Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ принципов построения и особенностей динамики импульсных систем управления преобразователями энергии 11
1.1 Принципы построения импульсных систем управления преобразователями энергии, реализованных на базе широтно-импульсной модуляции 11
1.2 Бифуркации и хаос в импульсных системах управления преобразователями энергии 21
1.3 Основные результаты и выводы 26
2 Разработка алгоритмов анализа хаотической динамики преобразователя энергии с однополярной реверсивной модуляцией 27
2.1 Построение математической модели преобразователя энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения 27
2.1.1 Схема замещения и математическая модель преобразователя энергии с однополярной реверсивной модуляцией 27
2.1.2 Преобразование математической модели 31
2.1.3 Сведение математической модели к стробоскопическому отображению 39
2.2 Разработка алгоритмов анализа хаотической динамики преобразователя энергии с однополярной реверсивной модуляцией 45
2.3 Основные результаты и выводы 50
3 Исследование закономерностей хаотической динамики преобразователя энергии с однополярной реверсивной модуляцией 51
3.1 Анализ двупараметрической диаграммы динамических режимов преобразователя энергии с однополярной реверсивной модуляцией 51
3.2 Анализ закономерностей хаотической динамики преобразователя с однополярной реверсивной модуляцией 57
3.3 Основные результаты и выводы 82
4 Экспериментальное исследование динамики системы управления пре образователем энергии с однополярной реверсивной модуляцией 83
4.1 Описание экспериментального стенда 83
4.2 Методика проведения эксперимента 88
4.2.1 Порядок проведения эксперимента 88
4.2.2 Настройка и измерение параметров схемы управления 89
4.2.3 Экспериментальное исследование границы области устойчивости рабочего режима 90
4.2.4 Экспериментальное исследование динамики преобразователя энергии в области квазипериодичности 94
4.3. Основные результаты и выводы 100
Заключение 101
Список использованных источников 102
Приложение
- Принципы построения импульсных систем управления преобразователями энергии, реализованных на базе широтно-импульсной модуляции
- Построение математической модели преобразователя энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения
- Анализ двупараметрической диаграммы динамических режимов преобразователя энергии с однополярной реверсивной модуляцией
- Описание экспериментального стенда
Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время в большинстве отраслей промышленности получил развитие принцип иерархической (многоуровневой) организации структуры автоматизированной системы управления технологическими процессами (АСУТП), при которой на нижнем (исполнительном) уровне широко применяются автоматические системы, построенные на базе импульсно-модуляционных преобразователей энергии, непосредственно управляющие исполнительными механизмами и технологическим оборудованием.
В импульсно-модуляционных системах преобразования энергии используются преимущественно два вида реверсивной модуляции - однополяр-ная (ОРМ) и двухполярная (ДРМ) [69]. Известно, что практическая реализация преобразователей с ДРМ требует вдвое меньше полупроводниковых элементов по сравнению с ОРМ.
В то же время многочисленные исследования характеристик различных видов модуляции [79], например, по критерию минимизации нелинейных искажений, указывают на то, что преобразователи с ОРМ по статическим характеристикам имеют существенные преимущества по сравнению с другими видами импульсной модуляции.
В свою очередь, характерный для преобразователей энергии АСУТП широкий диапазон изменения параметров нагрузки и напряжения питающей сети обусловливает возможность их функционирования как в режимах периодических, так и апериодических (хаотических и квазипериодических) колебаний [16 - 20, 80, 49 - 57].
Известно, что возникновение хаотических колебаний приводит к многократному увеличению переменной составляющей тока и напряжения нагрузки, резкому ухудшению качества преобразования параметров электриче-
5 ской энергии, а также к непредсказуемым отказам технологического оборудования.
В последнее десятилетие наблюдается необычайно быстрый рост числа теоретических и экспериментальных работ по исследованию хаотической динамики в системах с импульсной модуляцией. Эти исследования охватывают приложения к теории автоматического управления и регулирования, силовой преобразовательной технике, физике плазмы, квантовой электронике, космической технике и биологическим системам. В то же время практически отсутствуют работы, посвященные анализу сложной динамики и хаоса в преобразователях энергии с реверсивной модуляцией. Кроме того, отсутствуют исследования, позволяющие выполнить обоснованный выбор типов регуляторов, схем и параметров корректирующих устройств. Имеющиеся результаты касаются, главным образом, динамических особенностей импульсных систем автоматического управления, построенных на базе однополярной нереверсивной модуляции [16 - 20, 49 - 57, 72, 113, 121].
Это вынуждает проводить большой объем экспериментальных исследований с целью получения приемлемых для конкретных условий эксплуатации динамических характеристик, повышения надежности и эксплуатационных показателей. В этой связи создание методики анализа сложной динамики и выявление закономерностей хаотической динамики в импульсно-модуляционных системах преобразования энергии, построенных на базе однополярной реверсивной модуляции, направленных на разработку методов проектирования импульсных систем автоматического управления исполнительными механизмами и технологическим оборудованием АСУТП, исключающих возникновение недетерминированных режимов и катастрофических явлений, представляются актуальными задачами.
Диссертационная работа выполнена в ходе реализации научно-исследовательских работ (НИР), проводившихся в рамках международного сотрудничества Курского государственного технического университета совместно с Центром по исследованию хаоса и турбулентности Датского тех-
нического университета в 1998 - 2003 гг.; в рамках плана госбюджетных НИР Курского государственного технического университета по Единому заказ-наряду Министерства образования Российской Федерации в 1998 - 2003 гг. Исследование поддержано грантом Министерства образования Российской Федерации по фундаментальным исследованиям в области естественных и точных наук (грант Е02-2.0-81).
Цель работы. Разработка научно-технических путей проектирования импульсных систем автоматического управления с улучшенными динамическими характеристиками, построенных на базе однополярной реверсивной модуляции.
Основная научная задача состоит в разработке модифицированных математических моделей, методик и алгоритмов численного анализа недетерминированных режимов, выявлении закономерностей хаотической динамики систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией.
В соответствии с целью и основной задачей в диссертационной работе решались следующие частные задачи:
Разработка методики построения модифицированных математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения.
Разработка методик и алгоритмов анализа хаотической динамики систем управления преобразователями энергии.
Выявление закономерностей развития сложной динамики и хаоса в системах управления преобразователями энергии.
Экспериментальные исследования хаотической динамики системы управления преобразователем энергии.
Научная новизна:
1. Разработана методика формирования математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной мо-
7 дуляцией в форме стробоскопического отображения, являющегося основой для построения вычислительных алгоритмов анализа хаотической динамики.
2. Разработаны методики и алгоритмы численного анализа недетерми
нированных режимов, включающие:
Методику и алгоритм поиска периодических движений, особенностью которых является сведение задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения управляющих импульсов, позволяющие находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения.
Алгоритм анализа локальной устойчивости, базирующийся на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющий с заданной точностью рассчитывать параметры бифуркаций и границы области устойчивости, а также идентифицировать типы бифуркаций.
3. Выявлены следующие закономерности развития сложной динамики
и хаоса в системе управления преобразователем энергии с ОРМ:
Хаотизация динамических режимов происходит через режим двух-частотных квазипериодических колебаний. При этом квазипериодические колебания возникают в результате субкритической (обратной) бифуркации Андронова-Хопфа(Неймарка-Саккера).
В области квазипериодичности вариации параметров приводят к резонансам на двумерном торе. Внутри зон резонансов переход к хаосу происходит через последовательность различных типов локальных бифуркаций и С-бифуркаций.
Область устойчивости режима на основной частоте модуляции совпадает с областью конвергентности за исключением неширокой полосы мультистабильности вблизи линии субкритической бифуркации Андронова-Хопфа. В области мультистабильности вариации параметров или наличие внешнего шума, даже сколь угодно малого, могут привести к катастрофической смене характера динамики, например, внезапному переходу от одних
8 устойчивых периодических движений к другим либо к квазипериодическим колебаниям.
4. Впервые выявлен новый тип С-бифуркации, связанный с изменением полярности управляющих импульсов. Существо такой бифуркации заключается в следующем. При смене полярности импульсов устойчивое периодическое движение мягко переходит в устойчивое движение того же периода, но другого типа. Для неустойчивого движения смена полярности импульсов приводит к его исчезновению.
Методы исследования базируются на аппарате теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости и бифуркаций, методов вычислительной математики и теории автоматического управления.
Практическая ценность и внедрение
Разработанные математические модели, методики и алгоритмы численного анализа динамических режимов позволяют выполнить обоснованный выбор схем и параметров корректирующих устройств, устройств обратных связей, вида модуляции и обеспечить достижение требуемых показателей качества функционирования системы в широком диапазоне изменения параметров объекта управления и возмущающих воздействий.
Разработанные методы, вычислительные алгоритмы и установленные в исследованиях закономерности хаотической динамики, могут быть использованы для моделирования и проектирования широкого класса импульсных систем автоматического управления. Полученные аналитические зависимости пригодны для инженерных расчетов при проектировании импульс-но-модуляционных систем преобразования энергии для АСУТП.
Методы и алгоритмы численного анализа хаотических колебаний в системах управления с однополярной реверсивной модуляцией, реализованные в виде специализированного пакета прикладных программ, внедрены: на ОАО «Счетмаш», г. Курск, и использованы при проектировании импульсных источников электропитания с бестрансформаторным входом; на некоммерческом предприятии «Брянский региональный фонд энергосбережения», г.
9 Брянск, и использованы при проектировании автоматизированной системы энергообеспечения собственных нужд первого отечественного энергосберегающего газотепловоза ТЭМ-18Г.
Научно-методические результаты, полученные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс и используются в Курском государственном техническом университете в курсах «Математические методы расчета электронных схем», «Основы теории управления».
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и получили положительные оценки на: Международных молодежных научных конференциях «Гагаринские чтения» (Москва, 1999 г., 2000 г.), Международных научно-технических конференциях «Медико-экологические информационные технологии» (Курск, 1999 г., 2003 г.), Международных конференциях «Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации» «Распознавание» (Курск, 2001 г., 2003 г.), 6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation CHAOS'01 (Саратов, 2001 г.), 9th International Student Olympiad on Automatic Control BOAC'2002 (Baltic Olympiad) (Санкт-Петербург, 2002 г.); научных семинарах кафедры вычислительной техники Курского государственного технического университета (1999-2003 гг.).
Основные положения, выносимые на защиту.
Методика формирования математических моделей систем управления преобразователями энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения.
Методика и алгоритм поиска периодических движений, основанные на сведении задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения управляющих импульсов.
Алгоритм анализа локальной устойчивости, базирующийся на линеаризации уравнения стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и аналитическом вычислении матрицы монодромии.
10 4. Найденные закономерности развития сложной динамики и хаоса в системе управления преобразователем энергии, а именно:
выявленные свойства разбиения пространства параметров на области периодичности и хаоса, а также бифуркационные механизмы хаотизации динамических режимов через режим двухчастотных квазипериодических колебаний;
обнаруженные гистерезисные явления, резонансы на двумерном торе и установленные закономерности усложнения колебаний через последовательность локальных бифуркаций и С-бифуркаций.
Публикации. Результаты диссертации отражены в 9 печатных работах. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежат: в [60, 61] -алгоритмы анализа локальных бифуркаций, закономерности усложнения динамики в двумерной модели системы управления преобразователем энергии; в [133] - численные эксперименты по анализу локальных бифуркаций и С-бифуркаций; в [124] - математическая модель, алгоритмы бифуркационного анализа, результаты исследований хаотической динамики трехмерной модели импульсной системы автоматического управления.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 135 наименований и приложения, изложена на 118 страницах (без приложения) и поясняется 46 рисунками и 4 таблицами.
Принципы построения импульсных систем управления преобразователями энергии, реализованных на базе широтно-импульсной модуляции
В настоящее время в большинстве отраслей промышленности получил развитие принцип иерархической (многоуровневой) организации структуры автоматизированной системы управления технологическими процессами, при которой на нижнем (исполнительном) уровне широко применяются автоматические системы, построенные на базе импульсно-модуляционных преобразователей энергии, непосредственно управляющие исполнительными механизмами и технологическим оборудованием [4, 27, 40, 58, 69, 70, 87, 88, 91, 99].
Эффективность применения преобразовательных устройств в АСУТП в значительной степени определяется как совершенством свойств силовых полупроводниковых приборов, так и систем управления [26, 28, 29, 35, 44, 97, 98,102, 103,113]. К преобразователям энергии предъявляются жесткие требования по обеспечению: высокой стабилизации и низкого уровня пульсаций при широком диапазоне регулирования; заданной формы импульсов; возможности согласования внешней характеристики источника питания с характеристикой нагрузки [35]. Поэтому преобразователи включаются в состав замкнутых систем автоматического управления, содержащих информационный и энергетический каналы (рис. 1.1) [35, 58, 69]. Энергетический канал образуют силовые цепи преобразователя, а информационный канал - цепи коррекции и управления.
Обобщенная структурная схема импульсно-модуляционной системы преобразования энергии представлена на рис. 1.1. Устройство формирования управляющих импульсов преобразует сигнал ошибки ХА в импульсную последовательность и посредством силового преобразователя накладывает информацию на поток энергии, передаваемой от энергетического входа Uвх к выходу U аых. Отклонение Uвых от управляющего сигнала Vynp компенсируется по цели обратной связи через усилительно-согласующее устройство, измерительно-преобразовательное устройство и усилительно-корректирующее устройство. В общем случае в цепь обратной связи может быть введена информация о входном потоке энергии. Процесс модуляции потока энергии накладывается не только на выходной сигнал Uebtx, но и распространяется к энергетическому входу, искажая потребляемый из сети ток, С целью уменьшения этого влияния применяются входное и выходное согласующие устройства.
Для повышения качества преобразования электрической энергии, улучшения статических и динамических характеристик применяются различные конфигурации корректирующих устройств, осуществляющих непрерывную или дискретную коррекцию сигнала обратной связи [42, 101].
Регулирование выходного напряжения в системах управления преобразователями энергии осуществляется посредством различных видов импульсной модуляции (частотно-импульсная модуляция, широтно-импульсная модуляция, амплитудно-импульсная модуляция и др.) [24, 69, 70, 90]. Существует большое многообразие видов импульсной модуляции, однако наиболее широкое распространение в преобразовательной технике получила широтно-импульсная модуляция (ШИМ).
Род модуляции определяется способом формирования импульсной последовательности на выходе модулятора. Он устанавливает соответствие значений модулирующего сигнала и модулируемого параметра. В теории импульсных систем автоматического управления существуют различные способы классификации родов импульсной модуляции. Так, например в [90] выделяется пять родов импульсной модуляции. В диссертации автор при 14 держивается классификации, приведенной в [100] (см. также [8, 9, 23, 31-34, 46, 47, 70, 73]).
Управление преобразовательной ячейкой в случае однополярной нереверсивной модуляции реализуется по следующему принципу [69]. Сигнал с выхода устройства выборки и хранения сравнивается на компараторе DA с развертывающим напряжением Uosc{t) (рис. 1.5 (а)), поступающим с выхода генератора Г. На выходе компаратора DA формируется двухполярная последовательность импульсов UDA (рис. 1.5 (в)). На триггере DD происходит перемножение сигнала U д и прямоугольных импульсов Uи генератора Г (рис. 1.5. (б)). Сформированный таким образом сигнал U (рис. 1.5 (г)) поступает на управляющие входы пары ключей инвертора АИ. На соответствующие входы двух других ключей инвертора поступают сигналы Uи и Uи генератора.
Построение математической модели преобразователя энергии с однополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения
Здесь X - вектор переменных состояния; Xj, х2 - ток в катушке индуктивности и выходное напряжение L С -фильтра; х3 - напряжение на выходе корректирующего устройства; R - сопротивление потерь в катушке индуктивности фильтра и преобразователе; L, С - индуктивность и емкость фильтра; R - сопротивление, характеризующее потери в фильтре и преобразователе; RH - сопротивление нагрузки; Е$ - входное напряжение; U гег - напряжение управляющего воздействия.
Остановимся подробнее на алгоритме определения длительности импульсов при однополярнои реверсивной модуляции. В пределах такта может возникнуть не более одного импульса, причем полярность определяется согласно (2.15), при этом длительность импульса противоположной полярности равна нулю.
Если информационная точка в начале тактового интервала выходит за пределы поля развертки сверху или снизу, Т.е. f/ yj ?/0, sign((p(\, \)) sign( p(\, -і)), то длительность импульса соответствующей по 43 лярности равна длительности тактового интервала (относительная длительность импульса равна 1). Например, на рис. 23. в момент времени t = 1а информационная точка находится за пределами поля развертки: UKy 0, ср{\, -1) 0, p(l,l) 0, а значит, длительность положительного импульса равна длительности тактового интервала. Аналогичная ситуация наблюдается в моменты времени t = 3a, t-la.
Для определения типа периодического решения введем символическую характеристику подобно той, которая была введена в [92 - 94]. В системах с импульсной модуляцией, описываемых кусочно-гладкими динамическими системами, в общем случае порядок прохождения фазовой точкой областей кусочной гладкости в течение тактового интервала строго определен [53, 85]. Это позволяет в качестве характеристики т -цикла использовать совокупность значений относительных длительностей управляющих импульсов z , к \,т стационарного движения. Но в случае реверсивной импульсной модуляции этого оказывается недостаточно для описания характеристики т-цикла, так как символическая характеристика должна определять не только порядок сшивания фазовой траектории из отдельных участков, но и порядок смены управляющих импульсов. Для этого вводится характеристика Sm, со ставленная из множества пар символов (.s , Рк), к — \,т. Элементы характеристики могут принимать следующие значения.
С помощью алгоритма (2.19) можно находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические движения [15]. Локальная устойчивость т цикла определяется по собственным числам pi, / = 1, 3 матрицы монодромии F{T).
3. Расчет собственных чисел матрицы монодромии /э(, / = 1,3, т,е. корней характеристического уравнения det )- рЕ\ = 0.
4. Анализ расположения мультипликаторов на комплексной р плоскости относительно единичной окружности с центром в начале координат.
Описанные методы и алгоритмы явились основой для разработки вычислительных алгоритмов анализа локальных бифуркаций и С-бифуркаций в динамике преобразователя с однополярной реверсивной модуляцией. 2.3 Основные результаты и выводы
1. Разработана математическая модель преобразователя энергии с од-нополярной реверсивной модуляцией в форме стробоскопического отображения, являющегося основой для построения вычислительных алгоритмов анализа хаотической динамики.
2. Разработана методика и алгоритм поиска периодических движений, особенностью которых является сведение задачи к решению системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения управляющих импульсов, позволяющие находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения.
3. Разработан алгоритм анализа локальной устойчивости, базирующийся на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющий с заданной точностью рассчитывать границы области устойчивости и параметры бифуркаций, а также идентифицировать типы бифуркаций.
Анализ двупараметрической диаграммы динамических режимов преобразователя энергии с однополярной реверсивной модуляцией
Исследование динамической системы (2,1) проводилось в зависимости от параметров корректирующего устройства а и % в диапазоне П — {(a, ): 5 or П 0; ОД 1}. Результаты численных расчетов карты динамических режимов в плоскости управляющих параметров представлены на рис. 3.1. Здесь Птк - односвязные множества параметров таких, что для всех точек Р = {сс,х), РеПт k существует один или два локально-устойчивых цикла периода т. Второй индекс в обозначениях Пт к используется для различения множеств с одинаковыми т. Область существования режима колебаний на рабочей частоте (1-цикла) П\ \ справа ограничена кривой Ыф, в точках которой происходит субкритическая бифуркация Андроно-ва-Хопфа (Неймарка-Саккера) [6, 83].
Здесь N z -относительная длительность импульса с учетом полярности N , возникающего на к -ом тактовом интервале. В точке ат, лежащей на пунктирной линии, возникают квазипериодические колебания с двумя несоизмеримыми частотами. В фазовом пространстве этим колебаниям соответствуют устойчивый и неустойчивый двумерный тор. В точке ССф, лежащей на линии N неустойчивый тор исчезает, сливаясь с 1 -циклом, а 1 цикл становится неустойчивым. Динамика изменения мультипликаторов 1 53 Динамика изменения мультипликаторов 1-цикла в зависимости от параметра а изображена на рис. 3.3, из которого видно, что в точке а пара комплексно сопряженных мультипликаторов 1-цикла пересекает границу единичного круга.
В фазовом пространстве цикл периода представляет собой замкнутую кривую (см. рис. 3.4). На рис. 3.5 показаны формы колебаний напряжения на нагрузке х2 и управляющих импульсов Кр. На рис. 3.6 приведен энергетический спектр мощности х2
Из рис. 3.1 видно, что область устойчивости режима на основной частоте модуляции совпадает с областью конвергенти ости во всем диапазоне изменения параметров за исключением неширокой полосы мультистабильно-сти, ограниченной пунктиром и линией субкритической бифуркации Андро-нова-Хопфа. 49,8
В области мультистабильности вариации параметров или наличие шума, даже сколь угодно малого, может привести к катастрофической смене характера динамики, например, внезапному переходу от одних устойчивых колебаний к другим либо к квазипериодическим колебаниям [10 - 12]. При пересечении границ области мультистабильности наблюдаются жесткие гисте-резисные переходы от одного динамического состояния к другому.
Как показывают численные эксперименты процессы усложнения колебаний и переходы к хаосу при движении по параметрам характеризуются большим многообразием [22, 60 - 63]. Мы выделили несколько множеств, которым свойственны схожие процессы усложнения колебаний, в отдельные группы.
Правая граница области Пю состоит из 5 типов бифуркационных линий. На линиях 2-3 и 4-5 (рис. 3,7) происходит утроение периода через С-бифуркацию утроения периода [57, 95]. С ростом параметра % устойчивый 10-цикл в точке, лежащей на линии 2-3, меняет тип, теряя устойчивость, и продолжает существовать как седловоЙ до слияния с неустойчивым 10-циклом другого типа, после чего оба цикла исчезают. Строение внешней границы Л30 , аналогично строению линии 12-13. Пунктиром в областях П30 х и /730 2 обозначена линия, в точках которой происходит С-бифуркация простого изменения типа решения для 30-циклов.
Строение границ 3-4 и 5-6 схоже со строением границ 2-3, 4-5 за исключением того, что в точках линии 3-4 цикла утроенного периода не возникает, а в точках линии 5-6 помимо цикла утроенного периода мягко ответвляется цикл хаотических интервалов. На рис. 3.13 представлены результаты бифуркационного анализа в сечении {(а,Х): 62,7 а 67,4; / = 0,199}. Для большей наглядности на рис. 3.13 (а) приведены только две ветви бифуркационной диаграммы из десяти. Из рис. 3.13 (а) видно, что в точке cx = aXQi (осХ01 «63,025), лежащей налини 5-6, 10-цикл, меняя тип, становится седловым (на рис. 3.14 максимальный по модулю мультипликатор седлового 10-цикла обозначен цифрой 1).
Из рис. 3.14 нетрудно видеть, что мультипликаторы устойчивого 10-цикла непрерывно зависят от параметра а за исключением точки а=а101, при пересечении которой терпят разрыв первого рода в то время, как N Zf -непрерывные функции параметра а. Данное свойство является типичным для С-бифуркаций [45 55 - 57, 72 и др.].
Потеря устойчивости 10-цикла сопровождается возникновением устойчивого цикла утроенного периода. Устойчивый 30-цикл с ростом а, в точке а = «30.1 (азо,і 67,2073) претерпевает бифуркацию удвоения периода: один из мультипликаторов устойчивого 30-цикла становится равным -1 (рис. 3.14), но из-за вычислительных сложностей мы не смогли рассчитать неустойчивый 60-цикл. Таким образом, при пересечении линии 4-10 происходит бифуркация удвоения периода.
Наряду с циклом утроенного периода в точке а = а30} мягко ответвляется семейство неустойчивых циклов с периодами, кратными 10 (рис. 3.13 (б)). Нам удалось рассчитать неустойчивые циклы до периода 60. Часть результатов численных расчетов сведены в таблице 3.1, где в первом столбце указана периодичность (величина т); во втором - символические характеристики циклов; в третьем - число сшиваемых участков фазовых траекторий циклов.
Описание экспериментального стенда
Экспериментальная установка (рис. 4.1) представляет собой импульсную систему автоматического управления преобразователем энергии. Структурная схема экспериментального стенда приведена на рис. 4.2. Условно в экспериментальном стенде можно выделить следующие блоки: блок питания; силовая часть; модуль управления. Электрическая принципиальная схема экспериментального стенда приведена в приложении.
Для питания устройства блок питания (БП) вырабатывает стабилизированное напряжение ±15В. В состав БП входит понижающий трансформатор, выпрямитель VD3, стабилизатор канала +15В, собранный на элементах DA13, R18, R40, C8, CIO, стабилизатор канала-15В, собранный на элементах DA14,R41,R42,C9,C11.
Функционирование модуля управления рассмотрим с помощью временных диаграмм (рис. 4.3). Задающий генератор, состоящий из триггера Шмита(элементы R2, Rl, Rll, DAI, DA7.2) и интегратора (элементы DA3.1, CI, R3 и R9) формирует напряжения развертки (вывод 1 DA3.1 см. рис. 4.3) и синхронизации (вывод 9 DA1 см. рис. 4.3).
На элементах DA4, DA7.1, R7, R8, R10 собран усилитель с изменяемым коэффициентом усиления. За счет того, что на интервале нарастания напряжения развертки (рис. 4.3) коэффициент усиления равен 1, а на интервале спада равен -1, то на выходе 6 DA4 получаем линейно нарастающее напряжение (рис. 4.3). Для получения линейно спадающего напряжения используется инвертирующий усилитель, собранный на элементах DA2, R5, R6 (вывод 6 DA2 см. рис. 4.3).
Усилитель, собранный на элементах DA10.2, R43, R45, R44, формирует сигнал ошибки, поступающий на корректирующее звено, реализованное на элементах DA11.1, DA10.1, R27, R101, R23, R100, С4. В итоге на выходе элемента DA10.1 - скорректированный сигнал ошибки, являющийся входным сигналом устройства выборки и хранения (УВХ).
УВХ реализовано на электронных ключах DA9.1 и DA9.2, конденсаторах хранения С2 и СЗ, ограничивающих резисторов R19, R20. Запись в УВХ производится по переднему и заднему фронту сигнала синхронизации.
Входные сигналы широтно-импульсного модулятора формируются компараторами DA5, DA6 в результате сравнения сигналов с выхода УВХ и пилообразных напряжений (см. рис. 4.3). Элементы DA8.1 и DA8.2 моделируют поведение силовых ключей. Выходной сигнал модулятора образуется на выходе элемента DA15 (рис. 4.3), который вместе с элементами R46, R47, R16 и R17 представляет собой сумматор.
В итоге силовую часть преобразователя можно представить в виде аналоговой модели с передаточной функцией апериодического звена второго порядка, схемотехнически выполненную в виде последовательного соединения двух апериодических звеньев первого порядка.
Параметры экспериментального стенда совпадают с параметрами схемы (рис. 2.1), на основе которой проводились численные эксперименты.
В процессе работы можно регулировать следующие параметры системы управления: коэффициент передачи и постоянную времени ПИ-звена; коэффициент усиления цепи обратной связи; коэффициент передачи датчика напряжения.
Для каждого значения % повторяем п. 3 - п. 6 10 раз. В качестве результатов измерений рассчитывалось среднее арифметическое измеренных ai значении: а = На рис. 4.4 ((а), (б)) приведены осциллограммы колебаний на основной частоте модуляций, полученные в результате эксперимента и численных расчетов. В ходе эксперимента наблюдалась следующая картина. При плавном увеличении а наблюдался резкий переход от периодических колебании к квазипериодическим. Если, изначально находясь в области квазипериодичности, плавно уменьшать а, то наблюдается резкий переход от режима квазипериодических колебаний к периодическим. Выявлено, что такие переходы являются гистерезисньши. Таким образом подтверждено, что потеря устойчивости периодическим режимом происходит через суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, которая была идентифицирована при проведении исследований механизма перехода от движения на основной частоте модуляции к квазипериодическим колебаниям в главе 3. Как следствие, наличие области мультистабильности вблизи границы области устойчивости.
Полученные в ходе эксперимента численные значения приведены в таблице 4.3. По данным таблицы построены теоретическая и экспериментальная границы области устойчивости рабочего режима (рис. 4.5). Как видно из данных расхождение между экспериментальными и теоретическими данными не превышает 5,9%. 4.2.4 Экспериментальное исследование динамики преобразователя энергии в области квазипериодичности
При проведении эксперимента наблюдались и фиксировались на фотопленку колебания, соответствующие динамическим режимам для различных значений управляющих параметров. Порядок проведения эксперимента: 1. Подключаем ко входам осциллографа сигналы выходного напряжения и управляющей функции. 2. Включаем питание схемы кнопкой "Вкл". 3. Устанавливаем параметры корректирующего звена а, х с помощью методики, описанной в п. 4.2.2. 4. Выполняем синхронизацию сигналов до получения устойчивой картины на осциллографе и определяем период колебаний. 5. Фиксируем динамический режим на фотопленку. В результате данного эксперимента получены осциллограммы, соответствующие различным значениям управляющих параметров (рис. 4.6 -4.10). Исследования динамических характеристик показали, что возникновение квазипериодических колебаний приводит к многократному увеличению коэффициента пульсаций. Так для цикла с периодом 7 коэффициент пульсаций составляет 6%, с периодом 8 - 9%, с периодом 9 - 13%, с периодом 10 -23%, с периодом 11 - 27%, тогда как коэффициент пульсаций рабочего режима не превышает 0,7%,
