Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения элементам стохастики в 5-6 классах на современном этапе развития математического образования 14
1. Исторический обзор включения элементов стохастики в традиционный школьный курс математики .14
2. Психологические и научно-методические основы формирования вероятностно-статистического мышления учащихся 5-6 классов 22
3. Этапы и содержательные особенности формирования первоначальных вероятностно-статистических представлений 31
4. Сравнительный анализ изложения стохастического материала в современных учебниках по математике для 5-6 классов, реализующих ФГОС основного общего образования 40
5. Возможности изучения стохастического материала в курсе математики 5-6 классов для реализации требований стандарта второго поколения
Выводы к первой главе .61
Глава 2. Методика обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов в условиях стандартов второго поколения 70
1. Принципы построения методики обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов, реализующей требования ФГОС ООО 70
2. Преемственность курсов математики начальной школы и 5-6 классов при изучении стохастического материала 78
3. Цели и содержание обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов, соответствующего требованиям ФГОС ООО 88
4. Средства, формы и методы обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов в современных условиях .109
5. Экспериментальная проверка эффективности разрабатываемой методики обучения элементам стохастики в 5-6 классах 154
Выводы ко второй главе 162
Заключение 166
Библиографический список 168
- Психологические и научно-методические основы формирования вероятностно-статистического мышления учащихся 5-6 классов
- Возможности изучения стохастического материала в курсе математики 5-6 классов для реализации требований стандарта второго поколения
- Преемственность курсов математики начальной школы и 5-6 классов при изучении стохастического материала
- Средства, формы и методы обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов в современных условиях
Психологические и научно-методические основы формирования вероятностно-статистического мышления учащихся 5-6 классов
Любая позитивно ориентированная эволюция школы предполагает соблюдения определенной преемственности в целях, содержании, формах и методах обучения, поэтому, прежде всего, следует обратиться к историческому опыту преподавания элементов стохастики в системе отечественного математического образования. Это позволит, во-первых, выявить положительный эффект включения комбинаторного, вероятностного и статистического содержания в традиционный материал курса математики основной школы, и, во-вторых, проанализировать возможные проблемы и недостатки.
Впервые мысль о введении элементов теории вероятностей в содержание школьного образования была высказана еще ее основателем Пьером Лапласом (1749-1827). Тем не менее, в России сначала в среднюю школу были введены статистики и комбинаторики, а значительно позже - элементы теории вероятностей. Как показывает исследование С.В. Щербатых, «Статистика входила в учебные планы гимназий с 1804 по 1844 гг. в качестве самостоятельной дисциплины [148].
В результате реформ 1844-1846 годов курс математики для гимназий и лицеев был значительно сокращен, преподавание статистики было объединено с географией [127]. При этом учащиеся знакомились только с описательной стороной статистики. Элементы комбинаторики, согласно программе по математике для гимназий от 11 декабря 1845 года, предлагались к изучению в 4 классе. В 1852 г., после проведения школьной реформы, была введена на полный гимназический курс (7 лет) новая программа по математике, в которой был сделан акцент на межпредметные связи. Спустя 12 лет, в июле 1864 г., педагогический съезд директоров и учителей, проходивший в Одессе, принял решение о сокращении курса математики в связи с перегруженностью программ 1852 г.[122].
В 70-х годах XIX века в России издаются учебники алгебры, содержащие элементы комбинаторики. Одним из таких учебников была «Начальная алгебра» О.И. Сомова, изданная для Морского кадетского корпуса [133], а также «Начальная алгебра» А.Ю. Давидова, выпущенная для гимназий [23]. Общим для двух данных учебников являлось использование задач абстрактной тематики, не имеющих практического применения, но учебник А. Ю. Давидова отличало большое количество задач для самостоятельной работы (30-100 задач для каждой темы).
Две из пятнадцати глав были отведены элементам теории вероятностей и комбинаторики в учебниках «Начальные основания алгебры» Н.Т. Щеглова [146]. Также большое внимание данным темам было уделено в «Курсе начальной алгебры» К.Д. Краевича [66]. В учебнике Н.Т. Щеглова сложный стохастический материал излагался с опорой на рассмотрение значительного числа примеров, включавших ситуации из реальной жизни. «В целом, данный учебник стал одним из наиболее удачных пособий своего времени, но он получил одобрение Ученого комитета только в качестве пособия для гимназических библиотек, вследствие чего сильно понизилась его востребованность учителями математики» [148].
Особенностью учебника К.Д. Краевича являлось сжатое изложение материала без строгих математических выводов, в виде примеров, некоторые из которых имели прикладной характер. Элементы комбинаторики и теории вероятностей были включены в учебник в виде отдельных глав. Как отмечает В.Д. Селютин [127], это указывает на то, что попытка построения единой содержательно-методической стохастической линии не была полностью реализована. В дополнение к учебнику К.Д. Краевич выпустил задачник «Собрание алгебраических задач», также содержавший раздел «О вероятностях». И учебник, и задачник широко использовались при обучении математике в гимназиях.
В начале XX века программы по математике в целом и, в частности, по элементам стохастики, для средних учебных заведений активно обсуждались педагогической общественностью России.
В 1900 году подкомиссия по математике, работавшая в составе Комиссии по вопросу об улучшении преподавания в средней общеобразовательной школе, рекомендовала к изучению в седьмых классах реальных училищ следующие вопросы из комбинаторики: элементы теории соединений и бином Ньютона для натурального показателя [113].
На состоявшихся в 1901-1902 гг. съездах директоров и попечительских советов коммерческих училищ было предложено введение преподавания так называемой политической арифметики, состоящей из теории сложных процентов, теории соединений и теории вероятностей [79]. Несмотря на то, что политическая арифметика в итоге не вошла отдельной дисциплиной в учебный план восьмиклассных коммерческих училищ, в курсе алгебры 7 класса, согласно утвержденному плану, учащиеся должны были знакомиться с такими вопросами, как теория соединений, бином Ньютона для целого и положительного показателя, элементы теории вероятностей по учебникам европейских авторов Габерля, Гольцингера, Кантора и др. В программах по математике ряда европейских стран элементы стохастики также имели место. Например, Меранская программа 1904-1905 гг. (Германия), содержала простейшие предложения из теории соединений и их наглядные примеры [148].
На заседаниях Московского математического кружка, созданного на базе Московского университета, а также на I и II Всероссийских съездах преподавателей математики 1912 и 1913 г. большое внимание уделялось, в том числе, и вопросам внедрения элементов стохастики в школьное образование [139,115,116]. Со своим докладом «Об учебных особенностях двух направлений математического курса средней школы» и другими докладами о роли стохастики в школьном курсе математики П.А. Некрасов выступал с инициативой введения элементов стохастики в школьный курс математики. По его мнению, школе необходим был учебный план, включающий преподавание основ комбинаторного анализа и статистического метода [90]. Как отмечает С.В. Щербатых, «явными сторонниками и единомышленниками П.А. Некрасова были педагог П.С. Флоров (директор Урюпинского реального училища) и профессор Юрьевского университета, член совета министра народного просвещения В.Г. Алексеев» [148].
П.С. Флоров совместно с П.А. Некрасовым [91,92] составил программы по теории вероятностей для средней школы, опубликованные в журналах «Математическое образование» за 1914 год (№ 3) и трех номерах «Журнала МНП» за 1915 год (№ 2,3,4). Программа П.С. Флорова отводила на изучение стохастики 6 часов: первые 2 часа - основной курс (теория соединений, понятие вероятности, бином Ньютона, теорема Я. Бернулли, теорема К. Пирсона) а следующие 4 - дополнительные (перемножение вероятностей, задача Гюйгенса, теорема Чебышева, теорема Байеса, свидетельские показания, задача Бюффона, задача о разорении игроков, некоторые приложения понятия математического ожидания, страхование жизни).
Противником проекта П.А. Некрасова и П.С. Флорова являлся профессор Петербургского университета, академик А.А. Марков [74]. Его точку зрения разделяли академики A.M. Ляпунов, В.А. Стеклов, профессор К.А. Поссе. А.А. Марков критиковал концепцию изложения элементов стохастики, предложенную П.А. Некрасовым, в частности, порядок изучения тем [65]. Но, по прошествии многих лет, идеи П.А. Некрасова, преданные забвению после революции 1917 года, находят отражение в современном школьном образовании, следовательно, они в свое время опередили развитие методико-математической мысли в России
Возможности изучения стохастического материала в курсе математики 5-6 классов для реализации требований стандарта второго поколения
Учебное пособие [10] предлагает задания следующих типов: определение вида события; расположение событий по степени возможности их наступления; сравнение шансов наступления событий с помощью диаграмм Эйлера-Венна; вычисление абсолютных и относительных частот с помощью случайного эксперимента; вычисление вероятности на основе ее статистического определения с помощью серии случайных экспериментов, а также по уже имеющимся данным; подсчет количества возможных исходов опыта; установление равновозможности или неравновозможности исходов данного опыта; вычисление вероятности по классической вероятностной схеме; представление события в виде суммы элементарных исходов опыта; вычисление количества исходов опыта по правилу умножения; вычисление вероятности события с помощью правил сложения, умножения и формулы для числа сочетаний; моделирование случайных экспериментов с помощью компьютера и таблицы случайных чисел; вычисление вероятности на основе ее статистического определения; нахождение распределения вероятностей для всех исходов опыта на основе аксиоматического определения вероятности; статистическое оценивание и прогнозирование.
Пособие Е.Л. Бунимовича и В.Л. Булычева «Вероятность и статистика» охватывает очень большой объем стохастического материала школьного курса. Теоретический материал в нем имеет четкую систему, изложен живым и понятным языком, также в пособии предложен широкий спектр статистических и вероятностных задач с практическим содержанием, доступным для восприятия и интересным учащихся 5-9 классов. Однако, на наш взгляд, комбинаторная составляющая пособия, рассчитанного на изучение уже с 5 класса, ограничена и рассматривается только как аппарат для подсчета вероятностей. Уровень сложности предлагаемых задач, начиная с первых параграфов, достаточно высокий. В дальнейших параграфах сложность как теоретического, так и задачного материала нарастает все более высокими темпами. Многие из задач, представленных в пособии, сложны для понимания не только учащихся, но и их учителей, поскольку находятся в стороне от традиционно изучаемых вопросов школьного курса математики. Поэтому, как считает В.Д. Селютин, «пособие "Вероятность и статистика" свидетельствует о том, что для успешного обучения элементам стохастики необходимо добиваться ее согласования с традиционной математикой. Такое согласование может быть достигнуто только в результате установления устойчивых внутрипредметных связей школьного курса математики» [125].
Также, на наш взгляд, в 5-6 классах необходимо более равномерно распределять вероятностное содержание курса математики и постепенно наращивать уровень сложности задач во избежание перегрузок учащихся, ведь главной целью является формирование вероятностного мышления и подготовка к изучению стохастического материала 7-11 классов.
Сопоставляя изложение стохастического материала в различных учебниках по математике для 5-6 классов, отметим, что предлагаемые авторскими коллективами содержание обучения и последовательность тем, отвечая требованиям ФГОС к обязательному уровню подготовки учащихся, тем не менее, сильно варьируются. Задачи, объединяющие стохастическую линию с другими линиями курса, почти не представлены в большинстве рассмотренных учебников. С нашей точки зрения, это объясняется отсутствием однозначных представлений о месте в структуре элементов стохастики в школьном курсе математики 5-6 классов. Вследствие этого, внутрипредметные связи традиционных содержательно-методических линий и стохастической линии реализованы недостаточно.
Можно сделать вывод о том, что стохастический материал в учебниках математики 5-6 классов изложен неравномерно, в виде обособленных разделов, что, как показывает опыт учителей, часто приводит к формализму в изучении тем стохастики и недостаточно способствует непрерывному и последовательному формированию вероятностно-статистических представлений.
Возможности изучения стохастического материала в курсе математики 5-6 классов для реализации требований стандарта второго поколения Владение информационно-коммуникационными технологиями и формирование способности к их грамотному использованию являются важным элементом формирования универсальных учебных действий учащихся. Новые образовательные результаты могут быть достигнуты только в условиях обучения в информационно-образовательной среде, обеспечивающей информационно методические условия реализации образовательной программы. Согласно ФГОС ООО, под информационно-образовательной средой понимается открытая педагогическая система, сформированная на основе разнообразных информационных образовательных ресурсов, современных информационно телекоммуникационных средств и педагогических технологий, направленных на формирование творческой, социально активной личности, а также компетентность участников образовательного процесса в решении учебно-познавательных и профессиональных задач с применением информационно 57 коммуникационных технологий (ИКТ-компетентность), наличие служб поддержки применения ИКТ [143].
В Примерной образовательной программе основного общего образования уделяется большое значение задачам формирования планируемых результатов освоения междисциплинарных программ, включающим развитие у учащихся универсальных учебных действий, компетенций в области использования ИКТ, учебно-исследовательской и проектной деятельности, стратегий смыслового чтения и работы с информацией [111].
Одним из средств эффективного формирования данных результатов служит стохастическая содержательно-методическая линия в рамках курса математики. В связи с этим проиллюстрируем возможности использования при изучении элементов стохастики в 5-6 классах межпредметных связей курсов математики и информатики, которые являются одним из главных средств достижения планируемых результатов освоения учебных и междисциплинарных программ.
Преемственность курсов математики начальной школы и 5-6 классов при изучении стохастического материала
Как показал анализ основных действующих учебников по математике для 5-6 классов, основную сложность при реализации стохастической линии представляет ее вероятностный компонент.
В основу содержания вероятностного компонента нами положена измененная с учетом современных требований ФГОС и возрастных особенностей учащихся 5-6 классов методика Н.Г. Каменковой формирования вероятностного мышления учащихся начальной школы [45]. В ходе изучения элементов теории вероятностей по методике Н.Г. Каменковой учащиеся должны научиться: - определять вид события в условиях данного опыта; - находить все исходы опыта и исходы, благоприятствующие рассматриваемому при данном опыте событию; - правильно использовать вероятностную терминологию; - сравнивать возможности наступления событий; - решать простейшие вероятностные задачи; - строить модели простейших ситуаций, переводить данные задачи на язык модели и обратно; - приобрести навык работы с эмпирическим материалом и таблицами; - приобрести навык простейшей статистической обработки данных.
В основу содержания статистического и комбинаторного компонентов нашей методики, кроме системы планируемых результатов, также положены эффективные подходы к обучению стохастической линии в начальной школе, в частности, типология задач, представленных в сборнике А.П. Тонких «Стохастика в начальной школе» [138]. Целью составления сборника является формирование вероятностно-статистического мышления школьников 1-4 классов. Задачи сгруппированы по разделам и имеют различный уровень сложности. Материал сборника служит содержательным и методическим дополнением к учебникам математики для начальной школы Образовательной системы «Школа 2100». Формированию первоначальных стохастических понятий способствуют представленные в данных учебниках стохастические игры, элементы моделирования, опыты со случайными исходами, простейшие статистические исследования. «В процессе изучения стохастики у школьников получают дальнейшее развитие такие общеучебные и практические умения, как умения наблюдать, сравнивать, классифицировать, измерять, анализировать жизненные ситуации, принимать обоснованные решения и др.» [61,63]. Разработанная нами методика позволяет создать методические схемы изучения стохастического материала, интегрированного в основное содержание курса математики 5-6 классов, для каждого из основных действующих учебников математики.
Мет одические схемы изучения элементов ст охастики Одной из важнейших проблем при разработке методики преподавания стохастической линии в 5-6 классах является проблема выбора последовательности включения основных тем стохастического материала в традиционное содержание курса. Для решения данной проблемы, по мнению В.А. Далингера, «необходимо отыскать наиболее целесообразную структуру учебного материала, то есть определить, какие разделы и в какой последовательности должны изучаться, а также определить те связи, которые следует установить между элементами знаний. Эти связи лежат в основе логической структуры учебного материала, они определяют те переходы, которые возможно осуществить от одних понятий к другим» [25].
Но проблема выбора порядка изучения тем стохастики осложняется значительными различиями в последовательностях изучения основных тем, как традиционного курса математики, так и стохастического материала 5-6 классов в действующих учебниках по математике.
В связи с этим мы предлагаем строить последовательность изучения выделенных нами стохастических модулей таким образом, чтобы она была адаптирована к каждому конкретному учебнику математики, то есть, последовательность изучения трех компонентов линии между собой может меняться, где это необходимо, но внутри каждого из трех компонентов содержания порядок изучения тем остается неизменным. Это обеспечит систематичность и последовательность в изучении трех составляющих стохастической линии.
Таким образом, для каждого из действующих учебников по математике для 5-6 классов мы предлагаем составить методическую схему изучения стохастического материала, определенного в конкретизированном содержании обучения стохастике разработанной методики. При разработке предлагаемой методики мы основываемся на идее В.А. Далингера о том, что «из одного и того же набора ведущих понятий можно организовать различные структуры учебного материала (под структурой понимается последовательность элементов знаний с определенной системой внутрипредметных связей)» [25].
Выбор последовательности тем предложенного нами конкретизированного содержания стохастического материала для каждого конкретного учебника определяется порядком изложения в этом учебнике, во-первых, стохастических тем, и во-вторых, тем основного содержания курса математики 5-6 классов. Так как в подавляющем большинстве учебников математики 5-6 классов элементы стохастики изложены либо в виде отдельных параграфов, либо рассредоточенных по учебнику отдельных задач, не образующих систему, то следует так выстраивать последовательность изучения тем стохастики, чтобы пошагово подводить учащихся к соответствующему стохастическому материалу учебников. Это создаст условия для последовательного формирования предметных умений и универсальных учебных действий.
Вследствие этого, с нашей точки зрения, целесообразно при распределении стохастического содержания для работы по конкретному учебнику выделить несколько тем основного содержания курса математики 5-6 классов, внутрипредметные связи которых со стохастическим материалом реализовать посредством системы задач и минимального теоретического материала. При этом необходимо следить, чтобы совпадающие темы, например «Круговые диаграммы», изучались одновременно.
При выборе последовательности следования стохастических учебных модулей требуется решить проблему построения связей между изучаемым традиционным и стохастическим материалом курса математики 5-6 классов.
В качестве возможных путей реализации таких связей с курсом математики основной школы А.Г. Мордкович и П.В. Семенов предлагают [85] два основных направления:
1. При решении комбинаторных, вероятностных и статистических задач учащимся целесообразно выполнять преобразования числовых и буквенных выражений, решать уравнения и неравенства, использовать координаты точек, рисовать и исследовать графики функций и т.п.
2. При выполнении преобразований числовых и буквенных выражений, решении уравнений и неравенств, использовании координат точек, исследовании графиков функций и т.п. учащимся полезно отвечать на вопросы типа «Сколько всего…», «В скольких случаях получится, что…», «Чего больше…», «Что более вероятно…», «Как распределены…» и др.
Следуя этим общим направлениям, связи традиционного и стохастического содержания школьного курса математики 5-6 классов, с нашей точки зрения, могут быть реализованы двумя базовыми путями:
Средства, формы и методы обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов в современных условиях
Возьми игральный кубик, загадай одно из чисел от 1 до 6, которое может на нем выпасть, запиши предполагаемое число в таблицу, затем подбрось кубик. Запиши результат в таблицу и проделай те же действия еще 4 раза.
Рассмотри полученную таблицу и ответь на вопросы: а) всегда ли предположение оказывалось верным? б) в скольких случаях оно совпадает с результатом? в) в скольких случаях оно отличается от результата? Итак, в этом задании мы проделали несколько опытов с подбрасыванием кубика. Результат при этом не был известен заранее, т.е. носил случайный характер. Опыты также называют случайными экспериментами.
Перед каждым опытом мы предполагали, т.е. делали прогноз: на кубике выпадет какое-то определенное количество очков. Предположение о будущем, которое может подтвердиться или не подтвердиться, называется событием.
После каждого из опытов мы получали определенный его результат. Результат опыта еще называют исходом опыта. Если исход опыта совпал с прогнозом, то говорят, что это событие произошло. Если не совпал, то говорят, что это событие не произошло.
В левой колонке таблицы у нас записаны события-прогнозы, в правой – исходы для каждого опыта. Какие из событий произошли? Какие не произошли?
Для события «Завтра пойдет дождь» опытом является наступление завтрашнего дня, когда мы сможем сказать, произошло это событие или нет. № 2. Задание базового уровня. Начерти на белой бумаге развертку правильной треугольной пирамиды (тетраэдра). Раскрась треугольники в разные цвета, затем вырежи и склей тетраэдр. Проведи 10 опытов, перед каждым из них сделав предположение, грань какого цвета выпадет, и занеси результаты в таблицу: 5 6 7 8 9 10 Предположение Результат По таблице ответь на вопросы: а) в скольких случаях событие произошло? б) в скольких случаях оно не произошло? Стохастический модуль «Распознавание событий». Содержание стохастического материала: формирование умения распознавать события; формирование умения определять наступление / ненаступление события; правило сложения.
Планируемый результат: распознавать события, отличать события от не-событий; определять наступление / ненаступление события; объединять события в группы по различным признакам; решать простейшие задачи на правило сложения Умение: распознавать события, отличать события от не-событий № 1. Задание базового уровня. Являются ли событиями (прогнозами) следующие предложения: а) 5-го декабря выпадет первый снег; б) Маша закончила четверть на «отлично»; в) Какие книги ты будешь читать на каникулах? г) Во вторник я пойду в театр; д) Этим летом температура воздуха была не выше 30 градусов; е) Ты уже научился плавать? ж) Завтра Миша будет играть с дедушкой в шахматы; з)
Сейчас по радио играет моя любимая музыка! и) Сначала Аня сделает устные домашние задания, затем письменные. Приведи еще примеры событий и не-событий. № 2. Задание повышенного уровня. Выбери 5 страниц в своей любимой книге, найди среди предложений 10 событий-прогнозов и выпиши их в тетрадь, указав название произведения.
Умение: объединять события в группы по различным признакам № 3. Задание базового уровня. Каждый из учащихся приносит на урок склеенный дома бумажный кубик со стороной 3 см, т.о. на каждом столе лежит два кубика. Учащиеся выполняют задание в парах. Учитель произносит какое-либо событие-прогноз о результате одновременного подбрасывания двух кубиков. Учащиеся проводят опыт и заполняют заранее построенную таблицу: если событие произошло, то ставят «плюс», если не произошло, то «минус» напротив номера соответствующего опыта. № опыта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Наступление события События: 1) сумма очков, выпавших на двух кубиках, больше шести; 2) сумма очков равна четырем; 3) одно число очков больше другого в два раза; 4) оба числа делятся на два; 5) сумма очков – четное число; 6) разность очков равна трем; 7) два числа совпали; 8) сумма очков меньше восьми; 9) произведение очков – нечетное число; 10) одно число делится на другое.
Cтохастический модуль «Понятие опыта и его исхода » Содержание стохастического материала: формирование умений самостоятельно формулировать события, составлять сложные события из более простых, распознавать определенное событие по различным его формулировкам; формирование (на интуитивном уровне) понятий опыта и его исхода; систематизация понятий события, опыта, исхода опыта.
Стохастический модуль «Столбчатая диаграмма». Содержание стоха стического материала: повторение понятия столбчатой диаграммы. Чтение и интерпретация столбчатых диаграмм. Построение столбчатых диаграмм по готовым таблицам. Работа с целочисленными данными. Планируемый результат: строить столбчатую диаграмму по готовой таблице; строить столбчатую диаграмму по самостоятельно заполненной таблице. самостоятельно составлять таблицу по столбчатой диаграмме; Столбчатая диаграмма отличается от линейной тем, что для изображения соответствующей величины используется длина столбика, а не отрезка, и расположены столбики, чаще всего, не горизонтально, а вертикально. Умение: самостоятельно составлять таблицу по столбчатой диаграмме
