Содержание к диссертации
Введение
1 Особенности формализма квантовой теории поля с внешним полем, нарушающим стабильность вакуума 69
1.1 Обобщенная картина Фарри в квантовой электродинамике 69
1.1.1 Представление Фарри 69
1.1.2 Теория возмущений по радиационному взаимодействию 77
1.2 Соотношение унитарности и.оптическая теорема 83
1.3 Представление собственного времени для перестановочной функции 86
1.3.1 Представление Фока 86
1.3.2 Универсальное представление интегралом по собственному времени 89
1.4 Квантовая электродинамика при конечной температуре 97
1.5 Неабелева калибровочная теория 107
1.5.1 Проблема внешнего поля в неабелевой калибровочной теории 107
1.5.2 Стандартная Модель 112
1.5.3 Обобщенное представление Фарри для физических фермионов 140
2 Каноническое построение релятивистской квантовой механики 149
2.1 Схема последовательного канонического квантования ковариантных и репараметризационно инварантных моделей релятивистской частицы, взаимодействующей с внешними полями 149
2.1.1 Классическая бесспиновая релятивистская частица . 149
2.1.2 Первичное квантование бесспиновой частицы 157
2.1.3 Первично-квантованная теория и одночастичный сектор КТП 163
2.1.4 Сравнение со схемой квантования Гитмана-Тютина . 172
2.2 Каноническое квантование частицы со спином 1/2 в 3 -Ь 1 измерениях 174
2.2.1 Псевдоклассическая модель спиновой частицы в искривленном пространстве времени 174
2.2.2 Гамильтонова структура теории 176
2.2.3 Квантование 181
2.3 Каноническое квантование частицы со спином 1/2 в 2 + 1 измерениях 187
2.3.1 Псевдоклассическая модель и структура ее связей . 187
2.3.2 Квантование 195
2.3.3 Квазиклассический предел 209
2.3.4 Сопоставление с одночастичным сектором КТП . 214
2.3.5 Операторы спина в 2 + 1 измерениях . 218
Процессы взаимодействия с постоянным однородным полем, нарушающим стабильность вакуума 225
3.1 Нестабильность вакуума в квазипостоянных однородных полях225
3.1.1 Основные выражения для случая однородных полей . 225
3.1.2 Т-постоянное, адиабатическое и постоянное поля . 231
3.1.3 Временнбй сценарий и размерный анализ для процесса рождения частиц 243
3.2 Подобие в эффектах нестабильности вакуума во внешних электромагнитных и гравитационных полях 248
3.3 Функции Грина при конечной температуре 256
3.4 Эффективный тензор энергии-импульса при конечной температуре 260
3.5 Поляризационный оператор при конечной температуре . 271
4 Квантовая электродинамика во внешнем поле с постоянными инвариантами 273
4.1 Полные наборы точных решений 273
4.2 Функции Грина 283
4.3 Простейшие процессы 292
4.4 Радиационные процессы 296
4.4.1 Вакуумные процессы 297
4.4.2 Процессы с начальным электроном 300
5 Квантовая электродинамика с постоянным внешним полем во вселенной Фридмана-Робертсона-Уолкера 304
5.1 Скалярное поле 304
5.1.1 Точные решения и функции Грина 305
5.1.2 Эффекты нестабильности вакуума 310
5.2 Спинорное поле 318
5.2.1 Классифицированные решения 318
5.2.2 Функции Грина 321
5.2.3 Эффекты нестабильности вакуума 323
6 Квантовая электродинамика в однородном магнитном поле в присутствии потенциала Аронова-Бома 331
6.1 Точные решения 331
6.2 Самосопряженное расширение 344
6.3 Регуляризованное поле 355
6.4 Функции Грина 360
6.4.1 Случай 2 + 1-измерений 360
6.4.2 Случай 3 + 1-измерений 366
6.4.3 Скалярный случай 369
Заключение 371
Приложения
- Соотношение унитарности и.оптическая теорема
- Проблема внешнего поля в неабелевой калибровочной теории
- Каноническое квантование частицы со спином 1/2 в 3 -Ь 1 измерениях
- Подобие в эффектах нестабильности вакуума во внешних электромагнитных и гравитационных полях
Введение к работе
Современная квантовая теория поля (КТП) широко использует концепцию интенсивного внешнего калибровочного, или фонового поля (и тесно связанное с ним понятие среднего поля), которое может быть электромагнитным, неабелевым, гравитационным итд. Соответствующие главы мы видим в современных руководствах по общим методам КТП [43, 105, 483, 523, 671, 680]. Имеется большое число регулярно цитируемых монографий и обзоров, специально посвященных различным проблемам внешнего поля в квантовой электродинамике (КЭД) [15, 91, 93, 104, 122, 145, 173, 175, 188, 196, 208, 359, 362, 482] и в более общих моделях КТП [48, 51, 98, 99, 107, 125, 128, 164, 197, 204, 211, 273, 274, 299, 347, 415, 419, 668]. В задачах такого рода взаимодействие квантованного поля с выделенной интенсивной составляющей, описываемой как классическое (макроскопическое) калибровочное поле, учитывается точно (мы не рассматриваем здесь случай слабых полей, когда применима стандартная теория возмущений). Такой подход позволяет выйти за рамки теории возмущений, рассмотреть существенно нелинейные квантовые явления и, тем самым, дает весьма эффективный инструмент исследования структуры теории. В особенности, в последние годы привлекает внимание роль интенсивных макроскопических калибровочных полей в фазовых переходах различных релятивистских квантовых систем при конечной температуре и плотности (см., например, монографии и обзоры [48, 107, 178, 517, 546, 547, 563, 636]).
Систематическое развитие метода интенсивного внешнего поля началось еще на заре квантовой электродинамики с работ Фейнмана [397], Швингера [620, 621, 622] и Фарри [422]. В работах Фрадкина [199]-[204] была сформулирована одна из возможных концепций, в которой внешнее поле отождествляется с истинным средним полем в системе и развит соответствующий метод: сформулирована процедура перенормировок в присутствии внешнего поля, получена система уравнений для перенормированных функций Грина, операторные и функциональные представления производящего функционала функций Грина, впервые получены обобщенные тождества Уорда во внешнем поле. Тем не менее и сегодня разнообразные новые приложения (физика пульсаров и черных дыр, физика адронов, теории Великого Объединения (GUT), космология ранней Вселенной, квантовая гравитация, струнные модели) и соответствующие потребности внутреннего развития метода требуют дальнейшей разработки ряда принципиальных вопросов. В частности, проблема определения структуры вакуума в присутствии внешних полей является одной из центральных. При этом считается, что общие методы КТП с интенсивным внешним полем естественно отрабатывать на КЭД в пространствах различной размерности, а затем переносить на другие модели с калибровочными полями, такие как стандартная модель, квантовая хромодинамика (КХД), теории с суперсимметрией, в искривленном пространстве-времени и т. д.
Очень важную роль в КТП выполняют расчеты с внешними постоянными однородными (трансляционно-инвариантными) полями, или, понимая это определение в более общем смысле, полями, имеющими однородные в пространстве-времени инварианты, поскольку этот класс полей фактически дает нам представление о действии произвольных медленно меняющихся полей. В такой общей полевой конфигурации, скажем в КЭД при размерности пространства больше 2, может присутствовать также и плоская волна произвольной частоты и поляризации (в частном случае нулевой частоты - это постоянное скрещенное поле), которая сама по себе отвечает случаю нулевых инвариантов, но может также быть и одной из составляющих наиболее общей комбинации, если в той системе отсчета, где постоянные электрическое и магнитное поля параллельны, движется вдоль этого общего направления. Инварианты такой комбинации полей те же, что и без волны. Еще заметим, что эта конфигурация является наиболее общей формой поля без источников (так называемое свободное поле), а КТП с таким внешним полем эквивалентна точной КТП, в которой начальные состояния приготовлены специальным образом (подробнее об этом ниже при обсуждении метода введения внешнего поля в неабелевой теории). Плоская волна описывает когерентный световой пучок высокой интенсивности и общая конфигурация поля с постоянными инвариантами дает возможность учитывать точно взаимодействие этой волны с постоянным полем.
Как правило, общие проблемы КТП с интенсивным внешним полем исследуются на примерах с постоянным однородным полем и плоской волной (см. монографии и обзоры, цитированные выше), благодаря тому, что удается найти точные решения соответствующих волновых уравнений (см. обзор известных решений для всевозможных внешних полей в книгах [11, 13, 244]), и тому, что в интенсивном поле эффекты макроскопических отклонений от этих полей второстепенны. Начало таким исследованиям было положено известными работами по однопетлевому эффективному действию (эффективному лагранжиану) Гейзенберга-Эйлера [505, 620, 673], описывающему электромагнитное поле в вакууме. Изучая двухпетлевое эффективное действие КЭД, Ритус [170, 171] (см. также [115, 175, 607] ) показал, что асимптотическое поведение эффективного лагранжиана в интенсивном постоянном поле связано с поведением теории на малых расстояниях, то есть, поляризация вакуума интенсивным полем связана с поляризацией вакуума, индуцированной отдельными фотонами с большими импульсами. Это соответствие ведет к прямой связи между пертурбативной бета-функцией (функция Гелл-Манна-Лоу) и асимптотикой эффективного лагранжиана. Связь этих асимптотик обусловлена структурой расходимостей теории, что позволяет использовать метод ренормгруппы для изучения асимптотик по полю в КЭД [58, 170, 171] и в теории Янга-Миллса [556]. В дальнейшем, причем особенно интенсивно в последние годы, исследования структуры вакуума в постоянных полях с помощью эффективного действия, как в одной, так и в двух петлях, были продолжены многими авторами. Они продемонстрировали различные приемы вычислений и показали широкий спектр возможностей получать физическую информацию этим методом. Так, эффективное действие в постоянном поле рассматривалось применительно к КЭД [241, 265, 320, 353, 354, 359, 362, 366, 369, 370, 371, 372, 510, 522, 538, 639], неабелевым калибровочным теориям [33, 52, 179, 182, 224, 225, 277, 321, 323, 373, 374, 400, 417, 487, 542, 543, 556, 562, 579, 588, 603, 612], КТП в искривленном пространстве, суперсимметричным калибровочным моделям, КТП в суперпространствах итд. (см. напр. обзоры [299, 300, 517, 557]).
Заметим, что при выходе за пределы приближения однородного поля, эффективный лагранжиан однородного поля можно рассматривать как член нулевого порядка в градиентном разложении эффективного лагранжиана произвольного поля. Соответствующая техника вычислений, позволяющая учитывать слабые неоднородности, недавно была предложена в рамках подхода мировых линий [628, 629] (обзор более ранних функциональных методов см. в [501]) . Численный метод на основе этого формализма предложен в [460].
Формализм однопетлевого эффективного действия в постоянных полях используется как один из инструментов построения истинного (непертурбативного) вакуума КХД. Так, в частности, был получен известный Копенгагенский вакуум [227, 228, 580, 581], представляющий собой суперпозицию хаотически ориентированных доменов с однородным 5/7(2) хромомагнитным полем, что напоминает структуру ферромагнетика. Численное моделирование (см. напр., обзор [273]) поддерживает идею конфайнмента хромомагнитного поля. Заметим, что однородное во всем пространстве хромомагнитное поле приводит к патологическому вакууму [182, 579], что не совсем точно было названо явлением нестабильности вакуума в таком поле, а в действительности лишь указывает на то, что использованная линеаризация уравнения Янга-Миллса оказалась несамосогласованной (например, потеряна унитарность теории). Настоящее явление нестабильности вакуума, проявляющееся в рождении пар реальных частиц и античастиц встречаем во вполне корректно поставленных задачах в присутствии, скажем, однородного (хромо)электрического поля, или в окрестности черной дыры (подробнее об этом далее). Экспериментальные данные по распаду чармония (см. напр., монографии [56, 106]) показывают, что в КХД вакууме имеется глюонный конденсат, но физический механизм, который его формирует, пока остается неизвестным. В настоящее время, помимо уже упомянутых длинноволновых мод, имеется целый ряд кандидатов на роль топологически нетривиальных полевых конфигураций, конденсация которых могла бы объяснить конфайнмент (или, по-крайней мере, некоторые его фазы): инстантоны, мероны, глюболы, монополи и трубки с хромоэлектрическим полем (flux tubes). Высокая температура, динамическе вклады в массы частиц и взаимодействие Черн-Саймона рассматриваются в качестве факторов, стабилизирующих хаотическое поведение средних полей. К хромоэлектрическим трубкам мы еще вернемся в части обзора, посвященной явлениям нестабильности вакуума. Также ниже мы рассмотрим ряд вопросов, связанных с присутствием в калибровочной теории потенциала Аронова-Бома, который представляет собой пример существенно неоднородной полевой конфигурации, родственной монополям и модам Черн-Саймона.
Проблема внешнего поля в КТП стала важной в последнее время для космологии в связи с осознанием того, что ранняя Вселенная может быть заполнена сильными первичными магнитными полями (см. обзор роли таких полей и порождающих их механизмов в [481]). В 90-ые годы было предложено несколько возможных механизмов генерации первичных магнитных полей, объясняющих возникновение наблюдаемых галактических магнитных полей порядка 10 &G [539]. Так, механизм динамо объясняет происхождение крупномасштабного галактического магнитного поля с усилением малых вмороженных зародышевых полей до наблюдаемого fiG поля с помощью турбуленции и вращения. Магнитное насыщение достигается, когда рост входит в нелинейный режим. Эволюция возмущения плотности с первичными магнитыми полями без механизма динамо рассматривалась в работе [537]. Могут порождать первичные магнитные поля космологические фазовые переходы в ранней Вселенной. Так, если конформная инвариантность нарушается в период инфляции, то возникают первичные магнитные поля [659]. Электрослабый фазовый переход [258, 631] и КХД фазовый переход [318, 596] тоже могут порождать первичные магнитные поля. Если имеется период инфляции, то соответствующие поля могут возникать при повторном разогреве [389]. В этом сценарии первичное магнитное поле является реликтом эры GUT. С этой точки зрения можно воспользоваться тем, что неабелевы калибровочные теории могут иметь вакуум типа структуры ферромагнетика с ненулевым магнитным полем, которое существует также при конечной температуре. Тогда формирование ферромагнетико-подобного вакуума при масштабе GUT порождает максвелловское магнитное поле, вмороженное в сопутствующую плазму. Это приводит к когерентному магнитному полю, принадлежащему Вселенной в целом, с величиной Дшш 10 14G, которое имеет подходящий размер, чтобы послужить зародышевым полем для галактического динамо. Первичное поле, таким образом, представляет собой непертурбативный эффект. С другой стороны, зародышевые поля достаточно большие, чтобы породить (интер) галактические поля, появляются естественно в струнной космологии при усилении электромагнитных флуктуации благодаря динамическому дилатонному фоновому полю [426]. Это тот же самый тип механизма, что считается ответственным за порождение первичной метрики и флуктуации плотности энергии.
Процессы в магнитосфере пульсара, во время взрыва сверхновой, в окрестности сверхпроводящей магнитной струны (если таковые возникают в ранней вселенной после инфляции), упомянутое выше явление спонтанной магнетизации вакуума при высоких температурах в чистой SU(2) глюодинамике и Стандартной Модели, обнаружение [178] существенной роли интенсивных полей в сценарии бариогенезиса Стандартной Модели и, шире, в фазовых переходах для различных моделей КТП вызвали большой интерес к изучению эффектов сильного поля в КТП при конечной температуре и плотности. Одно- и двух-петлевое эффективное действие (или его статистический аналог -термодинамический потенциал) для интенсивного магнитного поля (параллельное магнитному электрическое поле отсутствует, или предполагается слабым) при конечных температуре и плотности, и различной размерности пространства было рассмотрено в работах [27, 205, 206, 304, 308, 322, 332, 355, 360, 361, 362, 380, 381, 383, 384, 387, 457, 548, 593, 637, 651, 679]. Ряд попыток обобщить однопетлевое эффективное действие интенсивного электрического поля на случай конечных температур предпринималось в [331, 424, 425, 456, 548] (см. также двух-петлевое вычисление в [458]). При этом авторы использовали различные подходы, результаты которых между собой сильно не согласуются, что свидетельствует о неадекватности этих методов в случае электрического поля (подробнее мы обсудим это ниже). Однопетлевое эффективное действие интенсивного поля магнитного типа (хромомагнитное, гипермагнитное) при конечных температуре и плотности изучалось в работах [107, 341, 357, 389, 524, 525, 568, 637, 640]. (многопетлевые вклады рассмотрены в [342]).
Имеется большое число работ, посвященных изучению радиационных процессов (процессов со взаимодействием квантованных полей) во внешних полях, характеризуемых однородными в пространстве-времени инвариантами (обзор других важных случаев: кулоновское поле ядра, ондулятор, черная дыра итд., можно найти в цитированных монографиях и обзорах). Помимо уже упоминавшихся двух- и более - петлевых вкладов в эффективное действие, где начальное состояние представляет собой анизотропную среду (вакуум, или плазму), рассматриваются разнообразные процессы с участием частиц: излучение фотона электроном, рождение фотоном электрон-позитронной пары, расщепление и слияние фотонов, поляризация вакуума распространяющимися частицами итд. Так, процессы в поле плоской электромагнитной волны были всесторонне рассмотрены в работах [2, 95, 121, 131], [138]- [141], [189, 195, 293, 601, 647, 648]. Случай КЭД в скрещенном (Ё ± В, Е = В) и общем постоянном электромагнитном поле изучен в работах [110, 143, 144, 167, 169, 172, 333, 344, 559, 605, 606], в том числе и высшие порядки вплоть до четвертого [58, 120, 129, 156, 157, 158, 185, 186, 565, 573, 574, 605, 606]. Слабые распады под воздействием таких полей рассмотрены в работах [146, 147, 165]. Процессы в комбинации магнитного поля и распространяющейся вдоль него плоской волны рассмотрены в [152, 153, 193]. Особую группу составляют исследования по квантовой теории синхротронного излучения, имеющие большую практическую важность. Они отражены в сборнике и монографиях [15, 187, 188] (см. также, [624], [652]-[657] , [677]), где дана подробная библиография. Другой пример важных для практических задач вычислений радиационных процессов представляет собой существенный в теории излучения пульсара эффект захвата гамма-кванта магнитным полем, постоянным по величине, но переменным по направлению (подробнее см. [208]). Обзор радиационных процессов с участием частиц в присутствии интенсивного (хромо)магнитного поля в Стандартной Модели и КХД см. в [48, 197],
Более непосредственно примыкают к основному содержанию диссертации исследования поляризации вакуума частицами, распространяющимися в присутствии полей с однородными в пространстве-времени инвариантами. В основном еще в 70-е и начале 80-ых впервые были выполнены детальные исследования массового и поляризационного операторов в однопетлевом приближении КЭД при нулевой температуре для таких полей (в последнее время такие расчеты обычно проводятся для апробации новых методов вычислений, таких как, скажем, техника мировых линий [618], прежде чем использовать их в других моделях КТП). Так, массовый оператор электрона в постоянном скрещенном поле вычислялся различными методами в работах [14, 15, 166, 168, 605]. В работах [24, 97, 449, 521, 625, 652, 653] массовый оператор заряженных частиц спина 0 и 1/2 рассмотрен для магнитного поля, и в [20,22,190,191,192,194] подробно изучен аномальный магнитный момент (см. также монографию [196]). Общий случай постоянного электромагнитного поля рассмотрен в [16, 172, 176, 624], причем в [3, 172, 176] детально изучен случай интенсивного электрического поля. Случай, плоской волны проанализирован в работах [10, 18, 22, 111, 195]. Массовый оператор в поле, являющемся комбинацией однородного магнитного поля и бегущей вдоль него плоской волны исследован в работах [23, 177, 247, 648]. Поляризационный оператор фотона изучался в скрещенном поле [29, 133, 166, 168, 606], магнитном [112, 113, 120, 184, 186, 207, 213, 627, 655, 656, 661], электрическом [126] и произвольном постоянном поле [17, 31] (см. также техники вычисления электронных петель с произвольным числом концов в [17, 618]), плоской волне [19, 22, 259, 561] и в суперпозиции постоянного поля и плоской волны, распространяющейся вдоль общего направления постоянных полей [117] (в [118] проанализирован случай, когда постоянное электрическое поле отсутствует). Поляризационный оператор фотона в однородном магнитном поле при конечной температуре детально изучен в работах[60, 159, 160, 304, 498, 591, 592, 634]. Поляризационный оператор для глюодинамики в однородном хромомагнитном поле при конечных температурах рассмотрен в работе[305]. В монографии [208] рассмотрен весь круг задач, связанных с поляризационным оператором фотона в интенсивном магнитном поле, и дан подробный обзор всех ранее опубликованных работ, где рассматривался поляризационный оператор во внешних полях. В дальнейшем изучение поляризации вакуума КТП частицами с однопетлевой точностью в присутствии интенсивного однородного магнитного поля (электрическое отсутствует, или предполагается слабым) было продолжено по разным направлениям. Так, в [385, 394] изучен массовый оператор электрона в магнитном поле при конечной температуре (точное выражение с учетом всех ведущих диаграмм получено [386] в пределе высоких температур). В рамках Стандартной Модели, как для нулевой температуры, так и для конечной температуры и плотности, рассмотрен W-бозонный вклад в поляризационный оператор фотона, вычислены поправки к массе и энергии нейтрино, изучены электрослабые поправки к сдвигу массы и аномального магнитного момента электрона, массовый оператор W-бозона (детали можно найти в обзорах и монографии [48, 197, 636]. Процессы взаимодействия нескольких нейтрино с фотонами и лептонами в рамках Стандартной Модели рассмотрены недавно [459, 619] с помощью техники мировых линий (там же можно найти подробный обзор литературы). Массовые операторы W-бозона и лептонов, поляризационные операторы фотона, Z-бозона и хиггсовского бозона в однородном (гипер) магнитном поле интенсивно рассматриваются в последнее время для киральной фазы электрослабой теории (или, что практически то же самое, теории Янга-Миллса с массовой регуляризацией) в связи с проблемой электрослабого фазового перехода в ранней Вселенной (см. обзоры [395, 636], и, например, работу [379] и данный там обзор новейших публикаций).
В большинстве цитированных работ рассматриваются поля, которые не нарушают стабильность вакуума. В тех случаях, когда в рассмотрение включается я интенсивное (хромо, гипер)электрическое поле, эффективный лагранжиан [33, 170, 171, 505, 556, 620, 673], [331, 424, 425, 456, 458, 548], массовый и поляризационный операторы [16, 17, 31, 117, 126, 172, 176, 618, 624] просто строятся по аналогии с соответствующими выражениями в представлении собственного времени для (хромо, гипер)магнитного поля. При этом связь с теорией рассеяния или теорией средних в поле, рождающем пары, остается неясной (как мы увидим далее, такая аналогия позволяет найти только вклады в амплитуды перехода, но не средние значения физических величин). Таким образом видим, что актуальные задачи КТП в постоянном однородном поле общего вида требуют выхода за рамки стандартного представления Фарри и развития такой техники, которая позволяет работать с нестабильным вакуумом.
Проблема нестабильности вакуума, разумеется, характерна не только для КТП постоянного однородного поля общего вида, она относится к самым общим вопросам построения релятивистской квантовой теории. Ведь хорошо известно, что в общем случае КТП с интенсивным внешним полем - это теория с нестабильным вакуумом. И, соответственно, здесь требуются адекватные методы. Эта нестабильность вакуума приводит к появлению в теории многих интересных особенностей, среди которых рождение реальных частиц из вакуума является одним из наиболее красивых непертурбативных эффектов. Более того, в теориях с взаимодействием нестабильность вакуума может открывать путь квантовым процессам, которые вообще запрещены, если вакуум стабилен. Все эти особенности теории проявляют себя только тогда, когда внешнее поле учитывается точно. Начало соответствующему общему рассмотрению положили Фейнман и Швингер [397, 620, 621]. В работе [620] Швингер впервые в рамках современной КЭД вычислил вероятность вакууму остаться вакуумом и относительную вероятность рождения пар для постоянного электрического поля. Заметим, что впервые на проблему нестабильности вакуума в таком поле обратил внимание Клейн [531], который обнаружил возможность прохождения электронов через сколь угодно высокий потенциальный барьер, созданный электрическим полем - это, так называемый, парадокс Клейна. История рассмотрения и решения этого парадокса описана, например, в монографии Никишова [145], который также внес существенный вклад в современное понимание природы этого явления. Стало ясно, что в КЭД эффект может быть наблюдаем, когда напряженность поля приближается к характерному критическому значению Ес = т2с?/\е\Н 1,3 1016 V/cm (т - масса электрона), которое, однако, очень велико. Поэтому в течение весьма длительного периода считалось, что изучение эффектов нестабильности вакуума в КЭД с внешним полем полезно, главным образом, для отработки техники, которая затем применяется в работе с моделями типа КХД, или в космологических моделях, где имеется соответствующее взаимодействие с безмассовыми или относительно легкими частицами. Понятно, что в таких моделях природа внешнего поля не электромагнитная. Но, вот, наконец, последние достижения физики мощных лазеров открыли дорогу к прямым экспериментам с интенсивным внешним полем в самой КЭД. Явление нестабильности вакуума при рождении злектрон-позитронных пар электрическим полем тераваттного оптического лазера возможно недавно наблюдалось в эксперименте SLAC Е-144 [303]. В этой работе полученные данные интерпретируются как многофотонное рассеяние света на свете, альтернативное объяснение с помощью непосредственного проявления изменения вакуума КЭД (механизм Швингера) предложено в [558] (см. также [250]). Нелинейный эффект поглощения 4 лазерных фотонов в комптоновском рассеянии наблюдался также в эксперименте SLAC Е-144 [302]. По оценкам [220, 316, 317, 558, 646] еще большие возможности по изучению эффектов сильного поля, в том числе и рождения пар, обещает предоставить рентгеновский лазер на свободных электронах в экспериментах как SLAC, так и DESY [234, 292, 554]. Так, проведенные в работе [604] оценки показывают, что при некотором усовершенствовании аппаратуры можно обеспечить интенсивность поля в фокусе этого рентгеновского лазера порядка 0,1ЕС, что позволяет планировать эксперименты по рождению электрон-позитронных пар из вакуума. С другой стороны, имеются оценки указывающие на то, что прямое наблюдение механизма Швингера следует ожидать скорее от инфракрасных и оптических лазеров при некотором ожидаемом в ближайшем будущем увеличении их мощности [163]. Дискуссия о более перспективном направлении в настоящее время продолжается (см., также [103], где анализируется возможность наблюдать черепковское излучение на TESLA при рассеянии электронов лучом оптического, или рентгеновского лазера).
Эффекты рождения пар вместе с их обратным влиянием важны в физике черных дыр и динамике ранней Вселенной (см. напр. [231, 415, 502, 503, 658, 668] и имеющиеся там ссылки). Космические струны, то есть линейные дефекты, которые могут возникать при фазовых переходах в ранней Вселенной (для обзора см. [663]), ведут себя как сверхпроводащая проволока. Такие струны, двигаясь сквозь намагниченную космическую плазму, могут создавать огромные токи и порождать разнообразные астрофизические эффекты. В частности, они могли бы быть возможными источниками космических лучей сверхвысоких энергий. Создаваемые колеблющимися струнами токи в магнитном поле не будут однородными вдоль струны, поскольку разные участки струны пересекают магнитные силовые линии в различных направлениях. Это приводит к концентрации зарядов, и на различных участках струны могут возникать заряды на единицу длины, сравнимые с токами. Электрическое поле вблизи струны может становиться экстремально сильным, и тогда квантовые эффекты, такие как поляризация вакуума и рождение пар, должны приниматься во внимание [575]. Таким образом, в последнее время можно видеть быстро растущий интерес к проверке применимости формализма КТП с интенсивным полем. Этот интерес вызывается также новыми достижениями астрофизики (см., например, [248, 277, 366, 368, 510, 639]). Можно также упомянуть, что кулоновские поля сверхтяжелых ядер могут порождать электрон-позитронные пары (см. обзор в [482, 483]).
Выше уже говорилось о роли, которую может играть в ранней Вселенной первичное магнитное поле. Возможное существование макроскопического электрического поля в ранней Вселенной также обсуждается [50, 614] (кроме того, как отмечено ниже, в определенную эпоху могло бы играть роль и хромоэлектрическое поле). В этих работах на примере точно решаемой модели было показано, что присутствие электрического поля в ранней Вселенной значительно увеличивает гравитационное рождение частиц из вакуума. В принципе, этот процесс можно рассматривать как источник большей части массы Вселенной. Имея в виду эти космологические соображения, интересно развить предложенную в [50, 614] модель (см. также [236]) в полноценную КТП (в самих этих работах рассмотрены фактически только вычисление среднего значения оператора числа частиц и вероятность вакууму остаться вакуумом), тем более, что она довольно близка к рассматриваемым задачам с постоянными полями и, как в присутствии электромагнитного поля, так и в его отсутствие является теорией с нестабильным вакуумом. Эта модель дает хорошую возможность продемонстрировать эффективность описанного в главе 1 формализма обобщенного представления Фарри (см. подробности ниже, во введении к главеї) в теории с искривленным пространством-временем. Модель (точнее две модели - для частиц без спина и частиц спина 1/2 ) представляет собой массивное (масса М) заряженное скалярное или массивное спинорное поле в расширяющейся вселенной Фридмана-Робертсона-Уолкера (ФРУ), где масштабный фактор имеет вид Щ?}) (в единицах конформного времени) Q2(T}) = b2if + а2. В единицах физического времени t соответствующая метрика может быть записана в виде: ds2 = dt2 — Q2(t)(dx2 + dy2 + dz2), где при малых временах \t\ о2/6, Q2(t) а2[\ + (Ы/а2)2], а для больших времен t a2/b, Cl2(t) 2& (см. [614]). Такой масштабный фактор соответствует расширяющейся вселенной ФРУ в эпоху радиационной доминантности. Значение а ф 0 связано с ненулевой плотностью энергии среды и определяется сильным взаимодействием. Кроме того предполагается, что вселенная заполнена электромагнитным полем. Электромагнитное поле выбирается постоянным однородным. Поскольку максвелловское поле конформно инвариантно в пространстве-времени размерности 3 + 1, это можно сделать сразу же, до конформного преобразования теории. При этом взаимодействие скалярного поля с гравитацией наиболее естественно выбрать в форме с конформной связью, так как эта связь является ультрафиолетовой фиксированной точкой ренормгруппы для множества взаимодействующих теорий [299]. Выполнив конформное преобразование, можно переформулировать модель в виде КЭД в плоском пространстве с временной координатой х° = rj, но зависящей от времени массой МО,(т}) (назовем такую модель для краткости теорией 12-КЭД). То есть, можно рассматривать член МЩт]) как одномерную потенциальную яму. С другой стороны, можно интерпретировать эту теорию, как обычную КЭД в плоском пространстве более высокой размерности, где потенциал "электрического"поля задан в некотором дополнительном измерении. Такая модель может быть полезна и вне ее связи со вселенной ФРУ в контексте теорий типа Калуцы-Клейна (см, например, [299]). КТП во вселенной ФРУ может быть использована, например, для изучения нарушения киральной симметрии в четырех-фермионных моделях с гравитационными и электромагнитными полями [517]. Более того, она может быть полезной в более реалистических теориях, таких как GUT со скалярными, спинорными и векторными полями для изучения действия комбинированного электро-гравитационного фона. Например, с ее помощью можно пытаться узнать, возможно ли реализовать асимптотическую конформную инвариантность (когда теория становится приблизительно конформно инвариантной при большой кривизне) [569], рассматривая поведение средних значений физических характеристик полей в ранней Вселенной. Попытка (не вполне удовлетворительная) построить некоторую функцию Грина скалярного поля для этой модели в отсутствие электромагнитного поля была предпринята в работе [297]). Все это служит мотивацией для построения КТП во вселенной ФРУ (подробнее см. ниже, во введении к главе 5).
Как уже говорилось, имеются различные проблемы в современной КТП, которые тесно связаны с обсуждаемой нестабильностью вакуума, например, фазовые переходы в КТП, проблема граничных условий, или влияния на вакуум топологии, проблема последовательного построения вакуума в КТП, струнных теориях, множественное рождение частиц итд. [48, 99, 225, 224, 226, 274, 299, 680, 431, 435, 492, 533, 534, 650]. Обсудим подробнее роль, которую явление нестабильности вакуума играет в множественном рождении частиц. Типичным сценарием, в основе которого лежит механизм Швингера, является, модель трубки с хромоэлектрическим полем ( chromoelectric flux tube model), предложенная в [312, 488], и успешно используемая вплоть до настоящего времени (обзор модификаций базовой модели, разнообразные ее приложения и последние по времени обсуждения можно найти, например, в работах [343, 424, 549, 552, 675]). Эта модель является эффективной моделью конфайнмента кварков в КХД и сейчас широко применяется при изучении столкновений тяжелых ионов. Она весьма неплохо описывает феноменологию адронных пучков в экспериментах со столкновением е+ — е и р — р при высоких энергиях. В частности, она позволяет объяснить качественно резкое падение в распределении рожденных частиц по поперечному импульсу, подавление странности и рождения барионов, отношение Kjiv и временную задержку рождения частиц после столкновения. В этой модели среднее поле между кварком и антикварком приближенно представлено как абелево калибровочное поле (хромоэлектрическое поле) подобное однородному электрическому полю в КЭД. Поскольку плотность КХД энергии (натяжение струны) велика, хромоэлектрическое поле достаточно сильно, чтобы инициировать рождение пары легких кварка и антикварка (и глюонов) с помощью механизма Швингера. Эти заряженные частицы поляризуют вакуум и ускоряются внешним полем. Их движение порождает поле, которое изменяет начальное внешнее поле. То есть, имеет место обратная реакция, которая интенсивно обсуждается в литературе [272, 278, 532, 533, 534, 535, 666]. В отсутствие дополнительных взаимодействий эта обратная реакция индуцирует колебания среднего поля и возникшей плазмы. Распад вакуума является высоко неравновесным зависящим от времени процессом. Поэтому некоторые его аспекты можно описывать с помощью кинетической теории. В случае пространственно-однородных и не слишком сильных полей строгое соответствие между кинетической теорией и квазиклассическим подходом среднего поля в КЭД было установлено в работах [279, 536, 599, 638, 615, 616]. Различные проблемы космологических КХД фазовых переходов (при критической температуре порядка 100-200 MeV) и формирования темной материи также обсуждаются на основе модели трубки с хромоэлектрическим полем (см., например, [270, 271] и приведенный там обзор литературы). Во многих из приведенных выше примеров начальное состояние может быть описано как состояние теплового равновесия, или оно представляет собой неравновесное состояние, которое весьма значительно отличается от вакуума. В случае адронизации при столкновении тяжелых ионов было показано на основе анализа экспериментальных данных (см. например, [424]), что для сильных начальных полей в течение времени, необходимого для достижения локального теплового равновесия, среднее хромоэлектрическое поле не успевает заметно ослабеть из-за обратного эффекта от рождения частиц. То есть, сильное поле на этом этапе может рассматриваться как внешнее, но рождение пар полем происходит из состояния, описываемого матрицей плотности.
Рождение пар постоянным электрическим полем в одно-петлевом приближении в присутствии находящейся в тепловом равновесии среды рассматривалось в ряде работ [49, 331, 382, 424, 425, 456, 497, 548] {см. также двух-петлевое вычисление в [458]). При этом полученные с помощью различных подходов выражения для среднего числа рожденных частиц (как и структура эффективного действия там, где оно использовалось [331,424, 425, 456, 548]), совершенно не согласуются. Чтобы прояснить природу этих разногласий и получить надежные результаты, необходимо использовать систематический подход к рассмотрению явлений в полях, нарушающих стабильность вакуума. Таковым является обобщенное представление Фарри, впервые сформулированное автором совместно с Гитманом [86] на примере КЭД и затем развитое в ряде работ автора, Гитмана, Фрадкина и других, и проиллюстрированное решением конкретных задач в серии публикаций этих и других авторов (подробнее см. далее во введении к материалу главы 1). Заметим, кстати, что результаты двух из цитированных выше работ [49, 497] получены с помощью совершенно различных технических приемов на основе обобщенного представления Фарри, и эти результаты между собой согласуются. Из настоящего обзора видно, что исследование явлений нестабильности вакуума весьма актуально, и, в зависимости от рассматриваемой стадии конкретных процессов в (хромо) электрическом поле, актуальными могут быть как задачи с рождением пар из вакуума, так и такие, где рождение пар полем происходит из произвольного начального состояния, описываемого матрицей плотности.
Отметим также, что для последовательной формулировки обобщенного представления Фарри, особенно в неабелевой калибровочной теории, необходимо изучить характер сделанных приближений, которые могут приводить к описанию задачи КТП как задачи с внешним полем, и выявить те случаи, когда такое описание оправдано. Некоторые частные результаты для теории Янга-Миллса в неабелевом внешнем поле электрического типа, заданном нестационарным потенциалом, и нарушающем стабильность вакуума, получены ранее в работах ([224, 225, 226, 515]). В этих работах, как это обычно делается в неабелевой калибровочной теории, внешнее поле вводится формально по аналогии с КЭД, когда предполагается, что калибровочное поле можно представить в виде суперпозиции квантованной и классической составляющих. Поскольку уравнения движения неабелева калибровочного поля даже при заданном токе в общем случае нелинейны, то ясно, что такая процедура может оказаться внутренне противоречивой. Поэтому важно установить некоторые условия, позволяющие избегать таких противоречий (детали см. во введении к материалу главы 1).
Как уже было замечено выше, в современной КТП наряду с постоянном однородном полем мы нередко сталкиваемся с появлением струноподобных объектов различной природы, в том числе и такими образованиями, которые заключают в себе магнитный поток. В этом случае мы естественным образом сталкиваемся с известным эффектом Аронова-Бома (АБ) [215]. В самой оригинальной модели АБ эффект возникает, когда нерелятивистские заряженные квантовые частицы рассеиваются на бесконечно тонком бесконечно длинном соленоиде, содержащем конечный магнитный поток Ф. Этот эффект показывает, что локально тривиальный векторный потенциал калибровочного поля при его нетривиальной топологии может приводить к наблюдаемым эффектам, проявляющимся через сдвиг фазы волновой функции. Помимо электромагнетизма, мы обнаруживаем этот эффект, когда имеем дело с какими-либо решениями типа вихрей Нильсена-Ольсена [1, 578]. Возникший в последнее время интерес к таким решениям связан с космическими струнами [662, 663]. Соотвествующий АБ эффект был описан Алфордом и Вилчеком [217] для SO{10) GUT. Они построили вихревое решение, соответствующее /(1) составляющей группы симметрии, нарушенной при очень высоких энергиях. Так как поток квантуется относительно хиггсовского заряда, это порождает АБ эффект для обычных фермионов (см. также [218, 450]). Поперечное сечение для такого нетривиального рассеяния намного больше, чем гравитационное рассеяние. Это все служит сильной мотивацией для изучения поляризации вакуума, индуцированной магнитным потоком, заключенным в достаточно тонкой трубке. Такая поляризация в последнее время была рассмотрена в большом числе работ с различных точек зрения (см., например, обзоры в [264, 284]). К середине 80-х АБ эффект в физике низких энергий (см. для общего обзора [183, 587, 594]) становится хорошим инструментом для исследования новых физических явлений. Он встречается в теории самых разных явлений: анионы в теории высокотемпературной сверхпроводимости [315], электромагнитное излучение, сопровождающее АБ рассеяние [82, 83, 181, 239], рождение пар фотоном [240], рассеяние в теории Черн-СаЙмона [286, 476, 477, 478], радиационные поправки к эффекту [216].
Перейдем к обзору задач в присутствии АБ потенциала, имеющих более непосредственное отношение к вопросам, рассматриваемым в диссертации, то есть таких задач, где наряду с АБ потенциалом имеется еще и однородное магнитное поле, направленное вдоль оси АБ струны. До недавнего времени эффекты, возникающие в комбинации этих полей, не привлекали достаточного внимания. Лишь в нескольких работах 80-х годов для нерелятивистской заряженной частицы [12, 180, 181, 544] был проанализирован сдвиг уровней Ландау, вызванный присутствием длинного соленоида малого радиуса, и рассматривалась возможность наблюдать новые моды циклотронного излучения. Планарная физика и квантовый эффект Холла вызвали новый интерес к квантовой механике в поле, представляющем собой суперпозицию однородного калибровочного поля и струноподобного потока магнитного поля [313, 391, 393, 511, 571, 649]. С другой стороны, в недавней работе [246] была открыта новая возможность экспериментального наблюдения эффекта Аронова-Бома в циклотронном и синхротронном (в релятивистском случае) излучении в присутствии соленоида малого радиуса. Кроме того, такая суперпозиция может быть использована как модель неоднородного поля, или как модель комбинированных эффектов границ и полей. Появление в однородном поле струны, несущей поток, довольно естественно не только в нерелятивистской физике, но и в релятивистской, в частности, для частиц со спином. Хотя обычно в задачах КТП рассматривается ситуация, когда вне трубки с потоком находится вакуум в изотропной фазе, то есть поле отсутствует. Но мы знаем, что присутствие однородного поля за пределами трубки вполне возможно, если, например, эта трубка возникла как результат фазового перехода из начального состояния, где минимум энергии достигается в присутствии однородного (хромо) магнитного поля. Таким образом, является актуальной релятивистская КТП в суперпозиции, струноподобного и однородного полей, сохраняющей цилиндрическую симметрию, что в предельном случае описывается комбинацией однородного поля и АБ струны.
Присутствие в теории сингулярного потенциала требует решения проблемы самосопряженного расширения гамильтониана Дирака для частиц спина 1/2 (соответственно, одночастинного гамильтониана скалярного поля для частиц без спина), определения связи между актуальными физическими задачами и конкретными самосопряженными расширениями, построения функций Грина для конкретных расширений итд. Самосопряженное расширение нерелятивистского гамильтониана в АБ потенциале было подробно изучено в [654], где также рассмотрена и регуляризованная задача с полем соленоида конечного радиуса. К настоящему моменту имеется уже довольно большое число работ, где этому уделяется внимание. Впервые было обнаружено в [450, 451], что в присутствии АБ потенциала необходимо рассматривать самосопряженное расширение радиального гамильтониана Дирака, так как наивный подход не позволяет угадать все возможные решения. И показано, что в случае 2--1 размерности пространства-времени возникает однопараметрическое семейство граничных условий в начале координат, которое устанавливает соотношение между компонентами допустимого спинора вместо того, чтобы требовать одновременной конечности обеих компонент. Было найдено, что взаимодействие магнитного момента заряженной частицы и магнитного поля АБ струны существенно меняет поведение волновой функции на струне [451, 493, 494]. Это взаимодействие в литературе часто именуется контактным, или точечным, или нулевого ранга, или Дирак-дельта взаимодействием. Самосопряженное расширение гамильтониана Дирака для размерности 3 + 1 было получено в [667]. В работах [238, 239] представлен альтернативный метод самосопряженного расширения, и рассмотрены случаи размерности 3 + 1 и 2 + 1. Однако в [553] для 2 + 1 размерности было показано, что только два значения параметра расширения соответствуют присутствию точечного магнитного поля в начале координат. Другие же значения этого параметра соответствуют дополнительным контактным взаимодействиям. В работах [218, 399, 493] одно такое возможное граничное условие получено с помощью специальной регуляризации дельта-образной конфигурации поля, отталкиваясь от модели, в которой условие непрерывности обеих компонент дираковского спинора накладывается при конечном радиусе соленоида, который затем сжимается до нуля. Второе такое граничное условие, как для 2 + 1, так и для 3 + 1 размерностей, найдено в работах [263, 264, 412] при наложении спектральных граничных условий типа Атья-Патоди-Сингера [235] (MIT граничные условия) на конечном радиусе, который затем стремится к нулю. В работах [330, 232] было показано,что при определенных соотношениях параметров расширения, можно указать наиболее общую область определения, где как оператор Гамильтона, так и оператор спиральности являются самосопряженными. Вопрос физически корректного выбора граничных условий в случае АБ рассеяния частиц спина 1/2 при кулоновском взаимодействии частицы с источником конечного радиуса действия рассмотрен в [329]. Проблема связанных состояний в присутствии АБ потенциала для частиц, обладающих магнитным моментом, детально изучена в работах [59, 281, 282].
В случае, когда наряду с АБ полем имеется еще и однородное магнитное поле, тоже необходимо рассматривать самосопряженное расширение гамильтониана Дирака. При этом, благодаря присутствию однородного поля, спектр гамильтониана дискретный, и при рассмотрении мы встречаем ряд специфических особенностей. Так, результаты вышеупомянутых работ по установлению граничных условий, которые были получены в случае непрерывного спектра, не могут быть автоматически распространены на этот случай. Ясно также, что граничные условия заметно влияют на энергетический спектр частицы со спином, и эту зависимость необходимо найти. Работа в этом направлении была начата совсем недавно, но некоторые противоречия в публикациях уже возникли. Так, в статье [649] исследовано уравнение Паули для случая специальной регуляризации контактного взаимодействия, и утверждается, что невозможно найти такое решение этого уравнения, чтобы АБ струну в однородном поле можно было рассматривать, как предел соленоида конечного радиуса. Впрочем, в комментарии [313] к этой публикации показано, что использованный подход в этой задаче не работает. В недавней работе [391] рассмотрен наиболее широкий класс граничных условий для бесспиновых частиц, взаимодействующих с АБ струной и однородным полем, а в работе [393] получено самосопряженное расширение гамильтониана Дирака в 2 + 1 измерениях для специального случая, когда оба поля имеют одинаковый знак. Заметим, однако, что в случае частиц со спином АБ симметрия (инвариантность физических величин по отношению к количеству квантов магнитного потока) нарушена, что выражается в чувствительности теории к направлению потока: параллельному или антипараллельному. Поэтому наиболее общий случай 2 + 1-расширения с различной ориентацией потока относительно направления однородного поля в [393] оказался не рассмотрен. Задача расширения гамильтониана Дирака в 3+1 измерениях до работ автора (с участием соавторов) [442, 443, 444] не рассматривалась. Таким образом, видим, что самосопряженное расширение гамильтониана Дирака в присутствии АБ струны и однородного поля для размерностей 3+1 и 2+1 является актуальной задачей. Актуальна также проблема установления связи расширений этого гамильтониана с регуляризованной задачей.
Для построения КТП и решения многих задач требуется иметь явный вид функций Грина, который в присутствии АБ потенциала существенно зависит от выбора расширения. Что делает получение таких функций Грина высоко не тривиальной задачей. Нерелятивистские пропагаторы для частиц без спина и частиц со спином 1/2, движущихся в АБ поле, рассматривались, в основном, в связи с эффектом АБ. Так, пропагатор бесспиновой частицы был найден в [268, 452, 564] как сумма отдельных пропагаторов, соответствующих гомотопически различным путям в накрывающем пространстве. Нерелятивистский пропагатор частицы со спином 1/2 в АБ поле для отдельных значений параметра самосопряженного расширения обсуждался в [589]. Релятивистский скалярный случай в АБ поле изучен в [423]. Пропагаторы и эф4 ект АБ для калибровочных теорий общего вида рассмотрен в [586, 643]. Для комбинации однородного поля и АБ струны ранее функции Грина не рассматривалась ни для нерелятивистской задачи, ни для релятивистской. Впервые такие функции были получены автором (совместно с соавторами) [445] (см. детали во введении к главе 6).
Проблема квантования различных моделей релятивистских частиц (РЧ) тесно связана с обсуждаемыми проблемами интенсивного внешнего поля, поскольку именно взаимодействие с внешними ПОЛЯМИ оказывается эффективным инструментом при изучении и квантовании различных моделей РЧ. Реализация квантовых версий моделей должна опираться на обобщенное представление Фарри. В настоящее время модели РЧ формулируются в ковариантной и репараметризационно инвариантной форме. Благодаря этой калибровочной инвариантности мы сталкиваемся здесь со всеми типичными проблемами, связанными с квантованием калибровочных систем: явление нулевого гамильтониана, проблема определения времени итд. Актуальность квантования таких моделей обусловлена стремлением заполнить пробелы в фундаментальных теоретических построениях: осуществить последовательную реализацию классической суперсимметрии, доказать, что существуют последовательные классическое и квантовое описания по крайней мере для невзаимодействующих между собой релятивистских частиц. Такое развитие методов квантования важно для изучения проблем квантования струн, представляющих сейчас наиболее перспективную схему объединения всех взаимодействий.
Существует распространенное мнение, что построение последовательной релятивистской квантовой механики (КМ) на основе релятивистских волновых уравнений (РВУ) сталкивается с хорошо известными трудностями (существование бесконечного числа состояний с отрицательной энергией, векторов состояния с отрицательной нормой итд.), которые могут быть разрешены единственно во вторично-квантованной теории (см., например, [396, 404, 484, 486, 623, 670]). В этой связи следует упомянуть некоторые попытки сконструировать РВУ для волновых функций, которые реализуют бесконечномерные представления группы Лоренца [84, 352, 551, 642]. Таким образом, рассматриваемая проблема квантования может формулироваться на разном уровне притязаний. Простейший, и наиболее широко распространенный, подход заключается в применении некоторой удобной в конкретном случае (но не всегда убедительной и хорошо обоснованной) схемы квантования, позволяющей придти к соответствующему РВУ, но без какой-либо попытки продемонстрировать, что последовательная КМ действительно получена (из-за убеждения, что это не может быть сделано). По нашему мнению цель может быть более амбициозной, а именно: в процессе первичного квантования модели РЧ надо пытаться построить релятивистскую КМ, последовательную в той именно степени, в которой одночастичное описание возможно в рамках соответствующей КТП.
Прежде всего необходимо определить более точно, что мы имеем в виду под убедительным и хорошо обоснованным квантованием. По нашему мнению, это должна быть последовательная общая схема (то есть, последовательность определенных этапов, на каждом из которых решаются конкретные задачи реализации), а не просто какие-то наводящие соображения, которые позволяют предсказать некоторые основные черты соответствующей квантовой теории. Последовательной схемой такого рода, например, является каноническое квантование калибровочных теорий, в котором, фиксируя калибровку, физический сектор можно выделить уже на классическом уровне, и пространство состояний можно построить и исследовать во всех деталях. Это может быть также какая-либо схема, эквивалентная каноническому квантованию, которая позволяет добиться того же конечного результата. Альтернативный и часто используемый метод квантования по Дираку, в котором калибровочные условия не накладываются на классическом уровне, а связи первого рода становятся операторами и определяют физический сектор в пространстве состояний, содержит некоторые существенные внутренние противоречия. В частности, этот метод иногда не дает возможности сформулировать последовательное предписание для построения подходящего к случаю гильбертова пространства. Кроме того, отсутствует общее доказательство эквивалентности этого метода методу канонического квантования. Фактически таким образом можно только угадать некоторую классическую теорию поля.
Проблема описания спиновой степени свободы в моделях РЧ оказывается далеко не тривиальной. Существует два конкурирующих подхода: в одном используются грассмановы переменные для описания спина, а в другом - переменные из компактного бозонного многообразия. Как в том, так и в другом подходах имеются еще и свои собственные проблемы, связанные, в частности, с описанием высших спинов и введением взаимодействия с внешним полем для этих спинов. В диссертации мы рассмотрим квантование моделей РЧ спина 1/2, где для описания спина вводятся переменные, принимающие значения на грассмановой алгебре В (такая механика называется псевдоклассической). Подробнее о псевдоклассических моделях РЧ будет сказано ниже. Мы не будем касаться проблем описания спина бозонными переменными (об этом см., например, в книге [680], работы [454, 455, 495, 550] и цитированную там литературу). В диссертации мы также не касаемся проблемы квантования РЧ с помощью популярного метода интегрирования по путям (см., например, [392, 411, 491, 508, 512] и цитированную там литературу). Сам по себе этот метод позволяет получать только описание на языке функций Грина и не дает рецептов построения других объектов квантового описания.
Один из возможных подходов к каноническому квантованию РЧ (со спином и без спина) был представлен в работах Гитмана и Тютина [92, 462] (затем метод применялся в многочисленных работах). Он был основан на выборе специальной калибровки для фиксации репараметризационной калибровочной свободы. В этих работах было показано как уравнения КГФ и Дирака появляются при таком квантовании. Тем не менее, был рассмотрен только ограниченный класс внешних полей (постоянное магнитное поле). Построенная КМ не обладала всеми симметриями, присущими классической модели, а подробный анализ эквивалентности между КМ и одночастичным сектором соответствующей КТП не проводился. Дальнейший анализ [439] показал, что такой эквивалентности в этих работах добиться не удалось, и именно это и препятствует прямому обобщению предложенной схемы. Так, попытки обобщения этого подхода для произвольного внешнего электромагнитного ноля [100, 101, 102] столкнулись с серьезными трудностями (не удалось даже воспроизвести уравнения КГФ и Дирака), которые в случае искривленного пространства-времени выглядели уже практически непреодолимыми. Относительно последнего достаточно упомянуть, что даже более простая нерелятивистская задача (которая имеет долгую историю [346]) привлекает внимание до настоящего времени и мы встречаем различные точки зрения на ее решение [346, 555, 585, 609]. Релятивистская задача, которая естественно включает все известные трудности нерелятивистской, является существенно более богатой и сложной благодаря ее калибровочной природе. Если же рассматривается произвольное гравитационное поле, то проблема просто не разрешима на основе аналогии с плоским случаем во внешнем магнитном поле [462] (даже с ограниченной точки зрения, когда пытаются лишь воспроизвести уравнения КГФ и Дирака, как это было сделано в [610] для статического пространства-времени). С принципиальной же точки зрения интересен именно общий случай, когда модель включает взаимодействие с произвольными внешними полями. Таким образом видим, что подход Гитмана-Тютина к квантованию РЧ должен быть существенно пересмотрен и конструирование достаточно общей схемы последовательного канонического квантования РЧ является актуальной задачей. Она решена в цикле работ автора [413, 437, 438, 439, 440], выполненных совместно с Гитманом (детали см. ниже во введении к материалу главы 2).
Общая схема канонического квантования ковариантных и репараметризационно инварантных моделей РЧ излагается в главе 2 сначала на примере бесспиновой заряженной частицы, а затем применяется к квантованию популярных псевдоклассических моделей (детали см. ниже во введении к материалу главы 2). Репараметризационно инвариантная форма классического действия бесспиновой частицы в электромагнитном поле и в искривленном пространстве-времени хорошо известна [114]. Однако не существует какого-то одного всеобъемлющего способа описания релятивистских спиновых частиц, который включал бы все возможные случаи: целый и полуцелый спин, массивную и безмассовую частицу, четную и нечетную размерность пространства-времени. Во многих из этих случаев структура действия отличается весьма существенно и, следовательно, требует отдельного рассмотрения при квантовании. Нашей основной задачей является разработка общего подхода к квантованию этих моделей, для чего достаточно рассмотреть два наиболее типичных случая: пространство-время 2 + 1- и 3 + 1-измерений. Эти случаи хорошо представляют характерные особенности, с которыми встречаемся в пространствах с произвольным нечетным и четным числом измерений, соответственно.
Базовая псевдоклассическая модель для всех конструкций такого рода впервые была предложена Березиным и Мариновым [39, 266] для массивной частицы в плоском пространстве-времени 3 + 1 измерений и затем обсуждалась и изучалась в большом числе работ [252, 290, 310, 325]. Включение в модель взаимодействия с электромагнитным, Янга-Миллса и гравитационным полями изучались в работах [249, 254, 291]. Возможные псевдоклассические действия в произвольных размерностях для плоского пространства-времени были недавно предложены в [469, 491]. Также недавно было сконструировано [453] псевдоклассическое суперсимметричное действие для частиц со спином (в 3 + 1 измерениях) во внешнем торсионном и электромагнитном полях.
Для изложения особенностей нашего подхода к квантованию частиц со спином 1/2 в пространствах четной размерности возьмем за основу суперсимметричную псевдоклассическую модель Березина-Маринова, включающую взаимодействие с внешним электромагнитным полем. Соответствующее псевдоклассическое действие в наиболее общей репараметризационно инвариантная форме для случая плоского пространства-времени размерности 3 + 1 предложено в [92, 462]. Обобщение этого действия на случай искривленного пространства-времени (без торсиона) дано в работе автора и Гитмана [440]. Иная (не суперсимметричная) форма действия для частицы со спином 1/2 в искривленном пространстве-времени ранее рассмотрена в [254]. Такой вид действия получается из нашего выражения в специальной калибровке. Структура связей суперсимметричной репараметризационно инвариантной модели Березина-Маринова позволяет полностью фиксировать калибровочную свободу и применить разработанную схему квантования.
Для изложения особенностей нашего подхода к квантованию частиц со спином 1/2 в пространствах нечетной размерности выберем репараметризационно инвариантную суперсимметричную псевдоклассическую модель РЧ, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем в плоском пространстве-времени размерности 2 + 1, предложенную в работе [472]. В общем случае структура действия подобна структуре действия этой модели. Выбор именно этой модели из ряда альтернативных, предлагавшихся, например, в работах [327, 485, 595], объясняется тем, что они на наш взгляд не свободны от ряда недостатков. Одна из модификаций [327, 485, 595] не является минимальной и, кроме того, Р- и Т-инвариантна, то есть не свободна от аномалии. Другая модификация не обладает желательной калибровочной суперсимметрией. Действие модели [472] Р- и Т-неинвариантно, что согласуется с ожидаемыми свойствами минимальной квантовой теории в 2 + 1 измерениях.
Для нас важно, что квантование модели [472] весьма нетривиально отличается от квантования модели Березина-Маринова. Это происходит от того, что в 2 + 1 измерениях, как и при любой нечетной размерности пространства-времен и, частицы с различной поляризацией спина принадлежат к разным неприводимым представлениям и, следовательно, описывают разные виды фермионов. Технически это выражается в наличии бифермиошюй константы (четное число грассмановой алгебры) и бифермионной связи первого рода. Такая связь не допускает фиксации калибровки на классическом уровне. Проблема фиксации калибровки при наличии связи такого типа остается открытой (см. обсуждение вопроса в [427, 465, 466, 467, 471]). Проблема интерпретации бифермионной константы и ее роли при квантовании является предметом дискуссии в настоящее время, суть которой состоит в следующем. В квантовой теории бифермионная константа реализуется как вещественное число. Это достаточно характерное явление для квантования псевдоклассических моделей, которое принято называть феноменом квантования классических констант. Надо сказать, что имеются разные точки зрения на природу классических констант в псевдоклассических моделях и их квантование [327, 328, 466, 467, 469, 472, 471, 485, 516, 584]. Одна из этих точек зрения [327, 328, 485, 584] состоит в том, что предлагается заменять классические константы на динамические переменные, соответствующим образом модифицируя действие. Мы думаем, что это не является необходимым и отсылаем за подробностями аргументации к соответствующей дискуссии в работе [94]. С разделяемой нами точки зрения работы [94] ограничения на возможные значения некоторых параметров - это обычное явление в квантовой теории и оно связано с особенностями квантования и упорядочения операторов. Нет никаких причин, по которым нельзя было бы так обращаться и с классическими константами и ограничивать область их возможных значений на классическом уровне. Кроме того, следует ожидать, что природа этих констант должна меняться при переходе к квантовой теории. Так или иначе, роль классических констант можно прояснить в квазиклассическом пределе квантовой механики.
Подводя итог сделанному обзору, можно заключить, что актуальны исследования, направленные на развитие формализма квантовой теории поля с интенсивным внешним полем, нарушающим стабильность вакуума, техники включения в квантовую теорию поля с гладким внешним полем потенциала Аронова-Бома, максимально общую и полную формулировку метода канонического квантования моделей релятивистских частиц.
Соотношение унитарности и.оптическая теорема
Это представление определяет структуру фенмановских диаграмм и позволяет выписать явный вид любого матричного элемента в заданном порядке теории возмущений по радиационному взаимодействию.
Мы видим, что любой матричный элемент И п-юи( представим фейнмановскими диаграммами с обычной для КЭД структурой, где только надо иметь в виду, что одиночные вершины для скалярной КЭД зависят от внешнего поля явно, так как им соответствует оператор iqV . Кроме того, в общем случае для спинорной КЭД с внешним полем могут давать вклад диаграммы с электронными линиями, замкнутыми на одной вершине, которым соответствует вклад J 1 (х). Соответственно, в скалярной КЭД с внешним полем могут давать вклад J (х) диаграммы с электронными линиями, замкнутыми на одной и той же одиночной вершине. Существенно обобщаются выражения, представляющие линии заряженных частиц, а именно: электрону в начальном (финальном) состоянии с квантовым числом т(п) соответствует фактор +Фт(ж) (+Фп(х)) в матричном элементе; позитрону в начальном (финальном) состоянии с квантовым числом т(п) соответствует фактор _Фш(х) ( Ч?п(х)) в матричном элементе; внутренней незамкнутой электронной линии, направленной из точки х в точку х, соответствует вклад пропагатора — iSc(x,x )\ линии скалярной частицы, замкнутой на двойной вершине х,{л,и, соответствует фактор iq2gtlvSc (х,х). Вклад от любой диаграммы содержит в качестве множителя амплитуду (.
В случае, когда число операторов рождения-уничтожения заряженного поля в начальных и финальных состояниях больше минимального числа, необходимого чтобы матричный элемент обобщенного нормального произведения в (1.35) был отличен от нуля, такой матричный элемент равен произведениям вкладов от фейнмановских диаграмм, возникающих из-за спариваний стоящих под знаком N(...) операторов с операторами из начальных и финальных состояний, на относительные амплитуды нулевого порядка + + tu(m...nn ...m ...) = О, out\am (out) ...bn (out) (in)... a m, (in)... 0, in)c l. от оставшихся неспаренными операторов из начальных и финальных состояний. Эти амплитуды относительных вероятностей процессов нулевого порядка по электрон-фотонному взаимодействию легко вычисляются, если заданное произведение операторов am(out)... Ьп(оиі)... b n,(in)... ат.(гп) с помощью теоремы Вика привести к обобщенной нормальной форме. Очевидно тогда, что матричный элемент w(m.. ,п\п .. .т ...) равен сумме всех возможных спариваний всех операторов am(out).. ,bn(out).. .b n,(in). ..a m,(in), т.е. выражается через сумму произведений амплитуд относительных вероятностей процессов рассеяния, аннигиляции и рождения пар с соответствующими знаками, определяемыми согласно теореме Вика. Отличны от нуля будут амплитуды w только тех процессов, в которых сохраняется заряд.
На основе представления (1.35) в работах [409, 410, 26] было получено обобщение техники производящих функционалов функций Грина и эффективного действия, пригодных для рассмотрения процессов перехода между состояниями в теории с нестабильным вакуумом.
Для дальнейшего полезно привести несколько примеров с радиационными поправками второго порядка, полученными для спинорной КЭД с помощью описанной техники. Мы ограничимся случаем, когда матричный элемент тока 3 равен нулю. Тогда с заданной точностью амплитуда вероятности вакууму остаться вакуумом содержит вклад двухпетлевого эффективного действия в следующем виде: S0 = 0,out\S\0,in =cv{l + iL}, L = - - fl (x-xt)tr8{ rSc(xix ) rSc(x,1x)}dxdxt. (1.36)
Относительный матричный элемент рассеяния электрона включает вклад массового оператора: s(n\l) = SQ1 Q,out an(out)Sa\(in) 0, in = w (++)«j - гМ (п\ї), M(n\l) = f +Чп(х)М(х,х ) t{x )dxdx\ M(xyx ) = -iq2jSc(x,x )jDc0{x-x ), (1.37) Относительный матричный элемент рассеяния фотона содержит вклад поляризационного оператора:
Проблема внешнего поля в неабелевой калибровочной теории
Как было отмечено во введении, для последовательной формулировки обобщенного представления Фарри в неабелевой калибровочной теории необходимо изучить характер приближений, которые могут приводить к описанию задачи КТП как задачи с внешним полем, и выявить те случаи, когда такое описание оправдано. В нашей работе [75] на примере КЭД получена модифицированная теория возмущений, приспособленная к начальным состояниям с большим числом частиц, и установлены условия, при которых ведущими членами разложения будут члены с классическим внешним полем. При этих условиях заданный начальными условиями средний ток можно рассматривать как внешний. Аналогичным образом можно вводить и внешний ток в неабелевой теории. При этом в секторе физических фермионов классическое поле, порождаемое током более тяжелых частиц, можно рассматривать как внешнее по отношению к более легким. Так как это достаточно очевидно, ниже мы обсудим более интересную ситуацию, с которой сталкиваемся в секторе самих калибровочных полей, заданных ненулевыми начальными средними.
Итак, пусть в начальный момент t{n в представлении взаимодействия средние значения потенциалов квантованного калибровочного поля Аа и его производной 6\)Л" (как обычно д - лоренцовский индекс, а латинский индекс а нумерует компоненты калибровочного поля в заданном представлении некоторой полупростой компактной группы) 107 заданы некоторыми непрерывными функциями координат о in\A(tin,x)\fn о= Лг "(х), о ИАИ( ш,х)и» о= Ain{x), (1.129) а средние всех остальных квантованных полей равны нулю. Начальный вакуум определяется условием минимума регуляризованного и перенормированного среднего значения гамильтониана теории Н: 0 0,їп\Н\0,їп 0 - min, (1.130) д=0,дА 0,дА пф0 где отброшены все члены выше второго порядка по квантованным полям, но удерживаются все члены взаимодействия со средними полями Ат, Агп. Условие (1.129) требует определенной структуры векторов состояния \in 0: \in о= D (Ліп) \іп о, (1.131) где D (Лт) - оператор сдвига, определенный условием D {Ain)( А х) \ I A(,n,x) + A-(x) \ \ аьА( ,-В1х) /V fc» ) + Л"М / а векторы [in о таковы, что в момент t{n средние операторов Л, доА по этим состояниям равны нулю. Тогда начальный вакуум 0, гп о представляет собой когерентное состояние калибровочного поля. Условие (1.130) можно переформулировать в виде условия на вакуум в пространстве векторов \гп Q: о 0,in\H0(tin)\0,in ой=0,9Л о,5І о min H0(tin) = H{tin) (1.133) 9=Ъ,дА фЪ,дАфЪ где H{tin) = D l (A) D (Ain) - это гамильтониан теории с внешним полем. 108
Рассмотрим производящий функционал средних значений физических величин Z0 = 0 0,mei j271e-i 7l0)m o, (1.134) в котором функционалы Ф7 представляют собой члены с источниками ко всем полям в представлении взаимодействия, описанным как компоненты поля Ф, включая калибровочное поле: ф J = / (Л (ж) Ґ {х) + ...) dx, и Cint (Ф) - лагранжиан взаимодействия. Оператор А (х) удовлетворяет соответствующему линейному волновому уравнению для свободного поля. Введем классическое поле Ае(х), удовлетворяющее тому же самому уравнению и заданным в момент tin начальным условиям Ae(tin,x) = Ain(x), doAe(tin,x) = А(х). Тогда функционал (1.134) можно переписать в виде производящего функционала теории с внешним полем Ае\ ZQ = o 0)tnei Te-i -/l0, n 0l (1.135)
Здесь лагранжиан С%пь отличается от C{nt тем, что ко всем полям А добавлено поле Ає: А(х) —у А{х) + Ае(х). Важно отметить, что полученная теория с внешним свободным полем является полностью эквивалентной исходной чисто квантовой, в которой начальные средние значения калибровочного поля отличны от нуля.
Каноническое квантование частицы со спином 1/2 в 3 -Ь 1 измерениях
Следует сравнить более подробно описанный здесь подход с процедурой квантования, ранее предлагавшейся Гитманом, Тютиным (ГТ) в работах [92, 462]. Как уже отмечалось во введении, ГТ квантование было сделано только для ограниченного класса внешних полей: постоянного магнитного поля. Все последующие попытки (см. [101, 102]) выйти за пределы этого класса полей столкнулись с серезными трудностями, что было не случайно. Там не было показано, что полученная в ходе квантования КМ полностью эквивалентна одночастичному сектору КТП. В частности можно заметить, что эта квантовая версия модели бесспиновой частицы не обеспечивает правильных трансформационных свойств для средних значений. Принципиальное различие между предлагаемым подходом к квантованию РЧ и этим предшествовавшим заключается в различном понимании роли переменной . В работах ГТ и последовавших работах, которые использовали их подход, эта переменная использовалась для получения обеих ветвей решений КГФ уравнения. При более глубоком рассмотрении стало понятно, что такой цели можно достичь без использования этой переменной. Можно выбрать специальную реализацию коммутационных соотношений в гильбертовом пространстве, чтобы получить КГФ уравнение (см. подраздел 2.1.2). При такой реализации мы естественным образом включаем в рассмотрение произвольные электромагнитные и гравитационные поля. Тем не менее, роль переменной становится решающей для получения последовательной релятивистской КМ и обеспечении полной эквивалентности с одночастичным сектором КТП. Благодаря существованию переменной С мы удваиваем гильбертово пространство, чтобы описывать частицы и античастицы на одной основе. Таким образом мы разрешаем хорошо известную старую проблему: как построить последовательную КМ на основе релятивистских волновых уравнений. Ее решение оказывается очень простым: вместо того, чтобы пытаться использовать низшую ветвь спектра (область II на Рис. АЛ), надо объединить частицу и античастицу в один мультиплет на основе уравнения Шредингера (2.43). Тогда область III возникает естественно, а области II и IV должны быть исключены. Существование переменной С делает первичное и вторичное квантование полностью эквивалентными в одночастичном секторе (во всех случаях, когда этот сектор может быть определен). В обоих случаях мы начинаем с действия для данного заряда 7, и затем по ходу квантования приходим к теориям, которые описывают частицы обоих знаков заряда ±д, и являются С-инвариантны ми. В случае первичного квантования это достигается благодаря существованию и правильному применению переменной . Надо также отметить, что именно требование сохранения всех классических симметрии по отношению к координатным преобразованиям и 7(1) преобразованиям позволяет однозначно реализовать алгебру операторов.
Действие для релятивистской частицы со спином 1/2, в котором спиновые степени свободы описываются антикоммутирующими (нечетными Грассмановыми) переменными, или псевдоклассическое действие для случая 3 -f- 1-мерного пространства-времени было предложено Березиньш и Мариновым [39, 266], и затем детально обсуждалось в большом числе работ [310, 311, 252, 290, 325, 291, 253, 254, 249, 92, 462]. В плоском пространстве-времени (д = г}аь = diag(l, —1, —1, —1), а,Ь = 0,1,2,3, латинские буквы из начала алфавита ипользуются для индексов Лоренца ), и в присутствии внешнего электромагнитного поля Ла (ж), действие можно записать в следующем Лоренц инвариантном виде: S = JbdT,L = - (x«- i?x) ( - i x) - \т2 - q&K (х) + iqeFab (х) tab - іаа + г4& + іт&Х, (2.68) где координаты частицы ха и переменная є - грассманово-четные; Лоренц-вектор а, (псевдо)скаляр & и скаляр % - грассманово-нечетные. Все переменные зависят от параметра г [0,1], который играет роль времени. Точки над переменными обозачают производные по г. Имеется два типа калибровочных преобразований, по отношению к которым действие 2.68) инвариантно: репараметризация и суперпреобразование: 5ха = хае , 5е = d {ее) /dr, 6а = Іає , & = itf, $Х = d (хе) /dr; Sxa = іає, 8е = іхє,6х = е, 6? = (» - іЄХ) Фе, SU = -тс/2, (2.69) где є(т) и е(т) - зависящие от г калибровочные параметрыб первый -четный, а второй - нечетный. Мы обобщим действие (2.68) на случай искривленного пространства-времени (без торсиона7) с метрическим тензором gfju, (х) в следующем виде [440]
Подобие в эффектах нестабильности вакуума во внешних электромагнитных и гравитационных полях
Здесь уместно вернуться к обсуждению феномена квантования классических констант. Рассмотренный конкретный случай позволяет понять общий принцип такого квантования в духе, предложенном в работе [94]. Заметим, что ограничения на возможные значения некоторых параметров - это обычное явление в квантовой теории и оно связано с особенностями квантования и упорядочения операторов. Нет никаких причин, по которым нельзя было бы так обращаться и с классическими константами и ограничивать область их возможных значений на классическом уровне. Кроме того, следует ожидать, что природа этих констант должна меняться при переходе к квантовой теории. В нашей модели на классическом уровне в представляет собой бифермионную константу. По ходу квантования ей сопоставляется постоянная матрица, чьи собственные значения определяются квантовой динамикой подобно тому, как возможные классические значения этой константы были обусловлены динамикой классической. Так или иначе, роль классических констант, в частности, параметра в можно прояснить в квазиклассическом пределе квантовой механики. Такое обсуждение предлагается в следующем подразделе. Еще одна возможная точка зрения на статус классических констант происходит из того представления, что единственное назначение псевдоклассических моделей - это получение квантовой теории. Тогда можно с самого начала фиксировать параметры так, как это требуется в квантовой теории. В этом смысле можно было бы интерпретировать параметр в как вещественное число уже в псевдоклассическом действии.
Принимая во внимание конкретную реализацию оператора , можно видеть, что состояния , удовлетворяющие условию (2.134), имеют следующее строение: [ с(г х) U-S J (2Л41) где множитель 1/д/2 введен для удобства. Уравнение Шредингера датФ = (н + №) Ф, (2.142) с Н_, определенным в (2.131), для векторов Ф, удовлетворяющих ТФ = О, принимает вид гЙ#тФ = ЯФ. (2.143)
Решения этого уравнения можно выбрать собственными состояниями матрицы 0 = bdiag (в,в). Обозначим собственные состояния в как Ф , которые являются решениями уравнения #,0 = ОН д, с собственными значениями в = ±1. Тогда эти решения имеют следующую структуру: л { \ 1 ( (г х) 1 tfc+ifr )» I С „ Ь С.-і(т,х) = І _ ч ] , (2.144) ФІ+\,х)\ ( О . Ь С(-і(т,х) = О J \ff c (т,х) где ф\ (т, х) - это 2-компонентные столбцы. Можно видеть, что благодаря связи (2.134) эти состояния удовлетворяют уравнению — 2г ,0 = 200 2#СФ ;, ?. Соответственно, собственные значения в отмечают разные виды частиц. Таким образом, на квантовом уровне мы наблюдаем неинвариантность теории по отношению к отражению какой-либо одной из осей. Записанное покомпонентно, и в терминах физического времени xQ = (,т, уравнение Шредингера (2.143) приводит к уравнению [ f (ІЩ - qAp) - m] ф (Or0, х) = 0. (2.145)
Аналогично случаю размерности 3 + 1, можно считать оператором знака заряда. Рассмотрим состояния Ф с определенным значением заряда qC,. Эти состояния удовлетворяют уравнению Ф = СФ . Следовательно, состояния с определенным зарядом ztq представляются векторами (2.128) с Фі = 0. Волновые функции Ф±і парметризуются физическим временем т = ±х.
Ясно, что (2.145) для = +1 является уравнением Дирака в четырех-компонентном представлении (третья пространственная координата отсутствует) для частицы с зарядом +#. Решения уравнения (2.145) с = -1 можно соотнести с решениями уравнения Дирака в четырех-компонентном представлении фс (х) для частицы с зарядом —q с помощью правила фс (#) = 72 -і ( х)- Чтобы придти к двух-компонентному представлению уравнения Дирака в 2 + 1 для частиц с зарядом ±#, воспользуемся выражением (2.144) четырех-компонентных столбцов У 0 через двух-компонентные ф К Для = +1 уравнение (2.145) сводится к уравнению [Г (ІЩ - qA») - го] ф (х) = 0, ф (х) = ф (0, х) , (2.146) где как Г обозначены два неэквивалентных набора гамма-матриц, определенные в 2 + 1 измерениях соотношениями: Г+1 = Г», = а\ ГІ, = ГІ! = io\ Г2+1 = -Т\ = -ia\ (2.147) 201 где аг обозначают матрицы Паули. Аналогичное уравнение для = -1 имеет вид [T {ihdll + qAll) m\ c(x) 0, ф с(х) = Г2вф{Ц ( х\х). (2.148) Оно является уравнением Дирака в 2 +1 измерениях в двух-компонентном представлении для частицы с зарядом —q.
Похожие диссертации на Развитие формализма квантовой теории поля с интенсивным внешним полем
