Содержание к диссертации
Введение
1 Теоретические и экспериментальные исследования сверхтекучей турбулентности в 4Не 10
1.1 Сверхтекучий гелий 4Не и его свойства 10
1.1.1 Введение. Фазовая диаграмма 10
1.1.2 Элементарные возбуждения 11
1.1.3 Критическая скорость Ландау 13
1.1.4 Бездиссипативная гидродинамика сверхтекучего гелия. Первый и второй звук 14
1.1.5 Сверхтекучая турбулентность 17
1.1.6 Вихревые нити 18
1.1.7 Способы генерации и измерения квантовой турбулентности 19
1.2 Макроскопические соотношения 21
1.2.1 Рост плотности вихревых нитей 21
1.2.2 Распад плотности вихревых нитей 23
1.2.3 Время образования вихревого клубка 25
1.3 Стационарное состояние 27
1.4 Свободный распад сверхтекучей турбулентности 28
1.4.1 Свободный распад сверхтекучей турбулентности при высоких температурах 28
1.4.2 Свободный распад сверхтекучей турбулентности при температурах, близких к абсолютному нулю 31
1.5 Эксперименты по распространению тепловых импульсов 34
1.6 Некоторые теоретические методы и подходы 37
1.6.1 Микроскопический подход 37
1.6.2 Макроскопический подход 42
1.6.3 Аномальный распад в рамках гидродинамики сверхтекучей турбулентности 45
1.6.4 Динамика импульсов умеренной амплитуды в рамках ГСТ 46
1.7 Выводы 48
2 Моделирование сверхтекучей турбулентности при наличии противотока 50
2.1 Локально-индуцированное приближение 50
2.1.1 Введение 50
2.1.2 Постановка задачи 51
2.1.3 Процессы реконнекции 52
1 2.1.4 Вычислительная схема 53
2.1.5 Некоторые статистическое свойства вихревого клубка 54
2.1.6 Результаты 56
2.2 Полное уравнение Био-Савара 59
2.2.1 Статистические свойства вихревого клубка 60
2.2.2 Основные уравнения и метод их расчета 63
2.2.3 Критерии реконнекций 64
2.2.4 Детали расчетов 65
2.2.5 Динамика вихревого клубка 68
2.2.6 Средние характеристики вихревого клубка 73
2.2.7 Детальная статистика вихревого клубка 88
2.2.8 Автокорреляция вихревого клубка 95
2.2.9 Заключение 95
3 Моделирование распада сверхтекучей турбулентности 103
3.1 Введение 103
3.2 Физические механизмы
вырождения вихревого клубка 104
3.2.1 а) Каскадное дробление вихревых петель 104
3.2.2 б) Распад, связанный с моментами реконнектирования 104
3.2.3 в) Излучение звука движущимися и осциллирующимися вихрями 105
3.2.4 г) Испарение петель и диффузионный распад 105
3.3 Численные результаты по распаду квантовой турбулентности 107
3.3.1 а) Уравнение Гросса-Питаевского 107
3.3.2 б) Численные результаты по распаду
при использовании уравнения Био-Савара 108
3.4 Цель и постановка проблемы 109
3.4.1 Постановка проблемы 109
3.4.2 Численная процедура 111
3.5 Неограниченное пространство.
Локально-индуцированное приближение 113
3.6 Неограниченное пространство.
Полное уравнение Био-Савара 115
3.7 Куб с гладкими стенками. Локально-индуцированное приближение 118
3.8 Обсуждение и заключение 123
4 Моделирование динамики квантованных вихревых нитей в поле случайных воздействий 127
4.1 Введение 127
4.2 Уравнение движения и процессы реконнекций 129
4.3 Численная схема 130
4.4 Распределение вихревых петель по размерам их длин 131
4.5 Заключение 134
5 STRONG Динамика мощных тепловых импульсов и свободный распад вихревого
клубка STRONG 136
5.1 Введение 136
5.2 Уравнения гидродинамики сверхтекучей турбулентности 137
5.3 Динамика мощных тепловых импульсов в области температур, где «2 0 141
5.3.1 Однородное распределение фоновой плотности вихревых нитей 141
5.3.2 Неоднородное распределение фоновой плотности вихревого клубка 142
5.3.3 Численное исследование динамики одиночного мощного теплового импульса 152
5.4 Динамика мощных тепловых импульсов в области температур, где а О 152
5.5 Динамика мощных тепловых импульсов в области температур, где «2 = 0. 156
5.6 Влияния длительности периода на эволюцию интенсивных волн второго звука 156
5.6.1 Случай плоского нагревателя 159
5.6.2 Пространственный случай 161
5.7 Аномальный распад вихревого клубка 164
5.8 Приложение 165
6 Теплопередача в сверхтекучем гелии при ступенчатом тепловыделении 173
6.1 Плоская геометрия 173
6.1.1 Постановка задачи и метод характеристик 173
6.1.2 Полученные численные результаты и сравнение с экспериментом 176
6.1.3 Область применимости метода Дреснера 177
6.2 Цилиндрическая геометрия 180
6.2.1 Исходные уравнения и постановка задачи 180
6.2.2 Адиабатический случай 181
6.2.3 Изотермический конец 184
6.2.4 Изменение параметра Дреснера 186
6.3 Заключение 187
Выводы 189
Литератураq
- Элементарные возбуждения
- Свободный распад сверхтекучей турбулентности при температурах, близких к абсолютному нулю
- Некоторые статистическое свойства вихревого клубка
- Численное исследование динамики одиночного мощного теплового импульса
Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы.
Термин «квантовая турбулентность» объединяет широкий класс яв
лений, когда в квантовых жидкостях возникает хаотическое множество
одномерных квантованных вихревых нитей (вихревых пучков), которое
оказывает сильное влияние на различные физические процессы. Квантовая
турбулентность проявляет себя по-разному в зависимости от физической
ситуации, изменяется от квазиклассической турбулентности в движущихся
потоках жидкостей до равновесного состояния петель в области фазового
перехода. Стохастическая динамика квантовых вихревых нитей (более
общее - топологических дефектов) является одним из актуальнейших на
правлений в физике квантовых жидкостей, соответствующая область
обычно называется теорией квантовой турбулентности. Диапазон приложе
ния теории стохастических квантовых вихрей необычайно широк, от тео
рии фазовых переходов до свойств Бозе-Эйнштеновского конденсата.
Работа посвящена численному моделированию квантовой турбулентности. Термин "квантовая турбулентность" был введен Фейнманом при объяснении результата Гортера-Меллинка, когда при превышении некоторой скорости противотока возникает резкое увеличение температурного перепада. Возникновение этого перепада обусловлено появлением вихревой структуры, представляющей собой совокупность нитей (вихревой клубок) в сверхтекучем движении. Эти вихревые нити оказывают тормозящее действие на нормальное движение, что приводит, в частности, к ухудшению теплопереноса в сверхтекучей жидкости. Эта область физики является объектом пристального внимания многих исследователей. В теории квантовой турбулентности исследования можно разделить на два подхода: микроскопический, когда при различных внешних физических параметрах исследуется непосредственно динамика вихревых нитей и свойства образовавшейся при этом вихревой структуры, и макроскопический, когда исследуется взаимное влияние гидродинамических величин и системы вихревых нитей.
Интерес к квантовой турбулентности обосновывается несколькими моментами. Во-первых, мотивация исследования квантованных вихревых нитей связана с тем, что теория сверхтекучей турбулентности является важной во многих прикладных задачах, касающихся квантовых жидкостей. Развитие некоторых отраслей науки и техники, особенно прикладной сверхпроводимости для создания сильных стационарных магнитных полей, потребовало создания устойчивого функционирования систем при температурах ниже 2 К. При этих температурах единственным реальным хладагентом является сверхтекучий гелий. В качестве важного примера можно указать охлаждение сверхтекучим гелием сверхпроводящих магнитов высокой мощности или электронных приборов для изучения слабых элек-
тромагнитных полей. При конструировании таких систем изучение теплообмена в сверхтекучем гелии является очень важным, поскольку скачки теплового потока в сверхпроводнике, в том числе связанные с формированием вихревого клубка, так называемого quench, могут привести к аварийным ситуациям, таким как перегреву части обмотки, механическим повреждениям вследствие резкого вскипания гелия и т.д. Наличие вихревого клубка сильно влияет на тепловой поток, который не может быть больше описан просто двухжидкостной моделью Ландау, и, очевидно, требуется учет динамики сверхтекучей турбулентности. В этом направлении проводятся экспериментальные и теоретические исследования. Заметно возрос интерес к исследованию нестационарных режимов движения сверхтекучего гелия, в частности, к нелинейной акустике, имеющей дело с интенсивными волнами температуры.
Во-вторых, доктрина квантовой турбулентности, как части теории сверхтекучести, тесно связана с другими проблемами общей теории квантовых жидкостей, такими как генерация вихрей, взаимодействие между близко расположенными вихревыми нитями и, следовательно, их рекон-некция, проблема критических скоростей, определение роли квантовых вихрей в фазовых переходах и т.д. Исследование стохастических вихрей часто приводит к нестандартным решениям, которые проясняют вышеупомянутые проблемы.
Следующая мотивация обусловлена разработкой идеи моделирования классической турбулентности хаотическими квантованными вихрями. Хотя идея моделировать турбулентность дискретными вихрями (точечными в двумерном случае или линейными в трехмерном случае) обсуждается давно в классической гидродинамике, только в квантовых жидкостях, где вихревые нити являются реальными объектами, она может быть реализована, особенно сейчас, в связи с появлением мощных экспериментальных методов исследования квантовых вихрей.
Кроме того, что сверхтекучая турбулентность имеет большое значение в указанных выше случаях, теория стохастического вихревого клубка в квантовых жидкостях представляет большой интерес и значение с точки зрения общей физики, поскольку существуют аналогичные системы неупорядоченного множества одномерных особенностей во многих физических полях. В качестве примеров можно указать дислокации в твердых телах, линейные топологические дефекты в жидких кристаллах, полимерные цепи и т.д.
Цель данной работы состоит в моделировании динамики вихревых нитей в различных физических ситуациях, а также влияния квантовой турбулентности на тепловые и гидродинамические процессы. В соответствии с намеченной целью решены следующие задачи: Изучена динамика вихревых нитей при наличии противотока.
Распад квантовой турбулентности вблизи абсолютного нуля.
Динамика вихревых нитей в постановке Ланжевена.
Динамика умеренных и интенсивных волн второго звука в рамках уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности (ГСТ).
В рамках ГСТ свободный распад квантовой турбулентности.
Вскипание сверхтекучего гелия в различных физических ситуациях.
Научная новизна.
Впервые исследована динамика вихревого клубка в рамках метода вихревой нити с применением нового критерия реконнекций, основанного на динамике элементов вихревых нитей. Изучены средние статистические и геометрические свойства вихревого клубка в стационарном состоянии при наличии противотока и при периодических граничных условиях. Получена детальная статистика. Установлена степень влияния различных критериев реконнекций на свойства вихревого клубка и связи между параметрами, характеризующими эти свойства.
Впервые изучен распад вихревой структуры квантовых нитей при отсутствии взаимного трения (вблизи абсолютного нуля) с помощью анализа потери длины нитей. Распад вихревого клубка обусловлен баллистическим испарением петель и их диффузией.
Впервые проведено численное исследование динамики взаимодействующих вихревых петель с использованием подхода Ланжевена. Установлено, что области с повышенной плотностью вихревых нитей появляются и исчезают в различных местах пространства, т.е. динамика вихревой системы имеет сильно флуктуационный характер. Получено распределение вихревых петель по их длинам, энергетический спектр трехмерного движения, индуцируемого вихревым клубком.
Предложен метод ускоряющий расчет динамики вихревых нитей.
В рамках уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности решены задачи как по распространению интенсивных тепловых импульсов, так и распад вихревого клубка. Показано, что метод Вайнена применим вблизи фазового перехода. Аномальный распад вихревого клубка обусловлен наличием остаточной скорости противотока.
Решена задача о вскипании сверхтекучего гелия при ступенчатом выделении тепла на нагревателе в случае адиабатного приближения, когда плотность вихревого клубка принимает свое равновесное значение по величине скорости противотока.
Практическая ценность работы. На основании проведенных исследований сформулированы важные обобщения и выводы, способствующие решению фундаментальной проблемы физики - теории квантовой турбулентности. Исследования вносят существенный вклад в понимание как влияния
квантовой турбулентности на гидродинамические и тепловые процессы, так и динамики вихревого клубка в различных физических ситуациях.
Используемые методы и подходы, а также полученные результаты по нестационарному теплообмену и определению времени вскипания гелия могут быть использованы при конструировании различных криогенных систем: охлаждение сверхпроводящих магнитов, в частности, в ускорительной технике; в электронном оборудовании, работающем при низких температурах (телескоп Хаббл) и т.д.
Полученная детальная информация о структуре вихревого клубка при наличии противотока может быть использована как в дальнейших исследованиях турбулентности, так и при развитии теории (или модели) сверхтекучего течения в ограниченном пространстве со стенками.
Достоверность полученных результатов обусловлена использованием проверенных методик численного и аналитического решений. Полученные численные результаты качественно и количественно описывают известные экспериментальные данные, совпадают с известными аналитическими результатами других авторов (Немировский, Barenghi, Халатников и др.). Достоверность полученных результатов обусловлена также публикацией результатов исследований в жестко рецензируемых научных журналах.
На защиту выносятся следующие положения и результаты диссертации:
-
Результаты исследования в рамках метода вихревой нити динамики вихревых нитей. Детально исследованы средние характеристики вихревого клубка, получена детальная статистическая информация об общих и локальных свойствах вихревой структуры в стационарном состоянии. Изучена степень влияния различных критериев реконнекций на динамические и статистические характеристики вихревой структуры. Было установлено: какие свойства вихревого клубка являются нечувствительными к изменениям критериев, а какие зависят от выбора критерия. Данные исследования необходимы для лучшего понимания основных физических свойств турбулентности, а также для дальнейшего развития теоретических моделей.
-
Предложенный метод расчета уравнения Био-Савара: индуцированный вклад от отдаленных участков нитей находится с помощью усреднения по трехмерным ячейкам. Расчет динамики вихревого клубка при применении этого метода ускоряется в несколько раз.
-
Результаты численного моделирования в рамках метода вихревой нити распада вихревого клубка вблизи абсолютного нуля в различных ситуациях. В результате анализа потери длины нитей, обусловленной физическими факторами и численными процедурами, получено, что распад квантовой
турбулентности в отсутствии нормальной компоненты обусловлен баллистическим испарением и диффузией вихревых петель.
-
Результаты исследования динамики стохастических квантованных вихревых нитей при подходе Ланжевена. Были получены энергетический спектр трехмерного движения, индуцируемого вихревым клубком, распределение петель по их длинам. Получена сильно флуктуирующая динамика вихревой системы со спонтанно появляющимися и исчезающими областями с повышенной плотностью вихревых нитей, которая напоминает явление перемежаемости в обычной турбулентности.
-
Получение системы уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности, которая адекватно описывает во втором приближении распространение мощных тепловых импульсов в различных температурных областях и геометриях. Показано, что данная система уравнений позволяет успешно исследовать динамику тепловых импульсов при наличии сверхтекучей турбулентности. Решена задача о распространении возмущений конечной амплитуды в безвихревом гелии. Получено аналитическое значение коэффициента нелинейности второго звука, которое совпало с известной формулой Халатникова.
-
Результаты численного моделирования на основе полученных уравнений ГСТ динамики интенсивных тепловых импульсов при различных температурах невозмущенного гелия, когда коэффициент нелинейности второго звука имеет любой знак или нулевое значение. Исследования проведены для различных геометрий нагревателя (плоского, цилиндрического и сферического). Изучена динамика, как одиночного импульса, так и серии импульсов. Получены временные зависимости температуры, скорости противотока, плотности вихревого клубка в различных точках пространства. Исследовано влияние затравочного члена в уравнении Вайнена и фоновой плотности вихревого клубка на распространение импульса. Проведены исследования влияния длительности периода импульсов на их динамику. Показано, что геометрии нагревателя и длительность периода существенно влияют на эволюцию мощных тепловых импульсов.
-
Результаты численного исследования нелинейных волн второго звука
вблизи точки фазового перехода Тя . Показано, что теория Вайнена может
быть использована в этой области. Предложенный и реализованный в виде компьютерной программы численный алгоритм решения поставленных задач методом распада разрыва (методом Годунова).
8. Результаты численного моделирования в рамках ГСТ распада вихревого
клубка. Показано, что аномальный распад вихревого клубка обязан присут
ствию остаточной скорости в объеме жидкости.
9. Результаты численного исследования методом характеристик второго
порядка вскипания сверхтекучего гелия при ступенчатом выделении тепла
на нагревателе в случаях плоской и цилиндрической геометрий в случае адиабатного приближения, когда плотность вихревого клубка принимала свое равновесное по величине относительной скорости значение. Исследована динамика полей температуры и скорости нормальной компоненты.
Личный вклад автора. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором или при непосредственном его участии. Автором проведено численное моделирование изложенных задач: постановка задач, определялся выбор численного алгоритма, предложены и разработаны алгоритмы для ускорения численного счета, созданы и отлажены практически все программы для проведения численных экспериментов, выполнено подавляющее большинство вычислительных экспериментов, а также анимации проведенных расчетов. Обсуждения общих постановок задач и полученных результатов осуществлялось совместно с соавторами опубликованных работ.
Апробация работы проходила на следующих научных мероприятиях: III Советско-западный симпозиум по теплообмену в криогенных системах (Харьков, 1989 г.); ХХ Всесоюзное совещание по физике низких температур «Квантовые жидкости и кристаллы» (СССР, Донецк, 1990 г.); 14, 15, 16, 17 международные конференции по криогенике ICEC-13, ICEC-14, ICEC-15, ICEC-16 (Украина, Киев, 1992 г.; Италия, 1994 г.; Япония, 1996 г.; Англия, 1998 г.); Международные конференции по физике низких температур LT-21, LT-24, LT-25, LT-26 (Чехословакия, Прага, 1996 г., США, Орландо, 2005 г.; Нидерланды, Амстердам, 2008 г.; Китай, Пекин, 2011 г.); Международная конференция «Математические модели и численные методы механики сплошных сред» (Россия, Новосибирск, 1996 г.); Международные конференции по физике низких температур в условиях микрогравитации CWS-1999, CWS-2002 (Россия, Черноголовка, 1999 г., 2002 г.); Математические международные конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Казахстан, Усть-Каменогорск, 2003 г.; Алматы, 2004 г.); международные конференции по квантовым жидкостям и твердым телам QFS-2004, QFS-2007, QFS-2010, QFS-2012 (Италия, Тренто, 2004 г.; Россия, Казань, 2007 г.; Франция, Гренобль, 2010 г.; Англия, Ланкастер, 2012 г.); Всероссийская конференция «Новые математические модели механики сплошных сред: Построение и изучение» (Россия, Новосибирск, 2009 г.); XXXV Совещание по физике низких температур (Россия, Черноголовка, 2009 г.); 8-я Международная конференция по физике криокристаллов и квантовых кристаллов (Россия, Черноголовка, 2010 г.); Международное совещание по турбулентности в квантовых двухжидкост-ных системах (Объединенные Арабские Эмираты, Абу Даби, 2012 г.); конференция израильского физического общества (Израиль, Реховот, 2013 г.),
а также на семинарах различных научных учреждений (Институт Макса Планка, Геттинген, Германия; LIMSI, Орсе, Франция; JPL, Пасадена, США).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 43 научных трудов. Основными из них являются 20 наименований, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 20 – в ведущих зарубежных и отечественных журналах, рекомендованных ВАК для публикации материалов докторских диссертаций.
Структура и объем диссертации: работа состоит из шести глав, введении, заключения и библиографического списка из 286 наименований; общий объем диссертации 207 страниц, включая 94 рисунков и 6 таблиц.
Элементарные возбуждения
При нормальном давлении жидкий гелий 4Не вскипает при температуре 4.21 К и при понижении температуры вплоть до абсолютного нуля не замерзает. Из-за малой массы атомов и очень слабых межатомных сил гелий с трудом конденсируется. При переходе температуры Т\ = 2.17 К, называемой Л-точкой (см. рис. 1.1), наблюдается фазовый переход второго рода.
При температурах выше Л-точки гелий называется Не-І. В этой области температур гелий обладает свойствами обычной жидкости. При температурах ниже Л-точки жидкий гелий называют сверхтекучим гелием или Не-П. Линия, разделяющая Не-1 и Не-П называется Л-линией. Согласно фазовой диаграмме, гелий может затвердевать только при повышенных давлениях. Обратим внимание, что при пониженных давлениях сверхтекучий гелий может испаряться, не переходя Л-линию.
Одним из интереснейших среди множества экзотических свойств, с которым столкнулись исследователи на ранней стадии изучения гелия II, была так называемая сверхтеплопроводность (см., например, работы Keesom, Keesom (1936) [1], Keesom, Keesom, Saris (1938) [2]), а также сверхтекучесть (см. работы Капица (1938) [3], Капица (1941) [4]). Под сверхтеплопроводностью понимается следующее явление. В выше упомянутых работах [1], [2] была проведена серия опытов по определению теплопроводности Не-П. Поток тепла вдоль капилляра, заполненного гелием, оказался пропорционален приложенной разности температур, однако, коэффициент пропорциональности в миллионы раз(!) превосходил значения теплопроводности у самых теплопроводных металлов (меди и серебра). Кеезом по аналогии с электрической сверхпроводимостью назвал это явление сверхтеплопроводностью. Явление сверхтекучести было открыто Капицей [3], [4], который показал, что гелий способен протекать через узкие капилляры без трения. Коэффициент вязкости у Не-П на шесть порядков (!) меньше, чем у Не-1 вблизи температуры 4.22 К.
В этой области температур гелий обладает рядом уникальных свойств, которые связаны с квантовой природой этой жидкости. При этих температурах длина волны де Бройля
Фазовая диаграмма 4Не (взята из работы Wilks, Betts (1987) [5]). для атомов гелия сравнима с межатомными расстояниями, следовательно Не-П является не классической, а квантовой жидкостью. Основное состояние его - это полностью сверхтекучая жидкость. Поскольку спин атома гелия равен нулю, то атомы являются бозонами, а следовательно ансамбль атомов подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна. Идеальный газ бозонов, при отличной от нуля массе покоя составляющих его частиц, обладает свойством конденсации Бозе-Эйнштейна. При низких температурах частицы стремятся собраться на наинизшем энергетическом уровне, образуя конденсат. Аналогичный эффект наблюдается в жидком гелии. При переходе Л-точки начинается образование конденсата, который связан со сверхтекучей компонентой. Идея, которую впервые сформулировал в своих работах London (1938, 1954) [6], [7], [8], заключается в том, что сверхтекучая компонента представляет собой единое когерентное квантовое состояние, а значит с помощью введения макроскопической волновой функции можно описать его свойства, как, например, описывается в устойчивом атоме стационарное состояние электрона собственной функцией соответствующего гамильтониана.
Ландау (1941, 1949) [9], [10] установил связь между явлением сверхтекучести и квантовыми свойствами системы. При температурах ниже 1 К жидкий Не-П - это практически сверхтекучая фракция с очень малой плотностью нормальной жидкости. Поэтому нор мальную жидкость можно представить как разреженный газ возбуждений квазичастиц: фононов и ротонов. Так, для объяснения полученной экспериментально температурной зависимости теплоемкости жидкого гелия Ландау (см. [11], [12]) предложил следующий вид энергетического спектра (см. рис. 1.2).
На этом графике приведена зависимость энергии элементарного возбуждения є в жидком гелии от импульса р. Длинноволновые возбуждения (с волновым числом к), которые соответствуют малым импульсам, представляют собой звуковые кванты - фононы (в жидкости это продольные звуковые колебания). Зависимость энергии фононов от импульса является линейной функцией: є = С\р, где С\ - скорость звука, р = Кк- импульс фононной квазичастицы, h - постоянная Планка.
Следующим типом возбуждения являются ротоны. Этот тип возмущений введен Ландау. Ландау представлял ротон в виде квантованного вихря с инерцией вращения. Это, однако, не так. Ротоны не обладают угловым моментом, но создают поле диполя. Ротоны следует рассматривать как вихревые кольца, уменьшенные до межатомных расстояний. Их групповая скорость может быть положительной или отрицательной по отношению к своему импульсу (см. Donnelly (1991) [13]). Энергия ротонов вблизи минимума квадратичным образом зависит от импульса: є = А + (р — ро)2/2ц, где постоянные были определены экспериментально из измерений теплоемкости Henshaw, Wood (1961) [14] или с помощью неупругого рассеяния нейтронов Van den Meijdenberg, Taconis, De Bruyn Ouboter (1961) [15]: po = 1-9 108 см-1 - значение импульса, при котором функция є имеет минимум, значение которого равно A = 8.6К, ц = 0.16гп4Не - эффективная масса ротона. Значения плотности фононов и ротонов в зависимости от температуры определяются следующими соотношениями (см. работу Wilks (1967) [16]): prot з(2п) (квту/тзЄхр V квт) [ ] При температурах ниже 0.6 К плотность ротонов становится пренебрежимо мала вследствие уменьшения концентрации возбуждений с понижением температуры. Поэтому при этих температурах из термических возбуждений присутствуют только фононы. То есть наблюдается схожесть твердого тела и сверхтекучего гелия в том смысле, что там и здесь из термических возбуждений присутствуют только фононы. Этим объясняются схожие экспериментально полученные зависимости теплоемкости гелия II и твердого тела от температуры: теплоемкости пропорциональны Т3. При этих температурах легко рассчитать термодинамические свойства гелия. При более высоких температурах рассчитать термодинамические свойства становится сложнее, поскольку резко возрастает присутствие ротонов. Взаимодействием между ротонами пренебрегается при температурах ниже температуры 1 К. При более высоких температурах продолжает резко возрастать в основном плотность ротонов, и в этом случае их взаимодействие необходимо учитывать.
При температуре, стремящейся к нулю градусов Кельвина, все возбуждения становятся замороженными, и сверхтекучий гелий находится в своем основном состоянии. Чтобы возникли термические возбуждения, необходимо, чтобы гелий двигался со скоростью выше некоторой критической скорости, получившей название как критическая скорость Ландау.
Пусть энергия возбуждения в системе отсчета движущейся жидкости равна б, а импульс р. Тогда в неподвижной системе координат энергия этого возбуждения будет равна б + pV. Если будет выполнено условие, что б + pV 0, то переход в возбужденное состояние жидкости будет выгодным. Очевидно, что наиболее благоприятным является ситуация, когда импульс возбуждения направлен в противоположную сторону скорости движения жидкости. В этом случае V є/р. Минимальная скорость определяется минимумом этого отношения, т.е. \тіп = тіп(е/р). Для возбуждения фононов (б = С\р) это будет скорость звука (с\ 238 м/с), которая является довольно большой для экспериментальных исследований. Обратимся к спектру элементарных возбуждений жидкого гелия (см. рис. 1.2). Найдем экстремум отношения е/р: -(е/р) = 0 = -(de/dp) — е/р2, т.е. минимум достигается в точке, где е/р = (de/dp). Следовательно, точкой минимума будет точка, где прямая, проведенная из начала координат, касается кривой е(р). Эта точка находится недалеко от минимума этой кривой е(р) (см. рис. 1.2). Согласно спектру жидкого гелия критическая скорость Vcr 60 м/с. То есть, отсюда следует, что при более низких скоростях движения жидкости рождение каких-либо возбуждений является энергетически невыгодным, и жидкость, согласно выше сказанному, должна двигаться без диссипации. При больших скоростях в гелии становится энергетически выгодным рождение возбуждения, следовательно, в этом случае движение будет диссипативным. Однако, значение критической скорости Vcr на несколько порядков превосходит экспериментально наблюдаемую скорость. Первая экспериментальная проверка по определению критической скорости ротонов была сделана в работе Ellis, McClintock (1985) [17]. Кроме упомянутых возбуждений в гелии наблюдаются другие возбуждения, так называемые квантованные вихри, о которых пойдет речь несколько ниже.
Свободный распад сверхтекучей турбулентности при температурах, близких к абсолютному нулю
В данной работе также определяется основная функция распределения вероятностей (probability distribution function (PDF)) \s"\ (по всей конфигурации клубка), функции распределения вероятностей длин вихревых петель lj, средней кривизны петли s j, а также связь между lj и s j. Скорость дрейфа вихревого клубка Vyt и параметр С, Скорость дрейфа вихревого клубка относительно сверхтекучей компоненты определяется следующим выражением: Kt = / - vs, (2.27) где скорость точки вихревой нити ds()/dt определяется ниже представленным уравнением 2.37. Ожидается, что Vvt пропорциональна скорости противотока vns, и введя безразмерный параметр Cvt, можно записать следующее соотношение:
Полученные значения Cvt обсуждаются ниже. 6. Плотность силы трения и константа Гортера-Меллинка
При обсуждении механического баланса в сверхтекучей турбулентности важную роль играет плотность взаимной силы трения, возникающей между нормальной и сверхтекучей компонентами жидкости. Ее можно определить из уравнения 2.37 (см. ниже). Член, пропорциональный а , обращается в нуль в силу симметрии [166]:
Интеграл J [размерность которого [J] = 1/(с-см)] может быть однозначно выражен через к и vns в виде следующей их комбинации v„s//i2. Это приводит к следующей размерной оценке Fns: Как известно, плотность р гелия изменяется слабо с температурой в соответствующем температурном диапазоне, в то время как а сильно изменяется. Значение а увеличивается в 6 раз по мере роста температуры Т от 1.3 К до 1.9 К (см. таблицу 2.1). С другой стороны, температурная зависимость параметра а, которая и определяет зависимость константы AQM ОТ температуры, намного слабее по сравнению с температурной зависимостью а.
Автокорреляция вихревых ориентации С целью определения относительной поляризации вихревых нитей была определена корреляционная функция ориентации: К{п -r2) = (s (ri).s (r2))c, (2.33) где гх и г2 - декартовы координаты двух точек нити, усреднение проводилось по всем парам точек нитей в вихревой клубке. К (г і—г2) определяет средний угол между отрезками как функцию от расстояния между ними. Усредненная корреляционная функция по всем расстояниям определяет степень поляризации клубка К.
В случае, когда нет внешних действующих сил на ядро вихря, вихревая нить движется со скоростью vsi(s), которая определяется наведенной скоростью от всего вихревого клубка, согласно уравнению Био-Савара: vsi(s) = - і K01 0JZr (З-34) При вычислении скорости вихревой точки Si этот интеграл можно представить в виде двух слагаемых:
Средние скорости связаны между собой законом сохранения массы: psvs + РпУп = 0. Расчеты проведены для периодических условий по всем направлениям. Напомним, что расчет скорости вихревой точки в случае локально-индуцированного приближения в работах Шварца [162] (в дальнейшем полученные расчетные данные будут сравниваться с результатами, полученными в этой работе, см. ниже) определялась следующими уравнениями:
В данной работе проведены исследования при использовании трех критериев для осуществления перезамыкания петель, которые наиболее часто встречаются в литературе.
Первый критерий основывается на геометрическом расположении точек (см., например, работы Adachi, Fujiyama, Tsubota (2010) [165], Tsubota, Araki, Nemirovskii (2000) [170]): если расстояние между точками меньше расчетного шага вдоль нити, то процессы реконнекций осуществляются (см. рис. 2.1), т.е. :
В дальнейшем будем называть этот критерий как геометрический критерий. На графиках будем помечать его буквой "G".
Этот критерий игнорирует потерю энергии при реконнекции, связанную, например, с излучением фононов. Более строгий критерий был предложен в работе Samuels (1992) [189], в котором требуется в дополнение к геометрической формуле близости сокращение общей длины вихревой нити (см. рис. 2.1). В дальнейшем будем называть этот критерий как геометрически-энергетический критерий. На графиках будем помечать его буквами "GE".
Третий критерий, который применялся в данных вычислениях, это критерий предложенный нами, который описан выше. Поскольку этот критерий основан на рассмотрении динамики элементов нитей, в дальнейшем будем называть его динамическим критерием. На графиках будем помечать его буквой "D".
Параметры а и а , используемые в расчетах, относительная плотность нормальной компоненты [190], комбинация ар/рп, которая слабо зависит от температуры и связана с плотностью взаимной силы трения согласно уравнению 2.32, и параметр для локально-индуцированного приближения Л, рассчитанный для величины константы с = 1. радиусом До = 9 х 10_3 см и ориентированных таким образом, что начальный импульс системы равен нулю (см. рис. 2.7). Радиус колец выбран превышающим радиус кольца, которое не схопывается при наименьшей плотности теплового потока [162], [194] (Т = 1.3 К, vns = 0.3 см/с): RCT 3 10 3 см.
Начальный шаг вдоль нити при использовании геометрического и геометрически -энергетического критериев был До = 1-6 10_3 см и До = 8 Ю-4 см при использовании динамического критерия.
Размер кубика выбирался из расчета точности скорости движения и устойчивости двух антипараллельных нитей. Известно, что пара антипараллельных нитей движутся параллельно друг к другу, однако это движение не является устойчивым (см. Crow (1970) [226]). Скорость для бесконечных длин нитей определяется следующим выражением: "сокращение бесконечности" длин нитей. На рис. 2.8 показано движение этих нитей в центральном кубике. На этом рисунке по оси z брались по 5 кубиков в обе стороны от центрального кубика (для увеличения длины нитей), по другим осям только соседние кубики. Видно, что нарушается устойчивость такого движения.
При расстоянии между линиями (по оси у) d = 8 Ю-2 см аналитическое значение скорости V = 0.795774715 см/с. Полученные численные значения скоростей для кубиков размером 0.1 см, шаге вдоль нитей Д0 = 2 Ю-2 см и 6 окружающих кубиков отличались от аналитического значения скорости на тысячные доли процента. На рис. 2.9 показана разность между численно полученными значениями скоростей и аналитически определенной скоростью для разного количества кубиков вдоль направления нитей. Цифрами обозначено суммарное количество кубиков по обе стороны от центрального. Видно, что уменьшение длины нитей сказывается на устойчивости движения и точности определения скорости. Однако это отличие является незначительным в случаях, когда расчет проводился только центральном кубике и при наличии 6 окружающих кубиков. Полученная точность вычисления скорости вихревых нитей является более, чем достаточной при проведении расчетов.
Как было описано выше, для сохранения точности расчетов добавлялись и удалялись точки так, чтобы во время эволюции длина отрезков нити лежали в следующем диапазоне: АЄо/1-8 /± 1.8Д&.
Для интегрирования по времени использовался метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Из условия стабильности схемы шаг по времени для G и GE критериев был At = 3.8 Ю-4 с, для динамического критерия - At = 9.5 Ю-5 с. Были проведены расчеты длительностью до 150 секунд для G и GE критериев, для D критерия до 75 секунд. Рис. 2.8: Движение антипараллельных вихревых нитей.
Некоторые статистическое свойства вихревого клубка
Принято считать, что классическая гидродинамическая турбулентность почти изотропна на малых масштабах / С Н вследствие изотропных эффектов, которые наблюдаются при переходе от внешних масштабов Н по направлению к малым масштабам /. Теория турбулентности на малых масштабах затем упрощается. В случае противотока нет никакого энергетического каскада, и сверхтекучая турбулентность при наличии противотока по своей сути является анизотропной, благодаря выделенному направлению скорости противотока vns. Эта анизотропия имеет принципиальное значение и не может вообще игнорироваться. Действительно, в изотропном случае ни сила трения между нормальной и сверхтекучей компонентами, ни противоток не создают вихревой клубок. Формально это можно увидеть, исходя из следующего аргумента: рассмотрим параметр С/, который количественно определяет силу взаимного трения, и 7, который определяет плотность вихревого клубка. Оба пропорциональны параметру анизотропии І, который равен нулю в изотропном клубке. Тем не менее, в пространственно однородном случае с единственным выбранным направлением вдоль \ns ожидается осевая симметрия вокруг vns. Действительно, в нашем моделировании коэффициент (определяемое формулой 2.21), который отвечает за осевую асимметрию, близок к нулю. Основным параметром в задаче о квантовой турбулентности является квант циркуляции к 10_3см/с-2. Вторым параметром является радиус ядра вихря а. В 4Не ао — Ю-8 см. В теории турбулентности при наличии противотока а появляется в сочетании с межвихревое расстоянием I в виде безразмерного параметра Л \п(/ао). Более точное определение Л задается уравнением 2.39, а также вводится Л = Л/(47г) (см. уравнение 2.38). Параметр Л действительно возникает в уравнении движения для вихревой нити в локально-индуцированном приближении. В таблице 2.1 показано, что в реальных экспериментальных ситуациях Л очень близко к единице.
Дополнительными безразмерными параметрами являются а и а , которые определяют силу взаимного трения (согласно уравнению 2.37). Из двух параметров а является более важным, будучи ответственным за диссипативную часть. Как видно из таблицы 2.1 а изменяется в соответствующем диапазоне температур в 6 раз, будучи много меньше единицы (а = 0.036) при Т = 1.3 К и достигает единицы, когда Т близка к Т\, см. табл. 2.1.
Следует упомянуть отношение нормальной и сверхтекучей плотностей рп/ps. Напомним, что общая плотность 4Не р = ps+pn не зависит от температуры. Можно использовать соотношение рп/Р вместо рп/Ps- Она меняется примерно в десять раз (от 0.045 до 0.42, см. табл. 2.1) в исследуемом диапазоне температур.
Имея так много безразмерных параметров, которые, что существенно, сильно отличаются от единицы и значительно изменяются с изменением температуры, можно думать, что размерные рассуждения бесполезны в данной проблеме. Однако, как было показано в данной работе, они являются полезными. Будучи дополненные простыми физическими аргументами, они дают вполне разумные результаты, например, для определения зависимостей основных характеристик клубка от vns, см. ниже.
Используя размерные рассуждения с единственным параметром к, был воспроизведен ряд отношений, которые определили зависимости основных характеристик вихревого клубка от vns. Для определенности, перечислим их в порядке по возрастанию степени от vns и напомним величины, соответствующих параметров.
Средняя и среднеквадратичная кривизны нитей S = С\/ ос v ,1, S = 02/(. ос v"/, см. формулы 2.22, 2.23, рис. 2.20 и таб. 2.4; с2 w \Jb/2ci 2 4- 3. Анизотропные индексы /ц, І±, І и І± практически не зависят от vns, т.е. ос vs, см. формулы 2.18, 2.19, 2.20, 2.21, рис. 2.19 и таб. 2.4; Ц, 1± 0.7 4- 0.9, 1е 0.5, Ie± w 0 (в силу осевой симметрии). Скорость дрейфа VYt = CvtVns, см. формулу 2.28, рис. 2.21; CVt — 0.05 4- 0.08. Плотность вихревых нитей С = к2 (ГУП8)2, СМ. формулу 2.15, на рис. 2.16 и таб. 2.3; Г 0.07 4 0.16. Плотность взаимной силы трения Fns = o ps /i_1(C/vns)3, см. формулу 2.30, рис. 2.22. Вывод уравнения 2.30 был основан не только на размерностях, но и на его явном выражении (см. уравнение 2.29) через конфигурацию вихревого клубка; С/ 0.15 4 0.25.
Скорости реконнекций dNr/dt = сгкС5 2 ос v s, см. уравнения 2.17 и 2.15, рис. 2.15 и таб. 2.2; сг 0.4 4 0.6. Как видно из рисунков, отмеченных выше, результаты нашего численного моделирования хорошо согласуются со всеми этими ожидаемыми зависимостями от vns. Обратите внимание, что численные значения соответствующих безразмерных параметров (представленные выше) не всегда порядка единицы, чаще меньше на порядок. Некоторое понимание причин этому можно получить с помощью явных соотношений, полученных Шварцем, используя локально-индуцируемое приближение.
Эти уравнения связывают параметры Г#, С А и С 1А с параметрами, характеризующие анизотропию вихревого клубка Ц, 1#, определяемые уравнениями 2.18, 2.20 и с параметром, определяющим среднеквадратичную кривизну Сг, определяемый по формуле 2.23.
Эти отношения в нашем моделирования выполнены с достаточной степенью точности (с полным уравнением Био-Савара), особенно при низких температурах. При более высоких температурах расхождение увеличивается, но общий порядок величины этих коэффициентов близки к рассчитанным Шварцем (/ц, Ig и Сг, полученные при локально-индуцированном моделировании) и согласуются с имеющимися экспериментальными данными. Это позволяет полагать, что локально-индуцированное приближение с успехом может быть использовано в аналитических исследованиях турбулентности при наличии противотока, несмотря на то, что результаты, полученные при этом сильно отличаются от результатов, полученных при использовании полного уравнения Био-Савара.
Многие из средних параметров, которые обсуждались выше, могут быть измерены экспериментально, по крайней мере в принципе. Однако, получение подробной статистической информации свойств вихревого клубка едва ли возможно в эксперименте в обозримом будущем. С учетом их значимости для лучшего понимания основных физических свойств турбулентности при наличии противотока, в частности, были изучены.
Вероятность распределения петель по их длинам V{1). Показано, что ее ядро (которое содержит около 20 4- 30% от общего количества петель) может быть описано простой экспоненциальной формой (см. уравнение 2.48), как показано на рис. 2.25 А. Это ядро имеет пик при некотором L 0.01 4- 0.02 см, который намного меньше, чем средняя длина L 0.3 4- 0.5 см, определяемая хвостом распределения (см. рис. 2.24).
Корреляция между длиной lj и среднеквадратичной кривизной s"j петель с данными lj показана на рис. 2.27. Было показано, что для длинных петель s"j практически не зависит от их длины и близко к значению S, в то время как для коротких петель значение кривизны ограничено снизу (и концентрируются значения кривизны близко к этому ограничению) кривизной окружности с заданной длиной. Функция распределения кривизны нитей V{\s"\). Было показано, что P(s") хорошо описывается экспоненциального вида выражением 2.49 без подгоночных параметров, включающее среднеквадратичную кривизну S. Это позволило найти отношение структурных параметров C\J0i л/2/3.
Численное исследование динамики одиночного мощного теплового импульса
Уравнение Вайнена (5.7) является условием баланса между ростом и распадом уже существующего вихревого клубка. Второе слагаемое в правой части уравнения (5.7) описывает рост плотности вихревых нитей (ПВН), обязанному силе трения, третье - уменьшение ПВН, обязанному каскадному дроблению вихревых петель. Это уравнение не описывает возникновение вихревых нитей. Поэтому при рассмотрении динамики одиночного импульса в невозмущенном гелии при отсутствии фоновой плотности вихревого клубка в объеме жидкости (в эксперименте это соответствует длительному времени ожидания перед подачей импульса на нагреватель) возникают сложности с описанием первоначального зарождения вихревой структуры. Эксперименты, выполненные Вайненом, показывают, что время развития вихревого клубка (естественно конечное) является функцией скорости противотока. Чтобы исправить возникшую сложность Вайнен для вышеописанной ситуации предложил в уравнение (5.7) в правую часть его вводить добавочное слагаемое (затравочный член), описывающее механизм начального зарождения вихревых нитей. Этот затравочный член имеет вид 7w5 2, где 7 некоторая сильно зависящая от температуры величина. Подробности смотрите в первой главе уравнения 1.30, 1.31.
Напомним, что в работе [152] для удовлетворительного описания своих экспериментов использовали несколько подгоночных параметров, а именно, ими варьировались фоновое значение плотности вихревых нитей, граничные условия, параметры в уравнении Вайнена. Исследование в этих работах влияния затравочного члена в уравнении Вайнена на динамику температурного импульса не привели к успеху. Заметим, что при этом брался при расчетах затравочный член, предложенный Вайненом. Таким образом, остается открытым вопрос: каким должно быть значение затравочного члена в случае исследования мощных тепловых импульсов. Хорошее совпадение своих расчетных результатов с экспериментом [152] получили при соответствущем выборе начальной плотности вихревых нитей. В связи с вышесказанным вновь проведены численные исследования распространения мощных тепловых импульсов в этой области температур, продолжено исследование влияния затравочного члена в уравнении Вайнена, а также значения и распределения в пространстве фоновой плотности вихревого клубка на динамику этих импульсов. Кроме того, в рамках этих уравнений проведены исследования свободного распада вихревого клубка (см. Немировский, Кондаурова [274]).
В ниже рассмотренных случаях уравнения гидродинамики сверхтекучей турбулентности, полученные с помощью вариационного принципа, совпадут с вышевыписанными уравнениями. Напомним, что уравнения ГСТ, полученные статистическим методом, отличаются от (5.6) только знаком при члене L3 2 в правой части уравнения. Этот член в рассматриваемых задачах по динамике тепловых импульсов (импульса) мал, и его влияние незначительно. Итак, на основе полученной системы уравнений численно исследуется распространение периодических и одиночных тепловых импульсов разной амплитуды Q = psaToWo = pcrToVno и длительности # при следующих температурах невозмущенного гелия II: 1.4 К, 2.05 К, 1.884 К, т.е. в областях, где коэффициент нелинейности второго звука положителен, отрицателен и нулевой соответственно. Проведено исследование влияния затравочного члена в уравнении Вайнена, а также распределения в пространстве и значений фоновой плотности вихревого клубка на динамику температурного импульса. Проведено исследование свободного распада вихревого клубка. Кроме того, исследования проведены для различных форм нагревателя, а именно, плоской, цилиндрической и сферической геометрии.
Напомним, что в области температур, где коэффициент нелинейности второго звука принимает положительные значения, разрывы образуются на переднем фронте волны. В работе [152] проведенные измерения температуры от времени вблизи нагревателя показали, что наблюдается существенное увеличение температуры (так называемый овершот) после времени длительности подаваемого теплового потока (что является очень опасным, поскольку перегрев жидкости может привести к вскипанию гелия, а следствие этого к аварийным ситуациям), которое по мере продвижения в невозмущенную жидкость значительно уменьшается, т.е. эволюция температуры в точках, удаленных на разные расстояния от нагревателя, имеет разный характер (см. рис. 5.2 (б)). Такое поведение импульсов обязано взаимному влиянию вихревого клубка и гидродинамических величин.
При изучении динамики тепловых импульсов в случае плоской геометрии нагревателя эксперименты были проведены в прямоугольном канале с площадью поперечного сечения 6.76 см2 и длиной 8 см. С одного из торцов этого канала подавалась серия прямоугольных импульсов (см. [152]). Авторы этих экспериментов представляют результаты для тех импульсов, когда уже следующий импульс повторяет форму предыдущего. Ограниченные машинные ресурсы не позволяют провести численные расчеты всего эксперимента. Была решена задача при следующих начальных и граничных условиях: на плоский нагреватель, погруженный в невозмущенный сверхтекучий гелий при температуре Т0 — 1.4 К, подается импульс прямоугольной формы:
Видно, что расчетные кривые, полученные нами (при Сої = 3 106 1/см2) и в работе [152], близки друг к другу: один и тот же характерный вид этих зависимостей, точка максимума кривых наблюдается при одном и том же времени, кривые выходят на одну и ту же асимптотику. В то же время наблюдается некоторое отличие: максимумы приведенных кривых численно различаются. Обе эти расчетные кривые качественно описывают экспериментальные результаты: положения и численные значения максимумов кривых не совпадают.
Были проведены также численные расчеты для теплового импульса амплитудой Q — 6 Вт/см2 и длительностью tu = 2 мс при Со = 3-Ю6 1/см2. На рис. 5.3(a) представлена зависимость Т() в точке, расположенной на расстоянии 5.4 мм от нагревателя. При сравнении экспериментальной кривой (см. рис. 5.3(6)) с расчетной наблюдается аналогичное расхождение, как и в выше рассмотренном случае, т.е. положения и численные значения максимума кривых не совпадают.
Попробуем описать эти эксперименты, варьируя коэффициент 7 ПРИ w в уравнении Вайнена, а именно, увеличив его значение вплоть до 104 раз по сравнению с коэффициентом, предложенным Вайненом. Поскольку характерное время развития вихревого клубка rv ведет себя приблизительно как обратный кубический корень теплового потока, это увеличение соответствует приблизительно тридцатикратному уменьшению rv. Было получено хорошее согласие между расчетными кривыми и экспериментальными данными (см. рис. 5.4).
Таким образом, численные и экспериментальные кривые согласуются, если в расчетах используется фоновое значение плотности вихревого клубка Со = 3-106 1/см2 или используется в затравочном члене коэффициент, превышающий примерно в 104 раз значение коэффициента, предложенного Вайненом. Конечно, ни одна из этих ситуаций не может соответствовать физической реальности, т.е. оба пути преодоления проблемы начального зарождения вихревых нитей в объеме жидкости не привели к разумным физическим результатам. Наличие же в объеме жидкости такой большой фоновой турбулентности связано с тем, что в описываемых экспериментах импульсы тепла запускались в периодическом режиме. Поэтому динамика каждого импульса зависит от условий всей серии импульсов, в частности, от скважности последовательности импульсов. Нужно отметить, что попытки численного расчета на основе периодических условий [152], [262] не привели к разумным результатам. Это, по-видимому, связано с тем, что уравнение Вайнена плохо описывает свободный распад вихревого клубка (см., например, [120]).
