Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Состояние вопроса, постановка задачи 26
1.1 Современное состояние вопросов, связанных с оценкой работоспособности роторных систем высоконагруженных турбомашин 26
1.2 Обоснование научной проблемы применения контактной задачи для анализа сборных роторов турбомашин 35
1.3 Постановка задачи и определение понятия конструктивной дисфункции сборных роторов турбомашин 46
1.4 Выводы по главе 57
ГЛАВА 2. Основные зависимости метода конечных элементов для расчета напряженно-деформированного состояния (ндс) роторов турбомашин 60
2.1 Анализ теоретических подходов МКЭ и основные зависимости вариационно-энергетического принципа метода перемещений теории упругости для расчета роторов турбомашин 60
2.2 Разработка модели объемного напряженно-деформированного состояния деталей турбомашин 66
2.3 Разработка конечных элементов типа: балка, пластина, сосредоточенная масса, интерполирующие элементы 87
2.4 Анализ точности и сходимости численного решения упругой задачи МКЭ в полярно-цилиндрической системе координат 102
2.5 Выводы по главе 116
ГЛАВА 3. Контактная задача механики деформируемого тела при расчете сборных конструкций роторов турбомашин 117
3.1 Математическая модель контактной задачи расчета НДС сборной конструкции ротора 119
3.1.1 Разработка модели контактного конечного элемента сопряжения конструкций (КЭСК) деталей в сборном роторе 122
3.1.2 Преобразование координат КЭСК в глобальной системе полярно-цилиндрических координат 129
3.1.3 Модель адаптации величины штрафной жесткости в КЭСК 135
3.2 Разработка алгоритма программной реализации контактной задачи расчета НДС конструкции сборного ротора 139
3.3 Анализ точности и сходимости с применением контактного конечного элемента в расчете сопряжения деталей ротора 151
3.4 Выводы по главе 159
ГЛАВА 4. Анализ упругопластического ндс сборной конструкции ротора его деталей 161
4.1 Разработка модели упруго-пластического поведения деталей роторов турбомашин 161
4.2 Применение численного итерационного метода 169
4.3 Разработка алгоритма решения задачи расчета упруго-пластического НДС сборной конструкции ротора 174
4.4 Проверка точности решения упруго-пластической задачи 180
4.5 Выводы по главе 188
ГЛАВА 5. Разработка модели контактной теплопроводности и теплообмена в сборных роторах турбомашин 190
5.1 Разработка модели контактной теплопроводности и теплообмена в сборной конструкции ротора ГТД 193
5.1.1 Реализация метода конечных элементов для задачи анализа стационарной теплопроводности и теплообмена турбомашин 193
5.1.2 Разработка конечного элемента контактной теплопроводности, при расчете поля температур в сборной конструкции ротора 200
5.2 Алгоритм решения задачи контактной теплопроводности и теплообмена в сборной конструкции ротора 211
5.3 Анализ точности и сходимости в контактной задаче расчета стационарной теплопроводности деталей турбомашин 214
5.3.1 Анализ точности и сходимости в задаче расчета стационарной теплопроводности деталей турбомашин 214
5.3.2 Анализ точности и сходимости решения задачи стационарной теплопроводности с применением контактного конечного элемента..221
5.4 Отработка методики расчета температурного поля для сборной конструкции ротора 225
5.4.1 Сравнительный анализ полей температур рабочего диска, монолитного ротора и сборного ротора 226
5.4.2 Анализ теплового состояния сборного ротора относительно вариации условий сопряжения 229
5.5 Выводы по главе 231
ГЛАВА 6. Разработка модели анализа динамических характеристик сборных роторов турбомашин 234
6.1 Разработка математической модели МКЭ расчета вынужденных колебаний сборных роторов турбомашин 236
6.2 Алгоритм решения задачи расчета вынужденных колебаний сборных роторов турбомашин 256
6.3 Проверка достоверности численного решения МКЭ относительно аналитического решения определения АЧХ монолитных конструкций. 260
6.3.1 КЭ модель стержня 260
6.3.2 КЭ модель ротора 264
6.4 Проверка достоверности решения МКЭ для сборного ротора относительно решения определения АЧХ его монолитного аналога 269
6.5 Выводы по главе 281
ГЛАВА 7. Разработка методологии анализа сборных роторных конструкций турбомашин на состояние конструктивной дисфункции 283
7.1 Алгоритм и методология численного исследования роторов турбомашин на состояние конструктивной дисфункции 286
7.1.1 Анализ принципиальной конструкции сборного ротора на состояние конструктивной дисфункции 291
7.2 Построение КЭ моделей реальных сборных роторов авиационного ГТД 309
7.2.1 Построение КЭ модели ротора компрессора для решения статической задачи расчета упруго-пластического НДС
и решения динамической задачи определения АЧХ 312
7.2.2 Построение КЭ моделей сборных роторов турбин для решения контактной задачи расчета упруго-пластического НДС конструкций с нецентральными отверстиями крепления в рабочем диске и выносными фланцами соединения рабочего диска и валов 318
7.2.3 Построение КЭ модели ротора турбины для решения динамической задачи определения их АЧХ, для конструкций: с нецентральными отверстиями крепления в рабочем диске и выносными фланцами соединением рабочего диска и валов 335
7.3 Решение задачи анализа контактной теплопроводности сборных роторов авиационного ГТД 341
7.4 Решение упруго-пластической контактной задачи расчета НДС сборных роторов авиационных ГТД на исходном, рабочем и разгрузочном режимах работы 350
7.5 Анализ АЧХ сборных роторов авиационного ГТД с учетом в них упруго-пластического деформирования, а также относительно их монолитных аналогов 375
7.5.1 Анализ АЧХ сборных роторов относительно их монолитных аналогов 376
7.5.2 Анализ АЧХ сборных роторов с учетом в них пластических (остаточных) деформаций после рабочего режима 380
7.5.3 Анализ АЧХ сборных роторов с учетом модификации в них параметров сопряжения конструкции 384
7.6 Выводы по главе 388
Заключение 393
Библиографический список
- Обоснование научной проблемы применения контактной задачи для анализа сборных роторов турбомашин
- Разработка модели объемного напряженно-деформированного состояния деталей турбомашин
- Разработка модели контактного конечного элемента сопряжения конструкций (КЭСК) деталей в сборном роторе
- Разработка алгоритма решения задачи расчета упруго-пластического НДС сборной конструкции ротора
Введение к работе
Совершенствование роторных систем высоконагруженных турбомашин, таких как авиационные газотурбинные двигатели (ГТД) и другие энергетические установки, идет по пути дальнейшего увеличения в них удельной мощности, включая рост скоростей вращения и температурных условий, при одновременном снижении металлоемкости и ужесточении требований по надежности и ресурсу. Решение этих проблем сопровождается использованием в роторах принципа модульности, развитием в них геометрических форм, и других мероприятий конструктивно-технологического характера, предполагающих в большинстве случаев применение в роторной конструкции узла сборки таких ответственных его деталей, как рабочий диск и вал.
Существующие подходы в проектировании роторных систем сборного типа основаны на использовании реальных физических прототипов, где определяющее значение имеют данные натурного эксперимента с последующим продолжительным этапом доводки опытных образцов создаваемого объекта. Расчетно-аналитические подходы построены здесь с достаточно грубым приближением. Они основаны либо на анализе монолитного аналога сборного ротора, либо на расчетах отдельных его деталей с дальнейшим уточнением параметров их работоспособности относительно данных натурных испытаний ротора в целом. Недостатком представленной методологии проектирования сборных роторов, наряду с высоким уровнем материальных и временных затрат, является низкий уровень информативности об объекте, в особенности на начальных концептуальных стадиях его создания. С этим также связан риск принятия ошибочных конструктивно-технологических решений для изделия, в особенности для таких конструктивно сложных и энергоемких механических систем, как сборный ротор авиационного газотурбинного двигателя.
Представленная проблема может быть преодолена с переходом к современной концепции проектирования роторных систем турбомашин, для которой характерно усиление роли методов математического и компьютерного моделирования реального объекта. Для сборных роторов турбомашин этот переход
может быть обозначен применением контактной задачи механики твердого деформируемого тела, позволяющей, наряду с внешним силовым и температурным воздействием, моделировать в нем условия сопряжения деталей, а главное, характеристики изменения этих условий в процессе работы изделия.
Физика явления, определяющая актуальность разработки и использования предлагаемой в работе методологии, обусловлена тем, что свойство жесткости сборного ротора (или его сопротивляемости как деформируемого тела), в отличие от его монолитного аналога, имеет более сложный концептуальный характер. Это свойство состоит здесь из двух компонент: конструкционной жесткости отдельных деталей и жесткости контактной, определяемой в конструкции сборного ротора условиями сопряжения между его деталями. Представленное утверждение сформулировано в ряде экспериментальных работ [77, 151, 214, 246 и др.], где контактная жесткость определяется как способность поверхностных слоев деталей, находящихся в контакте, сопротивляться действию сил, стремящихся их деформировать. Величины этих сил определяется как внешним (рабочим) силовым воздействием на конструкцию сборного ротора, так и дополнительной нагрузкой, вызванной в нем условиями сопряжения деталей между собой. К последним, например, относятся: посадки с натягом (зазором), усилия стягивания деталей при креплении, и другие подобные конструктивно-силовые факторы.
Проблема заключается в том, что контактная жесткость сборного ротора в период работы изменяется (уменьшается) в гораздо большей степени, чем жесткость конструкционная отдельных его деталей. По экспериментальным данным, это изменение происходит примерно в четыре (и более) раза быстрее, чем в его монолитном аналоге. Данное обстоятельство является потенциально опасным на любой стадии ресурса турбомашин, использующих сборные ротора, в особенности, если они подвержены коротким по времени нерасчетным режимам работы.
Причина рассматриваемого явления определяется пластическими остаточными деформациями, возникающими в деталях сборного ротора при воздействии в нем внешней нагрузки и температурного поля. Эти деформации
имеют свое преимущественное появление в области соединения в роторе рабочего диска (или колеса) и вала, где они дополнительно обусловлены наличием концентраторов напряжений, в виде отверстий, поясков, переходов и т.д., являющиеся одновременно и поверхностями контакта.
Отдельно необходимо выделить воздействие в сборном роторе поля температур. По экспериментальным данным, полученным в работах [169, 293 и др.], на стыке деталей имеет место дополнительное температурное сопротивление, зависящее от величины контактных сил на сопрягаемых поверхностях. Это обстоятельство вызывает температурные скачки при прохождении теплового потока через стык, и могут усилить в этом месте значения поля температур и, соответственно, фактор пластичности материала деталей.
Наряду с этим, необходимо отметить, что остаточные пластические деформации, а также их величина, не означают прямой потери работоспособности сборного ротора [63, 103 и др.].
Приводимые выше факты указывают на то, что для анализа работоспособности ротора сборного типа необходимо учитывать изменения его динамических характеристик, являющихся прямым следствием интенсивного уменьшения контактной и, соответственно, общей жесткости сборного ротора. В качестве такой характеристики, например, удобно использовать изменение критических частот вращения ротора. Уменьшение запасов по критической частоте вращения приведет к увеличению уровня его вибрации, до высоких значений, что означает приближение ротора к состоянию, условно названному в настоящей работе, как "конструктивная дисфункция".
Представленное явление подтверждается реальной практикой эксплуатации турбомашин. В частности, оно было зафиксировано на авиационном газотурбинном двигателе Аи-25 [107] на этапе его доводки. На опорах сборного ротора двигателя имела место вибрация с уровнем, недопустимым по условиям эксплуатации. Эта вибрация появилась после некоторого рабочего цикла двигателя (запуск - рабочие режимы - останов), в течение которого был допущен короткий по времени заброс рабочих оборотов ротора. После демонтажа двигателя и тщательного анализа его конструкции (в особенности, роторной части) бы-
ла зафиксирована причина вибрации. Она состояла в уменьшении величины необходимого контактного давления в посадке с натягом на поверхностях, обеспечивающих центрирование рабочих колес и вала сборного ротора турбины при их соединении. Анализ конструкции ротора также показал, что каждая из обследованных деталей ротора в отдельности отвечала требованиям прочности и пригодности для эксплуатации, а на контактных поверхностях деталей отсутствовали следы локальных износов, трещины и задиры.
Из сказанного следует что, анализ работоспособности сборного ротора, по отношению к его монолитному аналогу, имеет качественно отличительный признак. Он заключается в том, что для сборного ротора состояние "конструктивной дисфункции" может наступить существенно раньше, чем это следует из анализа его монолитного аналога.
Определяющими моментами при разработке роторов сборной конструкции является проблема выбора конструктивно-технологических решений для узлов сопряжений, и, в первую очередь, сопряжений диска с валом. Для успешного решения этой задачи, по видимому, наиболее правильно выбор этих решений проводить на базе анализа виртуальных прототипов предполагаемой конструкции ротора с учетом анализа изменения жесткостей в узлах сопрягаемых деталей. Указанный подход должен позволить свести к минимуму предрасположенность сборного ротора к состоянию "конструктивной дисфункции".
На важность представленной выше проблемы указывает тот факт, что в практике создания и доводки сборных роторов практически всех отечественных газотурбинных двигателей многократно встречались случаи, когда после первого или последующих выходов на максимальный режим динамические вибрации ротора резко менялись, что косвенно свидетельствует об изменении жесткости ротора в процессе цикла нагружения и разгрузки, и часть изменения жесткости безусловно связана с изменением контактной жесткости ротора. Представленное состояние для сборного ротора означает потерю части конструктивной функциональности (или дисфункции), которая может наступить гораздо раньше предела прочности составляющих ротор деталей.
В этой связи, задача о создании методологии математического моделирования сборных конструкций роторов и анализа их поведения в процессе эксплуатационного нагружения с учетом изменения условий сопряжения составных деталей является актуальной научной проблемой. Решение этой задачи может быть найдено через корректную постановку и решение контактной задачи механики деформируемого твердого тела и задачи контактной теплопроводности, интегрированных в единый программный комплекс для проведения анализа статической напряженности и динамического поведения роторов на ранней стадии их проектирования.
Решение данной задачи имеет важное народнохозяйственное значение, являясь частью решения глобальной проблемы обеспечения заданных характеристик и высоких показателей надежности и безопасности создаваемых авиационных газотурбинных двигателей и турбомашин транспортного и энергетического машиностроения. По сути дела создаваемая в рамках настоящей диссертации методология полностью отвечает современным принципам проектирования инженерных объектов, предполагающим использование виртуальных прототипов реальных объектов с наиболее полным моделированием физических явлений, реализующихся в конструкции при ее эксплуатации.
Цель работы состоит в создании методологии анализа статического и динамического поведения сборных роторов турбомашин, включающей анализ особенностей сопряжений составных элементов ротора, изменяющихся в процессе работы от зазора до натяга и обратно, и позволяющей определить оптимальный облик конструкции сборного ротора; выбрать параметры посадок и усилий стяжки в узлах сопряжений с целью получения требуемых динамических характеристик роторов на ранних этапах их проектирования.
Для достижения поставленной цели в работе сформулированы и решены следующие основные задачи:
1. Разработать, на основе метода конечных элементов (МКЭ), в полярно-цилиндрической системе координат, математические модели для получения
решений: - контактной задачи механики твердого деформированного тела; - за-
дачи определения объемного упругопластического НДС сборного ротора; - задачи контактной теплопроводности и теплообмена в нем; - задачи определения его динамических характеристик.
Провести разработку, программную реализацию и отладку алгоритмов математических моделей выше представленных физических задач, для исследования напряженно-деформированного состояния и динамических характеристик сборных конструкций роторов турбомашин. Созданные алгоритмы адаптированы к совместной работе с существующими комплексами инженерного анализа, например комплексом MSC.Nastran - MSC.Patran.
На основе замкнутых аналитических решений, а также имеющихся данных натурного эксперимента, провести исследование точности и сходимости численного решения МКЭ; исследование провести для всех используемых типов физических задач: контактной и упругопластической задач напряженно-деформированного состояния, задачи контактной теплопередачи и определения динамических характеристик сборного ротора.
С использованием модельной конструкции сборного ротора, используемой, например, для ротора турбины авиационного ГТД, сформулировать и отработать общую методологию статического и динамического анализа сборных роторных конструкций, на состояние конструктивной дисфункции. Обосновать необходимость проведения представленных расчетов при анализе величин запасов сборного ротора по критическим частотам вращения.
5. Провести численный эксперимент по исследованию конечно-
элементных (КЭ) моделей реальных конструкций сборных роторов авиацион
ных ГТД. Моделирование конструкций провести для различных типов компо
новки соединения рабочего диска турбины с валом. Получить для этих конст
руктивно-технологических решений величину интервала изменения критиче
ских скоростей вращения. На основании результатов исследования, предложить
комплекс рекомендаций по увеличению параметров надежности и долговечно
сти сборных роторных систем двигателя, включая рекомендации по уменьше
нию вероятности появления в них состояния конструктивной дисфункции.
Методы исследования. Основные результаты в работе получены с использованием вариационно-энергетического подхода в формировании функционалов рассматриваемых физических задач и численного решения на основе МКЭ, где применен полный набор математического аппарата теории матриц, алгебраической сплайн аппроксимации и численного интегрирования. Основные физические зависимости МКЭ, используемые для анализа НДС, теплопроводности и динамики сборных роторов построены в полярно-цилиндрической системе координат. Контактная задача определения НДС сборного ротора решается с использованием модифицированного подхода в методе перемещений теории твердого деформируемого тела. Моделирование условий контактного взаимодействия деталей осуществляется посредством решения вариационного неравенства с использованием метода штрафных функций. Анализ упруго-пластического поведения в деталях ротора проводится с применением метода Ньютона-Рафсона, на основе алгоритма пошаговых итераций. Температурная задача МКЭ решается с применением вариационно-энергетического подхода для основных законов теплопередачи, а также на основе билинейной аппроксимации в моделировании эмпирических кривых контактного теплообмена. Решение динамического уравнения вынужденных колебаний сборных роторов построено с применением метода прямого численного интегрирования Нью-марка. Решение глобальной системы алгебраических уравнений осуществляется прямым методом исключения Гаусса, на основе алгоритма Холецкого, с использованием метода вложенных сечений для работы с разреженными матрицами.
Для разработки программного модуля, реализующего выше представленный анализ и его составляющих, используется алгоритмический язык Fortran и персональный компьютер на базе процессора Pentium IV. Подготовка МКЭ моделей, куда входит: геометрическая и дискретная модель объекта, данные по внешнему воздействию, граничные условия и другие параметры; а также визуализация и обработка результатов анализа, проводились с использованием программного комплекса Msc.Patran. Дополнительное тестирование разрабатываемых математических моделей физических задач, а также реализуемых для
них алгоритмов проводилось с использованием программного комплекса Msc.Nastran. Эти программные комплексы предоставлены учебно-научным центром ИрГТУ (Лицензия ЕС 1916, от 19.08.98, IrGTU).
Научная новизна работы состоит в следующем:
Создана и программно реализована на основе МКЭ математическая модель контактной задачи механики твердого деформированного тела, предназначенная для анализа сборных конструкций роторного типа, когда их деформации малы, а зоны контакта известны заранее. Представленный в работе подход отличается тем, что позволяет моделировать сборные роторы с неограниченным количеством независимых пар контактных поверхностей, имеющих различные условия сопряжения, в виде посадок с зазором или с натягом, и их изменение в процессе внешнего силового и температурного воздействия в роторе. Граничные условия кинематического закрепления в деформируемой сборной конструкции могут быть применены только к одной из составляющих ее деталей, каждая из остальных деталей имеет закрепление только относительно контактных поверхностей (связей) с другими деталями.
С использованием результатов контактной задачи НДС создана и программно реализована на основе МКЭ математическая модель задачи контактной теплопроводности в сборном роторе, где в качестве характеристик термического сопротивления в стыке, зависящего от величины контактных сил и их изменения в процессе работы ротора, используются известные кривые, полученные эмпирически. Эти зависимости используются в работе на основе их аппроксимации функциями билинейного типа, позволяющими отслеживать качественный и количественный переход по величине термического сопротивления, в зависимости от условий контакта (натяга или зазора) между сопрягаемыми поверхностями.
Создана и программно реализована на основе МКЭ математическая модель контактной задачи определения амплитудно-частотных характеристик вынужденных колебаний сборного ротора. Модель построена с использованием представленной выше контактной задачи механики деформированного твердо-
го тела и метода Ньюмарка, применяемого при прямом численном интегрировании рассматриваемого динамического уравнения.
На основе ряда численных экспериментов со сборными роторами выяснен ряд подтверждаемых натурным экспериментом обстоятельств. В частности установлено, что величина критических скоростей вращения сборного ротора меньше, чем его монолитного аналога, например, по первым двум формам колебаний, а также получены численные значения этого различия для двух часто используемых конструкций узла соединения рабочего диска и вала сборного ротора. Установлено, что интервал изменения критических скоростей вращения сборного ротора больше, чем его монолитного аналога и соизмерим с величиной назначаемого априори запаса ротора по этому параметру; при определенных условиях работы сборного ротора этот запас может быть исчерпан. Тем самым, доказана возможность появления в сборном роторе, в отличие от его монолитного аналога, состояния, условно названого конструктивной дисфункцией. Физическая сущность появления этого состояния обусловлена изменением условий сопряжения деталей, возникающим при работе сборного ротора.
Разработана методология и обобщенный алгоритм анализа сборных роторных конструкций высоконагруженных турбомашин на состояние их конструктивной дисфункции; определено назначение представленного анализа как составляющей расчета величин запасов сборного ротора по резонансным режимам. Предложен подход в прогнозировании конструктивных решений для узла сборки ротора относительно степени его подверженности состоянию конструктивной дисфункции. На основе представленной методологии сформулированы рекомендации относительно типов компоновки сборного ротора турбины ГТД, более устойчивых в отношении появления в роторе состояния конструктивной дисфункции. Полученные результаты использованы в процессе реального проектирования роторов ГТД.
Достоверность полученных результатов обеспечена применением рас-четно-аналитической базы, отвечающей современному уровню развития и совершенствования высоконагруженных турбомашин. Необходимым условием
получения достоверных данных, при использовании численного решения с применением МКЭ являлось проведение исследований точности и сходимости результатов на последовательности дискретизаций в области определения искомых величин. Достоверность результатов доказывается высокими характеристиками сходимости численных расчетов с данными аналитически замкнутых решений, а также относительно имеющихся проверенных и опубликованных данных натурного эксперимента.
Практическая ценность работы заключается в том, что созданные математические модели и методы, реализованные в виде комплекса вычислительных программ, позволяют проводить анализ статического НДС и динамических характеристик роторов турбомашин сборного типа. Здесь, наряду с уточнением параметров традиционных расчетов отдельных деталей, таких как: упругопла-стическое НДС, теплопроводность и т. д., исследуются другие необходимые для сборного ротора параметры в виде условий сопряжения деталей, контактной теплопроводности их стыков, податливости соединений, а также характеристики изменения этих параметров под влиянием конструктивно-силовых факторов работы сборного ротора. Представленная методология позволяет в значительной степени уточнить динамические параметры сборного ротора в целом. В частности, проводить анализ изменения критических частот вращения ротора относительно его запаса по этому параметру. На ранних стадиях проектирования проводить численное исследование компоновочных решений сборных роторов на появление в них состояния конструктивной дисфункции, а также изменения в них других параметров работоспособности. Это дает возможность повысить надежность работы сборных роторов, увеличить их долговечность и удельную мощность, а также сократить затраты и время на доводку. Получаемые картины НДС сборных роторов, температурных полей, а также распределение их динамических параметров позволяют давать качественное и количественное толкование результатам натурных экспериментальных исследований. Полученные результаты работы внедрены на предприятиях: НТЦ имени А. Люльки НПО "Сатурн" г. Москва и ГНКЦ ОАО НПО Энергомаш имени
академика В.П. Глушко г. Химки
На защиту выносятся следующие положения диссертационной работы:
1. Математические модели физических задач, построенные на основе ре
шений МКЭ и позволяющие реализовать анализ сборных конструкций роторов
высоконагруженных турбомашин. В их число входят:
контактная задача механики деформированного тела, реализованная на основе модифицированного вариационно-энергетического подхода метода перемещений теории твердого деформированного тела, в виде специального двух узлового контактного конечного элемента, алгоритм работы которого построен на основе адаптированной величины штрафной жесткости для узлов сетки конечных элементов, расположенных на контактирующих поверхностях деталей;
контактная задача теплопроводности в сборной конструкции ротора, реализующая алгоритм определения характеристик контактного термического сопротивления, на поверхностях сопрягаемых деталей в зависимости от величины контактных сил, определяемых, в свою очередь, в задаче расчета НДС сборного ротора; алгоритм построен с использованием билинейной аппроксимации известных эмпирических зависимостей;
задача расчета вынужденных колебаний сборного ротора, основанная на модифицировании матрицы жесткости и вектора-столбца внешних сил, относительно решения контактной задачи твердых деформированных тел, реализованная для системы условий сопряжения деталей сборного ротора, с использованием, при решении динамического уравнения, алгоритма Ньюмарка, при прямом численном интегрировании по времени.
2. Уточненные характеристики условий возникновения пластических де
формаций в деталях ротора, в местах концентрации эквивалентных напряжений
в рабочем диске и фланцах валов; характеристики границы упрочнения (прира
ботки) деталей в ходе работы сборного ротора в рамках максимального цикла
силового воздействия в нем, включающего режимы: исходный, максимальный
рабочий и режим разгрузки. Отслеживание изменений конструктивно-силовых
факторов в сборном роторе при его работе, например, эффекта уменьшения ве
личины предварительной затяжки болтового соединения в сборной конструк-
ции; закономерности изменения условий сопряжения на контактных поверхностях и другие.
Уточненные характеристики поля температур в сборной конструкции ротора, полученные на основе расчетов процесса теплопроводности в рабочем диске, вале и элементах крепления, в зависимости от условий их механического сопряжения. Уточненное в сборной конструкции ротора поле температур используется в задаче определения его НДС и динамических характеристик.
Величины АЧХ сборных роторов, представленные как в сравнении с их монолитными аналогами, так и в зависимости от изменения параметров сопряжения составляющих их деталей в условиях внешнего воздействия. Дополнительно получен диапазон изменений представленных величин в зависимости от типа конструкции соединения деталей в анализируемых сборных роторах.
Методологию и обобщенный алгоритм анализа сборных роторов на состояние конструктивной дисфункции; а также квалифицирована представленного анализа сборных роторов турбомашин как составляющая часть расчета в них величин запасов по резонансным режимам работы.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на: расширенном заседании кафедры самолетостроения и эксплуатации авиационной техники, ИрГТУ; 2-й Всероссийской научно-практической конференции (г.Бийск, АлтГТУ. 2001 г.); Всероссийской научно-технической конференции "Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий" (г.Улан-Удэ, ТиПВСИТ, 2001, 2003 г.г); 15-ой Международной научной конференции (г.Тамбов, ТГТУ, 2002 г.); семинаре Современные, высокоэффективные технологии в машиностроении для различных отраслей промышленности (Иркутск, НІЖ "Иркут", 2001); международной конференции по электронике, информатике, информационным технологиям (г.Улан-Батор, Монголия, 2002 г.); 3-й международной конференции и выставке Авиация и космонавтика (г.Москва, МАИ, 2004 г.); на презентации научного журнала "Современные технологии. Системный анализ. Моделирование" (г.Иркутск, ИрГУПС, 2005 г.).
Диссертационная работа рассмотрена и обсуждена на научно-практическом семинаре кафедры конструкции и проектирования двигателей, МАИ, г. Москва, (июнь 2004 г.); заседании научно-практического семинара отдела прочности НТЦ им. А. Люльки ОАО «НПО Сатурн» г. Москва (апрель, 2003 г.); заседании рабочей группы прочности двигателей ГНКЦ ОАО НПО Энергомаш им. академика В.П.Глушко, г. Химки (апрель 2003 г.). Результаты работы доложены на Шестой и Седьмой Российской конференции "Комплексные технологии виртуального моделирования и инженерного анализа" (г. Москва), проводимой международной корпорацией MSC.Software. По результатам докладов были получены сертификаты за научные доклады, занявшие первое место в конкурсном отборе докладов ведущих промышленных предприятий и научных организаций России и стран СНГ, в номинации "Аэрокосмическая промышленность"(2003-4 г.г.).
Публикации: Основные результаты работы по теме диссертации освещены в 29 публикациях, в том числе в одной монографии, 9 тезисов докладов, и 19 статей, из которых 8 опубликованы в центральных периодических журналах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из оглавления, введения, семи глав, заключения, библиографического списка и приложений. Диссертация изложена на 421 странице основного текста, включает 175 рисунков и 37 таблиц. Библиографический список охватывает 303 источника.
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется цель, основные задачи и методы их решения, приводится выносимые на защиту положения и краткое содержание работы по главам.
В первой главе представлено современное состояние, а также обоснование научной проблемы применения контактной задачи механики деформированного тела для анализа работоспособности сборных конструкций роторов турбомашин. На основании изложенного проработан вопрос об актуальности представленного в работе научного направления, позволяющего учитывать различные конструктивно-силовые факторы в сборной конструкции ротора, влияющие на его работоспособность. Приведена классификация контактных
связей в сборной роторной конструкции. Рассмотрены параметры изменения в
ней условий сопряжения деталей. Введено определение понятия конструктивной дисфункции сборных роторов турбомашин. Для чего предложены принципы и этапы ее определения, составляющие общую методологию ее диагностирования. В заключение главы, в форме выводов, сформулированы задачи исследования.
Вторая глава посвящена математическому аппарату метода конечных элементов, используемому для моделирования роторных конструкций; построенному на основе алгебраической сплайн аппроксимации и вариационно-энергетического принципа метода перемещений теории упругости. В главе представлены также все типы конечных элементов (КЭ), используемые в работе и построенные в полярно-цилиндрической системе координат. К ним относятся: основной тип КЭ - объемного напряженно-деформированного состояния, а также КЭ типа: балка, пластина, сосредоточенная масса и интерполирующие КЭ. Анализ точности и сходимости численного решения проводился в работе для основного типа КЭ объемного НДС на упругой задаче, имеющей аналитическое решение.
Третья глава содержит описание математического аппарата контактной задачи, используемой для анализа сборной конструкции ротора. Алгоритм решения задачи построен на основе модифицированного вариационно-энергетического подхода, реализуемого относительно невязки поля перемещений на сопрягаемых поверхностях. Контактное взаимодействие КЭ моделей деталей моделируется посредством специально разработанного двух узлового конечного элемента. Алгоритм работы этого КЭ построен на основе применения штрафной жесткости для его узлов, принадлежащих одновременно и сеткам контактирующих поверхностях деталей. Величина этой жесткости адаптирована относительно условия непроникновения деформируемых тел друг в друга, и определяемого условиями их сопряжения. Анализ точности и сходимости численного решения проводился на основе аналитического решения для задачи расчета упругой центральной посадки втулки на вал с натягом.
В четвертой главе приводится разработка математической модели упруго-пластического поведения деталей турбомашин, с применением пошагового
принципа в итерационном методе Ньютона-Рафсона для решения физически нелинейной задачи. Приводится также алгоритм вычисления упруго-пластического НДС сборных роторных конструкций. Анализ точности и сходимости численного решения упруго-пластической задачи построен относительно экспериментально-аналитических данных, представленных в работе [78].
В пятой главе приводится разработка математической модели контактной теплопроводности на основе задачи определения стационарного поля температур. Приведена разработка реализации контактной теплопроводности между сопрягаемыми деталями посредством специального конечного элемента контактной теплопроводности. Алгоритм работы этого КЭ построен на основе использования билинейной функции, аппроксимирующей известные эмпирические зависимости [293] контактного термического сопротивления от величины контактных сил на сопрягаемых поверхностях. Анализ точности и сходимости численного решения проведен относительно аналитических решений, как для задачи определения стационарного поля температур, так и для задачи с использованием известных решений контактной теплопроводности.
В шестой главе приводится разработка математической модели анализа вынужденных колебаний сборных роторов. Решение динамического уравнения построено с использованием прямого численного интегрирования методом Ньюмарка. Приведено также описание алгоритма решения представленной задачи. Достоверность численного решения МКЭ проверена на основе аналитического решения для определения АЧХ монолитного ротора. Проверка достоверности для сборного ротора проведена на остове сравнения с решением для его монолитного аналога, а также на основе дополнительной проверки достоверности относительно экспериментальных данных, представленных в главе 7.
В седьмой главе представлен численный эксперимент по использованию методологии анализа сборных роторных систем на состояние конструктивной дисфункции. Исследование проводится, как для ротора принципиальной конструкции, так и для двух реальных конструкций сборных роторов авиационных
ГТД. Отличие этих двух роторов состоит только по конструктивному решению
для соединения рабочего диска турбины с валом. В главе последовательно приводится описание общего алгоритм методологии численного исследования, построение КЭ моделей сборных роторов, с дальнейшим для них последовательным решением физических задач: - контактной теплопроводности, для получения поля рабочих температур; - расчета контактного упруго-пластического НДС, для получения величин изменения условий сопряжения; - расчета динамических параметров сборных роторов. Последняя задача решается с использованием сравнения физических состояний сборных роторов с их монолитными аналогами. На основе представленных результатов численного исследования проводится оценка величин интервалов изменения динамических параметров, а соответственно, приводится доказательство потенциальной возможности появления в сборном роторе состояния конструктивной дисфункции.
Заключение содержит общую характеристику и основные выводы по результатам диссертационной работы.
Приложение содержит формы колебаний сборных роторов реальной конструкции, соответствующие первой и второй критическим скоростям вращения, а также Акты внедрения результатов диссертационной работы на предприятиях двигателестроительной отрасли: НТЦ им. А. Люльки ОАО НПО "Сатурн", г. Москва и ГНКЦ ОАО НПО "Энергомаш", г. Химки, а также сертификаты международной корпорации MSC.Software за лучшие научные доклады на Шестой (2003 г.) и Седьмой (2004 г.) Российской конференции: "Комплексные технологии виртуального моделирования и инженерного анализа" (г. Москва).
Автор приносит благодарность научному консультанту, заведующему кафедрой конструкции и проектирования двигателей МАИ, профессору, д.т.н. Равиковичу Юрию Александровичу и другим сотрудникам этой кафедры, оказавшим всестороннюю поддержку проводимым научным исследованиям. Автор также выражает благодарность своим ученикам (аспирантам и студентам) Вы-сотскому Аркадию Владимировичу, Милову Александру Евгеньевичу, Сухини-ну Александру Валерьевичу и Унагаеву Евгению Ивановичу, оказавшим неоценимую помощь в работе.
Обоснование научной проблемы применения контактной задачи для анализа сборных роторов турбомашин
Удовлетворение требованию модульности и другим принципам проектирования современных конструкций высоконагруженных турбомашин, в особенности авиационных ГТД, не представляется возможным без внесения в их роторную часть технологического разъема, осуществляемого между такими ответственными деталями как рабочий диск и вал. Представленный конструктивно-технологический фактор решает проблему компоновки турбомашины, однако его использование изменяет физические характеристики самого сборного ротора по отношению к его монолитному аналогу. В особенности это относится к такой важной характеристике ротора как его жесткость (податливость) деформирования, которая в сборном варианте его конструкции не только изначально отличается от монолитного аналога, но и имеет устойчивую тенденцию к более быстрому изменению (уменьшению) в процессе работы роторной системы [77, 151, 214, 246 и др.]. В получении достаточно точной оценки этих характеристик и заключается вся сложность анализа работоспособности и долговечности сборных конструкций роторов.
Учитывая современные тенденции в проектировании инженерных объектов, связанные с разработкой их виртуальных физических прототипов, это научное направление допустимо считать наиболее целесообразным и для изучения работоспособности сборных роторов. В особенности это необходимо для ранних (концептуальных) этапов проектирования, а также для этапов комплексной доводки изделия. В рассматриваемой работе сделана попытка выхода на решение представленной проблемы, посредством разработки методологии анализа сборных роторов на основе контактной задачи механики деформированного тела, а также связанных с ней физических задач.
Математическое моделирование ротора с внесением в его конструкцию места соединения рабочего диска с валом определяется дополнительным появлением в нем, как минимум, трех конструктивно-силовых и температурных факторов: - усилением числа и величины концентраций поля напряжений в деталях и соответственно, образованием в них дополнительных зон пластичности; - контактным теплообменом, порождающим местный перегрев деталей; - изменяющимися характеристиками жесткости (податливости) соединения, влияющими на динамические характеристики ротора. Каждый из представленных факторов напрямую зависит от конструктивной компоновки узла соединения рабочего диска и вала, а также условий сопряжения между ними.
Естественно, что для развития современных высоконагруженных турбомашин не обойтись без изучения влияния этих факторов. Одним из известных способов математического моделирования сборных роторов турбомашин является применение подходов построенных с применением контактной задачи конструкционного типа, в которой деформации сопрягаемых тел малы, а поверхности контакта заранее известны. Данная постановка задачи определяет собой переход к концептуально другому более сложному моделированию роторных систем.
Для реализации этого моделирования необходимо обозначить минимальный комплекс требований, предъявляемых к самой контактной задаче, при анализе сборных роторов. Иначе говоря, необходимо определится с представленной ранее, концепцией моделирования жесткости "сборной конструкции" ротора. Для чего, требуется классифицировать в нем конструктивные элементы, моделирование которых требует применения контактной задачи. Тем самым она может быть адаптирована относительно реального процесса проектирования.
Классификация элементов и требований к контактной задаче конструкционного типа должна быть построена относительно функционального назначения тех контактных связей, которые используются в сборном роторе. То есть, необходимо обозначить эти связи конкретными названиями, относительно конструктивно-силовых факторов, на которые они работают. На рисунке 1.1 пред ставлена обобщенная схема комплекса контактных связей и конструктивно-силовых факторов имеющих место в сборной конструкции ротора. Здесь через Sj и Sj+i - обозначены фрагменты двух деформируемых тел (деталей) сборного ротора, состоящего из п деталей (где: і =1, п).
Относительно рисунка 1.1, в таблице 1.1 приведено обозначение некоторого минимального количества типов контактных связей, необходимых для работы сборного ротора.
Представленный на примере этих фрагментов тел (рис. 1.1) комплекс контактных связей и конструктивно силовых факторов носит, с математической точки зрения, "неголономный" характер, который в сборном роторе допустимо обозначить рядом технических обстоятельств (параметров) контактной задачи конструкционного типа:
1. Сборная конструкция ротора построена с использованием сопряжения нескольких деформируемых тел, которые могут иметь геометрические параметры, как одинаковой размерности, так и отличающиеся на порядок, по отношению друг к другу;
2. Сопряжение тел осуществляется по числу пар контактных поверхностей больше одной, и эти поверхностные пары являются независимыми по отношению друг к другу. В понятие "независимые", кроме отсутствия единого континуума, входит также и то, что вектора контактных сил в этих парах, как и вектора перемещений, ориентированы в различных координатно-геометрических направлениях; а также то, что эти вектора могут отличаться по знаку;
3. Различные типы условий сопряжения тел (посадки: с натягом, переходные, с зазором; контактные усилия: стяжки, затяжки на резьбе, передачи момента вращения; условия работы контактных уплотнений и др.), которые имеют место в конструкции сборного ротора одновременно и на независимых сопрягаемых поверхностях. В исходном состоянии и в процессе работы сборной конструкции на каждой из контактирующих поверхностей условия сопряжения могут быть переменными;
Разработка модели объемного напряженно-деформированного состояния деталей турбомашин
Вычисление напряжений {&}, проводимое после решения глобальной системы уравнений, осуществляется по известным узловым значениям поля перемещений и деформаций конечного элемента. Для представления результатов расчета достаточно вычислить напряжения в узлах и в центре конечного элемента.
Вектор напряжений в узле конечного элемента, на основании выражения (2.22), с использованием несовместных функций формы, записывается в виде: где матрица деформаций [В\ и вектор начальных температурных деформаций \гго} составляются для интересующего узла конечного элемента; вектор неузловых перемещений 8 определяется из выражения (2.42).
Как и при получении матрицы жесткости конечного элемента, здесь эффективно используется компактное представление выражений (2.20) и (2.23), то есть, работа ведется только с ненулевыми элементами матриц [В\ и [Ь\. Вычисленные узловые значения напряжений соседствующих элементов колеблются относительно истинного. Поэтому, для сглаживания разрывов напряжений при их представлении, используется усреднение. При этом вектор напряжений в рассматриваемом узле суммируется из вкладов конечных элементов, приходящих в узел, в соответствии с их весом. Этот способ дает гладкую кривую напряжений, описывающую с высокой степенью точности их распределение во всей области определения, за исключением областей с высоким градиентом напряжений. В подобных случаях для получения необходимой точности по напряжениям используется локальное сгущение сетки конечных элементов.
Представленные ниже типы КЭ являются вспомогательными и предна значены для экономии вычислительных ресурсов ЭВМ. В частности они ис ! пользуются для построения КЭ моделей расчета АЧХ сборного ротора (Дина мические КЭ модели), представленные ниже, в главах 6 и 7.
Принципиально, моделирование исследуемого в работе объекта, как уже было сказано, эффективно провести на основе использования только двух ти пов КЭ. Это изопараметрический гексаэдр, предназначенный для построения КЭ моделей конструкций деталей, и контактный КЭ, предназначенный для мо делирования условий сопряжения между ними в сборной конструкции ротора. Однако, учитывая тот факт, что каждый блок алгоритма, представленной в ра боте методологии, имеет нелинейный характер, провести полноценное иссле дование с такой концепцией моделирования не представляется возможным. Это і утверждение справедливо исходя только из потребностей временных затрат ЭВМ, не учитывая и другие их ресурсные возможности, необходимые для интерпретации и анализа рассматриваемого объекта исследования.
Для решения этой проблемы и были разработаны ниже представленные типы КЭ. Основные зависимости и алгоритм вычислений по ним известны [17, 49, 95], поэтому они будут представлены кратко. Особенностью их применения в рассматриваемой задаче является использование глобальной системы полярно-цилиндрической координат. Балочный конечный элемент Балочные конечные элементы используются в настоящей работе для моделирования цилиндрической части валов роторов турбомашин в динамическом блоке задач.
Балочный конечный элемент при одноосном изгибе. На рисунке 2.7 приведен балочный конечный элемент для одноосного изгиба, где: х\ /, z - оси локальной системы координат; w\ , w2 - узловые прогибы; ву\, вУ2 - узловые углы поворота сечений; 1,2- внутренняя нумерация узлов балочного элемента.
Согласно теории изгиба балок, не учитывающей поперечные сдвиговые деформации, в узловых точках необходимо определять не только поперечные смещения (м?\ и М?2% НО И угловые повороты (6У\ и вУ2Г). Последние равны значению тангенса угла наклона касательной к изогнутой оси балки. То есть имеем:
Для представления старшей (второй) производной прогиба балки с сохранением аргумента функции, для аппроксимации поля перемещений, воспользуемся кубическим полиномом, содержащим четыре члена уравнения:
Разработка модели контактного конечного элемента сопряжения конструкций (КЭСК) деталей в сборном роторе
Кроме того, для работы матрицы косинусов и вектора ориентации контактного элемента, необходимо задаться его длиной, которая, в условиях работы сопряжения конструкции, не влияет на изменение перемещений узлов КЭСК. Обычно значение длины КЭСК задается на порядок меньшим параметров шероховатости сопрягаемых поверхностей или значения их параметров поля допуска на размер.
После минимизации функционала (2.1), с учетом соотношений 3.1, 3.5, а также 3.6 и 3.7, получаем известную формулу глобальной системы алгебраических уравнений МКЭ, используемую в данном случае для задачи расчета НДС сборной конструкции ротора: [K]{S} = {F], (3.8) где: {F} И {S} - глобальные вектора-столбцы сил и неизвестных перемещений.
Глобальная матрица жесткости [К\, представленная в выражении (3.8), имеет симметричную блочно-диагональную структуру, где каждый блок матрицы содержит в себе характеристику жесткости деформируемого тела или детали входящей в сборную конструкцию ротора.
Для моделирования контактного взаимодействия деформируемых тел, входящих в сборную конструкцию, блоки матрицы [к] соединяются между собой по определенной схеме относительно глобальных номеров узлов КЭСК. Эти узлы принадлежат одновременно и КЭ моделям тел сборной конструкции на сопрягаемых поверхностях. Подобная схема соединения блоков подробно рассмотрена в работе [219], где она используется относительно контактирующих граней конечных элементов, аппроксимирующих деформируемые тела, с применением дополнительной процедуры численного интегрирования по ним. Используемый в настоящей работе подход упрощен. С его использованием схема соединения блоков глобальной матрицы сохраняется. Однако, вместо процедуры поверхностного интегрирования, используется определенный принцип работы метода штрафных функций. При его использовании преобразование глобальной матрицы жесткости осуществляется напрямую, относительно величины невязки узлов, соединяемых посредством КЭСК.
Дополнительно к модифицированию глобальной матрицы жесткости, относительно тех же номеров узлов контактных элементов, осуществляется соответствующее модифицирование и вектора-столбца сил -{F}, рассматриваемой глобальной системы алгебраических уравнений. Модифицирование проводится с учетом образующихся в КЭСК внутренних контактных узловых сил, возникающих вследствие контактного взаимодействия деталей в сборной конструкции. Общая схема модифицирования глобальной системы алгебраических уравнений, при использовании представленного подхода в контактной задаче конструкционного типа, имеет вид:
Знаки "плюс" и "минус" в выражении (3.9) означают аддитивность (противоположность направлений) векторов контактных сил в КЭСК. Многоточиями обозначены члены блочно-диагональной матрицы жесткости - [к], набор блоков которой представляет собой совокупность деталей сборной конструкции ротора, в которой действуют внешние силы, определяемые вектором-столбцом- {F}.
Ниже будет показано, что представленная схема модифицирования матриц, обозначенная как "узел в узел", дает дополнительные преимущества при реализации механизма работы КЭСК. Эти преимущества заключаются в эффективном использовании для него большой (штрафной) или маленькой жесткости; а также в самой процедуре подбора необходимой величины штрафной жесткости, представленной в разделе 3.1.3 настоящей работы. Преимуществом также является вычисление в контактном элементе сил трения.
Энергетически члены системы уравнений (3.8), модифицирующие матрицу [к] и вектор-столбец внешних сил - {F} В выражении (3.9), относительно контактной задачи, ничего в глобальную систему равновесия деформируемой системы не привносят. Это доказывается, прежде всего, знаками "+" и "-" в используемых выражениях (3.9). Поэтому их допустимо определить как величины (функции) штрафной жесткости. Цель использования этих функций: - получение в деформируемых телах сборной конструкции величины внутренней энергии их контактного взаимодействия, а также ее изменения под воздействием работы внешних сил. Достижение этой цели основывается, в полной мере, на выполнении двух известных условий [297]:
1) Обеспечением граничного условия "непроникновения" тел друг в друга в сборной конструкции, то есть равенства нормальных составляющих вектора перемещений для пар узлов, находящихся в контакте и образующих КЭСК.
2) Обеспечением равенства величин эквивалентных узловых сил от контактного давления (нормального и касательного) между сопрягаемыми узлами.
Для реализации механизма выполнения этих условий, в представленном типе контактного КЭ вводится дополнительный параметр, который называется "состоянием" КЭСК. Физическая сущность этого параметра определяется двумя типами условий сопряжения контактных поверхностей: зазором или натягом (касанием), которые аппроксимируются, соответственно, двумя ветвями билинейной функции, представленной ниже (рис. 3.4а) и определяющей эти состояния:
Разработка алгоритма решения задачи расчета упруго-пластического НДС сборной конструкции ротора
Отдельное вынимание, для представленного в работе решения контактной задачи, необходимо уделить подбору величины штрафной жесткости в КЭСК. В ряде работ [27, 219 и др.] эту величину предлагается брать в интервале: от одного порядка с жесткостью сопрягаемых деформируемых тел, до некоторой более высокой степени ее величины.
Неопределенность в этом вопросе, оставленная без внимания при моделировании рассматриваемых сборных конструкций роторов, приводит, в ряде случаев к искажению картины контактного взаимодействия деталей. Это происходит, главным образом, по причине неодинаковых характеристик жесткости на любой из контактирующих поверхностей деталей. Например, они в ней различаются для узлов КЭ сетки, расположенных в середине контактной поверхности и на ее ребре. Наименьшие значения жесткости имеет место в узлах КЭ сетки расположенных в углах контактной поверхности. Решение этой проблемы, являющейся особенностью реализации представленного подхода в контактной задаче, осуществляется в данной работе через создание и программную реализацию методики вычисления оптимальной величины штрафной жесткости. Этот процесс осуществляется для каждого контактного конечного элемента, используемого в условиях деформирования сборной конструкции ротора.
Известно, что любая контактная задача, решаемая без введения штрафных функций [52, 179, 281], независимо от способа ее решения, эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Это уравнение относится к категории некорректно поставленных задач математической физики. В связи с чем, при решении контактных задач, может возникнуть неустойчивость и, в частности, по выше представленным причинам (разд. 1.2). Введение предлагаемых штрафных величин (функций) делает контактную задачу эквивалентной интегральному уравнению Фредгольма второго рода, решение которого устойчиво. Однако, завышение штрафных величин ведет к неустойчивости при реализации задачи на ЭВМ. Из этого следует, что величина, используемая как штрафная, должна быть такой, чтобы ее введение обеспечивало устойчивость решения контактной задачи и одновременно не искажало получаемые результаты.
В работе [27], где идея применения контактных вставок повышенной жесткости представлена впервые, принцип подбора построен относительно вариации модуля упругости, используемого далее только для вычисления штрафной жесткости. Эта концепция подбора физически вполне оправдана, однако ее применение на практике не отвечает требованиям точности вычислений, с точки зрения координатно-геометрических параметров жесткости в узлах КЭ сетки деформируемых контактной поверхности деталей.
В настоящей работе используется метод прямого подбора штрафной жесткости, относительно узловых значений жесткостей КЭ сетки сопрягаемых поверхностей деталей. Принцип ее работы достаточно показать на простом примере расчета контактирующих стержней (рис. 3.7). Решение задачи осуществляется непосредственно в перемещениях. Представленные стержни находятся в контакте в осевом направлении, в котором и необходимо установить оптимальную величину контактной (штрафной) жесткости между ними.
Стержни имеют консольное закрепление, где в узловых точках деформируемой системы реализуется только одна степень свободы - перемещение вдоль оси X. Модуль упругости материала: 2.1 -К)" Па. Контактный элемент (КЭСК) соединяет узлы 2 и 3, жесткости которых равны жесткостям в осевом направлении стержней 1 и 2 (К, и К2) соответственно. Начальный натяг между стержнями выбирается произвольно и принимается равным, например 0.1 мм.
Точное решение для рассматриваемой стержневой системы определяется на основе известной формулы сопротивления материалов. То есть, имеем: К - = 2.1.107Н/м К2 = Е А2 =0.933- 107Н/м (3.25)
Заметим, что порядок осевой жесткости рассматриваемых стержней оди наковый, он равен 10 . Установим относительно этого порядка необходимое и достаточное значение осевой жесткости КЭСК: - Кп. Из условий непроникновения и равенства контактных сил [297] имеем: и2 +и3 -0.1 мм Г2= Г,, = U 2 А у — UJ К2 откуда находим точное значение контактной узловой силы между узлами 2 и 3. а также значения их перемещений, где, например, для узла 3, имеем: 1/,=0./— — = 0.06924 мм F3=u3-K2=645.99H (3.27) Записывая выражения (3.26) и (3.27) в матричном виде, для каждого (любого) из деформируемых тел, находящихся в контакте, имеем: {u} = [KDTY{F}, (3.28) где: {и}, [KDT] - вектор перемещений и матрица жесткости деформируемого тела; {F} - вектор сил, вызванных, в данном случае, контактным взаимодействием деформируемых тел.
