Введение к работе
Актуальность работы.
Изучение усредненного поведения динамических объектов, находящихся в поле случайных воздействий и факторов, всегда являлось важной задачей фигзики. С подобными задачами можно встретиться в самых разнообразных областях фигзики, химии и техники. Движение частиц и распространение волн в стохастических средах, уширение спектральных линий, фазовые переходы, развитая гидродинамическая турбулентность, перемежаемость, самоорганизация стохастических форм движений, колебания и устойчивость конструкций и аппаратов при воздействии на них стохастических вибраций и возмущений - далеко не полный перечень проблем и задач, активно изучаемых в последнее время в физике и технике. Наглядным показателем важности исследований в этой области является значительный рост публикаций и появление большого числа новый научных журналов и других периодических изданий. Установленное в последнее время фундаментальное свойство стохастично-сти динамики нелинейных систем в еще большей степени расширяет область параметров и условий, где необходимо учитывать влияние случайных сил и полей.
Важнейшей задачей при этом является изучение усредненного поведения физических систем в области сильных флуктуации и сильных корреляций. Нетривиальным физическим следствием влияния коррелированных шумов на усредненную динамику является формирование под влиянием флуктуации новых стационарных состояний (индуцированные шумом фазовые переходы). Другой важной проблемой в этой бурно развивающейся области физики неравновесных процессов является разработка конструктивных математических методов вероятностного описания поведения систем при сильных стохастических воздействиях с конечным радиусом спада корреляций (цветные шумы).
Цель настоящей работы состоит: а) в разработке эффективного метода статистического описания динамических систем в поле цветных шумов, который решает задачу получения точных и замкнутых уравнений для средних (моментов, кумулянтов, распределений вероятности) для широкого класса систем и моделей воздействий, позволяет исследовать усредненную динамику систем в случае, негауссовых цветных воздействий и дает возможность изучить влияние формы спектра шума на усредненную динамику; б) в развитии асимптотического метода усреднения для систем нелинейных интегро-дифферг-нциальных уравнений
в стандартной форме, возникающих при изучении усредненных характеристик динамических систем в поле цветных шумов; в) в разработке простых средств моделирования сложного динамического поведения; д) разработке нового подхода к диагностике шумов и разделения смесей сигнала и шума на основе точно решаемых моделей нелинейной физики, в том числе солитонных.
Научная новизна.
Предложен новый метод вероятностного описания динамических систем с флуктуирующими параметрами на основе формул дифференцирования (ФД) статистических средних. В представлении моментных и кумулянтных функций проведено систематическое применение ФД для получения замкнутых уравнений для различных средних для широкого класса линейных и нелинейных динамических систем, возмущаемых цветными шумами (шумы ОрнштеЙна-Уленбека, Рэлея, Пирсона, пуассо-новские, скачкообразные - Кубо-Андерсона, кенгуру и т.д.). Разработаны эффективные алгоритмы приближенного анализа для быстрофлук-туирующих процессов. Предложен новый класс точно решаемых моделей нелинейных динамических систем, возмущаемых цветными шумами Орнштейна-Уленбека и Рэлея. Предложен новый подход к задаче диагностики шумов и разделения смесей шума и детерминированного сигнала на основе нелинейных распределенных фильтров (НРФ), представляющих собой точные решения уравнений нелинейной физики определенной структуры (в частности, решения солитонного типа). Показано, например, что для аддитивных смесей сигнала и гауссова шума НРФ точно разделяет компоненты смеси. В рамках точно решаемых моделей проведено систематическое изучение, влияния конечности времени спада корреляций шума на движение пробной частицы в одномерном случайно-неоднородном электрическом поле негауссовой статистики, на процессы коагуляции при наличии стохастических источников и стокое частиц, броуновской частицы в слоисто неоднородной среде. Изучено влияние формы спектра шума на динамику: заряженной частицы в одномерном стохастическом поле, волны в одномерной слоисто-неоднородной среде, солитонов уравнения Кортевега де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера и синус-Гордона. Показано, что усредненная динамика критична к наличию в спектре мод с нулевой „частотой". Флуктуации, имеющие спектр в форме „горба" на некоторой „частоте", приводят к.стохастическому ускорению частицы, резонансному отраженик волны в слое и критическому замедлению диффузии формы солитонов Для систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ)
в стандартной форме, визникающих при статистическом описании динамических систем в поле две.тных шумов, доказан ряд новых теорем по обоснованию асимптотического метода усреднения. Предложен подход к моделированию сложной динамики и обработки данных как результата перемешивания (стохастического и (или) динамического) монотонных движений.
Практическая ценность работы.
Разработан эффективный метод статистического описания динамических систем с. флуктуирующими параметрами, позволяющий решать многочисленные задачи из разных областей физики, техники, других наук.
Предложен подход к диагностике случайных процессов и разделению смесей шума и детерминированного сигнала, основанный на использовании нелинейных распределенных фильтров, представляющих собой точные решения нелинейных стохастических уравнений специального вида (в частности, решения солитонного типа).
Предложен и реализован в программных средствах подход к моделированию сложных процессов, основанный на их представлении как результата перемешивания стохастического и (или) динамического монотонных движений.
Полученные результаты указывают пути возможного управления усредненным поведением динамических систем за счет конечности корреляционного радиуса и немонотонности спектра флуктуации.
Защищаемые тезисы.
-
Формулы дифференцирования статистических средних для класса распространенных марковских моделей телеграфного типа и шума Оршлтейна-Уленбека (ОУ), ФД для процессов немарковского типа, ФД для средних, содержащих функции от запаздывающих и опережающих функционалов марковских процессов.
-
Метод вероятностного описания динамических систем в поле, цветных шумов на основе формул дифференцирования статистических средних.
-3. Теоремы усреднения и схемы упрощения для систем нелинейных ИДУ в стандартной форме типа Вольтерра для эволюционных задач и задач с линейными и нелинейными краевыми условиями.
-
Точно решаемые модели динамических систем в поле цветных шумов разных статистик и разных форм спектра.
-
Подход к моделированию сложной динамики как результату перемешивания случайного и (или) детерминированного монотонных движе-
ний.
6. Подход к тестированию шумов и разделению смесей шума и детерминированного сигнала, основанный на использовании нелинейных распределенных фильтров, представляющих собой точные решения уравнений нелинейной физики специального вида, в том числе решения соли-тонного типа.
Апробация работы.
Результаты исследований докладывались на 9 и 10 Рижских Совещаниях по Магнитной гидродинамике (Рига 1978, 1981 гг.), 5 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981 г.), Международном семинаре Ренормгруппа -1986 (Дубна, 1986 г.), 9 Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1981 г.), Всесоюзной школе-семинаре Эргодическая теория марковских процессов (Кызыл, 1987 г., Рига, 1989 г.), 4 Всесоюзной конференции Флуктуационные явления в физических системах (Паланга, 1988 г.), 3 Всесоюзной школе-семинаре по макроскопической кинетике, химической и магнитной газодинамике (Красноярск, 1990 г.), Всесибирской школе по вычислительным методам (Шушенское, 1995 г.), 1-3 Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (INPRIM) (Новосибирск, 1994 г., 1996 г., 1998 г.), 1,3,4 Межреспубликанских симпозиумах Оптика атмосферы и океана (Томск, 1994 г., 1996 г., 1997 г.), Международном симозиуме по статистической физике (Zakopane, 1995, Poland), семинарах: член-кор. АН СССР СМ. Рытова (Москва, 1980 г.), акад. Н.Н. Яненко (Новосибирск, 1981 г.), член-кор. РАН В.И. Зубова (Санкт-Петербург 1994 г.); Отделе теоретической физики Института физики Силезского университета (Catowice, Poland, 1995), Отделе статистической физики Ягелонского университета (Krakow, 1995), семинарах теоретического отдела Института физики СО РАН (Красноярск). ., Публикации; Основные материалы диссертации опубликованы в 43 научных публикациях, в том числе:
-монографии-1,
-обзоры-1,
-авторское свидетельство-1.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения, приложения и списка литературы (326 наименований). Диссертация изложена на 332 страницах, содержит 4 таблицы и 36 иллюстраций.
