Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Графен: получение, свойства, возможные применения, методы компьютерного моделирования 14
1.1. Методы получения графена 14
1.2. Свойства графена 18
1.4. Дефекты в графене и их влияние на прочность 25
1.5. Коробление листа графена 27
1.6. Нелинейные колебательные моды графена 28
1.7. Теоретические методы и компьютерное моделирование при исследовании графена 30
1.8. Межатомные потенциалы для моделирования графена 32
1.9. Описание молекулярно-динамических моделей данной работы 39
Выводы 42
ГЛАВА 2. Теоретическая прочность, механические свойства графена и влияние на прочность температуры и дефекта стоуна-троуэра-уоллеса 44
2.1. Область устойчивости и механические свойства графена 44
2.2. Влияние дефекта Стоуна-Троуэра-Уоллеса и температуры на прочность графена 57
2.3. Высококогерентные ориентации деформированного листа графена на нереконструированной подложке кремния 67
Выводы 74
ГЛАВА 3. Послекритическое поведение графена и морщины в графеновых нанолентах с закрепленными краями 77
3.1. Послекритическое поведение графена 77
3.2. Морщины в графеновой наноленте с закрепленными краями, возникшие под действием сдвиговой деформации 82
3.3. Влияние температуры на динамику морщин в графеновых нанолентах с закрепленными краями 89
Выводы 92
ГЛАВА 4. Дискретные бризеры в деформированном графене и графеновых нанолентах 94
4.1. Дискретные бризеры в графене 94
4.2. Кластеры дискретных бризеров и обмен энергией между бризерами 98
4.3. Дискретные бризеры в графеновых нанолентах 105
Выводы 114
Заключение 116
Список литературы 119
- Теоретические методы и компьютерное моделирование при исследовании графена
- Высококогерентные ориентации деформированного листа графена на нереконструированной подложке кремния
- Морщины в графеновой наноленте с закрепленными краями, возникшие под действием сдвиговой деформации
- Кластеры дискретных бризеров и обмен энергией между бризерами
Введение к работе
Актуальность проблемы. В настоящее время графен является одним из наиболее активно исследуемых наноматериалов благодаря уникальным механическим, физическим и оптическим свойствам [1]. Эти свойства открывают широкие возможности использования графена в различных отраслях промышленности: электронике, оптике, энергетике, в частности для транспортировки и хранения водорода. Графен может быть успешно использован в материаловедении при разработке композитных материалов. Графен интересен материаловедам, поскольку он имеет чрезвычайно высокие модуль сдвига 280 ГПа [2], модуль Юнга при растяжении 1 ТПа [3], прочность около 100 ГПа [4], температуру плавления близкую к 5000 K и скорость звука в продольном направлении около 20 км/с [5]. Указанные параметры обусловлены строением графена, который представляет собой двумерный кристаллический материал в виде моноатомного слоя углерода, где каждый атом связан валентной связью с тремя соседями.
Впервые графен был получен в 2010 г. К. С. Новословым и А. К. Геймом, которые за новаторские эксперименты в этом направлении были удостоены Нобелевской премии по физике [6].
Далее возникла необходимость разработки простых и эффективных методов управления физическими свойствами графена. Известным методом управления физическими свойствами наноразмерных углеродных структур является упругая деформация [7]. Было показано, что механические свойства, электронные и фононные спектры, теплопроводность, оптическая проводимость графена также зависят от деформации [8, 9]. Наиболее исследованными видами деформации графена являются одноосное и двухосное растяжение вдоль высокосимметричных направлений. Влияние же различных видов нагружения, в том числе сдвига, на свойства графена не было исследовано. Поэтому представлялось важным в данной работе изучение свойств графена при плоской деформации общего вида.
Кроме того, при воздействии положительных (растягивающих) главных компонент мембранных сил возникает проблема прочности графена, а также проблема, связанная с влиянием температуры и дефектов кристаллической структуры на прочность, которые изучались лишь для частных видов дефектов и деформаций. При решении этих проблем полной ясности достичь не удалось.
Одним из самых распространенных дефектов в графене является дефект Стоуна-Троуэра-Уоллеса, который возникает вследствие поворота одной углеродной связи и представляет собой дислокационный диполь наименьшей длины. Исследование влияния дефекта Стоуна-Троуэра-Уолеса и температуры на прочность графена при двухосном растяжении общего вида было одной из задач данной работы. При приложении отрицательных (сжимающих) главных компонент деформации возникает короб-
ление листа графена, причем известно, что морщины могут значительным образом менять физические свойства графена [10-13]. Однако исследование возможности создания морщин с контролируемыми геометрическими параметрами и влияния на них температуры также не проводилось.
При приложении упругой деформации в графене возможно появление нелинейных локализованных колебательных мод в бездефектной решетке, которые в физике нелинейных явлений получили название дискретных бризеров (ДБ) [14]. ДБ и кластеры ДБ являются очень интересными объектами исследования, поскольку на них локализуется значительная энергия. Эта энергия может быть потрачена на создание дефектов кристаллической решетки, как например, в углеродной нанотрубке при осевом растяжении [15]. ДБ также могут спонтанно возбуждаться в графене при высокой температуре и затем вызвать зарождение трещины и разрыв графена, находящегося в напряженном (деформированном) состоянии.
В настоящее время наряду с экспериментальными методами исследования графена активно используется теория и компьютерное моделирование. Поскольку промышленное получение графена все еще является трудоемким и дорогостоящим процессом, многие задачи могут быть решены с помощью моделирования. Одним из распространенных методов, используемых в исследовании графена, является метод молекулярной динамики, который опирается на эмпирические межатомные потенциалы для моделирования углеродных структур.
Из вышесказанного следует, что изучение влияния упругой деформации на механические свойства, на фононные спектры и свойства ДБ в графене, а также изучение прочности графена с учетом влияния температуры и дефектов является актуальным, и может быть эффективно проведено с помощью методов молекулярно-динамического моделирования.
Цель работы: Изучение методами молекулярно-динамического моделирования влияния упругой деформации на механические свойства, линейные и нелинейные колебательные моды графена, а также оценка прочности графена при деформации с учетом влияния температуры и дефекта Стоуна-Троуэра-Уолеса.
Для достижения данной цели решались следующие задачи:
определение области устойчивости плоского листа графена в трехмерном пространстве компонент плоской деформации и исследование по-слекритического поведения графена вне этой области;
оценка влияния температуры и дефекта Стоуна-Троуэра-Уолеса на прочность графена при деформации;
- расчет скоростей звука, коэффициента Пуассона, плотности фо-
нонных состояний графена при различных значениях его упругой дефор
мации;
определение условий существования одномерных морщин в графе-не, оценка влияния температуры на их устойчивость, а также установление зависимости между приложенной деформацией и основными геометрическими параметрами морщин;
определение условий существования щелевых ДБ, кластеров щелевых ДБ в графене, щелевых ДБ на краю графеновой наноленты, а также их основных параметров.
Научная новизна.
1. Впервые методами молекулярно-динамического моделирования
построена область устойчивости плоского листа графена при нулевой тем
пературе в трехмерном пространстве компонент плоской деформации (xx,
yy, xy). Проведен анализ послекритического поведения листа графена вне
области устойчивости.
-
Параметры одноосных морщин в графеновых нанолентах с закрепленными краями могут контролироваться путем приложения упругой деформации и изменением ширины наноленты.
-
Выявлены условия существования щелевых ДБ и их кластеров в деформированном графене. Исследован обмен энергией между ДБ в кластерах.
-
Щелевые ДБ на краю растянутой графеновой наноленты ориентации кресло могут существовать длительное время и их свойства зависят от величины приложенной деформации.
Научная и практическая ценность работы.
1. Основным научным результатом работы является выявление
влияния упругой деформации на механические свойства графена, опреде
ление области устойчивости плоского листа графена и анализ различных
сценариев поведения графена вне области устойчивости (разрыв, образова
ние морщин). Данные результаты имеют важное практическое значение,
поскольку различные виды упругой деформации графена позволяют кон
тролировать его свойства.
2. Полученные численные результаты по влиянию упругой деформа
ции и температуры на геометрические параметры одномерных морщин
графена могут быть использованы для управления свойствами материала.
Установлено, что морщины в графеновых нанолентах с большей энергией
образования более устойчивы по отношению к тепловым колебаниям.
3. Доказательство существования щелевых ДБ в деформированном
графене и на краю растянутых графеновых нанолент открывает возмож
ность исследования влияния ДБ на зарождение дефектов кристаллической
структуры и на прочность графена.
На защиту выносятся следующие положения.
1. Определена область устойчивости бесконечного листа графена в пространстве плоской деформации общего вида при нулевой температуре.
2. В области устойчивости плоского листа графена исследовано
влияние упругой деформации на такие важные характеристики материала,
как скорости звука, фононные спектры и коэффициент Пуассона. В частно
сти, обнаружено появление щели в фононном спектре при определенных
видах деформации.
-
Описано послекритическое поведение графена вне области устойчивости и показана возможность управления параметрами одномерных морщин в графене с помощью приложения упругой деформации определенной величины и вида и изменения ширины наноленты.
-
Показана возможность существования щелевых ДБ в деформированном графене и на краю растянутой графеновой наноленты. Оценены основные характеристики щелевых ДБ. Изучены кластеры ДБ в графене и описана возможность обмена энергией между ДБ в кластерах.
Апробация работы. Автором работы были сделаны устные и стен
довые доклады на следующих научных конференциях: Школа-
конференция стран СНГ «Ультрамелкозернистые и наноструктурые мате
риалы» (Уфа, 2008, Уфа, 2010, Уфа, 2012), Международная школа-
конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундамен
тальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2010, Уфа,
2011); 8th International Workshop on Auxetics and Related Systems AUXETICS
2011, Poland, Szczecin; Международная школа-семинар "Эволюция дефект
ных структур в конденсированных средах” (Барнаул, 2010, Барнаул, 2012);
International Symposium on Atomistic Modeling for Mechanics and Multiphys-
ics of Materials 2011, Tokyo, Japan; International conference Bulk Nanostruc-
tured Materials (Ufa, 2009, Ufa, 2011), Всероссийская молодежная школа-
конференция «Современные проблемы металловедения» 2011, г. Пицунда,
Абхазия.
Вклад автора. Личный вклад автора заключается в подготовке программ для проведения расчетов, в обработке полученных результатов, в обсуждении результатов и планировании численного эксперимента, в написании тезисов докладов и статей. Стандартный набор межатомных потенциалов для моделирования углеродных структур был предоставлен А. В. Савиным. В работе также использованы результаты, полученные сотрудником ИПСМ РАН Е. А. Корзниковой (исследование дискретных бри-зеров на краю графеновой наноленты) с помощью программ, подготовленных автором диссертации и основываясь на ранее полученных соискателем результатах. Задачи численных экспериментов по диссертационной работе сформулированы научным руководителем С. В. Дмитриевым. Обсуждение и интерпретация экспериментальных результатов проводились совместно с научным руководителем и соавторами публикаций при непосредственном участии соискателя. Основные положения и выводы диссертационной работы сформулированы автором.
Публикации. Результаты исследований опубликованы в виде 18 научных статей в рецензируемых журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 150 наименований. Работа изложена на 140 страницах машинописного текста, содержит 46 рисунков.
Теоретические методы и компьютерное моделирование при исследовании графена
В настоящее время наряду с экспериментальными методами исследования графена на передний план выходят так же теория и компьютерное моделирование. Поскольку производство графена все еще является довольно трудоемким и дорогостоящим процессом,
экспериментальные исследования графена являются затратными, и многие задачи могут быть решены с помощью моделирования. Особенностью данного материала является его двухмерность, что значительным образом облегчает применение атомистических моделей, визуализацию результатов моделирования и позволяет получать реалистичные результаты.
Для получения фононного дисперсионного соотношения графена широко применяются расчеты из первых принципов. При этом теория функционала плотности (DFT) [94, 95] используется для определения основного состояния системы, а теория возмущений функционала плотности (DFРT) [96-98] для определения линейного отклика системы на возмущение, связанное со смещением ионов. Расчеты спектров фононов в графене и производных материалах с помощью описанных методов были проведены в работах [99-102].
Для более точной характеристики структуры графена при конечных температурах было выполнено моделирование равновесной структуры графена методом Монте-Карло [12]. Было показано, что на поверхности графена самопроизвольно образуются волны длиной около 80, что находится в хорошем согласии с экспериментальными данными. Прямой расчет равновесной структуры графена при конечных температурах был проведен в [103] с использованием метода Монте-Карло и эмпирических потенциалов.
Для расчета фононной теплопроводности углеродных наноструктур используются метод неравновесной МД [104], метод равновесной МД [105] и метод однородной неравновесной МД [106, 107]. Отметим, что метод атомистического моделирования хорошо зарекомендовал себя так же при расчете теплопроводности УНТ, микроскопическая структура которых подобна структуре графена [108].
В работе [109] были проанализированы важные для расчетов теплопроводности свойства эмпирических потенциалов, используемых в МД моделировании углеродных структур. Показано, что использование потенциалов Терсофа [110], и Бреннера [111] приводит к получению заниженных значений скорости звука фононных мод LA и TA и, в большинстве случаев, к завышенным значениям параметра Грюнайзена по сравнению с экспериментальными значениями, и величинами, полученными из первопринципных расчетов с использованием метода функционала плотности. Однако, существует модифицированный набор параметров для потенциала Бреннера [112], который позволяет уточнить вид дисперсионных кривых и значения скоростей звука, так что их значения становятся близкими к экспериментальным. Все межатомные потенциалы подгоняются под определенные параметры, известные из эксперимента, такие как параметр решетки или дисперсионные кривые. Межатомные потенциалы для моделирования углеродных структур содержат парную часть, однако в целом являются многочастичными. Каждый потенциал имеет свои достоинства и недостатки, поэтому для решения различных задач необходимо выбирать потенциал, который поможет решить поставленную задачу наилучшим образом.
Потенциал Бреннера является наиболее распространенным для моделирования углеродных структур. Отметим, что данный набор межатомных потенциалов был апробирован при решении целого ряда задач, например, при изучении динамики уединенных плоских волн в углеродных наноструктурах [113], поведения нанолент при осевом нагружении [11], модулей Юнга в графене [114]. В нашей работе использовался потенциал Бреннера с модифицированным набором параметров [112].
Опишем данный потенциал более подробно. Пусть гг] - длина рассматриваемой связи двух атомов углерода, с индексами і и j, а 9U, ві2 и 0У,15 в]2 - углы, образованные валентными связями (рисунок 1.5). Тогда энергия взаимодействия будет [111]
Другим межатомным потенциалом для графена является стандартный набор межатомных потенциалов, учитывающий деформацию валентных и торсионных углов [89, 115]. Данный потенциал был успешно использован для расчета теплопроводности графеновых нанолент со свободными краями [115], теплопроводности графеновых нанотрубок [116], свойств ДБ в графеновых нанотрубках [93], колебательных мод, локализованных на краю графенового листа [88,90].
Рассмотрим примитивную ячейку графена, определяемую векторами трансляции a1,a2 (рисунок 1.6 a), которая содержит два атома, с тремя степенями свободы компонентами вектора перемещения. Ось х совпадает с направлением «зигзаг», а ось у с направлением «кресло». Обратное пространство графена представлено на рисунке 1.6 б, где заглавными греческими буквами обозначены высокосимметричные точки и направления первой зоны Бриллюэна.
Обозначим длину валентных связей в недеформированном графене р0 = 1.418 , тогда равновесный параметр решетки равен а = Щ = \сг2\=
Высококогерентные ориентации деформированного листа графена на нереконструированной подложке кремния
Эффективность солнечных батарей на основе кремния можно повысить, используя графен, как полупрозрачный электрод. Хорошо известно, что физические свойства межфазных границ во многом определяются их кристаллографией. Межфазные границы с решеткой совпадающих узлов (РСУ) высокой плотности, как правило, имеют особые физические свойства по сравнению с прочими взаимными ориентациями контактирующих кристаллов. Степень когерентности листа графена с подложкой из монокристалла кремния можно варьировать, изменяя его ориентацию. Кроме того, для достижения более высокой степени когерентности, графен можно подвергнуть малой деформации.
Изучим степень когерентности графена на неперестроенных подложках Si (100) и Si (111), изменяя ориентацию листа графена и прикладывая к нему малую упругую деформацию.
Неперестроенная подложка Si(100) представляет собой квадратную решетку с векторами трансляции a(1,0) и a(0, 1), где a = c/ф.А, и обозначается как A. Неперестроенная подложка Si (111) представлена треугольной решеткой с векторами трансляции a(1,0) и (a/2)(і, /з) и обозначается как A2 . Примитивная ячейка графена, обозначена как B , и имеет вектора трансляции b(1,0) и (b/2)(і, /з). Решетка, повернутая относительно решетки в на угол а, обозначается как Ва. Эта решетка формируется векторами b(cosa,sma) и (й/2)( cos а - ф sin a, sin а + ф cos а). Отметим, что при а = 0 направление зигзаг (кресло) в графене ориентировано вдоль абсциссы (ординаты). Нами был проведен анализ когерентности решетки графена В с подложкой кремния с решетками А1 и А2. Рисунок 2.15 – Анализ когерентности графена на подложке Si(100). Обратная плотность РСУ для Si (a) и графена (б) показана как функция угла ориентации для шести высококогерентных ориентаций Нами была исследована когерентность поверхности графен/Si(100). На рисунке 2.15 показана обратная плотность РСУ на поверхности Si(100) (решетка на рисунке 2.15 а) и графена (немного деформированная решетка A1 В на рисунке 2.15 б) как функция угла ориентации . Из рисунка видно, что () имеет период 30. На рисунке 2.16 а-е, структура узлов представлена для точек а-е, показанных на рисунке 2.15, соответственно. Атомы Si(100) (решетка А,) показаны черными точками. В данном случае, атомы решетки графена были разделены на две подрешетки, где одна часть атомов, занимает положения решетки в, а другая часть атомов занимает положения, смещенные от в на вектор (й/2)(і,і/ ). На рисунке 2.16 две подрешетки графена, повернутые на угол а показаны большими и маленькими точками, соответственно. Два вектора трансляции РСУ показаны стрелками, причем примитивная ячейка создается векторами и параллельными им линиями. Чтобы получить эту РСУ, решетка графена была деформирована с компонентами sxx, Syy, sxy или главными компонентами (е,, е2) (смотри таблицу 2).
В таблице 2 описаны все шесть высококогерентных ориентаций графена на поверхности Si(100). Величины Z(Si) и Е(графен) дают обратные плотности совпадающих узлов решеток А1 и ва деформированных на єхх, єуу, єху, соответственно; U описывает плотность энергии упругой деформации, необходимой, чтобы получить РСУ. Напомним, что решетка ва это одна из подрешеток графена. Вторая решетка так же должна быть рассмотрена в расчете действительной плотности совпадения атомов Si и С, обозначенной как E (Si) и Е (графен), соответственно. В некоторых случаях, например, как показано на рисунке 2.16 в-е, вторая подрешетка графена (маленькие серые точки) не имеет атомов, совпадающих с поверхностью кремния, и тогда Z (Si) = E(Si) и Е (графен) = 2Е(графен). В других случаях (рисунок 2.16 а и б), один атом второй подрешетки графена в трансляционной ячейке РСУ совпадает с атомом кремния с высокой точностью и тогда z (Si) = l/2Z(Si) и Z (графен) = z (графен). В расчетах предполагалось, что точки второй подрешетки графена совпадают с точками решетки А1 с высокой точностью, если их точное совпадение может быть достигнуто приложением главных деформаций не больше чем деформации, использованные чтобы получить РСУ для решетки Ах и первой подрешетки графена ва.
Отметим, что наименьшие величины E (Si) и Z (графен) тем больше, чем выше когерентность. Наиболее когерентные узлы имеют а = п30 при целых и, т.е., и = о,±1,±2.... Для этих уз лов существуют E 4(Si) и Е 21 (графен), и каждый четвертый (двадцать первый) атом Si (С) совпадает с атомом С (Si), соответственно. Чтобы получить такую РСУ, графен был продеформирован на ех= 0.0193 и е2 = 0.0087, что соответствует f/= 2.6x10 4 ТПа. Обеположительные компоненты главных деформаций показывают, что графен слегка растянут в двух направлениях. Такие малые деформации могут быть легко реализованы на практике в виде однородного растяжения или формированием решетки дислокаций несовпадения малой плотности.
Следующие наиболее когерентные узлы имеют а = п30, 2 9(Si) и 2 48(графен), где для точного совпадения графен был продеформирован на е1 =0.0193 и е2 =0.0070. Отметим, что узлы такой когерентности имеют те же углы ориентации, что и наиболее когерентные. Не смотря на то, что 2 для второй наиболее когерентной ориентации больше, чем для наиболее когерентных узлов, это может быть энергетически более выгодно, поскольку его U мала. Среди шести выс око когерентных узлов, те, что имеют наименьшую плотность энергии (f/ = i.3lxio4 ТПа) являются четырьмя наиболее когерентными и их E 16(Si) и Е 86 (графен) в четыре раза выше, чем для наиболее когерентных ориентаций. Это показывает, что энергия, необходимая для получения РСУ это не просто монотонная функция когерентности.
Так же была исследована поверхность графен/8і(111). На рисунке 2.17 шесть наиболее когерентных ориентаций графена (слабо деформированная решетка на рисунке 2.17 б) на поверхности кремния Si (111) (решетка А2 на рисунке 2.17 б) показана, как обратная плотность РСУ для Si и графена как функция угла ориентации а. Период функции Ца) равен 60. Рисунок а-е аналогичен рисунку 2.16 а-е, но для поверхности Si (111) и для точек, показанных на рисунке 2.17 буквами а-е, соответственно.
Морщины в графеновой наноленте с закрепленными краями, возникшие под действием сдвиговой деформации
Результаты, представленные на рисунках 3.2, 3.3 были получены для бесконечного плоского листа графена из анализа его устойчивости и расчета главных мембранных сил. Теперь перейдем к обсуждению влияния граничных условий, рассматривая наноленты зигзаг и кресло с закрепленными краями (см. рисунок 1.7).
Выберем величины деформаций из области 2 (где т1т2 0, см. рисунок 3.2) и найдем конфигурацию с минимальной энергией для наноленты с закрепленными краями, рассматривая перемещения не только в плоскости, но и из плоскости листа.
Нанолента зигзаг (кресло) в данной модели имеет закрепленные края вдоль оси х (у), в то время как по нормали к краю были приложены периодические граничные условия. Ширина наноленты определялась количеством элементарных ячеек N вдоль у (х) для наноленты зигзаг (кресло). Действительная ширина наноленты, зависящая от N и приложенной деформации, может быть рассчитана как лЦл32)(1+ ) для наноленты зигзаг и Na(1+sJ) для наноленты кресло. Длина наноленты определяется количеством примитивных ячеек М вдоль х (у) для наноленты зигзаг (кресло). Действительная длина наноленты определяется, как Ма(і + Єхк) для наноленты зигзаг и для наноленты кресло. На рисунке 3.4 для наноленты зигзаг шириной N = 10 показана минимальная потенциальная энергия как функция длины наноленты м при деформации е„ = -о.23., е =0.23, и є = о. Когда потенциальная энергия Е имеет минимум, длина наноленты близка к целому числу длин волн морщин (показано цифрами от 1 до 6). Отсюда можно оценить длину волны морщин в бесконечно длинной наноленте, которая составляет т = 46.5/6 = 7.75 единичных ячеек. Действительная длина волны морщин равна Л = та(\ + єхх) = \4.1 А. Далее мы будем всегда использовать этот метод, чтобы оценить длину волны морщин. На рисунках 3.5 а-в, показаны двумерные примеры устойчивых морщин в наноленте зигзаг с закрепленными краями для деформации в точках A, B, и C (рисунок 2.2 б), соответственно. Здесь сдвиговая деформация =0.1 во всех случаях, при (а) „=-0.25, =0.25, (б) „=0, „=0, и (в) „ = 0.1, =-0.1. Темные и светлые атомы углерода имеют положительные и отрицательные смещения из плоскости, соответственно. Закрепленные атомы на границе показаны черным цветом. Нанолента зигзаг имеет ширину N = 20 и энергия расчетной ячейки минимальна при длине наноленты (a) М = 55, (б) М = 61 и (в) М = 65. Ориентация морщин на рисунке 3.5 находиться в согласии с ориентацией соответствующих сегментов линий на рисунке 3.3 б. Аналогичные результаты были получены для наноленты кресло. Рисунок 3.4 - Потенциальная энергия из расчета на атом в состоянии с минимальной энергией для наноленты зигзаг шириной N = 10 как функция длины наноленты м. Нанолента была однородно деформирована при Єхх = -0.23 ., sw = 0.23 , и?=0, и отрелаксирована до конфигурации с минимальной потенциальной энергией. Когда энергия минимальна, длина наноленты близка к целому числу длин волн (показано цифрами от 1 до 6) На рисунке 3.6, для (a) е =0 и (б) =0.1 , показано как область устойчивости наноленты изменяется с изменением ее ширины, N. Границы области устойчивости е» 0 , ауу 0 (е« 0 , 0 ) были получены для наноленты зигзаг (кресло). Ширина наноленты N указана рядом с соответствующией кривой. Границы устойчивости для бесконечного листа графена соответствуют N = oo. Очевидно, что граничные условия закрепления стабилизируют плоскую форму наноленты тем сильнее, чем уже нанолента. Рисунок 3.5 - Примеры устойчивых морщин в наноленте зигзаг с закрепленными краями для компонент деформации (a) є = -0.25 , sw = 0.25; (б) „=0 , єуу=0 и (в) „=0.1 , sw =-0.1 , во всех случаях =0.1 . Соответствующие точки в области деформаций показаны на рисунке 3.3 б буквами A, B, и C. Темные и светлые атомы углерода имеют положительные и отрицательные смещения из плоскости, соответственно. Закрепленные атомы на границе показаны черным Рисунок 3.6 - Границы области устойчивости плоской графеновой наноленты ширины N для (a) s = о и (б) = 0.1. Границы области устойчивости при е„ 0 , єуу 0 (Єхх 0 , Syy 0 ) были получены для наноленты зигзаг (кресло). Цифры рядом с кривыми соответствуют ширине нанолент, N. Граница области устойчивости бесконечного листа графена соответствует А/" = 00 Покажем, как амплитуда и длина волны морщин зависят от деформации. Рассмотрим наноленту зигзаг шириной N = \5 при деформации с компонентами єуу = 0.2 , є = о, где компонента єхх меняется так, чтобы двигаться вдоль горизонтальной пунктирной линии на рисунке 3.6 а. Пунктирная линия пересекает границу области устойчивости наноленты шириной N = \5 при = -0.122 (точка пересечения отмечена кругом на рисунке 3.6 а). Зависимость амплитуды морщин А от деформации показана на рисунке 3.7 (a). Соответствующее изменение длины волны морщин, представленное в количестве примитивных ячеек, т, и ангстремах, Л, показано на рисунке 3.7 б, в, соответственно. Амплитуда морщин равна 0, при єхх є хх =-0.122 , что свидетельствует об устойчивости плоской конфигурации наноленты. В области Sxx s амплитуда морщин возрастает как А « є -є . При этом, длина волны морщин очень медленно изменяется с деформацией. Аналогичные результаты по зависимости А и Л от деформации, полученные для наноленты кресло.
На рисунке 3.8 для наноленты зигзаг показана длина волны морщин при „ = -0.23 ., уу= 0.23, и sw = 0, измеренная в (a) количестве примитивных ячеек, т, и (б) ангстремах, Л. Длина волны возрастает с увеличением N нелинейно для N 30, в то время как для больших N возрастает почти линейно. Похожую линейную зависимость длины волны морщин от ширины наноленты была получена для наноленты кресло.
Кластеры дискретных бризеров и обмен энергией между бризерами
На рисунке 4.3 показаны одиночный ДБ, а также различные кластеры ДБ в структуре деформированого графена, содержащие два (B), три (C), и четыре (D и E) ДБ. ДБ в кластерах пронумерованы.
Пара ДБ, обозначенная на рисунке 4.3 как В, возбуждалась путем задания uBi (о) = 0.084р0 и иву2 (о) = 0.14р0. На рисунке 4.4 a и a , соответственно,
показаны амплитуды и частоты B\ и B2 для рассматриваемой пары ДБ как функции безразмерного времени. Можно видеть, что в данной возбужденной паре ДБ начальная амплитуда B і намного меньше В2 и он исчезает после 700 колебательных периодов. С другой стороны, B2, имеющий большую начальную амплитуду, погибает после 2600 колебательных периодов.
Рисунок 4.4 - Амплитуда, A, и частота, со, для пары ДБ B1 и B2, возбужденных при начальных условиях (a), (a ) uyB 1 (0) = 0.084р0 и uyB 2 (0) = 0.14А ; (б), (б ) uyB 1 (0) = 0.124р0 и uyB 2 (0) = 0.14А ; и (в), (в ) uyB 1 (0) = 0.1275А и
На рисунке 4.4 б и б показано тоже, что и на рисунке 4.4 a и a , но для начальных условий иву1(о) = ОЛ24р0 и иву2 (о) = 0.14р0. Здесь, начальные амплитуды и частоты двух бризеров в паре близки. Периодическое изменение амплитуд ДБ означает обмен энергией между ними в течении 700 колебательных периодов. После излучения части энергии и уменьшения амплитуды оба бризера имеют почти одинаковые амплитуды и исчезают одновременно после 1500 колебательных периодов.
На рисунке 4.4 в и в показано тоже, что на рисунке 4.4 a и a , но для начальных условий ив; (0) = 0.1275 А и иву2(о) = ОЛ4р0. В этом случае, обмен энергией между ДБ таков, что в среднем они имеют равную амплитуду. Время жизни такой пары составило 1200 .
Результаты, представленные на рисунке 4.4 позволяют предположить, что для разных начальных условий, ив; (о) и ив; (о), могут быть обнаружены различные сценарии поведения ДБ в кластерах. Максимальная и минимальная амплитуды ДБ B\ и B2 (а ,а ,а ях и af2m), измеренные в течении около 100 tl 0, показаны на рисунке 4.5 как функции uBy2{Q ) = uBi{Q ). На рисунке 4.5 мы поддерживали постоянное значение начального смещения атома B2 в бризере (а) г/2(о) = 0.14А, и (б) иву2(о) = ОЛЗРо. Видно, что существуют три различных режима обмена энергией между Bг и B2. В режиме I, для 2(o) = w (o) 0.7 на рисунке 4.5 a и иву2 (о) = uf (о) 0.75 на рисунке 4.5 б, B! имеет амплитуду больше, чем B2 и обмен энергией между
В\ и B2 уменьшается с уменьшением uB2(o) = uBl(o). В режиме II, для 0.7 иу2 (о) = uBl (о) 1.12 на рисунке 4.5 a и 0.75 иву2 (о) = и81 (о) 1.08 на рисунке 4.5 б, В\ и B2 в среднем имеют одинаковую амплитуду. Разница в максимальной и минимальной амплитудах двух бризеров отсутствует для иВ2(о) = иВі(о) = \ и увеличивается с отклонением от 1 что свидетельствует об увеличении обмена энергией между Bj и B2. Этот режим приведен на рисунке 4.4 в и в . В режиме III, 2(o) = w (o) 1.12 на рисунке 4.5 a и
uy2(o) = uyl(o) l.OS на рисунке 4.5 б, В2 имеет амплитуду большую чем Bь Разница между минимальной и максимальной амплитудами для обоих бризеров возрастает с уменьшением uy2(o) = uBl(o). Этот пример показан на рисунке 4.4 б и б .
Кластер С из трех ДБ был возбужден как показано на рисунке 4.3. На рисунке 4.6 a, a показаны, соответственно, амплитуды и частоты трех ДБ как функции безразмерного времени, что соответствует начальным условиям ису1 (о) = исуъ (о) = 0.14р0 и w 2(o) = 0.119p0. Видно, что C2 имеет начальную амплитуду меньше, чем C, и C3 и исчезает после 1700 колебательных периодов, в то время как Cі и C3 исчезают при t = 38000.
На рисунке 4.6 б, б показано тоже, что на рисунке 4.6 a, a , но для начальных условий ис; (о) = ifj (о) = 0.14р0 и 2(о) = -0.119р0. Здесь у всех трех бризеров близкие начальные амплитуды и имеет место частичный обмен энергией между ними. Cі и C3 исчезают при t = 33000, однако, они отдают часть своей энергии С2, который живет до t = 50000.
