Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Операторные тожества в задаче о сокращении нулевых мод
I. Квантование солитонов и нулевые моды
2. Основные операторные тождества
3. Операторные тождества и петлевое разложение ..
4. Доказательство сокращения вкладов нулевой моды
ГЛАВА II. Трансляционная и лоренцева нулевые модов
1. Проблема неоднозначности членов петлевого разложения
2. Двухпетлевая поправка к массе солитона и нулевые моды
ГЛАВА III. Инфракрасные особенности (ненормируемая нулевая мода)
1. Инфракрасные расходимости
2. Обобщенная структура диаграмм
3. Трехпетлевые диаграммы
4. Асимптотические соотношения и частичная компенсация расходимостей
ГЛАВА ІV. Инфракрасные особенности (нормируемая нулевая мода)
1. Поправки к массе солитона и инфракрасные особенности
2. Диаграммы порядка
Заключение
Приложение
- Операторные тождества и петлевое разложение
- Двухпетлевая поправка к массе солитона и нулевые моды
- Асимптотические соотношения и частичная компенсация расходимостей
- Поправки к массе солитона и инфракрасные особенности
Введение к работе
Интерес к методам описания протяженных объектов в рамках локальной квантовой теории поля усилился в последние годы в свя зи с проблемой описания свойств и, в частности, в связи с вопросом о. Но один из путей включения таких объектов в схему квантовой теории поля - использование так называемых решений нелинейных полевых уравнений - был предложен довольно давно /1- . Частице подобное решение регулярно и обладает конечной энергией, плотность энергии локализована, при этом объем области локализации остается ограничение при эволюции во времени /6» /. По последнему свойству такое реяние типа уединенной волны отличается, например, от пакета ПЛОСБ волн, удовлетворяющих уравнению Клейна-Гордона. Следствием релятивистской инвариантности уравнений поля является возможность перехода к лоренцевой системе отсчета, в которой частице подобное решение является статическим или периодическим.
Не ставя здесь перед собой цели дать сколько-нибудь полный обзор частицеподобных решений, известных к настоящему времени, метим, что существование таких решений не является специфическо особенностью некоторого класса двумерных моделей. Известна прос теорема /10-11 об отсутствии нетривиальных (отличных от конста ты) статических классических решений с конечной энергией при ра мерности пространства-времени В 2 для систем скалярных полей, если лагранжиан является суммой члена, билинейного по прои водным, и члена, зависящего только от полей (но не от производных) й. В определенном смысле особым является случай И = 2+1. При такой размерности пространства-времени существуют частицепс добные классические решения для нелинейной э -модели с гру пой 0(3).
Как уже упоминалось, значение частице подобного решения дш теории поля определяется тем, что в квантовой теории ему соответствует некоторый "протяженный объект", точнее, некоторое семейство состояний, которые не учитываются стандартной схемой теории возмущений. Исходными в этой схеме являются поля, удовлетворяюп линейным уравнениям, т.е. соответствующие случаю "выключенного взаимодействия" 30Л В то же время существование частицеподобЕ решений описанного выше типа обусловлено именно наличием нелине ных членов в уравнениях поля. Такие решения в общем случае не имеют регулярного предела при стремлении константы связи к нулв Состояния, принадлежащие "непертурбативной части спектра", могут обладать рядом неожиданных свойств. Так, "протяженный обї может обладать полуцелым спином и подчиняться статистике Ферми-Дирака, даже если модель не содержит спинорных полей /31 33/. Статистика таких объектов может быть и экзотической /34/, не ее падая ни со статистикой Ферми-Дирака, ни со статистикой Бозе-Эйнштейна /di md / ф Среди интересных свойств теории поля, связав ных с существованием частицеподобных решений, отметим эффект мс нопольного катализа распада протона /38 43/t широко обсуждавши! ся в последнее время. Внимание привлекает также возможность рас сматривать барион как протяженный объект, соответствующий части подобному решению в эффективной мезонной теории, эквивалентной квантовой хромодинамике в пределе большого числа цветов 44 .
Исследование квантовых "протяженных объектов", соответству щих классическим частицеподобным решениям, - намного более слож ная проблема, чем изучение самих классических решений. Нескольклет назад были сформулированы основные принципы квантового мето да обратной задачи / дрИ пом01щ которого были построены физический вакуум и $ -матрица, а также найден спектр возбужде ний для ряда вполне интегрируемых систем / /.
Более длинную историю имеет другой подход, основанный на квазиклассическом разложении (разложении по степеням постоянной Планка Ь. ) физических величин, характеризующих квантовый протя женный объект. В рамках этого подхода свойство полной интегрирумости не играет такой фундаментальной роли, как в квантовом мет де обратной задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем называть "про тяженный объект" солитоном, а частицеподобное решение - солитон ним, не подразумевая непременно при этом полной интегрируемости системы.
Развитие последовательной схемы теории возмущений, в принц пе, пригодной для вычисления квантовых поправок любого порядка, было связано с решением проблемы, имеющей на первый взгляд техн ческий характер. Проблема порождена тем, что спектр возбуждений поля около выделенного солитонного классического решения содерж возбуждения с нулевой частотой - так называемые нулевые моды. Последние могут стать причиной инфракрасной нестабильности и об ловить неприменимость теории возмущений. Следует заметить, что существо проблемы нулевой моды заключается в наличии вырождения системе, обусловленного той или иной симметрией задачи, порождамой группой непрерывных преобразований (например, преобразован! ми группы трансляций или лоренцевых вращений). Действительно, любое нетривиальное решение уравнений движения, в частности, ча тицеподобное решение, характеризуемое значениями координат "час типы" в фиксированный момент времени и ее скорости, очевидно, к может быть инвариантным относительно полной группы симметрии пс левых уравнений. Нулевые моды в спектре возбуждений около выделенного классического решения возникают при этом так же, как гс стоуновские возбуждения в теории, в которой некоторая непрерывная симметрия нарушается классическим решением с минимальной эн гией /ьь»ь /. Впрочем, используя терминологию спонтанного наруш ния симметрии, мы могли бы сказать, что симметрия относительно пространственных трансляций спонтанно нарушена статическим часі цеподобным решением. Частицеподобное решение инвариантно лишь о носительно одномерной группы трансляций вдоль оси собственного времени. Сохраняется ли, однако, такое вырождение в квантовой Ї рий? Если бы это было так, т.е. если бы имело место действитель ное спонтанное нарушение пространственно-временной симметрии, ч координата и импульс солитона сохраняли бы свою классическую щ роду и в "квантованной" теории (для них не выполнялся бы принци неопределенностей Гейзенберга 58 ). Инфракрасные особенности, связанные с нулевыми модами, свидетельствуют о том, что спонтан ное нарушение не сохраняется при квантовании. Один из путей уче симметрии в этом случае связан с использованием метода коллекти ных координат, введенных Боголюбовым и Тябликовым в 1949 г. при формулировке квантовой теории полярона и получивших дальне шее развитие в работах по проблеме сильной связи в квантовой те рии поля /Ь0 Ьс5/. в этом подходе параметрам непрерывной группы преобразований симметрии сопоставляются динамические переменные (коллективные координаты), причем канонически сопряженные им т пульсы являются интегралами движения. Накладываемые на теорию связи, устраняющие излишние степени свободы, автоматически искл чают появление нулевых мод.
Существует несколько подходов /б " - -/ к задаче квантования соли тонных решений, использующих коллективные координаты. В нек торых из них/ применяется метод канонического квантої ния, другие /б4-66/ основаны на использовании функционального и теграла. Близки по своей природе к коллективным координатам "КЕ товые координаты", введенные Матсумото и др. 2Л Релятивистов ковариантное обобщение метода коллективных координат Н.Н.Боголк бова рассмотрено Свешниковым ь .
Вместе с тем, в разные годы разными авторами было предложе большое число схем теории возмущений, не опирающихся на метод к лективных координат /58,77-80,6,81 / д , некоторых из эти подходов уделяют значительное внимание проблеме восстановления трансляционной симметрии. В частности, подход Джевицкого на явном выделении (бесконечного) объема группы трансляци Фаддеев и Корепин показали 6 , что в пределе больших времен со литонные функции распространения - объекты, играющие фундамента ную роль в рамках их подхода - перестают зависеть от начальных координат выделенных солитонных решений. Независимо от этого ну левые моды не исключены полностью (как это имеет место при коллективных координат), поэтому в этих схемах /°0»"""° с нулевыми модами связаны две проблемы, которые мы будем в дальнейшем четко различать. Постановка и методы анализа этих пробле: зависят от того, рассматривается ли поле с самого начала на все; пространстве-времени, или же схема теории возмущений строится д полей, определенных на ограниченной во временном направлении области (характеризуемой полным временем Т) и удовлетворяющих определенным условиям на границе этой области. В первом случае ин теграл от квадрата функции нулевой моды по пространству-времени расходится (нулевая мода ненормируема), во втором он конечен (нулевая мода нормируема), поскольку область интегрирования ограничена во временном направлении.
Первая из проблем, порождаемых нулевыми модами, связана с неоднозначностью в определении функции Грина (пропагатора) как элемента диаграммной техники. Если нулевая мода ненормируема, функция Грина существует, но не единственна /78 . Теория возмуп ний обладает при этом интересным свойством, обусловленным в конечном счете пространственно-временной симметрией системы. Каж,в член квазиклассического разложения амплитуды перехода между одв солитонными состояниями формально инвариантен относительно добе ления к пропагатору некоторой билинейной комбинации нулевых МО,Е с произвольными коэффициентами /78»82»6/ф Доказательство, даннс для первой и второй квантовых поправок к амплитуде , было затем обобщено и формализовано на основе некоторой системы onej ных тождеств /8 /. Независимость величин более общего вида от произвольных вкладов нулевых мод в пропагатор обсуждалась в рас те /83/. Однако там же отмечалось, что важным допущением, на кс тором основываются эти выводы, является предположение о том, ча растущий при больших временах член в пропагаторе , наличие которого обусловлено нулевой модой, не дает расходящихся вкладе хотя бы в величины, характеризующие физические процессы 8с Л В сущности, это означает, что окончательный ответ на вопрос об однозначности членов квазиклассического (петлевого) разложения зависит от решения второй проблемы - свободна ли теория возмуще ний от инфракрасных расходимостей. Такие расходимости могут существовать даже при корректном определении функции Грина как обобщенной функции, поскольку в диаграммах приходится иметь дел с произведениями функций Грина.
Определение функции Грина в подходах, в которых нулевая мс да нормируема, возможно, потому что она исключена из пространен ва полей (но не из спектра возбуждений!) граничными условиями /6,80/ шш ПрИ пом011щ некоторой нелинейной замены полевых переменных . Проблема инфракрасных расходимостей в этом случае это проблема правильного поведения диаграмм (или некоторых их комбинаций - например, членов квазиклассического разложения) щ предельном переходе Т-» °° . Так, мы ожидаем, что для связных диаграмм с внешними линиями соответствующие выражения будут CTJ миться к хорошо определенным обобщенным функциям, а для связных диаграмм без внешних линий - расти линейно с ростом Т (это обыч ная объемная расходимость).
Проблема инфракрасных расходимостей в отличие от проблемы неоднозначности пропагатора мало обсуждалась в литературе. Извено, что во всех подходах двухпетлевые диаграммы без внешних лик не имеют инфракрасных расходимостей .
В подходе, в котором функция нулевой моды ненормируема, проблема инфракрасных особенностей имеет много общего с аналоги ной проблемой в случае "спонтанного нарушения" внутренней симме рий в пространстве-времени недостаточно высокой размерности. Существует теорема /°6»87/ о невозможности спонтанного нарушена непрерывной симметрии в релятивистских моделях, если размерносн пространства-времени не превышает двух. На уровне теории возмуя ний индикатором того, что симметрия при квантовании должна восс навливаться, является появление инфракрасных расходимостей. Тек не менее, было показано /88-91/ что в евклидовой двумерной 0(//) є -модели инфракрасные расходимости сокращаются при вычислении "среднего" от любого 0(//) инвариантного функцис нала в каждом порядке разложения по константе связи. "Среднее" при этом вычисляется "в ложной фазе" спонтанно нарушенной симме рии, т.е. это, по существу, квазисреднее /92/. Отсутствие инфра красных особенностей у квазисредних от инвариантных функционале связано в этом случае с существованием некоторой бесконечной СЕ темы тождеств /91Л Несмотря на очевидную аналогию с задачей о квантовании солитонных решений, ответ в этом последнем случае Е сколько иной ™ и подробно обсуждается в настоящей диссертащ Отметим, что, по крайней мере, на уровне теории возмущений размерность ненарушенной группы трансляций (равная единице для час тицеподобных решений) играет роль, аналогичную роли полной разы ности пространства-времени в случае "спонтанного нарушения" непрерывной внутренней симметрии. Поэтому, возможно, более полна аналогия с б -моделью выявилась бы при построении последоватед ной теории возмущений для объекта типа доменной стенки в трехме ном пространстве-времени56(размерность ненарушенной группы транс ций равна двум), для которой первая квантовая поправка к линейв плотности энергии найдена в работе /94 .
Инстантоны, в отличие от солитонных решений, полностью нарушают группу трансляций. Как известно 9b , инстантонам соотве ствуют туннельные амплитуды, учет которых приводит к существенЕ му изменению структуры вакуума /9"" 99/. Нахождение поправок к і стантонным амплитудам также сталкивается с проблемой нулевых мс которая в этом случае полностью решается исключением подпрострг
ства нулевых мод из пространства полей у . Последовательная схема теории возмущений в окрестности инстантонного решения существует /10°/, но не нашла удовлетворительного решения проблеї расходящихся вкладов больших инстантонов в масштабно-инвариантных теориях /97Л Если масштабная инвариантность отсутствует, з пример, для инстантонов в квантовой механике /Шї-іиб/ те0рИЯ возмущений позволяет, в принципе, вычислять квантовые поправки любых порядков. Для случая квантовомеханического инстантона до: зательство однозначности двухпетлевой поправки в туннельную амплитуду 103 может быть обобщено на все порядки квазиклассичеі кого (петлевого) разложения.
Целью диссертации является исследование однозначности чле: квазиклассического разложения при квантовании солитонных решек на базе функциональных методов без использования коллективных ] ординат, а также исследование инфракрасных особенностей в трет: их квантовых поправках к аілплитуде солитон-солитонного переход; и к массе солитона.
Проблема нулевых мод рассматривается в диссертации на при ре задачи о квантовых поправках к массе солитона. Вопрос о вто; квантовой поправке обсуждался многими авторами для модели скал ного поля в двумерном пространстве-времени - как в рамках мето; коллективных координат /104"106/, так и в других схемах z79»6»1 84,85/# яа С0Кращение некоторых ультрафиолетовых расходимостей в выражении для третьей поправки указал Де Бега /106Л Мы такж ограничимся рассмотрением двумерной модели самодействующего CKJ лярного поля, в частности, потому, что при учете перенормировок] /58,106,84/ в этом СЛуЧае все утверждения относительно нулевых мод и их доказательства остаются в силе по существу без измене]
При более высокой размерности пространства-времени необходимо дополнительно показать, что ультрафиолетовую и инфракрасную проемы можно рассматривать независимо .
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения двух приложений. В первой главе рассматривается проблема, связ; ная с произволом в определении пропагатора в случае нормируемо: нулевой моды. Продемонстрирована связь между нарушением симмет; и нулевыми модами (§1), дано корректное обобщение операторных деств для случая нормируемой нулевой моды (§ 2), показана неза симость членов квазиклассического петлевого разложения от прои вольного вклада нулевых мод в функцию Грина на примере одномер квантовомеханической задачи (§ 3) и для подходящим образом опр ленных "средних" по односолитонным полям (§4). Вторая глава п священа вопросу о взаимной компенсации вкладов нулевых мод, ев занных с нарушением трансляционной и лоренцевой инвариантноете Изучена неоднозначность в выражении для второго члена в квазик сическом разложении солитон-солитонной амплитуды перехода (§ I показано, что при определенном соотношении между коэффициентам при нулевых модах в пропагаторе имеет место компенсация вкладо нулевых мод в выражении для второй (двухпетлевой) поправки к м се солитона (§ 2). В третьей главе рассматривается проблема ин фракрасных особенностей в случае ненормируемой нулевой моды (§ предложен способ их анализа (§2), который затем применен к Т петлевым диаграммам без внешних линий (§ 3), и показано, что я фракрасные особенности компенсируются лишь частично (§ 4). В ч вертой главе обсуждается проблема инфракрасных особенностей в подходе / у/, в котором нулевая мода нормируема (§ I), и ПОКЭЕ но, что инфракрасные расходимости полностью сокращаются в вырг нии для третьей ("трех петлевой") поправки к массе солитона (§
В приложении I приведена простая процедура вычисления средних от степеней оператора Д , играющего существенную роль при рассмотрениях в первой главе, в приложении 2 дано доказательство одного вспомогательного утверждения, которое используется в § 4 третьей главы.
Основные результаты диссертации изложены в работах » 107-109/
Операторные тождества и петлевое разложение
Существует несколько подходов /б " - -/ к задаче квантования солитонных решений, использующих коллективные координаты. В нек торых из них/ применяется метод канонического квантої ния, другие /б4-66/ основаны на использовании функционального и теграла. Близки по своей природе к коллективным координатам "КЕ товые координаты", введенные Матсумото и др. 2Л Релятивистов ковариантное обобщение метода коллективных координат Н.Н.Боголк бова рассмотрено Свешниковым ь .
Вместе с тем, в разные годы разными авторами было предложе большое число схем теории возмущений, не опирающихся на метод к лективных координат /58,77-80,6,81 / д , некоторых из эти подходов уделяют значительное внимание проблеме восстановления трансляционной симметрии. В частности, подход Джевицкого о нован на явном выделении (бесконечного) объема группы трансляци Фаддеев и Корепин показали 6 , что в пределе больших времен со литонные функции распространения - объекты, играющие фундамента ную роль в рамках их подхода - перестают зависеть от начальных координат выделенных солитонных решений. Независимо от этого ну левые моды не исключены полностью (как это имеет место при испо зовании коллективных координат), поэтому в этих схемах /0»""" с нулевыми модами связаны две проблемы, которые мы будем в даль нейшем четко различать. Постановка и методы анализа этих пробле: зависят от того, рассматривается ли поле с самого начала на все; пространстве-времени, или же схема теории возмущений строится д полей, определенных на ограниченной во временном направлении области (характеризуемой полным временем Т) и удовлетворяющих определенным условиям на границе этой области. В первом случае ин теграл от квадрата функции нулевой моды по пространству-времени расходится (нулевая мода ненормируема), во втором он конечен (нулевая мода нормируема), поскольку область интегрирования ограничена во временном направлении.
Первая из проблем, порождаемых нулевыми модами, связана с неоднозначностью в определении функции Грина (пропагатора) как элемента диаграммной техники. Если нулевая мода ненормируема, функция Грина существует, но не единственна /78 . Теория возмуп ний обладает при этом интересным свойством, обусловленным в конечном счете пространственно-временной симметрией системы. Каж,в член квазиклассического разложения амплитуды перехода между одв солитонными состояниями формально инвариантен относительно добе ления к пропагатору некоторой билинейной комбинации нулевых МО,Е с произвольными коэффициентами /78»82»6/ф Доказательство, даннс для первой и второй квантовых поправок к амплитуде , было затем обобщено и формализовано на основе некоторой системы onej ных тождеств /8 /. Независимость величин более общего вида от произвольных вкладов нулевых мод в пропагатор обсуждалась в рас те /83/. Однако там же отмечалось, что важным допущением, на кс тором основываются эти выводы, является предположение о том, ча растущий при больших временах член в пропагаторе , наличие которого обусловлено нулевой модой, не дает расходящихся вкладе хотя бы в величины, характеризующие физические процессы 8с Л В сущности, это означает, что окончательный ответ на вопрос об однозначности членов квазиклассического (петлевого) разложения зависит от решения второй проблемы - свободна ли теория возмуще ний от инфракрасных расходимостей. Такие расходимости могут су - II ществовать даже при корректном определении функции Грина как обобщенной функции, поскольку в диаграммах приходится иметь дел с произведениями функций Грина.
Определение функции Грина в подходах, в которых нулевая мс да нормируема, возможно, потому что она исключена из пространен ва полей (но не из спектра возбуждений!) граничными условиями /6,80/ шш ПрИ пом011щ некоторой нелинейной замены полевых переменных . Проблема инфракрасных расходимостей в этом случае это проблема правильного поведения диаграмм (или некоторых их комбинаций - например, членов квазиклассического разложения) щ предельном переходе Т-» . Так, мы ожидаем, что для связных диаграмм с внешними линиями соответствующие выражения будут CTJ миться к хорошо определенным обобщенным функциям, а для связных диаграмм без внешних линий - расти линейно с ростом Т (это обыч ная объемная расходимость).
Проблема инфракрасных расходимостей в отличие от проблемы неоднозначности пропагатора мало обсуждалась в литературе. Изве но, что во всех подходах двухпетлевые диаграммы без внешних лик /78,79,6,84,85/ не имеют инфракрасных расходимостей .
В подходе, в котором функция нулевой моды ненормируема, проблема инфракрасных особенностей имеет много общего с аналоги ной проблемой в случае "спонтанного нарушения" внутренней симме рий в пространстве-времени недостаточно высокой размерности. Существует теорема /6»87/ о невозможности спонтанного нарушена непрерывной симметрии в релятивистских моделях, если размерносн пространства-времени не превышает двух. На уровне теории возмуя ний индикатором того, что симметрия при квантовании должна восс навливаться, является появление инфракрасных расходимостей. Тек не менее, было показано /88-91/ что в евклидовой двумерной нелнейной 0(//) є -модели инфракрасные расходимости сокращаются при вычислении "среднего" от любого 0(//) инвариантного функцис нала в каждом порядке разложения по константе связи. "Среднее" при этом вычисляется "в ложной фазе" спонтанно нарушенной симме рии, т.е. это, по существу, квазисреднее /92/.
Двухпетлевая поправка к массе солитона и нулевые моды
Отсутствие инфра красных особенностей у квазисредних от инвариантных функционале связано в этом случае с существованием некоторой бесконечной СЕ темы тождеств /91Л Несмотря на очевидную аналогию с задачей о квантовании солитонных решений, ответ в этом последнем случае Е сколько иной и подробно обсуждается в настоящей диссертащ Отметим, что, по крайней мере, на уровне теории возмущений размерность ненарушенной группы трансляций (равная единице для час тицеподобных решений) играет роль, аналогичную роли полной разы ности пространства-времени в случае "спонтанного нарушения" непрерывной внутренней симметрии. Поэтому, возможно, более полна аналогия с б -моделью выявилась бы при построении последоватед ной теории возмущений для объекта типа доменной стенки в трехме ном пространстве-времени56(размерность ненарушенной группы транс ций равна двум), для которой первая квантовая поправка к линейв плотности энергии найдена в работе /94 .
Инстантоны, в отличие от солитонных решений, полностью нарушают группу трансляций. Как известно 9b , инстантонам соотве ствуют туннельные амплитуды, учет которых приводит к существенЕ му изменению структуры вакуума /9"" 99/. Нахождение поправок к і стантонным амплитудам также сталкивается с проблемой нулевых мс которая в этом случае полностью решается исключением подпрострства нулевых мод из пространства полей у . Последовательная схема теории возмущений в окрестности инстантонного решения существует /10/, но не нашла удовлетворительного решения проблеї расходящихся вкладов больших инстантонов в масштабно-инвариантных теориях /97Л Если масштабная инвариантность отсутствует, з пример, для инстантонов в квантовой механике /Шї-іиб/ те0рИЯ возмущений позволяет, в принципе, вычислять квантовые поправки любых порядков. Для случая квантовомеханического инстантона до: зательство однозначности двухпетлевой поправки в туннельную амплитуду 103 может быть обобщено на все порядки квазиклассичеі кого (петлевого) разложения.
Целью диссертации является исследование однозначности чле: квазиклассического разложения при квантовании солитонных решек на базе функциональных методов без использования коллективных ] ординат, а также исследование инфракрасных особенностей в трет: их квантовых поправках к аілплитуде солитон-солитонного переход; и к массе солитона.
Проблема нулевых мод рассматривается в диссертации на при ре задачи о квантовых поправках к массе солитона. Вопрос о вто; квантовой поправке обсуждался многими авторами для модели скал ного поля в двумерном пространстве-времени - как в рамках мето; коллективных координат /104"106/, так и в других схемах z79»6»1 84,85/# яа С0Кращение некоторых ультрафиолетовых расходимостей в выражении для третьей поправки указал Де Бега /106Л Мы такж ограничимся рассмотрением двумерной модели самодействующего CKJ лярного поля, в частности, потому, что при учете перенормирово] /58,106,84/ в этом СЛуЧае все утверждения относительно нулевых.
При более высокой размерности пространства-времени необходимо дополнительно показать, что ультрафиолетовую и инфракрасную пр лемы можно рассматривать независимо . Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения двух приложений. В первой главе рассматривается проблема, связ; ная с произволом в определении пропагатора в случае нормируемо: нулевой моды. Продемонстрирована связь между нарушением симмет; и нулевыми модами (1), дано корректное обобщение операторных деств для случая нормируемой нулевой моды ( 2), показана неза симость членов квазиклассического петлевого разложения от прои вольного вклада нулевых мод в функцию Грина на примере одномер квантовомеханической задачи ( 3) и для подходящим образом опр ленных "средних" по односолитонным полям (4). Вторая глава п священа вопросу о взаимной компенсации вкладов нулевых мод, ев занных с нарушением трансляционной и лоренцевой инвариантноете Изучена неоднозначность в выражении для второго члена в квазик сическом разложении солитон-солитонной амплитуды перехода ( I показано, что при определенном соотношении между коэффициентам при нулевых модах в пропагаторе имеет место компенсация вкладо нулевых мод в выражении для второй (двухпетлевой) поправки к м се солитона ( 2). В третьей главе рассматривается проблема ин фракрасных особенностей в случае ненормируемой нулевой моды ( предложен способ их анализа (2), который затем применен к Т петлевым диаграммам без внешних линий ( 3), и показано, что я фракрасные особенности компенсируются лишь частично ( 4). В ч вертой главе обсуждается проблема инфракрасных особенностей в подходе / у/, в котором нулевая мода нормируема ( I), и ПОКЭЕ но, что инфракрасные расходимости полностью сокращаются в вырг нии для третьей ("трехпетлевой") поправки к массе солитона (
В приложении I приведена простая процедура вычисления средних от степеней оператора Д , играющего существенную роль при рас смотрениях в первой главе, в приложении 2 дано доказательство одного вспомогательного утверждения, которое используется в 4 третьей главы.
Асимптотические соотношения и частичная компенсация расходимостей
Заметим, что % не зависит от Z , что обеспечивает независимость второй квантовой поправки к массе от конкретного способа перехода к пределу в (П. 51). Функции д( и % удовлетворяют уравнению (П.44) и условию (П.50). Поэтому двухпетлевая поправк к массе солитона, найденная по методу, предложенному в работе будет совпадать с поправкой, полученной при использовании пропа-гатора (П.17), а последняя совпадает с поправкой, найденной при помощи метода коллективных координат. Отметим, что в выражении (П.52) для функции 73 можно опустить сумму первых трех членов, но не каждый из них в отдельности, так как существенна взаимная компенсация их вкладов. Можно было бы поставить вопрос о том, имеет ли место такая компенсация в следующих членах петлевого разложения. Однако уже при переходе к трехпетлевым диаграммам ж сталкиваемся с новой серьезной проблемой, связанной с особенностями инфракрасного типа.
Вернемся к задаче о вычислении амплитуды перехода между односолитонными состояниями (П.І). Рассмотрим сначала случай, когда в (П.II) Ы = f = х = 0, т.е. пропагатор имеет вид (П.І7). Для наших целей удобна некоторая детализация диаграммной техник при которой линии разного типа сопоставляются отдельным слагаемым в правой части (П. 17). Сопоставим функции f непрерывную линию, a f б- - штриховую.
Как было отмечено выше, мы ожидаем, что связные диаграммы : разложении W будут расти линейно при Т - о. Именно такое пові дение имеют двухпетлевые диаграммы / /. Однако, например, трех-петлевая диаграмма очевидно, расходится как Т . Чтобы показать, что такое поведешк диаграммы является проявлением инфракрасной особенности, с помощью преобразования Фурье (см., например, /112/), перейдем к представлению, аналогичному импульсному, которое в дальнейшем будем называть ( , к )-предста лением. Приведем правила соответствия в этом представлении. Существенное отличие (\/,А )-представления от обычного импульсного в том, что сумма параметров к. в каждой вершине не сохраняется. Так как полное время ограничено (Т ), то не сох; няется также сумма частот У. в каждой вершине (вместо S -функции стоит функция 5 ). Вернувшись к диаграмме (А), нетрудно убедиться, что любая вспомогательная регуляризация функции У (т.е. замена V на подходящую регулярную функцию) восстанавливает линейную асимптотику диаграммы при Т- о . Однако снятие вспомогательной регуляризации в главном (линейном по Т) члене асшлптотического разлож ния оказывается невозможным. Полное время Т играет роль параметра не только объемной, но также и инфракрасной регуляризации (хотя регуляризует не пропагатор, а вершинные множители).
Анализируя поведение какой-либо диаграммы при Т- , удої но рассматривать ее как построенную из обобщенных вершин (поддиаграмм) и штриховых линий, соединяющих разные обобщенные вершины. Обобщенная вершина может содержать штриховые линии, но при разрыве всех штриховых линий должна оставаться связной. Нетрудно убедиться, что такое представление для каждой диаграммы единственно. Разумеется, существуют диаграммы, которые изображаются одной обобщенной вершиной. Сформулируем теперь общее утверждение: любая диаграмма в разложении W - величина типа 0[TS) при Т- , s-v +f , где V - число обобщенных вер шин диаграммы, / - число штриховых линий между ними. Не будем доказывать справедливость этого утверждения в общем случае (ниж приводится доказательство для S- I). Тем не менее, мы будем в дальнейшем пользоваться удобной классификацией диаграмм по числу S .
Каждой обобщенной вершине X соответствует в { ,А )-предста: лении вершинная функция / , зависящая от частот входящих и вы« ходящих линий и от Т:
Здесь V - произведение вершинных факторов типа - число внутренних (т.е. принадлежащих обобщенной вершине) н прерывных линий, / - число внутренних штриховых линий, т - чи ло входящих и выходящих линий (эти линии не принадлежат обобщенной вершине, они могут быть только штриховыми; будем называть ш внешними). Условимся определять вершинную функцию F , считая все внешние линии входящими, в остальных случаях вершиннзгю фунь пию получаем, сменив знак у частот выходящих линий. Правила построения функции Ад нетрудно получить из правил соответствия и равенства (Ш.4). Частным случаем обобщенных вершин являются "вершины", не имеющие внешних концов, т.е. просто диаграммы, ос таящиеся связными при разрыве штриховых линий (& = I).
Поправки к массе солитона и инфракрасные особенности
При таком выборе элементов диаграмьшой техники ряд теории возму щений для In W состоит из всех связных диаграмм ряда для W Очевидно, члены разложения In W по степеням а также не зависят от параметра Ы в (1.67).
Выделение группового объема с помощью подстановки единицы (1.70) позволяет построить диаграммную технику, все элементы ко торой хорошо определены t. Но, как и в рассмотренном в главе подходе, наличие нулевой моды является причиной особого асимпто тического поведения некоторых связных диаграмм при Т - . Може показаться, что нулевая мода не должна играть существенной роли в рассматриваемой схеме теории возмущений, благодаря Г-$ункци в правой части (1.70). Подчеркнем, что Ф является собственной функцией с нулевым ообственныгл значением не только для Н, но та же и для оператора то спектр оператора Н содержит подмножество точек -Уг/Т)1 П = +1, +2, ..., где
В соответствии с (1.74), (1.75) и условием периодичности имеем а С - вклад остального спектра оператора Н. Несколько детализуем диаграммную технику, сопоставив функции (s ) непрерывную линию, а функции (- б ) - штриховую. Нетру но убедиться, что многие диаграммы в разложении inW , содержа щие штриховые линии, растут при Т-» не линейно, а как Т , / I. Так, например, диаграмма пропорциональна Т независимо от значения параметра о( . Эта диаграмма дает расходящийся вклад в массу солитона. Такая особе: ность обусловлена тем, что, хотя оператор Н обратим на подпространстве , ортогональном к у , каждая из точек У при Т - стремится к нулю. Так как упомянутая выше расходимость связана характером спектра оператора Н в окрестности нуля (точнее с тем что спектр Н содержит точки, достаточно быстро стремящиеся к нулю при Т- 00 ), то ее естественно отнести к типу инфракрасных. Остальной спектр оператора Л (кроме нулевого собственног значения) не может породить стремящиеся к нулю при т - точки в спектре оператора Н. Поэтому мы, как и раньше, рассмотрим простейший случай, когда остальной спектр А непрерывен и занимает интервал [т2, & ) , а потенциал Vz(x) является без-отражательным. Подчеркнем, что мы не рассматриваем здесь пробле му объемных расходимостей, связанных с бесконечностью пространственного объема системы и трансляционной инвариантностью деист вия S . Последовательное исследование этого вопроса требует вв дения вспомогательной объемной регуляризации Однако, ере ди диаграмм порядка # в разложении йг W отсутствуют такие в которых одновременно встречались бы и инфракрасные расходимос ти и расходимости, связанные с бесконечностью пространственного объема системы. Поэтому, рассматривая диаграммы порядка а с инфракрасными расходимостями, мы будем работать с оператором А /79 107/ на всей оси. Приведем выражение для вклада непрерывног спектра Л в пропагатор & : Число таких диаграмм в разложении fnW довольно велико. Однако лишь небольшая их часть имеет аномальную асимптотику при Т - . Действительно, так как спектр оператора А за исключением нулевого собственного значения подобен обычному спектру одночастичных возбуждений (около "вакуумной" конфигурации поля) то все диаграммы в разложении /# W , не содержащие штриховых линий, - величины типа 0(Т) при Т- . Положим в (ІУ.9) о(= тх Многие диаграммы, содержащие штриховые линии, оказываются равными нулю, так как Z[0T) = 0 или вследствие тождеств (П.29), (П. 30).
