Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Современные теории рассеяния света в мутной среде 20
ГЛАВА II. Рассеяние света в мутной среде и марковские процессы 29
2.1. Однократное рассеяние 30
2.2. Двукратное рассеяние 37
2.3. Трёхкратное рассеяние 46
2.4. Многократное рассеяние 50
2.5. Несколько типов частиц 54
2.6. Многомерная среда 61
ГЛАВА III. Молекулярное рассеяние света в свободной атмосфере 78
3.1. Пропускание атмосферы 78
3.2. Зависимость пропускания от концентрации 81
3.3. Влияние давления и температуры атмосферы 83
3.4. Влияние влажности атмосферы 85
3.5. Спектральная функция пропускания 87
3.6. Резонансное рассеяние 94
3.7. Эффект замывания фраунгоферовых линий в атмосфере 95
3.8. Интегральная функция пропускания 108
3.9. Перекрытие линий поглощения 111
3.10. Влияние движения молекул на спектр излучения 116
3.11. Коэффициент рассеяния 119
3.12. Источник света в атмосфере 123
3.13. Угловая зависимость рассеянного света 127
3.14. Индикатриса рассеяния 130
3.15. Поляризация 132
3.16. Прозрачность атмосферы 139
ГЛАВА IV. Рассеяние света отдельной частицей 142
4.1. Большие частицы 143
4.2. Сечение поглощения большой частицы 151
4.3. Дифракция гармонической волны на сфере 153
4.4. Сечение поглощения сферической частицы 160
ГЛАВА V. Ослабление света аэрозолем 166
5.1. Пропускание аэрозоля, состоящего из прозрачных частиц 166
5.2. Зависимость пропускания от размера частиц аэрозоля 167
5.3. Поглощающий аэрозоль 168
5.4. Селективная прозрачность атмосферных аэрозолей 176
5.5. Угловая зависимость 181
5.6. Поляризация рассеянного света 182
5.7. Объёмные коэффициенты рассеяния и ослабления 184
ГЛАВА VI. Расшосттанениезлектромагнитньіхволн в облачной среде 187
6.1. Пропускание облачного слоя 187
6.2. Угловая зависимость рассеяния 192
6.3. Радиолокационная отражаемость облаков 194
6.4. Статистические характеристики рассеянного света 194
ГЛАВА VII. Ослабление светового потока при наличии границы раздела 197
7.1. Распространение луча света в атмосфере 197
7.2. Плоская граница раздела 201
7.3. Сферическая атмосфера 208
7.4. Яркость Солнца 211
7.5. Яркость неба , 212
7.6. Освещённость поверхности 215
7.7. Освещённость поверхности планеты 219
7.8. Неоднородная атмосфера 220
7.9. Сумеречные эффекты 223
ГЛАВА VIII. Обратные задачи 228
8.1. Уравнение лазерной локации 229
8.2. Оптические методы измерения концентрации газа 231
8.3. Уравнение радиолокации 234
8.4. Обратные задачи радиолокации облаков , 241
Заключение 244
Список использованных источников
- Трёхкратное рассеяние
- Влияние давления и температуры атмосферы
- Сечение поглощения большой частицы
- Селективная прозрачность атмосферных аэрозолей
Трёхкратное рассеяние
Трёхкратное рассеяние происходит после двукратного рассеяния, после одного акта двукратного рассеяния облучается несколько частиц, а в дальнейшем рассеяния не происходит; поэтому все рассуждения следует вести при условии, что имело место однократное рассеяние и двукратное рассеяние. Условную вероятность того, что в слое (0, х) произойдёт п3 трёхкратных рассеяний при условии, что произошло п{ однократных рассеяний и п2 двукратных рассеяний, обозначим Рп (х[прп2). Изменение состояния процесса происходит следующим образом: после одного из двукратных рассеяний рассеянный свет облучает к частиц, т.е. происходит столько трёхкратных рассеяний.
Уравнеіше для переходных вероятностей РП} выводится аналогично уравнению (2.12), поэтому приведём основное уравнение трёхкратного рассеяния: dPn ПуА - = -а3п2?щ +a3n2 2Х-ІРІ- (2-26) ил i=0 Начальные условия возьмём в виде, аналогичном (2.15): РВз(0пі.п2)=6Пз0. (2.27) Уравнеігае (2.26) можно решить методом производящих функций З n3=0 Тогда уравнение (2.26) и условие (2.27) принимают вид + a3ri2(l + po-h)F = 0, (2.28) F(0)-1. Решеїше уравнения (2.28) имеет вид F(x,s)= ехр[-a3n2(l + р0 -h)xj отсюда при s = 0 получаем P0(xn,,n2)=exp(-a3n2x) Зная производящую функцию, дифференцированием по параметру SMOHCHO найти все искомые вероятности: Рп,(Х1П1 П2) = 1 dn F s=0 n3 ds"3 В результате получаем: РПз(хппП2) = фехр[-(і + е )п2аз]; (а3хе-")т2(т2А,)0з.(2.29) т2=0 Аналогично (2.17) можно показать, что имеет место равенство со ZPn3 =1- (2.30) n3=0
Это равенство имеет простой смысл. В рассматриваемом объеме уже произошли однократное рассеяние и двукратное рассеяние. Тогда трехкратное рассеяние либо произойдет, либо не произойдет в выбранном объеме. Это достоверное событие, поэтому сумма соответствующих вероятностей равна единице. Вероятности облучения частиц р. можно определить аналогично (2.20).
Вообще говоря, с большой достоверностью можно считать, что эти вероятности являются одинаковыми для всех степеней кратности рассеяния, ибо вероятность облучения частицы зависит от её формы и расположения, а не от кратности рассеяния.
Определим теперь совместные функции распределения для трёхкратного рассеяния: Р(х;п1,п2,п3) = РПз(хпрп2)РП2(хп1)РП](х) (2.31) Функцию рассеяния можно определить подобно тому, как это было сделано ранее, как вероятность того, что произойдет хотя бы одно трёхкратное рассеяние: СО П,п2=0 п3=1 Учитывая (2.30) и (2.31), получаем следующую функцию рассеяния: по Р о(х)=1- ЕРпіП2(Х)ЄХР(-аЗП2Х) П],п2=0 Функция пропускания легко находится теперь из соотношения (2.9): Т 0(х)= Ёр„П1(х)ехр( а3п2х) (2.32) П,пг=0
Параметр ос3 в данном случае можно следующим образом выразить через исходные параметры. Поступим аналогично тому, как был найден параметр Оз- Будем рассматривать вероятность выбора рассеяния из п2 происшедших двукратных рассеяний. С одной стороны вероятность выбора т. трёхкратных рассеяний, происходящих в малом слое Дх, равна р п2(ДхА;)=а3п Дх. (2.33) С другой стороны эта же величина равна Р ПДАХІА ШХСАХІАД (2.34) т.е. она пропорциональна вероятности выбора одного акта рассеяния из всей совокупности происходящих в слое Дх двукратных рассеяний. Вероятность выбора одного акта двукратного рассеяния определяется выражением (2.26). Сравнивая затем (2.33) и (2.34), получаем: а3 = п = ща. Таким образом, параметр а3 однозначно выражается через параметр а и, следовательно, через сечения рассеяния и концентрацию мутной среды.
Как было указано в предыдущем параграфе, вероятность Pn п (х) выражается через вероятности однократного рассеяния и двукратного рассеяния. Если теперь воспользоваться выражением (2.20), то из (2.32) для функции пропускания получаем:
Влияние давления и температуры атмосферы
На молекулярное рассеяние света значительное влияние оказывают давление и температура атмосферы. Зная зависимость функции пропускаїгая от концентрации, можно перейти к зависимости от давления и температуры. Для этого надо воспользоваться уравнением состояния идеального газа 0 kT (3.5) где к - постоянная Больцмана. Если в атмосфере происходит только однократное рассеяние, то зависимость пропускания от давления и температуры определяется следующей функцией: T 0(p,T)=ex,f- (3.6)
Как видно, с увеличением давления пропускание среды уменьшается, а с увеличением температуры среды пропускание увеличивается. Такая зависимость была обнаружена в экспериментах [20, 41, 51, 52, 187]. Однако результаты экспериментов оказались противоречивыми. Это, естественно, вызывает сомнение в существовании такого эффекта [20]. Теория однозначно указывает на его существование, но в реальных условиях атмосферы он, вероятно, очень слабый; поэтому трудно выявить этот эффект в натурных условиях.
Принято считать, что с увеличением температуры прозрачность среды должна уменьшаться. Предыдущее изложение показывает, что в случае газов это не так: имеет место противоположная зависимость. Это можно объяснить тем, что с ростом температуры газа растет и длина свободного пробега молекул; вследствие этого и происходит увеличение прозрачности атмосферы. Эксперименты показывают, что, действительно, с увеличением температуры среды увеличивается её прозрачность [51, 52]. Этот эффект слишком мал и в натурных условиях он, вероятно, слабо проявляется.
Тщательно проведённые лабораторные измерения также однозначно указывают на существоваїше так называемой «отрицательной» температурной зависимости пропускания [136, 185]. Предприняты попытки объяснить этот эффект существованием димеров молекул воды в атмосфере [187], однако изложенное выше показывает, что в таком допущении нет необходимости.
В том случае, когда в атмосфере происходит многократное рассеяние, зависимость прозрачности атмосферы от давления и температуры усложняется; тогда функцию пропускания можно представить аналогично (3.6):
Если в атмосфере происходит многократное рассеяние, то пропускание атмосферы увеличивается с ростом температуры (как и при однократном рассеянии). Такая зависимость обнаруживается в крыльях линий поглощения газов во многих лабораторных экспериментах [128, 136, 187]. Таким образом, функции (3.6) и (3.7) определяют, при фиксированных рих, температурную зависимость пропускания атмосферы.
Таким образом, если в смеси идеальных газов происходит однократное рассеяние, то пропускание среды есть экспонента от линейной функции от парциальных давлений компонентов.
Водяной пар составляет весьма малую часть атмосфер Земли, но тем не менее, он является оптически чрезвычайно активным компонентом атмосферы. Это связано с тем, что у молекулы воды имеется множество линий поглощения, в особеїиюсти в инфракрасной области и в ближнем радиодиапазоне. Поэтому ослабление света реальной атмосферой существенно зависит от влажности воздуха. Это необходимо учитывать при оптических исследованиях # пропускание атмосферы уменьшается. Подобная закономерность наблюдается при оптических измерениях в атмосфере [7, 12,131, 160, 184, 192].
Найдем теперь аналогичную зависимость в том случае, когда во влажной атмосфере происходит многократное рассеяние. Из (3.7) находим соответствующую функцию пропускания: Т 0 (р) = Т 0 (т)ехр {- кр v [1 - ехр (- кр v )]}. (3.10) То, что в водяном паре происходит многократное рассеяние, несколько увеличивает пропускание среды по сравнению с тем случаем, когда в атмосфере происходит только однократное рассеяние.
Сечение поглощения большой частицы
Задача рассеяния гармонической волны на шаре, решение которой подробно излагается в курсах акустики, электродинамики и математической физики [21, 44, 121, 122, 148, 170], обычно решается в рамках классической краевой задачи, когда краевое условие является непрерывной функцией на всей границе области. Между тем в задачах дифракции волн часто возникают ситуации, когда падающая на частицу волна "освещает" не всю поверхность частицы. Например, когда диаметр частицы намного больше длины волны, "освещенная зона" может оказаться меньше поверхности частицы. Тогда на границе "освещенной" и теневой зон граничная функция имеет разрыв первого рода. В таком случае, вообще говоря, следует решать обобщённую краевую задачу [28]. В рассматриваемой задаче можно поступить проще, а именно можно искать решение в виде разложения по обобщенным сферическим функциям.
Изложенное ниже решение важно для теории дифракции акустических и электромагнитных волн на телах конечных размеров; особенно это актуально для электродинамики.
Рассмотрим абсолютно твёрдый шар, пусть на него падает плоская гармоническая волна. Сначала необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство. В области геометрической оптики (акустики) "освещенная зона" составляет половину поверхности шара, а в области релеевского рассеяния эта зона занимает всю поверхность шара. Если рассеяние волны попадает между этими предельными случаями, то, очевидно, "освещенная зона" занимает только часть поверхности шара и, следовательно, краевые условия задачи дифракции волн будут заданы не на всей поверхности шара, а только на её части.
Представление об освещенной и теневой зонах используется при анализе взаимодействия падающей и рассеянной электромагнитной волны на препятствиях, размер которых намного больше длины волны; аналогичное представление используется и в акустике [44, 122]. Чёткая граница между этими областями существует только в предельном случае геометрической оптики (акустики). При произвольном отношении размера препятствия и длины волны эта граница является довольно расплывчатой [44]. Вследствие того, что в общем случае нет чёткой границы между освещенной и теневой зонами, невозможно точно определить угол 0т, характеризующий величину "освещенной зоны" на поверхности шара. Можно приближённо найти этот угол следующим образом. Условия облучения гармонической волной поверхности цилиндра математически можно записать в виде
А0е-г=А0е-ІКІСО8ф = аеіф. Отсюда получаем уравнение -Kcosq = (p, (4.21) где к = 2тг а/Л,; а - радиус шара; X - длина волны. Нетрудно проверить, что при к -» О ф - О и при к со ф -» л/2; при Х = 2а (р = я. Как нетрудно проверить, уравнение (4.21) внутри промежутка [О ф п] не имеет корней. Пусть на абсолютно твёрдый шар падает гармоническая звуковая волна. Потенциал скоростей падающей волны, поскольку звук считаем монохроматическим, будет иметь вид р0 = O0exp(io)t-ik0rcos9), (4.22) где ко - волновое число падающей волны; Ф0 - амплитудное значение потенциала скоростей падающей волны. -155 t Щ Рис. 11. Схема рассеяния гармонической волны на шаре -156 Задача рассеяния звука на абсолютно твёрдом шаре формулируется таким об разом: (4.23) (4.24) (4.25) Афі + K2cJ(pj = О, а, дг дг Эф, % + о=0, r = Фі - о, дг + kq , -»0, г- со, где сі - скорость звука в среде. (4.26) (4.27) (4.28) Рассмотрим раздельно указанные выше два диапазона значений параметра к. Если параметр к расположен в промежутке [0 , к , тс], то получается классическое решение задачи [121, 122, 148, 163, 170, 171]. Пусть теперь параметр к находится в промежутке [к к ю). Угол 9 изменяется в пределах (0,4-би), разделяя переменные в (4.23), получаем уравнения 1 d ( dlO е-я2)э = о, sin 9 — sin 6 — + ІХ, sin d91 d9 J v d20 2 +Х3Ф = 0, dcp r dr dr J В уравнении (4.28) параметр Х2 должен быть целым числом, чтобы его решение было периодическим Ф-С1е»»+С2е-Т Уравнение (4.27) подстановкой t = cos9 приводится к алгебраической форме присоединенного уравнения Лежандра 2 Л m ns(n3 + l) 0=0. (4.29) 1 - t dt L dt В этом уравнении независимая переменная изменяется в промежутке [1 , 1], где tjn cos9m, а параметр ns в общем случае нецелое число [36]. Как известно, для этой последовательности чисел Pn (cos9m) = 0 [36]. Тогда выполня 157 ется условие ортогональности присоединенных функций ЛежандраР на отрезке [tm, 1] [36] JPn"(t)P(t)lt = 0. tm Здесь ns - целые числа. Из условия нормировки находим CnmlkWfdt l, tm тогда функции Лежандра образуют систему ортонормированных функций на отрезке [tm, 1]: Р (t). Решение уравнения (4.29) имеет вид s=C1P (t)+C2Q»(ti где Q (t) - присоединенная функция Лежандра второго рода. Так как нам нужно ограниченное решение в промежутке [tm,l], то следует положить С2 = 0. Введя новую переменную R = Xvr , уравнение (4.26) приведём к виду
Селективная прозрачность атмосферных аэрозолей
Эта зависимость определяется дифференциальным сечением рассеяния аэрозольной частицы, его зависимостью от угла рассеяния. В общем случае эта зависимость определяется формулами Ми, которые для рассеяния можно представить в виде с(е)=М0(е); где М - коэффициент, не зависящий от угла рассеяния; 0(0) - некоторая функция угла рассеяния.
Если в аэрозоле происходит однократное рассеяние, то угловая зависимость функции рассеяния имеет вид Р о(Є) = 1-ехр[-то0(Є)} (5.19) Если оптическая толщина аэрозоля мала, то отсюда находим Р о(е)=то0(е) Если оптическая толщина аэрозоля мала, то функция рассеяния подобна индикатрисе рассеяния отдельной аэрозольной частицы; если же оптическая толщина аэрозоля достаточно большая, то, как следует из (6.29), Р 0 — 1.
Это означает, что рассеяние света аэрозолем большой оптической толщины является изотропным. Такое рассеяние хорошо известно в оптике атмосферы. В области релеевского рассеяния функция (5.19) принимает вид P 0(a)=l-exp[0cos29j - 182 где є2-І 1 2 4 т0 = -тіа ц 2ла п0х, ц = -—. е + 2 В области геометрической оптиіси рассеяігае и преломление рассмотрим на прозрачной аэрозольной частице. Тогда, принимая во внимание дифференциальное сечение рассеяния большой аэрозольной частицы (5.19), для функции рассеяния имеем P 0(S) = l-expfx0[R(9)+T2(9) Пусть в аэрозоле происходит многократное рассеяние, тогда угловая зависимость рассеянного света будет характеризоваться следующей функцией рассеяния Р 0(9) = 1 - ехр(- то0(Э){1 - ехр[ т0е(Э)]}). Отсюда приближённо имеем P o(6)=l-eXp{-[xo0(&)f} При релеевском рассеянии имеем Р о(0) = 1 - ехр{- [x0(l + cos2 a)f j В области геометрической оптики функция рассеяния, описывающая собственно рассеянный и преломлённый свет, равна P 0(9) l-eXp{-[T0(R + T2f}
Если при однократном рассеянии угловая зависимость рассеянного света приближённо представлялась подобной индикатрисе рассеяния отдельной аэрозольной частицы, то при многократном рассеянии такое подобие исчезает.
Поляризация рассеянного света
Очень важной характеристикой рассеянного атмосферой излучения является состояние поляризации. Поляризация несет в себе важную информацию о структуре среды, о форме рассеивающих частиц и т.д.; поэтому она является весьма чувствительным индикатором состояния атмосферы [33, 34, -183 42, 52, 54, 57, 80, 97, 116, 147, 179, 187].
Анализ состояния поляризации света, рассеянного аэрозолем, намного сложнее, чем при молекулярном рассеянии. Это связано с тем, что картина поляризации света, рассеянного отдельной частицей аэрозоля, является в об-щем случае довольно сложной. Только в случае релеевского рассеяши эта картина является наиболее простой.
Отсюда следует, что и при рассеянии света аэрозолем, если имеет место однократное рассеяние, степень деполяризации описывается формулой (3.51). Аналогичным образом видоизменяются формулы (3.53), (3.56), относящиеся к многократному рассеянию.
Таким образом, в области релеевского рассеяния угловое распределение степени деполяризации такое же, как и при молекулярном рассеянии.
Если в аэрозоле происходит только однократное рассеяние, то приближённо картина поляризации рассеянного света подобна картине поляризации отдельной частицы аэрозоля. Поэтому угловое распределение степени деполяризации рассеянного света будет характеризоваться и в этом случае формулами (3.53), (3.56). При этом если падающий свет был линейно поляризован, то и рассеянный свет остается линейно поляризованным; направление плоскости поляризации, естественно, меняется. Наблюдения показали, что, действительно, рассеянный аэрозолем свет является линейно поляризованным; степень эллиптичности поляризации очень незначительна [57, 59, 96, 97]. Наряду с этим в натурных наблюдениях отмечаются многочисленные отклонения от закона (3.1): кривая угловой зависимости поляризации часто оказывается шире, чем соответствующая (3.52) кривая: максимум поляризации ниже, чем должно быть по (3.52); положение максимума поляризации не всегда совпадает с 9 = я/2; эта кривая может быть асимметричной и т.д. [33, 59, 160, 199]. Объёмные коэффициенты рассеяния
В 4.8. было дано определение объёмного коэффициента молекулярного рассеяния света, были рассмотрены зависимости его от различных параметров. Очевидно, этот же анализ можно перенести и на случай рассеяния и поглощения света аэрозолем. На практике наиболее распространено определение (3.33) объёмного коэффициента рассеяния, формулы (3.34) и (3.35) сохраняются и для аэрозольного рассеяния. Пусть в аэрозоле происходит только однократное рассеяние, тогда для коэффициента рассеяния имеем 3 = a = aN0. Зависимость коэффициента рассеяния от длины волны света определяется аналогичной зависїімостью для сечения рассеяния аэрозольной частицы. Если частицы прозрачные и достаточно малые, то зависимость коэффициента от длины волны определяется релеевским законом
