Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Элементы логики в курсе математики средней школы: состояние вопроса 14
1. Математика и логическая грамотность 14
2. Логический компонент школьных учебников по математике... 21
3. Анализ существующих методик по формированию и развитию у школьников общелогических и логических умений 31
4. Определение фактического уровня логической грамотности школьников 36
Выводы по главе 1 56
Глава 2. Изучение элементов математической логики на уроках математики в основной школе 58
1. Понятие «педагогическая технология» 58
2. Бифункциональные задачи как метод включения элементов математической логики в курс математики 60
3. Бифункциональные задачи: определение, типология, функции, метод составления 67
4. Характеристика технологии изучения элементов математической логики на уроках математики в основной школе 73
5. Формирование у школьников мотивации изучения математической логики 81
6. Раннее изучение элементов математической логики 90
7. Формирование у учащихся 7-9 классов на уроках математики логических умений 102
8. Изучение математической логики и критерии технологичности 109
Выводы по главе 2 113
Глава 3. Экспериментальная проверка эффективности технологии изучения элементов математической логики 117
1. Поисковый эксперимент 117
2. Формирующий эксперимент 121
Выводы по главе 3 153
Заключение 155
Введение к работе
Перемены, произошедшие в сфере образования, а именно лично-стно-ориентированный подход к образованию, его гуманизация и гуманитаризация, уровневая и профильная дифференциация, привели к смещению акцентов с информационной функции обучения на развивающую. Сегодня в процессе обучения учитель должен не только передать определенную сумму знаний, но и научить школьников самостоятельно получать новую информацию и творчески ее перерабатывать. В этой ситуации проблеме формирования у школьников логической грамотности должно быть уделено существенное внимание.
Общепризнанно, что умение рассуждать и логически мыслить чрезвычайно сильно развивается в процессе изучения математики, быть может, сильнее, чем в процессе изучения других школьных предметов. В этой ситуации на учителя математики ложится основная нагрузка по формированию у школьников логической грамотности. В свою очередь владение элементарным комплексом логических понятий и действий позволяет школьникам лучше усваивать математику.
Таким образом, на сегодняшний день актуальна проблема одновременного изучения школьного курса математики и элементов логики.
Проблеме формирования у школьников логических знаний и умений на уроках математики и на факультативных занятиях по математике посвящены работы О.В. Алексеевой [5], М.А. Артамонова [6], В.Г.Болтянского [11-12], Б.Ф. Высокого [17], М.Е. Драбкиной [31], В.Г.Ежковой [34], В.И.Игошина [49-50], Л.А. Калужнина [52], А.Н. Капиносова [53], Т.А. Кондрашенковой [58], И.Л. Никольской [83], Ф.Ф. Притуло [97], А.А. Столяра [108-113], А.И. Фетисова [119] и др.
Исторически существовало три подхода к решению проблемы формирования у школьников логической грамотности.
Введение логики в курс средней школы как отдельного учебного предмета (А.Д. Гетманова [22-23], К.Я. Хабибуллин [123]).
Включение элементов логики в содержание базовых школьных предметов, в частности математики (О.В. Алексеева [5], В.Г. Ежкова [34], Т.А. Кондрашенкова [58]).
Изучение элементов логики на факультативных курсах по математике (И.Л Никольская [83], А.А. Столяр [108 -113]).
В истории нашей школы был период (1947 - 1956 гг.), когда логика изучалась как отдельный учебный предмет в 10 (11) классе. Однако практика показала, что кратковременное обучение элементам логики, да еще и в конце школьного обучения, не дает заметного развивающего эффекта. В итоге логика как самостоятельная учебная дисциплина была исключена из школьной программы.
В 60-е гг. проблемой формирования и развития у школьников логических умений занялись М.А. Артамонов, М.Е. Драбкина, К.А. Рупасов, А.Д. Семушин, А.А. Столяр, А.И. Фетисов. Однако большинство исследователей рассматривали логику только как средство повышения эффективности процесса обучения самой математике. Вопрос же о формировании «логической грамотности, как необходимой и важнейшей составной части общей культуры мышления» был впервые поставлен лишь в 70-е гг. И.Л. Никольской. Именно она уточнила понятие «логическая грамотность» и предъявила требования к логической подготовке выпускников средних школ.
Между тем, стоит отметить еще и то, что большинство авторов предлагало изучать элементы логики и математической логики в рамках факультативных курсов. Другими словами, разработанные программы были рассчитаны только на учащихся, занимающихся математикой дополнительно.
Отметим, что предложенный И.Л Никольской подход носил обобщенный характер и требовал конкретизации. В итоге в 80-е и 90-е гг. уже применительно к конкретным ступеням обучения появляются работы Т.А. Кондрашенковой, А.Н. Капиносова, О.В. Алексеевой. Однако предложенные методики были направлены на формирование и развитие у школьников только общелогических умений и оставили в стороне группу логических умений.
В настоящее время элементы логики начинают постепенно вводиться в содержание курса математики общеобразовательной средней школы. Однако анализ современных учебно-методических комплектов по математике показал, что они, как правило, не содержат материала по логике. И только учебники для 5-6 классов авторов Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон [26-30]содержат необходимый теоретический и задачныи материал.
Таким образом, несмотря на актуальность проблемы формирования у школьников знаний и умений по логике и математической логике, в настоящее время отсутствует необходимое методическое обеспечение.
Кроме того, накопленный в данной области опыт не полностью снимает ряд противоречий, связанных с логической подготовкой школьников:
противоречие между потребностями в знании школьниками элементов математической логики и фактическим уровнем их логической грамотности;
противоречие между необходимостью создания целостной системы обучения логике в средней школе и ориентацией созданных методик на формирование и развитие отдельных групп умений, а не всей совокупности логических и общелогических умений;
противоречие между целесообразностью длительного изучения логики, а именно на протяжении всего периода обучения в школе, и ло-
кальностью предлагаемых методик, охватывающих лишь какую-то конкретную ступень обучения в школе.
Выявленные противоречия позволили сформулировать проблему исследования: какой должна быть технология обучения математике в средней школе, чтобы наряду с изучением программного материала курса математики происходило освоение элементов математической логики, и, в более широком контексте, формирование и развитие логических умений школьников.
Объектом исследования является процесс обучения математике в средней школе.
Предметом исследования является целенаправленное и систематическое формирование у школьников логических умений в рамках курса математики основной школы.
Цель исследования - разработать технологию изучения элементов математической логики в рамках курса математики основной школы.
Гипотеза исследования заключается в том, что существует принципиальная возможность такой организации процесса обучения математике, при которой наряду с формированием математических знаний и умений целенаправленно и систематически будут формироваться логические умения. Гипотеза будет подтверждена, если удастся создать такую технологию формирования логических умений, которая будет обладать следующими свойствами:
технология реализуется в рамках обычных уроков математики, без выделения специальных часов на изучение вопросов из области математической логики;
технология ориентирована на развитие совокупности логических умений, связанных с основными понятиями математической логики;
технология охватывает период обучения с 5 по 9 класс.
Говоря о принципиальной возможности организации подобного обучения, мы подразумеваем две вещи: 1) математический материал может быть трансформирован таким образом, что одновременно будет происходить формирование у школьников и математических, и логических знаний и умений; 2) интеллектуальные возможности учащихся основной школы вполне достаточны для того, чтобы ими был адекватно воспринят материал по математической логике.
В соответствии с целью исследования и выдвинутой гипотезой решались следующие задачи.
Выявить сущность базовых элементов: логические умения, общелогические умения, логическая грамотность, бифункциональные задачи.
Провести анализ состояния изучаемого вопроса в практике современной школы:
а) проанализировать стандарты образования, учебную программу
и действующие школьные учебники по математике с точки зрения логи
ческого развития учащихся;
б) определить уровень логической грамотности учащихся средней
школы.
Разработать технологию формирования и развития у школьников логических умений в процессе обучения математике, которая снимет существующие противоречия.
Провести экспериментальное исследование по проверке эффективности разработанной технологии в условиях средней школы.
Проблема, цель и задачи исследования обусловили выбор методов исследования:
- анализ тенденций, существующих в теоретических взглядах на поставленную проблему;
- анализ программы и основных действующих учебников по
математике для средней общеобразовательной школы;
тестирование школьников, наблюдение, беседы с учащимися;
информационный обмен с учителями школ и преподавателями вузов;
проведение педагогического эксперимента по проверке основных положений исследования с последующей статистической обработкой данных.
Теоретико-методологическую основу исследования составили
- Работы, связанные с проблемой формирования и развития у
школьников логической грамотности (О.В. Алексеева, М.А. Артамонов,
М.Е. Драбкина, В.Г. Ежкова, В.И. Игошин, Л.А. Калужнин,
А.Н. Капиносов, Т.А. Кондрашенкова, И.Л. Никольская, А.А. Столяр,
А.И. Фетисов и др.)
Технологический подход к обучению (В.П. Беспалько, И.П. Волков, М.В. Кларин, Д.Г. Левитес, В.М. Монахов, Т.К. Селевко, М. Чошанов и др.)
- Теория учебных задач (Ю.М. Колягин, Д. Пойа, Г.И. Саранцев,
Л.М. Фридман и др.)
- Работы по теории и методике преподавания математики
(Т.А. Иванова, А.А. Столяр, Р.С. Черкасов, А.В. Ястребов и др.)
- Работы о сущности и особенностях образовательного процесса
(П.И. Пидкасистый, И.П. Подласый, В.А. Сластенин, И.Ф.Харламов и
др.)
- Работы по мотивации учения школьников (А.К. Маркова,
Т.А. Матис, А.Б. Орлов и др.)
- Педагогические работы математиков (А.Я. Хинчин, Д. Пойа и
ДР-)
- Работы по теории педагогического эксперимента и обработке
статистических данных (В.В. Афанасьев, В.И. Загвязинский,
Е.В. Сидоренко и др.)
База исследования. Исследование проводилось в 2002 - 2005 гг. в общеобразовательных средних школах № 33 и № 52 и гимназии № 2 г. Ярославля.
Основные этапы исследования. На первом этапе (2002 - 2003 гг.) проводился теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, изучалось состояние проблемы в практике современной школы (был проведен анализ программы и основных действующих школьных учебников по математике). Были сформулированы проблема, цель и гипотеза исследования.
На втором этапе (2003-2004 гг.) была разработана технология изучения элементов математической логики в основной школе.
На третьем этапе (2004 - 2005 гг.) была осуществлена экспериментальная проверка эффективности разработанной технологии.
Достоверность результатов и обоснованность выводов обеспечиваются методологической обоснованностью исходных позиций; информационным обменом с коллегами; адекватностью теоретических и эмпирических методов исследования поставленной цели и задачам; разнообразием методов исследования, приводящих к одним и тем же результатам; экспериментальной проверкой основных положений на практике в условиях средней школы.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что
- обоснована принципиальная возможность организации система
тической и целенаправленной работы по формированию и развитию у
школьников логических умений на протяжении всего периода обучения
математике в основной школе, причем без выделения на это специальных уроков;
- разработана и апробирована технология обучения учащихся эле
ментам математической логики в рамках обычных уроков математики в
основной школе;
- разработан метод составления бифункциональных задач.
Практическая значимость исследования заключается в том, что
создано учебно-методическое пособие по математической логике для учителей и учащихся 6-9 классов средней школы;
предложена и апробирована система бифункциональных задач для учащихся 6-9 классов;
разработанная технология может быть использована учителями математики в качестве одного из способов реализации основной учебной программы.
На защиту выносятся следующие положениях
1. Технология изучения элементов математической логики в ос
новной школе, обладающая следующими свойствами:
технология реализуется в рамках обычных уроков математики, без выделения специальных часов на изучение вопросов из области математической логики;
технология ориентирована на развитие совокупности логических умений, связанных с основными понятиями математической логики;
технология охватывает период обучения с 5 по 9 класс.
Метод составления бифункциональных задач.
Система бифункциональных задач по отдельным темам основных содержательных линий школьного курса математики, полученная на основе разработанного нами метода составления бифункциональных задач.
4. Утверждение о том, что метод составления бифункциональных задач применим ко всему курсу математики за 6-9 классы, причем ко всем его основным линиям, с одной стороны, и ко всем основным логическим умениям, с другой стороны.
Апробация и внедрение результатов исследования, а) Основные теоретические и практические результаты исследования обсуждались на научных семинарах в Ярославском государственном педагогическом университете. Кроме того, результаты исследования докладывались на трех международных научных конференциях «Чтения Ушинского» (Ярославль, 2003, 2004, 2005 гг.), на двух Всероссийских конференциях - на IV школе-семинаре по проблемам фундирования профессиональной подготовки учителя математики (Ярославль, 2003 г.) и на XXIV всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Саратов, 2005 г.).
б) Результаты исследования внедрены в ряде школ г. Ярославля.
в) Основные теоретические и практические результаты исследова
ния отражены в шести публикациях, в том числе в трех статьях, двух те
зисах докладов, в одном учебно-методическом пособии.
Личный вклад автора заключается во введении понятия «бифункциональная задача» и разработке метода составления бифункциональных задач; разработке технологии изучения элементов математической логики в основной школе; организации и проведении педагогического эксперимента и обработке его результатов.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений.
Во введении обосновываются актуальность исследования, формулируются его проблема и цель, выдвигается гипотеза исследования, определяются объект, предмет, задачи и методы исследования; раскрыва-
ется научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы; формулируются положения, выносимые на защиту.
В первой главе «Элементы логики в курсе математики средней школы: состояние вопроса» представлены результаты анализа тенденций, существующих в теоретических взглядах на поставленную проблему, и результаты анализа существующих методик обучения школьников элементам логики в процессе изучения математики. Кроме того, в первой главе изложены результаты анализа состояния изучаемого вопроса в практике современной общеобразовательной школы, а именно, представлены результаты анализа учебной программы и основных действующих учебников по математике, и описано планирование, ход и результаты многоаспектного констатирующего эксперимента по определению уровня логической грамотности школьников.
Во второй главе «Изучение элементов математической логики на уроках математики в основной школе» изложены вопросы, связанные с понятием «бифункциональные задачи» (авторский термин), а именно дано определение и типология бифункциональных задач, рассмотрены их состав и функции, а также описан метод составления данных задач. Кроме того, во второй главе описана технология обучения учащихся основной школы элементам математической логики. Здесь же показано, что названная «технология» удовлетворяет критериям технологичности, систематизированным Г.К. Селевко в работе [103], и, следовательно, в действительности является педагогической технологией.
В третьей главе «Экспериментальная проверка эффективности технологии изучения элементов математической логики» описаны ход и результаты проведенных экспериментов: поискового и формирующего.
В заключении диссертации сформулированы основные результаты исследования по решению поставленных задач и намечены направления дальнейшей разработки обозначенной проблемы.
Математика и логическая грамотность
Резкое ускорение процесса обновления информации и внедрение компьютеров во многие сферы жизни общества привели к смещению акцентов с увеличения объема знаний, предназначенных для усвоения школьниками, на развитие у них логических и общелогических умений.
«Практика показывает, - отмечает Т.А. Кондрашенкова [58, с. 3], -что формирование логических умений не происходит само собой, в ходе изучения основного содержания того или иного предмета. В исследованиях советских психологов убедительно показано, что в процессе обучения логические приемы мышления целесообразно рассматривать как объекты специального усвоения». В этой ситуации основные школьные дисциплины должны иметь формирование логических и общелогических умений учащихся в качестве одной из своих целей.
Общепризнанно, что умение рассуждать и логически мыслить чрезвычайно сильно развивается в процессе изучения математики, быть может, сильнее, чем в процессе изучения других школьных дисциплин. Естественно поэтому, что на математику ложится основная нагрузка по привитию школьникам логической грамотности. Важно, что эта задача не является чужеродной для самой математики, поскольку знание основ логики, как считает В.И. Игошин, «способствует более осознанному и более глубокому изучению самой математики» [49, с. 61]. Как отмечает М.Е. Драбкина [31, с. 21], «Обучение математике должно обеспечивать отчетливое осознание не только математических, но и логических понятий курса математики. Отрыв одних от других приводит к недостаточному пониманию содержания важнейших математических предложений и их связей, затрудняет усвоение математики, замедляет логическое развитие учащихся». Таким образом, сложилось единое мнение в понимании того, что наиболее целесообразно изучение элементов логики в единстве с изучением математики.
В связи со всем вышесказанным возникают следующие вопросы.
1) С какого класса целесообразно начинать обучение элементам логики?
2) Какова длительность временного периода, в течение которого должно происходить обучение логическим понятиям и логическим действиям?
И.Л. Никольская [83] установила экспериментально, что кратковременное обучение основам логики не дает заметного развивающего эффекта. Такой эффект может быть достигнут, если обучение умениям оперировать логическими понятиями и правильно строить и анализировать суждения происходит в течение длительного времени по ходу изучения основных математических линий.
По мнению широкого круга специалистов (В.И. Игошина, А.А. Столяра и др.), «наиболее важным периодом с точки зрения логического развития школьника являются 5-6 классы» [48, с. 56]. Необходимость столь раннего введения элементов математической логики может быть обоснована и с практической точки зрения. Курс математики в общеобразовательной школе разбивается на три этапа: 1) единый курс «Математика» (1-6 классы); 2) курс математики основной школы (7-9 классы), состоящий из двух отдельных курсов «Алгебра» и «Геометрия»; 3) курс математики старшей школы (10-11 классы), также состоящий из двух курсов. Изучение математики на втором этапе вызывает у школьников определенные трудности. Одна из причин состоит в том, что в начале изучения систематических курсов алгебры и геометрии учащиеся сталкиваются как с большим количеством новых понятий, так и с необходимостью проведения доказательств, уровень строгости которых существенно выше, чем на предшествующем этапе изучения математики. В силу этого учитель математики, работающий в 5-6 классах, должен уделять существенное внимание как раз логической подготовке учащихся.
Заметим, что необходимость введения элементов логики объясняется, не только потребностями курса математики, но и потребностями других школьных дисциплин. Анализ школьных учебников по различным предметам показал, что в них содержатся задания, для выполнения которых требуется выполнить то или иное логическое действие (сделать вывод, обосновать, разбить на группы и т.д.). Следовательно, определенные логические знания и умения нужны школьникам для успешного усвоения ими различных учебных предметов. Рассматривая вопрос в более широком контексте, заметим, что знание основ логики необходимо многим людям в их профессиональной деятельности, в частности юристам, экономистам и т. д.
Понятие «педагогическая технология»
Приведем различные определения понятия «педагогическая технология». Для этого воспользуемся тем обзором подходов к определению понятия «педагогическая технология», который был предложен в работе Т.К. Селевко [103, с. 14-15].
Педагогическая технология - совокупность психолого педагогических установок, определяющих специальный набор и компо новку форм, методов, способов, приемов обучения, воспитательных средств; она и есть организационно-методический инструментарий пе дагогического процесса (Б.Т. Лихачев). Педагогическая технология - это содержательная техника реализации учебного процесса (В.П. Беспалько). Педагогическая технология - это описание процесса достижения планируемых результатов обучения (И.П. Волков). Технология обучения — это составная процессуальная часть дидактической системы (М. Чошанов). Педагогическая технология - это продуманная во всех деталях модель совместной педагогической деятельности по проектированию, организации и проведению учебного процесса с безусловным обеспечением комфортных условий для учащихся и учителя (В.М. Монахов). Педагогическая технология - это системный метод создания, применения и определения всего процесса преподавания и усвоения знаний с учетом технических и человеческих ресурсов и их взаимодействия, ставящий своей задачей оптимизацию форм образования (ЮНЕСКО). Педагогическая технология означает системную совокупность и порядок функционирования всех личностных, инструментальных и ме тодологических средств, используемых для достижения педагогических целей (М.В. Кларин). Добавим к этому списку еще два определения «педагогической технологии», данные Д.Г. Левитесом.
Педагогическая технология (технология обучения в широком смысле слова) - это упорядоченная система действий, выполнение которых в рамках учебно-воспитательного процесса приводит к гарантированному достижению педагогических целей [65, с. 156].
Технология обучения в узком смысле слова- это педагогически, валеологически и экономически обоснованный процесс достижения эталонных результатов обучения, осуществляемый на основе специального переработанного содержания, критериального контроля и поэтапного тестирования [65, с.158].
Как отмечает Г.К. Селевко, «Любая педагогическая технология должна удовлетворять некоторым основным методологическим требованиям (критериям технологичности).
Кон центуалыюсть. Каждой педагогической технологии должна быть присуща опора на определенную научную концепцию, включающую философское, психологическое, дидактическое и социально-педагогическое обоснование достижения образовательных целей.
Системность. Педагогическая технология должна обладать всеми признаками системы: логикой процесса, взаимосвязью всех его частей, целостностью.
Управляемость предполагает возможность диагностического це-леполагания, планирования, проектирования процесса обучения, поэтапной диагностики, варьирования средствами и методами с целью коррекции результатов. Эффективность. Современные педагогические технологии существуют в конкурентных условиях и должны быть эффективными по результатам и оптимальными по затратам, гарантировать достижение определенного стандарта обучения.
Воспроизводимость подразумевает возможность применения (повторения, воспроизведения) педагогической технологии в других однотипных образовательных учреждениях, другими субъектами» [103, с. 17].
Поисковый эксперимент
На ранних этапах настоящего исследования были выявлены некоторые реалии учебного процесса, которые предопределили ряд последующих действий автора.
1. Существует единое мнение о том, что элементы математической логики должны изучаться систематически и на протяжении длительного периода. Однако на логику, как на объект специального изучения, в учебной программе по математике часов не выделяется. Это привело нас к необходимости разбить материал по математической логике на небольшие дидактические единицы и включить их в уроки по математике в качестве 5-7-минутных фрагментов.
2. Априори можно предположить ряд опасностей от подобного включения элементов логики в структуру уроков математики. Действительно, «логические фрагменты» заполняют 11 - 16 % урока (плюс время на переключение с одного вида деятельности на другой), что порождает ряд вопросов. 1) Возможно ли такое включение с организационной точки зрения? 2) Если подобное включение возможно, то не потребует ли оно чрезмерных педагогических усилий? 3) Не приведет ли уменьшение количества времени, отведенного на изучение собственно самой математики, к снижению качества знаний по математике? 4) Достаточно ли отводимого времени (5-7 минут) для усвоения материала по математической логике? 5) Каким именно материалом заполнить время, отведенное на изучение логики, и какие использовать при этом методы и формы работы? В ходе экспериментального исследования данные вопросы получили свое решение.
Поисковый эксперимент проводился в общеобразовательной средней школе № 33 г. Ярославля в 2003/2004 учебном году.
Цель поискового эксперимента состояла в следующем:
- убедиться в принципиальной возможности (или невозможности) реализации разработанной нами технологии изучения элементов математической логики в рамках обычных уроков математики;
- выяснить, действительно ли бифункциональные задачи способствуют повышению эффективности образовательного процесса.
В силу того, что основные идеи и гипотезы целесообразно проверять на различном материале и в различных условиях, поисковый эксперимент был проведен в 8 классе общеобразовательного уровня. Возможность проведения поискового эксперимента среди учащихся среднего звена школы (7-9 классы), а не среди учащихся шестых классов, обосновывается результатами констатирующего эксперимента, а именно тем, что уровень логической грамотности учащихся шестых и девятых классов отличается незначительно. Таким образом, фактически приближенный друг к другу начальный уровень логической грамотности учащихся 6-9 классов и позволяет предполагать, что результаты, полученные в ходе экспериментального исследования, проведенного в 8 классе, и экспериментального исследования, проведенного в 6 классе, будут сопоставимы.
Экспериментальное обучение элементам логики происходило во II и III учебных четвертях как на уроках алгебры, так и на уроках геометрии. В этот период по алгебре изучались темы «Квадратные корни» и «Квадратные уравнения», а по геометрии - темы «Площадь», «Подобные треугольники».
Материал по математической логике в 8 классе излагался в точности так, как это предполагалось делать в 6 классе. Кроме того, при изучении логических понятий использовались все разработанные нами примеры, за исключением примеров для домашних заданий. Напомним, что примеры для домашних заданий были взяты из области математики и связаны непосредственно с той темой курса математики 6 класса, в рамках которой предполагалось обучение элементам математической логики. В силу этого составленные ранее примеры для домашних заданий были заменены примерами из курсов алгебры и геометрии 8 класса.
В ходе поискового эксперимента были использованы такие методы исследования, как наблюдение и беседа с учащимися. Оценка того, как усвоился школьниками основной материал по математической логике, происходила в ходе проверки и обсуждения домашних заданий.
