Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ЭТАПА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ
1. Проблема использования заключительного этапа решения задачи в процессе обучения в научно-методической литературе по математике 11
2. Функции заключительного этапа решения задачи 30
3. Структура заключительного этапа решения задачи 48
4. Формирование творческой деятельности учащихся при работе с задачей на заключительном этапе ее решения 68
Выводы по главе I 85
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РАБОТЕ С ПЛАНИМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕЙ НА ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОМ ЭТАПЕ ЕЕ РЕШЕНИЯ
1. Методика формирования действий, адекватных заключительному этапу решения задачи 87
2. Типология задач, раскрывающих возможности заключительного этапа решения задачи 110
3. Организация и результаты экспериментальной работы 126
Выводы по главе II 143
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 144
ЛИТЕРАТУРА... 146
- Проблема использования заключительного этапа решения задачи в процессе обучения в научно-методической литературе по математике
- Функции заключительного этапа решения задачи
- Методика формирования действий, адекватных заключительному этапу решения задачи
Введение к работе
Современный этап совершенствования математического образования характеризуется направленностью процесса обучения на формирование у школьников активной позиции в приобретении глубоких и прочных знаний, умения осмысленно и творчески применять их. Значительный потенциал для этого содержит в себе геометрия.
Вместе с тем* практика обучения показывает, что качество геометрических знаний и умений, учащихся основной школы остается низким. Это объясняется и относительной сложностью этого предмета по сравнению с другими дисциплинами математического цикла, и традиционно; небольшим количеством времени, отведенным на его изучение. По-прежнему актуальным остается вопрос: как в этих условиях не только обеспечить высокий уровень знаний учащихся, но и добиться его повышения? В і связи с этим приоритетной становится проблема интенсификации обучения геометрии в основной школе, в частности, решения планиметрических задач как основного вида учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваиваются, базовые геометрические понятия и факты, формируется логическое мышление, развиваются эвристические и исследовательские умения, творческие способности.
В этом контексте особое значение; приобретает заключительный этап решения задачи, поскольку его реализация! сочетает в себе как усвоение, повторение, систематизацию и обобщение изученного, так и открытие новых знаний. Различные аспекты; использования заключительного этапа решения задачи при обучении математике широко обсуждаются в научной и методической литературе, работах известных математиков, методистов, учителей. Так, определению содержания рассматриваемого этапа посвящены труды Д. Пойа,. Е. G. Канина, Ю. М. Колягина, Ф. Ф. Нагибина, F. И. Саранцева. Отдельные приемы работы с задачей на заключительном этапе ее решения названы в статьях F. Д; Зайцевой, Д. Ф. Изаака и др. В ряде исследований содержатся некоторые способы варьирования задач (С. F. Губа,
Т. А. Иванова и др.). Построение блоков взаимосвязанных задач рассмотрено в работах. Т. М. Калинкиной;. Г. И. Саранцева и др. Методику обучения учащихся решению задач различными способами освещают А. И. Мостовой, М. Н. Наконечный, 3. А. Скопец и др. Кроме того, Г.. И;. Саранцевым предложена концепция; использования заключительного- этапа; решения задачи как средства реализации эстетического потенциала математики.
Несмотря, на разноаспектность проанализированных исследований, можно выделить общий для них тезис: заключительный этап работы с задачей является необходимой и существенной частью решения и содержит в себе значительный потенциал для обучения, развития и воспитания, учащихся, совершенствования процесса обучения математике.
Вместе с тем изучение опыта работы учителей математики показывает, что возможности заключительного этапа решения задачи используются в практике школьного обучения недостаточно. Многие учителя не обращают внимания на этот этап или считают, что с получением ответа работа с задачей закончена.
Среди причин этого явления — отсутствие в теории и методике обучения решению задач методики і работы с задачей на заключительном, этапе: ее решения, на необходимость, создания которой указывают в своих трудах Ю. М. Колягин, Е. С. Канин и Ф; Ф. Нагибин, Г. И. Саранцев.
Заключительный этап решения задачи до сих пор не рассматривался как целостное явление, не являлся предметом самостоятельного исследования, в области методики математики, в том числе и диссертационного. Материал, посвященный этой проблеме^ носит разрозненный, несистематизированный характер,, отражая в большинстве случаев отдельные ее аспекты.
Таким образом, имеется противоречие между значительным потенциалом заключительного этапа решения задачи для обучения школьников математике и неразработанностью теории и методики его использования в учебном: процессе. Необходимость разрешения этого
противоречия определяет актуальность проблемы нашего исследования.
Объектом исследования является заключительный этап решения математической задачи, а его предметом - функции и структура заключительного этапа работы с задачей, действия, адекватные этому этапу, средства их формирования.
Цель исследования состоит в разработке теории и методики работы с задачей на заключительном этапе ее решения в курсе геометрии основной школы.
В основу исследования положена гипотеза: выявление совокупности действий, адекватных заключительному этапу решения задачи,. разработка методики их формирования в процессе обучения геометрии в основной школе,, а также организация; целенаправленной и систематической работы с задачей на заключительном этапе ее решения будут положительно влиять на качество решения школьниками планиметрических задач, способствовать повышению уровня знаний и умений учащихся, что, в свою очередь, приведет к более успешному усвоению геометрии.
Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:
Проанализировать состояние проблемы использования заключительного этапа в процессе обучения математике в психолого-педагогической и научно-методической1 литературе, в практике работы учителей средней школы.
Исследовать возможности заключительного этапа решения математической задачи, сформулировать и теоретически обосновать его функции.
Выявить и исследовать структуру заключительного этапа работы с задачей и на ее основе выделить действия, составляющие названный этап.
Разработать методику работы с планиметрической задачей на заключительном этапе ее решения.
5. Экспериментально проверить целесообразность и эффективность предложенной методики и дать рекомендации для использования ее в практике обучения геометрии в основной школе.
Для решения поставленных задач. использовались следующие методы исследования: изучение психолого-педагогической, и научно-методической литературы * по проблеме диссертации;. сравнительный анализ; публикаций в -. периодических методических изданиях,, анализ учебников; учебных и методических пособий по геометрии для, средней школы; анкетирование учителей математики и учащихся основной школы; изучение и обобщение педагогического опыта; педагогический эксперимент, позволивший изучить состояние: проблемы исследования в практике обучения геометрии в основной школе и апробировать предложенную. методику обучения работе с задачей на заключительном этапе ее решения; анализ и- обработка результатов эксперимента с помощью статистических методов.
Методологической основой исследования послужили основные положения теории системного анализа, деятельностного подхода, методология методики обучения математике, основные психолого-педагогические и методические положения, теории использования задач и обучения их решению в процессе математической подготовки учащихся.
Исследование осуществлялось поэтапно.
На первом- этапе (1998-2000' гг.): проводилось изучение, и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме использования заключительного этапа решения задачи в процессе обучения математике с целью выявления возможностей этого этапа w разработки методики их реализации.
На втором: этапе (2000-2002 гг.) разрабатывались теоретические основы, использования заключительного этапа:решения задачи в;процессе обучения: выделялись его содержание и структура,, определялись и обосновывались функции и методика их реализации, разрабатывались методические средства и требования к; организации заключительного этапа
работы с математической задачей; проводился поисковый эксперимент.
В ходе третьего і этапа (2002-2004 гг.) проводился обучающий эксперимент, нацеленный на проверку эффективности изложенной в диссертации методики обучения учащихся основной школы работе с планиметрической задачей на заключительном этапе ее решения, и исследовались его результаты.
Научная новизна выполненного исследования состоит в рассмотрении заключительного этапа- работы с математической задачей не только в контексте "взгляда назад" (Д. Пойа), но и >. как средства математического развития и і. воспитания школьников, формирования у них методов научного познания, приобщения і к творческой деятельности. Выявлен ряд специфических функций заключительного этапа, реализация которых при обучении математике положительно влияет на качество решения задач и учебный процесс в целом. Определена его структура, что позволило выделить определенный набор действий, составляющих умение работать с задачей на- заключительном этапе ее решения. Для формирования этих действий в процессе изучения геометрии основной школы предложена специальная методика.
Теоретическая значимость проведенного исследования заключается в следующем:;
исследована роль заключительного этапа решения задачи в процессе обучения математике, выявлены и обоснованы: его функции (обучающие; развивающие, организационные, воспитательные);
определена: структура заключительного этапа: решения задачи, включающая в себя две стадии — рефлексивную и преобразующую;
выделены действия, адекватные деятельности по реализации; заключительного этапа решения задачи;
разработана методика формирования выделенных действий при обучении геометрии в основной школе.
Результаты исследования расширяют представление о роли'
геометрических задач в развитии и воспитании учащихся, путях совершенствования* методики обучения решению геометрических задач в основной школе.
Практическая значимость результатов исследования определяется тем, что разработанная методика работы с задачей на заключительном этапе ее решения в курсе геометрии основной, школы может быть использована учителями математики в школьной практике в целях повышения эффективности обучения решению задач, авторами методических пособий для учащихся и учителей, а также послужить основой спецкурса для студентов педагогических вузов.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Одним: из важнейших путей совершенствования процесса обучения математике в основной школе является целенаправленное систематическое обучение школьников решению геометрических задач с учетом; реализации заключительного этапа работы с ними. Эффективность данного направления определяется следующими функциями заключительного этапа: повторения,. обобщения; систематизации, открытия новых знаний и умений; реализации межпредметных и внутрипредметных связей; приобщения к творческой деятельности;: дифференциации; рефлексии, а также эвристической, исследовательской, воспитательной функциями..
2.. При работе с задачей на заключительном: этапе ее решения деятельность учащихся проходит две стадии: рефлексивную и преобразующую. На рефлексивной стадии? происходит возвращение: к уже реализованным этапам решения задачи и их: осмысление, на преобразующей стадии деятельность ученика направлена на дальнейшее развитие задачи. Каждая стадия предполагает наличие определенных составляющих работы с задачей на заключительном этапе ее решения. Так, рефлексивная включает в себя: а) осмысление условия задачи; б) осмысление поиска и хода решения; в) осмысление результата: решения задачи. Преобразующую стадию составляют: а) формулирование новых задач на основе частичного изменения
условия; б) формулирование и решение новых задач на основе применения методов познания; в) поиск новых способов: решения задачи. Каждая из, выделенных составляющих включает в себя блок действий,, адекватных заключительному этапу работы с математической, задачей; Обучение школьников этим действиям является важной задачей учителя с точки зрения повышения качества знаний, результативности процесса решения задач.
3; Методика обучения школьников работе с планиметрической задачей на заключительном этапе ее- решения предусматривает разработку и использование специальной системы упражнений:, а) ориентирующих на выделение и формирование ^ действий, адекватных составляющим заключительного этапа;: б) использующих сформированные действия для реализации заключительного этапа их решения:
В связи с этим! целесообразно выделить, среди упражнений:: 1) упражнения^ содержащие в своей: формулировке указания, побуждающие учащихся выполнить те или иные действия, адекватные заключительному этапу; 2) задачи,, заключающие в» себе определенный потенциал для* прохождения учащимися рефлексивной; и преобразующей стадий заключительного этапа их решения:
Достоверность и обоснованность проведенного исследования, его результатов и выводов обусловлены внутренней согласованностью выдвигаемых теоретических положений, их опорой і на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики обучения математике, совокупностью разнообразных методов исследования, а также результатами количественной' и качественной обработки полученных экспериментальных данных.
Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в ходе преподавательской работы автора со школьниками: Открытого лицея ВГТТУ (ныне ВятГГУ), на практических занятиях по методике преподавания математики и в период педагогической практики со студентами математического факультета ВятПТУ, в практике учителей математики
средних школ № 27, 48, 70 г. Кирова, а также в виде докладов и выступлений на научно-методическом семинаре кафедры математического анализа и методики преподавания математики Вятского государственного гуманитарного университета (2003, 2004 гг.), на Всероссийских научных конференциях «Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе» (г. Саранск, 1998 г.), «Гуманитаризация среднего и высшего образования: методология, теория и практика» (г. Саранск, 2002 г.), «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России» (г. Киров, 2004 г.), Международной научной конференции «Проблемы математического образования и культуры» (г. Тольятти, 2003 г.), региональных научно-практических конференциях «Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики» (г. Глазов, 2003 г.), «Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и в вузе» (г. Коряжма, 2004 г.).
По теме исследования имеется 8 публикаций.
Проблема использования заключительного этапа решения задачи в процессе обучения в научно-методической литературе по математике
Одно из ведущих мест в исследованиях по методике математики традиционно занимают вопросы обучения решению математических задач. Впервые методика обучения решению задач в достаточно общем виде была. разработана Д. Пойа и представлена в известной книге «Как решать задачу» [80]. Автор выделяет в процессе, решения математической- задачи четыре, этапа: 1) понимание постановки задачи; 2) составление плана решения; 3) осуществление плана решения, 4) взгляд назад (изучение найденного решения). Следует отметить,, что в. большинстве научных работ по проблемам обучения? школьников, решению математических задач преимущество отдается разработке методики обучения поиску решениям задачи, то есть второму и третьему этапам, их детальной характеристике, оценке значимости для обучения и воспитания учащихся. Однако четвертый - заключительный этап работы с задачей обладает не меньшим потенциалом для развития школьников. Изучению возможностей заключительною этапа решения задачи посвящены работы математиков, учителей, методические исследования, анализ которых будет представлен в этом параграфе.
Исследование проблемы использования заключительного этапа работы с математической задачей в процессе обучения математике представлено в методике математики следующими направлениями:
1. СодержаниеJ заключительного этапа решения математической задачи (Е. С. Канин, ЮМ. Колягин, Ф. Ф. Нагибин, Д. Пойа, Г. И; Саранцев) [50,51,80,92].
2. Варьирование математических задач (Э;Г. Готман, С. Г. Губа, Т.А.Иванова, И. Б. Ольбинский, А. Я.Цукарь, Т. П. Черепанова, П.М.Эрдниев) [17,21,41,76, 111, 112, 118].
3. Выделение отдельных приемов работы с задачей на заключительном этапе ее решения (Г.Д.Зайцева, Т.А.Иванова, Д. Ф. Изаак, Э. А. Страчевский, Э. А. Ясиновый и др.)[30; 41,44, 46, 99,121].
4. Построение блоков взаимосвязанных задач (Г.В.Дорофеев, Т. М. Калинкина, Г. И. Саранцев, Г. В. Токмазов и др.) [27, 96, 102]!
5. Решение задачи различными способами (А. И. Мостовой, М. Н; Наконечный, А. А. Окунев, Я. П. Понарин, 3. А. Скопец и др.) [70,69,73,74,84,18].
6. Заключительный этап решения задачи как средство реализации эстетического потенциала математики (Г. Ш Саранцев) [95]. Охарактеризуем каждое из вышеперечисленных направлений.
1. Одним из первых к идее использования заключительного этапа решения; задачи в обучении решению математических задач обращается известный американский математик и педагог Д; Пойа [80].
По мнению Д.Пойа, учащиеся, анализируя результат и путь решения задачи, с одной стороны, могут сделать свои знания более прочными и глубокими, закрепить навыки, необходимые для решения задач. С другой стороны, исходя из условия, хода решения и результата решенной задачи,.-получить новые для себя знания (рассмотреть метод решения- задачи: и выделить в нем главное, попытаться найти его применение к другим задачам; попытаться сформулировать и решить новые задачи). Кроме этого, заключительный этап решения задачи способствует; усовершенствованию решения, более глубокому его осмыслению, позволяет систематизировать и углублять знания.
Заключительный этап решения задачи,, по мнению Д. Пойа, имеет четыре составляющие.
Первая из них - проверка результата решения, которая может осуществляться следующими способами:
1. Оценка правдоподобности результата с точки зрения здравого смысла.
2. Специализация задачи. 3; Обобщение задачи.
4. Проверка по размерности.
Вторая составляющая - проверка и осмысление хода решения включает в себя:
1. Изменение последовательности шагов решения или их группировку.
2. Осуществление проверки — все ли данные задачи использованы..
3. Рассмотрение решения с различных сторон и нахождение точек соприкосновения с ранее приобретенными знаниями.
4. Упрощение деталей решения. ,
5. Усовершенствование всего решения в целом.
6. Выяснение логики решения и его места в системе ранее приобретенных знаний.
Третья составляющая заключительного этапа решения задачи — поиск новых способов решения, тесно связана с первыми двумя. С одной стороны, анализ различных частей результата и хода решения задачи, рассмотрение их с различных точек зрения приводит к тому, что результат или ход решения получают новое истолкование. С другой стороны, ничто так не убеждает в истинности полученного результата, как возможность получить его другим путем.
Функции заключительного этапа решения задачи
Проведенный: анализ научно-методической литературы показал, что педагогические возможности заключительного этапа решения задачи должны стать предметом самостоятельного исследования в области методики преподавания математики. Первоочередной; на наш взгляд, является проблема определения функций, заключительного этапа решения задачи и разработка методики их реализации.
Эту мысль подтверждает и проведенное нами в ходе констатирующего эксперимента анкетирование учителей школ города Кирова. Оно показало, что лишь 34% педагогов используют заключительный этап работы с задачей: на уроках математики, но только 16% используют его систематически, а остальные 18 %-редко. Причем 28 % учителей, проводящих систематически заключительный- этап; работы с задачей, имеют солидный стаж работы в школе - свыше 20 лет.
На вопрос: «Какую роль, по-вашему, играет заключительный этап решения: задачи в процессе обучения математике?» учителя, главным образом, отвечали, что, рассматриваемый этап играет важную роль в развитии интереса к предмету, мыслительной деятельности, логического мышления учащихся. Четко обозначилась группа учителей, которые назначение заключительного этапа видят в более сознательном усвоении учащимися теоретических сведений; возможности осуществить проверку найденного решения задачи, повторить и систематизировать знания учеников, дать представление о методах решения задач; выделении опорных задач. И лишь небольшая группа учителей считает заключительный этап решения задачи средством обнаружения новых фактов, закономерностей, формулирования новых задач на основе решенной, развития творческих способностей учащихся.
Анализ материала анкет показывает, что цели использования заключительного этапа работы с задачей на уроках математики формулируются «стихийно», вне всякой системы. Учителя в основном недооценивают возможности использования заключительного этапа в процессе обучения, развития и воспитания учащихся. Многие учителя отмечают, что им не хватает определенных методических знаний и:умений, которые бы облегчили организацию работы с уже решенной задачей.
Действительно, устоявшейся точки зрения и исчерпывающей информации о возможностях заключительного этапа решения задачи и способах их реализации в методике преподавания математики в настоящее время нет. Специально на уровне самостоятельных исследований вопрос о функциях этого этапа работы с задачей не рассматривался. Отдельные его возможности- назывались, как правило, попутно, в контексте проводимых исследований. Это еще раз подчеркивает необходимость выделения функций, которые может выполнять заключительный этап работы с задачей в процессе обучения математике.
Для наиболее полного выявления и обоснования функций заключительного этапа решения задачи мы обратились, прежде всего, к рассмотрению точек зрения на эту проблему, которые бьши высказаны в методической литературе.
Такой анализ показал, что многие авторы в своих работах предлагают выделить следующие основные положения, касающиеся роли заключительного этапа решения задачи в процессе обучения математике:
1) заключительный этап решения задачи служит накоплению у учащихся опыта і решения математических задач, позволяет привести знания в стройную систему; в, процессе работы на заключительном этапе решения задачи происходит обобщение знаний учащихся по материалу темы, углубление изучаемых зависимостей, активное усвоение знаний (Д. Пойа, Е.С.Канин и Ф.Ф. Нагибин, Г.И. Саранцев, Г.Д. Зайцева и др. [50, 49, 92,30]);
2) заключительный этап решения задачи позволяет не только пополнить имеющиеся у учеников знания новыми фактами, но и научить школьников самостоятельно открывать новые для себя знания, составлять новые задачи, искать новые способы их решения (Д. Пойа, А.Я. Цукарь и др. [80, 111]);
3) заключительный этап решения задачи является эффективным средством математического развития учащихся, воспитания у них гибкости, инициативности, оперативности мышления и находчивости; в результате дальнейшей работы над уже решенной задачей происходит активизация мыслительной деятельности школьников, формирование познавательных способностей (Е.С.Канин и Ф.Ф. Нагибин, С.Г. Губа, Т.М; Калинкина и др. [50, 49,22, 96]);
4) заключительный этап решения задачи; можно рассматривать как одно из средств формирования элементов исследовательской деятельности: умения целенаправленно наблюдать, сравнивать и обобщать, выдвигать, доказывать или опровергать гипотезы, выделять из целого его части и из частей составлять целое (Г.И. Саранцев, Г.В. Токмазов и др. [92, 102]);
5) на заключительном; этапе решения задачи происходит развитие; творческого мышления учащихся, приобщение их к творческой деятельности (Г.И. Саранцев; Т.П; Черепанова, Э.Г. Готман, А.Ю. Эвнин [92, 17, 112, .117]):.
Кроме того, как утверждает И;А. Кушнир, задачи, допускающие дальнейшее развитие (позволяющие учащимся самостоятельно- составлять новые задачи, находить обобщения и связи фигур, различные: способы решения), можно использовать на традиционных уроках повторения;[59].
Методика формирования действий, адекватных заключительному этапу решения задачи
Напомним, что успех в осуществлении заключительного этапа решения задачи во многом определяется умением анализировать условие, ход и результат решения, задачи с точки зрения» их дальнейшего использования и развития, соотносить, решенную задачу с имеющимися; теоретическими знаниями и ранее рассмотренными:задачами, вычленять отдельные элементы задачи, комбинировать их, включать в новые связи, формулировать и решать на основе данной новые задачи, применяя при. этом аналогию, обобщение,, конкретизацию и другие методы познания. Поэтому формирование этих умений должно быть особой заботой учителя математики и осуществляться,. им целенаправленно и систематически. В методической литературе указывается на целесообразность формирования этих умений. Однако авторы ограничиваются лишь иллюстрациями действий на конкретных примерах, часто взятых не из школьного курса математики. Это обусловливает необходимость разработки методики формирования умения работать с задачей на заключительном этапе ее решения.
Основным средством обучения: школьников работе с математической задачей на заключительном5 этапе являются специальные упражнения, в процессе выполнения которых происходит формирование действий, адекватных рассматриваемому этапу решения задачи.
Особенность таких упражнений заключается в том, что в их формулировке кроме привычного задания «Решите задачу», «Найдите», «Докажите» и т. п. должна содержаться установка на дальнейшую работу, то есть указание выполнить то или иное действие, адекватное деятельности по реализации заключительного этапа решения задачи.
Из сказанного ясно, что содержание таких упражнений может полностью или частично совпадать с содержанием задач учебника. Отличие состоит в способе подачи задания и, соответственно, методике работы с ним. Важно показать учителю, как задача из учебника может быть использована в качестве упражнения = на овладение действиями, составляющими заключительный этап работы с задачей.
Ниже освещается методика организации таких упражнений. Приведенные в данном параграфе упражнения являются некоторой модификацией (с учетом выдвинутого выше положения) задач из. школьных учебников [2, 3, 10, 79, 83, 113, 114], сборников задач для учащихся [38,.82], статей специалистов в области методики математики, посвященных обучению решению задач в средней школе [23, 45, 49, 54, 60, 73, 74, 84, 94, 102, 109, 110], поэтому они не только органически вписываются в систему упражнений учебников, но после соответствующей методической подготовки могут быть составлены самими учителями.
Раскроем подробно сформулированные выше положения.
Как: мы уже отмечали, реализация: заключительного этапа решения задачи (деятельност ь) предполагает владение следующими блоками: д е й с т в и й :
1. Осмысление условия задачи.
2. Осмысление поиска и хода решения задачи.
3. Осмысление результата решения задачи.
. 4. Формулирование новых задач на основе частичного изменения условия решенной задачи. 5. Выдвижение, доказательство или опровержение гипотез,, формулирование и решение новых задач на основе применения методов познания.
6. Поиск новых способов решения задачи.
Следовательно, обучение заключительному этапу невозможно без формирования действий, адекватных ему. Номенклатура выделенных умений позволяет систематизировать упражнения. Чтобы обучение заключительному этапу решения задачи было эффективным,, необходимо предусмотреть наличие на уроках математики следующих упражнений: на осмысление условия задачи; на анализ, поиска и хода решения задачи; на осмысление результата решенной задачи; на частичное изменение условия задачи; на применение методов познания; на поиск новых способов решения.
Приведем характеристику и примеры упражнений каждой группы.
Упражнения на осмысление условия задачи.
Цель, выполнения упражнений; этого, вида — научить, школьников использовать условие задачи для ее дальнейшего развития. Реализация этой цели предполагает формирование видения различных связей между объектами; данными; в условии задачи, между данными и требованием задачи, умения извлекать информацию из условия и заключения задачи. Для этого необходимо предусмотреть упражнения, в процессе выполнения которых учащиеся осуществляли бы выделение структуры задачи; выведение следствий из данных задачи; переформулировку требования;: построение утверждения, обратного данному, противоположного, противоположного обратному; подбирали соответствующее заключение (данные) к данному условию (требованию); анализировали, условие задачи с точки зрения неоднозначности трактовки, избытка или недостатка данных, возможностей установления новых или другого рода связей между объектами задачи.
