Содержание к диссертации
Введение
II Литературный обзор 13
2.1 Бозе-Эйнштейновская конденсация идеальных одномерных и двумерных газов в гармоническом потенциале 13
2.2 Взаимодействующий Бозе газ 18
2.3 Фазовые флуктуации и квазиконденсат в однородном газе . 25
2.4 Реализация низкоразмерных Бозе-Эйнштейновских конденсатов 27
III Вырожденный квазидвумерный газ во внешнем потенциале 32
3.1 Бозе—Эйнштейновская конденсация в пространственно-неоднородных квазидвумерных газах 32
3.2 Сверхтекучий фазовый переход в квазидвумерных Ферми газах . 44
VI Межатомные столкновения в сильно сжатом Бозе газе 55
4.1 Введение 55
4.2 Двумерная задача рассеяния 59
4.3 Рассеяние в присутствии аксиального сжатия. Общий метод . 63
4.4 Квазидвумерный режим 68
4.5 Контролируемый сжатием трехмерный режим 73
4.6 Скорости термализации 82
4.7 Неупругие двухчастичные процессы 88
4.8 Заключение 94
V Режимы квантового вырождения в одномерных пространственно-неоднородных газах 98
VI Трехмерные Бозе-Эйнштейновские конденсаты с флуктуирующей фазой 110
6.1 Фазофлуктуирующие удлиненные трехмерные конденсаты 110
6.2 Наблюдение фазовых флуктуации в Бозе—Эйнштейновских конденсатах 121
Литература 130
Заключение 139
- Взаимодействующий Бозе газ
- Реализация низкоразмерных Бозе-Эйнштейновских конденсатов
- Двумерная задача рассеяния
- Неупругие двухчастичные процессы
Взаимодействующий Бозе газ
Ассмотрим взаимодействующий Бозе газ размерности d в поле внешнего удер-сивающего потенциала U(r). Гамильтониан этой системы во вторичном кван-овании записывается как (см. [36]) ip V(r) есть потенциал взаимодействия между атомами, и Ф(г), фт(г) есть ператоры бозонного поля, удовлетворяющие коммутационным соотношениям представлении Гейзенберга производная оператора Ф(г) по времени дается равнением [спользуя соотношения коммутации (2.2.2), мы переписываем уравнение (2.2.3) следующем виде Слагаемое У(0)Ф дает лишь тривиальную временную зависимость, и от него ожно избавиться подстановкой Ф - Фехр(г У(0)/Я). Обратимся теперь к редставлению плотность—фаза для полевых операторов це вещественные операторы плотности и фазы удовлетворяют коммутацион-ым соотношениям [одставляя уравнения (2.2.5) в уравнение (2.2.4) и отделяя мнимую и веще-гвенную части, мы получаем связанные гидродинамические уравнения непре-ывности и Эйлера на плотность и скорость v = {К/т)Чф: Уравнения (2.2.7-2.2.8) получены из Гамильтониана (2.2.1) без использова-ия каких—либо приближений и, в принципе, должны описывать любые свой-гва взаимодействующего Бозе газа. В то же время это сложные нелинейные равнения. В случае разреженного ультрахолодного слабо взаимодействующе-э газа мы можем использовать ряд упрощений. Короткодействующий харак-ер межчастичного взаимодействия1 позволяет переписать интеграл в уравне-ии (2.2.8) в упрощенном виде це среднеполевая константа связи д может также зависеть от плотности или т среднего импульса частиц (см. Главы 3 и 4). Упростить уравнения (2.2.7-2.2.8) далее позволяет предположение малых хлуктуаций плотности. В этом случае из уравнения (2.2.7) следует, что флук-уации градиента фазы также малы. Переписывая оператор плотности в виде (г) = по (г) + 8п{т) и сдвигая фазу на величину —fit/h, мы линеаризуем урав-ения (2.2.7-2.2.8) по малым 5п, V(f вокруг стационарного решения и = по, 7ф = 0. Члены нулевого порядка дают уравнение Гросса—Питаевского на щ: [лены первого порядка дают линейные уравнения на флуктуации плотности и азы: ХВ диссертации мы не рассматриваем дипольные или заряженные газы, характеризующи-:я длинно-действующим взаимодействием.
Решения уравнений (2.2.12-2.2.13) получаются, раскладывая 5п и Чф по пементарным возбуждениям: v Ъперь из уравнений (2.2.14-2.2.15) мы выводим уравнения на собственные энер-ии возбуждений ev и соответствующие собственные функции / : [з коммутационного соотношения (2.2.6) следует условие нормировки для функ-ий /± Уравнения (2.2.16-2.2.17) точно такие же как уравнения Боголюбова—Де Кена (de Gennes)2 для элементарных возбуждений в Бозе—Эйнштейновском онденсате с профилем плотности щ(г). Функции / связаны с хорошо извест-ыми Боголюбовскими и, v функциями соотношением / = и ± г . Мы видим, то предположение малых флуктуации плотности является достаточным для олучения Боголюбовского спектра возбуждений независимо от того, имеется и в системе чистый конденсат. Спектр элементарных возбуждений в пространственно—неоднородных Бо э—конденсированных газах широко обсуждался в литературе. В подавляющем олынинстве экспериментов число частиц очень большое, и химический потен иал [і значительно превышает расстояние между уровнями во внешнем удер сивающем потенциале. В этом случае член кинетической энергии в уравне ии (2.2.10) много меньше нелинейного и может быть выкинут. Такой подход 2Похожие уравнения были получены Де Женом [37] для неоднородных сверхпроводников. азывается приближением Томаса—Ферми (TF), и в гармонической ловушке рофиль плотности по приобретает хорошо известную параболическую форму этом случае низкоэнергетические возбуждения {ev С fi) могут быть найде-ы аналитически [38; 39; 40]. Зависимость спектра возбуждений от геометрии овушки была широко исследована в случае трехмерных TF конденсатов (см. бзор [41]). Например, в очень удлиненных сигароподобных конденсатах спектр изколежащих аксиальных возбуждений есть 6j — hwzy/j(j + 3)/2 [40; 42]. їтрингари (Stringari) [42] нашел спектр в случае сильно анизотропного дис-ообразного конденсата.
Спектр низкоэнергетических возбуждений был также айден и в случае чисто двумерных, и чисто одномерных Томас—Фермиевских ізовьіх облаков [43]. В однородном Бозе газе химический потенциал равен \х = дщ и уравне-ия (2.2.16-2.2.18) дают хорошо известный спектр и волновые функции: це Е(к) = h2k2/2m есть спектр свободных частиц и V - (/-мерный объем систе-ы. Для энергий порядка или меньше ц Боголюбовский спектр (2.2.20) являет-я фононным, е{к) cshk. Такие энергии соответствуют импульсам к 1/1с, а,е корреляционная длина 1С равна h/yfm/i. Скорость звука есть cs — yj /i/m. [ля больших импульсов спектр (2.2.20) напоминает спектр свободных частиц, [к) « Е(к) + д. Химический потенциал /І является примерной границей, разделяющей два ласса возбуждений. Чтобы проанализировать роль этих двух классов, разо-ьем оператор флуктуации плотности на две части: 5п = Sns + Snp, где индек
Реализация низкоразмерных Бозе-Эйнштейновских конденсатов
Большинстве случаев в эксперментах по Бозе—Эйнштейновским конденсатам трехмерных гармонических ловушках среднеполевое взаимодействие заметно ревосходит расстояние между энергетическими уровнями во внешнем удержи-ающем потенциале. В этом случае используется приближение Томаса—Ферми, профиль плотности конденсата определяется выражением (2.2.19). Химиче-кий потенциал Томас—Фермиевского конденсата равен о,е w3 = u)xUyU)z, NQ есть число конденсатных частиц, д = 4тсН2а/т - трехмер-ая константа связи, и а - трехмерная длина рассеяния. Для достижения квазиодномерного или квазидвумерного режимов БЭК в фмонических потенциалах необходимо удовлетворить условию /і С hujo, где о есть частота сильного сжатия. В цилиндрически симметричных ловушках х — шу — ш±) переход к квазиодномерному или квазидвумерному режиму, эаницу которого можно примерно определить равенством fi o — kuo, проис-эдит, когда число конденсатных частиц становится равным эрлитц (Gorlitz) с соавторами [6] экспериментально исследовали переход от D к ID и 2D в конденсате атомов 23Na, уменьшая число конденсатных частиц, лина рассеяния в натрии сравнительно мала (а « 28А), и были использованы ЇЛЬНО анизотропные ловушки, что позволило получить достаточно большие эаничные значения Nm Ю4 и N2D Ю5. В одномерном случае условие ц = hu± дает погонную плотность щр & /4а, что означает, что в одномерном режиме она должна быть меньше, чем іин атом на длину рассеяния независимо от степени радиального сжатия, ледовательно, сильное радиальное сжатие, которое может быть получено в аленьких магнитных [58; 59; 60; 61; 62; 63] или в лазерных дипольных [64; 65] элноводах, само по себе не помогает увеличить граничное число частиц в од омерном конденсате. Большие числа могут быть достигнуты только за счет величения общего размера системы или уменьшения длины рассеяния.
В анизотропных ловушках первичными индикаторами пересечения кри-ической точки Бозе—Эйнштейновской конденсации являются внезапное изме-ение отношения радиального и аксиального размеров баллистически расши-яющегося газа и резкое изменение его энергии. Переход к более низкой раз-ерности гораздо более плавный, но имеет похожие индикаторы. В трехмер-ом Томас—Фермиевском пределе степень анизотропии конденсата не зависит г числа атомов No, тогда как в ID и 2D отношение размеров зависит от NQ. .налогично, энергия разлета в трехмерном случае зависит от Щ [41], тогда ак в случае низкой размерности эта энергия выходит на насыщение, соответ-гвующее энергии нулевых колебаний в направлении (направлениях) сильного «атия. В поле гармонического потенциала трехмерный конденсат имеет парабо-ический профиль плотности. Его радиус и полудлина определяются выраже-иями R± = д/2/із)/то; и RZ = л/2дзг / г , что дает отношение разме-ов R±/Rz = uz /и±. Когда при уменьшении числа частиц достигается двумер-ый режим, конденсат приобретает Гауссову форму с шириной lz = /h/muoz аксиальном направлении, но с параболическим радиальным профилем. Ра-иус такого двумерного конденсата уменьшается с уменьшением Щ по закону ±2D — {128NQd2h3uz/ ттг3 )1/8 (см. Раздел 3.1). Аналогично, полудлина од-омерного конденсата равна RZ2D — (ЗЩаНш /тш )1 (см. Главу 5). В свободно расширяющемся облаке его размер в направлении слабого сжа-дя практически не изменяется во времени по сравнению с быстрым расшире-ием в направлении сильного сжатия. В случае дискообразных Томас—Фер-иевских конденсатов размер в аксиальном направлении записывается в виде Rz, где параметр bz получается из скейлингового уравнения [66; 67; 68] ри большом времени свободного расширения t Э l/ujz уравнение (2.4.2) дает ; « \Jlbjzt. Следовательно, отношение размеров есть bz(t)Rz/R±_ « y/2uj±t.
Если газ находится в квазидвумерном режиме, скейлинговый параметр рази bz(t) « uzt и отношение размеров облака есть bz(t)lz/Rj_2D тЬмг2І12%тЩа2ш\)1№и)±і,, что больше, чем в трехмерном режиме Томаса— ерми. Горлитц с соавторами [6] исследовал этот переход, наблюдая за измене-ием анизотропии при уменьшении числа конденсатных частиц. В удлиненных Томас—Фермиевских конденсатах при t l/a/j_ отношение азмеров равно R±.b±(t)/Rz uzt. В квазиодномерном режиме радиальный азмер другой, и отношение становится y/h/muj±b±(t)/RziD ( lu)±/9NQa2muj )1 6u}zt, что снова больше, чем анизотропия в режиме Тома-I—Ферми. В обоих случаях скейлинговый параметр равен b±(i) « uj±t (см. 6]). Изменение анизотропии с уменьшением числа конденсатных частиц так-;е было исследовано в эксперименте [6]. Шреком (Schreck) с соавторами [8] был эстигнут квазиодномерный режим в конденсате атомов 7Li, пользуясь очень аленьким значением длины рассеяния в этом газе. Их измерения радиального азмера облака соответствуют эволюции размера волновой функции основного стояния в радиальном направлении (см. Рис. 2.4.1). Эффективным способом достижения квазидвумерного и квазиодномерно-) режимов в пространственно—неоднородных конденсатах является приложе-ие периодического потенциала оптической решетки к атомам трехмерного кон-знсата, изначально приготовленного в обычной магнитной ловушке. Перио-йческая решетка квазидвумерных конденсатов была таким образом получена ургером (Burger) с соавторами [7]. Грейнер (Greiner) с соавторами [9] реа изовал массив квазиодномерных рубидиевых конденсатов в поле двумерного эриодического дипольного потенциала, сформированного парой перпендику-ярных стоячих лазерных волновых полей. Преимущества такого метода очевидны. Во-первых, оптическая решетка ожет удержать большой массив двумерных или одномерных систем, что дает ззможность производить измерения над большим числом атомов по сравнению ) случаем единственного потенциала. Во-вторых, макроскопическое заполне-ие одного и того же квантового состояния в изначальной трехмерной ловушке шачает, что получающиеся одномерные или двумерные системы будут также іубоко в режиме квантового вырождения.
Двумерная задача рассеяния
Мы рассмотрим чисто двумерное упругое рассеяние в парных столк-звениях ултрахолодных атомов, взаимодействующих посредством короткодей-гвующего потенциала U(p). На межчастичных расстояниях р —У оо волновая ункция сталкивающихся частиц может быть представлена как суперпозиция здающей плоской волны и рассеяной цилиндрической волны [36]: еличина f(q, ф) есть амплитуда рассеяния, q - относительный импульс атомов ф - угол рассеяния. Заметим, что f(q ) в уравнении (4.2.1) отличается на ножитель —у/8щ от двумерной амплитуды рассеяния, определенной в [36]. Аналогично трехмерному случаю, амплитуда рассеяния определяется в шовном вкладом s—канала, если относителный импульс частиц q удовлетво-ЇЄТ неравенству qRe С 1, где Re есть характерный радиус действия взаимо-зйствия. В случае щелочных металлов при достаточно большом р функция (р) имеет вид потенциала Ван дер Вальса, и радиус Re пробегает значения о о г 20 А для Li до 100 А для Cs. Амплитуда s—рассеяния не зависит от угла ассеяния ф. Вероятность a(q) рассеянной частицы пройти через окружность здиуса р в единицу времени равна интенсивности рассеянной волны, умно-:енной на 27rpv, где v — 2hq/m есть относительная скорость сталкивающихся астиц. Из уравнения (4.2.1) мы находим корость v равна плотности потока в падающей волне в уравнении (4.2.1). От-зшение a(q) к этой величине есть двумерное сечение рассеяние, которое имеет азмерность длины: ,ля случая идентичных бозонов уравнения (4.2.2) и (4.2.3) должны иметь до-элнительный множитель 2 в правой части. Величина a(q) есть не что иное как константа скорости упругих столкно-зний при данном q. Усреднение a(q) по импульсному распределению атомов и множение на число пар атомов на единице площади дает число столкновений а этой площади в единицу времени. Для нахождения амплитуды s—рассеяния необходимо решить уравнение Іредингера для s—компоненты относительного движения сталкивающихся ча-«щ при энергии є — H2q2/m: а расстояниях p Re относительное движение становится свободным, и аимодействием между атомами можно пренебречь. Тогда решение уравне-ія (4.2.4), которое при qp 1 дает парциальную s—компоненту ф(р) (4.2.1), )инимает вид ;е Jo и Но есть функции Бесселя и Ганкеля.
С другой стороны, на расстояниях р С І/q в уравнении (4.2.4) можно предречь относительной энергией частиц. Получающееся решение (при нулевой гергии) зависит от импульса q только через нормализационный коэффициент, области расстояний йе р 1/д движение свободное, и это решение приобщает вид ф8 ос ln(p/d), где d 0 есть характерная длина, которая зависит от шкретной формы потенциала U(p) и может быть найдена из точного решения равнения (4.2.4) при q = 0. Эта логарифмическая форма служит граничным шовием для волновой функции ф3{я.1 Р) (4.2.5) при qp С 1, что непосредствен-) приводит к амплитуде рассеяния [36] \е d — (d/2) ехрС ЙСЙ 0.577 есть константа Эйлера. Важно заметить, что условие qRe «С 1 является достаточным для того, гобы уравнение (4.2.6) было справедливым. Это уравнение выполняется так е и в случае резонансного рассеяния, когда в потенциале U{p) существует іабо связанное s—состояние. В этом случае пространственная форма фв( 1, р) і расстояниях Re С р С І/q такая же, как и у волновой функции слабо зязанного состояния. Это дает d — Н/ /тєо, где во есть энергия связанно ) состояния. Мы, таким образом, имеем неравенство d Re, и величина і в уравнении (4.2.6) может быть как большой так и маленькой. Константа дарости a(q) достигает своего максимума при q = 1/d и уменьшается как /[1 + (4/7Г2) ln2(g«i )] при увеличении или уменьшении q. Заметим, что этот зумерный резонанс на самом деле есть резонанс в логарифмическом масшта з энергий. Уменьшение а в два раза от ее максимального значения требует зменения энергии є = h2q2/m в двадцать раз. При gcf С 1 в уравнении (4.2.6) можно принебречь мнимой частью, и ам питуда рассеяния становится вещественной и положительной1. Положитель ый знак функции /(g) исключительно важен для среднеполевого взаимодей гвия в чисто двумерных газах. В ультрахолодном пределе, когда qRe С 1, ам гситуда рассеяния соответствует энергии взаимодействия в паре частиц (или шстанте связи д). Для короткодействующего потенциала U(p) энергия сред зполевого взаимодействия в слабовзаимодействующем газе есть сумма всех фных взаимодействий. Константа связи д для конденсата в однородном слу іе равняется амплитуде рассеяния (с дополнительным множителем Н2/т для шіего определения /) при относительной энергии є = h2q2/m = 2/х, где ji шический потенциал2.
Таким образом, мы имеем 2Для межатомных потенциалов со слабым притяжением (спин—поляризованный атомар- ій водород) связанное состояние с экспоненциально малой энергией связи 0 характерное ія неглубоких двумерных птенциалов [36], не возникает из-за присутствия сильного от-лкивательного потенциала на малых расстояниях [120]. В случае глубокого потенциала іелочньїе металлы) ситуация такая же как и в трехмерном случае: имеется большое число язанных состояний, и слабо связанный s—уровень ( f — со) может встретиться только слушно. Таким образом, для обычных импульсов частиц мы почти всегда имеем неравенство I, 1. 2Это можно легко установить, сравнивая уравнение на вершину упругого взаимодействия, щученное в нулевом порядке теории возмущений [77], с уравнением на амплитуду рассеяния 5]. В случае неоднородного профиля плотности /х необходимо заменить на щд, где щ есть ютность, зависящая от координаты.
Неупругие двухчастичные процессы
Аксиальное сжатие также влияет и на неупругое рассеяние атомов, этом разделе мы рассмотрим неупругие двухчастичные процессы, такие как шновая релаксация, и в которых изменяется внутреннее состояние сталки-іющихся частиц и внутренняя энергия высвобождается в виде кинетической іергии продуктов в выходном канале. Нашей задачей является установить от-эшение между скоростью неупругих процессов в обычном трехмерном случае и юй скоростью в случае сильно сжатой геометрии. Рассуждения, приведенные 4же, основываются на двух важных условиях, обычных для двухчастичной таксации [123]: Энергия, высвобождающаяся при столкновении, значительно превышает тем-зратуру газа и частоту аксиального сжатия. Соответственно, неупругий провес происходит на сравнительно коротких межчастичных расстояниях R{n, хгорые много меньше характерной длины волны Дебройля. ) Неупругие процессы являются следствием слабого (спин—диполь, спин—ор-тга, и т.д.) межчастичного взаимодействия и могут исследованы пользуясь юрией возмущений. В первом порядке теории возмущений амплитуда неупругого рассеяния, вторая определяется так же как и упругого в предыдущих разделах, дается Зщим выражением [124] десь фі(т) и 4 f{v) есть точные волновые функции начального и конечного со ояний относительного движения сталкивающихся атомов, и Uint(r) - (слабый) зжатомный потенциал, ответственный за неупругий переход. Этот потенци-i такой же как и в трехмерном случае. Функция ф/ тоже такая же как и в юхмерном случае, так как относительная энергия конечного состояния много шьше чем hujQ.
Таким образом, единственное отличие амплитуды f{n (4.7.1) 1 амплитуды неупругого рассеяния в трехмерном случае исходит из разницы волновых функциях начальных состояний ф{. Характерное межатомное расстояние Rin, на котором происходит неупру- е рассеяние, удовлетворяет неравенству Rin С Лє (см. пункт іі). Следова-ЇЛЬНО, мы находимся в ультрахолодном пределе, похожем на ультрахолодный эедел (4.3.2) в случае упругого рассеяния, и выполняются условия qRin С 1 и in "С /о- Первое гарантирует доминирующий вклад s—канала (для начальной шновой функции фі) в амплитуду рассеяния /г-п (4.7.1). Благодаря условию in "С /о, на расстояниях г Rin волновая функция фі имеет трехмерный ірактер: фі{г) ос фзо(г), где фзо{г) есть волновая функция относительного зижения при нулевой энергии в трехмерном случае. При г Re мы имеем w{r) — (1 — /г)) и Для согласованности с уравнением (4.3.7), мы должны шисать і,е коэффициент г)(є) дается уравнением (4.3.10), и v есть квантовое число ічального состояния, отвечающеее относительному движению в аксиальном /рмоническом потенциале VH(Z). В трехмерном случае, амплитуда /о неупругого рассеяния при нулевой ічальной энергии определяется из уравнения (4.7.1) заменой фі на фзи- Таким )разом, уравнение (4.7.2) дает явное соотношение между двумя амплитудами іссеяния: з-за того, что в конечном состоянии в неупругом канале относительная кине-іческая энергия частиц очень велика, плотность конечных состояний в этом шале не зависит от аксиального сжатия. На основании соотношения (4.7.3) едняя константа скорости щп для неупругих столкновений в аксиально сжа-)й геометрии и соответствующая частота столкновений могут быть представ-;ны в форме i,e a o есть 3D константа неупругих столкновений. Заметим, что в ультрахолодном пределе трехмерная константа скорости упругого рассеяния не зависит от температуры и равна «о, если длина рас-іяния удовлетворяет \а\ Re. Для \а\ Re волновая функция относительно движения в области межчастичного взаимодействия имеет форму фі(г) = \D D{T)I где 773D2 = (1 +р2а2)-1 и р есть 3D относительный импульс сталки-иощихся частиц (см., например, [125]). Следовательно, для константы неупру-ix столкновений мы имеем («о(1 +р2а2)-1). В присутствии аксиального сжа-ія, усредняя частоту неупругих столкновений по (квантовому) аксиальному зофилю плотности TI3D{Z), МЫ получаем рофиль плотности пзг (z) учитывает дискретную структуру квантовых уров-зй в аксиальном направлении и квантовое пространственное распределение ча-лиц. Уравнение (4.7.5) дает обычный трехмерный результат только при темпе-ітурах Т fkxjQ, когда пзр(г) становится распеределением Больцмана пв{г).
Проанализируем сначала влияние аксиального сжатия на величину 2гп .7.4) в случае, когда \а\ С Лт или, что эквивалентно, \а\ С IQ и qr\o\ С 1. этом случае мы можем положить ту = 1 при любой Т, кроме случая очень ІЗКИХ температур в квазидвумерном режиме. Тогда уравнение (4.7.4) дает ожно легко проверить, что уравнение (4.7.6) совпадает с уравнением (4.7.5), котором р\а\ С 1. Причиной этого совпадения является то, что аналогич-D случаю упругого рассеяния, -зз аксиальное распределение частиц. Это влияние значительное по сравнению ) случаем упругого рассеяния при тех же условиях (см. уравнение (4.5.6)). случае qr\a\ С 1 мы можем качественно оценить Г2;п схоЩв- При тем-зратурах Т С Тгщ характерное значение трехмерной плотности есть що //о, и мы получаем Q;n а оп/1о. При Т HWQ трехмерная плотность есть w
