Содержание к диссертации
Введение
1. Низкотемпературные свойства одноосного парамагнетика и описание спиновых систем с помощью потенциальных полей 13
1.1. Низкотемпературная восприимчивость спиновой системы с анизотропией типа "легкая ось" 14
1.2. Новые точные решения уравнения Шредингера на основе спин-координатного соответствия 30
1.3. Низкотемпературная динамика анизотропной магнитной системы 50
Выводы 61
2. Приближение для спиновых систем 63
2.1. Спиновые когерентные состояния и их свойства 64
2.2. Правила квантования энергии и квазиклассическое разложение термодинамических величин .68
2.3. Динамика квантовых магнитных систем в представлении спиновых когерентных состояний 76
Выводы 81
3. Динамические свойства спиновых цепочек 83
3.1. Энергетический спектр и динамические свойства Х-У модели 83
3.2. Релаксация примесного спина в Х-У цепочке при ступенчатом изменении продольного поля 92
3.3. Динамика одномерных спиновых систем в поперечном магнитном поле 101
3.4. Нелинейное поглощение высокочастотного поля примесным атомом в одномерной Х-У модели ИЗ
Выводы 121
Приложение. Теорема Вика для ферми-операторов в спиновом пространстве 123
Заключение 127
Литература
- Новые точные решения уравнения Шредингера на основе спин-координатного соответствия
- Правила квантования энергии и квазиклассическое разложение термодинамических величин
- Динамика квантовых магнитных систем в представлении спиновых когерентных состояний
- Динамика одномерных спиновых систем в поперечном магнитном поле
Введение к работе
Настоящая работа посвящена изучению стационарных и динамических свойств квантовых магнитных систем, описываемых спиновыми гамильтонианами. Рассматриваются как магниторазбавленные кристаллы, так и системы с взаимодействием между спинами. Общей чертой рассматриваемых задач является необходимость последовательного учета квантовой природы спина даже в том случае, если он достаточно велик.
Для значений спина S»1 при изучении низкотемпературных свойств магнитных систем, описываемых квантовыми спиновыми моделями, часто используется полуклассический подход. Он состоит в том, что на фоне найденной классически равновесной конфигурации рассматриваются квантованные малые колебания намагниченности, т.е. гамильтониан спиновой системы заменяется гамильтонианом набора гармонических квантовых осцилляторов путем перехода к бозевским операторам рождения и уничтожения. Такой подход позволяет исследовать широкий круг физических явлений, происходящих в магнитных системах, как для равновесных, так и неравновесных условий. Он оказывается эффективным в ситуациях, когда квантовое основное состояние "близко" к классическому. В частности, если внешнее магнитное поле направлено вдоль легкой оси анизотропии одноосного кристалла, то энергия основного состояния и спектр спиновых волн, найденные полуклассически, точно совпадают с истинными квантовыми при любом значении спина атома. В общем случае, однако, необходимо более строгое квантовомеханическое рассмотрение. Так, если внешнее магнитное поле направлено перпендикулярно легкой оси анизотропии, указанное выше традиционное рассмотрение наталкивается на ряд трудностей.
Свойства таких анизотропных магнетиков удается, как показано в настоящей работе, описывать /в отсутствие взаимодействия между спинами/ с помощью картины квантовомеханического движения частицы в потенциальном поле.
Изучение таких нелинейных спиновых систем /т.е. описываемых нелинейными спиновыми гамильтонианами/, для которых применимость стандартного полуклассического метода, рассматривающего влияние ангармонизмов в упомянутой выше схеме как малую поправку, существенно ограничена, в более общем случае приводит к задаче построения квазиклассического приближения, аналогичного известному в обычной /гамильтоновой/ квантовой механике. Как известно, область применимости квазиклассического приближения и квантовомеханической теории возмущений дополнительны друг по отношению к другу. В этом плане упоминавшийся подход является промежуточным, так как невозмущенной системой служит квантовый осциллятор /или их набор/, а учет ангармонизмов связан с разложением по S .В данной же работе развивается последовательное квазиклассическое приближение, когда нелинейность соответствующей классической системы учитывается точно, а величина 5 играет роль постоянной Планка, будучи ответственной за проявление квантовых свойств.
Еще одним примером системы, для которой с самого начала необходимо квантовое рассмотрение, является одномерная Х-У модель со спином 5 %. Будучи нелинейной по компонентам спинов, она тем не менее сводится к идеальному ферми-газу. Поэтому, в частности, полуклассический метод для такой системы неприменим. Особое место Х-У модели связано с тем, что она является точно решаемой многочастичной системой и поэтому допускает детальное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными. Обсуждение свойств физических объектов, описываемых этой моделью, будет приведено в главе III.
Актуальность исследования. В последние годы значительно возрос интерес к точно решаемым спиновым моделям. С одной стороны, это связано со значительным прогрессом в развитии методов теоретической и математической физики, в первую очередб классического и квантового методов обратной задачи. С другой стороны, экспериментальные исследования ряда низкоразмерных магнитных систем /например, теплопроводности, теплоемкости и восприимчивости У-Ъ С&з I показали, что с хорошей точностью они описываются одномерной Х-У моделью со спином
Ь- % , что стимулирует дальнейшее теоретическое изучение свойств таких систем. Следует подчеркнуть, что для этой модели, благодаря тому, что она является точно решаемой, в ряде случаев удается получать результаты"из первых принципов".
Как уже говорилось, свойства парамагнетика типа "легкая ось" во внешнем поперечном магнитном поле являются, вообще говоря, существенно квантовыми. В данной работе показано, что они могут могут быть описаны на основе картины квантовомеханического движения некоторой частицы в потенциальном поле определенного вида. Поэтому установление соответствующей связи между спиновой и координатной системами представляет двоякий интерес: во-первых, оно позволяет изучать низкотемпературные свойства указанного парамагнетика; во-вторых, приводит к обнаружению новых точных решений уравнения Шредингера "спиновой природы".
Такие решения могут представлять самостоятельный интерес. Это объясняется тем, что полученные результаты дают весьма подробное описание энергетического спектра и могут быть использованы в различных разделах квантовой теории. Кроме того, в настоящее время особое значение благодаря бурному развитию вычислительной техники приобретает еще один аспект: точно решаемые задачи служат тестовыми примерами для численных методов.
Отедельным вопросом является исследование предельного перехода от квантовой механики к классической для спиновых систем. В последние годы существенное развитие получил аппарат обобщенных когерентных состояний, одним из основных свойств которых является их "наибольшая близость к классике". Эти состояния строятся для произвольной алгебры Ли динамических переменных, в частности и для STJ(2), отвечающей спиновым системам. Другой существенный момент - осуществленная в недавнее время формулировка квазиклассического приближения в рамках интегрального, так называемого нефункционального подхода. Сочетание обоих методов позволяет единым образом проследить предельный переход к классике для термодинамических величин, средних по стационарным состояниям, получить аналог правил Бора-Зоммерфельда с квантовыми поправками и т.д. Развитие соответствующего формализма и получаемые с его помощью результаты могут оказаться полезными в связи с развитием в последние годы теории нелинейных волн намагниченности, доменных стенок, проблем квазиклассического квантования солитонов и т.д.
Целью работы является теоретическое исследование трех групп задач. Первая из них связана с рассмотрением низкотемпературных стационарных и динамических свойств одноосного парамагнетика в условиях, когда стандартный полуклассический метод, вообще говоря, неприменим. Сюда же относится изучение точных решений одномерного уравнения Шредингера, имеющего, как оказывается, непосредственное отношение к такой системе.
Вторая группа задач имеет дело с построением последовательного квазиклассического приближения для спиновых систем с произвольной нелинейностью, когда указанный полуклассический подход не работает, а также с описанием динамики квантовых спиновых систем в представлении спиновых когерентных состояний.
Третья группа задач посвящена изучению нелинейного отклика примесных атомов в соединениях, описываемых одномерными спиновыми моделями, на высокочастотное или изменяющееся скачкообразно магнитное поле.
Общим во всех трех случаях является необходимость последовательного учета квантовой природы рассматриваемых систем /даже при S 1 /.
Научная новизна. Результаты, составившие основу диссертации, получены впервые.
1. Изучена зависимость низкотемпературной восприимчивости легкоосно-го парамагнетика от магнитного поля, перпендикулярного этой оси. Показано, что восприимчивость как функция поля имеет /при 5 /х I максимум чисто квантового происхождения, в окрестности которого классическое или стандартное полуклассическое рассмотрение неприменимо.
2. Обнаружены три класса точных решений уравнения Шредингера с потенциалами, имеющими непосредственный физический смысл. Установлено, что спектр указанной спиновой системы совпадает с первыми сі ті уровнями энергии частицы, движущейся в потенциальном поле определен ного вида. На основе такого спин-координатного соответствия проанализирована зависимость формы соответствующих потенциальных полей и структуры энергетического спектра от параметров, имеющих смысл компонент магнитного поля соответствующей спиновой системы.
3. Исследована динамика спинов в магниторазбавленных и магнитоупоря-доченных системах, обладающих одноосной анизотропией. Для случая внезапного выключения сильного магнитного поля, направленного под произвольным углом к оси анизотропии, получено точное решение соответствующей нестационарной задачи для произвольной величины спинов и при любой температуре.
4. Для квантовых спиновых систем с произвольной нелинейностью на основе спиновых когерентных состояний развито квазиклассическое приближение. Построено разложение статистической суммы по обратным степеням спина, выведены аналог правил Бора-Зоммерфельда и выражения для квантовых поправок к ним, получены квазиклассические разложения для функций Грина и средних значений физических величин в стационарных состояниях.
5. Показано, что усреднение уравнения движения гейзенберговского оператора физической величины приводит к замкнутому линейному уравнению относительно соответствующего среднего, наиболее естественно описывающему предельный переход от квантовой динамики к классической. При этом средние значения компонент спина в начальный момент времени имеют смысл квантового обобщения лагранжевых /а не эйлеровых/ координат.
6. Изучена релаксация примесного спина в Х-У цепочке при скачкообразном изменении внешнего магнитного поля, действующего на примесь. Рассмотрены случаи продольной и поперечной ориентации этого поля. Найдена эволюция во времени полного спина для цепочки Изинга, на которую действует поперечное циркулярно поляризованное поле.
7. Исследована форма линии поглощения высокочастотного поля примесным атомом в соединении, описываемом одномерной Х-У моделью. Получено точное выражение для поглощаемой мощности в случае произвольной амплитуды поля.
Научная и практическая ценность. Теоретическое изучение стационарных низкотемпературных свойств одноосного парамагнетика позволяет установить ход кривой зависимости магнитной восприимчивости от поперечного магнитного поля, характерный для анизотропии типа "легкая ось", когда существенны квантовые эффекты, и объяснить их роль на языке эффективного потенциального поля. Изучение низкотемпературной динамики анизотропной магнитной системы может дать, в принципе, один из способов определения константы анизотропии /в случае магниторазба-вленных кристаллов/ или обменного интеграла /для магнитоупорядочен-ных систем/, что существенно для анализа экспериментальных данных на основе спинового гамильтониана /например, при экспериментах по парамагнитному резонансу/.
Точные решения уравнения Шредингера известны для крайне ограниченного числа задач. Поэтому обнаружение новых точно решаемых случаев само по себе представляет принципиальный интерес. Кроме того, полученные результаты могут оказаться полезными в разнообразных физических ситуациях, где задача сводится к изучению движения частицы в потенциальных полях, особенно когда профиль поля имеет вид двойной потенциальной ямы - в квантовой химии, теории металлов, теории поля и т.д. Наконец, точные решения позволяют проверять эффективность различных аналитических приближенных и численных методов исследования уравнения Шредингера.
Построение квазиклассического приближения для спиновых систем позволяет исследовать роль квантовых эффектов для произвольных магнитных систем. Кроме того, область полученных результатов шире собственно теории магнетизма. Например, они могут оказаться полезными в квантовой оптики или при исследовании свойств ядра на основе псевдоспиновых гамильтонианов. Подчеркнем также, что соответствующая схема построения квазиклассики пригодна при любой алгебре Ли динамических переменных, что представляет интерес, скажем, при рассмотрении кванто-вомеханических гамильтоновых систем с той или иной динамической группой.
Исследование нелинейного отклика одномерных Х-У модели и модели Изинга на переменное магнитное поле позволяет определить характер релаксации системы и найти поглощение в установившемся режиме точно. Поэтому полученные результаты могут оказаться полезными при интерпретации экспериментальных данных и решении вопроса об адекватности данных моделей конкретным веществам.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзном семинаре "Спиновые волны" /Ленинград, 1980г. и 1984 г./, УІІ конференции молодых ученых ИТФ АН УССР в 1984 году, ХУ Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений /Пермь, 1981г./ и ХУІ Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений / Гула, 1983г./, а также на научных семинарах кафедры теоретической физики и физико-технического факультета Харьковского госуниверситета, ФТИНТ АН УССР и ДОНФТИ АН УССР.
Публикации. Результаты исследований,составляющие основное содержание диссертации, опубликованы в восьми работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Она содержит 140 страниц машинописного текста, включая із рисунков и список литературы из ®3 названий.
Вр введении обоснована актуальность выбранной темы и сформулирована цель исследования. В первой главе изучены низкотемпературная намагниченность и восприимчивость одноосного парамагнетика; показано, что с такой системой связано существование трех классов точных решений уравнения Шредингера и исследованы их свойства; определена временная эволюция парамагнетика при скачкообразном изменении произвольно направленного сильного магнитного поля. Во второй главе на основе спиновых когерентных состояний построено квазиклассическое приближение и описана динамика квантовых магнитных систем. В третьей главе исследована реакция одномерных спиновых систем на переменное магнитное поле. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе. В приложении сформулирована теорема Вика для ферми-операторов в спиновом пространстве и дано ее доказательство.
Новые точные решения уравнения Шредингера на основе спин-координатного соответствия
Подведем некоторые итоги. В результате последовательного кванто-вомеханического решения задачи выяснилось, что в окрестности критического магнитного поля происходит достаточно плавное "коленообраз-ное" изменение намагниченности для основного состояния при всех значениях спина, кроме S= д, и S=l /см. рис.І.І.І., на котором штриховая линия отвечает классическому изломному ходу/. Оказалось также, что ступенчатый характер классического поведения заменяется сглаженным ходом,, однако сглаживание сопровождается появлением максимума /рис.1.1.2/. При этом максимум сохраняется в пределе сколь угодно больших значений спина /рис.I.1.4/ и появляется из-за перестройки основного состояния, которая совершается при существенном изменении структуры энергетического спектра для низколежащих состояний. В случае S- l это происходит в околокритической области магнитных полей с относительными размерами """v jj S
Исследование всех этих эффектов потребовало развития специальных методов. Наиболее наглядным и действенным явился, по-видимому, переход к эффективному потенциальному описанию с помощью полей, построенных из гиперболических функций.
Для больших значений спина /S 1. /в указанной наиболее важной околокритической области магнитных полей эффективный потенциал аппроксимируется степенной функцией координат. Задача сводится к исследованию существенно ангармонического осциллятора, в котором главную роль играет член четвертого порядка по координатам. Еще раз подчеркнем, что при критическом значении магнитного поля имеем чисто четвер-ной осциллятор, для полей //i-Aol AoS квадратичный член служит поправочным, и применима теория возмущений. В области же полейко движение носит характер локальных колебаний в отдельной яме /оте.1.1.3а/, возмущаемых туннелированием. Здесь весьма высокую точность обеспечивает квазиклассическое приближение с учетом особенности потенциала в виде барьера, разделяющего ямы, что еще раз подтверждает эффективность квазиклассических методов даже в случае основного состояния и потенциала с особенностями. Обе аппроксимации достаточно хорошо сшиваются и передают все тонкости поведения намагниченности и восприимчивости.
Для более детального исследования окрестности максимума восприимчивости и контроля точности применяемых аналитических методов проведено численное решение эффективного стационарного уравнения Шрединге-ра.
Полученные результатыІІ5], [16] описывают поведение рассмотренной спиновой системы в области достаточно низких температур Т ДЕ практически для всех значений магнитного поля и спина.
В 1.1. мы видели, что энергетический спектр спинового гамильтониана, описывающего парамгнетик с анизотропией типа "легкая ось" во внешнем магнитном поле, перпендикулярном этой оси, совпадает с первыми 3,S+i /S - величина спина/ уровнями энергии частицы, движущейся в потенциальном поле определенного вида. Потенциальное описание спиновой системы оказалось весьма полезным при изучении низкотемпературных свойств парамагнетика при S»l /другой пример где такое описание может найти применение - модель взаимодействующих фермионов ІІ7], гамильтониан которой выражается через псевдоспиновые операторы/. Для координатной же системы такое соответствие приводит к обнаружению целого класса точных решений уравнения Шредингера. При этом особый интерес представляют собой, напротив, случаи, когда спин не очень велик, так что характеристические уравнения в спиновом пространстве допускают простые явные решения.
Обнаруженные потенциалы обладают свойствами, качественно отличающими их от других известных к настоящему времени точно решаемых случаев. Например, потенциальное поле существенно изменяет свою форму в зависимости от значения параметра /имеющего смысл магнитного поля для спиновой системы/, так что в результате могут получаться яма с одним простым минимумом, двойная яма или яма с минимумом четвертого порядка. Подобное спин-координатное соответствие для анизотропного парамагнетика в произвольно направленном магнитном поле приводит к классу двупараметрических потенциалов, обладающих еще более разнообразными свойствами. Кроме того, точные решения достаточно простого вида удается найти и для периодических потенциалов.
Правила квантования энергии и квазиклассическое разложение термодинамических величин
Стандартный вывод правил квантования в нашем случае неприменим, так как он основан на обращении к явному виду волновой функции. Одна из возможностей, не требующая этого, состоит в использовании континуального интеграла[52], [53] /см. также работу [54], в которой, заметим, при выводе правил Бора-Зоммерфельда для спиновых систем не было учтено кинематическое ограничение, связанное с тем, что величина спина фиксирована/. Однако такая процедура все же весьма сложна, а возможность обозримого получения квантовых поправок неясна.
Значительно более просто обстоит дело при использовании /с соответствующей переформулировкой/ развитого в [55\, [56], [9] для гамиль-тоновых систем метода, получившего там название нефункционального /отражающего то обстоятельство, что непосредственное обращение к волновой функции не требуется/. Будем, следуя этому подходу, исходить из точного соотношения для числа состояний дискретного спектра: где 9Сх) - ступенчатая функция Хевисайда /9-(0)- $_, /; вырождение предполагается отсутствующим
Применяя преобразование Лапласа для функции, получаем Выражение 2(ft) получается из статсуммы аналитическим продолжение-ем на область мнимых . Соотношения /2.2.1/,/2.2.2/ являются точными. Квазиклассическая аппроксимация 2L((2 ) с последующим вычислением интеграла по f позволяет получить правила квантования в трбуемом приближении по малому параметру играющему роль постоянной Планка "К . С другой стороны, квазиклассическое разложение Z,(p) определит квантовые поправки к классическим термодинамическим величинам.
Вычисление Z(p) будем проводить в базисе спиновых КС. Тогда, воспользовавшись полнотой этих состояний, имеем где Н-НС?) - гамильтониан /считаем, что система одночастичная/, мера с/и определена согласно /2.1.8/. Используя явный вид нормированных КС [44], где \ S - состояние с максимальной $г - проекцией, равной S , л $ +- Sx±lS4 , нетрудно получить, что для любого оператора л- 7J /2.2.4/ 7 11.1+ty2 Лс - 70 Первое слагаемое в каждом S совпадает с 4lS«:l% Sn (44 J, где rl - единичный вектор, задающий СКС /см. 2.1/. Оператор Я» приобретает особенно компактный вид, если записать его в терминах компонент вектора П. :
При действии этого оператора на какую-либо функцию и, компоненты п. следует дгчитать независимыми, а условие Я2-4. учесть после дифференцирования/.
Нетрудно проверить, что S{. действительно удовлетворяют ком-мутационньм соотношениям момента, и что S = S (S + ) .По существу, /2.2.5/ означает использование несколько необычного представления для спиновой операторов, естественньм образом появляющегося в рассматриваемой задаче.
Оно является точным, пригодным для любой величины спина и допускает непосредственное обобщение на случай многочастичных систем. Подстановка /2.2.6/ в /2.2.2/ приводит к следующей записи правил квантования энергии: функция задается своим интегральным представлением/.
Соотношение /2.2.7/, как и /2.2.6/, является точным. Пусть теперь значение:. спина S 1 . Получим сначала квазиклассическую аппроксимацию 2лр) Главное приближение заключается в пренебрежении операторной частью S и отвечает классическому выражению, когда некоммутативность различных компонент спина не учитывается; Н заменяется на соответствующую классическую функцию Гамильтона. Разложение статсуммы по S получается разложением по 2Г , % /т.е. по производ-ным гї / в выражении /2.2.6/.
Динамика квантовых магнитных систем в представлении спиновых когерентных состояний
В предыдущем параграфе этой главы аппарат спиновых КС применялся для описания систем, находящихся в стационарном состоянии или состоянии термодинамического равновесия. Настоящий параграф посвящен изучению динамики спиновых систем с помощью спиновых КС.
В работе[60]было показано, что для гамильтоновых квантовых систем с произвольной нелинейностью усреднение гейзенберговских уравнений движения приводит к замкнутому линейному уравнению для усредняемой величини. Поскольку диагональные матричные элементы в представлении КС полностью определяют оператор [28], временная зависимость этих элементов дает полное квантовомеханическое описание динамики. В пределе і— О квантовые уравнения движения переходят в классические.
Здесь мы получим аналогичные результаты для квантовых спиновых систем[бі]. Усреднение при этом производится по спиновым КС, обладающими основными свойствами обычных КС /см. 2.1/. Подчеркнем, что уравнения непосредственно для средних значений физических величин позволяют при решении динамических задач исключить "лишнюю" информацию, связанную с нахождением волновым функций.
Рассмотрим квантовую спиновую систему, описываемую не зависящим от времени гамильтонианом Нг и ( ) , где о3 (Sr, #, Л2) - операторы соответствующих проекций спина S . Усредним уравнения Гейзенберга для произвольного оператора 5 по спиновому КС WO Здесь точка над означает дифференцирование по времени. Воспользуемся теперь соотношениями /2.2.4/, /2.2.5/. Тогда для j получается замкнутое линейное уравнение: Приведем также вид оператора К. в переменных , %. . Если гамильтониан есть N г 14(5 S„ ; S ), то
Поскольку в оператор К, не входит величина -5" , различие решений уравнения /2.3.2/ для разных определяется только начальными условиями. Как следует из /2.3.2/, изучение динамики произвольной квантовой спиновой системы сводится к решению задачи Коши для уравнения в частных производных, вообще говоря, выше первого порядка /ср. с 60] /.
Рассмотрим в качестве примера одноосный анизотропный парамагнетик в поперечном внешнем поле. Гамильтониан в этом случае есть
Если внешнее поле отсутствует, так что К,г0 , то задача динамики решается точно при произвольном начальном условии. Определим величины 1 и согласно %. - ЄхрСг-i. ) , Тогда из уравнения /3.3.2/ можно найти функцию і Li 1,4) , которая задана начальным условием J, 2L$nfr) e pCciaS) . Решение имеет вид
В частном случае, когда j /Ц , что соответствует усреднению компоненты S+. по состоянию с проекцией спина, равной , на направление, составляющее угол Q / ссдО = (сА О / с осью , решение /2.3.4/ переходит /в соответствующих обозначениях/ в формулу /9/ работы 40], где она была получена другим способом см. также 1.3/:
Если оператор коммутирует с гамильтонианом, то являет /ч ся интегралом движения, и К f = О . Среди интегралов движения имеются, вообще говоря, чисто квантовые, исчезающие при переходе к классическому пределу. Так, если гамильтониан не содержит членов типа S+ , S_ , интегралом движения является величина соответствующая среднему от оператора проектирования на состояние
При фиксированном значении угла средней намагниченности с осью і /так что \ Ё-\= St / и с,- оо величина I— О . Поэтому X - интеграл движения, не имеющий классического аналога. В пределе больших значений спиновые КС переходят, как известно, в обычные, если одновременно с S— \ /& І28}. При этом оператор К /2.3.2/ переходит в оператор К. из ра-боты[60], а интеграл движения X - в интеграл движения Р-: хр(_-Щ2) , отвечающий бозе-системе и являющийся чисто квантовым; величина Р соответствует оператору проектирования на вакуумное состояние\60).
Динамика одномерных спиновых систем в поперечном магнитном поле
Если спектр к непрерывен, то суммы в /3.3.10/ следует заменить интегралами. В этом случае гамильтониан /3.3.3/ будет обладать полосой непрерывного спектра и, кроме того, в спектре возможен дискретный уровень. Для дискретного уровня Еуи формулы /3.3.12/-/3.3.14/ остаются справедливыми с соответствующей заменой сумм интегралами. Что касается полосы сплошного спектра, то она остается той же, что и при к= О . Соответствующее выражение для имеет вид / g.u и Н 3 / где Аь- з Тк/ к » символ » означает, что соответствующее выражение понимается в смысле главного значения; fy определяется выражением /3.3.15/, а А/ - соотношениями ортонормировки; энергия /» зависит от уИ так же, как - от к . Выражение для Хкм получается аналогично.
Хотя нас интересует случай полубесконечной цепочки, мы пользуемся формулами /3.3.12/ - /3.3.15/, считая спектр дискретным, с последующим переходом к пределу , При этом в спектре элементарных возбуждений, кроме полосы, определяемой законом дисперсии может быть один дискретный уровень Е , Характеристическое уравнение для дискретного уровня имеет вид /ср., например, Отсюда находим Этот уровень существует при Рассмотрим теперь релаксацию примесного спина при ступенчатом изменении поперечного поля.
Пусть при Ь О система описывается гамильтонианом /3.3.1/. В момент ir-О поле п. внезапно выключается, что приводит к нарушению термодинамического равновесия и последующей релаксации примесного спина. Для рассматриваемой системы задача о релаксации решается точно, как и в случае продольного поля /см. 3.2/. Характер релаксации определяется зависимостью от времени компонент примесного спина V S J60) , где S Ofc) - оператор So в гейзенберговском представлении с гамильтонианом /3.3.1/, в котором а усреднение производится с начальным гиббсовским распределением, отвечающим гамильтониану /3.3.1/.
Пользуясь выражением компонент спина через ферми-операторы, применяя теорему о вычетах и переходя к пределу А/ - сю , с учетом /3.3.13/, /3.3.14/ получаем / Т температура/.
Функция У(2) - аналитическое продолжение в комплексную плоскость функции, определяемой формулой /3.3.13/. Функция определяет ся интегралом -
Эти функции являются аналитическими на плоскости i с разрезом между точками -и іН- У и gu Н + У вдоль вещественной оси. Выражение /3.3.18/ есть сумма интеграла вдол берегов разреза, соответствующего вкладу полосы сплошного спектра, и вычета в полюсе, соответствующего дискретному уровню /если он существует/.
Рассмотрим случай сильного поперечного поля QJMK JiiynH. Тогда, как видно из /3.3.18/, в интеграл вдоль берегов разреза числитель и знаменатель подынтегрального выражения пропорциональны
Поэтому полоса непрерывного спектра вносит в вклад, пропорциональный QIJAW Вклад же дискретного уровня /в случае сильного поперечного поля он обязательно существует/ равенмалого параметра.
Поэтому для сильного поперечного поля временная зависимость определяется вкладом только дискретного уровня, и в этом приближении можно получить
Выражение /3.3.21/ получается аналогично тому, как это было сделано для поперечных компонент, с тем отличием, что особенности в подынтегральном выражении в /3.3.21/ обусловлены вкладом в спектр не только гамильтониана /3.3.1/, описывающего невозмущенную систему, но и гамильтониана, отвечающего системе с выключенным поперечным полем.
В предельном случае сильных полей СЬмк С? З-п/tW вкладом полосы сплошного спектра в выражении для продольной компоненты примесного спина, в отличие от поперечных, пренебречь нель
