Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Предварительные леммы 41
Глава 2 Относительная ошибка клонирования 51
Глава 3 Точные нижние границы 63
Глава 4 Оптимальный асимметричный клонер 79
Глава 5 Верхняя граница на глобальную точность воспроизведения клонирования смешанных состояний I 90
Глава 6 Верхняя граница на глобальную точность воспроизведения клонирования смешанных состояний II 102
Глава 7 Нижняя граница на относительную ошибку и абсолютную ошибку клонирования смешанных состояний 115
Заключение 128
Литература 136
- Предварительные леммы
- Относительная ошибка клонирования
- Точные нижние границы
- Оптимальный асимметричный клонер
Предварительные леммы
Повышение мощности вычислительных ресурсов было обусловлено, в основном, тем, что со временем детали элементной базы становились все меньше и меньше. Возможно, что уже в недалеком будущем логические элементы будут состоять всего лишь из нескольких атомов, а квантовомеханнчеекпе эффекты станут преобладающими. Таким образом, существующие ныне классические технологии должны быть вытеснены квантовыми технологиями, использующими в качестве информационного ресурса состояние микроскопических объектов.
Но оказывается, квантовые технологии способны дать нам не просто более миниатюрные и более быстрые микропроцесоры, а нечто принципиально новое. Недавние теоретические исследования показали, что на квантовом уровне можно создать качественно иные средства вычислений и коммуникаций, в ряде случаев гораздо более мощные, чем их классические аналоги. В сфере экспериментальных разработок также имеются значимые успехи — новые методики позволяют хранить и обрабатывать информацию, закодированную в индивидуальных квантовых системах [2]. Однако в целом наиболее впечатляющие результаты, особенно в области квантовых вычислений, все еще носят по большей части теоретический характер [3, 5]. Реализация этих амбициозных проектов, обещающих грандиозный прорыв в технике передачи и обработки информации, займет, по-видимому, несколько десятилетий. Но, несмотря на такие, пока не вполне ясные, перспективы, квантовая теория информации заслуживает пристального изучения, поскольку является ключом к пониманию тех фундаментальных законов Природы, которые до недавнего времени оставались вне поля зрения исследователей. Независимо от того, насколько быстро будут реализованы на практике технологии, использующие квантовое состояние как информационный ресурс, квантовая теория информации дает оригинальное и неожиданное освещение как самих квантов омсханических закономерностей, так и сравнптельно давно изучаемых проблем передачи и обработки информации. Вне всякого сомнения, открывающиеся на этом пути грандиозные перспективы будут стимулировать развитие экспериментальной техники с целью значительно расширить возможности манипулирования микросостоянпями. Одним из примеров целенаправленного воздействия на микрососто-янне является открытый в конце 70-ых годов квантовый парадокс Зе-пона [G, 7] (его называют также эффектом сторожевой собаки [G], или еще более образно эффектом непрерывно наблюдаемого чайника, который не закипает [7, 8]). Такое название Мизра и Сударшан дали следующему утверждению: повторяющееся (в предельном случае непрерывное) измерение квантовой системы препятствует ее переходу в другое состояние [9]. С теоретической точки зрения, квантовый эффект Зенона является прямым следствием проективного постулата [8, 9]. Для экспериментальной проверки эффекта Зенона были предложены различные схемы, одна из которых была реализована в работе [10]. Авторы этой работы обнаружили очень хорошее согласие результатов эксперимента с предсказаниями теории. По существу, данная схема эксперимента точно повторила ситуацию, которая теоретически описывается проективным постулатом. Таким образом, существует экспериментально проверенный метод замораживания микроскопической системы в исходном состоянии [6], который можно использовать в процессах передачи и обработки квантовой информации. Заметим также, что изучение непрерывных кеапто-оых измерений имеет вполне реальное прикладное значение (например, для методов фотодстектирования [11]) Положительный результат эксперимента по обнаружению квантового эффекта Зенона был весьма удовлетворительным и в другом отношении. Характеризуя квантовую механику как "теорию с наиболее слабой философией", видный буржуазный мыслитель М. Бунге (именовавший свои философские взгляды критическим реализмом) в числе прочих выдвигал следующий аргумент. По его мнению, "... все фактические вычисления в квантовой механике, в частности те, которые уже проверены экспериментом, относятся к процессам ... , удовлетворяющим уравнению Шредин-гера" (см. [12], с. 116). Но, кроме причинной эволюции в соответствии с уравнением Шредингера, в квантовой механике есть второй путь изменения волновой функции — редукция вектора состояния при измерении, которая "... выбирает из бесконечно большого числа состояний смеси некоторое вполне определенное, как действительно реализованное" (см. книгу Гейзенбсрга [13], с. 51). По мнению Бунге, этот второй (аказу-альпый по терминологии фон Неймана — см. с. 306 его классической книги [14]) путь изменения волновой функции не имеет никакого экспериментального статуса. Возможно, что во время написания Бунге своей книги [12] (оригинальное издание на английском языке вышло в свет в 1973 г.) ситуация действительно была именно такой, но после теоретических и экспериментальных исследований квантового эффекта Зенона она изменилась. В самом деле, результаты экспериментов находились в хорошем согласии с предсказаниями теории, основанными на проективном постулате [10].
Рассмотрение непрерывных квантовых измерений естественным образом подводит нас к важнейшему понятию "декогеренции" [б]. Значительный вклад в развитие этой концепции был внесен работой Цеє [15]. Представление о декогеренции — быстром превращении чистого состояния в смесь (т.е. разрушении интерференционных членов в матрице плотности) — является ключевым для понимания многих непривычных свойств квантовомеханического описания реальности, в том числе коллапса волновой функции [6] и парадокса шредипгеровского кота [16]. В конечном счете, разумное решение проблемы декогеренции необходимо при реализации любого процесса передачи и/или обработки квантовой информации [2, 4]. Как оказалось, процесс декогеренции обладает некоторыми общими закономерностями, которые не зависят от особенностей взаимодействия и объясняют, почему суперпозиционные состояния, легко наблюдаемые на мнкроуровне, при переходе на макроуровень становятся труднодоступными [17, 18].
Относительная ошибка клонирования
Оценка качества клонирования зависит, разумеется, от используемой для этого меры близости к "идеалу". Клонирование множества из двух состояний изучалось, в основном, с точки зрения оптимизации критерия "глобальной точности воспроизведения". Однако состояниезависимос квантовое клонирование является сложным н многогранным предметом. Как ни важен указанный критерий, основанный на функции точности воспроизведения, он не покрывает всей проблемы в целом. Чтобы лучше осознать необходимость введения нового критерия, мы будем рассуждать в терминах следующей игры. Фиксированными параметрами игры являются множество /А = {\Ф), \Ф)} двух неортогональных состояний, число N вводимых q-битов и число L выводимых q-битов. В игре участвуют две персоны, Алиса и Клара (следуя работе [51], мы называем воображаемого клонера Кларой). Параметры игры известны каждому участнику. Сначала Алиса в тайне от Клары выбирает одно состояние из множества Л4. Затем она приготавливает каждый из N q-бптов в выбранном СОСТОЯНИИ И отправляет их Кларе. Клара с помощью состояниезависимого клонера генерирует L N q-битов из полученных N q-битов. Задача Клары состоит в том, чтобы путем измерений, производимых над выводом копирующей машины, угадать выбранное Алисой состояние. Игра многократно повторяется. Каковы шансы Клары на выигрыш?
Если бы перед Кларой стояла задача просто различить эти состояния, ее шансы на выигрыш были бы ограничены сверху вероятностью (2.2). Мы же, налагая требование, согласно которому Клара обязана пропускать через N — L клонер полученные от Алисы N q-битов, ставили перед собой, в первую очередь, такую цель — оценить возможности клонирования, когда оно используется для взлома квантовокриптографнческои схемы В92. (Напомним, что в этом протоколе квантовое распределение секретного ключа организовывается с помощью двух неортогональных состояний \ф) и } [63].) Действительно, подслушиватсль стремится к тому, чтобы легитимные пользователи (Алиса и Боб) не распознали его вмешательства и продолжали верить в конфиденциальность канала, по которому осуществляется квантовое распределение секретного ключа. Но если он использует просто измерение, различающее состояния \ф) и \ф), то факт прослушивания будет немедленно обнаружен, поскольку посланные Алисой биты вообще не дойдут до Боба. Разумеется, подслуши-ватель сам может отправить получателю то состояние, которое он различил, но вероятность ошибки при различении двух неортогональных состояний всегда отлична от нуля [92, 106], поэтому при сверке части битов из сгенерированного секретного ключа Алиса и Боб будут видеть превышение ошибок над некоторым уровнем. Так что a priori нельзя сказать, что основанная на оптимальном различении состоянии \ф) и \ф) стратегия будет лучше стратегии, использующей клонирование. В рамках последней стратегии подслушиватель, перед тем как производить какие бы то ни было измерения, размножает посланные биты и часть из них отправляет получателю. Ну а с остальными подслушиватель может делать то, что посчитает нужным для вскрытия секретного ключа. Такова одна из причин, по которой мы обязали Клару пропускать полученные сю q-биты через квантовый клонер. Кроме того, нас интересует собственно проблема клонирования, а вовсе не задача оптимального различения двух состояний.
Возвращаясь к обсуждению игры между Алисой и Кларой, предположим, что состояния \ф) и \ф) достаточно близки друг к другу. Тогда нижняя граница на абсолютную ошибку близка к 0, а верхняя граница на глобальную точность воспроизведения близка к 1. Таким образом, эти критерии утверждают, что процесс клонирования можно приблизить к идеалу. Кларе известны оба идеальных вывода, отвечающих выбору \ф) и выбору \ф) соответственно. Она будет соотносить сгенерированный вывод с тем и с другим идеальными выводами. На первый взгляд кажется, что в этих условиях Кларе удастся без труда распознать выбранное Алисой состояние. Но не следует быстро соглашаться с таким утверждением. В самом деле, близость состояний \ф) и \ф) означает известную близость соответствующих идеальных выводов. Но если так, будет ли Клара в состоянии решить, что полученный вывод соответствует тому идеальному выводу, а не этому? Как шансы Клары зависят от параметров игры? Чтобы обсуждать такие вопросы, мы введем новый критерий для оценки качества клонирования. Поскольку этот критерий соотносит ошибки в клонах с некоторой структурно родственной величиной, зависящей от близости клонируемых состояний, мы называем его "относительной ошибкой". Все наши рассуждения будут основываться на неравенствах, доказанных в предыдущей главе.
Точные нижние границы
В этом разделе мы установим точную нижнюю границу на относительную ошибку клонирования и точную нижнюю границу на абсолютную ошибку клонирования. Изложение в основном следует нашей работе [98] — восполнены лишь некоторые пробелы и проведены некоторые обобщения. Прежде всего, сформулируем главный результат, полученный при исследовании введенного нами в главе 2 нового критерия — относительной ошибки клонирования.
Доказательство Прежде всего следует подчеркнуть, что (для данного множества М.) углы 51 и 5 являются фиксированными параметрами, а варьировать можно углы (/(«,/М), &М и 5 (в тех пределах, которые устанавливаются требованиями (2.26) и (2.27)). Чтобы минимизировать ЩМ), нужно сделать величину sm5(I \l ) настолько большой, насколько это возможно.
Следует отмстить, что равенство в (3.3) является необходимым для достижения равенства в (З.б). Мы стремимся минимизировать правую часть (3.6) в интервале 5L S + 6 + 5 тг/2 , устанавливаемом соотношением (2.27) и условием случая (і). Искомый минимум достигается в левой граничной точке указанного интервала, то есть при 5L = 6 +6 + ;v (что, заметим, означает равенство в (2.27)). В самом деле, при убывании котангенса правая часть (3.6) возрастает, а котангенс является убывающей функцией своего аргумента.
Подводя итог, мы видим, что нижняя граница на относительную ошибку получается минимизацией правой части (3,6) (случай (і)), то есть устанавливается правой частью (3.7). Заметим, что, как следует из анализа случая (і), необходимыми условиями для достижения этой нижней границы являются равенства в двух соотношениях — (2.27) и (3.3). Вводя обозначение z — cos бфф, откуда cos = zL и cost jy = zN , правую часть (3.7) можно переписать как F(z\NyL). Ш
Следует сразу отмстить, что установленная теоремой 1 нижняя граница является точной. Действительно, в главе 3 мы опишем клонер, достигающий этой границы, А сейчас проанализируем выведенную нами нижнюю границу на относительную ошибку клонирования. Для численного счета правая часть (3.1) не вполне удобна, поскольку при 2, близких к 1, входящее в нее подкоренное выражение будет отношением двух малых чисел. Сокращая числитель и знаменатель этой дроби на общий множитель (1 — z2), находим более пригодную для вычислений формулу F{z\N,L) =zN - z + 22 + . . . + Z4L l)
Для примера, величина F(z\N, L) показана на рис. 3.1 как функция z для N = 1 и пяти значений L. В большей части интервала z Є [0; 1] она возрастает и только в окрестности правой граничной точки становится убывающей. Максимум функции и предельное значение (1 — \/N/ L) при z —)1 являются величинами одного порядка. Поэтому величину (1 — Л/NJZ) МОЖНО рассматривать как показатель наших возможностей по состояииезависимому N —» L клонированию. Если относительное число актуальных (т.е. сгенерированных в дополнение к N имеющимся) копий мало, что можно записать как N/L и 1, то для всех z Є [0; 1] нижняя граница на относительную ошибку также мала. Теоретически, в этом случае можно достичь хорошего качества клонирования. Напротив, если относительное число актуальных копий близко к 1, т.е. степень размножения велика и NJL С 1, то относительная ошибка заметна (исключая — случай почти ортогональных состояний). В пределе L — оо , когда генерируется бесконечное число клонов, имеем F(z\N,L) - zN . Другії ми словами, минимально возможное значение относительной ошибки при бесконечном размножении представляется функцией F(z\N,oo) = zN . Если теперь взять два значения N\ и Л таких, что JVI N2 , то для каждого z Є (0; 1) будет справедливым неравенство F(z\Nuoo) F(z\N2,оо).
Последнее соотношение означает, что чем больше исходное число оригиналов, тем меньше относительная ошибка и тем качественнее, с точки зрения этого критерия, окажется бесконечное их размножение. Такой вывод согласуется с интуитивно ожидаемым поведением, и это можно расценивать как еще одно свидетельство в пользу того, что относительная ошибка является вполне разумным критерием для оценки качества состояниезависимого клонирования. Таким образом, критерий относительной ошибки позволил нам выявить связь между качеством клонов и относительным числом актуальных клонов, или, что то же самое, между качеством клонов и степенью размножения. При незначительной степени размножения множество М. — { ), )} хорошо поддается N — L клонированию. Напротив, при высокой степени размножения добиться хорошего качества клонов можно лишь в случае, когда состояния \ф) и \ф) практически ортогональны. Основываясь на полученных результатах, об игре Алисы и Клары, описанной в главе 2, можно заметить следующее. Если для заданных параметров игры F(z\NyL) оказывается величиной порядка единицы, то шансы Клары на успех будут незначительными. Черезчур сильная близость идеальных выводов существенно затруднит отгадывание состояния, выбранного Алисой. Если же для заданных параметров игры величина F(z\N, L) мала, то шансы Клары на выигрыш выглядят предпочтительнее.
Оптимальный асимметричный клонер
В этом разделе мы опишем, следуя нашей работе [98], асимметричный квантовый клонер, который достигает нижних границ, установленных теоремами 1 и 2 . Заметим, что последнее является также необходимым условием для максимизации глобальной точности воспроизведения [50, 53, 54]. Однако для того, чтобы минимизировать относительную ошибку и абсолютную ошибку, нам нужно еще обеспечить равенство в (3.3).
Поскольку унитарные преобразования сохраняют углы между векторами, имеет место соотношение Если состояния \ф) и \ф) не являются ортогональными или идентичными, то угол 6(фь, фь) = SL больше, чем правая часть уравнения (4.4) (равная, согласно обозначению (2.25)), просто 5м. Таким образом, идеальное клонирование здесь неосуществимо. Действительно, увеличить должным образом угол между 0@JV 0Л/) и \xpN 0Л/) не представляется возможным.
Напомним, что символ "Л" обозначает конъюнкцию [44, 45].) Этот клонер осуществляет идеальное копирование одного из пары состояний Л4 (в данном случае состояния \ф)), то есть он полностью асимметричный. Из равенств (4.11) и (4.12) очевидно, что в обоих соотношениях (2.27) и (3.3) равенство достигнуто. Следовательно, для клонера, заданного уравнениями (4.11) и (4.12), относительная ошибка равна Дд(.М) = F(z\N,L) и абсолютная ошибка равна АА(А4) = sin(6/, — 6 ) , то есть правой части неравенства (3.9). Иными словами, данный асимметричный клонер минимизирует как относительную, так и абсолютную ошибки. Для полноты изложения укажем еще глобальную точность воспроизведения этого клонера. Возвращаясь к исследованию относительной ошибки, мы видим, что если состояния \ф) и \ф) неортогональны и неидентичны, то имеет место неравенство RA(M) Rs{M) (а также АА(М) As{M) ). Является ли это различие существенным? Чтобы исследовать данный вопрос, рассмотрим относительную величину разности между Rs{M) и RA{M) [98].
Для примера, величина i{z\N, L) показана на рис. 4.1 как функция z для N = 1 и нескольких значений L. Как видно из рисунка, различие между Rs(M) и RA(M.) (равно как и различие между Ag{M) и АА(М)) с увеличением доли актуальных копии становится вес более и более заметным. Таким образом, определенный соотношениями (4.11) и (4.12) клонер, который минимизмирует относительную и абсолютную ошибки, не является бессодержательным.
Выбор такого базиса, вообще говоря, неединственен [5]. Теория квантовых схем как раз и занимается исследованием различных базисов и методами конструирования требуемых квантовых преобразований [72, 73]. Основополагающей работой по этой тематике является статья [55]. Ее авторы показали, что двух-5-битового вентиля CNOT [контролируемое НЕ) и некоторых простых одно-g-битовых вентилей достаточно, чтобы аппроксимировать любую унитарную операцию над любым числом g-битов с произвольной точностью. Вентиль CNOT выполняет операцию (см. рис. 4.2) где символ "ф" обозначает сложение по модулю два, ахну принимают значения из множества {0,1} [55]. Заметим также, что конструирование состояниезависимых клонеров удобнее проводить в терминах более крупных строительных блоков — вентиля переноса различимости (disinguishability transfer gate) и вентиля разделения состояний (state separation gate), введенных в работе [53]. Там же показано, как реализовать указанные вентили на базе CNOT и локальных унитарных операций над одним //-битом.
В частном случае 9 = 0 описанный нами асимметричный клонер превращается в клонер Вуттсрса-Зурека, который осуществляет идеальное копирование состояний ортогонального базиса {0),1)} [46]. В этом разделе мы рассмотрим клонирование смешанных состояний с точки зрения глобальной точности воспроизведения. Изложение в основном следует нашей работе [99]. Большинство из полученных ранее в области квантового копирования результатов касаются чистых состояний [51, 53, 54, 98]. Между тем вопросы, связанные с приближенным клонированием смешанных состояний, возникают естественным образом во многих областях квантовой теории информации. Например, в кван-товокрнптографпческом протоколе В92 Алиса и Боб кодируют биты 1 п О с помощью двух неортогональных чистых состояний [63]. Но в действительности любой канал связи подвержен воздействию шумов, что неизбежно приводит к декогеренции кодирующих состояний, т.е. к их переходу в смешанные состояния. Если для взлома криптосистемы Ева решит использовать клонирование, то она столкнется с проблемой клонирования смешанных состояний, и мы должны уметь оценивать ее потен —91— цпальные возможности. Другая ситуация, в которой необходимо изучать клонирование смешанных состояний, описана в работе [70]. Рассмотрев одну элементарную задачу по применению клонирования в процессе квантового вычисления, автор [70] показал, что сконструированные для оптимального клонирования чистых состояний клонеры не могут выполнить эту задачу с наибольшей достижимой эффективностью.
