Введение к работе
Актуальность темы,. Задачи с фазовыми переходами моделируют многие процессы, возникающие в механике, биологии, экологии; они играют важную роль и в технологических процессах, таких как производство полупроводниковых материалов, очистка методом направленной кристаллизации. Исследование этих задач имеет не только прикладной, но и теоретический интерес поскольку они относятся к классу задач со свободными границами, которые активно изучаются как у нас в стране, так и за рубежом. Однако, в отличие от моделей фазового перехода в чистом веществе, которым посвящено множество исследований, модели фазового перехода в веществе, содержащем примесь изучены недостаточно. Основными результатами в этой области являются работы Э.Х. Ени-кеевой (1968), А.Г. Петровой (1985), в которых доказаны некоторые локальные теоремы для равновесной модели в одномерном случае в рамках классического подхода, а также работы A.M. Мейрманова и И.Г. Гет-ца (1986) в которых сформулирована обобщенная постановка и доказано существование обобщенного решения одномерной стационарной задачи.
Корректность моделей фазового перехода в веществе, содержащем примесь в случае сферической симметрии ранее не исследовалась; точные решения были построены только для одномерной (в плоской геометрии) задачи в полубесконечной области.
Относительно небольшое количество работ, посвященных численному решению задач с фазовыми переходами в веществе, содержащем примесь, среди которых следует выделить работу А.Ф. Воеводина, Н.А. Леонтьева, А.Г. Петровой (1982) о кристаллизации шара, не позволяет говорить о существовании достаточно универсального эффективного метода, что стимулирует разработку новых алгоритмов численного решения подобных задач.
Перераспределение примеси в веществе при фазовом переходе играет существенную роль в технологических процессах. Этим объясняется необходимость численного и аналитического исследования как традиционных, так и новых моделей фазовых переходов в веществе, содержащем примесь, таких как модель затвердевания эмульсии, движущейся под действием термокапиллярных сил, сформулированная О.В. Воиновым, В.В. Пухначевым (1995).
Решению этих вопросов и посвящена данная работа.
Цель работы состоит в исследовании корректности различных моде-
лей фазовых переходов вещества, содержащего примесь в случае сферической симметрии, разработке и реализации эффективных алгоритмов численного исследования этих задач, учитывающих влияние малых параметров.
Научная новизна определяется следующими результатами. Доказана локальная по времени разрешимость в гельдеровских классах функций равновесной и модифицированной задачи, учитывающей влияние поверхностного натяжения и кинетического переохлаждения на скорость движения свободной границы, для случая сферической симметрии. Получены условия строгой монотонности движения свободной границы для сферически симметричной задачи Стефана.
Построено автомодельное решение задачи роста кристалла из переохлажденного расплава. Построено точное решение задачи кристаллизации бинарного сплава для сферически симметричного случая при отсутствии диффузии в твердой фазе. Для описания процесса зарождения фазы при решении задачи кристаллизации шара построена начальная асимптотика при различных режимах охлаждения поверхности, позволяющая установить связь скорости движения свободной границы с темпом охлаждения. Построено точное решение задачи затвердевания эмульсии.
Разработан экономичный алгоритм численного решения задач стефа-новского типа при наличии примеси. Предложен метод решения подобных задач с малыми параметрами с помощью явного выделения погран-слойных функций, а также алгоритм численного исследования задачи ^аиерде^а^іия^мульсии.
Проведено численное исследование влияние примеситі-учета-диффу'
зии в твердой фазе на процесс кристаллизации. Исследовано влияние режима охлаждения поверхности шара на переохлаждение, возникающее в жидкой фазе.
Практическая ценность работа. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании физических, биологических и технологических процессов, приводящих к необходимости численного решения задач фазового перехода вещества, содержащего примесь.
Методы исследований. При аналитическом и численном исследовании использовались методы функционального анализа и теории краевых задач параболического типа; асимптотические методы; численные методы механики сплошных сред.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсу-
ждались на:
международная школа - семинар по численным методам (Новосибирск, 1997).
краевые конференции по математике ( Барнаул, 1998, 1999, 2000).
"Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике" ( ИНПРИМ-98, Новосибирск,1998).
международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999).
международная конференция "Nonlinear partial differential equations" (Львов, 1999).
Диссертационная работа прошла апробацию на семинаре отдела прикладной гидродинамики, руководимом чл.корр. РАН В.В. Пухначевым в Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева.
На защиту выносятся следующие результаты:
Исследование корректности различных моделей фазовых переходов вещества содержащего примесь в случае сферической симметрии.
Точные и автомодельные решения различных задач с фазовыми переходами при наличии примеси.
Алгоритмы численного решения задач стефановского типа при наличии примеси для различных темпов охлаждения.
Численное исследование влияние примеси, диффузии в твердой фазе и режима охлаждения поверхности шара на процесс кристаллизации.
Численное исследование задачи затвердевания эмульсии в случае сферической симметрии.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 69 наименований.
