Введение к работе
Актуальность темы. Задачи фильтрации со свободными или подвижными границами составляют существенную часть явлений, происходящих в природе, например, фильтрация через земляные плотины (дамбы), фильтрация из открытых источников (каналы, реки, озера, системы орошения и заполняемые водоемы), приток к колодцам.
Большой вклад в развитие теории и методов решения задач фильтрации внесла советская школа механиков, основоположниками которой являются Н.Е.Жуковский, Н.Н.Павловский, Л.С.Лейбензон и, в дальнейшем, В.И.Аравин, С.Н.Нумеров, П.Я.Полубаринова-Кочина. Как правило, эти исследования были посвящены аналитическим и численно-аналитическим исследованиям задач фильтрации, следующим закону Дарси.
Исследования, заложившие основы теории нелинейной фильтрации в гидродинамической постановке, выполнены С. А. Христиановичем. Дальнейшее развитие теория и методы решения таких задач получили в работах С. Н. Нумерова, В. М. Ентова, 10. М. Молоковича, Н. Б. Ильинского, А. В. Костерина, Н. Д. Якимова, Р. Б. Салимова, Э. В. Скворцова, Е. Г. Шешукова. В этих работах в основном изучались задачи напорной фильтрации. В большинстве случаев был использован метод преобразования исследуемой задачи в плоскость годографа. Математическими моделями задач нелинейной напорной фильтрации при постановке в физической плоскости служат квазилинейные эллиптические уравнения с коэффициентами, зависящими от градиента искомой функции. В такой постановке эти задачи были изучены в работах А.Д.Ляшко, М.М.Карчевского, А.В.Лапина, И.Б.Бадриева.
Задачи безнапорной фильтрации, к которым относится исследуемая в диссертации задача о фильтрации в плотине, - это задачи с частично неизвестными (свободными) границами даже при линейном законе фильтрации.
В настоящее время существуют два основных подхода к решению задачи о плотине, т.е. задачи фильтрации несжимаемой жидкости через пористую преграду под действием силы тяжести - метод вариации свободной границы и метод преобразования к вариационному неравенству в фиксированной области.
В 1971 году К.Байокки сформулировал задачу установившейся фильтрации жидкости, подчиняющейся закону Дарси, через прямо-
угольную плотину в виде вариационного неравенства в фиксированной области. Подход Байокки позволил получить теоретические результаты по существованию, единственности и гладкости решения и свободной границы и применять для ее численного решения методы конечных разностей и конечных элементов на фиксированных сетках. В 1979 году Г. В. Альт и, независимо, X. Брезис, Киндерлерср, Г. Стампаккья предложили новую вариационную формулировку задачи о линейной фильтрации в плотине произвольной геометрии при произвольной неоднородности материала плотины. Был доказан результат о существовании обобщенного решения. Позже была изучена проблема единственности этого решения и исследованы схемы МКЭ.
Известно, что свободная граница - депрессионная поверхность - и в особенности участок высачивания, определяемый по свободной границе, представляют наибольший практический интерес. При численном решении вариационных неравенств свободная граница определяется на основе апостериорной обработки полученного приближенного решения. В связи с этим для ее достаточно точного определения требуется использовать либо специальные методы апостериорной обработки информации, недостаточно разработанные к настоящему времени, либо решать задачу с использованием численных методов высокого порядка, что приводит к существенному повышению трудоемкости численного решения.
Метод вариации свободной границы позволяет уточнять ее положение непосредственно в процессе решения задачи. Суть этого метода состоит в последовательном приближении к свободной границе на основе решения краевой задачи для дифференциального уравнения в очередном приближении к искомой области фильтрации. При этом в постановке краевой задачи участвует одно из двух условий на неизвестной границе, а второе условие используется в процедуре уточнения положения этой границы.
Различные варианты метода вариации свободной границы давно используются в практике решения задач фильтрации. Однако, в большинстве случаев их применение основано на некоторых эмпирических соображениях и теоретически не обосновано. Кроме того, условие высачивания жидкости через низовой откос плотины не контролируется, что может привести к "нефизическим" решениям. Более строгим является подход, основанный на постановке задаче со свободной границей как задачи оптимального управления областью. При таком подходе мы фактически реализуем метод вариации свободной гра-
ницы, когда "направление" вариации указывается на основе градиентной информации для функционала цели. Это дает возможность обосновать сходимость приближений к точке локального минимума функционала цели.
Теория и применение методов оптимального управления системами с распределенными параметрами являются одним из наиболее важных и актуальных разделов математики. В нашей стране первые исследования в этой области были проведены А.Г.Бутковским, К.А.Лурье, Т.К.Сиразетдиновым. Известны математические монографии по теории оптимального управления Ж.-Л.Лионса и В.Барбу. Теория оптимизации формы области как одно из направлений в теории оптимального управления получило значительное развитие в последние два десятилетия (см. книги О.Пиронно, Хог Э., Чой К., Комков В., Я. Хаслингер, П. Нейттаанмяки.)
Методы решения задач со свободными границами, основанные на их формулировке в виде вариационных неравенств в фиксированной области, являются на данный момент наиболее универсальными. В совокупности с сеточными методами аппроксимации (методы конечных элементов и конечных разностей) и численными методами нелинейной оптимизации они образуют мощный инструмент решения задач со свободными границами в многомерных областях сложной геометрии. В то же время, методы вариации свободной границы, основанные на теоретически обоснованной постановке задач в виде задач оптимального управления, дают возможность более точного определения свободной границы как одного из основных составляющих решения задачи. Бесспорно, что совместное использование этих двух подходов может стать эффективным средством решения упомянутых задач. Все вышесказанное определяет актуальность разработки и исследования методов оптимизации формы области для задач со свободными границами.
Цели диссертационной работы:
1. Математическая формулировка задач фильтрации несжимаемой
жидкости в плотине при линейном и нелинейном законах фильтрации
в виде задач оптимизации формы области; теоретическое исследова
ние поставленных задач.
2. Построение и исследование сеточных аппроксимаций сформу
лированных задач оптимального управления; развитие и применение
алгоритмов оптимизации к численному решению конечномерных ап-
проксимаций.
3. Создание комплекса программ и проведение численных экспериментов для модельных задач.
Научная новизна результатов, изложенных в диссертации.
В работе Бежиса и Гловински впервые метод оптимизации формы области был применен к решению задачи со свободной границей - решена простейшая задача фильтрации в прямоугольной плотине. Подход к решению более общей задачи указан Хаслингером и Мяки-неном, при этом теоретическое обоснование не было проведено. В диссертации предложен и обоснован новый метод решения задач фильтрации в плотине, основанный на методах оптимизации . Основное отличие состоит в том, что в функционал цели включается іг-норма нормальной компоненты скорости фильтрации на варьируемой границе вместо 1У2~ " нормы как у Хаслингера и Мякинена. Это дает возможность строить более простые в реализации сеточные аппроксимации задачи. Для формулировки задачи оптимального управления с использованием Ьг-нормы нормальной компоненты скорости фильтрации требуется соответствующая регулярность решения и свободной границы. Такая регулярность доказана в диссертации в случае линейного закона фильтрации и предполагается в случае нелинейного закона.
Научная новизна работы определяется следующими ее основными результатами:
-
Предложена новая постановка задач фильтрации жидкости со свободными границами в виде задач оптимизации формы области; обоснована корректность сформулированных задач в случае линейного закона фильтрации.
-
Предложен и обоснован новый подход к решению сеточных аппроксимаций прямой и сопряженной задач оптимального управления, основанный на использовании модифицированной функции Лагранжа и примененный к задачам с линейным и нелинейным законами.
Методика исследований. Математическое моделирование задач фильтрации жидкости через пористую преграду основано на использовании методов теории линейной и нелинейной фильтрации. При исследовании существования и регулярности решений поставленных задач применяются методы функционального анализа, теории пространств С.Л.Соболева и теории краевых задач для уравнений с частными производными. Анализ численных методов решения основан на
теории метода конечных элементов и теории методов оптимизации. Вывод градиентной информации в задачах оптимального управления формой области опирается на теорию чувствительности.
Достоверность сформулированных теоретических результатов обеспечена строгими доказательствами. Достоверность численных расчетов обусловлена хорошим совпадением результатов с известными.
Научное и практическое значение работы. Диссертационная работа содержит в основном теоретические результаты. Ее основное научное значение состоит в том, что предложен и исследован новый численный метод решения задач фильтрации со свободными границами, основанный на их сведении к задачам оптимального управления областью.
Вместе с тем, разработанные алгоритмы и программы могут быть включены в комплекс прогаммных средств, предназначенных для решения практических задач со свободными границами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета, на Всероссийских молодежных школах-конференциях (Казань. 1998, 2000) и на научных семинарах Научно-исследовательского института им.Н.Г Чеботарева КГУ. Диссертация в целом обсуждена на семинаре Отделения математического моделирования Научно-исследовательского института им.Н.Г Чеботарева КГУ.
Публикации. Основное теоретическое содержание диссертации изложено в работах [1]-[3]. В этих работах автор принимал участие на всех этапах исследования.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Работа изложена на 80 страницах. Список литературы насчитывает 44 наименования.
