Введение к работе
Актуальность темы обусловлена интенсивным использованием проекционно-сеточных (п.-с.) методов в вычислительной практике и наличием ряда открытых вопросов в анализе этих методов.
Сочетая в себе лучшие качества проекционных и разностных методов, п.-с. методы в последнее время эффективно используются для решения различных задач математической физики. Такого типа методы приводят к разреженным алгебраическим задачам, сохраняя при этом типичную для проекционных методов оптимальность скорости сходимости. Имеющие отношение к этим методам теоретические исследования касаются как теории прсекцясшшх мстодсв, так и ЕЛпроссБ эяпроксимзциЕ при помощи функций специального вида, являющихся элементами п.-с. подпространств.
Используемне в п.-с. методах п.-с. подпространства применяются в вычислительной практике не только для численного решения краевых задач, но и для аппроксимации функций, обработки сигналов и т.д.; к ним относятся подпространства сплайнов, функций-всплесков (wavelets) и т.п. Каадое из таких подпространств определяется выбором функции (или нескольких функций) и сетки, по которой сдвигается аргумент этой функции, причем имеется достаточно много различных способов такого выбора. При использовании п.-с. подпространств возникает вопрос о том, какое из них следует выбрать для решения какой-либо конкретной задачи (или класса задач). Критериями этого выбора могут быть такие качества п.-с. подпространств как оптимальность (в том или ином смысле) аппроксимации, .наличие определенных свойств у порождаемых этими подпространствами п.-с. методов (например, сохранение свойств исходной задачи, простота структуры, точность заданного порядка, совпадение о наперед заданной аппроксимацией, наличие эффективных прямых или итерационных методов отыскания приближенных решений) и т.д.
Цель, работы состоит в конструировании и исследовании п.-с. подпространств, которые являются, линейными оболочками сдвигов одной или.нескольких фиксированных функций по некоторой сетке. Эти подпространства изучаются как с точки зрения их аппроксимационных свойств, так и с позиций качества и простоты
структуры определяемых ими п.-с. методов.
Общая методика связана с использованием современных методов численного анализа, теории функций и геометрии чисел. Для доказательства основных результатов типична работа с гладкими объектами, что позволяет отвлечься от дискретного характера доказываемых утверждений (это обстоятельство особенно заметно в двух последних главах диссертации).
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми, что, конечно ае, не означает отсутствия связи результатов диссертации с работами других математиков; к этим работам, идеи (а иногда и конкретные результаты) которых оказали существенное влияние на автора, относятся:-
1) классическая работа А.Н.Колмогорова , (Ami. Math., 1936, V.37), в которой определяются и вычисляются поперечники функциональных классов; эта статья в идейном плане породила очередной этап теории аппроксимации;
г) известная статья Р.Куранта (Bull. Amer. Math. Soc, 1943, V.49, N 1) о трактовке простейшего разностного аналога двумерного уравнения Пуассона как варианта проекционного , метода со специальным выбором координатных функций (приводимое в главе Ъ диссертации конструктивное построение п.-с. . подпространств, порождающих обычные разностные аналоги некоторых дифференциальных, операторов, использует идеи Куранта; более того, в этой же главе приведено обобщение его конструкции на n-мерный случай);
3) работы Г.Стренга - Дж.Фикса и С.Г.Михлина начала 70-х годов, касающиеся необходимых и достаточных условий асимптотической оптимальности п.-с. подпространств (доказываемый в 4-3 критерий асимптотической оптимальности - развитие (совершенно другое по форме) этих результатов на более общий случай).
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты (равно как и применяемые в работе метода исследования, основанные на систематическом использовании аппарата преобразования Фурье) могут быть использованы не только для решения теоретических проблем в области"численного анализа, но и при конструировании и исследовании эффективных' п.-с. алгоритмов решения конкретных прикладных задач. '
Основные результаты работы сформулированы в "заключительной части автореферата.
Апробация. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались в 1974-1993 г.г. па ряде конференций и школ как внутри страны, так и за рубегом, на научных семинарах мехмата МГУ, ф-та ШК МГУ, ВЦ МГУ, ИВЫ РАН, ВЦ СО РАН и др.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 34 работы; основные результаты изложены в работая [1]-[1б].
Структура и объем: введение, несть глав (с делением на параграфы), заключение и список литературы из 167 наименований; общий объем 331 стр.
Похожие диссертации на Анализ Фурье проекционно-сеточных аппроксимаций
