Содержание к диссертации
Введение
2 Модель с конформным скатыванием 13
2.1 Линейное приближение 13
2.1.1 Возмущения фазы 13
2.1.2 Возмущения модуля 15
2.2 Влияние инфракрасных радиальных мод на возмущения фазы: первый порядок по fa, 17
2.3 Статистическая анизотропия 19
2.3.1 Первый порядок по h 19
2.3.2 Порядок h2: вклад глубоко инфракрасных мод 20
2.4 Генезис с галилеоном и конформное скатывание 21
2.4.1 Явная проверка 21
2.4.2 Общее доказательство 24
2.5 Негауссовость 26
2.5.1 Гамильтониан 26
2.5.2 Спаривание и Т-произведение 28
2.5.3 4-точечные функции. Координатное представление 29
2.5.4 4-точечные функции. Импульсное представление. Лидирующий вклад 31
2.5.5 Формы негауссовости 36
2.5.6 Четырехточка без приближений 41
3 Псевдоконформная модель 50
3.1 Классическое решение 50
3.2 Гравитационные возмущения 56
4 Массивная гравитация 64
4.1 Метод 64
4.1.1 Пропагатор П(к) в зависимости от параметров 64
4.1.2 Собственные значения и их неоднозначность 65
4.1.3 Спектр и фазовая диаграмма 67
4.1.4 Духи, тахионы, сверхсветовые частицы и DVZ скачки . 67
4.2 Пример: Лоренц-нарушающая массивная гравитация 70
4.2.1 Общая структура, примеры 70
4.2.2 Явные формулы 72
4.3 Смешивание с другими полями, теория Калуцы-Клейна 80
4.3.1 Пример калуца-клейновского гравитона, d + 1 = 5 —> d = 4 80
5 Заключение 85
6 Приложение: структура собственных значений в зависимости от параметров 87
6.1 Деформации четырех пересечений 87
6.2 Последовательный анализ бифуркаций 88
6.3 Примеры 89
6.4 Структура расслоения
- Влияние инфракрасных радиальных мод на возмущения фазы: первый порядок по fa,
- Гравитационные возмущения
- Собственные значения и их неоднозначность
- Последовательный анализ бифуркаций
Введение к работе
Актуальность темы исследования.
На нынешнем этапе развития теоретической космологии и наблюдательных методов можно многое с уверенностью сказать не только о современной Вселенной, но и о ее прошлом. Основой космологии служит модель горячего Большого взрыва, которая описывает эволюцию Вселенной, по крайней мере начиная с температур порядка 1 МэВ, и во всем согласуется с экспериментом. Однако, если рассматриваются совсем ранние этапы развития Вселенной, в такой модели обнаруживаются внутренние теоретические проблемы, связанные с тонкой подстройкой начальных данных.
В первую очередь, Вселенная, по крайней мере видимая ее часть, раньше состояла из 1089 причинно не связанных областей, так что априори на небе должно было бы наблюдаться большое количество сильно непохожих областей. Однако хорошо известно, что температура микроволнового фона изотропна с высокой точностью. В данном противоречии заключается суть проблемы горизонта.
Кроме того, современная Вселенная является с хорошей точностью плоской: из данных WMAP 2007 года, например, следует следующее ограничение на вклад кривизны в уравнение Фридмана:
-0.0178 <к< 0.0063 ,
на уровне достоверности 95%. Принимая во внимание то, что относительный вклад кривизны растет на материально- и на радиационно-доминированной стадиях, можно заключить, что в планковскую эпоху плоскостность находилась на уровне ^ < 10-60. В теории горячего Большого взрыва это число не имеет естественного объяснения. В этом заключается суть проблемы плоскостности.
Современное значение энтропии Вселенной оценивается величиной 1088. В теории горячего Большого взрыва эволюция, грубо говоря, яв-
ляется равновесной, так что энтропия существенно не менялась. Это означает, что столь огромное значение энтропии было изначальным, что, опять же, не находит естественного объяснения в рамках теории горячего Большого взрыва.
Последней, наиболее важной для нас проблемой является наличие первичных неоднородностей. Их существование не объясняется в теории горячего Большого взрыва. Более того, эти возмущения имеют ряд нетривиальных свойств. Например, они с хорошей точностью описываются единственной случайной величиной ((х). Кроме того, эта случайная величина оказывается практически гауссовой, а ее спектр мощности - практически плоским.
Чтобы избежать этих проблем, приходится предположить, что начальная стадия эволюции Вселенной сильно отличалась от той, что предполагается в теории горячего Большого взрыва. В частности, на этой стадии должна происходить генерация первичных возмущений. Учитывая их гауссовость, естественно предположить, что эти возмущения являются усиленными вакуумными флуктуациями. Наиболее известной моделью ранней Вселенной является инфляция (Старобинский'1979, Гут'1981, Линде'1982, Альбрехт и Стейнхардт'1982). Основная ее идея заключается в том, что до начала горячей стадии была эпоха почти экспоненциального расширения. Это позволяет решить проблему горизонта и плоскостности, а приближенная симметрия де Ситтера, которой обладает пространство-время на этой стадии, ответственна за плоскостность спектра (Муханов и Чибисов'1981). Наиболее просто инфляция реализуется в модели с одним дополнительным скалярным полем ф, которое медленно скатывается вдоль своего потенциала У(ф). Впоследствии реализуется стадия разогрева, после которой следует стандартная горячая стадия.
На данный момент модель инфляции находится в согласии с экспериментальными данными. Тем не менее, имеет смысл рассматривать аль-
тернативные теории. Другой моделью, менее популярной, но также решающей проблемы теории горячего Большого взрыва, является модель экпирозиса. В этой модели горячей стадии предшествовала эпоха медленного сжатия со сверхжестким уравнением состояния р ^$> р (Кхури и др.'2001). В рамках моделей экпирозиса сгенерировать первичные возмущения немного сложнее, чем в инфляции, но тоже возможно. Для этого вводится дополнительное поле, которое после определенной подстройки параметров приобретает плоский спектр.
Другой альтернативой служит класс моделей с конформной инвариантностью (Рубаков'2009, Креминелли и др.'2010). В этих моделях предполагается, что до горячей стадии была эпоха, когда действие было конформно инвариантным. В обеих моделях главной компонентой является скалярное поле, эволюционирующее во Вселенной. В первой модели это комплексное скалярное поле со стандартным кинетическим членом и отрицательным потенциалом четвертой степени, а во второй - два действительных скалярных поля, одно из которых имеет необычный кинетический член с производными второго порядка. Несмотря на существенное различие в мотивации и динамическом описании, эти две модели приводят к одному и тому же механизму генерации скалярных космологических возмущений. С этой точки зрения все сводится к модели с двумя скалярными полями р и G с лагранжианом
L = Lp + \р2 (д,в)2 , (1)
где Lp определяет динамику поля р. Требуется, чтобы при растяжениях поле р преобразовывалось следующим образом: р(х) —> \р(\х); предполагается, что имеет место нетривиальный фон рс. Поле G растягивается тривиально, О (ж) —> в(Аж); возмущения поля G являются предшественниками адиабатических мод. Нужно потребовать, чтобы на протяжении всего периода генерации возмущений G влияние гравитационных эффектов на динамику этих двух полей было незначительным, и предположить
пространственную однородность фона рс. Тогда можно однозначно найти эволюцию поля р:
Рс{хо) = , х0 < 0 , (2)
где Хо = г] - конформное время в модели с конформным скатыванием и хо = t - физическое время в модели генезиса. В обеих моделях после эпохи конформной эволюции предполагается отскок или разогрев, после которого наступает горячая стадия. В целом, концепция похожа на инфляционную, однако динамика сильно отличается. Столь же естественно, как и в инфляции, в моделях с конформной симметрией возмущения скалярного поля приобретают плоский спектр мощности, причем предполагается, что спектр не искажается на стадии разогрева при переработке возмущений скалярного поля в адиабатические возмущения. Однако, более тонкие экспериментальные следствия этих моделей сильно отличаются от инфляционных. Во-первых, в моделях с конформной инвариантностью скалярные возмущения получают негауссовость необычной формы; во-вторых, как было показано ранее (Либанов и Рубаков'2010), они становятся анизотропными; в-третьих, в конформных моделях практически не генерируются гравитационные волны. Основной задачей данной диссертации является изучение специфических свойств первичных возмущений в конформных моделях, которые позволяют отличить эти модели от инфляционных.
Модели с псевдоконформной инвариантностью могут приводить к эволюции, похожей на экпирозис (Кхури и др. 2012). Простейшим примером служит теория с действием
S = / с14Хл/^д
\ЯФ\2 + -4\
(3)
В такой модели на ранних этапах происходит медленное сжатие со сверхжестким эффективным уравнением состояния. Спектр скалярных возмущений в этой модели хорошо изучен, более того, в этом режиме известен спектр тензорных возмущений. Одним из результатов диссертации
является нахождение другого, быстрого режима эволюции на поздних временах и вычисление спектра тензорных возмущений на нем.
В последнее время вновв привлекает внимание теория массивной гравитации (Фирц и Паули'1939), отчасти из-за того, что современная Вселенная расширяется с ускорением. Ускоренное расширение может интерпретироваться как проявление темной энергии, но может указывать и на инфракрасную модификацию гравитации. Однако, нарушение общей ковариантности, как давно известно, дает ряд нетривиальных эффектов, таких как появление духов или выход из режима слабой связи на малых расстояниях. Более того, при попытке избавиться от духов появляются скачки ван Дама-Велтмана-Захарова (DVZ) и нестабильности Бульвара-Дезера. На самом деле, по-видимому, от этих проблем можно избавиться, если пожертвовать Лоренц-инвариантностью (Дубовский'2004, Рубаков и Тиняков'2008), что позволяет расширить количество возможных массовых членов и обойти все сингулярности в пространстве параметров. Следует отметить, что эти члены могут быть очень малы (например, порядка космологической постоянной) и не проявляться в эксперименте. Возможность избежать патологий была показана для линеаризованной гравитации с квадратичным действием
= 1 2 I ^^oiX\fiv Т КцК/з'Г/аи і KvKaTJii^ + КуК/з'Г/ац I —
- (kvhriap + kakprj^) - ^к2(гі^аг]ир + г]иаг]^) + к2г\^г\аЛ h'IuhaP+
+m2QhlQ + 2m2h2Qi - т\Щ + т\Н% - 2m2Jimhii, (4)
где первая и вторая строки являются квадратичным приближением действия Гильберта-Эйнштейна, а третья строка содержит пять различных массовых членов, нарушающих и калибровочную (общекоординатную), и лоренцеву SO(d— 1,1) инвариантность, но сохраняющих пространственные вращения SO(d— 1). Теория имеет также симметрию относительно
отражений Р и Т, так что все скалярные физические величины зависят от квадратов ш2 и к2 частот и пространственных импульсов. Лоренц-инвариантность восстанавливается, если пять массовых параметров выражаются через две независимые величины А и В:
т\ = В - А, т\ = т2, = А, т\ = т\ = В, a tC^ap в (4) приводится к
"^ ( кцКаГ/fjjy + КцК[з'Цаі> + кикаГ)рц + kvkfi'f}ail ) — ( кцкиГ)ар + кдкр'Ц^у ) —
--(А;2 + А) [гіцагіур + rivari^j + (k2 + В)г]^г]аГі. (5)
Лоренц-инвариантная массивная гравитация без духов отвечает случаю А = В (массивная гравитация Паули-Фирца). Этот случай, однако, тоже имеет вышеперечисленные проблемы, и потому не выглядит жизнеспособным. Лоренц-нарушающие теории (4) могут не иметь духов при то = 0 или ті = 0, и второй выбор сейчас является наиболее предпочтительным с точки зрения феноменологии.
Лоренц-нарушение ломает многие привычные свойства моделей квантовой теории поля и выглядит необычным во многих отношениях. Оно порождает многообразие нетривиальных квазичастиц, которые могут быть духами или сверхсветовыми частицами, или могут совсем не быть похожими на частицы. Одной из задач диссертации является проведение подробного анализа теории (4) с использованием нового метода изучения квадратичных теорий. Этот метод, разработанный в данной диссертации, основан на исследовании структуры собственных значений и позволяет эффективно выявлять патологии различных типов.
Цель работы состоит в изучении конформных механизмов генерации первичных космологических возмущений, исследовании их нетривиальных свойств, а также изучении свойств возбуждений в теории массивной гравитации.
Научная новизна и практическая ценность.
В данной диссертации исследован механизм генерации первичных скалярных возмущений в моделях с конформной инвариантностью. В частности, впервые проведено сравнение возмущений в модели с конформным скатыванием и модели генезиса и сделан вывод об их эквивалентности вплоть до первого нелинейного порядка. Одним из основных способов экспериментально отличить модели ранней Вселенной с конформной инвариантностью от инфляции является поиск негауссовости космического микроволнового фона. В данной диссертации впервые рассчитана негауссовость в модели с конформным скатыванием на уровне четырехточечной корреляционной функции полей (трехточечная равна нулю). Проведено ее сравнение с негауссовостями локальных форм и негауссовостью, получаемой в простейших моделях инфляции, отмечены особенности, позволяющие экспериментально отличить класс моделей с конформной симметрией от инфляции.
Подробно изучена псевдоконформная модель. В частности, в этой модели впервые найден классический режим эволюции, соответствующий быстрому сжатию Вселенной. Кроме этого, изучены тензорные возмущения. Впервые найден спектр мощности тензорных возмущений, генерируемых в быстром режиме, и на этой основе поставлены ограничения на параметры модели.
Кроме того, в данной диссертации разработан новый метод анализа теории массивной гравитации. Метод основан на анализе собственных значений кинетической матрицы. Это позволяет просто определять дисперсионные соотношения линейных возбуждений и, следовательно, быстро выявлять патологии различных типов (духи, тахионы или сверхсветовые частицы). Следует отметить, что метод эффективен для изучения любых квадратичных теорий и легко реализуется алгоритмически.
Апробация диссертации.
Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на
научных семинарах в ИЯИ РАН и ИТЭФ, международной конференции "2th Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics"(SISSA Триест, 2009), международной школе "International School for Subnuclear Physics"(Erice, 2011), международной конференции "4th Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics"(SISSA Триест, 2011), конкурсе им. Хохлова (МГУ, 2012), на международных конференциях "5th Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics"(SISSA Триест, 2012) и "2nd Workshop on Aspects of Non-Associative and Non-Commutative Geometries in String Theory"(Стамбул, 2013). По результатам диссертации опубликовано пять работ.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из Введения, трех глав основного текста, Заключения и Приложения, содержит 114 страниц машинописного текста, в том числе 16 рисунков и список литературы из 141 наименования.
Влияние инфракрасных радиальных мод на возмущения фазы: первый порядок по fa,
Зависимость естественно представлять себе как локальный сдвиг параметра окончания скатывания т/ - Действительно, с учетом фонового решения (4), сумма Xc + xi/V , то есть радиальное поле с учетом возмущений, является линеаризацией выражения
Таким образом, инфракрасные радиальные моды модифицируют фоновое решение, превращая параметр окончания скатывания rj в случайное поле, медленно меняющееся в пространстве, как показывают формулы (19), (20).
Следует отметить, что инфракрасные моды вкладывают не только в поле #?7 (х), но и в его пространственную производную. Вклад мод, находящихся за горизонтом сегодня, то есть имеющих импульсы к Но, в флуклуацию последних дается следующим выражением где Л - инфракрасное обрезание, параметризующее наше незнание динамики в начале стадии конформного скатывания. 2.2 Влияние инфракрасных радиальных мод на возмущения фазы: первый порядок по h
Рассмотрим теперь, как взаимодействие с радиальными модами влияет на свойства возмущений фазы 59. Для этого рассмотрим возмущения мнимой части 5x2, чьи длины волн гораздо меньше характерного масштаба изменения модуля (подробнее см. [28]). Для них масштабы разделяются, и возмущения 5\2 могут все еще рассматриваться в линейном приближении, но в поле (19).
Поскольку нас заботит инфракрасная часть г/ (х), мы используем градиентное разложение, рассматривая пока область вблизи нуля, и запишем а точки обозначают члены высших порядков по х. Важно, что поле didjT) {x) имеет синий спектр мощности, так что главный эффект инфракрасных мод приходится на два члена, которые мы выписали явно в (23). Кроме того, мы предполагаем в дальнейшем, что и опускаем пока поправки порядка v2. Разложение по v допустимо, поскольку поле v(x) имеет плоский спектр мощности, так что разложение по v является, на самом деле, разложением по h, с точностью до инфракрасных логарифмов. Далее мы также проведем анализ лидирующих эффектов в порядке v2. Оставляя в (23) только два члена, мы имеем, вместо формулы (4),
Это выражение включает комбинацию т] (0) — (г/ + vx). Мы интерпретируем ее как локальный сдвиг времени и лоренцев буст изначального фонового решения (4). Заметим, что поле (25) является решением полевых уравнений (11) в нашем приближении. Такая интерпретация позволяет нам найти решения уравнения (12) с внешним полем (25) и начальным условием (16): они получаются временным сдвигом и лоренцевым поворотом исходного решения (14), (15): орядка v2 надо пренебречь. Мы рассматриваем поправки к этому решению порядка дід (х) и v2 далее в параграфах 2.3.1 и 2.3.2, соответственно.
Из уравнений (25) и (26) мы получаем, что возмущения фазы снова перестают осциллировать, когда fc[?? (x) — TJ] — 0:
Это означает, что в первом порядке градиентного разложения, которым мы пока ограничились, свойства случайного поля 59 такие же, как и свойства поля (17). Действительно, поскольку ? (х) = ? (0) — vx в (28), инфракрасные эффекты исчезают при переопределении где к и q так же связаны уравнением (27). Поскольку мера d3k/k Лоренц-инвариантна, операторы Лч, Л подчиняются стандартным коммутационным соотношениям, в то время как в нашем приближении поле (28), записанное через эти операторы, совпадает с линейным полем (17). Итак, инфракрасные радиальные моды, на самом деле, не особенно опасны, так как они качественным образом не меняют свойств поля 59. 2.3 Статистическая анизотропия
В первом порядке по h нетривиальное воздействие длинноволновых возмущений #?7 (х) на возмущения фазы появляется впервые во втором порядке градиентного разложения, то есть в порядке didjTj . Здесь мы обратим внимание на эффект от мод 5г] , чьи современные длины волн превосходят хаббловский размер. Мы имеем дело с единственной реализацией случайного поля 5г] , так что во втором порядке градиентного разложения didjfj - это просто тензор, постоянный во всей видимой Вселенной. В этом параграфе мы приведем вычисление статистической анизотропии, которая связана с этим тензором.
До сих пор мы использовали теорию возмущений по didjTj . Фон (19) больше не является решением полевых уравнений (11) во втором порядке градиентного разложения. Комбинация, входящая в уравнение (12) для возмущений мнимой части, дается теперь выражением [28]
Гравитационные возмущения
Отметим, что стандартное определение включает Vf в правой части. Это имеет смысл для локального анзатца (89), и величины в локальных моделях следующие [106]: C другой стороны, величина, которую мы можем явно найти в нашей модели -это (2,)Wx Ut5 Mk= „= ,iS = (2tf)"P# Ь т і , Э4\ . . . _ /г, \9 ,3Х / V , \ Х ,(в) где Ре = 1/(47г2), согласно (43). Величина негауссовости для в в нашей модели получается из (98) и (99), tfil = 2.87h2 . (93) Адиабатические возмущения ( пропорциональны в, а именно, С = ті , (94) где 6 - однородное фоновое значение скалярного поля, и г 1 - ослабляющий фактор, не зависящий от к ни для курватонного механизма перевода возмущений в в адиабатические, ни для механизма модулированного распада 7. Поэтому
Напомним, что мы не учитываем негауссовость, которая может генерироваться во время переработки возмущений. Таким образом, использование линейной связи между Q и в оправдано. в нашей модели величина негауссовости адиабатических возмущений следующая f - Ve № - 9 9.7 h2 tNL-V c tNL 2-87 4
Так же, как и в инфляционных моделях с такими механизмами переработки возмущений, в нашей модели мы можем получить tNL 1- Как уже обсуждалось, никаких модельно независимых ограничений на в и h нет, так что внутренняя негауссовость, о которой идет речь, вполне может преобладать над негауссово-стью, связанной с переходом от возмущений в к адиабатическим возмущениям, и быть достаточной для экспериментального наблюдения.
Отметим, однако, что в сценарии с конформным скатыванием [26], спектр мощности адиабатических возмущений сам пропорционален h2. Причина этого лежит в том, что в - поле фазы в рассматриваемой модели. С нашей нормировкой его фоновое значение ограничено сверху, это видно из формулы (45), и если не предполагать тонкой подстройки, то \в\ ж/h. Формула (94) тогда
Поэтому внутренняя негауссовость может быть значительной только для небольших факторов ослабления г. Если возмущения в переводятся в адиабатические моды с помощью курватонного механизма, негауссовость, связанная с переходом, большая для малых г, JNL т 1 [109, 110, 111, 112], так что ее вклад в триспектр, грубо говоря, одного порядка с внутренней негауссовостью. В этом случае вопрос возможности наблюдения внутренней негауссовости заслуживает отдельного изучения. Это относится и к основной массе моделей модулированного распада, в которых тоже JNL т 1 [113, 114]. Есть, однако, исключение [115]: если ширина распадающихся частиц Т{9) линейна по 9 или имеет вид Г(9) = (7о + 7і )2 (чт0 более правдоподобно с точки зрения физики частиц), тогда /JVL, 9NL будут, грубо говоря, порядка единицы даже для малых г 7i/70) и? следовательно, больших tWL. В целом можно сказать, что в сценарии с конформным скатыванием доминирование и детектируемость внутренней негауссовости возможно, но только в некоторых случаях.
Теперь перейдем к обсуждению различных форм негауссовости. Чтобы их сравнивать, мы задаем h" -f -і - щ - INL -9NL-1; тогда величины четырехточек во всех моделях схожи. Мы будем рассматривать различные пределы для функции Т. Мы пользуемся номенклатурой, используемой в [106, 116]. Первые три графика на рис. 2, 3, 4 и 5 показывают: полный триспектр Т, сингулярный вклад % и регулярную часть % в нашей модели, соответственно. Четвертый и пятый графики показывают два локальных триспектра Тїосі и Т\ос2- Отметим, что вертикальные масштабы в последних двух графиках отличаются между собой, и отличаются от вертикального масштаба первых трех графиков. Области определения на этих графиках ограничены различными неравенствами, которым подчиняются импульсы. В частности, к12 + ки 2_ кі , г=1 Jk\ + к\- 2кхкА ки J к\ + к\ + 2кхкА . Мы рассматриваем следующие пределы.
1. Равносторонний предел, к\ = /сг = кз = к . Мы представляем на графике 2 четырехточку как функцию ки/к\ и ки/к\. Сразу видна особенность Т ос к±2 ки в нашем триспектре и его сингулярной части, а также сингулярность более высокого порядка Тїосі ос кЇ2,ки в первом локальном триспектре. Как ранее было отмечено, инфляционные модели с одним полем инфлатона имеют триспектр, регулярный в точках ки — 0 и ки — 0 [106, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 116]. Таким образом, сингулярность, вызванная инфракрасным усилением радиальных мод 6р, является отличительной чертой конформных моделей. 2. Специальный планарный предел, к\ = кз = ки и kl2 = k\ + (к2к4 + /(4fc? - к\) к\ - kl)\
Четырехточки на графике 3 показаны как функции к2/к\ и к /к\. Структуры на диагонали опять появляются из-за сингулярности, теперь при к\з — 0, что соответствует к2 — к±. Отметим, что полный триспектр зануляется на границах к2 = 0 и к± = 0 (это может быть получено аналитически). Последняя черта схожа со многими инфляционными моделями [106, 116], однако отсутствует в 7Гос1 В 7Гос2 3. Дважды сжатый предел, кз = к = ки- На рис. 4 показаны следующие комбинации Г 1\кг г=1 а на рис. 5 сами триспектры Т как функции к2/к\ и k jk\. Очевидно, наш триспектр сильно отличается от локальных в таком пределе. 2.5.6 Четырехточка без приближений В этом параграфе мы проведем явное вычисление четырехточки. Как ни странно, это можно сделать полностью аналитически.
Собственные значения и их неоднозначность
Аналогично первому режиму, поставим ограничение из первичного нуклеосинтеза. В данном случае пределы интегрирования будут kmin = аоН0 и ктах = Т а Т - 1 гє l--66g?o9%reh- Последнее выражение отвечает последней моде, выходящей когда-либо за горизонт (сопоставлены уравнения = Нс и Нс = -iffr). Ис reh pi пользуя (157) и (159), мы приходим к выражению: таким образом, мы вновь получаем, что ограничения на параметры модели практически отсутствуют.
Итак, в модели псевдоконформного экпирозиса генерируются гравитационные волны с синим спектром мощности. При этом амплитуды этих гравитационных волн настолько малы, что их рассмотрение не приводит к сколько-нибудь серьезным ограничениям на парамеры модели. 4 Массивная гравитация
Напомним кратко стандартный подход квантовой теории поля к рассмотрению семейства физических теорий [133], и приспособим его к изучению линеаризованной гравитации, в частности Лоренц-нарушающей. Физическое содержание теории лучше всего выражается в терминах производящей функции. Z(J)= ! Бф ег{8{ф)+ ф) (174) В квадратичном приближении, когда Б(ф)= [ ddk ф(-к)К(к)ф(к) (175) ddx Зф= \ ddk 1{к)ф{к)) (176) величина Z(J) является квадратичной экспонентой, Z{J) = ехр (-г- Iddk J{-k)K-\k)J{k)\ , (177) содержащей обращенную кинетическую матрицу К (к), то есть пропагатор. Это конечномерная матрица в пространстве полей ф(х): если фа{х) несет индекс а, то КаЬ(к) имеет два индекса а, Ь. В случае векторных полей а будет лоренцевым индексом /і, а в случае гравитационного поля а = (/їй) будет парой симметрич d(d+l) ных лоренцевых индексов, поэтому в этом случае а принимает v 2 различных значений, или —- - в случае бесследового поля. Наша основная задача -исследовать величину П(к) = J(—k)K 1(k)J(k).
Наиболее интересными для нас будут две характеристики П. (і) Сингулярность в П(к) означает наличие распространяющейся частицы, а положение сингулярности определяет ее дисперсионное соотношение ш = є{\к\). (ii) Величина V(fc) = П(и = 0, к) определяет мгновенное взаимодействие типа Ньютона, Кулона или Юкавы.
Производящая функция Z и ее квадратичное приближение ехр(—/П) определены на пространстве параметров Лч, и мы будем изучать сингулярности дисперсионных соотношений и потенциалов V на пространстве параметров Л4. В рамках нашей задачи координатами на Лч, параметризующими кинетическую матрицу К (к), являются массовые члены.
Нахождение дисперсионных соотношений по существу является задачей о собственных значениях К (к): грубо говоря, ш = є{\к\) - условие того, что некоторое собственное значение \(к) = 0. Однако, это " очевидное "утверждение требует более точной формулировки. Дело в том, что К на самом деле квадратичная форма, а не оператор. Это означает, что она всегда может быть приведена к каноническому виду, где она диагональна, а на диагонали стоят только ±1 и 0. Таким образом интересные нам величины, типа Х(к), пропадают. Тем не менее, это, столь же " очевидное "возражение также немного обманчиво, поскольку мы интересуемся не отдельной квадратичной формой, а целым семейством, определенным на пространстве параметров Лч. Это означает, что набор ±1 и 0 может меняться, когда мы движемся вдоль Л1, более того, может меняться степень вырождения квадратичной формы К (к). Конечно, степень вырождения (количество нулей на диагонали) - целое число, и оно меняется скачком, а потому это не очень удобная величина. Желание сделать ее гладкой приводит нас обратно к функциональным собственным значениям \(к). Однако, чтобы ввести \(к) нам потребуется дополнительная структура, например, метрика на пространстве полей.
Единственное, надо помнить, что это разложение зависит от дополнительной матрицы (метрики) I, выбор которой произволен и может даже зависеть от точки на Л4. Мы будем считать, что наша метрика на пространстве полей не зависит от точки на пространстве параметров. Более того, очевидно, что физические свойства не зависят от этого выбора, а зависят только конкретные выражения для \а(к). Заметим, что дисперсионные соотношения - нули \а(к) - не зависят от I.
Использование / также важно с другой точки зрения. Чтобы определить производящую функцию, надо разделять запаздывающую и опережающую функции Грина, что обычно делается добавлением бесконечно малого мнимого члена к кинетической матрице К (знаменитые it в фейнмановском пропагаторе). Однако, в случае кинетической матрицы это не просто it, а скорее itIF с некоторой определенной матрицей 1р. Если мы отождествим нашу I с IF, то дисперсионные соотношения будут выглядеть следующим образом \а(к) = It (181) что означает, что \а{к) на самом деле сильно отличается от —\а(к). Это тесно связано с концепцией духов.
Вероятно, наиболее естественные выборы матрицы / - это или просто единичная матрица, или "лоренцева единичная матрица то есть с -1, отвечающими О-компонентам. Физически обоснованный выбор - единичная (евклидова) матрица, однако технически часто удобнее работать с лоренцевой единичной матрицей, особенно, в теориях с ненарушенной лоренцевой симметрией. Поскольку в этих двух случаях различается только духовая составляющая, обычно безопасно (и технически проще в случае Лоренц-инвариантных теорий) использовать лоренцеву матрицу.
Важная информация о теории содержится в ее спектре: положениях полюсов в П(АА;) на комплексной А-плоскости. Эти положения определяют дисперсионные соотношения \а{ш,к) = 0 между частотой ш и волновым вектором к элементарного возбуждения (квазичастицы) и зависимость этих соотношений от точки в пространстве параметров Лч.
Как известно, в общей Лоренц-нарушающей теории дисперсионные соотношения могут быть довольно сложными, они являются корнями полиномиального уравнения и часто не имеют никакого простого аналитического выражения. Иногда их удобнее представлять в виде графиков \а{ш) или Ха(к), однако, в случае многих параметров изобразить мы можем только конкретные 2d или 3d сечения, что, конечно, не дает полной визуализации.
В основном мы будем интересоваться качественными чертами спектра и их изменениями при переходе от одной части пространства параметров к другой. Соответствующее деление пространства параметров на домены с качественно различными спектрами (и другими физическими величинами, вроде структурных функций аъ {к)) называется фазовой диаграммой теории (или, лучше, семейства теорий).
Последовательный анализ бифуркаций
Фигура из четырех пересечений, показанная на рисунке 8а, представляет зависимость четырех скалярных собственных значений от —ш2 при т\ = 0 и к2 = 0. В этом случае две горизонтальные линии представляют собой Xss = — т и Xs = ml, а две линии с наклонами +1 (обычная частица) и — (d — 2) (дух) даются выражениями XsT = —и2 + т2, и XstT = (d — 2)ш2 + т2, — (d — l)m, то есть они пересекают ось ординат в точках т2, и т2, — (d — 1)т\ соответственно. Таким образом, в спектре есть две распространяющиеся моды на массовой поверхности с Л = 0, одна нормальная, вторая - дух.
Когда включается т2А ф 0, как на рисунке 8Ь, разрешается одно из четырех пересечений: пересечение Л и XstT- Пересекающиеся собственные значения расходятся, но пересечение оси абсцисс отвечает духу в обоих случаях: и при то 0, и при ттт-о 0. В зависимости от знака 777о дух (на массовой поверхности) приходит из верхней или из нижней ветви. Единственное исключение - случай 777о = 0: в этом случае мода, находящаяся на массовой поверхности, уходит на бесконечность, и дух исчезает, по крайней мере для к2 = 0.
Включение к2 ф 0 разрешает все пересечения (даже если 7774 = 0). Это дает дополнительную свободу: таким же образом, дух может отсутствовать не только когда 777Q = 0, НО И когда т = 0. Однако при увеличении к2 и 7774, фигура начинает очень сильно отличаться от четырех пересечений, как на рисунке 8а, что видно, например, на рисунках 10 и 11. Это означает, что даже если духи исчезли в окрестности фигуры 8а, они могут появиться снова при больших значениях импулься к2. Случай больших 7774 также требует дополнительного анализа.
Из рисунков 10, 11 понятно, что избавиться от духов в модели можно только При 777д = 0 ИЛИ 777 = 0. 6.2 Последовательный анализ бифуркаций Анализ свойств различных возмущений можно проводить в определенном порядке, поскольку есть целая иерархия интересных свойств.
1) Первым делом можно нарисовать Л(—ш2) при фиксированном к2 и массах или \{к2) при фиксированных ш2 и массах. При этом интересны условия мас совой поверхности Л = 0 и наклоны — J L_0 или Ш в этих точках. Ниже А=0 мы будем, в основном, рассматривать первый вариант: Л(—ш ).
2) Знаки производных контролируются топологией графика А(о;2 ), особенно точками ветвления: нулями дискриминанта discriml С(А)), где различные ветви сливаются или пересекаются. Эти критические точки ш2г сами по себе не находятся на массовой поверхности, но определяют свойства реальных возбуждений, находящихся на массовой поверхности. Они зависят и от к2, и от масс. Главный интерес для нас представляет их зависимость от импульса при фиксированных массах.
3) Свойства частиц на массовой поверхности качественно меняются в точках бифуркации, когда ш2л сливаются, исчезают или уходят на бесконечность. Это определяется нулями дискриминанта следующего уровня discriml ш2г(к2)). Эти нули k2Y(masses) зависят только от масс и, следовательно, меняются толко при перемещении по пространству параметров Лч. В некоторых точках ЛЛ могут быть области импульсного пространства, где частицы, находящиеся на массовой поверхности, являются духами, и области, где они являются нормальными частицами. Могут быть точки, в которых они духи при всех значениях к.
4) Границы между этими областями определяются дискриминантами следу ющих порядков discriml k2r(masses)). Таким образом, можно проводить ите ративный анализ: изменять вначале одну из масс, удобнее всего, га, а потом остальные, на каждом шаге рассматривая дискриминанты все более высокого порядка. 6.3 Примеры Приведем теперь примеры такого иерархического анализа.
1) Некоторые графики для функции с четырьмя ветвями Л(—ш2) приведены на рисунках 10 и 11. На рисунке 10 значения масс фиксированы, а разные графики отвечают разным значениям к2. На рисунке 11 мы фиксируем к2 = 1, но меняем две из пяти масс (T?T,Q И т\). Меняя другую массу (та), мы получаем совершенно другую структуру (рис. 12). Нет никакой проблемы нарисовать сколько угодно таких графиков, сложность заключается в нахождении осмысленного способа организовать эти данные. Для этого и нужна иерархическая процедура, описанная выше.
2) Из рисунков 10 и 11 понятно, что вся структура хорошо контролируется положением точек ветвления (где касательная становится вертикальной). Эти точки могут быть определены чисто алгебраически: они являются нулями дискриминанта, то есть решениями уравнения discrimA(c(A)) =0 (227) Выражение для дискриминанта в левой части слишком длинное, чтобы его приводить, однако это известный полином9, который может быть легко посчитан для любого конкретного набора масс. Его нули находятся численно, они показаны в центре рисунка 14 как функции к2 для тех же значений масс, что и на
