Введение к работе
Актуальность проблемы.
Проблема оптимальной фильтрации состояний динамических систем и рекуррентных процессов по наблюдениям, поступающим в темпе реального времени, является чрезвычайно важной в задачах траєкторних измерений, обработки навигационной информации, управления подвижными объектами и во многих других приложениях. Для стохастических систем и процессов решение этой проблемы сводится к вычислению в каждый данный момент текущего времени апостериорного (байесовского) среднего, обеспечивающего минимум полной среднеквадратической ошибки фильтрации состояния. В частном случае линейных стохастических систем и процессов с известными параметрами эта задача блестяще решается алгоритмами фильтра Р.Калмана. Однако в общем случае нелинейных стохастических систем и процессов (в том числе с неизвестными постоянными или случайно изменяющимися параметрами, включаемыми в расширенное пространство состояний) не удается построить замкнутую систему дифференпиальных или рекуррентных соотношений, позволяющую точно вычислять байесовские апостериорные средние состояний и параметров в текущем времени. В этом случае приходится строить алгоритмы приближенного решения задач оптимальной фильтрации и идентификации (адаптивные, параллельные, "пульсирующие" фильтры и др.).
Проблема оптимальной фильтрации особенно усложняется в условиях априорной неопределенности, когда неизвестные состояния, параметры и даже наблюдения не могут быть описаны стохастическими моделями. В этом случае теряет смысл понятие полной (байесовской) среднеквадратической ошибки фильтрации и не могут быть построены соответствующие апостериорные средние. При этом само понятие оптимальности требует уточнения. Если известно, что неопределенные воздействия, параметры и наблюдения принадлежат некоторым замкнутым областям (компактам) соответствующих евклидовых пространств, решение задачи оптимальной фильтрации может быть получено на основе методов теории дифференциальных игр (Н.Н.Красовский). Оно сводится к построению для каждого момента текущего времени информационных множеств, совместимых с наблюдениями. Оптимальная оценка фильтрации (а также сглаживания и предсказания) оказывается оценкой множественного включения (А.Б.Куржанский). В качестве оптимальной точечной оценки берут обычно чебышевский центр информационного множества, мпнимакс. обеспечи-
вающий гарантированное качество оценивания, независимо от действг, тельно реализовавшихся неопределенных возмущений из ограниченног замкнутого множества их возможных значений. Аналогичным образом ре шается задача фильтрации и в условиях частично стохастических моделей когда состояния и наблюдения могут содержать как стохастические, так і неопределенные (но подчиняющиеся указанным ограничениям) компонен ты возмущений (И.Я.Кац, А.Б.Куржанский).
В рамках гарантирующего подхода возможна не только минимаксна стратегия. Любая стратегия, не выводящая условно-байесовскую оценк; за пределы информационного множества, является допустимой и услов но оптимальной. Например, возможна стратегия, рассчитанная на мак симально правдоподобные значения неопределенных возмущений в преде л ах заданных ограничений. Такая стратегия позволяет оценивать ("от с леживать") истинные значения неопределенных возмущений. При доста точно высокой точности этого оценивания (более высокой, чем для оценки определяющей чебышевский центр информационного множества в мини максной стратегии) действительная точность фильтрации состояния мо жет быть существенно повышена по сравнению с минимаксной стратеги ей. Естественно, точность такого подстраиваемого ("адаптивного") филь тра всегда выше (по определению), чем точность затрубленного фильтра рассчитанного на "наихудшую", наименее благоприятную реализацию не определенных возмущений. Методы фильтрации состояний динамически; систем и рекуррентных процессов с одновременной настройкой ("ададта цией") на неопределенные возмущения при наличии ограничений типа не равенств до настоящего времени практически не были разработаны и ис след овалы.
Диссертационная работа посвящена разработке конструктивных ме тодов синтеза и исследованию эффективности алгоритмов совместной условно-байесовского рекуррентного оценивания состояний и максималь но правдоподобного оценивания неопределенных ограниченных возмуще ний применительно к динамическим системам и рекуррентным процес сам, стесняемым ограничениями типа неравенств и в дальнейшем назы ваемым рестриктивными, на основе использования принципа максимум; Л.С.Понтрягина и методов инвариантного погружения и аппроксимации Результаты диссертационной работы применимы также к решению зада1 синтеза оптимального программного управления.
Работа выполнялась в соответствии с тематическими планами научно исследовательских работ Томского государственного университета, Коор
динационными планами АН СССР на 1976-1985 г.г. по проблемам 1.10.3 (тема 1.10.3.2.2), 1.10.4 (темы 1.10.4.2а,б) (№№ гос.регистрации 77019134, 01830062805), планами важнейших НИР, проводимых в 1986-1995 г.г. по заказам-нарядам Минвуза России (?&№ гос.регистрации 01860125631, 01950001753).
Целью настоящей работы является построение и исследование рекуррентных алгоритмов совместной оптимальной фильтрации состояний и неопределенных ограниченных воздействий в рестриктивных динамических системах.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории оптимальных процессов, математического анализа, теории дифференциальных и разностных уравнений, теории аппроксимации, вычислительной математики, теории вероятностей и математической статистики, а также методы математического моделирования.
Научная новизна.
В работе впервые систематически исследованы вопросы совместной условно-байесовской и максимально правдоподобной рекуррентной фильтрации состояний и неопределенных ограниченных воздействий для рестриктивных динамических систем и рекуррентных процессов. На основе развития методов инвариантного погружения и аппроксимации разработаны новые, не требующие применения процедур последовательных приближений конструктивные методы решения двухточечных краевых задач оптимизации и фильтрации рестриктивных рекуррентных процессов, позволяющие повысить эффективность решения задач фильтрации состояний линейных и нелинейных динамических систем в условиях априорной неопределенности. Получены точные и приближенные (использующие методы коллокацил, наименьших взвешенных квадратов невязок и др., а также методы пошаговой аппроксимации линейными, степенными, гиперболическими функциями, полиномами Эрмита и др.) алгоритмы решения рестриктивных уравнений инвариантного погружения. На их основе построены точные и приближенные рекуррентные алгоритмы рестриктив-ной фильтрации. В частности, построен не имеющий аналогов алгоритм рестриктивной фильтрации неопределенного ограниченного тренда интенсивности пуассоновского потока. Предложена конструкция нового типа полиномиального сплайна - рестриктивного сплайна, занимающего промежуточное положение между обычными полиномиальными сплайнами соседних целочисленных дефектов, что позволяет существенно повысить
гибкость сплайн-ашгроксимации данных.
Практическая певность.
Применение разработанных методов и алгоритмов рестриктивной филь трации и рестриктивной сплайн-аппроксимации в системах траектории^ наблюдений, навигационных, океанографических и других технических си стемах позволяет повысить эффективность обработки информации и точность определения состояний систем в условиях априорной неопределенности.
Внедрение результатов работы.
Результаты работы, реализованные в рамках НИР " Розыск-МВО". "Репортер-РВО", "Рулевой-РВО" в виде математических моделей функционирования навигационных систем в условиях априорной неопределенности, алгоритмов и программ комплексной обработки навигационной информации и исследования навигационных систем, использованы в в/ч 62728 при исследовании перспективных технических систем навигации и океанографии и при разработке технических заданий на НИР и ОКР по созданию таких систем. Это позволило повысить обоснованность и оперативность принимаемых решений при разработке перспективных систем морской навигации.
Результаты работы, реализованные в рамках НИР "Ботаника", "Руан-МСП", "Ригведа-МСП", "Уссури" в виде математических моделей функционирования навигационных систем, алгоритмов и программ обработки навигационной информации при стохастических и нестохастических возмущениях, подчиняющихся ограничениям, использованы в ЦНИИ "Электроприбор" (г.Санкт-Петербург). Научно-технический эффект от внедрения результатов диссертации состоит в повышении точности обработки навигационной информации в условиях априорной неопределенности.
Результаты работы, реализованные в виде комплекса программ имитационного моделирования "ИСМОНД" (589.АШЯ.21-01), использованы в ЦНИИ "Дельфин" (г.Москва) для автоматизации разработки стендовых и государственных испытаний изделия "Лидер". Комплекс "ИСМОНД" рекомендован к использованию для контроля этого изделия в процессе се-, рийного производства и предпоходной подготовки.
Кроме того, материалы исследований используются в учебном процессе при чтении курса лекций "Основы теории управления" и проведении лабораторного практикума по этому курсу на персональных компьютерах для студентов специальности 22.04.00 "Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем" в Томском государ-
твенном университете и при выполнении курсовых и дипломных работ :тудентов. На защиту выносятся следующие положения.
-
Постановка и слособ решения проблемы совместного оптимального :татистического оценивания состояний и априорно неопределенных огра-гаченных возмущений для динамических систем и рекуррентных процесів.
-
Развитие метода инвариантного погружения применительно к ре-:триктивным двухточечным краевым задачам оптимизации рекуррентных процессов.
-
Разработка точных методов решения уравнений инвариантного погружения для двухточечных краевых задач оптпмизации рестриктивных рекуррентных процессов и построение точных алгоритмов рестриктивной фильтрации.
-
Разработка конструктивного математического аппарата пошагового отображения и пошаговой аппроксимации решений уравнений инвариантного погружения и разработка на его основе приближенных алгоритмов фильтрации рестриктивных рекуррентных процессов.
-
Построение алгоритма максимально правдоподобной рестриктивной фильтрации тренда интенсивности пуассоновского потока.
-
Разработка конструкции нового типа полиномиального сплайна -рестриктивного сплайна, занимающего промежуточное положение между обычными полиномиальными сплайнами соседних целочисленных дефектов.
Апробация работы.
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических форумах:
I Всесоюзная школа-семинар по непараметрической статистике (Томск, 1973); VI Всесоюзная конференция по теории копирования и передачи информации (Томск, 1975); IV Международный симпозиум по теории информации (Ленинград-Репино, 1976); Всесоюзная конференция "Теория адаптивных систем и ее применения" (Ленинград, 1983); IV Всесоюзная школа-семинар по непараметрическим и робастным статистическим методам решения задач технической кибернетики (Томск. 1983): IV Всесоюзная конференция "Проблемы научных исследований в области изучения и освоения Мирового Океана" (Владивосток, 1983); XII школа-семинар по адаптивным системам (Могилев, 1984); Всесоюзный симпозиум "Математическое обеспечение для автоматизации исследований, идентификации и пла-
нирования экспериментов" (Харьков, 1984); Республиканская конференция "Исследование путей повышения эффективности сетей связи и сетей ЭВМ" (Гродно, 1985); Республиканская конференция "Методы и программное обеспечение обработки информации и прикладного статистического анализа данных на ЭВМ" (Минск, 1985); Отраслевая научно-техническая конференция "Проблемы, методы и опыт создания автоматизированных систем управления связью" (Москва, 1985); V Всесоюзная школа-семинар по непараметрическим и робастным статистическим методам (Шушенское, 1985); VI совещание-семинар по непараметрическим и робастным методам статистики в кибернетике (Томск, 1987); Всесоюзная научно-техническая конференция "Техническое и программное обеспечение комплексов полунатурного моделирования" (Гродно, 1988); VII Всесоюзный семинар по непараметрическим и робастным статистическим методам в кибернетике и информатике (Иркутск, 1990); II Всесоюзная научно-техническая конференция "Микропроцессорные системы автоматики" (Новосибирск, 1990); Всесоюзная конференция "Статистические проблемы управления" (Вильнюс, 1990); III Всесоюзная школа-семинар "Динамика, управление попетом и исследование операций" (Клин, 1990); Республиканская научная конференция "Математическое и программное обеспечение анализа данных" (Минск, 1990); Всесоюзная научно-техническая конференция "Идентификация, измерение характеристики имитация случайных сигналов" (Новосибирск, 1991); Республиканский семинар "Статистический синтез и анализ информационных систем" (Севастополь, 1991); Украинская Республиканская шкопа-семинар "Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей" (Черкассы, 1991); Региональная научно-техническая конференция "Автоматизация исследования, проектирования и испытаний сложных технических систем и проблемы математического моделирования" (Калуга, 1991); IMAGS/IFAC International Workshop "Methods and Software for Automatic Control Systems" (Irkutsk, 1991); International Workshop "Control System Synthesis: Theory and Application" (Novosibirsk, 1991); Всероссийская научно-техническая конференция с международным участием "Информационно-управляюшие и вычислительные комплексы на основе новых технологий. Наука и маркетинг" (Санкт-Петербург, 1992); Первая Всесибирская конференция по математическим проблемам экологии (Новосибирск, 1992); I Совещание "Новые направления в теории систем с обратной связью" (Уфа, 1993); Научная конференция с международным участием "Проблемы электротехники" (Новосибирск, 1993); Научно-техническая конференция с международным участием "Проблемы техники
технологии XXI века" (Красноярск, 1994); VIII Международный симпо-ггум по непараметрическим и робастным методам в кибернетике (Красно-рск, 1995); The Scientific Conference on Use of Research Conversion Results і the Siberian Institutions of Higher Education for International Cooperation SIBCONVERS'95) (Tomsk, 1995); III Международная научно-техническая онференгшя "Микропроцессорные системы автоматики" (Новосибирск, 996); II Сибирский конгресс до прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96) (Новосибирск, 1996).
Структура и объем диссертации.
Диссертация представляет собой опубликованную монографию [1] и приложение, включающее документы о внедрении. Монография состоит із введения и шести глав. Объем монографии - 17.25 деч.л. Библиография юдержит 60 названий.
