Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методические аспекты изучения элементов теории вероятностей и математической статистики: история и пути становления 11
1.1. История профилизации российской школы и опыт профильного обучения в зарубежных странах 11
1.2. Понятие профильного обучения. Актуальность его введения 24
1.3. Организация и структура профильного обучения в российской школе 27
1.4. Основные направления специализации в условиях профильного обучения 30
1.5. Основы реализации принципа региональности в обучении математике... 41
1.6. Обоснование необходимости введения теории вероятностей и математической статистики в современное школьное образование 48
Выводы по первой главе 51
Глава 2. Методика: приемы и способы изучения раздела «Элементы теории вероятностей и математической статистики» в профильных классах с включенным региональным компонентом 54
2.1. Анализ программ, учебной и научно-методической литературы по теории вероятностей и математической статистики в школьном курсе математики 55
2.2. Методологическая база исследования 64
2.3. Содержание «фундаментального» блока вопросов 69
2.4. Основные методические приемы, используемые в процессе обучения учащихся элементам теории вероятностей и математической статистики в профильных классах 72
2.5. Методика изучения темы «События» 78
2.6. Методика изучения классического определения вероятности 82
2.7. Роль комбинаторики в решении вероятностных задач 90
2.8. Методика изучения геометрического и аксиоматического определений вероятности 106
2.9. Методика изучения теорем сложения и умножения 115
2.10. Методика изучения случайных величин в профильных классах физико-математической направленности 120
2.11. Моделирование случайных процессов 134
Выводы по второй главе 151
Глава 3. Организация и проведение эксперимента 153
3.1. Констатирующий этап эксперимента 158
3.2. Формирующий этап эксперимента 165
3.3. Результаты опытно-экспериментальной работы 185
Выводы по третьей главе 187
Заключение 189
- История профилизации российской школы и опыт профильного обучения в зарубежных странах
- Анализ программ, учебной и научно-методической литературы по теории вероятностей и математической статистики в школьном курсе математики
- Методологическая база исследования
Введение к работе
Актуальность исследования. В апреле 2004 года на заседании Федерального координационного совета по общему образованию была одобрена «Концепция профильного образования на старшей ступени общего образования». В соответствии с этой концепцией предусматривается введение так называемых профильных классов, ориентированных на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, с учетом реальных потребностей рынка труда. Профилизация школы не обходит стороной и сферу математического образования. В соответствии с «Концепцией профильного образования» предполагается введение различных профилей, в том числе и естественно-математических. Преподавание математики в профильных классах значительно отличается от преподавания в общеобразовательных классах. Одной из важнейших сторон модернизации современного математического образования является включение в школьные программы элементов теории вероятностей и статистики. Чем же можно объяснить это нововведение? Прежде всего, той ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Не обладая вероятностно-статистической грамотностью, современному человеку очень трудно будет адекватно воспринять социальную, политическую, экономическую информацию. Все современные науки, такие как физика, биология, химия, а так же весь блок социально-экономических наук, построены и развиваются на вероятностно-статистической базе. И без получения этих знаний невозможно полноценное усвоение вышеперечисленных дисциплин уже в школе.
Вопрос о введении элементов статистики и теории вероятностей в содержание математического образования общеобразовательных классов (не математического профиля) решают такие авторы как Е.А. Бунимович, В.А. Булычев, СБ. Суворова, А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, В.Д. Селютин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова в своих статьях опубликованных в журнале «Математика в школе» и газете «Математика». Выпущены новые учебники для 5-9
5 классов, включающие элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей под редакцией Г. В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, СМ. Никольского и М.К. Потапова, И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича, Л.Н. Шеврина и А.Г. Гейна. Подготовлены вкладыши к учебникам по алгебре для 7-9 классов авторами А.Г. Мордкович и П.В. Семенов, М.В. Ткачева и Н.Е. Федорова.
Разработаны учебники для старших классов, в которых затрагиваются вопросы изучения теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики, например, учебник А.Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа» для 9 класса, учебник Ю.М. Колягина «Алгебра и начала анализа 11», учебник Н.Я. Виленкина, О.С. Ивашев-Мусатова и СИ. Шварцбурда «Алгебра и математический анализ 11».
Однако работы выше перечисленных авторов нацелены в основном либо на разработку содержания вероятностно-статистической линии, либо на преподавание этого раздела математики в средних классах школы. Тем самым остается открытым вопрос о методике преподавания теории вероятностей и математической статистики в профильных физико-математических классах.
В своих диссертационных исследованиях вопросами изучения комбинаторики в школе занимались И.О. Беляева в работе «Комбинаторный подход и его применение в преподавании математики в восьмилетней школе» [13] и Е.П. Виноградова в работе «Комбинаторные задачи в системе развивающего обучения четырехлетней начальной школы» [22]. В работе Беляевой рассмотрены комбинаторные задачи и методика их изучения в средних классах. Работа Виноградовой нацелена только на начальные классы. В диссертационной работе в виде научного доклада «Стохастика в школе как математика в стадии созидания и как новый элемент математического и общего образования» автор А. Плоцки также рассматривает лишь содержательную сторону вероятностно-статистической линии в средней школе, не прибегая к методике ее преподавания в профильных классах [94]. В связи со сложившимися традициями сохранения национально-культурного богатства народов России появилась потреб-
ность в разработке учебных задач национально-регионального содержания. Такие разработки на сегодняшний день отсутствуют.
Таким образом, актуальность данного диссертационного исследования заключается в трех основных положениях:
В модернизации современного математического образования, в его переходе на профильное обучение.
В недостаточности исследований, выявляющих методические особенности преподавания элементов теории вероятностей и математической статистики в профильных классах.
В потребности школьной практики в разработке методических аспектов преподавания вероятностно-статистической линии на основе регионального компонента.
В настоящее время в теории и практике обучения математике в профильных классах средней школы сложились противоречия: между социальной необходимостью обеспечения современного качества образования на основе развития познавательного и творческого потенциала школьника и ограниченными возможностями традиционной системы обучения; между необходимостью использования принципа региональное в обучении математике учащихся Республики Северная Осетия-Алания и его слабой организацией в современной национальной школе. Названные противоречия определили проблему исследования.
Основной проблемой диссертационного исследования является разработка методики обучения элементам теории вероятностей и математической статистики в профильных физико-математических классах средней школы с учетом национально-регионального компонента.
Объект исследования - процесс обучения математике учащихся профильных классов.
Предмет исследования - методика обучения учащихся профильных классов элементам теории вероятностей и математической статистики с учетом регионального компонента.
Основная цель диссертационного исследования заключается в разработке теоретически обоснованной методической системы (содержания, методов и средств) обучения элементам теории вероятностей и математической статистики в профильных классах на основе деятельностного подхода в образовании, а также разработка учебно-методического пособия «Элементы теории-вероятностей в профильных классах» с задачами регионального содержания.
Методологической основой исследования является методология теории деятельности, разработанная А.Н. Леонтьевым и адаптированная О.Б. Епишевой к изучению математики, а также современные педагогические теории активизации познавательной деятельности учащихся в условиях профильного обучения и методология использования новых информационных технологий в процессе обучения.
Гипотеза исследования заключается в предположении, что разработка и внедрение в практику обучения профильных классов новой методики изучения элементов теории вероятностей и математической статистики основанной на теории деятельностного подхода и с учетом регионального компонента повысит уровень знаний учащихся и интерес к изучению математики.
Проблема, объект, предмет, цель и гипотеза исследования обусловили ряд задач:
Обосновать и разработать содержание и методику изучения раздела «Элементы теории вероятностей и математической статистики».
Разработать возможность использования регионального компонента (связанного с национальной культурой Северной Осетии) применительно к теоретической теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики».
8 3. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики.
Основными методами исследования в работе явились:
- изучение и анализ педагогической, психологической и научно-
методической литературы по теме исследования;
изучение содержания программ и организации процесса обучения элементам теории вероятностей и математической статистики в профильных классах с учетом регионального компонента;
анкетирование и тестирование;
- организация и проведение педагогического эксперимента.
Организация исследования. Исследование проводилось в школах №3
и №8 города Моздока, в школе станицы Луковской Моздокского района РСО-Алания в восьми профильных физико-математических классах с 2003 по 2006 год и состояло из нескольких этапов.
Первый этап исследования связан с анализом программ, учебной и научно-методической литературы по теории вероятностей и математической статистике в школьном курсе математики, а также с проведением констатирующего эксперимента.
Второй этап носил поисковый характер, в рамках которого велась теоретическая разработка содержания и методики изучения элементов теории вероятностей и математической статистики в профильных классах средней школы с учетом регионального компонента.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент в рамках разработанного содержания и методики преподавания элементов теории вероятностей и математической статистики; сравнительный эксперимент для проверки эффективности внедрения полученных методических разработок.
На четвертом этапе были проанализированы и обобщены результаты проведенного исследования, сделаны выводы, выполнено оформление диссертации.
9 Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что был реализован новый подход к методике обучения учащихся элементам теории вероятностей и математической статистики в профильных классах средней школы, который заключается в разработке:
системы методических приемов для обучения старших школьников элементам теории вероятности и математической статистики, носящих творческий и воспитательный характер;
системы задач с учетом регионального компонента;
методики обучения школьников элементам теории вероятностей и математической статистики с учетом физико-математического профиля;
методики изучения основ математической статистики с использованием компьютерных технологий;
методики обучения учащихся элементам комбинаторики в единстве с теорией вероятностей и без отрыва от нее.
Практическая значимость работы заключается в следующем: разработано учебно-методическое пособие, содержащее методические рекомендации по изучаемым темам раздела «Теория вероятности и математическая статистика», система задач с учетом национально-регионального компонента.
Материалы и результаты исследования могут быть использованы в практике работы учителей математики, преподающих в профильных классах средней школы, а также студентами педагогических вузов.
Достоверность и обоснованность полученных результатов исследования опирается на идеи и методы математической науки; на результаты предшествующих исследований; на выбор методов педагогического исследования; на экспериментальную проверку разработанной методики; на методологическую базу исследования.
Апробация результатов исследования.
Основные положения диссертационного исследования были представлены автором на III Всероссийской научно-практической конференции «Пси-
10 холого-педагогические исследования в системе образования» Москва - Челябинск (2005 год), в научно-техническом журнале «Образовательные технологии» №1 (2005 год), в журнале «Педагогические технологии» №2 (2006 год), в журнале «Аспирант и соискатель» №2 (2006 год), на Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные вопросы методики преподавания математики и информатики в свете модернизации российского образования» г. Биробиджан (2006 год).
На защиту выносятся:
1) методика обучения учащихся профильных физико-математических
классов элементам теории вероятностей и математической статистики, основ
ными положениями которой являются:
- изучение данного раздела с использованием опорных сигналов;
использование деятельностного подхода в обучении, который был адаптирован к предложенной методике;
внедрение и использование задач национально-регионального содержания в учебный процесс;
2) учебно-методическое пособие «Элементы теории вероятностей в
профильных классах», содержащее задачи национально-регионального компо
нента.
Структура диссертационной работы.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.
История профилизации российской школы и опыт профильного обучения в зарубежных странах
В отечественной педагогической практике накоплен огромный опыт по дифференцированному обучению учащихся. Можно выделить следующие этапы внедрения профильного обучения в школы [97]:
1. В 1864 году издается Указ об организации семиклассных гимназий, который предусматривает два типа образования: а) классическое, основной целью которого является подготовка к поступлению в Университет; б) реальное, основная цель которого подготовка к поступлению в специализированные учебные заведения.
2. Реформа образования 1915 - 1916 года. Министром просвещения Игнатьевым П. Н. было предложено разделение 4-7 классов гимназии на три ветви: новогуманитарную, гуманитарно-классическую, реальную.
3. В 1918 году на Всероссийском съезде работников просвещения было разработано «Положение о единой трудовой школе», в которой предусматривалась профилизация содержания обучения на старшей ступени среднего образования. В этом положении предусматривались три направления на старшей ступени средней школы: гуманитарное, естественно-математическое и техническое.
4. В 1934 году было принято постановление «О структуре начальной и средней школы в СССР», предусматривающее единый учебный план и единые учебные программы.
5. В 1957 году, в лице Академии педагогических наук, была выдвинута идея о проведении эксперимента, в котором предполагалось провести диффе 12 ренциацию по трем направлениям: физико-математическому и техническому; биолого-агрономическому; социально-экономическому и гуманитарному.
6. В 1966 году с целью улучшения работы общеобразовательной школы были введены две формы дифференциации содержания образования: 1) факультативные занятия; 2) классы и школы с углубленным изучением различных предметов. Классы и школы с углубленным изучением предметов сохранились и до сегодняшних дней.
7. В конце 80-х начале 90-х годов появляются специализированные учебные заведения, ориентированные на углубленное изучение отдельных предметов, с целью дальнейшего поступления и обучения в вузе. Таковыми учебными заведениями являются лицеи и гимназии.
Продолжая говорить об истории профильного обучения, следует выделить еще этап - это 2002 год, когда была одобрена «Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования». Это, несомненно, важный и необходимый шаг в современном школьном образовании.
Проследим, каким образом происходило изучение математики на различных этапах истории отечественного математического образования.
1. Первый этап истории отечественного математического образования берет начало в средневековье. В 9-Ю вв. в Киевской Руси и Древнем Новгороде приобретение элементарных знаний по чтению, письму и счету было доступно лицам разных сословий. Эти знания передавали из поколения в поколение в устной форме и в форме рукописей, которые назывались - азбуковники. В азбуковниках кроме алфавита, молитв, толкования слов, статей о правилах морали и поведения, календаря, были и начала арифметики. В некоторых школах при крупных монастырях кроме религиозных предметов изучались «7 свободных наук»: грамматика, риторика, диалектика (искусство спора), музыка, арифметика («наука трудная, но златострунная»), география, история.
С середины 15 века, когда Москва стала центром единого Российского государства, в стране возрастает потребность в математических знаниях (запросы торговли, землепользования, денежные операции, измерение расстояний, развитие ремесел, военное дело). Монголо-татарское иго (1243-1480 гг.) и внутренние распри привели к длительному упадку образования. Если в 16 - 17 вв. в странах Западной Европы уже получило широкое распространение как начальное, так и среднее школьное образование, то на Руси этот период начался с опозданием на 200 лет [97].
Анализ программ, учебной и научно-методической литературы по теории вероятностей и математической статистики в школьном курсе математики
В учебнике СМ. Никольского и др. «Математика 6(8)» [85] даются лишь определения различных соединений, формулы для их вычисления (бкл.) и классическое определение вероятности (8кл.). В этом учебнике рассмотрен минимальный круг вопросов. Г.В. Дорофеев, СБ. Суворова, Е.А. Бунимович и др. [34] в учебнике для общеобразовательных учебных заведений «Алгебра. Функции. Анализ данных» рассмотрены вопросы, касающиеся исключительно теории вероятностей - это классическое определение вероятности, понятие о генеральной совокупности и выборке, их параметры и оценки, а также оценка вероятности события по частоте.
Более широкий круг вопросов рассмотрен в учебных пособиях ЮМ. Колягина и у Н.Я. Виленкина для 11 класса по алгебре и математическому анализу [48], изданных издательством «Мнемозина» в 2001 году. Колягин рассматривает комбинаторный принцип умножения, основные формулы комбинаторики и бином Ньютона. Из теории вероятностей даётся классическое определение вероятности, правила сложения и умножения вероятностей, рассматривается условная вероятность и независимые события. Наиболее удачным с точки зрения соответствия программным требованиям можно считать учебник Н.Я. Виленкина В нем рассмотрены все вопросы программы.
Анализ научно-методической литературы начнем с книги Л.Я. Савельева [99]. Это пособие посвящено элементарной комбинаторике, теории вероятностей и их приложениям. В ней систематически используется теоретико-множественный язык. Абстрактность этого языка компенсируется большим количеством подробно разобранных примеров. Задачи собраны в отдельные части, которые можно читать независимо. Там рассматриваются простые модели, связанные с приложениями комбинаторики и теории вероятностей. Книга предназначена для научных работников и инженеров, а также для преподавателей и студентов. В учебном пособии для проведения факультативного курса по теории вероятностей B.C. Лютикаса [63] вначале даны сведения из прошлого теории вероятностей, затем достаточно подробно и систематично рассматриваются вопросы комбинаторики, вероятности события, операций над вероятностями, независимые повторные испытания (формулы Бернулли, Муавра-Лапласа, Пуассона и Лапласа), дискретные и непрерывные случайные величины, а также рассмотрены различные интересные задачи (например, задача Бюффона, парадокс Бертрана и т.д.). Эта книга интересна как с методической, так и с познавательной точек зрения. Она может быть одинаково доступна как учителю, так и ученику, так как написана простым, понятным языком, в ней дано много таблиц, диаграмм, все главы находятся во взаимосвязи. Материал систематичен и постепенно усложняется. Книга предназначена для учителей, работающих в школах и классах с углублённым изучением математики. Она содержит методические рекомендации по изучению некоторых теоретических вопросов и решению задач, планирование уроков, образцы самостоятельных и контрольных работ по всем темам; эти материалы написаны в соответствии с учебным пособием Виленкина Н.Я., Ивашева-Мусатова О.С. и Шварцбурда СИ. «Алгебра и математический анализ для IX класса» и таким же пособием для X класса, выпущенными издательством «Просвещение» соответственно в 1983 и 1984 годах.
Карп А.П. в своей книге [44] представил задачи по алгебре и началам анализа для школ и классов с углублённым изучением математики, а также задачи разного уровня сложности и нестандартные задачи.
Авторы книги для внеклассного чтения М.Б. Балк, Г.Д. Балк [12] в интересном изложении дают комбинаторику и теорию вероятностей, кроме теории в этой книге есть исторические сведения, которые предлагается дать детям на занятиях кружков или факультативе по математике. После теории представлен набор занимательных задач на соединения без повторений и с повторениями.
Книга А.П. Тонких [111] является пособием для факультетов подготовки учителей начальных классов. В ней дан достаточно большой объём материала по комбинаторике и, преимущественно, теории вероятностей. Этот материал отличается высоким уровнем сложности, он постепенно усложняется, в книге даны обширные исторические сведения.
Методологическая база исследования
Тема «Случайные величины и их числовые характеристики» - одна из центральных тем теории вероятностей и математической статистики. Поэтому ее изучение обязательным образом должно быть включено в программы профильных классов физико-математической направленности. Включив эту тему в изучение данных классов, учитель решает сразу несколько проблем. Во-первых, в сознании учащихся получает развитие одно из самых важных понятий математики - понятие «величина». Во-вторых, при изучении этой темы учащиеся знакомятся с такими немало важными понятиями теории вероятностей, как математическое ожидание и дисперсия. Ну и, в-третьих, сокращается разрыв между школьной математикой и математикой высшей школы. Однако, для наиболее успешного введения в средней профильной школе понятий случайной величины, математического ожидания и дисперсии необходимо соблюдать ряд методических требований.
Одним из таких требований является следующее. Хотя учащиеся старших классов и являются учащимися профильных физико-математических классов, однако они по-прежнему остаются учениками средней школы, и поэтому введение понятий случайной величины, математического ожидания и дисперсии должно быть плавным и ненавязчивым. Но, с другой стороны, доказательство основных свойств математического ожидания и дисперсии необходимо проводить на высоком формальном уровне, опираясь на аксиоматику теории вероятностей.
Другим таким немаловажным требованием является то, что прежде, чем ввести то или иное понятие, учащимся необходимо разъяснить его целесообразность, подкрепив определенным количеством примеров.
Целью изучения этой темы является введение понятий дискретной и непрерывной случайной величины, введение и освоение навыков нахождения чи 121 еловых характеристик дискретной случайной величины (математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения) и определение их свойств.
Основные действия, которые учащиеся должны освоить после изучения этой темы: определять понятия дискретной и непрерывной случайной величины, математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины; уметь вычислять числовые характеристики дискретных случайных величин, зная их закон распределения; уметь пользоваться свойствами числовых характеристик дискретных случайных величин при решении задач.
Для изучения темы «Случайная величина и ее числовые характеристики» предлагается следующая методическая схема.
1. Привести примеры, в которых фигурирует случайная величина.
2. Дать определение случайной величине.
3. Привести примеры дискретной и непрерывной случайной величины.
4. Дать неформальные определения дискретной и непрерывной случайным величинам.
5. Ввести понятие закона распределения вероятностей дискретной случайной величины. Привести примеры. Провести самостоятельную работу.
6. Разъяснить учащимся целесообразность введения понятия «математическое ожидание».
7. Дать определение математического ожидания, как числовой характеристики дискретной случайной величины.
8. Доказать основные свойства математического ожидания.
9. Самостоятельная работа.
10. Разъяснить учащимся целесообразность введения понятия «дисперсия».
11. Дать определение отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Рассмотреть примеры.
12. Дать определение дисперсии случайной величины.
13. Вывести формулу для вычисления дисперсии.
14. Доказать основные свойства дисперсии.
15. Самостоятельная работа.
16. Ввести понятие среднего квадратичного отклонения случайной величины.
Похожие диссертации на Методика преподавания элементов теории вероятностей и математической статистики в профильных физико-математических классах
