Структура и свойства нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей Дубровский Владислав Георгиевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Нелинейные эволюционные уравнения, интегрируемые овдей дифференциальной матричной спектральной задачей, их теоретико-групповая и гамильтонова структуры

1.1. Вывод фундаментального соотношения 15

1.2. Рекурсионный оператор 19

1.3. Построение общих Бэклунд-преобразований 25

1.4. Общая форма интегрируемых уравнений 29

1.5. Гамильтонова структура интегрируемых уравне ний 32

1.6. Теоретико-групповая структура интегрируемых уравнений 39

1.7. Примеры: N = 2,3,H 42

ГЛАВА 2. Общая дифференциальная спектральная задача с n потенциалами v0 , , vн„л и константными граничными условиями: группа общих бэклунд-преобразований и общая структура нелинейных уравнений

2.1. Рекурсионный оператор при различных способах разрешения связи 53

2.2. Группа общих Бэклунд-преобразований и нелинейные эволюционные уравнения 61

2.3. Калибровочная инвариантность и гамильтонова интерпретация интегрируемых уравнений 67

2.4. Примеры: /V = 2 77

2.5. Примеры: М-в 87

ГЛАВА 3. Общая структура нелинейнык уравнений, интегрируемых общей матричной спектральной задачей

3.1. Общая структура нелинейных уравнений 94

3.2. Калибровочная инвариантность 98

3.3. Примеры 101

ГЛАВА 4. Общая структура нелинейных уравнений в i + 2 измерениях, интегрируемых обобщенной двумерной дифференциальной спектральной задачей

4.1. Некоторые важные соотношения 104

4.2. Рекурсионные операторы 109

4.3. Общий вид интегрируемых нелинейных уравнений 113

4.4. Примеры: А/=2 , /\/=3 117

Заключение 127

Литература

• Рекурсионный оператор
• Группа общих Бэклунд-преобразований и нелинейные эволюционные уравнения
• Калибровочная инвариантность
• Общий вид интегрируемых нелинейных уравнений

Введение к работе

Одним из основных методов описания физических процессов являются дифференциальные уравнения. Хорошо известна фундаментальная роль линейных уравнений: волнового уравнения, уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа, встречающихся почти во всех разделах физики. Однако многие физические явления существенно нелинейны и требуют для своего описания нелинейных уравнений.

Традиционные методы решения линейных уравнений: методы преобразования Фурье, Лапласа и т.д. в применении к нелинейным уравнениям оказываются в большинстве случаев малоэффективными.

В 1967 году в работе Гарднера, Грина, Крускала и Шуры (ITKM) [8] при решении задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) Ut +6UUX+ Uxxx-0 бил. открыт новый метод математической физики - метод обратной задачи рассеяния (МОЗР). Важным моментом работы ГГКМ было сопоставление нелинейному уравнению КдФ линейной спектральной задачи, потенциал которой отождествлялся с решением уравнения КдФ.

Лаке в работе [э] переформулировал первоначальные результаты ШМ на операторном языке, введя L,A -пару, и нашел бесконечное семейство интегрируемых уравнений, ассоциированных с уравнением КдФ. Им был предложен первый метод поиска интегрируемых уравнений.

В работе Захарова и Шабата в 1971 году [ю] с помощью спектральной задачи Дирака было проинтегрировано нелинейное уравнение Ифедингера LUt + Uxx +2lUf U = 0 . Стало ясно, что метод ГГКМ применим не только к КдФ.

Дальнейшее развитие МОЗР получил в замечательной работе Захарова и Шабата [її] 1974 года. В этой работе был предложен метод одевания, который одновременно с построением интегрируемых нелинейных уравнений дает рецепт вычисления точных решений этих уравнений.

Метод описания класса интегрируемых уравнений, ассоциированных с данной спектральной задачей, был предложен также в работе Абловитца, Каупа, Ныоэлла и Сегура (ІШНС) [l4] .

Результатом перечисленных выше работ, а также ряда других важных работ (см., например, [l-5] ), явилось значительное продвижение в понимании области применимости и в развитии техники МОЗР.

Были предложены методы построения нелинейных интегрируемых уравнений: метод L , А - пары Лакса [э] ; і/ , V - схема [l2J, [ІЗ,і] ; метод одевания [іІДДб] ; AKHC - метод [l4] .

Было осознано, что с различными спектральными задачами связаны бесконечные семейства нелинейных эволюционных уравнений. Помимо интегрируемых уравнений в частных производных были открыты другие типы нелинейных уравнений, интегрируемых МОЗР, например, интегродифференциальные, дифференциально-разностные, раз-ностно-разностные уравнения (см., например, [l-7] ).

В настоящее время существует несколько мощных методов получения точных решений интегрируемых нелинейных уравнений: метод обратной задачи рассеяния (метод уравнения Гельфанда-Левитана--Марченко) [l-5] , метод одевания [іІДДб] Захарова-Шабата, метод задачи Римана fl2,I3,l] .

Метод обратной задачи рассеяния можно интерпретировать как нелинейный аналог преобразования Фурье [l4,I,3,4] . При этом преобразовании коэффициентные функции линейной спектральной задачи, отождествляющиеся с решением системы нелинейных уравнений, отображаются в совокупность так называемых данных рассеяния. Закон эволюции данных рассеяния задается легко интегрируемыми линейными дифференциальными уравнениями. Задача интегрирования нелинейных уравнений сводится к нахождению коэффициентных функций спектральной задачи по данным рассеяния - обратной задаче кван - 6 товой теории рассеяния (см., например, [і, 3-5] ).

В более современных и мощных методах - методе одевания и методе задачи Римана- точные решения интегрируемых нелинейных уравнений находятся без использования обратной задачи рассеяния [11,1,12,13,15] .

За последнее время сфера применимости МОЗР значительно расширилась. Особенно далеко продвинуто применение МОЗР в одномерном случае (одна пространственная переменная X и время t ) (см, например, [l-б] ). Предпринимаются попытки обобщить МОЗР на многомерный случай (несколько пространственных переменныхXt,...,XcL и время t ), некоторые результаты получены в двумерном случае [1,15-17] .

Уравнения, интегрируемые МОЗР, встречаются в самых разнообразных областях физики. Так, например, уравнение ВДВ Ut+6UUX+ + Uxxx"0 встречается при описании множества процессов, в которых приходится одновременно учитывать простейшие нелинейные и дисперсионные эффекты. Примерами могут служить: I) волны на мелкой воде, 2) ионно-звуковые волны в плазме, 3) магнито-гидродинамичес-кие волны, 4) волны в ангармонической решетке, 5) продольные волны в упругих стержнях, 6) волны сжатия в жидкостях, заполненных газовыми пузырьками и т.д. (см., например, fl-7] ).

Нелинейное уравнение Шредингера CUt tCjcX- -2/ 21 О используется при описании: I) стационарной самофокусировки плоской волны, 2) распространения термоимпульса в твердом теле, 3) ленг-мюровских волн в плазме и т.д. (см., например, [l-7] ).

Уравнение синус-Гордон Uxx u= &nU описывает: I) распространение дислокаций в кристаллах, 2) движение блоховских границ в магнитных кристаллах, 3) некоторые вопросы единой теории элементарных частиц, 4) распространение магнитного потока по джо-зефсоновской линии и т.д. (см., например, [l-7] ).

В процессе развития МОЗР выяснилось, что для нелинейных уравнений, интегрируемых этим методом, характерен ряд замечательных свойств:

Решения солитонного типа - это решения нелинейных уравнений типа уединенных волн U (я-Цї), сохраняющих свою форму и скорость при столкновениях друг с другом (см., например, [l-7] ).

Бесконечные наборы интегралов движения (см., например, [l-7] ) - это свойство интегрируемых нелинейных уравнений резко отличает их от неинтегрируемых нелинейных уравнений, которые имеют конечное число интегралов движения: импульс, энергию, заряд и т.д.

Полная интегрируемость (см., например, [l,3] ), означающая существование канонических переменных типа действие - угол. Уравнения движения в этих переменных линейные и легко интегрируются.

Уравнения, интегрируемые МОЗР, допускают также очень своеобразный тип преобразований - так называемые Бэклунд-преобразования (ЕЛ) (см., например, [2-5,7,18] ). Это нелинейные, неоднородные по полю преобразования, переводящие решения некоторого дифференциального уравнения в решения того же самого уравнения. Формулы, задающие ЕЛ, можно использовать для нахождения явного вида мно-госолитонных решений.

Интегрируемые нелинейные уравнения обладают бесконечномерными группами симметрии нового типа (см., например, [l9-20] ). Существование таких групп симметрии, как правило, связано с наличием бесконечного числа интегралов движения для интегрируемых уравнений.

Одной из основных задач МОЗР является эффективное описание классов интегрируемых нелинейных уравнений. Существуют различные подходы к этой задаче. Простой и красивый метод описания интегрируемых нелинейных уравнений - АКНС - метод - был предложен в работе Абловитца, Каупа, Ньюэлла и Сегура [і4] в 1974 году. Центральным моментом ЖНС - метода является использование так на - 8 зываемого рекурсионного оператора L . Понятие рекурсионного оператора было впервые введено для уравнения К Ленартом (см. [2l] ). Абловитц, Кауп, Ньюэлл и Сегур показали [14] , как вычислить рекурсионный оператор /, , исходя из спектральной зада-чи. Для спектральной задачи ЛІг) = (Zt д )(-/)1 рассматривавшейся ранее в работе Захарова и Шабата [її] при Г = $ , АКНС, используя рекурсионный оператор L , показали, что уравнения, интегрируемые указанной спектральной задачей,могут быть представлены в следующем виде: Lg J i 2A0(Lf)(„) — 0 . Здесь A0(L+) - произвольная мероморфная функция L . Эти уравнения содержат в себе семейства нелинейных уравнений, ассоциированных с уравнениями ВД , модифицированного уравнения Кдр (мКдФ), нелинейного уравнения Шредингера, уравнения синус-Гордон и т.д.

Гамильтонова структура полученных в работе AKHC [l4] нелинейных уравнений была детально исследована Флашкой и Ньюэллом [22] .

Б последующих работах МНС - метод был обобщен на матричную спектральную задачу [23-26,28,29,3lJ , квадратичный пучок [30,33] и другие спектральные задачи [27,29,32-34] .

Привлекательные черты АКНС - метода заключаются в том, что он позволяет: I) найти общую форму нелинейных уравнений, связанных с данной спектральной задачей, в простой и компактной форме, 2) вычислить бесконечномерную группу общих Бэклунд-преобразова-ний для этих уравнений, 3) исследовать гамильтонову структуру одновременно для всего класса уравнений, интегрируемых данной спектральной задачей. С помощью Бэклунд-преобразований, полученных АКНС-методом, могут быть построены многосолитонные решения интегрируемых нелинейных уравнений. Отметим, однако, что более эффективными и мощными методами построения точных решений интегрируемых нелинейных уравнений являются метод одевания [іІДДб] и метод задачи Римана [l2,I3,l] .

Отметим, что группа общих ЕП при bl — Z , IA—1 и Vofctf-j O была впервые построена в работе Калоджеро [бО] . При А/ — 2 и произвольном М группа общих ЕП была вычислена в работе Калоджеро и Дегаспериса [52] , которые детально исследовали свойства построенной ими группы общих БП [51,52] . "Общие" HI, вычисленные в работе Адлера [53] при произвольном /V , М=1 и V{ (х, i) J 0O О (к в О, І,.. ., М-2) являются лишь частным случаем ( Д,— О , 3j • •, Б,/-] - константы) общих БП, построенных в настоящей работе [54] .

Рекурсионный оператор (типа Lf= A lv-v ) для общей дифференциальной спектральной задачи был вычислен также с помощью совершенно другой техники в работах [41,43] .

Впервые гамильтонова структура уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей, была исследована в работах [35-39] . В главе I с помощью МНС-техники показано, что интегрируемые нелинейные уравнения с целыми по./, функциями являются гамильтоновыми относительно бесконечного семейства гамильтоновых структур [54] . Ранее в работах [35-39) и [41,66-67] обсуждались первая и вторая гамильто-новы структуры.

В главе I исследуется также теоретико-групповая структура интегрируемых нелинейных уравнений. Показано, что бесконечномерная группа общих ЕП содержит в качестве своих подгрупп помимо группы, порождающей сдвиги по времени, I) бесконечномерную Б-группу авто-Бэклунд-преобразований (dBk(Af,i)/dt =0) ,2) бесконечномерную группу симметрии (Ьк(AU) = е#Рfk( №), к =1,...,Н-1), 3) бесконечномерную группу обобщенных ЕП (дВк(А ±)/д1 ф О) . 

В конце главы I вычисляются конкретные примеры [54} рекур-сионных операторов, общих ЕП и интегрируемых нелинейных уравнений для случаев М ==2,3, Ч общей дифференциальной матричной

- 12 спектральной задачи. Некоторые из вычисленных в главе I конкретных Бэклунд-преобразований и интегрируемых систем нелинейных уравнений являются новыми.

В главе 2 рассматривается общая дифференциальная скалярная спектральная задача

где Vk (x,t) - скалярные функции, такие, что V fai)— V/coo. Данная спектральная задача обобщает скалярный случай общей дифференциальной спектральной задачи, рассмотренной в главе I, по двум направлениям: I) предполагается наличие дополнительного потенциала v N-І f00 ) » что означает калибровочную свобода у спектральной задачи, 2) потенциалы Vj (sc,t) удовлетворяют константным граничным условиям ( УкооФО).

Традиционно [l4, 22-34] нелинейные уравнения, интегрируемые различными спектральными задачами, при работе в рамках МНС-техники получались в фиксированной калибровке и содержали лишь динамические переменные. На примере общей дифференциальной спектральной задачи в главе 2 развита АКНС-техника для работы со спектральными задачами без наложения калибровочных условий. Эффективно описаны неоднозначности в рекурсионных операторах и произвол в интегрируемых нелинейных уравнениях и в общих БП, обусловленные калибровочной свободой [55,5б] .

В главе 2 исследуются также трансформационные свойства ре-курсионных операторов, общих ЕП и нелинейных уравнений относительно группы калибровочных преобразований, сохраняющих спектральную задачу. Показано, что построенные общие БП и интегрируемые нелинейные уравнения имеют калибровочно-инвариантные части. Дается явно калибровочно-инвариантная формулировка общих БП и интегрируемых нелинейных уравнений, рассматривается гамильтоно-ва интерпретация нелинейных уравнений [55,5б] .

Б конце главы 2 приводятся конкретные примеры общих БП и интегрируемых нелинейных уравнений для случаев А/=2 и /1/=3 [55,5б] . Некоторые из вычисленных в главе 2 конкретных Бэклунд-преобразований и интегрируемых систем нелинейных уравнений являются новыми.

Ситуация с неоднозначностью задания рекурсионного оператора, с произволом в нелинейных уравнениях и с калибровочной инвариантностью типична при работе в рамках АКНС-метода со спектральными задачами без фиксации калибровки. Это также продемонстрировано [57] в главе 3 диссертации на примере общей матричной спектральной задачи где А - постоянная диагональная /Vх/V матрица, Pft,t) -произвольная матрица /VхA/ ( Pfafy , -+ ° ). В предположении РЯФ 0 ( PQ(x,t) диагональная часть P(x,t) ) в главе 3 диссертации получены нелинейные уравнения, интегрируемые общей матричной спектральной задачей, исследованы их трансформационные свойства относительно группы калибровочных преобразований, дана явно калибровочно-инвариантная формулировка этих уравнений. Среди вычисленных в главе 3 конкретных интегрируемых систем нелинейных уравнений содержится (при Н — 2. ) новая интегрируемая смешанная система уравнений Кортевега-де Фриза и Бюргерса.

Актуальной задачей является получение интегрируемых нелинейных уравнений в многомерном случае [I5-I7J . В главе 4 диссертации рассмотрено следующее двумерное обобщение общей дифференциальной спектральной задачи:

В заключении к диссертации сформулированы основные полученные результаты.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научных семинарах теоретического отдела Института ядерной физики СО АН СССР, на научном семинаре теоретического отдела ВНИЦПВ, на научных семинарах кафедры теоретической физики НЭТИ и опубликованы в работах [54-57, 59] .  

Рекурсионный оператор

Традиционно [l4, 22-34] нелинейные уравнения, интегрируемые различными спектральными задачами, при работе в рамках МНС-техники получались в фиксированной калибровке и содержали лишь динамические переменные. На примере общей дифференциальной спектральной задачи в главе 2 развита АКНС-техника для работы со спектральными задачами без наложения калибровочных условий. Эффективно описаны неоднозначности в рекурсионных операторах и произвол в интегрируемых нелинейных уравнениях и в общих БП, обусловленные калибровочной свободой [55,5б] .

Так, например, действие построенной в главе 2 бесконечномерной абелевой группы общих БП на многообразии потенциалов fVfrt). V( ,t)j -V»}, е V(x,t) (VJx,t),-,K_,M)T задается формулой [56] : где Вк (Л , t) - произвольные целые функции стандартного рекур-сионного оператора A J (V, V) J A fs(V, V) , Я (Ц Vh M(s)k (V, V) - некоторые интегродифференциальные операторы; C (V,V ) — = ((V,V),..., 0Ц№))Г $У) некоторые дифференциальные операторы; fi6 (х, t) - произвольная скалярная функция. Отметим, что построенная группа общих ЕП содержит в качестве подгруппы группу калибровочных преобразований, сохраняющих спектральную задачу. Полученные в главе 2 общие ЕП [бб] (аналогично и интегрируемые нелинейные уравнения [55] ) имеют произвол, содержащийся в одной скалярной функции ф& (х, t)

В главе 2 исследуются также трансформационные свойства ре-курсионных операторов, общих ЕП и нелинейных уравнений относительно группы калибровочных преобразований, сохраняющих спектральную задачу. Показано, что построенные общие БП и интегрируемые нелинейные уравнения имеют калибровочно-инвариантные части. Дается явно калибровочно-инвариантная формулировка общих БП и интегрируемых нелинейных уравнений, рассматривается гамильтоно-ва интерпретация нелинейных уравнений [55,5б] .

В конце главы 2 приводятся конкретные примеры общих БП и интегрируемых нелинейных уравнений для случаев А/=2 и /1/=3 [55,5б] . Некоторые из вычисленных в главе 2 конкретных Бэклунд-преобразований и интегрируемых систем нелинейных уравнений являются новыми.

Ситуация с неоднозначностью задания рекурсионного оператора, с произволом в нелинейных уравнениях и с калибровочной инвариантностью типична при работе в рамках АКНС-метода со спектральными задачами без фиксации калибровки. Это также продемонстрировано [57] в главе 3 диссертации на примере общей матричной спектральной задачи где А - постоянная диагональная /Vх/V матрица, Pft,t) -произвольная матрица /VхA/ ( Pfafy , -+ ). В предпо ложении РЯФ 0 ( PQ(x,t) диагональная часть P(x,t) ) в главе 3 диссертации получены нелинейные уравнения, интегрируемые общей матричной спектральной задачей, исследованы их трансформационные свойства относительно группы калибровочных преобразований, дана явно калибровочно-инвариантная формулировка этих уравнений. Среди вычисленных в главе 3 конкретных интегрируемых систем нелинейных уравнений содержится (при Н — 2. ) новая интегрируемая смешанная система уравнений Кортевега-де Фриза и Бюргерса.

Актуальной задачей является получение интегрируемых нелинейных уравнений в многомерном случае [I5-I7J . В главе 4 диссертации рассмотрено следующее двумерное обобщение общей дифференциальной спектральной задачи: ( К-л ( ?-№ + ...+ VoM,t) ( .у.&г)г- о, где VL (x,L/,t) - скалярные функции, У/,(з:,ц,Ы о p"fevTiL)—f — -0 Г59І . С помощью билокального подхода, развитого в работе [58] , в рамках АКНС-техники в главе 4 получены обширные классы нелинейных уравнений [59] , интегрируемых указанной двумерной спектральной задачей. Среди этих уравнений (при /l/ J? ) содержится двумерное обобщение семейства одномерных уравнений Гарри-Дим (см., например, [4] ), а при /\/=3 получено новое уравнение (аналог уравнения Гарри-Дим), не содержащееся в семействе уравнений Гарри-Дим. В заключении к диссертации сформулированы основные полученные результаты.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научных семинарах теоретического отдела Института ядерной физики СО АН СССР, на научном семинаре теоретического отдела ВНИЦПВ, на научных семинарах кафедры теоретической физики НЭТИ и опубликованы в работах [54-57, 59] .

Группа общих Бэклунд-преобразований и нелинейные эволюционные уравнения

Свобода, аналогичная встречающейся у операторов А , (А ) (см. (2.1.35)), имеется и у операторов Жк и Мк » Для которых, используя (2.2.4), находим следующие выражения: 1 (2.2.6) где Q —iOifk), w2fk),--- VA /H Щ) №т Уг{н -» У№)ж № » $( ) $( }) » $n(iQ произвольные операторы, а матрицы &к и /, находятся из формулы (А ) — A Q$ + % . Переменные X, ,..., fa в (2.2.5) не являются независимыми, т.к. удовлетворяют связи (2.1.ІЗ). В результате, из соотношения (2.2.5) будем иметь IIВк Ш[Як(Г-Ч„) -A(l/-V )J-MU)fy = о, (2.2.7) где 3tfAf,l) (к = 0,..., //-1) и f/j/jft і) - произвольные функции, целые по А и А »г% »-Д- - операторы вида (2.1.35), (2.2.6) и $ (x,t) - произвольная скалярная функция.

Действительно, из (2.2.5) следует, о JL &Jjt)fc%k(V-Ve ) -Jttk(V V »)-Z, где zL - любой столбец, удовлетворяющий условию ІГ/-0 . Ясно, что Zic-f/ytttyfaVtk (4-42,..., А/), где функция pfxt ) - произвольная скалярная функция и JfA і) - любая, целая по X , функция. Учитывая, что А / =-А X » имеем ЛZAXk fifat)JE tk(f(A,i)X)k Походя к величине, сопряженной 2L , получаем (2.2.7). - 63 -Соотношение (2.2.7) эквивалентно соотношению: ІЗД t)[Mblk(V -V ) -Mmk(V-V4fts = О, (2.2.8) где Л/—J pV y » 0&fa ) - произвольная скалярная функция и (2.2.9) Лт"ЛІ at НІ / Действительно, подставляя выражение (2.1.35) для А в (2.2.7) и используя тот факт, что / "= # , получаем (2.2.8).

Итак, (2.2.8) задает общий вид нелинейных преобразований V— / на многообразии потенциалов / // , » Vfaty T i— /4У. Эти преобразования соответствуют преобразованиям (2.1.5) матрицы рассеяния задачи (2.I.I).

Нелинейные эволюционные уравнения получаются из (2.2.7) или (2.2.8) согласно процедуре, изложенной в 1.4. А именно, рассмотрим однопараметрическую подгруппу группы общих HI (2.1.ІЗ), (2.2.7) (или (2.2.8)), задаваемую матрицами С В вида (1.4.1), где (А)м "-/UiSisk Эта подгруппа порождает сдвиги по времени. Для инфинитезимального сдвига по времени: І— t —t+e , где 5 — О , имеем:

Подставляя (2.2.10) в (2.2.7) и (2.2.8) и удерживая члены первого порядка по 5 , получаем следующие, эквивалентные друг другу, системы уравнений: Операторы A » 0- и « задаются формулами (2.1.35) и (2.2.6), а операторы As , и М$)к формулами (2.1.34) и (2.2.9). Закон эволюции S -матрицы, соответствующий уравнениям (2.2.II) или (2.2.13), находим (как и в 1.4) подстановкой в (2.1.5) матриц &=С вида (1.4.1) (с 3 , даваемыми (2.2.10)) и & (X,t) &(Kt4-S№)+-%j; . В результате имеем: JSfat) dt [Y(X,t),S(Kt)J , (2.2.15) где Y{A,t)-J:QA(Ait)A и (А)и-/ Лк k-d Нелинейные уравнения (2.2.II) (или (2.2.13)) представляют собой уравнения, интегрируемые с помощью спектральной задачи (2.I.I), в форме, естественной для .АКНС-метода. Эти же уравнения, конечно, можно представить в стандартной форме Лакса 5Г e l AJ , где L - оператор, стоящий в левой части (2.I.I), а А - некоторый подходящий оператор вида к-0 Произвол, содержащийся в уравнениях (2.2.II) или (2.2.13), со - 65 ответствует произволу в выборе функции U0 , входящей в оператор А .

Преобразования (2.2.8) и (2.2.7) являются общими Ш для уравнении (2.2.13) и (2.2.II) соответственно. В случае дВ /дІ-= 0 (к=0,... //- )преобразования (2.2.8) и (2.2.7) являются общими авто-Бэклунд-преобразованиями для уравнений (2.2.II) и (2.2.13) соответственно. Бесконечномерная группа авто-Бэклунд-преобразований содержит в качестве подгруппы бесконечномерную абелеву группу симметрии уравнений (2.2.II) и (2.2.13).

Умножим (2.2.7) (или (2.2.8)) на Мы , учитывая соотноше fBk(iC№k(4v -v«)-MkM (wJ=o, (2.2.16) где у (/c=o,f,...,h/-J).

Подчеркнем, что вся неопределенность при переходе от (2.2.7) и (2.2.8) к (2.2.16) исчезает. Можно показать, что соотношения (2.2.16) получаются из (2.1. 6) при исключении явной зависимости от X с помощью рекурсионного оператора Л& (2.1.30), действующего в пространстве hi-і -независимых компонент &,...,/«-J, О , / ,./,..., /у.

Система (2.2.16) содержит, в силу специального устройства операторов Мы и A» f /V-i нетривиальных уравнений. ОС -ое уравнение системы (2.2.16) есть тождество 0=0 . Системы (2.2.7) и (2.2.8), напротив, имеют по АІ нетривиальных уравнений на V и V . Система /\f-i нетривиальных уравнений (2.2.16), очевидно, является подсистемой (2.2.7) (или (2.2.8)). Нетрудно показать, что системы (2.2.16) с различными о эквива - 66 лентны друг другу.

Калибровочная инвариантность

Стандартным образом [і] введем матрицу рассеяния S(A,t): F (х-ЛЛ) = F fatyX)S(X, t) . Можно показать, что из закона эволюции S -матрицы вида (см. [23,25-29,31] ): 77м - [JtoAWMH (зл 3) вытекает соотношение

Справедливо и обратное утверждение. Здесь и ниже (Нм,)и kkoek (с.,к, 4,-..,М) и Qk(Хуt) - произвольные функции, целые по А . Чтобы получить из (3.1.4) нелинейные уравнения, нужно вычислить рекурсионный оператор. Исходным пунктом для построения рекурсионного оператора служит уравнение для тензорного произведения :

Обычно [14,23-29,31) , используя (3.1.5), выражают через Ф и подставляют полученное выражение для Ф в (3.1.5), в результате получается соотношение (3.1.2). Чтобы вычислить рекурсионный оператор L , действующий во всем пространстве компонент ф , перепишем (3.1.5) в виде двух уравнений: J P - - i)? (3.1.6) - 96 где D=b-[Pr] adA P" [А, Р] и 4 -операторы проектирования; для любой /И Л матрицы . (&я В)уг д Ви (t=j,..., A/) , А/гЗ З-ДзВ Уравнение (3.1.7), не содержащее параметра /1 , есть связь. Введем оператор М &F + А9 Ъ+[Р, Л/] , xy(b?J)(x)= = №yf(#) . Используя М , связь (3.1.7) можно переписать в ТОО виде: М9-Ф . Легко видеть, что имеют место соотношения, аналогичные (2.1.14): МЧМ, МДГ=М, AFM = AF . (3.1.8) Используя (3.1.8) и умножая (3.1.6) на М , мы получим J(p%U)-Mac/;\D pl"Ls pu . (L+n.) m (3.1.9)

Оператор LS = M ad AFD = ac//AFD + A3 Ъ+[Р, ad;%D -J и является рекурсионным оператором, который нам нужен. Оператор Ls действует в пространстве всех компонент Р (при фиксированных I и / ). Однако Ls - это не самый общий рекур-сионный оператор, который можно задать в пространстве всех ком-понент г . Используя (3.1.7), можно показать, что общий вид такого рекурсионного оператора есть: L LS + Q D , (3.I.I0) где Ls /4ac//yAFJ) и Q - произвольный /А И/ матричный оператор. Для всех операторов L вида (3.1.10) имеем L РІН(ІЇ = A P%U) ( + ) . (З.І.ІІ) Итак, существует большая свобода при построении рекурсионного оператора. Для операторов Z и L6 , сопряженных Z и Ls относи I. too тельно билинейной формы CX% } — S xir( (x)X/M) , будем иметь: - 97 L -Lt-S&aQ1 , (3.I.I2) Z/ Dad;JMf =I aJ;JAr + Dacfc fP, bZ% ] r (3.I.I3) где Mf- F+ [P, :% J , (ъ Л(х) &UrW Используя (3.1.II), преобразуем (3.1.4) к виду - pu(x,t,»(j - рк (Lum.pj)} = о. сз.і.14)

Нетрудно показать, что равенство ( ф1" Z.y 0 предполагает: i? =//) , где JflJlt) - произвольная функция и fe t) -диагональная матрица. В результате из (2.1.14) находим:

Уравнения (3.1.15) - это нелинейные уравнения, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния с помощью спектральной задачи (3.1 1) Подчеркнем, что оператор Lf в (3.1.15) - любой оператор вида (3.1.12), f(Lfi ) - произвольная функция и {&У I) - произвольная диагональная матрица.

Далее, в силу соотношения М 1 й = О уравнения (3.1.15) эквивалентны уравнениям: ; - jtQkKi)№.PJ -# . )-о, (з.і.іб) где %f(x,t) - диагональная матрица. Итак, (3.1.16) дает общую форму нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых задачей (3.I.I). Вся неопределенность в этих уравнениях содержится в произвольной диагональной матрице %){&» ) .

Подчеркнем, что (3.1.16) представляет собой систему уравнений для всех элементов потенциала PfatJ , тогда как в [l4,23-29,Зі] были получены уравнения лишь для величины / /4 .

Между уравнениями (3.1.16) и уравнениями, обсуждавшимися в работах [l4,23-29,Зі] , существует простое соотношение. Действительно, нетрудно показать, что Lc— AFLM-AFLM и поэтому

Умножая (3.1.16) на М и принимая во внимание соотношения M U= lMt и MtD f= О .получаем: fjr-fOk(Lit)(Hk,P]-0. Mf4 ГОЛИШ.?!- 0. (3-1-18) Уравнения (3.1.18) как раз и есть те уравнения, которые были построены ранее в работе [28] для случая Р2 О . При Р3 — 0 уравнения (3.1.18) совпадают с уравнениями, обсуждавшимися в работах [14,23-27,Щ . Калибровочная инвариантность В данном параграфе мы обсудим трансформационные свойства [57] уравнений (3.1.16) относительно группы калибровочных преобразований.

Общий вид интегрируемых нелинейных уравнений

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В рамках АКНС-техники построена бесконечномерная группа общих Бэклунд-преобразований (группа общих БП), соответствующих общей дифференциальной матричной спектральной задаче.

2. Дано компактное и простое описание классов нелинейных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной матричной спектральной задачей.

3. Исследованы теоретико-групповая и гамильтонова структуры полученных нелинейных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной матричной спектральной задачей. Рассмотрены следующие подгруппы бесконечномерной группы общих Ш: бесконечномерная группа авто-БП, бесконечномерная группа симметрии и бесконечномерная группа обобщенных Ш интегрируемых нелинейных уравнений.

4. Развита АКНС-техника для работы со спектральными задачами (на примере общей дифференциальной и общей матричной спектральных задач) без наложения калибровочных условий. Эффективно описаны неоднозначности в рекурсионных операторах и произвол в интегрируемых нелинейных уравнениях и в общих Ш, обусловленные калибровочной свободой.

5. Построены бесконечномерная группа общих БП и интегрируемые нелинейные уравнения, связанные с общей дифференциальной скалярной спектральной задачей А/ -го порядка с N потенциалами и константными граничными условиями. Дана явно калибровочно--инвариантная формулировка общих БП и интегрируемых нелинейных уравнений.

6. Получены нелинейные уравнения, интегрируемые общей матричной спектральной задачей с ненулевой диагональной частью потенциала. Дана явно калибровочно-инвариантная формулировка интегрируемых нелинейных уравнений»

7. С помощью АКНС-техники описаны классы нелинейных уравнений, интегрируемых двумерным обобщением общей дифференциальной спектральной задачи.

8. В диссертации приводятся конкретные примеры рекурсион-ных операторов, интегрируемых систем нелинейных уравнений, общих ЕП, соответствующих общей дифференциальной спектральной задаче для случаев N-2.,5,4 . Некоторые из вычисленных общих ЕП и интегрируемых систем нелинейных уравнений являются новыми,

9. Приводятся конкретные примеры систем нелинейных уравнений, интегрируемых общей матричной спектральной задачей с ненулевой диагональной частью потенциала, для случая N=2 Среди полученных нелинейных уравнений, наряду с известными уравнениями, содержится новая смешанная система уравнений Кортевега-де Фриза и Бюргерса.

10. Вычислены конкретные примеры нелинейных уравнений, интегрируемых двумерным обобщением общей дифференциальной скалярной спектральной задачи для случаев N-2 и Н=3 . Среди этих уравнений, наряду с известным семейством двумерных уравнений Кадомцева-Петвиашвили, содержатся двумерные обобщения известных одномерных уравнений, в частности, двумерное обобщение семейства уравнений Гарри-Дим и новое уравнение (аналог уравнения Гарри-Дим), не содержащееся в семействе уравнений Гарри-Дим. Приводятся примеры чисто двумерных уравнений, имеющих своим одномерным пределом тривиальные линейные уравнения.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность к.ф.-м.н., ст. научн. сотруднику ЙЯФ СО АН СССР Б.Г.Конопельчен-ко, во многом определившему направление данной работы, за неоце-. нимую помощь, постоянное внимание и поддержку, которые были оказаны во время работы над диссертацией.

Автор выражает благодарность в адрес руководства Физико-технического факультета и кафедры теоретической физики Новосибирского электротехнического института за предоставленную возможность завершить работу.