Содержание к диссертации
Введение
1 Приближенная динамика формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи 18
1.1 Уравнения движения однородного вращающегося трехосного эллипсоида 18
1.2 Уравнения движения с учетом диссипации 20
1.3 Безразмерные уравнения и численные результаты 24
1.4 Равновесные конфигурации и устойчивость 34
1.5 Обсуждение результатов 39
2 Динамика невращающихся несферических конфигураций 41
2.1 Уравнения движения 41
2.2 Безразмерные уравнения 42
2.3 Стабилизация несферических тел относительно неограниченного коллапса 45
2.4 Регулярные и хаотические колебания, сечение Пуанкаре 49
2.5 Обсуждение результатов 52
3 Сильное линзирование на ПІварцшильдовской черной дыре 58
3.1 Основные понятия теории гравитационного линзирования 58
3.2 Точное выражение для угла отклонения 64
3.3 Множественные кольца вокруг черной дыры 70
3.4 Диаграмма излучения точечного источника, расположенного вблизи черной дыры 77
4 Гравитационное линзирование на гравитационной волне 81
4.1 Угол отклонения фотона на гравитационной волне 81
4.2 Смещение фотона и его наблюдательные эффекты 87
5 Гравитационное линзирование в плазме 90
5.1 Распространение света в неоднородной плазме в слабом гравитационном поле 90
5.2 Различные частные случаи для угла отклонения фотона 95
5.2.1 Вакуум и однородная среда без дисперсии в присутствии гравитации 95
5.2.2 Однородная плазма в слабом шварцшильдовском гравитационном поле 96
5.2.3 Слабо неоднородная плазма в слабом шварцшильдовском гравитационном поле 100
5.3 Гравитационный радиоспектрометр 102
Заключение 105
- Уравнения движения с учетом диссипации
- Безразмерные уравнения
- Точное выражение для угла отклонения
- Смещение фотона и его наблюдательные эффекты
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию динамики образования несферических гра-витирующих объектов, в частности приближенным методам изучения формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи и образования очень длинных гравитационных волн, и гравитационному линзированию на таких волнах, а также другим эффектам гравитационного линзирования, важным при распространении света в космическом пространстве.
Уравнения движения с учетом диссипации
В случае структур в темной материи мы имеем дело с бесстолкновительными нерелятивистскими частицами, взаимодействующими только гравитационно. Развитие гравитационной неустойчивости и коллапс в темной материи характеризуются бесстолк-новительной релаксацией. Эта релаксация основана на идее о бурной релаксации ("violent relaxation") Линден-Белла [16]. За счет бурной релаксации бесстолкнови-тельная система приходит в стационарное состояние. В данной работе учет диссипации основывается на идеях, предложенных Бисноватым-Коганом [1]. В нашей модели бурная релаксация приводит к превращению кинетической энергии упорядоченного движения в кинетическую энергию хаотического теплового движения и к возрастанию эффективного давления и тепловой энергии. При наличии хаотического движения "блин", получающийся в результате первоначального сжатия, имеет конечную толщину, так как частицы пересекают экваториальную плоскость неодновременно. Таким образом формируется эффективное давление и сжатие останавливается, возрастает энтропия. При этом из-за ухода частиц из системы теряются масса, угловой момент. Эти эффекты можно описать приближенно с помощью так называемой объемной вязкости. Вследствие вязкости появляется тормозящая сила, которая может быть описана феноменологически добавлением слагаемых в правые части уравнений движения (1.14) - (1.16). Мы масштабируем время релаксации тгеі характеристическим временем Джинса с константой arei Время Джинса является характерным временем процессов коллапса и всех других, связанных с движением под действием гравитации. Мы рассматриваем нерелятивистскую темную материю с соотношением между давлением Р и тепловой энергией Eth эллипсоида в виде Диссипация (1.17) ведет к выработке тепла. Выразим тепловую энергию Eth через объем V и энтропию є: Тогда для изменения тепловой энергии имеем: С учетом Eth = PV, получаем, что изменение тепловой энергии связано с изменением энтропии следующим соотношением: Выведем уравнение для возрастающей энтропии, которая в наших уравнениях определяет производство тепла.
С учетом добавленных слагаемых, уравнения движения для осей эллипсоида: Рассмотрим первое из этих уравнений и вернемся к виду, аналогичному (1.11): Чтобы привести уравнение к виду, удобному для учета потерь массы, момента и полной энергии, домножим уравнение на а: перепишем уравнения движения в виде: Полная энергия Utot эллипсоида равна: Изменение кинетической энергии со временем: Изменение полной энергии со временем: Складывая (1.31) - (1.33) с учетом (1.30) и (1.36), получаем уравнение энергетического баланса в форме: Процесс релаксации сопровождается также потерями полной энергии, массы и углового момента, которые связаны с уходящими из системы частицами. Мы предполагаем, что эти потери происходят только в течение нестационарной фазы, так что их величины пропорциональны Ukin, причем характеристические времена для потерь массы тті, углового момента г мі и энергии тсі значительно больше, чем тге\. Уравнения, описывающие потери, могут быть феноменологически записаны как Масштабируя все характеристические времена временем Джинса, так же как и в случае (1.19), мы имеем с константами щ {і = el,ml,Ml). Коэффициенты этих зависимостей берутся из сравнения с аналитикой и численными расчетами. Это очень приближенно, но позволяет получить понятную качественную картину для разных случаев. Численные результаты есть только для некоторых случаев, так как счет занимает очень много времени. Совмещая (1.39) и (1.40), мы получаем соотношение Вычисляя производные в (1.37), получаем уравнение для эволюции энтропии в присутствии различных потерь: где Ug, Ukm, Urot определяются выражениями (1.4), (1.6), (1.9), соответственно. Кроме того, вследствие непостоянства массы, в уравнениях движения появляются дополнительные слагаемые. Например, так как в правой части уравнения движения для оси а появляется слагаемое т dt Аналогично для осей Ъ и с. Для получения численного решения уравнений мы записываем их в безразмерных переменных. Введем переменные Масштабные параметры 0 ао тгкь -Wo, ро, Uo, По, о связаны следующими соотношениями С/о используется для масштабирования всех видов энергии. Здесь и далее знак тильды опускается для простоты. В безразмерных переменных мы имеем Таким образом, с учетом бурной релаксации, потерь полной энергии, массы и полного момента динамика системы описывается следующей системой безразмерных уравнений Система решается численно для различных начальных параметров. Интегралы, описывающие гравитационные потенциалы и силы, выражаются в эллиптических интегралах [46]. Все интегралы сводятся к двум типам: /0 and Л.
Безразмерные уравнения
Соответствующие значения для других случаев получаются из (1.62),(1.63),(1.64),(1.65) циклической перестановкой. Для численного решения системы уравнений использовался метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Относительная простота уравнений позволяет достичь хорошей степени точности вычислений. Интегрирование было выполнено с относительной точностью Ю-5, и соответствующий вариант с точностью Ю-7 дал те же результаты. Один график содержит порядка нескольких тысяч временных шагов. Детальная информация о начальных параметрах для всех вариантов численных расчетов содержится в Таблице 1.1. Случай сфероида (а = Ь с) был рассмотрен в [1]. Наши 3D уравнения дают такие же результаты для сфероидальных начальных условий. Однако, в случае трехосного эллипсоида мы имеем новые качественные эффекты, связанные с появлением новой степени свободы по сравнению со случаем сфероида. Для исследования динамического поведения мы начинаем моделирование со сферического тела единичной массы (тп{п = 1), нулевой или малой энтропии є С 1. Мы также задаем параметры, характеризующие различные типы диссипации. Во всех расчетах с релаксацией мы используем следующие значения: arei = 3, аєі = ami = амі = 15. Начальные скорости задаются ненулевыми. Вследствие вращения вокруг оси с начальная сфера в течение коллапса трансформируется в сфероид, если начальные параметры для осей а и b в точности равны (a = b, а = Ь). Заметим, что в течение движения сфероиды могут быть не только сплюснутыми, но также и вытянутыми [1]. Для изучения возникновения трехосных фигур начальные параметры для осей а и Ь были слегка возмущены друг относительно друга во всех вариантах вычислений. В первом варианте вычислений (рис. 1.1) задан большой начальный угловой момент МіП = 0.5. Поле скоростей слегка возмущено возрастанием Ъ по сравнению с а. Изначально мы наблюдаем коллапс и формирование блина. В процессе движения разность (а — Ь) возрастает вследствие развития вековой неустойчивости, и мы получаем в динамике превращение сфероида Маклорена в эллипсоид Якоби. Вследствие релаксации колебательное движение затухает и система приходит в равновесное состояние трехосного эллипсоида.
Соответствующее поведение полной энергии Utot, энтропии є и массы m представлено на рис. 1.2, 1.3, 1.4. Мы видим, что основные изменения этих величин происходят на стадии нескольких первых осцилляции: энтропия є растет, масса m и полная энергия Utot падают. Затем эти величины выходят на равновесные значения. Во втором варианте вычислений (рис. 1.5) мы задаем малый начальный угловой момент Мгп = 0.1. После коллапса мы наблюдаем возникновение временных сплюснутых и вытянутых сфероидов в процессе релаксации. В этом случае нет вековой неустойчивости и система приходит в равновесное сплюснутое состояние сфероида Маклорена. Начальная малая разность параметров, связанных с осями а и b , приводит к малым отклонениям от результатов подобного варианта в 2D расчетах в статье [1]. Здесь мы имеем дополнительную неустойчивость - возрастание разности (а—Ь) на ранних этапах движения. Однако это отличие остается слишком малым, чтобы быть заметным на графике. Это неустойчивость, характеризующая системы с чисто радиальными траекториями [47], [48]. Эта неустойчивость присутствует во всех вариантах вычислений, но в большинстве случаев слишком мала и всегда исчезает в течение релаксации и формирования равновесной фигуры. В случае большого углового мо- мента эта неустойчивость не проявляется, так как разность (а — Ь) быстро возрастает в результате вековой неустойчивости. Для иллюстрации радиальной неустойчивости мы рассматриваем начальную сферу без вращения (Мгп — 0) и без процессов релаксации. Используются только три уравнения (1.47)-(1.49) с постоянными т = 1, М = 0, є и с параметром rrei = со. Мы задаем малое начальное отличие между осями a, b и с и получаем неустойчивое поведение (рис. 1.6). Для численного исследования вековой неустойчивости мы рассматриваем уравнения движения без диссипации и берем равновесные сфероиды с малыми возмущениями в качестве начальной конфигурации. Равновесные параметры сфероида легко получить из уравнений движения с нулевыми ускорениями. Начальная равновесная конфигурация сфероида Маклорена была слегка возмущена увеличением Ь, это видно по последнему столбцу в Таблице 1.1. При малом угловом моменте мы получаем сохранение начальной конфигурации. Происходят малые колебания около равновесного сфероида, в течение которых разность (а — Ь) периодически меняет знак. При большом угловом моменте мы наблюдаем развитие вековой неустойчивости, и, после нескольких осцилляции с малой амплитудой, сфероид Маклорена превращается в эллипсоид Якоби (см. рис. 1.7, где представлен вариант с большим угловым моментом). Вследствие отсутствия релаксации система не достигает равновесной конфигурации и колебания продолжаются. Если мы "включим" релаксацию в этом варианте, мы будем наблюдать конечное равновесное состояние эллипсоида. Меняя начальные параметры равновесного сфероида, мы можем приближенно численно найти точку вековой неустойчивости сжимающегося сфероида Маклорена.
Полученное таким образом значение хорошо сходится с аналитическими результатами, полученными ниже. Равновесие равномерно вращающихся фигур (сфероида или эллипсоида) находится из уравнений (1.47-1.49) с нулевыми производными по времени: Это уравнение имеет тривиальное решение кг = 1 при всех /г, соответствующее сфероиду Маклорена. Найдем точку бифуркации уравнения (1.77), в которой появляется нетривиальное решение. Поскольку кг — 1 всегда является корнем уравнения (1.77), мы можем записать Р(к,кг) — (кг — 1)/(к,кг). Дополнительный корень уравнения F(k, к{) = 0 возникает тогда же, когда возникает корень уравнения f(k, кг) = 0 при кг = 1. Корень уравнения Г кх(к,кг) = f(k,kx) + (кг — 1)/ (/ ,/) = 0 при кг = 1 совпадает с корнем уравнения f(k, 1) = 0, поэтому величина к в точке бифуркации определяется из уравнения решение которого к = 0.582724 (е = yl — с2/а2 = 0.81267) определяет точку бифуркации на последовательности сфероидов Маклорена. Для однородного сфероида положение этой точки не зависит от показателя адиабаты. Выше мы получили точку бифзфкации на равновесной кривой сфероидов Маклорена, используя только равновесные соотношения для эллипсоидов Якоби. Обычный путь исследования устойчивости - решение линеаризованных уравнений движения и нахождение собственных частот. Потери є, Utot, m и M квадратичны но возмущению, так что эти величины остаются постоянными в линейном приближении. Вычисляем вариацию во всех слагаемых, далее подставляем а = Ь, так как нас интересует устойчивость равновесной конфигурации сфероида Маклорена (а = Ь, к = с/а). Вычитая (1.91) из (1.90) и подставляя равновесные значения є и М (при а = Ь) из (1.88) и (1.89), получаем: Из границы устойчивости и2 — 0, мы снова получаем уравнение (1.84). Таким образом, в этой точке сфероид теряет устойчивость к превращению в трехосный эллипсоид. Наши приближенные уравнения, даже без диссипации, описывают однородно вращающиеся эллипсоиды (сфероиды), не связанные адиабатическими соотношениями, и содержат "скрытое" несохранение локального углового момента, которое сохраняет однородность. Поэтому, в присутствии этой "скрытой" иеконсервативностп, потеря устойчивости имеет место точно в точке бифуркации. Потеря устойчивости не связана с релаксацией и следует из наших уравнений даже в случае, когда все общие интегралы остаются постоянными. В точном подходе неустойчивость в этой точке имеет место только в прямом присутствии диссипативных членов [2]. Чисто адиабатические сфероидальные системы сохраняют устойчивость вплоть до точки е = 0.952887. В нашем подходе мы не можем точно исследовать эффект "чистой" объемной вязкости.
Точное выражение для угла отклонения
Маклорена без диссипативных членов. влиянием скрытой неконсервативностп. Учет объемной вязкости и бурной релаксации не меняет положение точки бифуркации. Но в некоторых случаях присутствие релаксации оказывает стабилизирующий эффект на движение системы. Мы рассмотрели равновесную конфигурацию сфероида Маклорена, близкую к точке бифуркации, в интервале вековой неустойчивости. После возмущения плотности сфероид начинает колебаться. Наши вычисления показали, что в отсутствие релаксации развивается неустойчивость и сфероид превращается в трехосный объект. В присутствии же релаксации возмущенный сфероид остается сфероидом и система приходит в равновесное состояние. Такое поведение имеет место, поскольку в течение релаксации тепловая энергия возрастает, эксцентриситет е падает и приходит в интервал устойчивости. Таким образом, сфероид, изначально возмущенный в интервале неустойчивости, вблизи точки бифуркации, становится устойчивым вследствие процессов релаксации. Согласно гипотезе [49], устойчивость изолированной аксиально симметричной системы определяется отношением Urot/\Ug\. Авторы определяют из численных экспериментов критическое значение для различных конфигураций как 0.14 ±0.03. Шапиро [11] нашел, что в сжимающихся сфероидах развивается вековая неустойчивость к трехосным деформациям в точке, где Urot/\Ug\ = 0.1375, независимо от п. Наша формула дает такой же результат, который также подтверждается нашими численными экспериментами. Как было отмечено выше, этот результат остается справедливым также и в присутствии диссипации. Мы исследовали динамику трехосного эллипсоида из темной материи. Вариацией функции Лагранжа были получены уравнения движения для осей однородного сжимающегося эллипсоида, в которые бурная релаксация и потери вещества, энергии и З глового момента были включены феноменологически. Система решена численно, вплоть до формирования стационарных вращающихся фигур в присутствии релаксации.
Для малого углового момента М мы получаем формирование сплюснутого сфероида, в то время как при при большом М мы наблюдаем развитие трехосной неустойчивости и формирование трехосного эллипсоида. В этом приближении эта неустойчивость развивается в точке бифуркации на последовательности сфероидов Маклорена, где возникают эллипсоиды Якоби. Точка бифуркации, соответствующая точке потери устойчивости, найдена аналитически в форме простой формулы, с помощью статического и динамического подходов. Численное и аналитическое рассмотрение дают одинаковые результаты. Развитие неустойчивости, связанной с радиальными траекториями, получено для медленно вращающихся коллапсирующих тел. В статье [1] указано, что одним из наблюдательных следствий образования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи может служить гравитационное линзирование на очень длинных гравитационных волнах, излучающихся в процессе такого образования. Произведем оценку амплитуды гравитационных волн. В статье [50] показано, что для аксиально-симметричного случая изменение метрики, вызванное гравитационно-волновым пакетом, равно: Здесь в — угол между направлением излучения и осью вращения коллапсирующего объекта, а и с - полуоси сфероида, г - расстояние от центра объекта до точки наблюдения волны. Обозначение ТТ означает, что метрика записана в так называемой поперечной бесследовой калибровке (transverse traceless, см. [28]). Если перейти от размерных а и с к безразмерным величинам, используемым в этой работе при чис- ленном счете, то выражение (1.95) для оценки h запишется так: 1 GM GM ,„2 „2. Выражение в скобках находится из результатов численного счета и по порядку оценивается как 10 — 102. Считая, что средняя плотность темной материи рат — 3 1СГ30 г см-3, характерные размеры объекта на момент начала развития гравитационной неустойчивости а0 = 10 Мпк, мы получаем для амплитуды волны на расстоянии г = 100 Мпк следующую оценку: что совпадает с оценками в работе [1]. В статье [38] показано, что угол отклонения фотона, прошедшего через конечный гравитационно-волновой пакет, равен нулю. Тем не менее, в 4 главе, мы отмечаем, что линзирование происходит также и другим образом: траектория фотона смещается как целое, и это приводит к наблюдательным эффектам. Решение системы уравнений (2.19)-(2.22) было выполнено для следующих начальных условий при t = 0: с0 = 0, различных значениях начальных а0, ао; ко и различных значениях постоянного параметра е. Очевидно, что при ко = 1, «о = 0, є 1 мы имеем сферический коллапс в сингулярность. Наиболее интересные результаты были получены при ко ф 1 и всех других случаях с отклонениями от сферической симметрии. В этом случае при любых значениях є 0 коллапс в сингулярность не происходит. Ясно, что при є = 0 достигается слабая сингулярность, при формировании блина с бесконечной объемной плотностью п конечной гравитационной силой. При є 0 поведение зависит от величины полной энергии Н. При Н 0 мы получаем полное разрушение тела. При Н 0 и любом значении є 1 устанавливается колебательный режим, п сфероид динамически стабилизируется относительно коллапса в сингулярность. При є 1 полная энергия сфероида положительна, Н 0, что приводит к полному разрушению. Случай Н — 0 разобран отдельно ниже. При Н 0 тип колебательного режима зависит от начальных условий и может быть представлен или регулярными периодическими колебаниями, или хаотическим поведением.
Примеры двух типов таких колебаний представлены на рис. 2.1-2.2 (регулярные, периодические) и на рис. 2.3 (хаотические). Для строгого разделения этих типов колебаний мы используем метод, разработанный Пуанкаре [51]. Подытожим результаты численных расчетов. ем равновесное состояние є = seq — 1. Рассмотрим случай а 0 и г 1. Как следует из (2.31), для ненулевой начальной скорости а энтропия є строго меньше единицы. Поведение такой сферы зависит от знака а. При а 0 звезда коллапсирует в сингулярность, а при а 0 происходит полное разрушение, с нулевой скоростью на бесконечности. Для начальной конфигурации сфероида а = 6 с, и с нулевыми начальными скоростями а = с = 0 энтропия также меньше единицы. В этом случае величина энтропии є однозначно определяется деформацией 5 = (а — с)/а. Эта зависимость может быть найдена явно из (2.31); для малых S мы получаем Таким образом даже в случае нулевых начальных скоростей, є меньше единицы для сфероида, и достигает единицы для сферы. Для одного и того же значения є деформация 5 покоящегося тела с нулевой энергией имеет два значения 6 = ±л/5(1 — є), соответствующие сплюснутому и вытянутому сфероиду. Если мы задаем в случае сфероида ненулевые начальные скорости, то энтропия будет еще меньше. Расчет движения в этом случае приводит в конечном итоге к расширению тела, при этом S осциллирует около нуля (сплюснутая н вытянутая формы по очереди сменяют друг друга). Такое расширение происходит как при условии начального сжатия, так и начального расширения. 2.4 Регулярные и хаотические колебания, сечение Пуанкаре Для исследования регулярной и хаотической динамики мы используем метод сечения Пуанкаре [51] и получаем диаграммы Пуанкаре для различных значений полной энергии Н. Рассмотрим сфероид с полуосями а — Ь ф с. Эта система имеет две степени свободы. Поэтому в этом случае фазовое пространство является четырехмерным: а, а, с, с. Если мы выбираем величину гамильтониана Н0, то мы фиксируем трехмерную энергетическую поверхность Н(а,а,с,с) = Н0. В процессе интегрирования уравнений (2.19)-(2.22), при котором постоянная Н сохраняется, мы фиксируем моменты времени U, когда с = 0.
Смещение фотона и его наблюдательные эффекты
В данной работе мы рассматриваем подробно только сфероидальные тела. В реальности сфероид в процессе движения становится трехосным эллипсоидом. Кроме сфероидов, мы рассчитали много вариантов с трехосными фигурами. Качественно мы получаем такие же результаты для эллипсоидов: коллапса в сингулярность не происходит при любом є 0 и устанавливающийся колебательный (регулярный или хаотический) режим при отрицательной полной энергии предотвращает коллапс. Однако, в случае эллипсоида с полуосями а b с мы имеем систему с тремя степенями свободы и шестимерное фазовое пространство. Поэтому мы не могли провести строгое исследование регулярного и хаотического типов движения с помощью построения диаграммы Пуанкаре, как это было сделано для сфероида с двумя степенями свободы, и ограничиваемся описанием сфероидального случая. В рамках общей теории относительности динамическая стабилизация относительно коллапса за счет нелинейных несферических осцилляции не может быть универсальной. Когда размер тела достигает достигает гравитационного радиуса, стабилизация невозможна для любого 7- Тем не менее, нелинейная стабилизация может произойти на больших радиусах, так что будет происходить стабилизация коллапса за счет несферичности, и после затухания колебаний звезда сколлапсирует в черную дыру. Вследствие развития несферических осцилляции существует возможность излучения гравитационных волн в течение коллапса невращающихся звезд с интенсивностью, сравнимой с вращающимися телами или даже большей. Учет эффектов общей теории относительности приведет к появлению нового безразмерного параметра, который может быть записан как рд = " Q. Судьба гравн-тирующего тела будет зависеть от величины этого параметра, и мы можем ожидать прямого релятивистского коллапса в черную дыру при возрастании рд, достигающем единицы. Известно, что невращающаяся черная дыра характеризуется только своей массой [20].
В отсутствие других диссииативных процессов, избыток энергии, связанный с несферическим движением, будет излучаться с гравитационными волнами в процессе формирования черной дыры. Сильное линзирование на Шварцши льдов ской черной дыре Общая теория относительности предсказывает, что луч света, проходящий около сферического тела массы М с прицельным параметром , отклоняется на "угол Эйнштей- при условии, что много больше гаварцшильдовского радиуса В,$: При таком приближении разницы между прицельным параметром и расстоянием минимального сближения не делается (см. подробнее ниже). Согласно условию ; Rs угол отклонения мал: й 1. Рассмотрим простейшую модель гравитационной линзы - шварцшильдовскую точечную линзу (рис. 3.1). Источник S, наблюдатель О и точечная масса М (линза) находятся в плоскости рисунка. Источник S находится на расстоянии Ds от наблюдателя О и имеет угловое положение (5 относительно линзы. Луч света от источника S, проходящий на расстоянии от линзы, отклоняется на угол о: и идет к наблюдателю. Наблюдатель видит изображение источника на угловом положении в = t;/Dd- Свет проходит с обеих сторон от линзы, поэтому наблюдатель вместо одного источника видит два его изображения. Можно показать, что два изображения имеют сравнимую яркость, если /?, и следовательно 0, порядка ао- Поэтому типичное угловое расстояние между изображениями близко к минимуму 2ао [22]. Реальные распределения масс в ситуациях гравитационного линзирования редко позволяют описывать их с помощью модели точечной линзы [22]. Шварцшильдов-ская линза является идеализацией, однако, очень полезной, поскольку она позволяет простым образом ввести основные соотношения, связанные с линзированием, а также сделать реалистичные оценки углов, расстояний и других параметров для реальных линз. Рассмотрим общую ситуацию линзирования (рис. 3.3). Для произвольного распределения масс в линзе и произвольного расположения источников вводится общее уравнение линзирования [22], [23]. Распределение масс, сконцентрированное на расстоянии Dd от наблюдателя отклоняет свет от источника, находящегося на расстоянии Ds от наблюдателя. Реальный световой луч, слабо отклоняющийся в окрестности линзы, мы заменяем на два прямых отрезка с изломом около линзы. Величина и направление этого излома определяются углом отклонения а, который зависит от распределения масс и от прицельного параметра луча. Уравнение линзирования связывает истинное положение источника с его наблюдаемым положением на небе. Проведем так называемую оптическую ось - прямую линию, проходящую через наблюдателя и некоторую выбранную точку в области линзы, например, через центр масс. Точное определение оптической оси не важно вследствие малости згглов в типичных ситуациях линзирования.
Также введем две плоскости, перпендикулярные этой линии, - плоскость источника и плоскость линзы. В каждой из плоскостей мы определяем двумерную координатную плоскость, с началами координат в центре пересечения оптической оси с соответствующей плоскостью. Положение источника на плоскости источника будем характеризовать двумерным вектором rj, положение точки пересечения луча с плоскостью линзы будем характеризовать двумерным вектором прицельного параметра . Тогда из геометрии задачи мы получаем следующее соотношение (ср. с первым уравнением в (3.4)) В этом случае можно разлолсить общее распределение массы на точечные массы ті и записать угол отклонения для такой линзы как где характеризует положение луча света в плоскости линзы, a j - положение массы т . Можно также перейти-к пределу и ввести поверхностную плотность ( ), которая является результатом проецирования объемного распределения массы на плоскость линзы. Тогда имеем выражение для угла отклонения где интегрирование проводится по плоскости линзы. Т.о., угол отклонения, обусловленный влиянием распределения поверхностной плотности масс, есть суперпозиция углов Эйнштейна для элементов массы dm — ( )cZ2 . Выражение (3.14) действительно при условии, что отклонения реального луча от прямой (невозмущенной) траектории при движении внутри распределения масс малы по сравнению с масштабами, на которых распределение масс меняется значительно [23]. При заданном распределении вещества в линзе и позиции источника г\ уравнение линзы может иметь более чем одно решение . Это означает, что один и тот же источник может иметь несколько позиций (изображений) на небе. Усиление. Поскольку гравитационное отклонение света не связано с излучением или поглощением, удельная интенсивность 1и остается постоянной вдоль луча. Более того, гравитационное отклонение света локальной, почти статической линзой не вводит дополнительный сдвиг по частоте, сверх космологического. Поэтому поверхностная яркость I (surface brightness) изображения идентична яркости источника в отсутствие линзы. Поток (flux) от изображения бесконечно малого источника определяется его поверхностной яркостью и телесным углом До; на небе. Таким образом, отношение потоков малого изображения к потоку соответствующего источника в отсутствие линзы задается как [22] Рассмотрим б.м. источник на угле /3, занимающий телесный угол (До;)0, и изображение на угле в, занимающее телесный угол Дал Отношение двух телесных углов.
