Содержание к диссертации
Введение
1 Современное состояние теории и практики социально-экономического прогнозирования 14
1.1 Основные задачи, функции, особенности прогнозирования социально-экономических процессов и его роль в управлении 14
1.2 Классификация существующих подходов к задаче социально-экономического прогнозирования 20
1.3 Обзор методов и алгоритмов прогнозирования с использованием нейронных сетей 37
1.4 Выводы и постановка задач исследования 47
2 Системное моделирование и декомпозиция задачи прогнозирования быстро меняющихся социально-экономических процессов 54
2.1 Системная декомпозиция задачи прогнозирования быстро меняющихся социально-экономических процессов 56
2.2 Нейронная сеть как управляющий элемент 64
2.3 Задача формирования обучающего образа 71
2.4 Концептуальная нейросетевая модель комплексного динамического прогнозирования 79
2.5 Применение разработанных моделей и алгоритмов для расширения оптимизационных задач управления. Динамическая задача о назначении 82
2.6 Выводы по второй главе 95
3 Математическая и программная реализация нейросетевых моделей и алгоритмов комплексного динамического прогнозирования 96
3.1 Алгоритмы формирования обучающего образа нейросетевых моделей комплексного динамического прогнозирования 96
3.2 Реализация алгоритма выбора оптимального метода прогнозирования на основе нейросетевых моделей 107
3.3 Анализ рынка недвижимости с использованием комплексной модели динамического прогнозирования 113
3.4 Выводы по третьей главе 118
Заключение 119
Список использованных источников 121
Приложение А 133
Приложение Б 134
Приложение В 135
- Классификация существующих подходов к задаче социально-экономического прогнозирования
- Нейронная сеть как управляющий элемент
- Алгоритмы формирования обучающего образа нейросетевых моделей комплексного динамического прогнозирования
- Анализ рынка недвижимости с использованием комплексной модели динамического прогнозирования
Введение к работе
Актуальность темы Диссертация посвящена изучению вопросов прогнозирования социально-экономических процессов Прогнозирование - это ключевой момент при принятии решений в управлении Конечная эффективность любого решения зависит от последовательности событий, возникающих уже после их принятия Возможность предсказать неуправляемые аспекты этих событий перед принятием решения позволяет сделать наилучший выбор, который, в противном случае, мог бы быть не таким удачным Поэтому системы планирования и управления, обычно, реализуют функцию прогноза
Прогнозирование как метод имеет большое количество областей применения На настоящий момент исследователь располагает выбором из огромного количество разработанных моделей прогнозирования Обзор существующих подходов к прогнозированию показал, что каждый из методов имеет свои преимущества и недостатки, определенную область применимости и набор ограничений, в пределах которых он дает результат, отвечающий ожиданиям по точности и надежности Социально-экономические процессы отличаются тем, что не всегда могут быть удачно "вписаны" в ту или иную модель Гораздо чаще в процессе прогнозирования приходится сталкивается с тем, что процесс удовлетворяет условиям некоей модели только на ограниченном отрезке времени После этого характер поведения процесса меняется таким образом, что необходимо применять другую модель В этом случае конечный заказчик вынужден производить дополнительные затраты на подбор и адаптацию модели прогнозирования, отвечающей новым характеристикам процесса Неудивительно, что задача создания модели, позволяющей избежать этих затрат, постоянно рассматривается учеными
В настоящий момент все чаще используются синтетические подходы Для надежного прогнозирования применяются связки методов, результаты которых сравниваются, взвешиваются и анализируются В результате принимается решение о способе формирования прогноза В настоящий момент нередко появляются публикации о новых методах прогнозирования, позволяющих проводить анализ любых процессов Фактически, эти разработки являются более сложными модификациями существующих подходов При их использовании проблема выбора модели замещается новой проблемой - подбора и установки большого числа настроечных параметров В связи с этим, ведется работа в направлении создания подходов, являющихся надстройками над такими методами прогнозирования Алгоритм, как правило, осуществляет оптимизацию параметров метода к текущему процессу Причем сам метод остается одним и тем же То есть, существующие подходы, хоть и расширяют область применимости выбранного метода, все же не решают задачи совершения самого выбора
В сложившейся ситуации разработка модели комплексного проінозиро-вания социально-экономических процессов, решающая задачу динамического выбора оптимального метода прогнозирования, а так же формирование самого прогноза является актуальной Разрабатываемая модель может быть применена
при построении системы поддержки принятия управленческих решений, связанных с планированием
Основные исследования, получившие отражение в диссертации, выполнялись по планам научно-исследовательских работ
федеральная комплексная программа «Исследование и разработки по приоритетным направлениям науки и техники гражданского назначения»,
грант РФФИ «Гуманитарные науки» «Разработка оптимизационных моделей управления распределением инвестиций на предприятии по видам деятельности» N Г00-3 3-306,
госбюджетная научно - исследовательская работа «Разработка и совершенствование моделей и механизмов внутрифирменного управления»
Цель диссертационной работы Разработка и реализация моделей комплексного динамического прогнозирования социально-экономических процессов с учетом изменения характера течения процесса, реализация разработанных моделей в виде пакета прикладных программ
Задачи исследования
Проанализировать существующие подходы к вопросу прогнозирования социально-экономических процессов
Построить модель и систему, формирующую прогноз исследуемого процесса, представленного своими временными отсчетами
Построить модель динамического выбора наилучшего метода прогнозирования на данном шаге
Построить алгоритм обучения системы, который будет динамически определять область компетентности каждого метода
Разработать алгоритм формирования образов обучающей выборки, содержащих в себе информацию о характере изменения исследуемого процесса, достаточную для принятия решения о применении того или иного метода прогнозирования
Сформировать наборы входных параметров, совместное применение которых максимально расширит зону компетентности каждого базового метода
Сформировать модель комплексного динамического прогнозирования с использованием всех разработанных подмоделей и алгоритмов, предложить реализацию разработанной модели, применимую при построении системы поддержки принятия решений в управлении
Методы исследования Выполненные теоретические и экспериментальные исследования базируются на использовании теории систем, теории множеств (четких и нечетких), математической статистики, теории коллективного принятия решений, нейронных технологий, нейроуправления, математического моделирования и программирования, функциональной декомпозиции Общей методологической основой является системный подход
Научная новизна Разработаны и реализованы модели и сопутствующие алгоритмы нейросегевого комплексного динамического прогнозирования, обладающие следующей научной новизной
Разработана модель прогнозирования, отличающаяся от базовых снижением временных и финансовых затрат на настройку и поддержку подсистемы прогнозирования, позволяющая получить прогноз исследуемого процесса, представленного своими временными отсчетами, по качеству не уступающий или превосходящий результат, который можно получить, применяя отдельные базовые методы прогнозирования
Построенная модель отличается от случая применения отдельных базовых методов тем, что не требует активного участия специалиста, использующего метод и позволяет осуществить динамический выбор применяемого на данном этапе прогнозирования базового метода, основываясь на динамически сформированном представлении о его области компетентности
" 3) Предложен подход к обучению нейронных сетей, отличающийся реализацией алгоритма формирования обучающего образа, основанного на аппарате математической статистики, и позволяющий построить ассоциативные связи между характером поведения процесса и оптимальным методом прогнозирования
Разработанная топология и методика обучения нейронной сети, осуществляющей управление формированием прогноза, основана на теории коллективного принятия решений
Построенная динамическая модель решения задачи о назначении отличается от базовой модели учетом прогнозируемой динамики спроса на несколько этапов вперед и дифференциацией сотрудников по способностям и уровню оплаты труда
Практическая значимость и результаты внедрения работы Практическая значимость заключается в разработанных моделях, алгоритмах и их программной реализации, применимых в системах поддержки принятия управленческих решений, требующих формирования прогноза динамически меняющихся характеристик Применение разработок, представленных в работе, позволяет снизить стоимость разработки и поддержки подсистемы прогнозирования, а так же позволит сохранить накопленный опыт анализа исследуемых процессов
Построенные модели используются в практике разработки планов закупки материалов и комплектующих изделий в ООО «Промжилстрой №1» и ООО «Стройинвест», Модели, алгоритмы и механизмы включены в состав учебного курса «Исследование операций при моделировании социально - экономических систем», читаемого в Воронежском государственном архитектурно - строительном университете
На защиту выносятся
1) Комплексный подход к выбору метода прогнозирования временного ряда, представляющего динамику развития социально-экономического процесса с учетом быстрого изменения характера его течения
Комплекс нейросетевых моделей, применимых в системе поддержки принятия управленческих решений планирования, позволяющих сформировать прогноз быстро меняющейся социально-экономической величины на основе накопленной информации о характере ее поведения и применимости базовых методов прогнозирования
Модели анализа информации о характере течения процесса во временной и частотной области
Динамическая модель задачи о назначении
Апробация работы
Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях международные конференции «Современные сложные системы управления» (г Тула, 2005, Краснодар-Воронеж-Сочи, 2005 г), 61 - 63 научно-технические конференции по проблемам архитектуры и строительных наук (Воронеж, ВГАСУ, 2005-2007 гг)
Публикации
По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ, в том числе одна -из перечня изданий, рекомендованных ВАК РФ В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат в [2, 3, 5] - модели и алгоритмы отбора методов прогнозирования, алгоритм извлечения статистической информации о характере течения социально-экономического процесса из обучающей выборки, [4] - исследование кадровой структуры и стратегии проведения работ по управлению качеством, [1,6]- модель решения оптимизационной задачи о назначении с учетом ожидаемой динамики изменения параметров спроса
Структура работы Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и трех приложений Диссертация состоит из 135 страниц, в том числе машинописного текста 123,23 рисунка, 14 таблиц и приложений Библиография включает 137 наименований.
Классификация существующих подходов к задаче социально-экономического прогнозирования
Под методами прогнозирования подразумевают совокупность приемов мышления, способов, позволяющих на основе анализа информации о прогнозном объекте, вынести относительно достоверное суждение о его будущем развитии. От типа объекта зависит тип применяемого метода. Существует большое количество классификаций видов прогнозов по различным классификационным признакам.
По временному охвату прогнозы могут быть краткосрочными, среднесрочными и долгосрочными.
Прогнозы делятся по типам прогнозирования на:
поисковые (анализ исторических данных),
нормативные (исходят из имеющихся планов развития),
основанные на творческом видении (от интуиции до учета аналитической и даже научно-фантастической литературы).
Активный - пассивный. Активным считается прогноз, который учитывает возможное активное участие в формировании дальнейшего течения событий.
По типу результата прогнозы подразделяются на точечные и интервальные.
По степени вероятности будущих событий прогнозы делятся на вариантный и инвариантный. Если вероятность прогнозируемых событий велика, или, другими словами, фирма рассчитывает на высокую степень определенности будущей среды, то прогноз включает в себя только один вариант развития, то есть является инвариантным. Инвариантный прогноз основывается на экстраполяции , простом продолжении сложившейся тенденции. Вариантный прогноз основан на предположении о значительной неопределенности будущей среды и, следовательно, наличии нескольких вероятных вариантов развития.
Классификация методов прогнозирования по степени формализации, в наибольшей степени обобщающая различные подходы, приводится на рисунке 1.1.
Согласно приведенной классификации, видно, что все существующие подходы можно разделить на три основных группы:
Интуитивные (экспертные)
Фактографические (формализованные)
Прогнозирование при помощи НС.
Классификация методов по области их применимости, а так же обзор достоинств и недостатков приведен в таблице 1.2.
Важной чертой всех методов, относящихся к техническому анализу является то, что анализируется только динамика самого процесса. Весь ряд таких методов опирается на постулаты:
1) Курс (цена) учитывает все. Любой фактор, влияющий на цену (экономический, политический или психологический) уже учтен рынком и включен в цену. Поэтому все, что требуется для прогнозирования - изучать график цены.
2) Движение цен подчинено тенденциям (направление движения цены). Основная цель составления графиков динамики цены заключается в том, чтобы выявить эти тенденции на ранних стадиях их развития и торговать в соответствии с их направлением.
3) История повторяется. Те правила, что действовали в прошлом, действуют и сейчас, а также будут действовать и в будущем.
В настоящий момент редко полагаются на какой-то один метод, используя синтетические подходы. Для надежного прогнозирования применяются связки методов, результаты которых сравниваются, взвешиваются и анализируются. В результате принимается решение о выносе того или иного прогноза. Результаты работы алгоритмов, использованных для предсказания одного и того же значения в будущем, либо отбираются на конкурсной основе, либо высчитывается некое взвешенное значение.
В связи с этим проводились исследования, целью которых было выяснить преимущества одновременного использования тех или иных методов, алгоритмов их совместного использования.
В статье [130] обсуждались пять вопросов, относящихся к прогнозированию макроэкономических рядов.
1. Могут ли нелинейные модели временных рядов давать в реальном времени прогнозы, лучшие по сравнению с линейными моделями?
2. Можно ли улучшить прогнозы на полгода или год вперед, используя предварительные данные об инерционности временных рядов для выбора модели прогнозирования?
3. Могут ли комбинации прогнозов превосходить по точности прогнозы, основанные на каком-то одном методе, для целого спектра временных рядов, и если да, то в каком отношении эти комбинации должны взвешивать наилучшие на данный момент методы прогнозирования?
4. Есть ли выгода от использования этих сложных методов по сравнению с простыми авторегрессионными прогнозами, достаточная для того, чтобы оправдать их использование даже прогнозистом, не склонным к риску?
Для ответа на эти вопросы в работе проводится соответствующий эксперимент. В этом эксперименте производится сравнение различных прогнозов на одномесячном, шестимесячном и двенадцатимесячном горизонтах для 215 экономических временных рядов США. Эксперимент симулирует применение этих методов в реальном времени, т.е. все прогнозы (включая оценки всех параметров, все правила выбора модели, все предварительные тесты и т.п.) базируются исключительно на наблюдениях до даты построения прогноза, включая эту дату. Оценки параметров, статистики для выбора модели, предварительные тесты и веса в комбинации прогнозов обновляются для всех моделей ежемесячно, и эти обновленные статистики используются для построения прогнозов на будущие месяцы.
Нейронная сеть как управляющий элемент
НС в качестве управляющего элемента представлена в 2 различных режимах. В одном из них НС выбирает единственный наиболее лучший МП на данном шаге прогнозирования. Во втором - формирует набор весов, согласно которым вычисляется суперпозиция прогнозов, сделанных каждым из использованных методов.
Для того, чтобы произвести выбор, НС должна иметь соответствующую топографию и быть специальным образом обученной. Принятие решения в обоих случаях происходит на основе анализа данных (ряда значений прогнозируемого процесса), являющихся входными для методов прогнозирования.
Эти данные в исходном или преобразованном виде поступают на входы НС. В первом случае размерность входного слоя совпадает с количеством отсчетов во входном ряде. В случае наличия некоего промежуточного преобразования, количество входов НС будет зависеть от алгоритма преобразования. Второй случай по многим причинам является более предпочтительным:
Модель НС не будет зависеть от размерности входного сигнала, а значит, и от набора МП. Это позволяет производить оптимизацию параметров подмоделей независимо. Делает весь алгоритм более универсальным.
Позволяет подать на НС не всю информацию, содержащуюся во временной последовательности, а только ту, которая нужна для формирования областей ответственности МП.
Выходы НС отражают относительную пригодность каждого из методов прогнозирования на данном шаге прогнозирования. Другими словами, выходы содержат информацию о том, насколько близок поданный образ к области ответственности каждого из методов. В режиме обучения на выходы подается управляющий сигнал Gi, равный численному значению применимости метода на данном шаге обучения. В зависимости от режима работы (конкурсный или коллективный) Gi будет вычисляться по различным технологиям. Но в обоих присутствует понятие ошибки прогноза.
Пусть Yo - реальное значение прогнозируемой величины на данном шаге обучения. Тогда ошибка прогноза, сформированного каждым МП равна
При конкурсном подходе величина G принимается равной 1 для метода, дающего наилучший результат, то есть метод с минимальным Ri. Для остальных методов на этом этапе G полагается равным нулю.
При коллективном подходе, величина G вычисляется из соображений эффективности вклада каждого метода. Применимость метода тем больше, чем меньше величина ошибки, поэтому принимаем что G будет пропорционально величине, обратной ошибке:
С учетом ограничения (2.1), значения Gj подвергаются нормализации. Для этого применяется модифицированная сигмоидальная функция перехода.
Несмотря на различие в алгоритмах формировании управляющих сигналов, в обоих случаях речь идет о распознавании. Конкурс - это случай четкого распознавания, а коллективный подход - нечеткого. Под нечетким распознаванием подразумевается решение задачи распознавания, но в условиях присвоения каждому из методов Fi веса Gi. Вес каждого метода на выходе будет показывать то, насколько ситуация X относится к области ответственности метода Fi.
Известно, что при помощи НС успешно решаются задачи распознавания, а так же сводимые к ним (в том числе и прогнозирование) [60, 63, 67]. С учетом всех выдвинутых требований, было принято решение использовать для распознавания образов двухслойную нейронную сеть прямого действия с обратным распространением ошибки, как объект с хорошо изученными свойствами, а так же успешно применяющийся при распознавании графических образов в различных приложениях. Альтернативой этому подходу могли бы быть любые НС, применяемые для классификации образов: двухслойный перцептрон, сеть Кохонена и другие. Недостатком перцептрона по сравнению с другими НС являет то, что алгоритм требует, чтобы все обучающие образы предъявлялись перед каждой коррекцией параметров. Это следует из необходимости суммировать функцию ошибки по всем образам из обучающего множества. В этом случае алгоритм всегда сходится, хотя количество итераций для сходимости может оказаться сколь угодно большим.
Без потери общности подхода был выбран способ обучения с учителем (формирующим управляющие сигналы Gi). При этом НС достаточно устойчива к зашумлению, изменению формы образа - но не устойчива к изменению его положения в пространстве входных значений НС.
Процедура обучения нейронной сети. Согласно методу наименьших квадратов, минимизируемой целевой функцией ошибки НС является величина
Здесь под yj, как и раньше, подразумевается выход нейрона j, а под sj -взвешенная сумма его входных сигналов, то есть аргумент активационнои функции. Так как множитель dy/dsj является производной этой функции по ее аргументу, из этого следует, что производная активационнои функция должна быть определена на всей оси абсцисс. В связи с этим, функция единичного скачка и прочие активационные функции с неоднородностями не подходят для рассматриваемых НС. В них применяются такие гладкие функции, как гиперболический тангенс или классический сигмоид с экспонентой. В случае гиперболического тангенса
Сети на шаге 1 попеременно в случайном порядке предъявляются все тренировочные образы, чтобы она не забывала одни по мере запоминания других. Алгоритм иллюстрируется рисунком 2.3.
Алгоритмы формирования обучающего образа нейросетевых моделей комплексного динамического прогнозирования
Реализация алгоритма формирования обучающего образа. Модель комплексного динамического прогнозирования, описанная во второй главе, требует построения специального алгоритма преобразования обучающей выборки временных отсчетов изучаемого процесса. К алгоритму предъявляется ряд требований.
1. Полнота. Содержать в себе всю информацию относительно характера поведения исследуемого процесса на протяжении текущего входного отрезка времени.
2. Чистота. Образ должен быть максимально возможно "очищен" от информации, характеризующей количественные показатели течения процесса.
3. Однозначность. Преобразование входных данных в образ должно происходить по некоему фиксированному алгоритму. Т.е. один и тот же набор входных значений должен сформировать один и тот же образ.
4. Устойчивость. Близкие по характеру изменения наборы входных значений должны формировать близкие, с точки зрения системы распознавания, по форме образы.
5. Сжатие. Метод должен преобразовывать любое количество временных отсчетов процесса в образ фиксированного размера. Требования полноты и чистоты вызваны тем, что НС обучается на основе только информации, получаемой ею из образа. А применимость того или иного МП зависит только от характера течения процесса, а не от его абсолютных величин.
Требование сжатия связано с тем фактом, что в качестве активного элемента системы используется НС, а число входов сконфигурированной и обученной НС это величина фиксированная. Напротив, число входных отсчетов методов прогнозирования будет зависеть от типа прогноза (долго-, средне- или кратковременный) и характера течения процесса. Значит, метод формирования образа должен преобразовывать произвольный набор значений временных отсчетов в фиксированный по количеству значений набор, представляющий собой образ.
Однозначность и устойчивость являются гарантом того, что правильно обученная НС будет эффективно определять метод, область ответственности которого наиболее хорошо подходит для работы с текущим отрезком входных данных.
При различных условиях исходной задачи прогнозирования, применяются различные варианты разработанного алгоритма. В первой главе описаны модели временного и частотного вариантов реализации алгоритма, а так же поставлен вопрос об использовании индексов финансовых величин.
Принципиальное различие моделей заключается в способе преобразования исходной обучающей выборки в двухмерное изображение, несущее максимум информации о характере поведения процесса и содержащее минимум данных о текущем состоянии процесса.
При временном подходе вектор X обучающей выборки значений изучаемого процесса приводится к матричному виду согласно следующей формуле
Как было показано в предыдущей главе, областью применения временного подхода являются случаи, когда за время, соответствующее объему выборки, процесс меняется каким-то одним образом. Другими словами, если построить график зависимости значения процесса от времени на периоде выборки, он будет представлять собой некую фигуру. Чаще это касается процессов, для которых требуется сформировать краткосрочный прогноз, и доказано, что методы прогнозирования дают наилучший результат при рассмотрении малого количества значений отсчетов на входе.
Примем размер выборки L равным 4, тогда на первой итерации обучения X = [278,296, 299, 291].
Предварительным этапом формирования образа является нормализация данных, то есть очистка от информации о сдвиге образа относительно осей координат. Мы позиционируем образ так, чтобы он всегда располагался в первой координатной четверти. Чтобы достигнуть этого эффекта, применяется формула (3.2).
Результатом действия которой, минимальное значение X будет всегда равно 1, то есть образ будет опираться на ось абсцисс: Х-[1,19, 22, 14]. Если на данном этапе воспользоваться формулой (3.2), то изображение образа будет "вытянутым" вдоль оси ординат.
Следующим этапом формирования образа является масштабирование. Величина образа по вертикали задается специалистом из соображений пропорциональности результирующего образа. Она должна выбираться сообразно объему выборки, поэтому введем дополнительную величину - множитель высоты образа. Пусть образ на выходе должен представлять из себя матрицу шириной w и высотой h значений. Получим вектор длиной в h w элементов, из которых ненулевыми будут номера 3, 6,16 и 33.
В данном случае дальнейших преобразований не требуется.
Рассмотрим ту же обучающую выборку, но с позиций частотного подхода. Как было показано во второй главе, его областью применения являются случаи, когда на входе метода прогнозирования - обширная выборка значений. В противоположность временному методу, данный подход позволяет обрабатывать обучающие выборки значительного объема. Он не имеет требований к качеству и форме входных данных.
Так как метод рассчитан на работу с большими объемами входных данных, используем всю выборку X, то есть примем L=16.
На первом этапе вы переводим имеющиеся у нас данные о характере течения процесса в частотную область. Согласно реализации алгоритма, применяется БПФ.
Анализ рынка недвижимости с использованием комплексной модели динамического прогнозирования
В качестве практической проверки и сравнения работы метода в обоих режимах (временном и частотном) был проведен эксперимент. На основе полученных образов были классифицированы методы прогнозирования временных рядов. В качестве объекта прогнозирования была выбрана временная последовательность, отражающая динамику роста средней цены квадратного метра вторичного жилья в Москве за последние годы.
Данные, отражающие саму динамику, представлены в таблице 3.3.
Прогнозирование этой закономерности велось на значениях отсчетов за 2006 - 2007 гт. Так как в текущем контексте нас интересуют образы процесса, а не сами методы прогнозирования, авторы не приводят анализа применимости МП для исследованной динамической характеристики рынка.
В результате обработки были получены следующие прогнозы. Для временной области - рисунок 3.12, и для частотной - рисунок 3.13.
На графиках знаком "о" были помечены спрогнозированные значения, а знаком "х" - реальные значения процесса на этом этапе. Как видно, в данном случае оба подхода оказались равносильно удачными. Линиями указан ход прогнозирования каждым из подключенных методов. Основываясь на информации, полученной при обучении, система в обоих случаях выбрала оптимальные методы прогнозирования и отбросила прогнозы, не применимые для текущего процесса.
Эффективность одношагового прогнозирования в данном случае объясняется простотой характера поведения объекта. Тем не менее, на каждом из этапов обучения, система формировала образы обучающей последовательности. При принятии решения о превосходстве одного метода над другим, текущий образ "добавлялся" ко всем предыдущим образам данного МП, формируя тем самым область его компетентности. Количество отсчетов при временном подходе было приравнено 25, а при частотном - 40. Для временного и частотного подхода, области ответственности методов имеют разные формы. Полученные образы приведем на графиках.
Для одного из методов область ответственности оказалась пустой, что говорит о его неприменимости в случае с исследуемым процессом. Анализируя результат работы методов можно сделать вывод, что для анализа медленно меняющихся трендов временной анализ подходит гораздо лучше. Однако в каждом отдельном случае преимущества и недостатки каждого из подходов необходимо рассматривать индивидуально.
