Введение к работе
Актуальность темы. Несмотря на большой опыт в разработке коммутационных аппаратов и исследовании происходящих в них электродуговых процессов, приведенный в частности в монографии А. И. Полтева, сукествует ряд проблем,связанных с изучением стационарных и нестационарных процессов в дуге, обдуваемой потоком газа, созданием методов расчета и поиском путей повышения эффективности дутьевых систем для увеличения теплосъома с электрической дуги.
Анализ работы выпускаемых в настоящее время промышленных высоковольтных выключателей классического типа с коммутацией, сопровождающейся возникновением дуги, показывает, что они зачастую не отвечают современным требованиям по уровням отключаемых токов, напряжений на разрыв, быстродействию и надежности.
В работах С. Л. Буянтуева и др. был предложен и экспериментально на первом этапе исследован новый автогазовый способ гашения коммутационной дуги,основанный на принципе возгонки элегаза (SF6) из одного агрегатного состояния в другое под действием энергии дуги с образованием высокого давления в дутьевой камере. На втором этапе необходимо учитывать влияние потока гаіза в разные стадии горения и гашения дуги от амплитудных до нулевых значений тока, различную геометрию дутьевых систем и термохимические эффекты в столбе дуги.
В соответствии с полученными результатами и с целью дальней-нейшей эффективной доработки этого способа встала задача построения адекватных математических моделей (ММ) теплообмена и математического аппарата для их описания при определенных режимах работы, чему посвящена первая глава диссертации.
В силу тепловой инерции плазмы В области перехода тока через нуль температура дуги достаточно высока (на оси - 7000К). а время гаыения и тепловая постоянная времени дуги г для продольного дутья в воздухе, элегазе или смесях элегаза с азотом имеют длительность от единиц до десятков микросекунд, и тепловое равновесие достигается сравнитвльнр быстро. Поэтому, если процессы в области амплитуды тока обычно представляют ;<ак установившиеся,описываемые классическим уравнением теплопроводности параболического тниа, то лугогаше-нио в области нуля тока необходимо рассматривать как существенно нестационарный процесс, описываемый гиперболической молодью (1). К этой проблеме примыкает моделирование волнового механизма тепло-
переноса,обусловленного конечной скоростью распространения тепла.
Ряд работ по теплофизике последних лет В. А. Бубнова, О. Н.Шаб-ловского, Г.Я.Бородянского, А.С.Макаренко также показали, что для существенно нестационарных процессов электронной теплопроводности гиперболическая модель (1), которая после осреднения по пространственным переменным является уравнением осциллятора, лучше передает свойства процесса теплопереноса.
В связи с этим, возникает гипотеза о замене постоянного коэффициента тепловой релаксации «с на функцию от времени «с - a(t), а возможно и d » «<
Такие обратные задачи в настоящее время интенсивно исследуются и общей теории пока не существует. В качестве примера можно привести работы Ю. Е. Аниконова и Б. А. Бубнова с обратными задачами для параболического и гиперболического уравнений. Наряду с многочисленными методами решения таких задач для линейных и нелинейных уравнений второго порядка K(u) = h типа (1) и (5),можно использовать к предложенный Ю. А. Дубинским подход, когда с уравнением к(u) * h, которое в общем случае неразрешимо для произвольной правой части h,
* связывается некоторое уравнение четвертого порядка вида К К(и) »
- к h, которое уже разрешимо всегда. Тогда исходное уравнение разрешимо с точностью до ядра оператора к .Эта конструкция может рассматриваться и как прием описания области значений оператора К(и), соответствующего некорректной задачо. В связи с этими возможностями становится актуальным получение корректных постановок краевых задач для широкого класса уравнений четвертого порядка, включающих в себя в качестве К(и) -оператор теплопроьодности смешанного тина. Кроме этого, обратные задачи для уравнений K(u) = h как правило переопределены из-за избыточной информации о решении на границе н получение самих решений, как численно, так и аналитически, затруднено вследствие некорректности постановки, тогда как наличие этих краевых условий может быть необходимо для численного решения, например, корректно поставленной задачи Дирихле для уравнения
к K(u) = к h, если оператор к к осуществляет гомеоморфизм .
Таким образом, наряду с самостоятельным теоретическим значением, обусловленным применением в теории упругости, теории оболочек и магнитной гидро- и газодинамике, возникает упомянутый выше интерес к исследованию прямых задач Дирихле для линейных и нелинейных уравнений и систем уравнений смешанного типа четвертого порядка с кратными характеристиками, которому и посвящена вторая глава.
Не углубляясь далеко в историю уравнений смешанного типа второго порядка,приведем лишь для примера работы Ф. Трикоми,Г. Фикера и М. В. Келдыпа, и в„библиографию по этой теории, достаточно полно отраженную в монографии А. В. Бицадзе, укажем лишь ряд работ последних лет В. Н. Врагова, С. А. Терсенова, Б. А. Бубнова, А. И. Кожанова, А. Г. Кузьмина, Хе Кан Чера.И. Е. Егорова, Н. В. Кислова, А. Г. Подгаева, С. Г. Пяткова и др., посвященных изучению этих уравнений и характеризующих настоящее положение в этой области уравнений второго и третьего порядков. Касаясь же уравнений более высокого порядка необходимо упомянуть работы Ю. А. Дубинского, С. И. Похожаева, Г. Н. Агаева, В. А. Маловичко, Н. И. Самедова.Т. S. Кальменова.Н. М. Нередовой, которые близки по содержанию к задачам,исследованным во второй и третьей главах.Большинство упомянутых выше работ приведено в литературе к диссертации.
Цель*» рлботи является: формулировка постановок математических моделей для гиперболического и параболического уравнений теплопроводности различной степени сложности с анализом их адекватности выявленным дияаиическим эффектам данного процесса гашения электрической дуги; решение задачи параметрической идентификации ММ, т.е. нахождение оптимального коэффициента тепловой релаксации;постановка и исследование разрешимости первых краевых задач для некоторых классов линейных и нелинейных уравнений смешанно - составного типа высокого порядка в связи с высказанной выше гипотезой.
Методы исследования. Для решения поставленных задач первой главы применяются различные методы асимптотического, численного и аналитического исследования,названия которых указаны в кратком содержании работы, причем метод моментов в данной постановке и использование рядов Бурмана-Лагранжа, - впервые. Во второй и третьей главах используются метод априорных оценок, теоремы вложения и другие методы функционального анализа.
Научная новизна работы заключается в:разработке комплекса математических моделей для описания процесса гашения электрической
дуги в продольном потоке газа при переходе переменного тока через
ноль с учетом специфики инженерного расчета.т. е. аналитическим вы
водом одной кривой отслеживания динамики процесса; решении задачи
структурной и параметрической идентификаций ММ в виде применения
обобщения уравнения Фурье' с постоянным коэффициентом тепловой ре
лаксации, являющегося подтверждением гипотезы о применении в даль
нейшем уравнения теплопроводности смешанного ( гиперболо-параболи
ческого ) типа; постановке ряда краевых задач для линейных и нели
нейных уравнений смешанно-составного типа высокого порядка с осво
бождением ревения от части краевых условий на характеристических
поверхностях оператора Ки второго порядка,включающего в свой класс
оператор теплопроводности смешанного типа, и доказательстве теорем
существования различных обобщенных решений этих задач в классах
функций конечной гладкости. ;
Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты I первой главы используются в автоматизированных системах научных ! исследований лаборатории "Колебательный контур" Восточно-Сибирского государственного технологического университета для исследования нестационарных процессов горения и гашения дуги в камерах дугога-сителышх устройств с продольным газовым дутьем и отраслевого центра плазманноэнергетических технологий РАО "ЕЭС" в городе Гусиноо-зерске для исследования характеристик плазмотронов. Результаты второй и третьей глав, кроме самостоятельного теоретического значения и использования для дальнейшего усовершенствования вышеупомянутых ММ, могут быть применены к задачам молекулярной акустики,магнитной гидродинамики,теории оболочек и термодиффузии.
На запиту выносятся: постановка, асимптотическое, численное и аналитическое исследование одномерной по пространственным переменным ММ при Q(T)«=o; постановка, аналитическое при Q(T)=o и численное решение при о;т) « 0Ег двухмерной осесимметрической ММ; численное решение при Q(T)«o методом изотерм трехмерной осесимметрической ММ с учетом газодинамики; постановка, доказательство существования и единственности в выделенных случаях слабых, полусильных и сильных обобщенных решений ряда первых краевых задач для линейных и нелинейных уравнений смешанно-составного типа высокого порядка как с кратными характеристиками, так.и в виде суперпозиции разных операторов ки, удовлетворяющих (10); доказательство частичного освобождения решэьий от краевых условий на характеристических повер-
- є -
Кностях этих операторов,
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы Докладывались и обсуждались на: Всесоюзных школах-семи?грах по не-класеическим уравнениям ( Новосибирск. 1980, 1981. 1983, Улан-Удэ, 1"98В) ^Всесоюзной школе молодых учекых"Функциональные методы в при-кладйой Математике и математической физике"; Ташкент. 1988) ;сесси-. ях секций Научного совета АН СССР по проблеме'Физика низкотемпературной плазмы"( Улан-Удэ. 1988, Алма-Ата, Улан-Удэ, 1991); Сибирской 'йкола по вычислительной математике! Новосибирск, 1988); Всесоюзной ' конференции "Математическое моделирование:нелинейные проблемы' й -вычислительная математика" ( Звенигород. 1988); Всероссийской хогнфэрэнцни -"Условно-корректные задачи дифференциальных уравнений ft анализа" ( Новосибирск, 1992); второй Всероссийской конференции "Математические проблемы йкологии" ( Новосибирск, 1994г.); пятом Межреспубликанском совещании "Вычислительные методы в задачах волновой гидродинамики"( Новосибирск, 1996); научных семинарах Института математики СО РАН й Новосибирского государственного университета под руководство"» С. А. Терсенова, В. Н.Врагова; Воронежского государственного университета подг руководством И. А. Киприянова, Московского энергетического института под' руководством Ю. А. Дубинско-го, ежегодных научных конференциях Восточно-Сибирского государственного технологического университета.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 20 печатных работ, в составе которых 10 статей и Ю тезисов Докладов. В совместных раб'отах: С. Л. Буянтуеву принадлежит основная идея описания данного процесса гашения дуги с помочью гиперболической ММ, Б. Н. Девя-тову - идея применения метода моментов и рядов Бурмана-Лагранжа.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы из- 88-наименований. Объем работы составляет не страниц.