Содержание к диссертации
Введение
2 Литературный обзор 9
2.1 Введение 9
2.2 Уравнение Гросса-Питаевского. Конденсат 10
2.3 Элементарные возбуждения неидеального бозе-газа. Сверхтекучесть 13
2.4 Энергия и волновая функция основного состояния 18
2.5 Солитоны и стационарный эффект Джозефсона 19
2.6 Решеточный газ 22
2.7 Прямое наблюдение коэффициентов боголюбовского преобразования 24
2.8 Уравнение Гросса-Питаевского для газа в магнитной ловушке. Основное состояние в приближении Томаса-Ферми 25
2.9 Гидродинамические уравнения бозе-газа при нулевой температуре. Возбуждения конденсата в ловушках 27
2.10 Осцилляции основного состояния 30
3 "Черенковское излучение" звука в Бозе-газе 33
3.1 Введение 33
3.2 Поляризация конденсата частицей 34
3.3 Энергетические потери быстрой частицы 36
3.4 Интенсивность излучения 37
4 Коэффициент прохождения возбуждений через одномерный локальный барьер в пределе малых импульсов 43
4.1 Введение 43
4.2 Уравнение Гросса-Питаевского для безразмерных величин 43
4.3 Возбуждения Бозе-газа 44
4.4 Коэффициент прохождения 46
5 Точные решения для Боголюбовских возбуждений одномерного конденсата с J-функционным барьером. Коэффициент прохождения 49
5.1 Введение 49
5.2 Система уравнений Боголюбова-деЖена. Точные решения 49
5.3 Рассеяние возбуждений на 5-функционном потенциальном барьере 52
6 Аномальное туннелирование возбуждений Бозе-конденсата 55
7 Стационарный эффект Джозефсона в сверхпроводнике и бозе-конденсате с J-функционным барьером 66
8 Приложение. Резонансное туннелирование частиц и аномальное туннелирование Боголюбовских фононов 70
8.1 Введение 70
8.2 Туннелирование фонона бозе-конденсата 71
8.3 Основное состояние бозе-газа с потенциальным барьером . 72
8.4 Туннелирование возбуждений 73
8.5 Резонансное туннелирование медленных частиц 79
Заключение 86
- Уравнение Гросса-Питаевского. Конденсат
- Гидродинамические уравнения бозе-газа при нулевой температуре. Возбуждения конденсата в ловушках
- Энергетические потери быстрой частицы
- Возбуждения Бозе-газа
Уравнение Гросса-Питаевского. Конденсат
Итак, рассмотрим неидеальный бозе-газ в ловушке V(r), которая создается внешним магнитным полем. Для простоты ограничимся температурой, близкой к нулю, когда тепловых возбуждений очень мало Г Тс (Я2/т)п2/3. Полный гамильтониан системы имеет вид Величина постоянной /ІО произвольна и, фактически, фиксирует начало отсчета энергии. Ниже ее значение будет выбрано так, чтобы функция основного состояния не зависела от времени. Имея ввиду описание явлений, слабо меняющихся на масштабах парного взаимодействия атомов, потенциальная энергия взаимодействия записана в локальной форме. Параметр UQ имеет размерность энергиях объем и записывается в виде Величина а называется длиной рассеяния. Производная по времени от гайзенберговских операторов равна Приходим к нелинейному уравнению Шредингера [156] Разложим функцию бозе-поля Ф по собственным функциям одноча-. стичной задачи Jfe Вначале для простоты будем рассматривать газ в отсутствии потенциала ловушки, когда функции ipk{r) = V ll2 ехр(ікг) суть плоские волны в ящике V = L3 с периодическими граничными условиями jt(r) = ipkif+ В основном состоянии (при нулевой температуре) все частицы идеального бозе-газа находятся в конденсате, т.е. имеют нулевой импульс. В неидеальном газе при Т = О большинство частиц iVo остаются в конденсате, но из-за отталкивания небольшая доля частиц имеет отличные от нуля импульсы. Поэтому из операторной функции (2.6) целесообразно выделить оператор с нулевым импульсом В представлении вторичного квантования конденсат из NQ частиц с нулевым импульсом описывается вектором состояния, образованном многократным действием на состояние вакуума оператора рождения Когерентным состоянием называется собственное состояние оператора поглощения
Это состояние есть суперпозиция состояний с разным числом п частиц с нулевым импульсом. макроскопическом (NQ - сю) когерентном состоянии относительная флуктуация числа частиц в конденсате, стремится к нулю. Поэтому в макроскопическом пределе векторы состояния (2.9) и (2.11) эквивалентны. Ниже, мы будем считать, что вектор основного состояния конденсата имеет форму (2.11). Все наблюдаемые величины при низких температурах являются средними по состоянию конденсата. Поэтому, имея ввиду (2.10), можно в (2.7) первый член заменить на классическую функцию конденсата Амплитуда плотности конденсата Ф в слабонеравновесном случае есть классическое бозе-поле.Ф(, г), аналогичное скалярному потенциалу классического электрического поля. Чтобы найти эволюцию конденсата, следует подставить (2.12) в (2.4) и пренебречь операторной частью поля, описывающей надконденсатные частицы Фі . Имеем Это есть нелинейное уравнение Шредингера. В физике сверхтекучего бозе-газа оно называется уравнением Гросса-Питаевского (1961) [41, 42], которые первые обосновали возможность описания движения конденсата уравнением (2.13). Основное состояние этого уравнения однородно и не зависит от времени если введенная выше константа //о равна амплитудой конденсата Ф формулами циал Сравнивая это выражение с (2.15), мы убеждаемся, что постоянная о есть химический потенциал. При этом EQQ — I/2/IQNO. В отличие от идеального газа, неидеальный бозе-газ в основном состоянии обладает отличным от нуля давлением (р = TTLNQ/V - плотность газа). Здесь мы пренебрегаем отличием NQ от полного числа частиц N. Одним из первых доказательств появления бозе-конденсации в ультрахолодном газе было обнаружение в 1997 г. уменьшения в шесть раз трехчастичной рекомбинации, ранее предсказанного Каганом и Шляпниковым [8]. В том же году Кеттерли продемонстрировал когерентные свойства газа, наблюдая интерференцию при слиянии двух конденсатов.
Даже при нулевой температуре небольшая часть частиц не принадлежит конденсату и имеет отличные от нуля импульсы. Свойства этих частиц описываются операторной функцией ФІ в (2.12). Эволюция этого оператора описывается линейной по Фх частью основного уравнения (2.4). С учетом (2.17) приводим это уравнение к компактному виду В этом уравнении удивительным образом перемешаны бозе-операторы ак (і) и а к (і). Первый член справа описывает свободное движение частицы, а последний член в приближении самосогласованного поля отражает виртуальное поглощение частицы конденсатом. Для диагонализа-ции уравнения (2.22) применим каноническое преобразование Боголюбова [64]
Гидродинамические уравнения бозе-газа при нулевой температуре. Возбуждения конденсата в ловушках
Еще раз обсудим роль волновой функции конденсата. Нелинейное уравнение Шредингера (2.61) для волновой функции бозе-конденсата в ловушке, кроме стационарного решения Фо(р) имеет неоднородные нестационарные решения Ф(,г) = Фо(р)+Фі( г), отвечающие эволюции конденсата без потери когерентности. При выводе спектра боголюбовских возбуждений мы не использовали коммутационные свойства оператора Фі(, г). Поэтому решение линеаризованного уравнения Шредингера для классической функции Фі(,г) снова приводит к звуковому спектру, но теперь он описывает не энергию квантовых квазичастиц, а спектр колебаний конденсата, описываемого классическим комплексным полем. Это означает, что многие свойства возбуждений бозе-газа можно понять, не переходя к вторичному квантованию, подобно тому как о квантовой природе колебаний в твердом теле вспоминают только при рассмотрении элементарных процессов с участием фононов. В частности, интенсивность генерации возбуждений движущейся тяжелой частицей можно вычислить, не только из квантомеханической вероятности излучения фононов, но и, по аналогии с черенковским излучением, как излучение классического поля — колебаний волновой функции конденсата. Подчеркнем, что при рассмотрении нестационарных состояний бозе-газа, фактически, используется обобщенное понимание бозе-конденсата. Теперь это не совокупность частиц с нулевым импульсом или в основном состоянии осциллятора, а когерентное состояние из макроскопического числа частиц, образующих единое целое, и описание индивидуального движения каждой частицы теряет смысл.
Подставим в уравнение (2.61) волновую функцию конденсата в форме Ф = у/пегір, и получим выражение, мнимая часть которого дает уравнение непрерывности конденсата Действительная часть дает Отсюда с помощью операции V находим точное уравнение движения сверхтекучей жидкости Для описания волн, длина которых много больше корреляционной длины Л = h/y/mfi, последним членом можно пренебречь, и описывать волны уравнением Это уравнение не содержит явно постоянной Планка, и имеет вид феноменологического уравнения для скорости сверхтекучей компоненты [75] (139.6). При этом роль локального химического потенциала Д играет выражение Применим уравнения (2.70), (2.72), чтобы определить спектр длинноволновых колебаний конденсата в цилиндрической ловушке (L R). Для этого линеаризуем уравнения (2.70), (2.72) с учетом (2.66): Исключая скорость, получаем, следуя [103] д2 Для волны, не зависящей от азимутального угла {п\ у(р) exp(ikz — iwt)) имеем В длинноволновом пределе нижняя ветвь возбуждений эквивалентна продольному сдвигу газа как целого. Энергия такого возбуждения, очевидно, стремится при к — 0 к нулю. Это означает, что нижняя продольная ветвь возбуждений является бесщелевой. При малом продольном волновом векторе она имеет характер звукового спектра со скоростью звука Эта скорость в у/2 раз меньше гидродинамической скорости звука. Остальные ветви описывают моды с колебаниями поперечного радиуса газового облака. Характерное расстояние между этими модами задается спектром двумерного осциллятора. Анализ Зарембы [103] привел к набору мод Новые возможности демонстрации свойств сверхтекучего газа возникают, когда частота параболического потенциала ш (t) магнитной ловушки зависит от времени. Это приводит к осцилляциям конденсата как целого, которые, как показано ниже, описываются преобразованиями подобия. При этом локальная скорость газа v (f, t) в некоторых точках и некоторые моменты времени может стать больше локальной скорости звука с (f, t). При наличии внешнего неподвижного возмущения, такого как лазерный луч, это может привести к диссипации и затуханию осцилляции. Рассмотрим бозе-газ в цилиндрической ловушке с переменной частотой параболического поперечного потенциала. Следуя работе Кагана и др. [8] проведем преобразование подобия, выявляющее внутреннюю симметрию газа: Подставим это выражение в (2.78) и выберем параметры этого преобразования Ь, Ф таким образом, чтобы уравнение для оператора поля х в сопутствующей системе координат {р, т} приобрело вид: Вид Ф (г, і) сокращает члены, содержащие Vpx, параметр растяжения Ъ (t) и ход собственного времени т (t) связаны с лабораторным временем так, что потенциальная энергия и энергия взаимодействия атомов не зависят от времени. Благодаря каноническому преобразованию (2.79), (2.81), все члены уравнения (2.80), кроме последнего, от времени не зависят. Отсюда следует важный вывод: состояние газа, однородное относительно продольной оси в переменных {р, т} стационарно, а в лабораторной системе координат осциллирует неограниченно долго.
Только учет состояний, неоднородных вдоль оси z, может дать описание затухания когерентных колебаний. Подчеркнем, что скейлинговое преобразование (2.79) играет гораздо большую роль, чем способ получения осциллирующего состояния конденсата, в которое система переходит из начального основного состояния. Оно позволяет описывать эволюцию произвольного состояния газа в ловушке с переменной частотой с помощью уравнения (2.2) с постоянной частотой. Замечательно, что это относится не только к когерентной квазиклассической части волновой функции газа, но и к ее операторной части, которая описывает элементарные возбуждения газа. Единственное, но существенное ограничение — потенциал ловушки должен обладать цилиндрической симметрией и иметь параболическую зависимость от г. Будем считать, что в начальный момент времени частота ш (t) мгновенно уменьшается от DQ до ш\ . Тогда до начала встряхивания 6=1. При t 0 имеем Пусть при отрицательных временах, предшествующих переходу параметра ловушки ш (t) от UQ КЦ, газ имел нулевую температуру, т.е. на
Энергетические потери быстрой частицы
В первом порядке теории возмущений, потенциальная энергия частицы в поле поляризуемого ею конденсата равна где R(i) — радиус-вектор движущейся частицы. Эта энергия создает силу трения, действующую на частицу со стороны создаваемого ею поля что в свою очередь приводит к потерям энергии частицы которая уходит на бесконечность в форме излучения возбуждений конденсата. Используя выражение (3.7) находим интенсивность излучения интегрирования полученного выражения воспользуемся формулой Сохоцкого Переходя к переменной LO = kv интенсивность излучения в форме разложения по спектру Теперь интересно вычислить интенсивность излучения непосредственно, интегрируя по всем направлениям поток энергии [155] Здесь Р = — iV - оператор импульса, і-щ — оператор энергии. Полный поток энергии излучения через поверхность цилиндра радиуса R — со вокруг траектории частицы равен Чтобы вычислить этот интеграл, найдем вид поля (3.7) в волновой зоне в цилиндрической системе координат lfu2 _!_ 1.2 Введя запаздывающее время t = t — , и выражая интеграл по полярному углу ip через функцию Бесселя Более компактное выражение получим, разложив на множители знаменатель, При малых частотах положительная величина к2 си2 , максимальна в точке и — \l \mv2) — д2 и обращается в нуль при шпшх — 2mv Jv2 — с2. Интеграл F [и] представим в форме Последний член в квадратных скобках имеет мнимые полюса, на больших расстояниях от траектории (R —» со) дает экспоненциально малый вклад и может быть отброшен.
Выражение (3.18) можно свести к интегралу по всей действительной оси. Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру - функция Ганкеля, которая аналитична в верхней полуплоскости и имеет ассимптотику Контур С состоит из действительной оси и большой верхней полуокружности, на которой подинтегральное выражение экспоненциально мало, поэтому С другой стороны, интеграл по замкнутому контуру (3.19) равен сумме вычетов от полюсов zn в верхней полуплоскости Применяя формулу (3.23) к интегралу (3.18) и имея ввиду, что его по-динтегральное выражение при \ш\ wmax имеет один полюс вблизи действительной оси в верхней полуплоскости, равный &j_ = {k\signuo + is), получаем Подставляя (3.24) в (3.16) и учитывая, что при \ш\ u max функция Ганкеля экспоненциально мала, находим поле ф (г, t) в волновой зоне в форме однократного интеграла по частоте Последняя формула, как и следовало ожидать, тождественно совпадает с (З.ГЗ). Мы видим, что интенсивность излучения монотонно растет с увеличением частоты. Интегральную интенсивность излучения проще всего вычислить, интегрируя выражение (3.12): _ 62/4ах _ b2m\v2 - с2)2 IQitrnv -Kv Итак, мы получили полное совпадение формул спектра излучения быстрой частицы возбуждений бозе-конденсата. полученных методом трения, и прямым методом вычисления потока излученной энергии.
Можно показать, что тот же результат дает квантовомеханический расчет, опирающийся на "золотое правило Ферми". Таким образом, вблизи порога интенсивность излучения растет как (г — с)2, а при больших скоростях — как г;3. Если в эффекте Черепкова скорость частицы сверху ограничена значением скорости света в пустоте, то в для нерелятивистского бозе-газа такого ограничения нет, и при v с интенсивность излучения может стать очень большой.
Возбуждения Бозе-газа
Нелинейное уравнение Шредингера являющееся одним из фундменталь-ных уравнений нелинейной физики [156] широко используется во многих областях современной науки от нелинейной оптики до физики элементарных частиц. Хорошо изучены локализованные решения этого уравнения соответствующие безотражательным потенциалам задачи рассеяния [43]. Для нахождения возбужденных состояний принято использовать предложенный Боголюбовым метод разложения зависящей от времени волновой функции по волновым функциям элементарных возбуждений для которых можно получить связанную систему дифференциальных уравнений второго порядка известную как система уравнений Боголюбова-деЖена. Существуют методы точного решения таких уравнений [156]. В этой главе приводится явный вид точных решений, найденные решение использованы для вычисления коэффициента прохождения при рассеянии возбуждений на 5-функционном потенциале. можно линеаризовать, представив Ф(ж, t) в виде суммы не зависящей от времени волновой функции основного состояния Фо(я) и волновой функции ф(х,і) описывающей возбуждения Подставив (5.2) в (5.1) и считая ф{х ) малой величиной по сравнению с о(х) получим уравнение Решением этого уравнения является инстантон [158] Зависящая от времени волновая функция ф(х, t) описывается уравнением где д (х) = tanh х.
Будем искать решение уравнения (5.5), следуя Боголюбову представив волновую функцию возбужденного состояния в виде суперпозиции волновых функций элементарных возбуждений. Подставив (??) в (5.5), получим систему уравнений Боголюбова-деЖена Систему (5.11,5.10) можно свести к уравнению четвертого порядка + Будем искать решение уравнения (5.12) методом Баргмана [156] в виде произведения плоской волны на некоторую функцию, являющуюся полиномом от к. Простейшим нетривиальным примером является вид где а (х) —произвольная достаточно гладкая функция. Подставив в уравнение (5.12) и приравняв члены при одинаковых степенях к, найдем решение, Где к является одним из корней уравнения (5.12) является линейным дифференциальным уравнением четвертого порядка поэтому должно быть вообще четыре линейно независимых решения. Уравнение (5.16) также имеет четыре различных решения, определяющих к при заданном є.При малых є С 1 решения к\ ±є, а (5.18) чисто мнимые 3,4 w ±2г. Общее решение уравнения (5.12) представляет собой линейную суперпозицию решений (5.15) с произвольными коэффициентами Sn подставив (5.19) в (5.10) получим Мы видим, что при движении возбуждений в Бозе-конденсате нет отражения возбуждений от инстантона.
В качестве примера используем полученное решение для вычисления коэффициента прохождения возбуждений через 5—функционный потенциальный барьер. Эта задача решена при малых к в работе [169]. Основное состояние уравнения, описывающее Бозе-газ с локальным взаимодействием в одном измерении с 5—функционным потенциалом будем искать в виде Волновая функция должна быть непрерывна в точке = 0 а производная имеет разрыв, Отсюда получаем Задача о рассеянии возбуждений на локальном потенциале описывается решением уравнения (5.19), которое при больших отрицательных значениях координаты должно переходить в суперпозицию падающей и отраженной волн, а при больших положительных значениях х — в прошедшую волну. Выпишем решения при х 0 и х 0 удовлетворяющие необходимым граничным условиям (ж + xo) ) + (l - tanh2 (x + x0)) ) , x 0 где, Используя условия сшивки функций и производных в нуле, с учетом (5.23) получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Решение этой системы в приближении q = 2 дает для коэффициентов прохождения и отражения
