Введение к работе
Актуальность работы. Теория стохастических систем располагает обширным арсеналом эффективных методов для исследования стохастических дифференциальных систем. Однако применение многих методов этой теории резко тормозится практически полным отсутствием доступного для инженера и исследователя программного обеспечения, а также нехваткой ресурсов (оперативной памяти, быстродействия) современных ПЭВМ,особенно в задачах большой размерности.А ведь именно большая размерность характерна для математических моделей различных систем авиационно-космической техники, настоятельно требующих всестороннего исследования. В результате теория стохастических систем широко применяется лишь к задачам небольшой размерности и к упрощенным моделям сложных систем.
Одной из центральных задач теории стохастических дифференциальных систем является проблема анализа.
Как известно,распределение случайной функцииX(t)^tєTf со значениями в некотором измеримом пространстве .# в пространстве всех функций времени ~t, & Т , отображающих Т в X , однозначно определяется последовательностью ее согласованных конечномерных распределений (теорема Колмогорова).Таким образом, проблема полного статистического анализа системы состоит в определении всех конечномерных распределений вектора состояния системы, рассматриваемого как случайная функция времени. В большинстве приложений оказывается достаточным знать только одномерное распределение.В этом случае задача анализа сводится к определению только одномерного распределения вектора состояния. Тем не менее для ряда важных практических задач знание других конечномерных распределений необходимо,например,для решения задач экстраполяции случайных процессов и нахождения вероятностей попадания реализации случайного процесса в фиксированные области.\ Поэтому задача определения одномерных и многомерных распределений вектора состояния стохастической дифференциальной системы является центральной задачей статистического анализа.
Для решения задачи анализа стохастических дифференциальных систем можно применять три различных подхода.
Первый из них состоит в непосредственном составлении и интегрировании уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) и Кол-могорова-Феллера (КФ) для плотностей или уравнения Пугачева для характеристической функции.Данный подход позволил найти точные решения для ряда простых задач,например,для любых линейных систем,а также для некоторых классов нелинейных систем.В случае многомерных нелинейных стохастических дифференциальных систем единственным путем решения этих уравнений является численное интегрирование,которое при большой размерности вектора состояния в настоящее время практически нереализуемо.Однако работы в данной области ведутся и направлены в основном на совершенствование и создание новых численных алгоритмов решения уравнений ФПК и КФ.
Второй подход состоит в использовании метода статистического моделирования (метода Монте-Карло).В случае стохастических дифференциальных систем он сводится к численному интегрированию системы исходных стохастических дифференциальных уравнений с моделированием приращений винеровского процесса и пуассоновских процессов на каждом шаге численного интегрирования,а также к моделированию случайных начальных условий и к последующей статистической обработке полученных реализаций.К недостаткам метода можно отнести необходимость проведения моделирования большого количества реализаций для получения приемлемой точности и сильный рост объемов вычислительных экспериментов с увеличением размерности самого вектора состояния. Широкое использование этого метода обусловлено небольшой трудоемкостью исследования системы и простотой его программной реализации.Кроме того, метод статистического моделирования позволяет включать в процесс моделирования некоторые реальные элементы моделируемой системы или их действующие макеты,а также людей, участвующих в работе системы.
Третий подход состоит в применении аналитических методов для приближенного решения уравнений,определяющих одномерные и конечномерные распределения.Известные методы данного класса (методы нормальной аппроксимации и статистической линеаризации, ме-
тоды моментов, семиинвариантов, модифицированные моментно-'семи-инвариантные методы, методы, основанные на ортогональных разложениях плотностей вероятности и др.) основаны на параметризации распределений и позволяют получать по исходной системе стохастических дифференциальных уравнений приближенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для необходимых параметров распределения. Основной трудностью практического применения упомянутых методов, особенно для многомерных систем, является чрезвычайно быстрый рост числа уравнений для моментов, семиинвариантов или коэффициентов отрезков ортогональных разложений плотностей с увеличением размерности вектора состояния. Сокращение числа уравнений для параметров распределения возможно только при дополнительных ограничениях на структуру распределения. Как удалось обнаружить автору, наиболее радикального сокращения числа уравнений для параметров распределение удается добиться для эллипсоидальной структуры распределения.
Дели и задачи работы. Целью работы является создание новЪ-го эффективного для реализации на ПЭВМ приближенного метода анализа нелинейных стохастических дифференциальных систем на основе аппроксимации одномерных и конечномерных распределений распределениями эллипсоидальной структуры.
Для достижения сформулированной цели ставятся следующие задачи:
1.Построить ортогональную систему полиномов для представления неизвестной плотности разложением в ряд по этой системе. Сформулировать и доказать набор теорем о свойствах системы полиномов.
2.На основе эллипсоидальной аппроксимации распределения и \
применения разложений по построенной системе полиномов вывести
уравнения для параметров одномерного и конечномерных распределе
ний. ' v
3.Разработать алгоритмическое обеспечение для автоматизированного решения на ПЭВМ разработанным методом задачи статисти-
ческого анализа случайных процессов в стохастических дифференциальных системах с применением-стандартных математических библиотек для научно-технических расчетов.
4. Провести теоретическое и экспериментальное исследование ряда стохастических механических систем методом эллипсоидальной аппроксимации для оценки точности метода.
Методы исследования. В работе использованы современные методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории стохастических дифференциальных уравнений, статистической теории нелинейных колебаний и теории гироскопов, вычислительные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений,а также методы математического моделирования на ПЭВМ.
Научная новизна. Введено понятие эллипсоидальной аппроксимации - аппроксимации неизвестных одномерной и конечномерных плотностей вероятностей вектора состояния стохастической дифференциальной системы плотностями, имеющими эллипсоидальную структуру.
Для формирования эллипсоидальных аппроксимаций плотностей вероятностей специально строится система полиномов,зависящих от квадратичной формы,ортогональная по отношению к гамма-распределению и обладающая известными необходимыми свойствами. На базе этих свойств предложена процедура построения согласованной последовательности аппроксимирующих плотностей. Приведены разложения плотностей по созданной системе полиномов, исследованы воп-' росы сходимости таких разложений.
Разработаны методики расчета одномерной и конечномерной плотностей вектора состояния нелинейной стохастической системы, основанные на эллипсоидальной аппроксимации распределений.
Научная и практическая ценность.Разработано алгоритмическое и программное обеспечение метода эллипсоидальной аппроксимации одномерных и других конечномерных распределений процессов в не-
линейных стохастических дифференциальных системах с применением программ библиотеки NALIB научно-технических расчетов на ПЭВМ. Дано применение метода эллипсоидальной аппроксимации в задачах нелинейной теории колебаний, динамики твердого тела и теории гироскопов. Проведена оценка точности полученных результатов.
Аппробация работы.Материалы диссертации докладывались и обсуждались на її Всесоюзной научно-технической конференции "Перспективные методы анализа и планирования экспериментов при исследовании случайных процессов и полей (Петрозаводск,1991), Советско-Британском коллоквиуме по проблемам компьютерного моделирования в системе образования (Москва,1990), а также на семинарах в Московском авиационном институте (Москва,1989-1993),Институте проблем информатики РАН (Москва,1989,-1993),Международном институте прикладного системного анализа (Австрия,1991).
Изложение материалов,лежащих в основе Глав 2 и 3 рабо-' ты,включено во второе издание книги Пугачева B.C. .Синицына ИЛ1.' Стохастические дифференциальные системы.Анализ и фильтрация; 1990,служащей базовым учебником по курсам "Случайные процессыу и "Стохастические дифференциальные уравнения" факультета "Прикладная математика" Московского авиационного института.
Работа,содержащая основы математического обеспечения метода эллипсоидальной аппроксимации одномерных плотностей была удостоена диплома лауреата Московского городского конкурса на лучшую научную работу студентов по естественным,техническим и гуманитарным наукам по разделу "Математические науки" (1989).
Аппробация диссертации в целом проведена на кафедре "Теория вероятностей и математическая статистика" Московского авиационного института.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 8 печатных работ. ' ~ .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения,
пяти глав и Заключения. Содержание работы изложено на 237 страницах машинописного текста, иллюстрировано 4 рисунками и 3 таблицами. Список использованных источников составляет 119 наименований.
