Содержание к диссертации
Введение
1. Модели и методы ресурсоного планирования комплексов работ 12
1.1. Методы решения многоэкстремальных задач распределения ресурсов 12
1.2. Метод дихотомического программирования 31
1.3. Распределение ресурсов методом дихотомического программирования в общем случае 36
1.4.Выводы и постановка задач исследования 39
2. Модели и методы формирования производственной программы проектной организации 41
2.1. Вопросы формирования планов проектных работ 41
2.2. Оптимальное распределения объемов работ во времени 48
2.3. Задача оптимизации субподрядных работ 53
2.4. Оптимальное распределение ресурсов проектной организации 69
2.5. Алгоритм решения обобщенной задачи «о камнях» 79
3. Модели управления продолжительностью проекта 89
3.1. Задача совмещения выполняемых работ 89
3.2. Определение рационального совмещения работ при минимизации стоимости выполнении проекта 100
3.3. Аналитическое определение рационального совмещения работ при выполнении проекта 103
3.4. Дискретная задача рационального совмещения работ 112
4. Формирование оптимальной производственной программы проектно - строительного предприятия 117
4.1. Распределение единиц проектирования во времени 117
4.2. Определение плана работы структурных подразделений 125
4.3. Определение степени совмещения работ в проекте 127
Литература 138
Приложение 1 150
Приложения 2 151
Приложения 3 152
- Метод дихотомического программирования
- Оптимальное распределения объемов работ во времени
- Определение рационального совмещения работ при минимизации стоимости выполнении проекта
- Определение плана работы структурных подразделений
Введение к работе
Актуальность темы. Вопросы уровня подготовки строительного производства тесно связаны с качеством выполняемых проектных работ, которые относятся к сфере организационно-технологического управления, включающий технологию проектирования, состав проектируемых элементов, формирование нормативной базы на элементы этой технологии и применение информационных технологий для автоматизации и оптимизации соответствующих расчетов. В то же время проблемы мотивации (стимулирование сокращения сроков работ), обеспечение достоверности представляемых данных, проблемы распределения усилий проектной организации и т.д. относятся к сфере экономических механизмов управления.
Исходными данными для процесса организационно-технологического управления являются следующие материалы: нормативно-справочная информация и нормативная база, представленная списком подразделений и специальностей, классификатором проектных работ, описанием нормативных технологических моделей, кодами и наименованиями классов работ, функциями зависимости оптимальной длительности работ от их объемов; исходная информация представленная перечнем позиций (объектов), по каждому заказу, индивидуальные наименования работ, описание планового периода (год, квартал, месяц), данные о состоянии выполнения работ. В результате обработки этих данных формируется производственная программа проектной организации на год и квартал, которая предусматривает распределение объемов проектных работ по головным исполнителям проекта, планы отделов на квартал, план загрузки подразделений и специальностей, отчет о выполнении, диспетчерские графики.
Процесс выполнения проектных работ можно разбить на несколько типовых стадий, каждая из которых в качестве исходных данных использует результаты предыдущего этапа. В этих условиях выполнение проектных работ характеризуется высокой степенью неопределенности на первоначальных этапах проектирования, что делает исходные данные по проекту весьма приблизительным по определяемым на начальной стадии объемам предстоящих работ и срокам завершения.
Вполне понятно, что в этом случае проект, при прочих равных условиях, будет обладать более низкой степенью надежности по сравнению с другими проектами инженерно — технической направленности, где существует более совершенное нормативное обеспечение и, как следствие, более уверенные знания об объемах работ, предполагаемых к выполнению, составу исполнителей и т.п. Повышение степени надежности проекта возможно на основе резервирования производственных ресурсов на случай непредвиденных работ. Но в данном случае, учитывая тот факт, что основным ресурсом, который требуется для реализации проекта, являются высококвалифицированные специалисты, это означает, что в составе команды проекта должны быть избыточные исполнители.
Такая ситуация делает особо актуальной вопросы связанные с возможностью управления продолжительностью реализации проекта. Понятно, что основной возможностью такого влияния является распределение трудовых ресурсов таким образом, чтобы обеспечить выполнение проекта в приемлемые для заказчика сроки. Но такая возможность не является единственной. Как известно, процесс выполнения проектных работ представляет собой последовательную реализацию типовых этапов проекта. Очевидно, что возможно выполнять эти этапы не последовательно, а с частичным совмещением. Понятно, что такое выполнение дает возможность сократить продолжительность выполнения работ по всему проекту без привлечения дополнительных трудовых ресурсов. Но, учитывая тот факт, что результаты предыдущего этапа служат исходными данными для последующего, слишком раннее начало последующей работы может служить источником принятия неправильных решений, которые потом придется исправлять, что естественно потребует дополнительных средств и времени.
Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью разработки комплекса моделей распределения ресур 5
сов проектной организации, обеспечивающих сокращение выполнения всего комплекса работ за счет рационального распределения объемов работ по времени и между исполнителями, а также за счет рационального выбора степени совмещения выполняемых работ в проекте.
Основные исследования, получившие отражение в диссертации, выполнялись по планам научно-исследовательских работ:
- федеральная комплексная программа «Исследование и разработки по приоритетным направлениям науки и техники гражданского назначения»;
- госбюджетная научно - исследовательская работа «Разработка и совершенствование моделей и механизмов внутрифирменного управления».
Цель и постановка задач исследования. Целью диссертационного исследования является разработка моделей управления ресурсным планированием комплексов работ в проектной организации.
Достижение цели работы потребовало решения следующих основных задач:
1. Проанализировать существующие модели распределения ресурсов при выполнении проектных работ.
2. Разработать модель оптимального распределения ресурсов проектной организации.
3. Построить модель оптимального распределения объемов выполняемых работ по времени.
4. Разработать модель выбора оптимальной степени совмещения выполняемых работ.
5. Построить модель выбора степени совмещения выполняемых работ по проекту при дискретном задании степени совмещения.
Методы исследования. В работе использованы методы моделирования организационных систем управления, системного анализа, математического программирования.
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: 1. Модель оптимального распределения ресурсов проектной организации, отличающаяся тем, что учитывается производительность каждой единицы используемых ресурсов и позволяющая добиться наиболее близкого к равномерному распределению ресурсов проектной организации во времени.
2. Модель оптимального распределения объемов выполняемых работ по времени, отличающаяся учетом произвольной технологической связи, задаваемой в виде сетевого графика и ограничений на максимальные объемы работ, выполняемые в данный интервал времени, позволяющая свести исходную задачу к определению минимального относительного уровня перегрузки ресурсов, обеспечивающего равенство максимального потока в полученной сети объему работ по проекту.
3. Модель выбора оптимальной степени совмещения выполняемых работ, отличающаяся учетом свойств функции, описывающей зависимость изменения продолжительности выполнения работ от величины коэффициента совмещения, что позволяет получить расписание выполнения работ, характеризующегося минимальной продолжительностью при заданном уровне потребления ресурса.
4. Модель выбора степени совмещения выполняемых работ по проекту, отличающаяся учетом дискретной структуры коэффициентов совмещения, задаваемых, как правило, неким конечным множеством допустимых значений, и обеспечивающая сокращение продолжительности выполнения работ в целом по проекту при минимальном размере дополнительных затрат.
Практическая значимость и результаты внедрения. На основании выполненных автором исследований созданы модели, позволяющие осуществлять рациональное распределение ресурсов проектной организации во времени и между исполнителями.
Использование разработанных в диссертации моделей и механизмов позволяет многократно применять разработки, тиражировать их и осуществлять их массовое внедрение с существенным сокращением продолжительности трудозатрат и средств. Созданные модели управления ресурсным планированием комплексов работ, используются в производственной практике корпорации ЗАО «Воронеж - дом», ООО УК «Жилпроект».
Модели, алгоритмы и механизмы включены в состав учебного курса «Организация строительного производства (спецкурс)», читаемого в Воронежском государственном архитектурно - строительном университете в виде двух лабораторных работ.
Апробация работы.
Основные результаты исследований и научных разработок докладывались и обсуждались на следующих конференциях: международные конференции «Современные сложные системы управления» (Воронеж, 2005 г., г. Тверь, 2006 г.); международная научно-практическая конференция «Сложные системы управления и менеджмент качества» (г. Старый Оскол, 2007 г.); 60 -62 научно-технические конференции по проблемам архитектуры и строительных наук (Воронеж, ВГАСУ, 2005-2007 гг.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ в том числе 4 работы опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве, состоит в следующем: в работе [2] - модель оптимального распределения ресурсов проектной организации; в работах [1], [5] - модель оптимального распределения объемов выполняемых работ по времени; в работе [4] - модель выбора оптимальной степени совмещения выполняемых работ; в работе [3] - модель выбора степени совмещения работ по проекту при дискретном задании коэффициентов совмещения.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Она содержит 152 страницы основного текста, 53 рисунка, 35 таблиц. Список литературы включает 187 наименований.
Во введении обосновывается актуальность, описывается цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость. В первой главе рассматриваются существующие постановки задач распределения ресурсов.
В выполнении работ по проекту, как правило, участвуют различные ресурсы. Можно выделить две взаимосвязанные группы ресурсов. Материально-технические ресурсы, т.е. сырье, материалы, конструкции, комплектующие, энергетические ресурсы, топливо, и ресурсы типа «мощность» или технологические ресурсы, т.е. машины, механизмы для выполнения работ проекта и трудовые ресурсы, осуществляющие непосредственную работу с материально-техническими ресурсами (например, строители, водители машин, монтажники оборудования и пр.).
Это многообразие сводится к двум основным типам:
Невоспроизводимые, складируемые, накапливаемые ресурсы в процессе выполнения работ расходуются полностью, не допуская повторного использования. Не использованные в данный отрезок времени, они могут использоваться в дальнейшем. Иными словами, такие ресурсы можно накапливать с последующим расходованием запасов. Поэтому их часто называют ресурсами типа «энергия». Примерами таких ресурсов являются топливо, предметы, средства труда однократного применения, а также — финансовые средства.
Воспроизводимые, нескладируемые, ненакапливаемые ресурсы сохраняют свою натурально-вещественную форму и по мере высвобождения могут использоваться на других работах. Если эти ресурсы простаивают, то их неиспользование в данный отрезок времени не компенсируется в будущем, т.е. они не накапливаются, поэтому ресурсы второго типа называют еще ресурсами типа «мощности». Примерами ресурсов типа «мощности» являются люди и средства труда многократного использования (машины, станки, механизмы и т.д.).
В ряде случаев предполагается, что ресурсы участвуют в работе в определенном соотношении, образуя набор ресурсов. Как правило, один из видов ресурсов является определяющим (например, на один токарный станок нужен один токарь, инструменты, детали для обработки и т.д.). Параметры набора показывают количество ресурса данного вида, требуемого на единицу определяющего ресурса. Скорость операции задается в этом случае как функция количества определяющего ресурса.
Если задан срок завершения проекта, либо допустимая величина упущенной выгоды, то решается в определенном смысле обратная задача — минимизации ресурсов либо затрат.
Поставленные задачи достаточно сложны и, как правило, не имеют эффективных методов решения. В общем случае для их решения применяются приближенные и эвристические алгоритмы. Точные методы получены для ряда частных случаев. Рассмотрена постановка задачи дискретной оптимизации (экстремальных задач комбинаторного типа) и возможные методы ее решения основанные на методах: локальной оптимизации, ветвей и границ, динамического программирования и дихотомического программирования
Во второй главе рассматриваются задача оптимального распределения объемов работ по времени. Первоначально рассматривается случай независимых проектных работ. В этом случае задача решается отдельно для каждого вида проектных работ. Пусть ограничение на объем работы, выполняемой j-ым ресурсом, отсутствует, то есть при наличии ресурсов каждая работа может быть выполнена в одном интервале. В этом случае существует простое правило оптимального распределения ресурсов: в первую очередь начинаются работы с минимальными поздними сроками окончания. Описан алгоритм решения задачи.
Рассмотрено обобщение описанного алгоритма на случай произвольного сетевого графика.
В условиях ограниченных ресурсов для выполнения плана проектных работ в заданные сроки приходится привлекать другие организации. Показано, что задача определения рационального объема субподрядных работ сводится к классической «задаче о ранце», для которой существуют эффективные методы решения. В частности, весьма эффективным является метод дихотомического программирования, который при структуре дихотомического представления, максимально близкий к симметричной, имеет меньший объем вычислений, чем метод динамического программирования. Дано обобщение полученных результатов на случай произвольных зависимостей скорости выполнения работы от количества ресурсов.
Рассмотрим оптимальное распределение объемов работ между структурными подразделениями проектной организации, которую можно представить как распределение ресурсов типа «мощности» в проектной организации.
Пусть в организации имеются подразделений, располагающих мощностями ресурсов одного вида. Обозначим Qj объем проектных работ, который может выполнить і- ое подразделение, W; - объем і-ой работы, і = 1,п. Требуется распределить работы между подразделениями, так, чтобы загрузка подразделений (или их перегрузка) была максимально равномерной. В этом случае задача сводится к классической «задаче о камнях».
В третьей главе рассматривается модель совмещенного выполнения работ. Известно, что частично параллельное выполнение работ позволяет в ряде случаев сократить продолжительность реализации проекта. Но такое сокращение связано с дополнительными затратами средств, связанных с тем, что процесс нарушения технологической последовательности выполнения работ приводит к необходимости внесения изменений в уже выполненные работы. Следовательно, возникает задача выбора таких значений коэффициентов совмещений работ, которые обеспечивали бы сокращение продолжительности выполнения работ в целом по проекту при минимальном размере дополнительных затрат.
Допустим, проект состоит из т работ, которые должны выполняться последовательно. Но возможно и частичное совмещение работ, задаваемое коэффициентами совмещения между работами. Причем возможные значения коэффициентов совмещения представляют собой конечное множество значений п. Каждому возможному значению коэффициентов совмещения будет соответствовать определенная величина уменьшения продолжительности реализации проекта и, соответственно, определенные затраты, задаваемые величиной си , / = 1,2...,т; у = 1,2...,л.
В четвертой главе рассмотрена задача распределения объемов работ между структурными подразделениями ООО УК «Жилпроект».
Компания имеет пять групп, выполняющих проектные работы. Численность каждой из них в среднем составляет 18 специалистов. Возникает проблема распределения портфеля заказов компании между творческими коллективами. Выше было показано, что эта проблема может быть сведена к известной задаче о «камнях».
Метод дихотомического программирования
Широкий класс функций f(x) допускает дихотомическое представление, такое, что вычисление значений функции сводится к последовательному вычислению значений функций двух переменных. Так функция f(x) = f0[fi(xbx2), f2(x2,x3)] допускает дихотомическое представление (рис. 2.1.1). При этом соответствующие функции f0, fi, f2 удобно представлять в матричном виде (рис. 1.2.2). Такое представление широко используется в методах комплексного оценивания программ развития предприятий, регионов, результатов деятельности подразделений, уровня безопасности объектов и др.
Колмогоровым А.Н.[67] и Арнольдом В.И. [6] доказаны теоремы о представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных (в частности, двух переменных). Так, например, любая непрерывная функция трех переменных представима в виде [6] ґ(х1,х2,Хз)=Ь1(х1,ф1(х2,Хз)) + Ь2(х1,ф2(х2,х3))+Ь3(х„Фз(х2,Хз)).
Поскольку функция дискретных переменных может быть продолжена до непрерывной функции, то, тем более, любая функция дискретных переменных представима в дихотомическом виде. В дихотомическом виде можно представить и систему неравенств [23].
В задачах комплексного оценивания функция f(x), дающая интегральную оценку объекта, как правило, допускает дихотомическое представление в виде дерева. В этом случае можно предложить эффективный метод решения задачи (1.1), (1.2). На рис. 1.2.4 приведен пример построения интегральной оценки трех показателей, имеющей вид f(xbX2,x3) = (po[fi(x,,x2), х3] = Фо(у,х3) Значения функций фі(х;) даны в нижних половинах квадратов, соответствующих переменным хь х2 и х3. Дадим описание алгоритма на примере рис. 1.2.4 [23]. 1 шаг. Рассматриваем нижнюю матрицу и для каждого элемента этой матрицы записываем в нижней половине соответствующей клетки сумму функций фі(хі) и фгСхг) для соответствующих значений xi и хг. Так, например, клетке (хьх2) = (3,2) соответствует сумма f(x) 1 2 3 4 ф(х) 6 25 67 120 t 4 / /10 2 / /71 /78 /@ /170 3 / /30 2 / /31 2 / /38 з//80 3//30 2 / /17 1 / /1 8 2 / з /7 3 / /17 1 / / 5 /6) 1 //із 2 / /55 Ъ / /05 У/ / Хз 1 / /1 2/ / 8 з//50 4/ / 4 / /50 2 / / 2 3 / /57 4 / /70 4// /10 з//35 1 / /37 2 / /42 3 //ЪЪ з//95 2// /10 І/7 /12 2 / /17 3 / //30 з//70 1 / / 3 1 / /5 і/ /10 2// /23 2// /63 / х. 1 / /2 2// /7 з//20 4// /60 Рис. 1.2.4. 9 3) + 92(2) = 20+10 = 30. Далее будем называть эту сумму затратами на достижение соответствующего состояния. 2 шаг. Из всех элементов матрицы имеющих одно и то же значение у = f](xi,X2) выбираем элемент с минимальной суммой фі(хі)+фг(х2). Минимальную сумму записываем в нижнюю половину клетки, соответствующей этому значению у в верхней матрице. Так, например, значению у = 3 соответствуют 5 элементов нижней матрицы: (3;2), (4;2), (3;3), (4;3) и (2;4). Из них элемент (3;2) имеет минимальную сумму 30 (это число записано в нижней половине соответствующей клетки). Поэтому в верхней матрице значению у = 3 соответствует число 30, записанное в нижней половине соответствующей клетки.
Далее шаги 1 и 2 повторяются для верхней матрицы. В результате для каждого значения f(x) мы получаем минимальную величину ф(х).
Несложно обобщить описанный алгоритм на случай произвольного дихотомического представления функции f(x) в виде дерева. Шаги 1 и 2 алгоритма повторяются, начиная с висячих вершин дерева дихотомического представления.
Заметим, что дихотомическое представление рис. 1.2.4 имеет тип ветви дерева. В этом случае метод дихотомического программирования переходит в метод динамического программирования. Таким образом, метод дихотомического программирования в случае, когда дихотомическое представление имеет вид дерева, является обобщением метода динамического программирования, расширяя круг задач, решаемых на основе данного подхода (рис. 1.2.5).
Если в методе динамического программирования решением задачи является путь в некоторой специальным образом построенной сети, то в методе дихотомического программирования решением задачи является частичное дерево в некотором специально построенном дереве.
Доказательство. Заметим, что множество решений модифицированной сети содержит все решения исходной задачи. Эти решения имеют следующий вид. Если в вершину, соответствующую переменной Х;к заходит хотя бы одна дуга полученного решения, то все дуги, заходящие в эту вершину, также принадлежат полученному решению. Отсюда следует, что полученное оптимальное решение модифицированной задачи дает нижнюю оценку для оптимального решения исходной задачи.
Оптимальное распределения объемов работ во времени
Рассмотрим случай независимых проектных работ. В этом случае задача решается отдельно для каждого вида проектных работ. Пусть ограничение Cis отсутствует, то есть при наличии ресурсов каждая работа может быть выполнена в одном интервале. В этом случае существует-простое правило оптимального распределения ресурсов: в первую очередь начинаются работы с минимальными поздними сроками окончания (правило А).
Доказательство. Пусть в каком либо интервале s назначена работа і, хотя имеется работа j с меньшей величиной b. Ь.. Заметим, что соответствующий объем работы j выполняется в некотором более позднем интервале q. Однако, в этом же интервале может выполняться и работа . Поэтому мы можем поменять объемы работ (то есть объем работы j, выполняемый в q-ом интервале переносим в интервал s, и наоборот соответствующий объем работ і переносим в интервал q).
Применяем правило А для распределения объемов невыполненных работ, начиная с интервала (s+І). Если удалось выполнить все работы, то получено оптимальное решение 2 вариант. Найдется ближайший интервал, такой, что объем работ который должен быть выполнен в s-ом интервале превышает Qs (таким образом, ресурсов не хватит для выполнения всех работ, которые должны быть завершены в интервалах 1,S). В этом случае определяем a, = max V H(s)J где V(s) - объем работ, которые должны быть выполнены в интервалах 1,S; H(s) = SQp P=I и применяем правило А. За конечное число шагов будет получено оптимальное решение. Пример 2.2.1. Данные о работах приведены в таблице 2.2.1. Таблица 2.2. і 1 2 3 4 5 6 w, 6 8 12 24 36 14 Зі 1 1 2 3 3 4 b, 2 3 4 5 5 6 Примем As = 1, S = 1,6, Qs-15 1 шаг Вычисляем W = 100, Q = 90 100 a. = 1-90 Принимаем количество ресурсов в каждом интервале Ns =a0 -Qs =16—. Применяем правило А. Заметим, что согласно этому правилу в первую очередь выполняются работы 1 и 2 суммарного объема 14 Ресурсы используются полностью (вариант 1). 2 шаг Вычисляем 86 Л1 хт л_\ а,=— = 1—, N =17-. 1 75 75 s 5 Применяем правило А. Начиная с второго интервала. Во втором интервале выполняется работа 3 объема 12. Ресурсы используются не полностью (вариант 1). 3 шаг Вычисляем 74 і 7 хг ю1 a2 =— = 1—, N=18-. 2 60 30 4 Применяем правило А. Начиная с третьего интервала. Заметим, что за третий, четвертый и пятый интервал необходимо выполнить 4 и5 работы объема 60, а можно выполнить объем работ не более 54—. Поэтому ресурсов используются не полностью (вариант 1). 4 шаг Вычисляем ai=- = li, Ns=20. 45 3 51 Применяя правило А, получаем в третьем интервале выполняется работа 4 в объеме 20 единиц, в четвертом завершается работа 4 и выполняется работа 5, в объеме 16 единиц, и в пятом интервале завершается работа 5. Наконец в шестом интервале выполняется работа 6. Перегрузка ресурсов со 1 1 ставляет — -100% = 33—% и имеет место в третьем, четвертом и пятом ин тервалах. Рассмотрим обобщение описанного алгоритма на случай произвольного сетевого графика. Предварительно скорректируем поздние моменты Ь; окончания работ следующим образом b =minb. jeS, где Sj - множество работ, следующих за работой і (включая работу і). Фактически bj это минимальный из поздних моментов окончания работы і и работ, следующих за работой і. Далее применяем правило А, беря bj вместо b;. Пример 2.2.2. Рассмотрим проект из шести работ с данными из примера 2.2.1 (табл. 2.2.1). Примем а3 = 1. Пусть сетевой график имеет вид (рис. 2.2.1).
Учтем теперь ограничения Cis на максимальные объемы работ, выполняемых в интервалах. Ограничимся случаем независимых работ. Для решения задачи определим двудольный граф G(X,Y). Вершины і є X соответствуют работам, а вершины s є Y соответствуют интервалам. Пропускные способности вершин і є X равны объектам W; соответствующих работ, А пропускные способности вершины s є Y равны объему работ, который можно будет выполнить в соответствующем интервале, то есть ciQs.
Пропускные способности дуг (i, s), i = l,n, SGRJ равны Cis. Задача свелась к определению минимального а , такого что максимальный поток в полученной сети равен Wj, что соответствует выполнению всех работ проекта. Опишем алгоритм определения потока максимальной величины, основанный на методе сетевого программирования.
Определение рационального совмещения работ при минимизации стоимости выполнении проекта
Переходим к рассмотрению задачи, когда совмещение работ (i,j) приводит к росту стоимости работы j (например, увеличение времени компенсируется увеличением затрат). Обозначим через фдК..) в данном случае увеличение стоимости работы j, зависимости от коэффициента совмещения Ку. Задача заключается в определении коэффициентов совмещения работ сетевого графика так чтобы проект был выполнен за время не более Т, а суммарный рост стоимости проекта был минимален.
В противном случае описанный алгоритм может не дать оптимального решения. Однако, данное предположение представляется вполне обоснованным, так как все работы, следующие за работой (і+1) в определенной степени зависят от работ, предшествующих работе і. Фактически мы имеем дело с зависимостями типа «финиш-финиш» (работа не может быть закончена, пока не закончена другая работа).
С учетом сделанного замечания дадим обобщение алгоритма на случай произвольного сетевого графика. По сути дела задача минимизации стоимости проекта при сокращении его продолжительности за счет совмещения работ эквивалентна задаче минимизации стоимости проекта при уменьшении его продолжительности за счет уменьшения продолжительности работ [17]. Поэтому мы не будет давать подробного описания алгоритма, а ограничимся его иллюстрацией на примере.
Анализ предметной области, проектирование, реализация и внедрение. Выполнение этих четырех стадий, как правило, ведется последовательно (см. рис. 3.3.1), но в том случае, когда последовательное выполнение работ не обеспечивает сдачу проекта в срок, приходится выполнять работы с частичным совмещением. (На рис. 3.3.1 сетевой график представлен по событиям, то есть последовательно выполняются работы 1-2, 2 — 3,3-4, 4-5)
Как уже отмечалось, параллельное выполнение работ связано зачастую с возможными дополнительными изменениями в уже проделанных работах, что приводит к увеличению продолжительности и, как следствие, к увеличению стоимости выполняемых работ. Рассмотрим определение рационального совмещения работ в проекте таким образом, чтобы общая продолжительность выполнения работ по проекту была минимальной.
При этом возникает задача, общая постановка которой приведена в пп. 3.1 и 3.2. Но в работах, посвященных проблеме выбора оптимального совмещения работ вид функции (3.1.2), описывающей зависимость увеличения продолжительности от коэффициента совмещения, не конкретизируется и в некоторых случаях задается произвольно. Так, например, в работе [Михин] зависимость вида (3.1.2) принимается в виде линейной или квадратичной функции. Приведенные в работе [15] алгоритмы решения задачи зависят от того, выпуклая или вогнутая функциональная зависимость (3.1.2).
Попытаемся определить характер зависимости увеличения продолжительности работ от величины коэффициента совмещения. При этом будем использовать две следующие аксиомы.
Аксиома 1. В том случае если коэффициент совмещение равен нулю (то есть работы выполняются последовательно), то вероятность возможных переделок также равна нулю.
Аксиома 2. В том случае если коэффициент совмещение равен единицы (то есть работы выполняются параллельно), то вероятность внесения изменений в выполненные работы также равна единицы.
При этом объем изменений будет сильно зависеть от характера выполняемых работ, но время выполнения будет прямо пропорционально вносимым изменениям.
Утверждение 1. Зависимость между коэффициентом совмещения работ и увеличением продолжительности выполнения работ имеет характер логистической кривой.
Рассмотрим изменение коэффициента совмещения К9 на одну и туже небольшую величину АКу при граничных значениях этого коэффициента, то есть при Ку = 0 и К у = 1, и определим, ориентировочное, изменение продолжительности 8у в каждом из этих случаев. Понятно, что если работы ведутся последовательно, то согласно аксиоме 1 увеличения продолжительности в этом случае не будет. Теперь совместим выполнение работ на небольшую величину АКу. Если она очень маленькая (порядка нескольких процентов), то, скорее всего, увеличения продолжительности по-прежнему не произойдет. Связано это с тем, что практически все важные и определяющие решения были приняты уже в начале предыдущей работы, а в конце происходит, в основном документальное оформление уже проделанных работ в которых и фиксируются эти приятые решения.
Аналогично, если работы выполняются параллельно, то согласно аксиоме 2 увеличение продолжительности будет максимальным. Теперь уменьшим коэффициент совмещения на величину АКу, то есть значение коэффициента совмещения будет Ку = \- АКу. Опять-таки и в этом случае если величина АКу незначительная, порядка нескольких процентов, изменения величины 5у ожидать трудно, так как на ранних стадиях выполнения предыдущей работы не еще приняты ключевые решения, влияющие на выполнение последующих работ. Таким образом, при небольших колебаниях коэффициента совмещения около граничных значений 0 и 1 не будет происходить изменения величины ду. Такое изменение будет происходить в среднем диапа 106 зоне изменений коэффициента совмещения Ку. Причем при малых значениях Кц первоначально будет происходить и небольшое возрастание продолжительности, затем скорость роста будет возрастать, а по достижении некоторого критического значения коэффициента совмещения эта скорость будет замедляться. Из всего сказанного следует, что зависимость между коэффициентом совмещения работ и увеличением продолжительности выполнения работ будет являться на отдельных участках выпуклой, а на участках близких к значениям К у =1- вогнутой.
Определение плана работы структурных подразделений
Рассмотрим задачу распределения объемов работ между структурными подразделениями ООО УК «Жилпроект». Компания имеет пять групп, выполняющих проектные работы. Численность каждой из них в среднем составляет 18 специалистов. Возникает проблема распределения портфеля заказов компании между творческими коллективами. В третьей главе п. 3.3 дан алгоритм решения такой задачи. Показано, что эта проблема может быть сведена к известной задаче о «камнях».
Используя данные о производственной программе ООО УК «Жилпроект» (см. табл.4.1.1), запишем исходные данные для задачи распределения объемов работ между структурными подразделениями. Сведения приведены в табл. 4.2.1 (в табл. 4.2.1 объемы работ необходимо умножить на 100).
В состав управляющей компании ООО «Жилпроект» входи 5 структурных подразделений, занятых выполнением проектных работ. Рассмотрим задачу о распределении заданного объема работ между подразделениями.
Для дальнейшего решения примем u]4=l (брать Ui3=l нельзя, так как в этом случае согласно (4.2.8) необходимо будет приять Ui4=ui5=Ui6=Ui7= ui8=0 и мы опять получаем неполную группу), тогда из (4.2.8) следует, что ui5=u18=l. Таким образом, получили решение вспомогательной задачи (4.2.1), (4.2.2) u3=l 116=1 Ui4=l Ui5=l Ui8=l. Это означает, что в качестве решения необходимо взять следующие множества: Q3=(2,6), Q6=(U), Qi4=(4,8), Q15=(5,7), Qi8=(9,10). При таком распределении основная масса структурных подразделений будет загружена равномерно и только первое подразделение будет перегружено на 5 %.
Рассмотрим возможные варианты выполнения работ по проекту. Если предположить, что работы по проектам, выполняются последовательно, как показано на рис. 4.3.1, то время разработки проекта составит 135 дней, что не устраивает заказчика.
Из практики известно, что коэффициенты совмещения, как правило, определяются с точностью до 10 процентов, в связи с этим получим данные о величине возможного сокращения продолжительности выполнения работ за счет их совместного выполнения для различных значений коэффициента совмещения, а также о дополнительных затратах, соответствующих такому сокращению.
При этом значение коэффициента К3 не может превышать 0,7, так как продолжительность выполнения предыдущей работы меньше чем рассматриваемой и этому значению будет примерно соответствовать одновременное начало работ (5 - 8) и (7 - 8).
Решение начинаем с последнего шага, то есть определим коэффициент совмещения между последней и предпоследней работы (по рис. 4.3.2 это работы (7 - 8) и (9 - 10)).
При совмещении работ (5 - 6) и (7 - 8) уменьшение продолжительности выполнения работ возможно на 2, 3, 4, 5, 6 и 7 дней. Таким образом, общее сокращение продолжительности возможно на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и 13. Рассмотрим возможные варианты сокращения продолжительности проекта при выполнении двух последних работ. На каждом шаге будем решать элементарную задачу оптимизации: из нескольких возможных вариантов выбираются вариант с наименьшими затратами. Данные представлены в табл. 4.3.3.
Задаваясь необходимым уровнем сокращения сроков выполнения проекта, по табл. 4.3.5 находим необходимые значения коэффициентов совмещения. Например, общую продолжительность выполнения работ по проекту необходимо сократить на 22 дня. По табл. 4.3.5 находим, что для этого необходимы дополнительные затраты в объеме 8 тыс. р. При этом степень совмещения работ (1 - 2) и (3 - 4) должна определяться коэффициентом Кх - 0,4, а степень совмещения остальных работ должна обеспечить сокращение сроков выполнения проекта на 13 дней. Для определения коэффициентов совмещения других работ используются данные табл. 4.3.4 в которой находим строку соответствующую 13 дням. Этому соответствуют коэффициенты совмещения Кг = 0,2, при этом сокращение продолжительности за счет
132 оставшихся работ должно при этом составлять 9 дней. Используя данные табл. 4.3.3 находим комбинацию коэффициентов совмещения обеспечивающую сокращение сроков выполнения проекта на 9 дней для этого необходимо чтобы коэффициенты совмещения были равны К3 = 0,3, КА = 0,3.
Анализируя данные табл. 4.3.5 приходим к заключению, что максимально возможное сокращение сроков выполнения проекта в данном случае возможно только на 28 дней, затраты при этом составят 18 тыс. р. Если же уменьшить продолжительность только на 18 ед., то этому будут соответствовать затраты в размере 4 тыс. р. Уменьшению продолжительности на 13, 14, 15 и 16 дней соответствуют одинаковые затраты в размере 3 ед., то есть экономически выгодно выполнить сокращение сроков на 16 дней, так как это будет соответствовать такому же объему дополнительных затрат, что и при сокращении сроков на 13 дней.
Возникает вопрос, о том, что же делать, если необходимо сократить продолжительность выполнения работ по проекту необходимо более чем на 28 дней. В этом случае необходимо увеличить число исполнителей по проекту, так как согласно приведенного расчета возможности сокращения общей продолжительности реализации проекта за счет организации совмещенного выполнения работ полностью исчерпаны.
