Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор существующих методов фильтрации и трансформации гравитационных и магнитных аномалий.
1.1. Введение 7
1.2. Обзор исследований по проблеме сглаживания потенциальных полей 8
1.3. Обзор исследований по проблеме аналитического продолжения двумерных потенциальных полей 19
2. Методы сглаживания трехмерных потенциальных полей.
2.1. Введение 33
2.2.. Основные постановки в задаче сглаживания трехмер ных потенциальных полей 35
2.3. Декомпозиционные методы сглаживания трехмерных потенциальных полей, заданных значениями в узлах прямоугольной сети 54
2.4. Алгоритм одномерной дискретной фильтрации,используемый в декомпозиционных методах сглаживания трехмерных потенциальных полей 57
2.5. Выбор критерия останова итерационного процесса во втором декомпозиционном методе фильтрации трехмерных потенциальных полей 74
2.6. Алгоритм восстановления функции в прямоугольнике по ее значениям в узлах прямоугольной сети 76
2.7. Описание программ и результатов их опробования на модельных и практических примерах 81
3. Теория функций, гармонических в секториальных областях, и ее использование при интерпретации гравитационных и магнитных аномалий.
3.1. Классы функций, гармонических в секториальных областях. Сведения из теории преобразования Меллина 103
3.2. Пути использования теории функций,гармонических в секториальных областях, при интерпретации гравитационных и магнитных аномалий 112
3.3. Аппарат представлений функций, гармонических и аналитических в секториальных областях, интегралами Меллина 123
3.4. Регуляризованные алгоритмы решения задач аналитического продолжения для функций, гармонических в секториальных областях 137
3.5. Проблема нахождения высших производных функций,гармонических в секториальных областях 151
Заключение 157
- Обзор исследований по проблеме сглаживания потенциальных полей
- Основные постановки в задаче сглаживания трехмер ных потенциальных полей
- Алгоритм одномерной дискретной фильтрации,используемый в декомпозиционных методах сглаживания трехмерных потенциальных полей
- Алгоритм восстановления функции в прямоугольнике по ее значениям в узлах прямоугольной сети
Введение к работе
Задачи количественной интерпретации данных гравитационных и магнитных наблюдений принадлежат к числу старейших, но вместе с тем труднейших задач геофизической интерпретации. Трудность этих задач обусловлена целым рядом известных факторов:
а) неоднозначностью и неустойчивостью решения обратных задач даже при идеально точном и непрерывном задании элементов внешних полей;
б) дискретностью задания элементов полей и ограниченностью площадей съемки;
в) наличием в наблюденных полях случайных и систематических (фоновые поля) помех.
В связи с этим большое значение для интерпретации гравитационных и магнитных аномалий имеют различного рода процедуры вспомогательной обработки данных наблюдений - "чистка" от случайных помех, разделение локальных и региональных составляющих, различного рода трансформации аномальных полей, в первую очередь -- аналитическое продолжение в области, свободные от источников и расположенные вблизи этих источников.
Совершенно очевидна актуальность исследований, связанных с разработкой трехмерных и быстрых в тоже время эффективных алгоритмов фильтрации и трансформации потенциальных полей и .реализация их на ЭВМ. Указанные обстоятельства предопределили круг вопросов, рассматриваемых в диссертации.
Цель работы. Цель настоящей диссертационной работы состоит в дальнейшем развитии теории и численных алгоритмов фильтрации (сглаживания),и трансформации потенциальных полей - на основе теории приближенного решения линейных некорректных задач.
Научная новизна. Разработаны новые декомпозиционные методы фильтрации, сконструированы и реализованы на ЭВМ субоптимальные алгоритмы сглаживания (в трехмерном варианте) в условиях, когда величина дисперсии помехи неизвестна, а известны только оценки этой величины сверху и снизу. Разработана аналитическая теория функций, гармонических в секториальных областях, -на основе систематического использования теории интегрального преобразования Меллина; получены основные формальные соотношения, позволяющие строить методы нахождения пространственного распределения магнитных и гравитационных аномальных полей в секториальных областях. Изложены способы построения устойчивых (регулярйзованных) алгоритмов для решения задач аналитического продолжения других важных элементов потенциальных полей.
Практическая ценность. Разработанные программы для ЭВМ серии ЕС, реализующие декомпозиционные алгоритмы фильтрации.наблюденных гравитационных и магнитных полей, заданных в узлах прямоугольной сети, могут быть использованы в практике производственных геофизических работ. Они внедряются в научно-производственные организации Грузии и Армении.
Опробование этих программ показало их эффективность по быстродействию и разрешающей способности.
Разработанная теория аналитического продолжения функций, гармонических в секториальных областях, служит основой для создания устойчивых алгоритмов продолжения и реализации этих алгоритмов на ЭВМ.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Института геофизики АН ГССР,юбилейной сессии общемосковского семинара "Теория и практика геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий" (Москва, 1977г.), П Всесоюзной школе-семинаре "Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий" (Тбилиси, 1978г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, изложенных на 141 страницах машинописного текста. 21 рисунков, 12 таблиц, библиографии из 175 наименований и приложений на 32 страницах.
Главы разбиты на разделы, разделы - на параграфы. Нумерация формул отдельная в каждой главе, ибо перекрестных ссылок в работе нет.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую признательность своим научным руководителям академику АН ГССР Б.К.Бала-вадзе и доктору физико-математических наук Б.Н.Страхову за постоянное внимание, плодотворные советы и указания.
Автор искренне благодарен член-корр. АН ГССБ М.А.Алексидзе, доктору физико-математических наук К.М.Картвелишвили за ценные замечания и поддержку, кандидату физико-математических наук С.С.Ско-таренко за предоставление практических материалов, и особенно Т.А.Гванцеладзе за консультации по программированию на ЭВМ.
Обзор исследований по проблеме сглаживания потенциальных полей
Пусть на некотором множестве ГІ в евклидовом гъ -мерном пространстве заданы значения некоторой функции $№ ( X - вектор с компонентами Xi, Х Х3) ,Ха ). Задачей разделения ( = задачей фильтрации в широком смысле) называется задача нахождения аддитивного представления псно, что для приложений (причем не только в геофизики - или гравиметрии и магнитометрии) интерес представляют только такие представления (І), в которых Ц\ (х) имеют содержательный смысл, который в каждом конкретном случае может быть своим. Например, если fi=3 » М - некоторая часть границы раздела Земля - воздух, (Х) - элемент гравитационного (или магнитного) поля, порожденного источниками в Земле, то в качестве ЦЧСХ) могут выступать компоненты поля, обусловленные различными по геологическому происхождению источниками. Например, ті (X) - поле источников в самой приповерхностной части коры, Ч Гх) - поле осадочного чехла, ФзСХ) - поле "гранитного" слоя, Фц(х) - поле "базальтового" слоя, и т.д., и т.п. Совершенно очевидно, что для того, чтобы задача фильтрации (в широком смысле, или построения содержательного аддитивного представления) могла решаться - точно или приближенно (как правило возможно лишь приближенное решение), необходимо располагать априорной (модельной) информацией о функциях Ч ) . Вопрос о характере этой информации и о конструкциях, используемых при решении задач фильтрации в широком смысле мы здесь обсуждать не будем - он выходит за рамки диссертационной работы. 2. Хорошо известными являются следующие три фактора: 1) элементы ІІО) (внешних) гравитационных и магнитных полей в областях, свободных от источников, удовлетворяют уравнению Лап то есть являются аналитическими функциями от X (в каждой точке из внешности источников они являются бесконечно дифференцируемыми и в окрестности точки располагаются в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Тейлора); 2) получаемое из данных наблюдений значение элемента поля \J (х) есть приближенное значение, которое всегда можно предста вить в форме где ЫоООесть истинное поле источников, а ЬиЫ) есть ошибка измерения, которую, как показывают опыт и теория, целесообразно рассматривать как значение некоторой случайной величины: 3) компоненту (Jo(X) в (3), как показывают опыт и теория, так же целесообразно трактовать как сумму двух слагаемых: здесь (Jo 60 есть случайная, a (Jo 60 -неслучайная (детерминированная) составляющие поля.Такая точка зрения оправдыва- ется следующими соображениями.
Составляющая UoCX) есть значение элемента поля всех источников, располагающихся как вдали от точки наблюдения, так и вблизи от нее. Физические свойства пород, наряду с закономерно изменяющейся составляющей, имеют локальные флюктуации. Следовательно, имеют место и флюктуации элементов полей, связанные со случайными флюктуациями физических свойств горных пород - в силу того, что эффекты локальных неодно-родноотей быстро затухают. Из всего сказанного следует, что как наличие ошибок измерений, так и практически всегда имеющиеся неоднородности физических свойств горных пород в приповерхностном слое, заставляют вводить в рассмотрение следующую аддитивную модель экспериментальных данных: Такое представление об экспериментальных данных приводит к постановке задачи сглаживания - или задачи фильтрации в узком смысле: найти аддитивное представление где компонента Ui(X) "достаточно хорошо" (точный смысл в этот оборот пока не вкладывается) аппроксимирует детерминированную составляющую элемента поля, а Щ(Х) - "достаточно хорошо" воспроизводит случайную составляющую элемента поля. Совершенно очевидно, что решение задачи фильтрации требует использования априорных модельных представлений о свойствах функ-(X) (именуемой также "полезным сигналом" - в том смысле, что именно эта составляющая данных наблюдений обусловлена источниками поля, подлежащими изучению) и функции Ц (XJ ясно, что основные априорные свойства функции Ц (X) - это свойства аналитичности, которые в большинстве случаев можно су- зить до свойств гладкости. Точно так же очевидно, что основные это близость к нулю ее математического ожидания, свойства коррелированности и характер изменения дисперсии. ьажное значение имеет также понятие "отношение сигнал-помеха". Последнее может вводиться различными способами, но наиболее общеупотребительный таков: пусть Ниже (как в данной глаЕе, так и в главе 2) будут систематически использоваться следующие термины: 1) одномерная фильтрация; 2) двумерная фильтрация; 3) фильтрация двумерных (потенциальных) полей; 4) фильтрация трехмерных (потенциальных) полей; 5) континуальная фильтрация; 6) дискретная фильтрация. Определим эти термины (речь всюду идет о фильтрации в узком смысле, или о разделении наблюденного поля на детерминированную и случайную составляющие;. Одномерная фильтрация - это случай tl=i , то есть когда ЦН(Х) есть функция одного вещественного переменного, а множест во задания функции есть множество числовой оси. Двумерная фильтрация - это случай YL=2 , то есть когда U (х) есть функция двух вещественных переменных, а множество fi зпдания функции есть множество точек на плоскости. Говорят о фильтрации двухмерных потенциальных полей, если сглаживаемая величина имеет физический смысл некоторого элемента двухмерного потенциального (гравитационного, магнитного) поля. ясно, что еслиз іначения U (Х) заданы на некотором прямолинейном профиле, то задача фильтрации двухмерного потенциального поля тождественна задаче одномерной фильтрации. Если же профиль задания [X (X) - криволинейный, то задача фильтрации двухмерного потенциального поля в математическом плане представляет собой некоторую частную постановку задачи двумерной фильтрации. Говорят о фильтрации трехмерных потенциальных полей, если сглаживаемая величина имеет смысл некоторого элемента трехмерного потенциального (гравитационного, магнитного) поля.
Ясно, что если значения Ц (X) заданы на некотором множестве М на плоскости, то задача фильтрации трехмерного потенциального поля в математическом плане эквивалентна задаче двумерной фильтрации. Если же значения U (х) заданы на некоторой (кривой) поверхности, то тогда задача фильтрации трехмерного потенциального поля эквива- лентна некоторому частному случаю трехмерной фильтрации. Говорят о дискретной фильтрации, если множество М задания значений U (х) еоть конечное точечное множество и сглаженные значения находят в тех же самых точках, либо в точках другого конечного точечного множества М, . лъворят о континуальной фильтрации, если сглаженные значения получают в некоторой области D ; при этом множество М , McD , может быть, вообще говоря, любым - конечным точечным множеством, счетным множеством точек, линейным множеством и т.д. 4. Следует особо остановиться на вопросе о значении задачи фильтрации (в узком смысле) для практики интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии даже в тех модельных классах источников поля, в которых имеет место единственность решения, сильно неустойчиво [39, 54, 88, 143, №8] Казалось бы, это предопределяет необходимость предварительной фильтрации данных наблюдений - "чистки" этих данных от случайных помех. Однако в последние два десятилетия были разработаны два типа алгоритмов решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии, с помощью которых эффективно решаются обратные задачи непосредственно по данным наблюдений, содержащим случайные погрешности. Это, во-первых, алгоритмы детерминистского подхода теории регуляризации некорректно поставленных задач [34,88,-143,26, 155] . Во-вторых, это алгоритмы статистического оценивания параметров моделей источников поля, разработанные Т.Б.Калининой и Ф.М.Гольц-маном [27, 43,44] Таким образом, вопрос о месте и значении методов фильтрации в практике интерпретации гравитационных и магнитных наблюдений вновь стал нетривиальным. Здесь необходимо акцептировать прежде всего внимание на од- ном моменте. Итогом любой гравитационной или магнитной съемки является карта, которая до возможности правильнее должна отражать характер источников поля - то есть должна быть освобождена от всякого рода случайных влияния. Следовательно, решение задачи фильтрации в узком смысле должно непременно предшествовать построению карты.
Основные постановки в задаче сглаживания трехмер ных потенциальных полей
Приведем, прежде всего, общую функционально-аналитическую формулировку задачи фильтрации (в узком смысле) - в рамках концепции регуляризации некорректно поставленных задач Пусть X - полное линейное нормированное пространство (которое для простоты будем считать гильбертовым), Z - полное линейное нормированное пространство, Т - некоторый замкнутый линейный оператор, неограниченный (ИТ11= + 0 ) » действующий из X в Z . Допустим, что нам задано о -приближение 1 к элементу f D(T) : есть известная величина.Задача фильтрации состоит в том, чтобы найти элемент -. О Т і в некотором смысле хорошо аппроксимирующий элемент f . Для этой цели в рамках теории регуляризации "вводится функционал-стабилизатор SС , удовлетворяющий следующим условиям: а) для любого УбХ, Р(Ф) О , причем Р(Ч ) =0 в том и только в том случае, когда = 0 (нулевому элементу вХ ); б) Р( ) +оо только тогда, когда Ч7 принадлежит некоторому подмножеству, целиком лежащему в Р(Т) ; в) множества вида 0(У)=С , С - некоторая константа, яв ляются компактными в X . Если функционал-стабилизатор j с выбран, то в качестве )$ рассматривается элемент ty , являющийся решением задачи: О 0)= тім і Если функционал J? - строго выпуклый, то элемент У , являющийся решением задачи (2), одновременно является и решением 4іЛ задачи при этом в (3) /Wo должно быть выбрано так, что Б случае строго выпуклого .JL решения задач (2) и (3) существуют и единственны (в случае (3) - при любом Л О ). Нетрудно показать (в силу неравенства треугольника), что в общем случае для решения задачи (2) гарантирована лишь оценка Однако эта оценка принципиальна в том смысле, что она обеспечивает регулярность алгоритма сглаживания: при &- 0 все Далее - в силу соотношения очевидно, что, воооще говоря, величина ll -fell может быть сколь угодно близка к нулю. Ситуации, в которых реализуется со- отношение наиболее интересны для практики. Исно, что (6) может иметь место только тогда, когда f и Jf весьма различны по своим свойствам (например, если X = ( ,4) , $ = $(х) - весьма гладкая функция, SfM - сильно осциллирующуя нигде не дифференцируемая функция). Величину естественно назвать характеристикой качества фильтрации.
Априорная оценка (5) дает 2. Из содержания I вытекает общая стратегия конструирования алгоритмов сглаживания. Во-первых, мы должны охарактеризовать тот полезный сигнал, который подлежит "чистке" от высокочастотных (случайных) помех, с помощью неограниченного линейного оператора Т і последний выбирается как оператор с наиболее узкой областью определения в X , для которого еще выполняется условие ОСТ) Во-вторых, мы должны априорно выбрать функционал-стабилизатор Q . Заметим далее, что в целях достижения большей конструктивной простоты алгоритмов мы можем заменить задачу (2) задачей соответственно задачу (3) - задачей где множество М удовлетворяет условию и при этом различие между . несущественно. При этом подразумевается, что для (3 ) множество М выбра но так, что существует Л 0 такое, для которого уравнение свя зи \\h %\\ = удовлетворяется. Для практики геофизической интерпретации, естественно, основное значение имеет случай, когда X и Z - некоторые функциональные пространства (обычно JT =Х ), то есть пространства функций одной или нескольких переменных, заданных в конечной одно связной области D (В случае функций одной переменной - на отрезке) и обладающих определенными свойствами. Однако рассмотрение задачи сглаживания, данное выше в этом случае, обладает тем недостатком, что предполагает функцию $= $ (X) (X - в общем случае векторный аргумент) заданной для всех X из области D . ь практике гравитационных и магнитных наблюдений гораздо чаще (практически всегда) встречается тот случай, когда значения функции т(х) = 00 + 6-fCx) заданы лишь Б конечном числе точек Хк - на конечном точечном множестве М . В этом случае постановка задачи сглаживания естественным образом должна видоизменяться. \Ъ. Две основные модификации постановки задачи сглаживания таковы. Первая модификация (континуальная фильтрация). В качестве решения задачи фильтрации ищется некоторый элемент функционально-го пространства, то есть функция г(х) , определенная для всех значений ХЄЬ . Вводится некоторая полунорма RA ( ) , определяемая по значениям функций в точках множества f , значения которой и используются для характеристики близости различных Функций к заданным значениям J$(x) . Вместо (2) используется постановка считается известной величиной. х чаще всего на практике используется полунорма где U - число точек множества / і общем случае полунорма есть неотрицательный функционал, обладающий всеми свойствами нормы, кроме одного: из равенства полунормы некоторого элемента нулю не следует, что это есть нулевой элемент (данного Функционального пространства). Соответственно вместо (3) используется постановка Постановка (13), очевидно, является более естественной, ибо в ее рамках согласование с дискретностью задания значений $$(х) и получение конечномерного алгоритма является более простым делом.
В качестве характеристики качества фильтрации принимается величина Основная трудность в теории данной модифицированной постановки задачи фильтрации состоит в нахождении условий, при которых Для этого необходимо не только стремление S- 0 , но и расширение множества J с уменьшением сГ . (Даже для аналитических Функций при &- 0 7й долино переходить в счетное множество Этих тонких вопросов сходимости мы в данном кратком наброске основных постановок касаться не будем. вторая модификация (дискретная фильтрация). Здесь все несколько проще в отношении конструкции, ь качестве решения задачи фильтрации ищется совокупность сглаженных значений -s (Хк) в точках множества J4. , и формально постановки (2) и (3) остаются в силе, если под X понимать просто пространство конечномерных векторов, а этом случае проблема сходимости к функциям в D также становится нетривиальной (надо построить отдельный алгоритм распространения fs(x) в Q и показать, что при - О и соответствующем расширении J4- , согласованном с сГ , 11(х)-(х)11р О (здесь II Но - норма исходного функционального пространства функций, определенных в D ). Рассматривать проблему сходимости мы не будем, 4. Приведем два конкретных алгоритма сглаживания трехмерных потенциальных ролей, вытекающих из общих положений 1-3. Первая конструкция . Пусть в совокупности точек Рк с координатами (Х Vic) , к-і.% ,К , на плоскости 2=0 приближенно заданы значения некоторого элемента U(x,V) потенциального поля (гравитационного, магнитного, стационарного электрического), то есть заданы величины где и L№)- неизвестные нам точные значения изучаемого поля, связанного с источниками на достаточно большой глубине (2 Но) , а ЗДк - случайные величины (обусловленные погрешностями съемки и неоднородностями в приповерхностном слое). Сделаем следующие допущения: а) узлы Рк , в которых заданы значения US, k , расположены неравномерно, но с относительно небольшим "коэффициентом неравномерности" к: а Р(Рк, Рт) есть обычное евклидово расстояние между узлами ж Это есть конструкция сглаживающих эрмитовых сплайнов. Отметим, что предложение использовать интеграл от квадрата Лапласиана в качестве стабилизатора принадлежит является априорно известной (Например, если случайная компонента обусловлена только инструментальными погрешностями, то 6 есть дисперсия ошибок съемки). Тот факт, что U(X, У) есть поле достаточно глубинных источников, позволяет принять, что эта функция принадлежит к числу дважды дифференцируемых функции с непрерывными на всей плоскости лапласианом: AU(x,y) Будем искать дважды дифференцируемую аппроксимацию поля U(x,v) среди функций \j(X, V) , определенных в конечной односвязной области DQ , содержащей все точки Рк , к=4,2, .,К ; DQ есть объединение из Q замкнутых многоугольников HQ , () = 1,2, , Q со сторонами, параллельными координатным осям, каждый из которых контактирует по целой стороне хотя бы с одним другим прямоугольником (см.рис. 1 ). Достоинства рассмотренного в 4 алгоритма фильтрации очевидны.
Алгоритм одномерной дискретной фильтрации,используемый в декомпозиционных методах сглаживания трехмерных потенциальных полей
Таким образом, сущность экспрессных декомпозиционных алгоритмов фильтрации трехмерных потенциальных полей (двумерная фильтрация) состоит в сведении двухмерной фильтрации к последовательности одномерных фильтраций. Отметим, в связи с этим, что трудоемкость декомпозиционных алгоритмов полностью определяется степенью трудоемкости одномерных алгоритмов. Но так как одномерная фильтрация применяется по крайней мере дважды (по продольным и поперечным профилям), то требования к качеству алгоритма одномерной фильтрации могут быть существенно понижены. Конкретно -в них можно использовать стабилизаторы низшего (первого) порядка, обладающие меньшей эффективностью по сравнению с оптимальными стабилизаторами (второго и более высокого порядков). В этом основная причина того, что декомпозиционные алгоритмы сглаживания трехмерных полей могут быть сделаны весьма быстрыми - на порядок (и даже более) менее трудоемкими по сравнению с алгоритмами, описанными в предыдущем разделе главы. ZА» Алгоритм одномерной дискретной фильтрации, используемый в декомпозиционных методах сглаживания трехмерных потенциальных полей. I. Пусть значения некоторой гладкой (обладающей непрерывной производной) функции -ft) заданы приближенно - в виде величин f (in) j ftn) + 8nf , в равноотстоящих точках tn= ti + Oi-A) At , n = i,2, _ _ ., Jv/ . Величины Fn примем случайными некоррелированными, обладающими нулевым математичес- ким ожиданием одной и той же дисперсией о : Примем, что величина о нам неизвестна, но известны оценки для 5 сверху и снизу: В соответствии с общим подходом теории регуляризации некорректных задач, в качестве оператора Т выбираем оператор дифференцирования, соответственно стабилизатор - в форме Если бы величина была известна, то мы стандартным образом пришли бы к следующей постановке задачи одномерной фильтрации: Однако, по предположению, величина 5" является не- . известной; поэтому мы должны соответствующим образом видоизменить алгоритм сглаживания, воспользовавшись некоторыми другими свойствами случайной помехи.
Но предположению значения Onf являются некоррелированными; следовательно, мы можем воспользоваться предложенным В.Н.Страховым Г95,9бЬ принципом минимизации корреляционного функционала невязки. Именно, как уже указывалось в разделе I.I главы I, задачу фильтрации в узком смысле следует рассматривать как задачу разложения наблюденных значений в сумму двух слагаемых, из которых одно воспроизводит значение детерминированного полезного сигнала, а другое - значение случайной помехи. Таким образом, если Ф (п) суть полученные из решения задачи (41) величины, которые принимаются за аппроксимирующие полезный сигнал, то величины (именуемые невязками) должны аппроксимировать случайные погреш ности. Следовательно, если построить решения задачи (41) для на бора значений л : ЛІ, Лг, , v/..... , vnAy , то оптимальным бу дет то и только то решение задачи сглаживания, для которого вели чины 4 v (tn) » h { 5,.... «У і в максимальной степени будут обладать предположенными & ргСогі свойствами случайных по мех. Введем в рассмотрение корреляционный функционал невязок Принцип минимизации корреляционного функционала невязок В.Н.Страхова состоит в том, чтобы в качестве оптимального значения Л (соответственно-оптимального решения Ц л (tn) fi-l .-}JJ) выбирать то, для которого Это - эвристический принцип, найденный из общих соображений и пока что не имеющий строгого математического обоснования, однако его работоспособность, в рамках использования аппарата рядов Ф рье, установлена обширным вычислительным экспериментом В дискретных алгоритмах фильтрации этот принцип применяется впервые. 3. Естественно, что применение принципа минимизации корреляционного функционала требует предварительного выделения множества допустимых значений А : АІ; Лг,..., Ay...... . v,,. Быстродействие алгоритма в существенном б.удет определяться тем, насколько эффективно будет выделяться множество допустимых значений А . С этой целью автором предлагается следующий прием. Значение S дисперсии помехи нам неизвестны, но по предположению нам известны оценки о max и 5 т\п этой величины сверху и снизу. Решим теперь две следующие условно экстремальные задачи: Фактически для решения задач А и В надо решать последовательность одних и тех же безусловных экстремальных задач (41), только в случае задачи А следует фиксировать то решение, в котором выполняется уравнение связи а в случае задачи В - то , в котором выполняется уравнение связи (Ясно, что Б целях экономизации расчетов решение обеих задач можно сделать совмещенным). Пусть в задаче А решение достигнуто при некотором А=Л/плх ,ав задаче В решение достигнуто при некотором А = Л т і п Известный из теории линейных некорректных задач принцип мо нотонности [41], утверждает следующее: а) имеет место неравенство б) если о есть произвольное число, удовлетворяющее нера венству 2 и если -РА ftn ), Y\s-i,2,..... , сА/ есть решение задачи (40) с подобным , то имеет место неравенство Из этого принципа (выражаемого неравенствами (52) и (55)),вытекает следующий метод определения множества допустимых значений а) принимаем б) выбираем число VrnAx ; в) значения /Sv v = З,. ...у -і определяем по соотноше- нию Таким образом, необходимо для всех Av t v=i, 2,. . , тлх, иметь решения задачи (41) и далее, простым вычислением, найти для этих А величины /?л б4) и отобрать из них то, для которого выполняется (46).
Если подобных значений Л окажется несколько, за оптимальное принимается то, которое меньше, В условиях, когда гарантирована унимодальность функции КдШ) на интервале [Л лх Лт;п] » Для поиска минимума можно использовать эффективные методы одномерного поиска - например, метод Фибоначчи [МО] . Если считать, что функционал к A (At) является унимодальным на интервале Мтлх, Лт.п] , то находить значения (tr\) для всех /)v не нужно, а можно использовать эффективный метод поиска минимума по дискретам 1J50]. 4. Выше было принято, что величины / тлх и Лmfп уже как то определены, и что задачу (41) при заданном А мы решать умеем. В настоящем параграфе последовательно описываются: а) метод решения задачи (41) при заданном ; б) метод решения задач А и В. Метод решения задачи (41) при заданном А . Задача (41) (дриближенно) решается с помощью алгоритма .Р.Беллмана динамического программирования Li] В целях упрощения записи введем обоз- и введем вспомогательную величину Хо (ее считаем заданной; способ назначения Х0 описывается ниже). Задача (41) тогда переписывается (в измененной форме!) в таком виде: Метод динамического программирования [ill в конечном итоге приводит к использованию последовательности рекуррентных соотношений (алгоритм динамического программирования) Из соотношений (57)-(58) следует, что для всех К Отсюда следует, что если погрешности величины ок ограничены сверху, то алгоритм последовательного нахождения неизвестных является абсолютно устойчивым. Но очевидно, что алгоритм последовательного нахождения Ск и tfc по (57) и (58) также является абсолютно устойчивым, ибо Таким образом, описанный алгоритм является абсолютно устойчивым в целом. В этом громадное достоинство алгоритма динамического программирования, делающее его особенно пригодным для вычислений на тех ЭВМ (к числу которых принадлежат ЭВМ серии ЕС и другие), у которых стандартное слово является коротким (6-7 десятичных знаков). Кроме того, из соотношений (57)-(Ь8) прямо следует, что алгоритм динамического программирования решения задачи (56) (то есть приближенного решения задачи (41)), является оптимальным по быстродействию - число затрачиваемых арифметических операций в нем примерно равно 7j/.
Алгоритм восстановления функции в прямоугольнике по ее значениям в узлах прямоугольной сети
После того, как сглаженные (в существенном освобожденные от случайных помех) значения US.K функции LUx.V) в узлах прямоугольной сетки П= {(Хк, Vrr.) , Хк= ХІ + (К-А) Л% , получены, возникает проблема построения непрерывного описания функции LU(X,V) во всем прямоугольнике Очевидно, что здесь могут быть использованы методы кусочно-полиномиальной аппроксимации (метод конечных элементов). Ниже описываются два наиболее простых (и в то же время достаточно эффективных) алгоритма непрерывного восполнения функций, заданных в узлах прямоугольной сети. практических материалах. Результаты опробования второго алгоритма не приводятся по двум причинам: а) как показали вычислительные эксперименты, по точности он примерно равноценен первому, затраты же машинного времени в нем заметно (в 2 - 3 раза) выше; б) он сугубо "двумерный", то есть иллюстрировать его надо ма териалами площадной обработки, а так как уже материал по первому алгоритму весьма обширен, то введение большого числа дополнитель ных графических приложений просто перегрузило бы работу. Таким образом, для использования при обработке данных производственных геофизических ( гравиразведочных, магниторазведочных) съемок рекомендуется только первый декомпозиционный алгоритм сглаживания - как наиболее простой и быстродействующий, но одновременно и достаточно эффективный. 2. Для реализации первого декомпозиционного алгоритма сглаживания, основанного на теоретических результатах, описанного в разделах 2.3 - 2.4 настоящей главы, составлена программа " FILT -I" на языке PL -I для ЭВМ ЕС - 1022. В программе предполагается, что наблюденные значения задаются на прямоугольном планшете размера J/x МІ ( max )j% ,= = 105, гплх «My = 65) точек. Кроме оперативной памяти предусмотрена возможность использования внешних запоминающих устройств ("диски"). Начальные данные в программе вводятся с перфокарт. В число этих данных входят: 1) Jvx - количество точек наблюдения на продольном профиле, 2) M-i - количество точек наблюдения на поперечном профиле, 3) Г л/ДА - массив наблюденных значений аномального поля, под- лежащее сглаживанию. 4) EPS - максимальное допустимое значение функционалов (44)--(47), 5) Сдп - значение стандарта помехи -omin f 6) сік - значение стандарта помехи - Отлх , 7) р - начальное значение числа деления интервала Лmin- Ап лх.
Программа разделена на следующие блоки: Блок I - ввод данных; для контроля ввода все считанные с перфокарт данные печатаются; Блок 2 - нахождение значений Хк (К5 , Я, ...... Jvx ) по рекурентним соотношениям динамического программирования, минимизирующие функционал - (41), для заданной Л 0 . В этом же блоке определяется величина Хо . Блок 3 - вычисление функционала (71) и проверка условия V (Л) EPS для заданной 5 Блок 4 - определение оптимального значения Аорт На основе принципа минимизации корреляционного функционала невязки - (44). Результаты счета печатаются в следующей последовательности: 1) Аорт - для каждого профиля (продольного и поперечного) 2) 5 ршьт - значение стандарта разности между исходными и сглаженными значениями для каждого профиля (продольного и поперечного), 3) СКОК - значение стандарта разности между исходными и сгла женными значениями по площади, 4) FCJJM - массив сглаженного поля. 3. Второй декомпозиционный алгоритм сглаживания реализован программой "FILT - 2", составленной на языке PL - I для ЭВМ ЕС-- 1022. Ввод начальных данных, блоки - ,1 - 4 и печать результатов в программах " FILT - I " и "FILT- 2" одинаковы. В последнем до- бавлен блок - 5 - вычисление корреляционного функционала (86) и проверка условия (88) для останова итеррационного процесса. 4. В настоящее время стала уже тривиальной та истина, что любой метод обработки и интерпретации данных геофизических наблюдений должен быть проверен на большом числе специальных модельных примеров. Функция такого опробования: во-первых, она должна дать достаточно полное представление о работоспособности метода именно в тех условиях, в которых он развит; во-вторых, она должна деть представление о том, как сказывается на эффективности метода отклонение от условий, принятых в методе. Ясно, что первая функция - основная. Ясно, кроме того, что в тех случаях, когда речь идет о методах обработки ( типа сглаживания, разделения полей и т.д.), то результаты опробования на модельных примерах должны даваться в двух формах: а) цифровой - набором значений некоторого числа обобщенных показателей, характеризующих эффективность метода; б) графической, в виде карт изолиний, графиков по профилям съемки и секущим маршрутам и т. д., в которой наиболее полно и подробно можно увидеть не только главное, но и важные детали.
Далее, когда речь идет конкретно о первом декомпозиционном алгоритме сглаживания, то очевидно, что его можно опробовать в двух вариантах: а) одномерном - фильтрация высокочастотных помех только по одному отдельно взятому профилю; б) двумерном или площадном. При этом очевидно, что опробование в одномерном варианте, сколь бы подробно оно не проводилось, не будет давать характеристики эффективности метода в площадном варианте. Поэтому опробование в одномерном варианте было проведено в минимальном объеме,а основное внимание было уделено трудоемкому по графическому оформлению результатов счета - опробованию в двумерном варианте.х Опишем коротко методику опробования первого декомпозиционного алгоритма сглаживания в площадном варианте (в профильном она вполне аналогична.). На прямоугольном планшете Р размера X, J\/v точек (сеть наблюдений принималась квадратной, дх= ) рассчитывалось поле да от некоторого аномального распределения масс, в которое далее вносились систематические (фоновое поле) и случайные помехи. Фоновое поле задавалось в виде линейной функции: Случайная помеха принималась гауссовской, некоррелированной, с нулевым математическим ожиданием и (одной и той же для всех точек наблюдения) дисперсией . Аномальное поле Аа задавалось как поле некоторой совокупности прямоугольных призм однородной плотности. Было использовано два конкретных расположения аномальных тел (см. рис. 6-7). Различные аномальные поля получались комбинацией различных значений (по величине и знаку) плотностей призм. Всего таким способом было генерировано шесть модельных примеров. В таблице I приведены параметры модельных полей и сетей задания поля. На рис. 11,12 основного текста работы, а также на рис.1,6 3,,1 I4 I7n,I8n, ... "Приложения 3" (последнее введено для того, чтобы не перегружать основной текст громоздкой графикой) приведены карты изолиний поля Аа -исходного (аномального + фонового) и осложненного случайными помехами. Рассмотрение этих материалов позволяет сделать следующие выводы: х) Эта трудоемкость обусловлена тем, что в ВЦ Ин-та геофизики АН ГССР нет графопостроителя.
