Введение к работе
Актуальность работа „ 3 последние годы зсе болілеє внимание исследователей привлекают вычислительные методы динамики жидкости основанные кг теории потенциала., Интерес этот носит кз случайный характер а сачзан непосредственно с запросами практики. Вычислительные методы основанные ка теории потенциала, крк правило, дают въхокую точность. Элесте о тем, большинство этих '.'.етодоз характерно сравнительно малым количест- с вом вычислений и неболъпнли обьем&*лї памяти компыптера, ибо вычислительные процессы происходят в основном на границе области физического процесса не заходя знутрь области. Кроме того, больпая часть зтях методов обладает з некотором смысле асимптотическими свойствами, то есть зтк методы позволяют практически осуаестзлтгз предельные переходы моделируя процессы з неограниченных областях.,
Построение теории потенциала гидродинамического процесса,, как правил), является очень трудной задачей и первая трудность„Бознияакцая йа этом пути,зто построение фундаментального реиенкя дарференциальпого уравнения,описызавдего процесс во всей области течения жидкости. Кроме ЗТ0Г0,, возникает высокие требования х простоте зада'Ъсстрсённогб фундаментального решеігая, ибо1 наиболее простой вид фундаментального решения обеспечивает в дальнейшем построение приближенного метода теоря?: потенциала. Построения фундаментальных $е-текий^удозлетворяетшх описанным визе требованиям „известны для дифференциальных уравнений о постоянными коэффициентами и с переменными коэффициентами частных зидоз.,
Ограничиваясь обобщенными осесгалметричными уравнениями,
так мы называем уравнения, коэффициенты которых зависят от выбранных переменных, ь*ы ограничиваемся рассмотрением гидродинамических процессов, законы изменения сред которых изменяются лить по этим переменным. Примеров таких-гидродинамических процессов великое множество,причем указанное ограничение на закон изменения среды является не искусственным, а естественно следует из физики процесса, например: зависимость проницаемости фильтрационного груїгта. от глубины.
Целью работы является построение (фундаментального решения обобщенного осесимметричкого уравнения описыващего линейный стационарный процесс жидкости и на основании его найти алгоритм, позволяющий определять основные характеристики моделируемого процесса.
Для достижения этой цели необходима разработка следующих основных положений:
. I. Определение пространств обобщєнішх функций, *> которых мы будем искать фундаментальное решение обобщєнішх осесиммет-ричных уравнений.
-
Построение операционного исчисления в указанных обобщенных функциях для отыскания фундаментального решеняя в виде пригодном для практических целей.
-
Выражение физических характеристик процесса, чаще всего скоростей течения, через полученное фундаментальное решение в виде каких-либо функциональных соотношений.
-
Подстановка граничных условий гидродинамического процесса в полученные функциональные соотношения и решение возникших граничных функциональных уравнений.
Научная новизна работы. Основным в вопросе новизны мате-
матической части диссертации, то есть ее первых трех глав, является' введение и использование анизотропных пространств обобщенных функций для изучения фундаментальных решений обооЧ щенных осесимиетричных уравнений, а также интегральное представление использущее приближение Диувилля-Грйна Для фундаментальных решений обобщенных осесимиетричных уравнений в эллиптическом случае. Мояно сказать, что настоящая диссертация вместе с работами А.Вапштейна и ого учеников, которые занимались только вырожденными уравнениями осесимцетричного типа и имели другую технику, в основном завершает осесншетричос-кую теорию потенциала.
'Использование анизотропных пространств обобщенных %im-"~ ций в совокупности с методом приближения Лиуваллл-І'ріша (методом 1іКії),а т&кже его обобщениями на обыкновенные даїфсреіщи-альнне уравнения bucok.ju порядков п о результатами по асимптотике интегралов типа потенциала,как известішми ранее,так и развитыми в носледное время,моню классифицировать как новое ньучнее направленно.Применение этой общей конструкции не ограничивается рамками рассмотренных процессов и их моделей распространяясь на то области физики,которые описываитсч обобщен-
лшш_сесиа«2?Еігчішии.ушвиешш.іи,_ ,.
Новизна интегрального представления Фундаментального решения обобщенного осесишетричнего уравнения второго порядка эллиптического типа обусловливает новизну интегрального представления стационарных задач о притоке к горизонтальной дрене и несовершенной скважине, этил задачам посвящены четвертая и пятая главы. Кроме итого, построенные в этих главах приближения к квазипотенциалу скоростей сходятся к нему вместе с первыми производными, что очень важно,ибо основные характерне-
тики физического процэоса как правило, выражаются не чепез сам потенциал, а через его первые производные.
Новизна результатез шестой главы следует не только es новизны Фурье-представления полученного фундаментального решения. Сведение этого Фуръг-представления к функциям Лежакд-ра второго рода позволили через них вырезяягь потенциал, скорости источника в пленках переменной толщины кзменяпцейск по степенному закону с почти любим показателем степени.
Научная и практическая ценность работы. Результаты первых трех глав могут быть кспользоваїш не только в механике сплошной среды, о чем свидетельствуют четвертаяj, пятая и шестая главы, но и в теплофизике, теории электрических к ыагнитяых полей и других вопросах физики„
Относительно четвертой главы надо отметитьс что так как в нашей модели отсутствует отток жидкости в бесконечность„ то результаты этой главы должны применяться главным образоаг в вопросах крригациЕ„ Самое содержательное для практики ото зависимость притока к горизонтальной дрекажкоК трубе от глубины залегания этой трубы в грунте. Эта зависимость легко находится иг формули дебита четвертой главы и дает возможность ответить на вопрос насколько глубоко нужно зарывать дренажну» трубу з- і-рунт чтобы получить нужный приток.
Сакой содержательной информацией для практических целей в пятой глазе является зависимость притока жидкости от глубины несовершенной скважины. В отличие от четвертой главы, где каи известка разность давлений являидаяся причиной фильтрации, здесь эта разность давлений практически нам известь і быть не мок8т„ Однако поместив несовершенную скважину малой глубины в грунт к получив приток к ней экспериментально,
можно, пользуясь результатами этой главы, полностью определить как этот приток будет увеличиваться если мы будем увеличивать глубину скважины.
Практическая полезность результатов шестой главы обусловлена явным видом представления квазипотенциала скоростей через функция Лежандра второго рода. Этот явный вид позволяет построить всю теорию потенциала как это продемонстрировано в приложении 3 для функции тока вихревого кольца, которая является частным случаем квазігаотєнішала скоростей' найденного в шестой главе. Эта теория потенциала решает одну из наиболее трудных задач струйной автоматики - расчета поля давлений на заслонке служащей препятствием осесимметричному току жидкости и определения зависимости этого поля давлений от зазора между заслонкой и соплом.. Последняя задача нашла применение в различного рода гидрорегуляторах.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались: на научных семинарах в Институте проблем механики АН СССР, Математическом институте им. В.А.Стеклова, Всесоюзном научно-исследовательском институте Гидротехники и мелиорации им. А.Н.Костякова под руководством академиков П.Я.Кочиной, В.П.Маслова и профессоров О.В.Голубевой, В.Б.Лидского, В.П.Михайлова, О.А.Олейник, Л. М.Рэкса, на межотраслевом семинаре по динамике и систе**ам питания энергетических установок (Москва, 1988), на совещаниях секции физики Московского общества испытателей природы по гидродинамике (Москва, 1982, 1988), на первой и второй Всесоюзной конференциях "Математическое моделирование: Нелинейные проблемы и Вычислительная математика" (Звенигород
1988, 1990).
По материалам диссертации опубликованы статьи [.І-2іД .
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заклинення и трех приложений. Объем работы составляет 305 стр. текста, в том числе 17 рисунков и 4 таблиц. Список литературы содержит 253 наименования.