Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Обзор литературы 9
1. Термобарические сейши в атмосфере как элемент общей циркуляции атмосферы 9
2 Исследования термобарических сейш в атмосфере
3. Сложные формы термобарических сейш в атмосфере 23
4. Некоторые исследования других автоколебательных процессов в геофизике Зі
5. Исследование термобарических сейш в атмосфере на физических моделях в лабораторных условиях 34
ГЛАВА II. Постановка задачи о математической модели термоеарических сейш в атмосфере и метод ее решение 42
I. Об аналогии физической модели в эксперименте и термобарических сейш в атмосфере 42
2. Постановка задачи о математической модели термобарических автоколебаний в атмосфере 45
3. Математическая формулировка задачи Ь8
4. Выбор метода решения 51
5. Обоснование выбранного метода. Базисные функции 52
6. Структура полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача исследования устойчивости особых точек этой системы 60
ГЛАВА III. Результаты исследование математической модели и сопоставление их с результатам эксперимента и данным наблюдений при термобарических сейшах в атмосфере 65
1. Анализ устойчивости стационарных режимов трехмерной конвекции при наличии вращения 65
2. Закритические режимы конвекции 76
3. Анализ структуры полей температуры и скорости среднего за период колебаний и неустойчивого стационарного течений S3
4. Анализ трехмерной структуры полей температуры и скорости при автоколебаниях &1
5. Сопоставление результатов математической модели и эксперимента
6. Сопоставление результатов математической и физической моделей с данными наблюдений в природе
Основные результаты диссертации
Литература
- Исследования термобарических сейш в атмосфере
- Постановка задачи о математической модели термобарических автоколебаний в атмосфере
- Обоснование выбранного метода. Базисные функции
- Анализ структуры полей температуры и скорости среднего за период колебаний и неустойчивого стационарного течений
Исследования термобарических сейш в атмосфере
Чтобы показать роль и место явления термобарических сейш в атмосфере в системе современных представлений физики атмосферы нам придется упомянуть ряд общеизвестных положений науки об атмосфере.
Для предсказания погоды используются как гидродинамические, так и синоптические методы прогноза. Синоптические методы основаны на анализе данных наблюдений и, строго говоря, не имеют под собой физической основы, не отражая физической сути происходящих процессов C44J , поэтому в нашем обзоре мы не будем касаться их подробно. Отметим лишь, что основы синоптического анализа, явившиеся результатом обобщения многолетних наблюдений погоды, дают богатый исходный материал для физического анализа отдельных механизмов, проявляющихся в динамике атмосферы. Среди основ синоптического анализа целям нашего исследования близки понятия ритмов, естественного синоптического периода, складывающегося из нескольких элементарных синоптических процессов понятия о центрах действия и осях действия атмосферы, введенные Б.П.Мультановским [М,49] » понятие о фазах макроси-ноптических процессов
Укажем основные вехи истории развития гидродинамических методов прогноза погоды по [М] Попытки предсказания погоды вообще имеют древнюю историю ?з] . Как физическая задача с начальными данными для уравнений гидромеханики проблема предсказания погоды впервые была поставлена в 1904 году Вильгельмом Бьеркнесом
В последующих работах Якова Бьеркнеса и работах так называемой Бергенской школы было развито представление об атмосферных фронтах, как поверхностях раздела воздушных масс, неустойчивость волн на которых приводит к образованию циклонов [44].
Первая попытка численного прогноза погоды была сделана в 1922 г. в книге Льюиса Ричардсона "предсказание погоды с помощью численного процессап [№{] . Однако использованные им уравнения были слишком сложны и наряду с важными для погоды движениями /синоптическими процессами/ описывали и всевозмокные "шумы" типа акустических волн, дыхания растений и тому подобные.
Несущественные для погоды "метеорологические шумы" удалось исключить из решений уравнений путем упрощения исходных уравнений гидромеханики с помощью асимптотического квазигеострофичес-кого разложения [35j . Этот принцип послужил основой для создания гидродинамической теории краткосрочных прогнозов погоды. Наконец, в работах А.М.Обухова [54] и Дж.Чарни ]_8&,&9] были получены уравнения "квазигеострофического приближения", свободные от искусственного условия на верхней границе тропосферы /тропопаузе/, которое пришлось ввести М.А.Кибелю
Эти уравнения сразу же были реализованы при практических расчетах на ЭВМ L9] . В настоящее время гидродинамической теории краткосрочного прогноза метеорологических полей, явившейся крупнейшим достижением шизики атмосферы послевоенных лет [44] ,
В отличие от краткосрочных прогнозов погоды, для которых по 43j достаточны уравнения гидродинамики в адиабатическом приближении, в долгосрочных изменениях погоды решающую роль играют неадиабатические процессы. Историю разработки физических основ долгосрочного прогноза погоды можно отсчитывать от работы Е.Н.Блиновой
В долгосрочных процессах атмосфера выступает как единая система, все части которой сильно взаимодействуют друг с другом. Поэтому долгосрочные атмосферные процессы неизбекно глобальны и их следует рассматривать как колебания общей циркуляции атмосферы
Первоначальным представлением об общей циркуляции атмосферы было сложившееся к концу XIX века в результате работ Г.Хэдли, И.Канта, Г.Дове, М.Моури, В.Феррела, Дж.Томсона, Г.Гельмгольца представление о системе меридиональных "колес" зональной циркуляции атмосферы, связанной с широтной неравномерностью притока солнечной радиации и отражающей осредненную за год картину течений.
Однако последующие исследования показали, что эти меридиональные "колеса" зональной циркуляции слабы и их вклад в меридиональный перенос тепла и импульса незначителен по сравнению с суммарным вкладом синоптических вихрей - циклонов и антициклонов Причина этого была выявлена в работе С&?1 , где было установлено, что зональная циркуляция оказывается неустойчивой по отношению к малым незональным возмущениям, которые вырастают в синоптические вихри - циклоны и антициклоны, питающиеся энергией осредненной зональной циркуляции. В свою очередь, синопти - 12 ческие вихри могут питать энергией струйные течения E J і действуя при этом, если говорить современным языком [69] , как отрицательная вязкость.
Постановка задачи о математической модели термобарических автоколебаний в атмосфере
До настоящего времени ни удовлетворительной модели термобарических сейш в атмосфере, ни математической модели эксперимента В.Н.Чупрынина построено не было зо2 .
Рассматривая атмосферный вихрь, вращающийся над различно нагретой поверхностью земли, как наиболее простой для анализа случай зарождения автоколебаний, подобных термобарическим сейшам, и имея достаточно подобную такому случаю физическую модель - описанную выше модель Чупрынина, мы решили построить в первую очередь математическую модель этого эксперимента.
Ориентируясь на построение математической модели, описывающей, главным образом, этот эксперимент, мы, на основе выше приведенных сопоставлений, осветим в какой-то мере и закономерности зарождения термобарических сейш в атмосфере. Применительно к термобарическим сейшам мы ограничимся рассмотрением деятельного слоя атмосферы до высоты около Ю км над областью, окаймленной круговой узловой линией.
Сложность математического моделирования лабораторного эксперимента В.И.Чупрынина заключается в трехмерности, нелинейности и нестационарности такой задачи. Мы будем стремиться максимально упростить модель, оставив в ней наиболее существенные факторы.
Для упрощения примем, что вследствие вращения воздушной крыльчатки в отсутствии источников тепла жидкость в сосуде вне пристеночных пограничных слоев трения вращается как единое твердое тело с постоянной во времени угловой скоростью. Будем рассматривать движение объема жидкости, лежащего вне пограничных слоев трения, а движением жидкости в них пренебрежем, учтя эффект их влияния на движение остальной жидкости при постановке граничных условий. Разделим движение жидкости на вращение ее как твердого тела с постоянной во времени угловой скоростью и отклонение от этого движения.
Зададим на всей границе области условия непротекания совместно с условием нормальности к границе ротора отклонения скорости жидкости от скорости твердотельного вращения с постоянной во времени угловой скоростью. Такие условия являются одной из возможных комбинаций однородных граничных условий 7j и по своей физической сути в определенной степени близки к условиям отсутствия трения на границе. Это, в свою очередь, близко условию вращения вихря в безграничной по горизонтальным направлениям атмосфере. На плоских участках границы принятые граничные условия равносильны условиям отсутствия трения, а на цилиндрической поверхности означают, что тангенциальная компонента отклонения скорости от скорости твердотельного вращения на самой поверхности цилиндра уменьшается обратно пропорционально радиусу, физически принятые граничные условия означают, что для отклонения от твердотельного вращения изо всех вращательных движений жидкости вблизи границы дозволяются лишь вращения в плоскости, касательной к границе.
Таким образом, принятые граничные условия вполне пригодны для моделирования условий на границах области как в эксперименте, так и, тем более, в атмосфере, и в то же время позволяют существенно упростить решение задачи, давая возможность эффективного применения метода Галеркина, векторные базисные функции для которого в этом случае удается найти способом разделения переменных.
Примем, что вое жесткие границы области теплоизолированы. Эффект потери тепла на испарение с открытой поверхности воды будем моделировать объемным стоком тепла в верхнем слое жидкости.
Объемные источники и стоки тепла хорошо параметризуют эффект переноса тепла мелкомасштабной конвекцией, которая развивается как в районе нагревателя, так и в верхнем слое жидкости в результате выхолаживания поверхности ее вследствие испарения t ,5"J . в атмосфере вследствие мелкомасштабной конвекции влияние подстилающей поверхности распространяется на весь нижний слой атмосферы [за зз, ±оч \ , объемный сток тепла в верхнем слое жидкости параметризует радиационное выхолаживание атмосферы.
Сопоставление требований к математическим моделям эксперимента и термобарических сейш в атмосфере показывает их общность и подтверждает определенную аналогию между экспериментом и явлением термобарических сейш в атмосфере.
При построении математической модели мы непосредственно ориентировались на условия в эксперименте, как явлении более простом и лучше изученном. Поскольку линейные размеры области и характерные градиенты температуры воды в эксперименте невелики, то для расчетов конвекции были использованы уравнения термогидродинамики в приближении Буссинеска [20,22].
Обоснование выбранного метода. Базисные функции
Линейные члены исходных уравнений приближения Буссинеска порождают, соответственно, линейные члены в системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Нелинейные члены уравнений, а именно Го V V и V-vT порождают квадратично-нелинейные члены в системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, относящаяся к классу систем гидродинамического иша(2 2 Д определение которых впервые дано А.М.Обуховым [52,S3].
Коэффициенты системы формируются с помощью специального комплекса программ и содержатся в оперативной памяти ЭВМ. Конкретно система имеет вид: где n - общее число базисных функций, рассматриваемых в конкретном варианте рассчета, коэффициенты линейной части системы, B коэффициенты нелинейной части системы, постоянные члены.
Минимально возможное количество базисных функций в системе должно позволять получить осесимметричные и неосесимметричные вертикальные движения, а также вторичные плоские движения В отношении структуры полей по вертикали должна присутствовать возможность смены знака компонент скорости по вертикали.
Для существования в системе колебаний среди базисных функций должны быть функции, соответствующие синусоидальным и коси-нусоидальным сомножителям в порождающих эти функции скалярных функциях f . Говоря более обще, в системе, по каждой из трех пространственных координат должны присутствовать хотя бы два пространственных масштаба, между которыми в процессе колебаний происходит перераспределение энергии.
Поэтому простейшая, то есть минимальная система базисных функций, с помощью которой может быть описан колебательный режим, наблюдавшийся в эксперименте, должна содержать по две пространственных гармоники на каждое из трех пространственных измерений. Соответствующие наборы, содержащие по 12 базисных функций каждый, нужны для описания каждого из трех типов полей: N , М І Т , где Т - температура. Таким образом получаем 36 базисных функций для минимальной модели. Именно на этой модели, порождающей систему из 36 обыкновенных дифференциальных уравнений, и проводились, ввиду их трудоемкости, основные рассчеты.
Коэффициенты линейной и нелинейной частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующей исходным уравнениям приближения Буссинеска, автоматически формировались в памяти ЭВМ с помощью специального алгоритма. Правильность составления и точность последующего численного решения полученной таким образом нелинейной системы 36 обыкновенных дифференциальных уравнений контролировалась путем добавления к этой системе еще двух уравнений - уравнения изменения кинетической энергии жидкости и аналогичного ему уравнения изменения интеграла по всему объему сосуда от квадрата температуры жидкости.
Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрировалась численно методом Рунге-Кутга 4 порядка с контролем относительной точности на уровне ю Вычисления проводились с двойной точностью на ЭВМ ЕС 1040.
Результаты интегрирования этой системы уравнений показали, что при некоторых значениях параметров в системе с течением времени устанавливается стационарное состояние, то есть фазовая точка системы с течением времени асимптотически приближается к особой точке системы. В качестве начальных условий при этом использовались X () = 0, что соответствует состоянию V = о, Т = 0 во всей рассматриваемой цилиндрической области.
Оказалось чрезвычайно интересным исследовать области устойчивости особых точек полученной системы в пространстве параметров и найти характеристики процессов, возникающих при потере устойчивости этими особыми точками.
Анализ структуры полей температуры и скорости среднего за период колебаний и неустойчивого стационарного течений
Наконец, возмущение, втрое превышающее первое, оказывается лежащим вне области притяжения автоколебаний первого типа. На рис. 12в хорошо видно, что автоколебания первого типа в этом случае разрушаются и развиваются автоколебания второго типа /с частотой to /, амплитуда которых существенно больше амплитуды автоколебаний первого типа, устанавливающейся при выходе системы на предельный цикл. Характерно, что система при возникновении этих автоколебаний большой амплитуды уходит в область фазового пространства, не имеющую отношения к возмущаемому стационарному состоянию. Среднее фазовое состояние за период этих колебаний очень сильно отличается от соответствующего стационарного состояния /особой точки/.
Таким образом, расчеты конвекции при различных величинах начальных возмущений показали, что область притяжения предельного цикла собственных автоколебаний системы в фазовом пространстве ее конечна, а радиус этой области притяжения в полтора - два раза превышает радиус самого предельного цикла. Если начальное возмущение лежит внутри области притяжения, то устанавливаются автоколебания первого типа. При начальных условиях, лежащих вне области притяжения предельного цикла, устанавливаются автоколебания с частотой вращения жидкости, амплитуда которых существенно больше амплитуды автоколебаний первого типа и, вообще говоря, зависит от начальных условий. В частности, такие колебания устанавливаютоя из начального состояния ( V = О, Т = О J в широком диапазоне значений параметров
Величина области фазового пространства, где автоколебания первого типа могут существовать, зависит от величины закритич-ности соответствующего неустойчивого режима стационарной конвекции, уменьшаясь с ее увеличением. В глубине области неустойчивости, где закритичность велика, область притяжения предельного цикла автоколебаний первого типа стягивается в точку и затем совсем исчезает, поскольку автоколебания первого типа здесь неустойчивы /см., например
В отличие от автоколебаний первого типа /собственных автоколебаний системы/, автоколебания второго типа, происходящие с частотой, близкой к со , вообще говоря, зависят от начальных условий. Эти колебания непосредственно связаны с переносным вращением жидкости и по этой причине особого интереса не вызывают.
С точки зрения сравнения с результатами эксперимента и данными наблюдений в природе наиболее интересны автоколебания первого типа. Поэтому, рассматривая структуру полей температуры и скорости, остановимся более детально именно на этих колебаниях.
В качестве примера мы рассмотрим установившиеся колебания при значениях параметров а = 1,8, =11,69, Gr = 22000, являющиеся типичными для колебаний первого типа, эти колебания устанавливаются при малом начальном возмущении соответствующего неустойчивого стационарного режима конвекции. Возмущение это задается в фазовом пространстве в направлении одного из двух собственных векторов, отвечающих старшей паре комплексно-сопряженных собственных значений матрицы линеаризированной /в окрестности этого стационарного режима/ системы. Для этих колебаний характерно, что среднее положение фазовой точки за период колебаний почти совпадает в фазовом пространстве с особой точкой, то есть колебания происходят вокруг особой точки. Более того, фазовая траектория при движении системы не удаляется далеко от линейного многообразия, натянутого на упомянутую выше пару собственных векторов, что, по-видимому, связано с небольшой закритичностью стационарного режима, относительно которого происходят колебания. Мы посчитали целесообразным проанализировать пространственную структуру неустойчивого стационарного состояния, продемонстрировав его близость к среднему за период колебаний состоянию, и посмотреть эволюцию режима во времени в процессе колебаний, проанализировав различные их фазы. Мы посчитали наиболее удобным рассмотреть крайние фазы колебаний, соответствующие наибольшему удалению фазовой точки от особой точки системы в направлениях упомянутых собственных векторов и направлениях, противоположных им. Таких фаз, естественно, четыре
