Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы использования качественных задач как средства интеграции житейских знаний с научными при изучении стохастики в школе 12
1.1. Ретроспективный анализ становления и развития стохастической линии школьного курса математики 12
1.2. Житейские стохастические знания как основа изучения стохастики в школе 27
1.3. Психолого-педагогические и методические основы интеграции житейских стохастических знаний учащихся с научными в процессе изучения стохастики 41
1.4. Качественные задачи в системе методических средств интеграции житейских стохастических знаний с научными 59
Выводы по первой главе 79
Глава 2. Методика использования качественных задач при изучении стохастики в школе 80
2.1. Использование качественных задач в процессе формирования переходных понятий теории вероятностей на основе их житейских прототипов 80
2.2. Качественные задачи как средство развития знаний учащихся о положениях теории вероятностей на основе житейских стохастических суждений 96
2.3. Методика подготовки учащихся к использованию стохастических знаний в практических ситуациях с элементом случайного 118
2.4. Эксперимент и обработка его результатов 139
Выводы по второй главе 157
Заключение 159
- Ретроспективный анализ становления и развития стохастической линии школьного курса математики
- Использование качественных задач в процессе формирования переходных понятий теории вероятностей на основе их житейских прототипов
- Качественные задачи как средство развития знаний учащихся о положениях теории вероятностей на основе житейских стохастических суждений
Введение к работе
Бурное развитие теории вероятностей и математической статистики в XIX-XX веках, постоянное расширение области их приложения, а также те изменения в научной картине мира, которые были вызваны этим процессом, привели к постановке вопроса о включении в содержание общего среднего образования элементов данных разделов математики. В его обсуждении в разное время (начиная с XIX века) принимали участие такие выдающиеся деятели российской математической науки и образования, как В.Я. Буняковский, Б.В. Гнеденко, И.Г. Журбенко, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, П.А. Некрасов, В.В. Фирсов, П.С. Флоров, А.Я. Хинчин, П.Л. Чебышев, И.М. Яглом и др. Переломным моментом в решении этого вопроса можно считать включение элементов теории вероятностей, комбинаторики и статистики в содержание обязательного минимума математической подготовки учащихся общеобразовательной школы. Эти изменения обусловлены постановкой Государственным образовательным стандартом 2004 г задачи формирования ключевых компетенций -готовности учащихся использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач.
Результаты диссертационных исследований показывают, что основными направлениями решения этой задачи являются следующие:
перенос акцента с поиска путей адаптированного изложения важнейших научных положений, относящихся к теории вероятностей, комбинаторике и математической статистике, на разработку методики формирования у учащихся стохастических представлений в процессе изучения этого материала (В.А. Болотюк, Л.О. Бычкова, А. Плоцки, В.Д. Селютин и др.);
усиление прикладной и практической направленности изучения стохастики в школе за счет использования возможностей, предоставляемых описательной и математической статистикой, и за счет формирования комплекса практических умений, связанных с применением стохастических знаний на всех этапах метода математического моделирования (Е.А. Бунимович, В.В. Фирсов, СВ. Щербатых и др.).
Однако перечень этих направлений будет неполным, если не включить в него разработку методики обучения стохастике, позволяющей совершенствовать субъектный опыт учащихся, связанный с решением житейских стохастических проблем. Результаты экспериментальных исследований психологов (Д. Канеман, П. Словик, Р. Солсо, А. Тверски, Д. Халперн) показывают, что в обыденных ситуациях принятия решений люди предпочитают обращаться не к научным знаниям, а к приобретенным в ходе жизнедеятельности (житейским знаниям). Таким образом, для формирования готовности учащихся к практическому применению математики необходимо не игнорировать факт наличия у учащихся житейских знаний, а учитывать его с целью построения обучения стохастике на основе житейских стохастических знаний учащихся.
Теоретические основы решения этой важной задачи представлены в психолого-педагогических исследованиях Е.Ю. Артемьевой, Л.С. Выготского, С.Л. Рубинштейна, В.В. Серикова, МА. Холодной, И.С. Якиманской и др., а также в трудах специалистов в области теории и методики обучения математике Н.С. Подходовой, Е.И. Саниной, В.Д. Селютина, М.В. Шабановой и др.
Ими доказано, что житейские знания являются составной частью субъектного опыта ребенка, описаны основные этапы построения обучения на основе интеграции общественного и субъектного опытов, определены источники и функции субъектного опыта в процессе обучения. Данные теоретические положения получили реализацию в методических исследованиях О.Л. Безумовой, И.Л. Можаровского, А.В. Усовой и др., но при разработке методики изучения других разделов школьного курса математики и других учебных дисциплин.
Анализ этих работ позволяет прийти к выводу о том, что житейские знания учащихся имеют качественный характер, поэтому наиболее полно обнаруживают и проявляют себя в задачах качественного характера.
Понятие «качественная задача» получило широкое распространение в методике преподавания естественнонаучных дисциплин (в частности, физики). Исследованию роли и области применимости качественных задач в обучении физике посвящены работы И.С. Башкатовой, М.В. Исупова, Б. Мирзоева,
5 М.Е. Тульчинского и др. В рамках теории и методики обучения математике осмыслить понятие "качественная задача" пытались Е.А. Бунимович, В.В. Крылов, В.В. Фирсов, но в связи с решением других методических проблем: развитие статистического мышления, преодоление формализма математических знаний, мотивация изучения научной теории. Несмотря на неразработанность теоретической основы использования качественных задач как средств интеграции житейских стохастических знаний с научными, авторы учебных пособий для школьников и учителя математики прибегают к их использованию всякий раз, когда ставится задача установления связи научных положений с реальностью (Г.В. Дорофеев; А.Г. Мордкович, П.В. Семенов; Е.А. Бунимович, В.А. Булычев; Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко; М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова и др.).
Все вышесказанное определяет актуальность проблемы исследования, которая состоит в разрешении противоречия между наличием практического опыта использования качественных задач при построении обучения с учетом содержания житейских знаний учащихся и неразработанностью теоретических основ и методики применения задач этого вида в качестве средства интеграции житейских знаний с научными в процессе обучения стохастике в школе.
Объектом исследования является процесс обучения стохастике в школе.
Предметом исследования являются методические условия разработки и использования качественных задач в процессе обучения стохастике в школе.
Целью исследования является разработка методики использования качественных задач как средства интеграции житейских стохастических знаний учащихся с научными при изучении стохастики в школе.
В основу исследования положена следующая гипотеза. Если обучение стохастике в школе будет осуществляться с использованием качественных задач, позволяющих раскрыть содержание житейских стохастических знаний, входящих в субъектный опыт учащихся, согласовать это содержание с научными знаниями и сформировать на этой основе новый опыт оперирования науч-
ными стохастическими знаниями, то это позволит подготовить учащихся к решению практических задач на основе положений стохастики.
Для решения проблемы исследования и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо решить следующие задачи исследования:
1. Изучить историю развития методических взглядов на роль и место эле
ментов теории вероятностей, статистики и комбинаторики в содержании
школьного курса математики.
2. Уточнить содержание понятия «житейские стохастические знания»
(ЖСЗ) учащихся, определить их роль в процессе изучения и практического ис
пользования стохастики на основе анализа психолого-педагогической, фило
софской и методической литературы.
Раскрыть основные закономерности интеграции ЖСЗ с научными в процессе изучения стохастики в школе в ходе анализа психолого-педагогической, методической и философской литературы.
Разработать методику использования качественных задач как средства интеграции ЖСЗ с научными в процессе обучения.
Осуществить практическую реализацию методики в следующих направлениях: при изучении «переходных» стохастических понятий (на примере понятий теории вероятностей), при изучении тех стохастических положений, которые тесно связаны с житейскими суждениями (на примере способов оценки вероятностей случайных событий, основных теорем теории вероятностей), при формировании готовности учащихся к практическому использованию стохастических знаний.
Экспериментально проверить эффективность теоретически разработанной методики использования качественных задач при изучении стохастики в школе.
При решении поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
анализ и систематизация данных философской, психолого-педагогической, методической и учебной литературы по теме исследования;
теоретическое моделирование использования качественных задач в процессе обучения стохастике;
теоретическое и экспериментальное обоснование эффективности разработанной методики;
экспериментальное обучение, тестирование, контрольные срезы с целью сбора эмпирических данных;
количественная и качественная обработка экспериментальных данных на основе использования методов математической статистики.
Исследование проводилось с 2003 по 2007 гг. и включало три этапа.
На первом этапе (2003-2004 гг.) был проведен анализ психолого-педагогической, философской, методической и учебной литературы, результатом которого явилось уточнение проблемы исследования и разработка его основных теоретических положений, был проведен констатирующий эксперимент.
На втором этапе (2004-2005 гг.) была разработана методика использования качественных задач при изучении стохастики в школе, проведен поисковый эксперимент с целью корректировки теоретически разработанной методики.
На третьем этапе (2005-2007 гг.) была осуществлена проверка эффективности разработанной методики в ходе формирующего эксперимента; количественная и качественная обработка материалов эксперимента, сформулированы общие выводы по проведенному исследованию.
Научная новизна исследования заключается в том, что:
- в рамках теории и методики обучения математике впервые раскрыто понятие «житейские стохастические знания» (ЖСЗ) учащихся, под ними понимаются знания о мире случайного, о закономерностях в нем или их отсутствии, полученные учащимися до обучения стохастике в процессе индивидуальной жизнедеятельности и коммуникации; к ним относятся житейские стохастические понятия, суждения, примеры ситуаций с элементом случайного; описаны содержательные связи этих знаний с научными: житейские аналоги научного знания, знания, альтернативные научным (ненаучные, антинаучные); выделены формы функционирования ЖСЗ в процессе принятия решений: как неосозна-
8 ваемые основания действий, как аргументы действий и как «житейские теории», истинность которых проверена опытом;
уточнено понятие «качественная стохастическая задача», под ней понимается задача, содержащая описание жизненной ситуации с элементом случайного и допускающая исследование качественных свойств этого элемента, действий субъекта в этой ситуации или описания самой ситуации на научном и на житейском уровнях;
разработана методика использования качественных задач как средства интеграции ЖСЗ учащихся с научными при изучении стохастики в школе, включающая описание этапов интеграции, характеристику функций качественных стохастических задач на каждом этапе (средство раскрытия содержания ЖСЗ, средство согласования ЖСЗ с научными, средство построения нового опыта, связанного с применением стохастических знаний в практических ситуациях с элементом случайного), описание видов качественных задач, реализующих эти функции, требования к их разработке и рекомендации по использованию в общей системе средств; определены основные направления использования методики: формирование «переходных» стохастических понятий (т.е. понятий, на основе которых осуществляется интеграция житейского и научного языков), формирование стохастических положений, тесно связанных с житейскими суждениями, формирование готовности учащихся к практическому использованию стохастических знаний.
Теоретическая значимость состоит в том, что:
- на основе сравнительного анализа психолого-педагогической, философ
ской и методической литературы выделены закономерности интеграции ЖСЗ
с научными при изучении стохастики в школе: этапы интеграции, содержатель
ные связи житейских стохастических знаний с научными, особенности влияния
житейских знаний на процесс усвоения научных (житейские аналоги научного
знания позволяют облегчить понимание научных понятий и положений, рас
крывают их практическую значимость; знания, альтернативные научным, яв-
9 ляются скрытой причиной непонимания научных понятий и положений, определяют границы их практического использования);
- обобщен и теоретически осмыслен методический опыт использования
качественных задач при изучении стохастики в школе, показано, что задачи
этого вида допускают решение как на основе житейских, так и научных знаний,
поэтому являются важным средством интеграции ЖСЗ с научными.
Практическая значимость состоит в том, что:
разработаны серии качественных задач, сюжетные задачи с качественными дополнениями, которые могут быть использованы в школьном курсе математики для раскрытия содержания неопределяемых понятий теории вероятностей с опорой на их житейские прототипы, для формирования умений распознавать понятия, входящие в схему приложений теории вероятностей, в житейских речевых оборотах;
разработаны серии качественных задач, сюжетные задачи с качественными дополнениями, которые могут быть использованы в школьном курсе математики для мотивации изучения научных положений недостаточной эффективностью житейских суждений, для демонстрации преимуществ практического использования научных положений по сравнению с житейскими суждениями, для обоснования истинности научных положений ссылкой на существование содержательно сходных с ними житейских суждений;
выделены виды качественных задач, которые должны быть включены в процесс обучения стохастике в школе для формирования готовности учащихся к проведению качественного анализа на отдельных этапах модельного исследования ситуаций с элементом случайного, а также сюжетные задачи с качественными дополнениями, которые формируют у учащихся готовность к принятию решений в таких ситуациях на основе стохастических знаний;
разработаны программы и учебные материалы для изучения стохастики в рамках элективных курсов «Элементы комбинаторики и основы теории вероятностей», «Введение в статистические исследования».
Достоверность результатов исследования обеспечивают:
комплексный теоретический анализ проблемы,
согласованность результатов данного исследования с ведущими положениями психолого-педагогических и методических концепций,
использование экспериментальных методов для проверки, подтвердившей справедливость основных положений диссертации,
применение методов математической статистики при обработке экспериментальных данных.
Апробация результатов исследования.
Результаты исследования докладывались на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2005 г.); на международной научной конференции «Современные методы физико-математических наук» (г. Орел, 2006 г.); на Ломоносовских чтениях (г. Архангельск, 2005, 2006 гг.); на методическом аспирантском семинаре и заседаниях кафедры методики преподавания математики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова (2006, 2007 гг); на семинаре руководителей методических объединений учителей математики Архангельской области (г.Архангельск, 2004 г), на курсах повышения квалификации учителей математики Архангельской области (г.Архангельск, г.Северодвинск, 2004,2005, 2006 гг.).
На защиту выносятся следующие положения:
Обучение стохастике в школе должно представлять собой процесс интеграции житейских стохастических знаний учащихся с научными, состоящий из трех основных этапов: диагностика содержания ЖСЗ, входящих в опыт учащихся, согласование ЖСЗ с научными, построение нового опыта, связанного с оперированием стохастическими знаниями.
Этап согласования реализуется с учетом существования в опыте учащихся ЖСЗ, находящихся с научными в различных отношениях. Житейские аналоги научного знания выступают в качестве основы обучения, позволяющей облегчить понимание научных понятий и положений и раскрыть их практическую значимость. Знания, альтернативные научным, как скрытая причина не-
понимания научных, должны быть также представлены в процессе обучения, но в качестве вспомогательного средства. Раскрытие сущности альтернативных знаний и причин обращения к ним позволяет подготовить учащихся к целесообразному использованию научных стохастических знаний в сочетании с житейскими, а также к адекватному восприятию и применению информации, подкрепленной аргументацией о применении методов теории вероятностей, комбинаторики и статистики.
3. Основным элементом методики интеграции ЖСЗ с научными являются качественные задачи как задачи, допускающие исследование качественных свойств объектов на научном и житейском уровнях, и сюжетные задачи с качественными дополнениями, которые играют роль учебных моделей прошлых и будущих жизненных ситуаций применения стохастических знаний. Основными направлениями реализации методики являются следующие: формирование «переходных» стохастических понятий, научных стохастических положений, тесно связанных с житейскими суждениями, формирование готовности учащихся к использованию научных стохастических знаний в сочетании с житейскими для решения практических задач.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии из 126 наименований, включая работы автора, и приложений. Общий объем диссертации составляет 187 страниц машинописного текста.
Ретроспективный анализ становления и развития стохастической линии школьного курса математики
В связи с усилением прикладной и практической направленности общего математического образовании в федеральный компонент содержания школьного курса математики введены элементы теории вероятностей, комбинаторики и статистики. Об этом свидетельствуют положения государственного образовательного стандарта 2004 года. Аргументируя необходимость таких изменений, первый зам. министра образования РФ В.А. Болотов писал: «Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Современные физика, химия, биология, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин уже в средней школе» [56, С.2].
О необходимости введения элементов теории вероятностей, комбинаторики и статистики начали говорить еще в XIX веке. Как отмечают Ю.М. Колягин, Т.С. Полякова, О.А. Саввина, согласно принятому в 1804 году Уставу учебных заведений, подведомственных университетам, в число предметов, подлежащих изучению в гимназиях, была введена статистика. Математические дисциплины (математика с опытной физикой и статистика) занимали в «табеле уроков», который определял перечень предметов и количество выделяемых на них учеб 13 ных часов, «очень достойное место..., превышая подавляющее их большинство по объему часов и количеству лет обучения» [64, с.ЗЗ].
Спустя 40 лет статистика была изъята из курса гимназий. Вместо нее в курс алгебры ввели новый раздел - «переложения, всевозможные и различные сочетания; ньютонов бином, возвышение в степень многочисленного количества» [64, с.85]. Предполагалось знакомить учащихся с элементами комбинаторики без обращения к аппарату теории вероятностей и статистики.
Изменения в программах по математике приводили к появлению новых учебников. В 1853г. в Петербурге был издан учебник Н.Г. Щеглова «Начальные основания алгебры», в котором излагались элементы теории вероятностей. Как пишет Т.С. Полякова, «одним из первых Щеглов ввел в курс алгебры теорию соединений» [65, с. 117]. Неполное изложение теории соединений с повторениями (включена только теория перестановок с повторениями) было представлено в учебнике О.И. Сомова «Начальная алгебра» (1860,1862, 1875). В 1865г. опубликовали учебник К.Д. Краевича «Курс начальной алгебры», в котором целая глава была посвящена теории вероятностей. В ней рассматривались вопросы о продолжительности человеческой жизни, страховании, участии в лотереях, при этом, как отмечает Б.В. Гнеденко в [22], материал излагался неформально, то есть не содержал строгих доказательств представленных в нем утверждений. Знакомство с комбинаторикой предполагалось и авторами других учебников («Руководство алгебры и собрание алгебраических задач» А.Ф. Малинина и К.П. Буренина, «Курс алгебры и собрание алгебраических задач» Н.А. Шапошникова и др.).
Реформирование системы школьного математического образования определялось как политикой государства, так и теми изменениями, которые происходили в самой науке. Если в Западной Европе повсеместное увлечение теорией вероятностей сменилось разочарованием и скептицизмом, на нее «стали смотреть как на науку сомнительную, второсортную, род математического развлечения, вряд ли достойный серьезного изучения» [11, с.20], то в России общественный подъем 60-х г.г. XIX века, связанный с отменой крепостничества и бурным развитием капиталистических отношений, потребовал от математики решения многих прикладных задач, которые преимущественно были связаны с теорией вероятностей. Работы В.Я. Буняковского, П.Л. Чебышева и других математиков по прикладным вопросам теории вероятностей способствовали развитию в России страхового дела и пенсионных касс.
Использование качественных задач в процессе формирования переходных понятий теории вероятностей на основе их житейских прототипов
С точки зрения личностно-ориентированного подхода, изучение стохастики в школе должно начинаться с интеграции естественного и научного языков.
При аксиоматическом подходе к построению теории вероятностей, развиваемом в трудах А.Н. Колмогорова, развитие научного языка начинается с введения следующих понятий: элементарное событие, случайное событие, пространство элементарных событий, вероятность случайного события. Содержание их раскрывается через систему аксиом: «Пусть Q - множество элементов со, которые мы будем называть элементарными событиями, a F - множество подмножеств из D.. Элементы множества F будем называть случайными событиями (или просто - событиями), a Q - гространством элементарных событий.
I. F является алгеброй множеств.
II. Каждому множеству А из F поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р(Л). Это число называется вероятностью события А. III. P(Q)= 1.
IV. Если А и В не пересекаются, то (А+В)=Р(А)+?(В).
V. Для убывающей последовательности А1 э А2 з... э Ая з... событий из F такой, что Г\А„ =0, имеет место равенство \шР{Ап) = 0» [36, с. 11,26].
В связи с невозможностью реализации аксиоматического подхода при обучении теории вероятностей в школе необходимо искать иной способ раскрытия содержания первичных понятий. Многие авторы учебных пособий для учащихся общеобразовательных школ используют поясняющие описания.
Пример 1. Раскрытие содержание понятия «элементарное событие» в пособии Ю.Н.Тюрина, А.А.Макарова, И.Р.Высоцкого, И.В.Ященко: «В результате случайного опыта могут произойти различные случайные события. Например, в результате бросания игральной кости может выпасть четверка, может выпасть четное число очков, может выпасть число, меньшее 5. Заметим, что событие «выпало четное число очков» можно разбить на три события: «выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков». А событие «выпала четверка» на более простые события не разделяется. События, которые нельзя разделить на более простые, называются элементарными событиями. Оказывается, что в каждом опыте можно выделить такие элементарные события, из которых состоят все остальные события. В результате случайного опыта обязательно наступает только одно элементарное событие» [104, с.88-89].
Из примера видно, что использование поясняющих описаний требует введения дополнительных понятий, не входящих в категориальный аппарат аксиоматической теории вероятностей (в данном случае, таким понятием является «случайный опыт»).
Качественные задачи как средство развития знаний учащихся о положениях теории вероятностей на основе житейских стохастических суждений
Качественные задачи значимы не только в процессе интеграции естественного и научного языков, но и в процессе преобразования житейских стохастических суждений учащихся в научные математические положения.
Применение разработанной нами методической схемы использования качественных задач следует начинать с выделения тех элементов содержания стохастической линии школьного курса, изучение которых не может осуществляться в отрыве от ЖСЗ.
Данные историко-научных и методологических исследований в области математики (Г. Вилейтнер, В.Э. Войцехович, В.В. Мадер, Г.И. Рузавин, К.А. Рыбников, О.Ф. Теребилов, Ф. Энгельс) показывают, что развитие математического знания не определяется полностью потребностями общественной практики. Состав математики никогда не исчерпывался ее приложениями. История математики изобилует примерами, в которых появление понятий или даже целых теорий не поддается объяснению иными побудительными мотивами, кроме логического развития теоретических суждений. Сюда могут быть отнесены комплексные числа, введенные в «Алгебре» Бомбелли (1572) в форме «софистических» минусов; неевклидовы геометрии, которые были построены из геометрии Евклида путем замены аксиом о параллельных прямых и т.п. Однако рассмотрение любого из этих примеров показывает, что несмотря на то, что они были открыты вне связи с практикой, впоследствии все эти абстрактные понятия и теории нашли свое отражение в реальном мире.
Исследователи выделяют три основные точки соприкосновения развивающегося математического знания с обыденной практикой: практика как критерий истинности математических положений (особенно исходных положений теории); практика как область приложения математических положений; практика как источник проблем математики. Это позволяет утверждать, что с опорой на житейские знания должны изучаться следующие положения научных теорий: 1) истинность которых может быть обоснована лишь ссылкой на практику; 2) необходимость изучения которых может быть мотивирована учащимся лишь потребностями практики; 3) которые являются средствами решения практических задач.
