соответственно гладко) Ф X гладко (соответственно строго выпукло).
(e) X строго выпукло Ф дуальное отображение пространства X произвольно выбранной р-й степени строго монотонно, т. е. (х\ — х\ Х\ — х?) 0 для всех хі, Х і Є X (х\ = Х і) и х\ Є Jp(x\), х\ Є Jv(x i).
(і) X гладко Ф дуальное отображение Jp для некоторого р (а значит, и для всех р 1) однозначно, т. є. для любого х Є X множество Jp(x) С X состоит из одного элемента, который будем обозначать также через Jp(x).
(g) Если X рефлексивно, строго выпукло и гладко, тогда дуальное отображение Jp однозначно, биективно и сильно-слабо непрерывно в том смысле, что Op(Jbji) 7 Up(JU ) ОЛЯ Обратное к Jp отображение
J : X —У X вычисляется по формуле J 1 = Зщ, где Зщ — дуальное отображение q-u степени пространства X . (h) Пусть M = 0 — выпуклое замкнутое подмножество рефлексивного строго выпуклого пространствах. Тогда существует единственный х Є М такой, что
Если дополнительно X является гладким пространством, тогда для всех z Є М выполнено неравенство (Jp(x),x) (Jp(x),z).
Замечание. Гладкость пространства также тесно связана с дифферен-цируемостью его нормы:
X гладко Ф его норма дифференцируема по Гато на Х\{0};
X равномерно гладко Ф его норма равномерно дифференцируема по Фре-ше на Х\{0}.
Нам потребуется неравенство для равномерно гладкого пространства [91]. В доказательстве сходимости нашего метода оно будет играть ключевую роль.
Итерационный алгоритм с асимптотически уточняемыми данными и принцип невязки
Предположим, что вместо точной правой части у Є 7Z(A) и операторов А Є C(X,Y) и В Є C(X,Y ) нам известны последовательности аппроксимаций {yk} Q Y, {А{\ С C(X,Y), {Bi} С C(X,Y ) такие, что каждый оператор А[ (/ = 0,1,2,...,) является /-симметричным и /-положительным. Будем предполагать, что нам известны монотонно убывающие оценки аппроксимаций и при всех / = 0,1, 2,...,
Более того, чтобы работать в случае, когда операторы А и В заданы неточно, нам потребуется еще дополнительно знать априорную оценку нормы точного решения х, т. е. считаем известным такое R 0, что
Положим
Теперь нам придется несколько видоизменить алгоритм 1, чтобы привести его в соответствие новым исходным данным задачи.
Алгоритм 2.
Ш а г 1. Зафиксируем произвольные вещественные р Є (1,+оо) и С, D Є (0,1). Выберем начальное приближение Хо Є X таким образом, чтобы выполнялись условия Jp{x0) є ЩВ А), Ар(х0,х) -\\х\\р. (2.4.6) Положим к-і := 0, /_i := 0 и для п = О,1, 2,..., повторяем следующий шаг 2 до тех пор, пока не наступит условие остановки алгоритма. Ш а г 2. Если для всех к кп-\ и / 1п-\ выполняется неравенство то на этом шаге п мы останавливаем алгоритм. В противном случае найдутся такие кп кп-\ и ln /n_i, что где Rn := (Ain(xn —x)}Bin(xn — x)). Выбираем параметры согласно следующим правилам: (1) Если Хо = 0, положим II B v\\2p 2 Ро г/ -Чі-ОГ1 і . (2.4.10) 1 й ІІ /0 0ІГ В качестве параметра шага выберем теперь произвольное/ІО Є (0,Д0). (2) Для всех п 0 (соответственно п ) 1 в том случае, когда Хо = 0) положим _ -:=w»A(Sl) o (2-4 п) где Gg 0 — константа из соотношения (2.2.3), а Лп := \\Bf (Аіпхп — укп)\\. По тем же соображениям, что и в (2.3.4), можно выбрать такое тп Є (0,1], что Параметр шага итерационного метода положим тогда Следующее приближение определяем по формулам: JP(xn+i) = Jp(xn) - finBl(Ainxn - укп), (2.4.14) Кп+1 — J q\ Jp\%n+l)) I—I Отметим, что если правило (2.4.7) остановки алгоритма выполнено для некоторого п, то при всех к кп-\ и / /n_i где левая часть сходится к (А(хп — х),В(хп — х)): а правая часть сходится к нулю при к,1 — +оо. По свойству -положительности в том и только в том случае, когда А(хп — х) = 0, т. е. Ахп = у. Свойства (2.4.2), (2.4.3) и (2.4.6) гарантируют нам, что при всехп = 0,1, 2,..., будет выполнено JP(%n) Є 1Z(B A). По лемме 2.3.1(b) в таком случае хп = х. Сформулируем теперь теорему о сходимости алгоритма 2.
Теорема 2.4.1. Пусть пространство X равномерно выпукло и гладко, a Y
— произвольное банахово пространство, у Є 71(A). Пусть А\ Є C(X,Y)
— Bi-симметричный и Bi-положителъный оператор, где В\ Є C(X,Y ), I = 0,1,2,.... Предполагаем, что выполнены условия аппроксимации (2.4.1) — (2.4.3). Тогда существует такое Д0 0 (см. формулу (2.4.10)), что при выборе Хо согласно правилу (2.4.6) и любом /ІО Є (0,До) итерационный алгоритм (2.4.14) с правилом выбора параметра цп (2.4.13) либо останавливается на конечном, шаге на нормальном решении х, либо задает последовательность итераций {хп}, сходящуюся сильно к х по норме пространствах.
Доказательство. Структура доказательства очень похожа на случай с невозмущенными данными. Если правило остановки алгоритма (2.4.7) никогда не выполняется, то в силу (2.4.8) и (2.4.1) при всехп будет выполнено Rn 0. Снова введем в рассмотрение величину Ап := Ар(хп,х). В случае Хо = 0 будем иметь
Ai = -цЩВ уko\\q + А0 - Цо(укоіВі0х). ч
Чтобы обеспечить выполнение условия Ai До, дающее нам убывание последовательности {Дп} на первом шаге и обеспечивающее отличие Х\ от нуля, необходимо выбирать /ІО таким образом, чтобы
-MollЯ/ЖII9 МУко,Ві0х) 0. Проведя эквивалентные преобразования, увидим, что это неравенство выполняется при огда (2.4.15) будет заведомо выполнено. Проведем следующие оценки с учетом соотношений (1.1.2), (2.4.1), (2.4.4), (2.4.5) и (2.4.9):
(Ук0,Ві0х) = (Bf0yko,x) = (Bf0yko - В уко + В уко - В у + В Ах, х
Подставляя эту оценку в (2.4.10), получим требуемое. При всехп 0 (соответственно п 1 при Х0 = 0) имеем
An+1 Ап - fin(Ainxn - укп, В1п{хп - х)) + -aq ( Jp(xn), finBl(Ainxn - укп) ) .
Сходимость многошагового итерационного процесса с точными данными
Перейдем теперь к описанию и обоснованию итерационного метода решения уравнения (3.1.1) для заданного -симметричного и -положительного оператора А} где А Є C(X,Y), В Є C(X,Y ). Банахово пространство X предполагается р-выпуклым и равномерно гладким, Y — произвольное вещественное банахово пространство. Ограничимся случаем точных данных у Є 71(A). Рассмотрим задачу аппроксимации проекции Брэгмана х = UPM(X0) ДЛЯ произвольного Х0 Є X, где которое, как нетрудно заметить, является непустым выпуклым замкнутым множеством. Таким образом, искомая проекция корректно определена. Еслиж0 = О, то х совпадает с решением минимальной нормы (нормальным решением). Опишем вкратце предлагаемый метод.
Алгоритм 3.
Возьмем некоторый элемент Х0 в качестве начального приближения. Он может содержать в себе некоторую априорную информацию об искомом решении. Предположим, что на шаге п приближение хп уже построено. Выберем в пространстве 1Z(B A) конечное число Nn направлений поиска { Л п1,..., В А п п} и определим следующее приближение по правилу где вектор параметров шагов цп = (/ІП,1 , Hn,Nn) минимизирует выпуклую непрерывно дифференцируемую функцию h : К. п — Ш: Заметим, что в силу леммы 3.2.4 описанный итерационный алгоритм эквивалентен последовательному проектированию по Брэгману хп+1 = 11рНп(хп), (3.3.2) где Nn Hn:=f)H(B A (B y)). Поскольку для z Є М выполнено (В А п;п z) = (Anj,Bz) = (Вп ,у), то получим М С Нп. Следовательно, для всех z Є М имеем (ВПіі,АХпН -у) = {В АСщг}хп+1 - г) = О, Vi є {1,...,Nn}. (3.3.3) Заметим, что Нп для произвольного z Є М представимо в виде где Un С Л(В А) есть пространство направлений поиска Un := врап{Б п і і = 1,..., Nn} С X . Тогда согласно лемме 3.2.3 последовательное проектирование (3.3.2) эквивалентно проектированию в сопряженном пространстве Jp(Xn+l) = Ulixn)+Un(Jp(z))} zeM. (3.3.4) Кроме того, Jp(xn+i) — Jp(xn) Є Un, поэтому из соотношений (3.3.3) вытекает, что (JP{xn+i) - Jp{xn),xn+i - z) = 0, Vz Є М. (3.3.5) Сформулируем теперь основной результат третьей главы, теорему о сходимости представленного итерационного метода. Теорема 3.3.1. Пусть на каждом шаге итерации процесса (3.3.1) вектор В (Ахп — у) содержится в пространстве направлений поиска Un. Тогда: 1) последовательность итераций {хп} ограничена, и все ее слабо предельные точки являются решениями (3.1.1); 2) если в пространстве X дуальное отображение обладает свойством слабой-слабой непрерывности (например, такими будут пространства р при 1 р +оо)7 т.е. всякую слабо сходящуюся последовательность переводит в слабо сходящуюся, тогда вся последовательность {хп} слабо сходится к х) = Ирм(х0); 3) если в {хп} можно выбрать хотя бы одну сильно сходящуюся подпосле довательность (не имеет значения к какому пределу!), то вся последователь ность сильно сходится кх . Такая сильно сходящаяся подпоследовательность существует, например, независимо в каждом из случаев: (a) X конечномерно; (b) Y конечномерно; (c) для некоторого фиксированного щ Є N и бесконечного числа индексов п щ вектор Jp(xn) — Jp(xno) включается в пространство направлений поиска Un. Доказательство. Пусть В (Ахп — у) Є Un. Тогда для любого Д О имеет место Jp(xn) — ЦВ (Ахп — у) Є Jp(xn) + Un. В силу (3.3.4) получаем для любого z Є М следующую цепочку отношений: Ap(xn+hz) = A (Jp(z), Jp{xn+1)) A (Jp(z), Jp{xn) - p,B (Axn - у)) = = -\\z\\p - (z,Jp{xn)) + p,(z,B (Axn-y)) + -\\Jp{xn) - j2B (Axn-y))\\q. P 4 Заметим, что (z, B (Axn — y)) = (Bz, A{xn — x )) = (B(xn — x ),y), и воспользуемся неравенством (3.2.3) для дальнейшей оценки Ар:
Возьмем в правой части полученного неравенства минимум поД; он достигается в точке, где производная равна нулю, т.е.
Таким образом, получена окончательная оценка
Из нее вытекает, что дистанции Брэгмана от итерационных точек до множества решений М убывают, следовательно, они ограничены, следовательно, {хп} ограничена. Из (3.3.7) также вытекает, что Rn сходится к нулю. В силу слабой полунепрерывности снизу функционала R{x) = \\В (Ах — у)\\ каждая слабая предельная точка {хп} является решением уравнения (3.1.1).
Докажем теперь п. 2). Пусть дуальное отображение Jp слабо-слабо непрерывно, и х — слабый предел некоторой подпоследовательности {хПк}. Тогда Jp(xnk) — Jp(xo) слабо сходится к Jp(x) — JP(XQ). Поскольку Jp(xnk) — JP(XQ) Є 7Z(B A)} и 1Z(B A) слабо замкнуто, то
В этом случае лемма 3.2.3 гарантирует нам, что х = UPM(XQ) = хК
Переходим к последнему пункту доказательства. Аналогичными рассуждениями, как и в п. 2), доказывается, что предел сильно сходящейся подпоследовательности {хПк} обязан совпадать сг. Из непрерывности дистанции Брэгмана по своим аргументам вытекает, что lim Ар(хПк)х ) = Ар(х\х ) = 0. Монотонная последовательность {Ар(хп, z)} сходится при всех z Є М, поэтому lim Ар(хП}х ) = 0} О lim \\хп — я =0. Если пространство X конечномерно, то из ограниченой последовательности {хп} всегда можно выбрать сильно сходящуюся подпоследовательность. Если Y конечномерно, то и 7Z(B A) конечномерно, поэтому в последовательности {Jp(xn) — Jp(xo)} С 7Z(B A) можно выбрать сильно сходящуюся подпоследовательность. За счет равномерной гладкости пространства X отображение ]щ равномерно непрерывно на любом ограниченом множестве, поэтому в {хп} подпоследовательность, взятая по тем же индексам, будет сильно сходящейся. Наконец предположим, не ограничивая общности, что Jp{xnk) — Jp(xno) Є Unk при всех натуральных к: и пусть последовательность {хПк+\} (со сдвигом на один индекс вперед) слабо сходится к некоторому х Є М. Подставив значение В АПк = Jp(xnk) — Jp(xno) в соотношение (3.3.3), получим
В полученном равенстве правая часть стремится к нулю при к — +оо. Тогда из леммы 2.2.1 следует, что подпоследовательность {хПк+1} сходится сильно к х. Теорема 3.3.1 доказана.
