Содержание к диссертации
Введение
Глава 1, Основной математический аппарат и одна теорема об устойчивости, используемые в работе 10
Глава 2. Потеря устойчивости стационарного движения гировертикали с радиальной коррекцией 16
2 1. Вывод уравнений движения гировертикали с радиальной коррекцией 16
2.2. Анализ устойчивости стационарного движения гировертикали 19
2.3. Потеря устойчивости стационарного движения и рождение предельного цикла 20
Глава 3. Анализ динамической неустойчивости корректируемого гирокомпаса на циркуляции точки подвеса по земной сфере 27
3.1. Уравнения движения корректируемого гирокомпаса 27
3.2. Основные и комбинационные резонансы 33
3.3. Построение областей динамической неустойчивости при наличии основных резонан сов 35
3.4. Зоны динамической неустойчивости при комбинационных резонансах 45
Глава 4, Периодические решения уравнений движения динамически настраиваемого гироскопа (ДНГ) 51
4.1. Уравнения движения ДНГ 51
4.2. Теорема Ляпунова о голоморфном первом интеграле 55
4.3. Построение периодических решений нелинейной системы, описывающих динамику ДНГ 58
Глава 5. Предельный цикл в задаче о движении неуравновешенного ротора, установленного в упругих подшипниках 69
5.1. Вывод уравнений движения неуравновешенного ротора 69
5.2. Нахождение установившегося движения ротора и анализ его устойчивости 71
5.3. Потеря устойчивости установившегося движения и условия рождения предельного цикла 73
Глава 6. Численное моделирование динамики гировертикали с радиальной коррекцией и корректируемого гирокомпаса 81
6.1. Численное построение предельного цикла в задаче о гировертикали с радиальной коррекцией 81
6.2. Численное моделирование динамики корректируемого гирокомпаса 85
Выводы 90
Литература
- Анализ устойчивости стационарного движения гировертикали
- Построение областей динамической неустойчивости при наличии основных резонан сов
- Теорема Ляпунова о голоморфном первом интеграле
- Нахождение установившегося движения ротора и анализ его устойчивости
Анализ устойчивости стационарного движения гировертикали
Гировертикаль с радиаль ной коррекцией - прибор, кото рый получил широкое распро странение в навигации. Устрой ство выполнено на базе уравно вешенного гироскопа в кардано вом подвесе, установленного на неподвижном основании. При бор предназначен для определе ния вертикали места, на кото . рую направлен кинетический мо мент ротора гироскопа.
В [2,3] дано описание прибора и рассмотрены уравнения движения в первом приближении. В работе [1] рассматривалось возникновение автоколебательного режима гировертикали с радиальной коррекцией при переходе параметров системы через границу области устойчивости.
В настоящей работе, в отличие от работы [1], рассматривается задача об автоколебаниях гировертикали в нелинейной постановке с учетом масс колец подвеса гироскопа. Исследуются условия возникновения бифуркации рождения предельного цикла при переходе параметров системы через границу области устойчивости [5]. Проверка этих условий требует исследования устойчивости в критическом случае, когда характеристическое уравнение системы первого приближения имеет пару чисто мнимых корней [32].
Рассмотрим устройство прибора. Ось внешнего карданова кольца астатического гироскопа, установленного на неподвижном основании, горизонтальна. Ее поворот определяется углом а. Поворот внутреннего кольца характеризуется углом р (рис. 2.1). При р=0 плоскости внешнего и внутреннего колец ортогональны. При отклонении оси гироскопа от вертикали к осям подвеса прилагаются внешние моменты Ма, М„ которые формируются с помощью датчиков, установленных на кольцах подвеса. Также учитывается трение в осях подвеса. Без диссипативных сил асимптотическая устойчивость неосуществима. Внешние моменты имеют вид:
Ма = -finp -ка , Ме= fin а-к р. Кинетическая энергия системы с учетом масс колец подвеса такова [3]: Т = і (А + А, + А2 - (А + Л{ - С, )Sin 2р )а2 + (Л + 5, )fi2 + +-С(ф + aSinp)2, где А - экваториальный момент инерции гироскопа, А В С - моменты инерции внутреннего кольца относительно осей, связанных с этим кольцом, Аг- момент инерции наружного кольца относительно его оси вращения, к коэффициент сил сопротивления в осях подвеса колец, р - угол собственного вращения ротора.
Уравнения движения запишем в форме уравнений Лагранжа, которые имеют вид: d дТ дТ = Ма - = M,, (2.1) dt да да d_dT_dT dt дР dp d зт аг dt дф Ъ(р Последнее уравнение системы (2.1) интегрируется. С(ф + dSinp) = Я = const - циклический интеграл, а Н - циклическая постоянная. (A + Al+A2-(A + Al-Ci )Sin2p)u - (Л + Л, - С, )Sin(2B)afi + «j + HCOSB B + kd + ftSin/3 = 0, (2.2) (A + Bt)fi + (A + At -C SinBCosBd2 -HCosBd + k0-pSina = 0. В (2.2) исключена циклическая координата p. Уравнения (2.2) допускают стационарное решение а = В = 0, d = fi = 0. (2.3)
Это решение соответствует случаю, когда плоскости колец ортогональны, а гироскоп вращается с постоянной угловой скоростью. Исследуется устойчивость этого стационарного решения в зависимости от параметров системы.
Приведем уравнения движения (2.2) к безразмерному виду с помощью подстановки т - —/, а также обозначим А0 = A + Ах + А2, B0=A + Bt, C A + AJ-CJ. Тогда уравнения возмущенного движения (2.2) примут вид: ( W a" + /3 + na + e/3-2cpa j3 + с-- J32B + cnfi2a + V 2) ґ 1} + с— У 0ъе+ ... = 0, (2.4) -Ia + - --a + - a 2+— V + —а3+... = 0, и Ъ Ь Ь Ьи 26 6Ь С0 В0 к цА где с = - -, Ъ =—, и = —, е- - -. V V П Н2 Здесь штрих обозначает производную по г, а многоточие - совокупность членов не ниже 5 порядка. Уравнения движения представляют собой нелинейную систему дифференциальных уравнений 4-го порядка. Рассмотрим систему первого приближения уравнений (2.4). (2.5) bob или \сс" + /3 + псс +ев = 0, [bfi"-a + np -ea = 0. Представим систему (2.6) в виде: Ах + Btx + Gtx + yG{x = 0, (2.6) (2.7) где х = a fi. ,А = (\ О о ъ 1в,= п ОЛ О п ,G,= О 1 -1 0. у = е, Для того, чтобы воспользоваться утверждением, доказанным в главе 1, линейную часть системы (2.4) приведем к виду системы (1.9). Для этого вы _i полним замену переменных z = А гх, тогда система (2.7) примет вид: z + А 1гВхА Ч + А Ю і + yA "GxA z = 0. .-і .-і Обозначим В = A BlA \ G = А гОхА 2 = 4ь —7 / . В этом случае уравне ния (2.7) представляют собой частный случай систем общего вида, рассмотренный в главе 1, и совпадают с уравнениями (1.9). Воспользуемся утверждением, доказанным для этих систем в главе 1. Невозмущенное движение системы (1.9) асимптотически устойчиво при 6,- y,i l,n, т.е. для системы (2.7) при выполнении неравенств e n,be n, (2.8) имеет место асимптотическая устойчивость. Так как на практике, как правило, BQ AQ, ТО неравенства (2.8) сводятся к одному е п. Это неравенство является достаточным условием асимптотической устойчивости стационарного решения системы (2.5).
Построение областей динамической неустойчивости при наличии основных резонан сов
Теорема Ляпунова о голоморфном первом интеграле
Объектом исследования является динамически настраиваемый гироскоп [15]. ДНГ представляет собой механическую систему, состоящую из трех твердых тел: вал (1), кольцо(2), ротор(З), связанных торсионами (4) (рис.4.1). Торсионы - упругие элементы, обладающие конечной жесткостью на кручение, имеют на несколько порядков большие жесткости на изгиб. Назначением системы является моделирование свободного гироскопа, которое осуществляется, когда ДНГ работает в режиме динамической настройки. Режимом динамической настройки ДНГ называется такой режим, при котором отсутствует постоянная составляющая суммарного момента, действующего со стороны кольца и упругих подвесов на отклоненный ротор, что при отсутствии диссипативных моментов делает гироскоп близким к свободному.
Теория динамически настраиваемых гироскопов и их линейной модели рассмотрена в [15]. В этой работе также предложена полная модель погрешностей ДНГ и исследовано их влияние на точность прибора. Влияние нели 52 нейных эффектов на точность ДНГ исследовано в работе [17]. В работе [36] рассмотрен метод получения уравнений движения механических систем, функция Лагранжа которых является аналитической функцией. Метод проиллюстрирован выводом дифференциальных (линейных и нелинейных) уравнений движения ДНГ с одним или несколькими кольцами.
Целью настоящего исследования является уточнение собственных частот и периода колебаний. Задача решается в нелинейной постановке. Для ее решения используется теорема Ляпунова о голоморфном интеграле.
Ось вращения вала ДНГ совпадает с осью О инерциальной системы координат 0%j]Q . Системы координат Ox2y2z2 , Ox1ylz], Oxyz связаны с вращающимся валом, кольцом и ротором соответственно. Угол а характеризует поворот кольца относительно вала вокруг оси Охх, а угол /3 - поворот ротора относительно кольца вокруг оси Оу. Вал вращается относительно оси ОС с постоянной угловой скоростью П (рис.4.2).
Режимом динамической настройки ДНГ называется такой режим, при котором ось Oz ротора гироскопа сохраняет неизменным свое направление в инерциальиом пространстве (т. е. относительно системы координат 0%?]) при отклонении вала от своего исходного положения Oz2. Для реализации режима динамической настройки необходимо подобрать моменты инерции кольца и ротора, жесткость торсионов и угловую скорость вращения вала таким образом, чтобы было выполнено условие настройки [15] ((2 -0 - (2 -0 + 2 - - )=(2 -0) 4. (4.4) Учитывая, что моменты инерции кольца много меньше моментов инерции ротора, и пренебрегая величинами порядка (4.5) А«і} Яі г L X , AC А условие динамической настройки (4.4) примет вид [15] (4.6) к (2А Сх) Учтем условие (4.6) и, пренебрегая величинами (4.5), вводя обозначения WA К, уравнения (4.3) приведем к виду а -(2-К)р + {К-\)а = -{К-\)аг--(г-К)а2р + + (К-\)к(р рг +а/32)-2(К-1)а 0 0, /1» + (2-К)а + {К-ф = (2-К)а а2+-(К-1)03 + (4.7) + {К-\)[а 20 2а 02+а20] . Характеристическое уравнение системы первого приближения Я4 + Я2 {[К - І}2 +1)+ (К -1)2 = О имеет две пары чисто мнимых корней С — А Хх г = ±ій)., Хъ 4 = ±т2, где а { =1, со2 = . А
Таким образом, условие настройки (4.6) можно интерпретировать как условие равенства угловой скорости вращения вала одной из собственных частот
Теорема Ляпунова о голоморфном первом интеграле
Покажем, что система (4.7) является системой Ляпунова, то есть удовлетворяет теореме Ляпунова о голоморфном интеграле [стр. 11].
Представим систему (4.7) в виде (1.7). Для этого с помощью невырожденной линейной замены переменных (линейной нормализации), которая задается формулами
Нахождение установившегося движения ротора и анализ его устойчивости
В работе рассмотрены различные механические объекты, которые все являются гироскопическими системами. Все рассмотренные механические системы исследованы в нелинейной постановке (за исключением корректируемого гирокомпаса), для чего применялись методы разработанные Ляпуновым А. М., Пуанкаре А.
В работе получены следующие результаты.
1. Доказано утверждение об устойчивости системы, находящейся под действием диссипативных, гироскопических и неконсервативных позиционных сил (глава 1).
2. Рассмотрены нелинейные уравнения движения гировертикали с радиальной коррекцией (2.2). Исследована устойчивость стационарного решения, соответствующего случаю, когда плоскости кардановых колец ортогональны, а гироскоп вращается с постоянной угловой скоростью. С помощью доказанного утверждения об устойчивости получено достаточное условие устойчивости системы (2.8). Необходимое и достаточное условие устойчивости системы получено с помощью критерия Рауса-Гурвица, который применяется к характеристическому уравнению системы первого приближения (2.5). Рассмотрено выполнение условий теоремы Андронова-Хопфа. Показано, что два корня пересекают мнимую ось трансверсально. Исследована устойчивость системы на границе области устойчивости в критическом случае, когда характеристическое уравнение системы первого приближения имеет пару чисто мнимых корней. С помощью теоремы Андронова-Хопфа показано, что при переходе параметров системы через границу области устойчивости возникает асимптотически устойчивый предельный цикл. Получено аналитическое выражение для первой ляпуновской величины (2.17). При заданных числовых значениях численно построен предельный цикл. Выполнено численное моделирование уравнений (2.4) при различных значениях є и начальных условиях, взятых внутри радиуса цикла и вне его (рис. 6.1 - 6.5).
3. Рассмотрены уравнения двюкения корректируемого гирокомпаса в случае, когда объект, на котором установлен гирокомпас, совершает циркуляцию по земной сфере с постоянной угловой скоростью (3.6), представляющие собой линейную однородную систему дифференциальных уравнений четвертого порядка с периодическими коэффициентами (3.9). Исследована потеря устойчивости при наличии явления параметрического резонанса. Найдены частоты собственных колебаний. С помощью метода осреднения найдены в первом приближении области динамической неустойчивости, соответствующие основным резонансам (3.22), (3.27). С помощью метода Хилла найдены области динамической неустойчивости в первом приближении в случае комбинационных резонансов (3.32), (3.33). При заданных числовых значениях найдены частоты циркуляции, на которых возникают резонансы и построены в первом приближении области динамической неустойчивости (рис. 6.6 - 6.9). Проведено численно моделирование дифференциальных уравнений в случае наличия резонанса (рис, 6.10, 6.11).
4. Рассмотрены нелинейные уравнения, описывающие движение ДНГ (4.7). При условии отсутствия внутреннего резонанса с помощью теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле построено двухпараметриче-ское семейство периодических решений, соответствующее каждой из собственных частот системы (4.18),(4.23). Найдены поправки к частотам собственных колебаний.
5. Рассматриваются нелинейные уравнения движения вращающегося ротора, имеющего эксцентриситет (5.1). Исследована устойчивость установившегося движения ротора, соответствующего явлению самоцентрирования (5.3). Получено условие устойчивости установившегося движения. Показано, что два корня пересекают мнимую ось трансвер-сально. Исследована устойчивость на границе области устойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней. Показано, что, согласно теореме Андронова-Хопфа при переходе параметров системы через критическое значение возникает асимптотически устойчивый предельный цикл.
