Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Расчет вихревого тока в мелкой проводящей частице сферической формы 14
1.1 Постановка задачи 16
1.2 Математическая модель и расчет вихревого тока 18
1.3 Обсуждение результатов 21
Глава 2 Магнитное дипольное поглощение электромагнитного излучения мелкой проводящей частицей 35
2.1 Основные физические допущения 37
2.2 Постановка задачи 40
2.3 Методика решения кинетического уравнения 43
2.4 Расчет магнитного дипольного поглощения 46
2.5 Обсуждение результатов 51
Глава 3 Поведение электронной плазмы в тонкой металлической пластине в переменном электрическом поле 61
3.1 Постановка задачи 64
3.2 Метод решения и математические расчеты 68
3.3 Предельные случаи 76
3.4 Обсуждение результатов 78
Заключение 86
Список литературы
- Математическая модель и расчет вихревого тока
- Методика решения кинетического уравнения
- Метод решения и математические расчеты
- Обсуждение результатов
Введение к работе
Актуальность диссертации
Электрические, оптические и теплофизические свойства малых проводящих частиц и тонких слоев могут существенно отличаться от свойств массивных образцов. С классической кинетической точки зрения это отличие обусловлено тем, что линейные размеры а рассматриваемых объектов могут быть сравнимы с длиной свободного пробега Я носителей заряда, при этих условиях характер взаимодействия носителей заряда с границей образца начинает оказывать значительное влияние на его свойства. Изучение свойств малых частиц и тонких пленок вызывает большой теоретический интерес и обеспечивает их широкое использование в разнообразных технических приложениях [1-9].
Исследование кинетических процессов актуально в задачах о взаимодействии электромагнитного излучения с аэрозольными системами, состоящими из мелких частиц (сферических, плоских и т. д.), которые используются для экранировки электромагнитного излучения [10,11]. Нагрев частицы и ее теплообмен с окружающей средой существенно зависит от распределения плотности поглощаемой энергии по объему частицы, этот эффект необходимо учитывать при анализе испарения частиц (в том числе, в поле лазерного излучения).
При нанесении на поверхность твердых тел красок, содержащих малые проводящие частицы, могут значительно изменяться поглощающие и отражающие характеристики таких поверхностей. Для управления указанными процессами требуется тщательное изучение электрических и оптических свойств малых проводящих частиц.
Кинетическое описание отклика электронов в тонком слое металла на внешнее электромагнитное излучение необходимо и в ряде задач микроэлектроники, поскольку развитие современных технологий приводит к
уменьшению характерных размеров деталей микроэлектронных устройств, и рассматриваемые толщины пленок становятся субмикронными.
Отметим, что уравнения макроскопической электродинамики применимы лишь в предельном случае «массивных» образцов (а » Я), поэтому классическая теория взаимодействия электромагнитного излучения с проводящей частицей (теория Ми [12]) и тонкой пленкой непригодна для описания упомянутого выше размерного эффекта. В качестве аппарата, способного описывать отклик электронов на внешнее электромагнитное поле с учетом взаимодействия электронов с границей образца, может быть использована стандартная кинетическая теория проводимости в металле [13]. В этом случае ограничения на соотношение между длиной свободного пробега электронов и размером образца не накладываются.
Основные результаты этих исследований довольно полно отражены в имеющихся монографиях [14,15] и монографических обзорах[1,16].
В [14] рассматриваются основные физические свойства малых неорганических частиц и прослеживается изменение этих свойств при переходе от атомов к массивному телу. Взаимодействие малых частиц с электромагнитным полем наиболее подробно обсуждается в главе 7. Здесь сначала рассматриваются общие закономерности электромагнитного поля и оптических характеристик массивного вещества, а затем оптические свойства дисперсных сред и отдельных частиц. Проводится обсуждение экспериментальных результатов, полученных при исследовании гранулированных пленок, в частности появление резонанса на графиках зависимости коэффициента поглощения от длины волны света в тонких пленках Аи и Ag. Экспериментальные данные сравниваются с существующими теориями.
В [15] представлен критический обзор теоретических и экспериментальных работ по вопросам приготовления и исследования кластеров и малых частиц преимущественно металлов.
В работах [17,18] в низкочастотном приближении (а> -> 0) рассчитан вихревой ток, возникающий в малой проводящей частице сферической формы в случае нулевой температуры.
В [19-21] делаются попытки связать зеркальное рассеяние проводящих частиц с наблюдаемым аномальным поведением сечения поглощения мелких металлических частиц в дальнем ИК - диапазоне.
В работе [22] автором обсуждается влияние зеркального отражения электронов на электромагнитные свойства малой металлической частицы.
В работах [2,23] рассмотрен вопрос о магнитном дипольном поглощении излучения малой металлической частицей (~10нм) сферической формы для нулевой температуры. В [2] предполагается, что отражение электронов от поверхности частицы происходит чисто диффузно. Расчет выполнен для случая достаточно низких частот (ИК диапазон и ниже), когда вклад вихревых токов в поглощение доминирует, а размеры частицы позволяют пренебречь скин-эффектом. Из результатов [2] следует, что в пределе больших длин пробега имеет место нетривиальная осциллирующая зависимость сечения поглощения от частоты излучения. Обсуждается возможность экспериментального наблюдения указанных осцилляции спектральной зависимости сечения.
В работе [23] проведены аналогичные расчеты сечения магнитного дипольного поглощения для более общего случая смешанного (диффузно -зеркального) отражения электронов от поверхности образца. Проводится анализ связи данной теории с феноменологическим описанием, основанным на нелокальной модификации известных формул Друде для проводимости и диэлектрической проницаемости металла. Проанализирована возможная связь между аномально высокой степенью зеркальности отражения и аномально большим наблюдаемым сечением поглощения в дальнем ИК-диапазоне.
В работах [24;25] в рамках классической теории проведена оценка поглощения электромагнитного излучения металлическими частицами в квазистатической области. Рассматривается размерная зависимость этого поглощения в ИК-диапазоне и получено согласие расчетных и экспериментальных частотных зависимостей эффективного фактора поглощения частиц серебра, золота и алюминия.
В [6] авторами учтено влияние температурного фактора на сечение поглощения проводящей частицы из полупроводника или полуметалла, однако рассмотрение ограничивается случаем чисто диффузного отражения носителей заряда от границы образца.
В работе [26] вычислено сечение поглощения электромагнитного излучения в сферической металлической частице с помощью полно пространственного моментного метода. Расчет выполнен в пределе низкой частоты, когда вклад вихревых токов в поглощение доминирует, и для сравнительно мелких частиц (радиус 10 нм), что позволяет пренебречь скин-эффектом. Приведено сравнение сечений поглощения в сферической частице рассчитанных моментным методом со значением, полученным в точном кинетическом расчете. Отличие в 7,6% доказывает пригодность применения метода для расчета электромагнитных свойств металлических частиц.
Следует отметить, что в природе встречаются частицы, имеющие несферическую форму. Работы [4,27-30] посвящены описанию взаимодействия электромагнитного излучения с цилиндрической частицей. Немного ранее, в работе [3] было рассмотрено электрическое и магнитное поглощение эллипсоидальных частиц, размеры которых могут быть как больше, так и меньше длины свободного пробега электрона. Здесь исследуется зависимость поглощения малых металлических частиц от их формы и поляризации волны. Показано, что как суммарное поглощение, так и соотношение между электрическим и магнитным поглощением резко зависит от формы частицы и поляризации волны.
Задача о поведении электронной плазмы, занимающей полупространство, во внешнем переменном поперечном электрическом поле была впервые аналитически решена Ландау [31] для случая чисто зеркального отражения электронов от границы образца.
Общий случай граничных условий был рассмотрен в [7]. Подобная задача о поведении плазмы в ограниченном объеме (тонком слое) была решена аналитически с помощью метода Кейза в [5] для случая чисто зеркальных граничных условий. Здесь исследуется отклик электронов на внешнее переменное нормальное к поверхности пластины электрическое поле, поведение этого поля внутри пластины, а также поглощаемая мощность. Из результатов работы следует, что кинетические эффекты оказывают существенное влияние на поведение электронной плазмы металла во внешнем электромагнитном поле. Классические результаты Друде справедливы только в предельном случае металлического образца, характерные размеры которого много больше длины свободного пробега электронов.
В [32] рассмотрена структура продольного электрического и поперечного электромагнитного полей в нормальных металлах. Описан эффект «затягивания» поля в металл. Исследование качественных особенностей поля затягивания проводится в наиболее простой для расчета постановке - с зеркальным рассеянием электронов. Показано, что структура поля вдали плазменного резонанса малочувствительна к характеру рассеяния электронов границей металла. В предельных случаях чисто диффузного и зеркального рассеяния электронов границей результаты расчета продольных полей затягивания вдали от резонанса отличаются лишь численным множителем, предполагается, что это справедливо и в промежуточном случае (с параметром зеркальности 0
В более ранних работах [33-36] рассматривается взаимодействие электромагнитного поглощения с металлической пластиной при условии, что электромагнитная волна падает не перпендикулярно пластине.
В работе [33] рассмотрен аномальный скин-эффект для электронов, зеркально рассеивающихся на полубесконечной металлической поверхности. Предполагается, что падающая электромагнитная волна имеет угол падения, отличный от нормального и поляризована в плоскости падения (р-поляризация). Показано, что вычисление поверхностного импеданса для р-поляризации приводит к дополнительному пику поглощения в частотном диапазоне \0'2а)р < а < а^, где со? - плазменная частота. Это дополнительное поглощение для больших длин свободного пробега электрона исследовано подробно. Сделан вывод, что коэффициент отражения от металлической поверхности в этом частотном диапазоне сложным образом зависит от частоты и не может быть удовлетворительно описан в рамках электродинамики сплошных сред.
В [34] аналогичная задача решена для случая диффузного рассеяния электронов на поверхности металла. Показано, что для частоты внешнего поля меньше плазменной частоты, поглощательная способность выше для диффузного рассеивания, что верно и для ^-поляризации, в то время как для частоты внешнего поля большей, чем плазменная частота, поглощательные способности для диффузного и зеркального рассеяния электронов близки.
В работе [35] в кинетическом подходе рассматриваются свойства тонкой металлической пластины для случая зеркального рассеяния электронов на поверхности пленки. Пленка находится во внешнем переменном электромагнитном поле, поляризованном в плоскости падения (р-поляризация). Для определения оптических свойств пленки проводится вычисление поверхностного импеданса методом разложения в ряд Фурье. Расчеты коэффициента поглощения, коэффициента пропускания и поглощательной способности пленки выполнены для угла падения 75. Показано наличие аномальной поглощательной способности пленки, которая в различных частотных диапазонах связана с различными физическими процессами, имеющими кинетическое описание. В низкочастотной области (й)< 10" G)p) дополнительная поглощательная способность как для s-, так и
для р-поляризации связана с обычным аномальным скин-эффектом. В частотном диапазоне 0,2/ < to < 0,8( дополнительная поглощательная способность проявляется только в случае р-поляризации. При частоте, больше плазменной (со > й^,) для р-поляризации дополнительная поглощательная способность интерпретируется как потеря энергии из-за возбуждения продольного плазмона.
В работе [36] аналогичная задача рассматривается на основе приближенного подхода для случая диффузного отражения электронов от внутренней поверхности пленки. Теория построена для случая s-поляризации. Расчеты выполнены для поглощательной способности образца произвольной толщины. Показано, что поглощательная способность для случая тонкой пленки проявляет интересную осциллирующую зависимость, когда частота находится в диапазоне 0,0 І С0р < со < 0,1 сор
В [37] исследуются основные явления, связанные с линейными оптическими свойствами изолированной наночастицы. С использованием теории Ми и приближения дискретного диполя вычислены поглощение и рассеяние. Обсуждается влияние размера, формы и окружения на оптический спектр наночастиц.
В [38] получено аналитическое решение граничной задачи о поведении электрического поля и электронов в полупространстве, заполненном металлом, и с учетом коэффициента аккомодации тангенциального импульса электронов. Выделяются случаи нормального и аномального скин-эффектов, а в последнем низко- и высокочастотные пределы. Рассматриваются комплексные частоты внешнего электромагнитного поля, тангенциального к поверхности металла.
Целью данной работы является
изучение взаимодействия электромагнитного излучения с мелкой проводящей частицей сферической формы и с тонким металлическим слоем. Исследования нацелены на:
кинетический расчет плотности вихревого тока в мелкой проводящей частице сферической формы в зависимости от частоты внешнего поля для случая ненулевых температур;
построение температурной зависимости сечения магнитного дипольного поглощения излучения мелкой проводящей частицей при смешанном диффузно - зеркальном механизме отражения носителей заряда от границы образца;
анализ влияния коэффициента зеркальности на величину сечения поглощения при различных температурах;
описание поведения электронной плазмы в тонком металлическом слое, находящемся во внешнем поперечном к поверхности переменном электрическом поле, с учетом диффузного рассеяния электронов на границе слоя;
расчет поглощаемой на единицу площади пластины мощности излучения в зависимости от частоты внешнего поля.
Научная новизна работы.
Впервые для случая ненулевых температур кинетическим методом вычислен вихревой ток в мелкой проводящей сферической частице, находящейся в поле плоской электромагнитной волны. Исследована зависимость плотности тока в частице от температуры и частоты внешнего поля.
Впервые получено сечение магнитного дипольного поглощения излучения мелкой проводящей частицей сферической формы для смешанного диффузно-зеркального механизма отражения носителей заряда от границы образца при ненулевых температурах, т.е. впервые исследована температурная зависимость поглощения. Проанализировано влияние коэффициента зеркальности на величину сечения поглощения при различных температурах.
3. В рамках кинетической теории методом Галеркина впервые решена задача об отклике электронной плазмы в тонком металлическом слое на внешнее поперечное к поверхности переменное электрическое поле для случая диффузных граничных условий.
Практическая значимость
Использование электрических, оптических и теплофизических свойств малых проводящих частиц и тонкопленочных структур может найти широкое применение в практике.
Появляется возможность изменять поглощение поверхностей твердых тел и отражение от них путем нанесения на них лакокрасочных материалов, содержащих малые проводящие частицы или путем введения сверхмалых проводящих частиц внутрь керамических материалов (керметы). Керметами специального типа покрывают самолеты "Стелз", делая их невидимыми для радиолокаторов [39]. В настоящее время, применяя специальную технологию, можно в достаточно широких пределах изменять спектры мелкодисперсных наполнителей в СВЧ-области. Комбинируя включения проводящих микрочастиц с включениями других типов (например, с ферромагнитными), создают желаемый набор широкополосных радиопоглощающих покрытий. Их дальнейшее совершенствование невозможно без решения многих фундаментальных вопросов и в первую очередь детального изучения факторов, от которых зависит величина магнитного дипольного поглощения мелкодисперсных частиц и тонких проводящих пленок, которые представляют собой основу для создания радиопоглощающих покрытий [40].
Одной из технологий добычи драгоценных металлов является технология разделения дисперсного золото- и плати носодержащего сырья, основанная на использовании свойств вихревых токов, индуцируемых переменным магнитным полем в частицах металла, что имеет большое
значение, например, для Камчатки, специфика которой накладывает ряд ограничений на использование некоторых известных технологий [41,42].
В космосе малые металлические частицы представляют серьезную угрозу для летательных аппаратов. Такие частицы можно разрушить лазерными пучками, зная основные закономерности поглощения этих частиц [43].
В вычислительной технике и в деталях микроэлектронных устройств, характерные размеры которых становятся субмикронными, используются проводящие тонкие слои и композитные покрытия [44-52] с входящими в их состав малыми металлическими частицами
В энергосберегающей строительной индустрии при создании селективных стекол (где на поверхность стекла наносится многослойное покрытие), чтобы добиться наилучших оптических, инфракрасных и СВЧ-характеристик, используются покрытия, состоящие из чередующихся пленок различных металлов и их окислов толщиной приблизительно 100 А [40].
Таким образом, использование свойств малых проводящих частиц и тонкопленочных структур может найти применение в микроэлектронике, авиационной технике, астрофизике, в энергосберегающей и добывающей промышленности.
На защиту выносятся:
расчет плотности вихревого тока, возникающего в мелкой проводящей частице сферической формы под действием внешнего электромагнитного поля и исследование пространственного распределения плотности тока в зависимости от температуры и частоты внешнего поля;
построение теории поглощения электромагнитного излучения проводящей частицей сферической формы и исследование температурной зависимости сечения магнитного дипольного поглощения с учетом смешанного характера взаимодействия носителей заряда с поверхностью частицы;
построение теории взаимодействия электронов проводимости в тонком слое металла с переменным поперечным поверхности слоя электрическим полем в случае диффузного механизма рассеяния электронов на границе образца;
расчет поглощаемой на единицу площади мощности излучения в зависимости от частоты внешнего поля при заданных соотношениях между толщиной слоя, длиной свободного пробега электронов и дебаевским радиусом экранирования.
Аппробация работы.
По теме диссертации опубликованы следующие работы [53-60].
Материалы диссертации докладывались на научных конференциях Ярославского педагогического университета (2003г., 2006г.); на VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород 2004г.); на XIV Международной конференции по вычислительной механике и современным программным системам (Алушта, Крым, 2005г.); на научной конференции молодых ученых Ярославского государственного университета (2006г.).
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Она содержит 102 страницы машинописного текста и 23 рисунка.
Математическая модель и расчет вихревого тока
Рассмотрим малую проводящую частицу полуметалла или сильно легированного примесного полупроводника n-типа (р-типа) проводимости в однородном периодическом во времени магнитном поле H=Hoexp(-iutf). Это поле индуцирует вихревое электрическое поле, определяемое из уравнения индукции Максвелла и имеющее вид [6!]: E=-L 2с дН г Ы со [гН0]ехр(-/л 0 Не (1) где 0) - угловая частота волны, с - скорость света, Но - амплитуда магнитного поля волны, г - радиус-вектор (начало координат в центре частицы). Электрическое поле Е приводит, в свою очередь, к возникновению вихревого тока j. При условии, когда размер частицы значительно больше длины свободного пробега электрона (а » Л), для нахождения тока j можно применить локальный закон Ома І = І(«)Е (2) ZH = 1(/0-in») где ]T(G ) - проводимость Друде, о = е пт/т - статическая проводимость, е -заряд электрона, пит- соответственно равновесная концентрация и эффективная масса электрона (дырки), т - время релаксации.
В случае, когда радиус частицы а сравним с длиной свободного пробега электрона (дырки) Л, связь между Е и j носит нелокальный характер и макроскопическая электродинамика становится неприменима. Электрическое поле действует на носители заряда в частице, что вызывает отклонение/] их функции распределения/от равновесной фермиевской_/о: Ar,v)=/0(e)+/i(r.v) (3) /я ! Jo exp((s-M)/kJ) + l (4) здесь v и є= m&ll - скорость и кинетическая энергия электрона (дырки) в случае сферически-симметричной энергетической зоны, fi - химический потенциал, Г - температура частицы, Аь- постоянная Больцмана. Вихревой ток, возникающий в частице, имеет вид [13,62]: J = ф/ h, = 2І -1 e]vfxd v (5)
Задача сводится к отысканию отклонения f\ функции распределения от равновесной фермиевской функции /о, возникающего под воздействием вихревого поля (1). В линейном (по внешнему полю) приближении функция f\ удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана [13,52] -i gfi + v(#i/3r )+evE(dfofds) = -fi/т (6) здесь предполагается гармоническая зависимость от времени (/] - exp(-iutf)), а интеграл столкновений взят в приближении времени релаксации (d/i/dOs = :/i/r. (7) Таким образом, решая уравнение (6), найдем функцию/j, затем ток j (5).
Для определения функции /] зададим граничное условие на сферической поверхности частицы, предполагая диффузный механизм отражения носителей заряда от границы образца (т.е. сразу после отражения функция распределения становится равновесной): г = а, /i(r,v) = 0 при (8) тока. Для решения уравнения (6) используем метод характеристик [63]: k0Tj величины А и v постоянны вдоль траектории (характеристики), а параметр / имеет смысл времени движения электрона (дырки) вдоль траектории от границы частицы до точки г со скоростью v и имеет вид:
Более подробно методика решения кинетического уравнения приводится в главе 2 (п.2.3). В связи с тем, что в главе 2 рассматриваются общие граничные условия (диффузно - зеркальное отражение электронов от границы), решение кинетического уравнения представлено нагляднее.
Соотношения (10-11) полностью определяют функцию /i(r,v). Найденная функция распределения позволяет рассчитать ток (5). При вычислении тока (5) удобно перейти к сферическим координатам как в пространстве координат (г, в, (ру полярная ось г Н0), так и в пространстве скоростей (о, а, Д полярная ось - ось vt). Поле Е в сферических координатах имеет только р- компоненту [2]:
Методика решения кинетического уравнения
Кинетическое уравнение (35) решено методом характеристик [63]. Вдоль характеристики (траектории) dr = vdt (39) изменение/] определяется уравнением ( д/о) 4fi=" vfi+e{E-v) - dt (40) дє) где v rl-i(0 (41) - комплексная частота рассеяния. Граничное условие (37) позволяет проследить за изменением/ вдоль зеркально отражающейся траектории. В точке отражения t = tn функция/(/) испытывает скачок: /і( п + 0) = /і( п-0) (42) где п - целочисленный индекс, который нумерует точки отражения в порядке их появления при направленном движении по траектории «зеркально отражающегося» электрона (дырки), tn - значение параметра п - го отражения.
При зеркальном отражении угловой момент сохраняется:[rv] = [rv], поэтому на рассматриваемой траектории [rv] = const (43) а разность /„ - /„_ і не зависит от номера п точки отражения: t„ = пТ + const, neZ (44) где - Т- время пролета со скоростью v от точки г„_ і до точки гп: Г« -2(vn-rn)/u2. (45) Величина E-V также постоянна на траектории (см. формулу (30)): 0) 10) E-v-—frHl-v = — frvl-H = const 2icV J 2cl J (46) Решая уравнение (40) на интервале (/„ _ і, /п) и применяя условие (42), получаем связь между начальными значениями f\ на двух соседних звеньях траектории: Параметры t и Т можно связать с координатами точки (г; v) в фазовом пространстве условиями [2] г = г0 + vt; vr0 0; г02 = а2; Т= -2(vr0)/ а2. (50)
Здесь параметр / имеет смысл времени движения электрона (дырки) вдоль траектории от границы до точки г со скоростью v. Исключив из (50) Го, получим t = [(r-v) + ((r-v)2 + v\a2 - 1 ))ту& (51) T= 2 ((r-v)2 + J{a2 - S))mli? (52) Соотношения (50), (51) и (52) полностью определяют функцию/](r,v).
Для случая вырожденного Ферми-газа при Г-»0 V\ - щ, где щ -фермиевская скорость, определяемая выражением (59) для функции Ферми f0 В другом предельном случае при Г-х» и,-»л/5Шт, т.е. имеет порядок средней тепловой скорости носителей заряда.
1. Если отражение чисто диффузное (q = 0), в области низких температур (Иц » 1), коэффициент поглощения (64) вычисляется в аналитическом виде и переходит в выражение, ранее полученное в [2]. При произвольных температурах интеграл (64) в аналитическом виде не вычисляется, результаты расчетов приведены в работе [6].
2. В пределе чисто зеркального отражения (q —»1), в области низких температур для коэффициента поглощения получим: 15z 15(/+/) F- FKn = 4/Re-f- = лс, / 2\ (65) что согласуется с классическим результатом (29), и означает, что граница не оказывает влияния на функцию распределения f\, и поэтому вихревой ток (53) внутри зеркально отражающей сферы удовлетворяет локальному закону Ома при любом соотношении между размером а и длиной свободного пробега Я. Таким образом, при зеркальном отражении нелокальные (поверхностные) эффекты отсутствуют.
3. Рассмотрим низкочастотное приближение (у « 1) для случая q Ф 0. В пределе х -» 0 (большие длины свободного пробега) для ненулевых температур интеграл (64) существенно упрощается и имеет вид: 9V3(?-I) X (66)
Для вырожденной электронной плазмы (ий - +оо) в низкочастотной области интеграл (64) вычисляется в аналитическом виде, что согласуется с результатом работы [23]: F(ua- +« ;x = 0;y« 1;д 0) 2(1 + д) 3(1-9) Г (67)
4. Рассмотрим другой предельный случай классического газа: щ - со. В (64) в выражении (ехр(« - нм) + 1) можно пренебречь единицей по сравнению с экспонентой, что существенно упрощает данный интеграл. Разложение по степеням у приводит к дальнейшему упрощению (64) и позволяет получить результат в аналитическом виде F(u -co;x = 0;y l;g 0)= (68)
5. На рис.1 и рис.2 представлены зависимости безразмерного сечения поглощения F от безразмерной частоты у при заданном значении безразмерной обратной длины свободного пробега х = 0,1 и х = 1 соответственно и фиксированных значениях и : мм = 0,5 и мр = 10 (им = fi I к0Т). Из рис. 1 видно, что с увеличением д при любых температурах спектральная зависимость F оту становится более монотонной и с ростом у быстрее достигает насыщения. Это связано с тем, что при увеличении коэффициента зеркальности д при любых температурах граница оказывает все меньшее влияние на функцию распределения/j, и поэтому при q -» І для вихревого тока выполняется локальный закон Ома для любых д\
Из рис. 1 также следует, что с увеличением температуры сглаживаются осцилляции в сечении поглощения, то есть вклад нелокальных поверхностных эффектов в сечение поглощения уменьшается.
Из рис.2 видно, что с увеличением величины х (по сравнению с рис.1) температура практически не влияет на сечение поглощения, а осцилляции вообще отсутствуют для любых значений коэффициента зеркальности q. Это значит, что при уменьшении длины свободного пробега электронов (увеличение величины х) граница также оказывает все меньшее влияние на функцию распределения
Метод решения и математические расчеты
Будем предполагать, что параметр к = Й0 ГО 1- Рассмотрим низкочастотное приближение в том смысле, что \с\ = \ а - ІЬ« 1 {а х$1 к, b = Уві к). Соответствующие оценки показывают, что в этом случае корень дисперсионного уравнения (93) Щ « 1, что позволяет существенно упростить (93) и привести его к виду А(0 = — + i{t2-ac) (100) Разложение решения уравнения (100) по малому параметру с« 1 имеет вид Г0 = (1 + д)с (101) Поскольку в рассматриваемом случае а также малый параметр (а « 1), то в первом приближении по с получим: t0 » с. Тогда отношение z0/to » к, и «пробная» функция представима в виде р = Л sh(kx). При этом вычисление интегралов, входящих в (99), с учетом допущенных приближений, существенно упрощается.
В случае, когда длина свободного пробега электронов в металле значительно меньше толщины пластины (хо » 1), в низкочастотной области уо ;1 результаты расчетов поглощаемой на единицу площади пластины безразмерной мощности Q (99) согласуются с соответствующими результатами расчетов безразмерной мощности QD} следующими из приближения Друде (QD x0k yQ) [61]. На рис.1 в качестве примера представлена зависимость относительной погрешности ф = Q - QD \ /Qv от безразмерной обратной длины свободного пробега х0 при к = 10 и безразмерной частоте внешнего поля/0 0,02. Из рис.1 видно, что при х0 10 относительная погрешность sD с увеличением х0 монотонно уменьшается, составляя 17% при х0 - 20 и 15% при х0 - 50.
В предельном случае z0 - 0 электрическое поле в объеме пластины определяется выражением: Ё(х) = \ + (chjkx) ch{k) (102) а поглощаемая на единицу площади пластины мощность излучения Q (99) стремится к нулю.
На рис.2 и рис.3 приведены графики зависимости безразмерного электрического поля я =р М) (о - электрическое поле на поверхности) от безразмерной координаты д: =х/аа в низкочастотном случае у0 = 0,01 (рис.2) и в случае более высокой частоты внешнего поля у = 2 (рис. 3). Из рис.2 и рис.3 видно, что с увеличением безразмерной толщины слоя и, соответственно, параметра к =й01 rD электрическое поле очень резко затухает и практически полностью экранируется пластиной, причем с увеличением частоты внешнего поля зависимость преобретает немонотонный характер. На рис. 4 и рис. 5. представлены графики зависимости поглощаемой на единицу площади пластины безразмерной мощности излучения Q от безразмерной частоты внешнего поля удпри различных значениях о = во/Л, т.е. различном соотношении между толщиной пластины а0 и длиной свободного пробега Я. Из графиков видно, что при малых значениях уо (уо 2) зависимость Q (уо) при всех о близка к квадратичной: Q У0. При х0 - 0 (т.е. при отсутствии объемных столкновений электронов, когда имеется только их поверхностное рассеяние) квадратичный характер зависимости Q(y0) сохраняется (рис.4, штриховая кривая). Из рис.3 видно, что при малых значениях о (кривые 1 и 2) и частотах внешнего поля уо 2 характер зависимости Q(yd) существенно меняется. Причина такого поведения кривых I и 2 состоит в том, что время пролета электрона между пластинами при значениях _уо. соответствующих максимуму кривых, соответствует периоду изменения электрического поля внутри слоя. При этом электрон в своем движении попеременно то ускоряется, то замедляется. Соответственно уменьшается средняя энергия, приобретаемая электроном, и поглощаемая мощность.
На рис.6 построены зависимости Q (хо) при различных значениях уо Из графиков видно, что при заданной безразмерной частоте внешнего поля у0 поглощаемая на единицу площади мощность Q возрастает с увеличением Хо (уменьшением длины свободного пробега Я), т.е. рост диссипации энергии электрического поля связан с увеличением частоты объемных столкновений электронов.
Обсуждение результатов
Данная работа посвящена изучению малых частиц и является дополнением к полученным на данный момент результатам.
В первой главе рассмотрена задача о взаимодействии электромагнитного излучения с мелкой проводящей частицей сферической формы и в дипольном приближении вычислен вихревой ток в данной частице в зависимости от частоты внешнего поля. Рассмотрен чисто диффузный механизм взаимодействия электронов с границей образца. Исследовано влияние температуры на плотность тока в частице. Рассмотрены предельные случаи вырожденной электронной плазмы и классического газа и получены аналитические выражения для этих пределов. Показано, что в случае, когда длина свободного пробега Л велика по сравнению с размером частицы а (мала безразмерная величина х) кинетические эффекты, обусловленные взаимодействием носителей заряда с границей образца, оказывают значительное влияние на распределение плотности тока в частице. С уменьшением длины свободного пробега Л (увеличением х) вклад поверхностных столкновений в плотность тока по сравнению с объемными уменьшается, и в предельном случае Л » а справедлива классическая теория ДРУДе (2).
Во второй главе диссертации в рамках классической теории электропроводности решена задача о взаимодействии электромагнитного излучения с мелкой проводящей частицей сферической формы. Уравнение Больцмана записано в линейном приближении по внешнему полю,а интеграл столкновений взят в приближении времени релаксации. Решение самого уравнения проведено с помощью метода характеристик. В качестве граничных условий задачи приняты условия смешанного диффузно -зеркального отражения носителей заряда от внутренней поверхности частицы.
Получено аналитическое выражение для сечения поглощения в зависимости от коэффициента зеркальности для случая ненулевых температур. Показано, что при малых значениях коэффициента зеркальности q зависимость сечения поглощения от частоты излучения носит немонотонный осциллирующий характер, что существенно отличается от классической теории Друде и связано с чисто кинетическими эффектами.
С увеличением q при любых температурах спектральная зависимость F от у становится более монотонной и с ростом у быстрее достигает насыщения. Это связано с тем, что при увеличении коэффициента зеркальности q при любых температурах граница оказывает все меньшее влияние на функцию распределения fiy и поэтому при q — 1 для вихревого тока выполняется локальный закон Ома для любых х.
Также показано, что с увеличением температуры сглаживаются осцилляции в сечении поглощения, то есть вклад нелокальных поверхностных эффектов в сечение поглощения уменьшается.
В предельном случае чисто зеркального отражения и в области низких температур показана согласованность с классическим результатом макроскопической теории Друде, то есть, вихревой ток внутри зеркально отражающей сферы удовлетворяет локальному закону Ома при любых соотношениях между размером частицы а и длиной свободного пробега электрона Л. Рассмотрены также предельные случаи классического газа и вырожденной электронной плазмы в низкочастотной области и для них получены аналитические выражения.
В третьей главе построена теория поведения электронной плазмы в плоском металлическом слое в переменном поперечном к поверхности электрическом поле. В качестве граничных условий приняты условия чисто диффузного отражения электронов от границы образца. Получено приближенное решение задачи с помощью метода Галеркина. Показано, что с увеличением толщины пластины электрическое поле очень резко затухает и практически полностью экранируется пластиной. Из решения следует, что при заданной безразмерной частоте внешнего поля у0 поглощаемая на единицу площади мощность Q возрастает с увеличением хо (уменьшением длины свободного пробега Л), т.е. рост диссипации энергии электрического поля связан с увеличением частоты объемных столкновений электронов.
Показано, что в случае, когда длина свободного пробега электронов в металле значительно меньше толщины пластины, в низкочастотной области результаты расчетов поглощаемой на единицу площади пластины безразмерной мощности согласуются с соответствующими результатами, следующими из приближения Друде,
Также показано, что при малых значениях частоты внешнего поля зависимость поглощения от частоты близка к квадратичной. При отсутствии объемных столкновений электронов, когда имеется только их поверхностное рассеяние, квадратичный характер этой зависимости сохраняется.
