Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Теоретические основы методики формирования учебной деятельности младших школьников на основе системообразующего понятия величины 17
1.1. Предметное содержание понятия «величина» и его системообразующая роль в формировании учебной деятельности 17
1.2. Сопоставительный анализ различных методических подходов к изучению представлений о величинах в начальной школе 33
1.3. Психолого-педагогические основы формирования учебной деятельности в младшем школьном 58 возрасте
ГЛАВА П. Содержательный и процессуальный компоненты методики формирования учебной деятельности младших школьников на основе понятия величины... 88
2.1. Характеристика процесса формирования представления о величинах 88
2.2. Принципы конструирования системы учебных заданий, направленной на формирование учебной деятельности 120
2.3. Методические особенности организации процесса формирования учебной деятельности младших школьников на основе понятия величины 135
2.4. Организация и результаты педагогического эксперимента 162
Заключение 183
Библиографический список использованной литературы 185
Приложения 204
- Предметное содержание понятия «величина» и его системообразующая роль в формировании учебной деятельности
- Характеристика процесса формирования представления о величинах
- Методические особенности организации процесса формирования учебной деятельности младших школьников на основе понятия величины
Введение к работе
Актуальность исследования. Сегодня время диктует необходимость пересмотра не только целей и задач современной школы, но и самого содержания обучения, его методов, форм организации и общения детей. И все чаще внимание тех, кто ищет пути кардинальной перестройки школы, возможности принципиальных изменений в ней, привлекают идеи развивающего образования. Система развивающего образования в трактовке Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова и их последователей как нельзя лучше ориентирована на развитие ребенка и адекватна его целям и задачам. Многолетние исследования Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова и созданной ими школы привели к кардинальному пересмотру традиционных взглядов на развитие и его соотношение с обучением, возможность сконструировать принципиально новую систему обучения, ориентированную не только на усвоение ребенком определенной суммы знаний, умений и навыков, но и на становление его субъектом разнообразных видов и форм деятельности.
Обеспечение условий для становления ребенка субъектом учебной деятельности, заинтересованным в самоизменении и способного к нему, - вот задача развивающего образования на основе содержательного обобщения учебного материала.
Теоретические и экспериментальные исследования В.В. Давыдова, А.К. Дусавицкого, В.В. Репкина, Д.Б. Эльконина показали, что этот способ обучения закладывает основы таких важнейших личностных структур, как интерес к познанию, моральный идеал, характер. Ими было показано, что вопреки существующим представлениям в современных условиях не подростковый, а младший школьный возраст является решающим в дальнейшем развитии личности, т. е. начальная школа - фундамент всей системы образования. Эти исследования позволили вновь пересмотреть основные характеристики конструируемой системы образования, где главной целью становится воспитание личности, причем «образцы воспитания не
задаются извне», а реализуются через формы сотрудничества в ходе усвоения учебных предметов, что обеспечивает не только самоизменение конкретной личности, но и класса в целом, который выступает «в качестве основной референтной группы в системе жизнедеятельности ребенка» (А.К Дусавицкий).
Таким образом, основной формой обучения и воспитания является коллективная деятельность как единство основных видов человеческой деятельности, где ведущая роль принадлежит учебной деятельности, направленной на усвоение системы теоретических (научных) понятий. Такое содержание развивающего образования является необходимым условием формирования способов самоорганизации собственной деятельности как формы развития личности, что, в свою очередь, возможно лишь в рамках «квазиисследовательского» (В.В. Давыдов) метода, когда понятие (математическое, лингвистическое и др.) не задается в готовом виде, в форме определения, а становится основанием, определяющим принцип построения действий с объектом.
Для того, чтобы этот принцип действия был основан именно в этом своем качестве, его необходимо сконструировать в процессе анализа, обобщения и конкретизации условий задачи.
Существенный вклад в теорию развивающего образования внесли
педагогические исследования Л.Я. Зориной, Г.Д. Кирилловой,
В.Ф. Паламарчук, А.П. Тряпициной, А.В. Усовой и др. Дидактические условия формирования субъекта учебной деятельности, различные аспекты проблемы формирования приемов умственной деятельности в процессе обучения раскрыты в работах Ю.К. Бабанского, И.Я. Лернера, М.И. Махмутова, М.Н. Скаткина и др.
Проблему развития личности в процессе обучения математике рассматривали психологи: В.А. Крутецкий, Л.М. Фридман и др., математики: А.Д. Александров, Н.Я. Виленкин, А.Н. Колмогоров, А.Д. Кудрявцев,
А.И. Маркушевич, и др., а также ученые в исследованиях по теории и методике обучения математике: В.В. Афанасьев, Х.Ж. Танеев, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, В.А. Далингер, О.Б. Епишева, В.М. Монахов, A.M. Пышкало, Г.И. Саранцев, З.И. Слепкань, А.А. Столяр, П.М. Эрдниев и др.
В ряде учебно-методических материалов, учебников и пособий, изданных в последнее время, проявляется ориентация на усиление развивающей функции обучения (А.Д. Александров, Н.Я. Виленкин, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.Б. Истомина, Л.Г. Петерсон и др.).
Проблему формирования учебной деятельности младших школьников при обучении математике рассматривали в методических исследованиях отдельных направлений: развитие мыслительных действий учащихся (А.Б. Ильясова) и выявление педагогических условий формирования приемов мыслительной деятельности (И.В. Титова), культуры учебной деятельности (Ж.О. Каневская), системы приемов учебной деятельности (Л.П. Борисова); методическое обеспечение учебной деятельности учащихся начальной школы средствами обучения (Н.А. Янковская); в связи с организацией самостоятельной работы учащихся (Н.Г. Калашникова); при обучении младших школьников решению задач, в частности текстовых задач (Ф.Г. Боданский, СЕ. Царева) и нестандартных задач (Л.В. Селькина).
В отличие от многочисленных исследований, предполагающих изменение содержания предмета за счет включения в программу начальной математики дополнительных компонентов, которые повышают возможности учащихся в овладении отдельными приемами умственной деятельности, в системе начального образования Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова задача формирования учебной деятельности младших школьников поставлена как ведущая.
Курс математики в системе развивающего образования построен на принципиально иных основах, чем существующие в сегодняшней практике. Это отличие состоит прежде всего в том, что целью школьного
математического образования, организованного в форме учебной деятельности, является формирование у детей ясного понимания действительного числа, опирающегося на понятие величины.
Число выступает как кратное отношение измеряемой величины к мере
— = а, где а - число, А - любая измеряемая величина, Е - мера (величина
того же рода). Измеряя одну и ту же величину разными мерами, можно
получить разные числа. Это кратное отношение величин, приходящее на
смену их разностному сравнению, и есть та исходная «клеточка», из которой и
появляются разные виды чисел. Поэтому понятие величины, являясь ведущим
для построения курса математики, выполняет в нем роль системообразующего
понятия, поскольку:
формирует у учащихся научное мировоззрение;
значительно чаще других понятий служит средством изучения различных вопросов математики;
активно работает на протяжении большого промежутка времени;
способствует наиболее полной реализации внутрипредметных связей, а в конечном счете, и межпредметных;
реализует прикладную и практическую направленность.
Понятие «величина» при формировании учебной деятельности становится системообразующим ещё и потому, что обладает всеми его признаками (B.C. Безрукова, В.А. Далингер):
приближенностью к реальной жизни;
доступностью использования как обучаемым, так и обучающимся;
способностью влиять на развитие мышления, на формирование учебной деятельности.
Условием формирования математических понятий становится овладение детьми в дочисловом периоде понятием величины, опирающимся на некоторые обобщенные умения (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина), которые
и позволяют двигаться от знания к незнанию, задумываться над основанием собственных действий (умений), определяющих это или другое понятие.
Как одно из основных понятий школьного курса математики понятие величины с точки зрения методики изучали математики - Н.Я. Виленкин, А.Н. Колмогоров; психологи - В.В.Давыдов, Л.В. Занков, Н.А. Менчинская, Л.М. Фридман, И.И. Якиманская; методисты - С.А. Алборов, Я.С. Дубнов, Н.Б. Истомина, И.С. Климов, Г.А. Корнеева, М.С. Мацкин, A.M. Пышкало, М. Салихова, Л.П. Стойлова, А.И. Фетисов, и др.
И хотя вопросам изучения величин посвящено много работ, в том числе
и по начальному обучению, основное внимание в них уделено измерению
величин - рассматриваются вопросы изучения единиц измерения величин и
формирования измерительных умений и навыков учащихся (П.С. Исаков,
О.И. Галкина), некоторые вопросы методики изучения величин как одного из
компонентов пространственных представлений (Н.Д. Мацько,
М.В. Пидручная, A.M. Пышкало, А.Д. Семушин, Л.Н. Скаткин,
И.Ф. Тесленко, И.С. Якиманская, Н.М. Яковлева и др.), методика изучения величин «длина» и «площадь» как составной части геометрического материала курса математики начальных классов (С.А. Альперович, М.В. Богданович, A.M. Пышкало).
В последние годы в России и странах СНГ появились учебники математики для начальной школы нового поколения, отличительной особенностью которых является использование понятия величины (на уровне представлений). И, хотя о недостаточном внимании к изучению общих свойств величин писали много, до сих пор отсутствует целенаправленное исследование по данной проблеме.
Актуальность диссертационного исследования определяется ещё и тем, что в процессе обучения, особенно в начальной школе, необходим подбор такого предметного содержания, которое бы стало основой для формирования
учебной деятельности, являющейся ведущей в младшем школьном возрасте (Д.Б. Эльконин).
Исследования показывают, что таким предметным содержанием может служить величина и её свойства.
Проблема исследования состоит в разрешении противоречия между многофункциональными возможностями системообразующего понятия величины и необходимостью определения предметного содержания, связанного с этим понятием, которое бы способствовало формированию каждого из компонентов учебной деятельности.
Объект исследования - процесс обучения математике в начальных классах.
Предмет исследования - содержательно-процессуальные аспекты формирования учебной деятельности младших школьников на основе системообразующего понятия величины.
Цель исследования - разработать научно обоснованную методику формирования учебной деятельности младших школьников на основе системообразующего понятия величины.
Гипотеза исследования состоит в следующем: если в основу формирования учебной деятельности младших школьников положить системообразующее понятие величины и целенаправленно организовать действия учащихся по присвоению этого понятия, то у учащихся может быть достигнут осознанный, качественно новый уровень как представления о величинах, так и сформированности учебной деятельности.
В нашем исследовании мы придерживаемся точки зрения В.В. Давыдова, понимающего под учебной деятельностью такую деятельность школьников, которая формируется в процессе усвоения теоретических знаний посредством выполнения содержательных действий: анализа, планирования, рефлексии, абстрагирования, обобщения. И для подтверждения гипотезы, в
педагогическом эксперименте отслеживаем уровни сформированности теоретических знаний, связанных с понятием величины.
Методологическую и теоретическую основу исследования составляют:
учение о развитии личности (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн);
основные положения теории учебной деятельности (В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, В.В. Репкин, Д.Б. Эльконин);
современные концепции педагогической деятельности (B.C. Безрукова, Н.В. Кузьмина, А.К. Маркова, В.А. Сластенин) и теория учебного процесса (В.П. Беспалько, В.В. Краевский, И.Я. Лернер);
психолого-педагогические исследования учебной деятельности школьников (Ю.К. Бабанский, А.К. Громцева, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, Н.А. Менчинская, В.В. Репкин, С.Л. Рубинштейн, Н.Ф. Талызина, Г.И. Щукина, Д.Б. Эльконин);
теория возрастных особенностей учащихся (Л.С. Выготский, Д.Б. Эльконин);
теория развивающего обучения (В.В. Давыдов, Л.В. Занков, В.В. Репкин, Д.Б. Эльконин, М.А. Холодная, Г.А. Цукерман, И.С. Якиманская);
теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина);
философская трактовка человека как активного субъекта, познающего мир и самого себя (Ш.А. Амонашвили, Б.Г. Ананьев, В.П. Зинченко, В.И. Слободчиков);
положение о личности как субъекте совместной деятельности и собственного развития в обучении (Ш.А. Амонашвили, Б.Г. Ананьев, В.В. Давыдов, А.К. Дусавицкий, В.К. Дьяченко, А.Н. Леонтьев, Г.А. Цукерман и др.);
- психолого-педагогические основы обучения математике (В.А. Байдак,
Х.Ж. Танеев, Я.И. Груденов, В.А. Далингер, В.А. Крутецкий, Г.И. Саранцев,
Л.П. Стойлова, Л.М. Фридман и др.).
Проблема, цель, гипотеза обусловили задачи исследования:
Проанализировать предметное содержание понятия величины и обосновать системообразующую роль этого понятия: как для логической организации курса математики, так и для формирования учебной деятельности.
Провести сопоставительный анализ методик изучения величин в начальных классах и на его основе разработать такую, которая бы отвечала теории развивающего образования.
Выявить психолого-педагогические и методические предпосылки для формирования учебной деятельности младших школьников на основе системообразующего понятия величины.
Разработать программно-методическое обеспечение обучения понятию величины в начальных классах, лежащему в основе формирования учебной деятельности младших школьников.
Провести педагогический эксперимент с целью выяснения эффективности разработанной методики.
Для решения поставленных задач использованы следующие методы педагогического исследования:
теоретический анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по теме исследования;
изучение и анализ исследуемой проблемы в школьной практике (наблюдение и анализ уроков, анкетирование учителей и учащихся, индивидуальные беседы с учителями и учащимися, анализ письменных работ учащихся);
- педагогический эксперимент, качественный и количественный анализ его результатов с использованием элементов математической статистики.
Организация исследования. Исследование проводилось с 1980 по 2004 год и включало несколько этапов.
На этапе констатирующего эксперимента (1980-1983 гг.) изучалась психолого-педагогическая и методическая литература по проблемам: формирование учебной деятельности школьников; обучение математике учащихся в начальных и средних классах; развивающее обучение; проводился анализ состояния формирования учебной деятельности школьников по действующей традиционной программе, выявлялись возможные теоретические подходы к проблеме, разрабатывался стратегический план исследования.
Проводился анализ накопленного опыта экспериментального обучения учащихся начальных классов по системе Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова. Были определены основные идеи построения логики авторского курса математики для начальной школы на основе требований к отбору содержания и системы учебных заданий.
На этапе поискового эксперимента (1983-1992 гг.) разрабатывалось содержание авторского курса математики для начальных классов в рамках системы развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова и адекватная ему методика обучения с учетом следующих психологических принципов: структурирование учебного материала в программе, учебниках по принципу содержательного обобщения и особой организации учебной деятельности школьников при усвоении этих обобщений; опытно-экспериментальная работа, формирующий эксперимент с целью поиска наиболее эффективных, адекватных задачам развивающего обучения методических приемов.
На третьем этапе (1992-2002 гг.) проводился формирующий эксперимент с выходом в массовую школу на базе авторских учебников
математики для 1-3 классов, получивших гриф «Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации» (1992-1998 гг.).
Продолжение эксперимента осуществлялось на базе использования полного учебно-методического комплекта по математике для 4-летней начальной школы (переработанные и дополненные программа и учебники, учебные пособия для учащихся и методические пособия для учителей), получившего сначала гриф «Допущено Министерством образования Российской Федерации», а затем гриф «Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации» (1999-2002 гг.).
На заключительном этапе (2002-2004 гг.) проводились систематизация и обобщение полученных результатов, статистическая обработка результатов, оформление диссертационного исследования.
Научная новизна исследования состоит в том, что обоснована системообразующая роль понятия величины как для логической организации предметного содержания курса математики, так и для формирования учебной деятельности.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:
обоснованы психолого-педагогические принципы отбора содержания учебного материала, обеспечивающие логику его развертывания через последовательность стратегических учебных и учебно-практических задач;
разработаны содержательный и процессуальный компоненты методики формирования представлений о величинах у младших школьников;
определены принципы конструирования системы учебных заданий, направленных на формирование учебной деятельности младших школьников (принцип учета особенностей обучения детей младшего школьного возраста, оценочный принцип, принцип анализа способа действия, принцип методического анализа, рефлексивный принцип, диагностический принцип, принцип обратного перехода).
Практическая значимость исследования состоит в том, что:
создан новый курс математики для начальной школы по системе Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова, в методике преподавания которого обучение понятию величины рассмотрено в контексте формирования учебной деятельности младших школьников;
разработаны методические приемы, способствующие формированию учебной деятельности младших школьников на основе системообразующего понятия величины;
разработаны содержательный и процессуальный компоненты методики обучения учащихся начальных классов величинам и их свойствам;
разработаны требования к знаниям и умениям учащихся к концу каждого года обучения четырехлетней начальной школы.
Программа нового начального курса математики и полный учебно-методический комплекс, включающий учебники, рабочие тетради для учащихся, математические прописи, книги для учителя, разработаны на основе многолетних исследований в области теории и практического применения развивающего обучения по системе Д.Б. Эльконина -В.В. Давыдова.
Учебники по математике для 3-летней школы и учебно-методический комплект для 4-летней начальной школы (1998-2002 гг.) имеют гриф «Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации», учебники для 2,3,4 классов и методические пособия для учителя (3 и 4 кл.) являются победителями конкурса по созданию учебников и учебной литературы нового поколения для средней школы, проводимого Национальным фондом подготовки кадров (НФПК) и Министерством образования РФ (учебник для первого класса в конкурсе не участвовал).
Результаты исследования внедрены в учебный процесс начальных школ России, Украины, Белоруссии, Казахстана, в том числе прошли апробацию в классах, где обучались дети с тяжелыми нарушениями речи (г. Екатеринбург),
в коррекционных классах (г. Сочи и г. Лисичанск), во вспомогательной школе-интернате (г. Харьков) и других. Как показала экспериментальная апробация разработанных материалов, для обучения по предложенной программе нет необходимости в специальном отборе детей, она может эффективно использована в любых классах.
Результаты исследования могут быть использованы для совершенствования учебников по математике для начальной школы, а методические приемы, система учебных заданий - учителями, работающими по традиционной или другим авторским программам;
Результаты исследования могут найти свое применение в процессе преподавания теоретико-методических основ начального курса математики для учащихся педагогических училищ, колледжей, для студентов педагогических вузов, а также слушателей курсов повышения квалификации работников образования.
Положения, выносимые на защиту:
Формирование учебной деятельности младших школьников требует прежде всего выбора системообразующего понятия и определения его предметного содержания. Таким фундаментальным, системообразующим понятием является понятие величины, ибо оно служит средством реализации внутрипредметных и межпредметных связей с такими понятиями, как число, отношение, множество, функция, уравнение, неравенство и т.д. Но этого ещё недостаточно, требуется особая логическая организация математического содержания обучения и рациональное использование его развивающего потенциала для формирования учебной деятельности.
Деятельность учителя в современных условиях должна быть направлена на создание специальных учебных ситуаций, способствующих появлению у учащегося потребности именно в самом понятии (в частности, понятии величины), способе действия; организацию сотрудничества детей, в ходе которого и происходит открытие и усвоение понятия; действий,
необходимых для того, чтобы организовать, направлять и поддерживать содержательный диалог между детьми.
3. Процесс обучения учащихся величинам и их свойствам должен быть обеспечен такими методическими приемами, которые на каждом из этапов учебного процесса (мотивационно-ориентировочном, исполнительно-операциональном, контрольно-оценочном) направлены на формирование учебной деятельности.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертации выводов обеспечиваются опорой на фундаментальные философские, психолого-педагогические и методические исследования деятельностного подхода к обучению, на результаты психолого-педагогических исследований, доказывающих возможность и целесообразность формирования учебной деятельности младших школьников на основе системообразующего понятия величины; проверкой основных положений диссертационного исследования в ходе экспериментального обучения; многообразием и полнотой изученного фактического материала, выбором взаимодополняющих, адекватных задачам методов исследования, репрезентативностью выборки количества учащихся и учителей, использованием методов математической статистики на этапе количественного анализа результатов исследования; положительной оценкой разработанной методики учителями начальных классов.
Апробация результатов исследования осуществлялось в ходе формирующего эксперимента на базе школ №17 г.Харькова, № 1729 г. Москвы и др., при проведении занятий с учителями начальных классов городов: Харькова, Великого Новгорода, Нижнего Новгорода, Минска, Новосибирска, Санкт-Петербурга, Ижевска, Казани, Томска и др. - в режиме функционирования курсов повышения квалификации и постоянно-действующих семинаров, организованных Международной ассоциацией развивающего обучения на базе Центра развития личности, научное руководство которым осуществляет профессор, доктор психологических наук
А.К. Дусавицкий; при проведении занятий со студентами по курсу теории и методики начального обучения и специальных курсах и семинарах в Ногинском педагогическом колледже.
Основные положения и результаты исследований докладывались и обсуждались на научно-теоретических и на научно-практических конференциях Международной ассоциации «Развивающее обучение», на научных семинарах, на заседаниях кафедры Ногинского педагогического колледжа и кафедры теории и методики обучения математике Омского государственного педагогического университета.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка использованной литературы, приложений.
link1 Предметное содержание понятия «величина» и его системообразующая роль в формировании учебной деятельности link1 .
Понятие «величина» относится к основным научным понятиям и используется в математике, физике, химии, астрономии, биологии для характеристики процессов и явлений окружающей действительности, их изменений. В научной математической литературе особенно отмечается значимость понятия величины. Об этом писали и А.Н. Колмогоров [100], и В.Ф. Каган: "Эта... теория - учение о величине - играет вряд ли не важнейшую роль в деле обоснования всей математики" [94, с. 109].
Величина рассматривается как некоторое свойство предметов и явлений -время, масса, скорость, длина, площадь, объем, температура, заряд, плотность, сопротивление и т.п., которые можно не только наблюдать и описывать, но и измерять. Именно эта количественная характеристика свойств объектов позволяет математизировать знания о природе. СЕ. Царева отмечает, что "теория величин, возникшая как обобщение определенных физических свойств мира, стала моделирующим и структурирующим средством анализа и других сторон мира" [188, с. 106].
Само понятие величины достаточно долго имело описательный характер, и сейчас оно не определяется однозначно четко ни в курсе математики, ни в курсе физики. Одной из причин этого является приложимость понятия величины к слишком большому кругу свойств, как отмечал Н.Я. Виленкин [54]. Л. Эйлер называл величиной все, что способно увеличиваться или уменьшаться. Аналогично описывает понятие величины и А. Лебег. Содержание и связь между физическим и математическим понятием величины, а также основные направления в развитии теории аддитивно-скалярных величин представлены на рис. 1.
Однако не любое свойство объектов можно измерить, в частности, такие понятия, как воля, радость, любовь, героизм, сравнивают лишь на некоторой интуитивной основе. Иногда такие понятия также называют величинами, но, учитывая их отличительную особенность, величинами латентными [41].
Итак, класс аддитивно-скалярных положительных величин, изучаемых в школе и, в частности, в начальном курсе математики, имеет совершенно четкое определение, свойства, а, следовательно, трактовка понятия величины в школьном обучении должно соответствовать трактовке этого понятия в науке.
В научной математической литературе рассматриваются различные подходы к понятию скалярной величины, которые отождествляют величины с числами, с некоторыми множествами [28, 194], с определенными совокупностями свойств множеств [43], с определенными свойствами некоторых функций [50].
Как отмечал А.Н. Колмогоров, свойства величины были отчетливо сформулированы еще в III в. до н.э. Евклидом, затем дополнены постулатами Архимеда.
Рассмотрим два принципиально разных подхода к определению скалярной величины.
1). Пусть на множестве М определены три соотношения: а, /? и у (они соответствуют соотношениям «равно», «больше» и «меньше»). Пусть каждые два элемента а и Ъ множества М находятся по крайней мере в одном из соотношений: aab; afib; ayb. Пусть соотношение а рефлексивно, симметрично и транзитивно (т.е. является соотношением эквивалентности), а каждое из соотношений /? и у транзитивно. Кроме того, пусть соотношение а исключает соотношения Р и у. Из ааb следует а/ЗЪ, из afib следует aab, из aab следует ayb и из ayb следует aab. Тогда множество Мназывается системой скалярных величин, а каждый его элемент - величиной [195].
2). В другой трактовке скалярная величина рассматривается как значение свойства совокупности объектов. Пусть дано непустое множество М. Пусть на этом множестве определено соотношение эквивалентности Q. В силу этого соотношения множество М распадается на непересекающиеся классы эквивалентных элементов. Каждый класс эквивалентных элементов определяет некоторое свойство. Так как все свойства (соответствующие классам эквивалентных элементов) получены, исходя из одного и того же соотношения эквивалентности, то принято считать их не различными свойствами, а различными значениями одного и того же свойства. Например, на множестве отрезков М рассматриваемым соотношением эквивалентности является равенство отрезков. Классы, на которые распадается М, - это классы равных отрезков. Определяемое свойство - длина отрезка. Каждый класс равных отрезков определяет одно значение длины. Можно сказать, что длина отрезка - это такое его свойство, которое состоит в том, что равные отрезки имеют одну и ту же длину, неравные - различные длины.
Если множество значений свойства упорядочено, тогда это свойство называется скалярной величиной. Значение свойства, соответствующее данному элементу, называется его величиной. Поскольку множество значений длин упорядочено, длина есть скалярная величина [63].
Сравнивая рассмотренные подходы, можно отметить, что первое определение несколько проще. Так, если под величиной понимать свойство совокупности объектов, то при изучении какой-нибудь конкретной системы величин, например, длины отрезков, придется иметь дело с тремя множествами: множеством отрезков, множеством длин отрезков (в такой трактовке именно это множество и есть множество величин) и множеством мер длин (множеством чисел). Если же, согласно первому подходу, смотреть на систему величин как на всякую совокупность элементов, где определены соотношения, удовлетворяющие определенным аксиомам, то, рассматривая, например, длины отрезков, будем иметь дело только с двумя множествами: множеством отрезков и множеством мер отрезков, - называемых длинами отрезков (в этой трактовке каждое из этих двух множеств есть система скалярных величин).
3). Более распространенным считается аксиоматический подход к понятию скалярной величины, при котором она определяется косвенно через некоторую систему аксиом (А.Н. Колмогоров, Н.Я. Виленкин и другие).
В аксиоматике А.Н. Колмогорова содержатся не только свойства сравнимости, но и свойства операций сложения и вычитания. А.Н. Колмогоров отмечает, что с развитием математики смысл понятия величины подвергался ряду обобщений и уже в "Началах" Евклида были описаны свойства величин, называемых теперь (для отличия от дальнейших обобщений) положительными, скалярными величинами. Аксиоматика этих величин и дана в статье А.Н. Колмогорова [100].
Развитие теории измерения величин получила в работах Кавальєри, а затем Лейбница и Ньютона. В результате вопросы измерения величин, возникшие в свое время в связи с измерением земельных участков, в своем дальнейшем решении привели к методам дифференциального и интегрального исчисления, которые, в свою очередь, нашли приложение во всех областях математики.
Как правило, в школьном курсе математики величины рассматриваются в связи с задачей измерения. Измерения геометрических величин методисты относят к одному из наиболее трудных теоретических и методических вопросов из-за нечеткого определения основных объектов измерений (длины, площади, объема), а также отсутствия определения общего понятия величины [178].
Характеристика процесса формирования представления о величинах
Формирование понятия величины, т.е. введение в область отношений величин, является первой учебной задачей в нашем курсе математики, основное содержание которого можно представить как последовательность стратегических учебных задач. В теории учебной деятельности Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова, основная характеристика которой представлена в первой главе, учебная задача выделена в качестве ее первого структурного компонента, содержание которого есть подлежащий усвоению способ действия.
Логика развертывания учебного материала по формированию понятия величины в нашем курсе построена таким образом, чтобы решение одной задачи с необходимостью требовало решения другой задачи (знания должны быть обоснованы необходимостью и идти от потребности самого ребенка).
Последовательность постановки учебных и учебно-практических задач, в частности, обусловлена с одной стороны необходимостью поиска учащимися способа решения новой задачи как мотивационного ядра учебной деятельности, а с другой стороны - организацией детских поисковых действий, требующих преобразования объекта изучения. Так, в начале обучения, опираясь на анализ содержания понятия величины, представленной в первой главе диссертации, нами были поставлены следующие учебно-практические задачи, решение которых приводит к овладению детьми новыми способами действий при сравнении предметов по разным признакам, а именно: по длине, по площади, по объему, по массе и др.
1. Задача на восстановление объекта, обладающего различными свойствами (признаками). Решение этой задачи методом подбора объекта позволяет:
а) выделить те признаки, по которым его можно сравнивать с другими объектами;
б) найти различные способы сравнения предметов. Например, при сравнении по длине дети сначала опираются на зрительное восприятие, т.е. первоначально сравнивают «на глаз», а затем, когда этот способ не срабатывает, находят другие способы сравнения (наложение или приложение).
Научившись сравнивать различные предметы и геометрические фигуры по длине (ширине и высоте), ребенок попадает в ситуацию, когда этого умения становится недостаточно для сравнения. Например, необходимо подобрать точно такой же круг или многоугольник, у которых ребенок не может обнаружить ставшие привычными длину и ширину. У него возникает необходимость сравнения по другому признаку - площади.
Такой подход к появлению новых признаков сравнения предметов, при котором «старый» известный способ действия вступает в противоречие с новыми изменившимися условиями, позволяет ребенку уже на первых этапах обучения использовать его при решении целого класса частных задач на сравнение, что, в свою очередь, значительно расширяет набор признаков, по которым можно сравнивать предметы.
Действуя с реальными предметами, их признаками (свойствами) и результатами сравнения по заданному признаку, дети выделяют существенные связи и отношения между компонентами действия, выполняя три основных типа заданий:
а) есть предметы, известен признак - необходимо установить результат сравнения; б) есть предметы, известен результат сравнения - нужно установить, какой признак был выбран;
в) известны признаки и результат сравнения - необходимо добрать соответствующие предметы.
Вариативность этих заданий очевидна, что позволяет учителю в полном объеме контролировать свои действия и по мере необходимости их перестраивать.
2. Задача на восстановление величины в ситуации, когда подбор величины, равной данной, невозможен и для ее восстановления необходимо изготовить новую величину.
3. Задача на моделирование отношений равенства - неравенства решается с помощью копирующего рисунка, затем предметных моделей (например, полосочек), а лишь потом трансформируется в графическое (отрезками) и знаковое моделирование (буквенными формулами).
4. Задача на введение буквенно-знаковых символов. Введение знаков и букв представляет собой одну из важнейших задач в «дочисловом» периоде. В букве, обозначающей то или иное свойство, но не предмет, обобщаются выделенные отношения равенства - неравенства.
5. Задача на введение операций сложения и вычитания величин. Решение задачи уравнивания величин и изучение способов перехода от неравенства к равенству приводят к необходимости введения операций сложения и вычитания величин и изучения их свойств сначала на предметном уровне, затем с опорой на графическую и знаковую модели.
Раннее введение операций сложения и вычитания величин существенно расширяет возможности применения дошкольного опыта ребенка и позволяет на уровне сформированных ранее умений оперировать с числами, подбирая «подходящие» числа вместо букв в формулах, описывающих результаты сравнения и уравнивания величин. Подбор «подходящих» чисел к формулам, а затем к текстам задач имеет особое значение. Во-первых, дает возможность всем без исключения детям использовать свой дошкольный запас независимо от его объема и сделать тем самым выполнимым любые предлагаемые учителем задания. Во-вторых, закладывает основы для таких важнейших математических понятий, как область допустимых значений, решение уравнений или выражений с параметрами. В-третьих, поможет детям устанавливать связь, а следовательно, делать «прикидку» того, может ли полученный результат соответствовать тексту решаемой задачи и реальным фактам.
Насколько важно сформировать у ребенка умение подставлять в любые буквенные математические выражения числа, настолько необходимо умение выполнять обратные переходы, решая задачу восстановления буквенных выражений по числовым. Это оказывается решающим фактором изучения математики в старших классах при работе с взаимообратными функциями, со способом нахождения интеграла как задачей по восстановлению первообразной функции по ее производной и т.д.
6. Задача на введение понятия части и целого. Введение понятия части и целого при решении задачи на воспроизведение величины по ее известным частям позволяет освоить способы построения и решения уравнений и существенно расширить класс решаемых задач. Подбор «подходящих» к данному отношению чисел даст возможность рассмотреть состав числа (преимущественно однозначного), опираясь на дошкольные умения.
Методические особенности организации процесса формирования учебной деятельности младших школьников на основе понятия величины
Для формирования учебной деятельности младших школьников в процессе обучения величинам нами разработан и экспериментально апробирован комплекс различных форм, методов, средств и приемов, обеспечивающих реализацию целей обучения. Они способствуют не только усвоению математических знаний (выделению свойств предметов, величин и отношений между ними), но, главное, развитию математического мышления у младших школьников, воспитанию, развитию личности ребенка, формированию учебной деятельности, а в совокупности направлены на развивающее образование. Сразу же оговоримся, что в данном параграфе речь идет не о приемах учебной деятельности (общеучебные, общие, специальные, частные), а о тех методических приемах, формах методах и средствах, которые характеризуют взаимосвязь обучающей деятельности учителя и учебно-познавательной деятельности учащегося.
Формирование учебной деятельности предполагает отработку у учащихся каждого из ее компонентов. В концепции учебной деятельности Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова выделены следующие компоненты этой деятельности: принятие школьником учебной задачи, поставленной учителем, и самостоятельная постановка учебных задач учащимся, что создает готовность школьника к работе и тесно связано с формированием мотивов учения - мотивационно-ориентировочный компонент; осуществление учебных действий - исполнительно-операциональный компонент и контрольно-оценочный компонент, предполагающий выполнение самим учеником действий контроля и оценки.
Разработанный нами методический арсенал используется во взаимосвязи его компонентов, которые дополняют друг друга и оказывают влияние на различные аспекты процесса воспитания и развития детей.
Раскроем сущность разработанных форм, методов, средств и методических приемов связи с формированием основных компонентов учебной деятельности младшего школьника, по отношению к которым они проявляются в наибольшей степени на каждом из этапов учебного процесса. I. Мотивационно-ориентировочный этап
Реализация нового курса математики для четырехлетней начальной школы потребовала прежде всего учета психологических особенностей шестилеток. Известно, что у большинства детей в это время еще не существует учебной мотивации, несмотря на то, что познавательная потребность, как один из компонентов, выражена достаточно ярко, а социальные мотивы учения практически отсутствуют. Характеризуя интеллектуальную и речевую сферу шестилеток, необходимо отметить слабое развитие процесса обобщения и неразвитую речь. Низкий уровень сенсомоторной координации свидетельствует о том, что в психофизиологическом плане ребенок еще не созрел, мелкая моторика находится в развитии. Как показывают многочисленные психолого-педагогические исследования, шестилетние дети и значительная часть семилетних детей нуждаются в психологическом развитии, способствующем психологической готовности к школе. Именно она определяет успешность школьного обучения. Отсюда следует, что главной целью обучения детей шестилетнего возраста является целенаправленное формирование у них полноценной психологической готовности к школьному обучению, которая характеризуется явно выраженной внутренней позицией школьника, учебной мотивацией, относительно развитым процессом обобщения, речевым развитием и развитой сенсомоторной координацией ребенка.
В процессе формирования учебной деятельности младших школьников на основе представлений о величинах мы использовали и экспериментально подтвердили эффективность следующих методических подходов с целью мотивации этой деятельности.
1. Формирование потребности в понятии или способе действия
Как отмечал В.В. Давыдов, в самом начале школьной жизни у ребенка еще нет потребности в теоретических знаниях, как психологической основе учебной деятельности. Эта потребность у ребенка возникает в процессе реального усвоения им элементарных теоретических знаний при совместном с учителем выполнении простейших учебных действий, направленных на решение соответствующих учебных задач [68].
В нашем курсе логика развертывания учебного материала по формированию представления о величинах построена таким образом, чтобы решение одной задачи с необходимостью требовало решения другой задачи -знания должны быть обоснованы и идти от потребности самого ребенка.
Простейшая ситуация, с которой сталкиваются дети, - это сравнение длин отрезков, изображенных на листе бумаги или на доске так, что невозможно соотнести их длины на глаз, то есть или непосредственно взять отрезки в руки и наложить один на другой. Это приводит детей к мысли о необходимости поиска подходящего способа решения задачи сравнения величин в ситуации, когда нельзя непосредственно сравнивать объекты. Дети предлагают свои способы действия, которые в итоге сводятся к необходимости использования посредника, т.к. приходят к выводу о том, что в аналогичных ситуациях (условиях) нужно выполнять опосредствованное сравнение.
Методический прием создания потребности в понятии или способе действия используется нами на всех этапах формирования представлений о величинах, он является одним из шагов в решении учебной задачи. Ребенок, пытаясь решить поставленную задачу, обнаруживает дефицит собственных знаний и понимает, что в такой ситуации, когда у него возникают трудности и известный способ не позволяет решить задачу, нужно конструировать новый способ.
С помощью специально подобранных заданий мы обосновываем потребность не только конструирования нового способа действия, но и введения буквенных обозначений для признаков необходимость введения индексов для того, чтобы различать, о величине какого предмета идет речь в каждой формуле и схеме; значимость введения специальных значков - скобок, позволяющих описывать способ действия и др.
