Одновременная стабилизация: теория построения универсального регулятора для семейства динамических объектов Фурсов, Андрей Серафимович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Фурсов, Андрей Серафимович. Одновременная стабилизация: теория построения универсального регулятора для семейства динамических объектов : диссертация ... доктора физико-математических наук : 01.01.02 / Фурсов Андрей Серафимович; [Место защиты: Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный университет"].- Москва, 2012.- 282 с.: ил.

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Классификация и анализ современных методов одновременной стабилизации линейных объектов 42

1.1. Постановка задачи стабилизации линейных объектов 42

1.2. Полиномиальный подход к проблеме одновременной стабилизации семейства объектов 53

1.3. Матричный подход к проблеме одновременной стабилизации семейства объектов 91

Глава 2. Параметрические методы в задаче об одновременной стабилизации 105

2.1. Универсальный стабилизатор заданной структуры для конечного семейства линейных объектов 106

2.2. Одновременная стабилизация с заданной степенью устойчивости 128

2.3. Одновременная стабилизация объектов цифровым регулятором 142

2.4. Некоторые аспекты задачи одновременной стабилизации .153

Глава 3. Вычислительные аспекты построения универсального стабилизатора 172

3.1. Некоторые вспомогательные понятия и утверждения 174

3.2. Общая схема алгоритма поиска универсального стабилизатора 177

3.3. Применение методов интервального анализа для построения алгоритма поиска стабилизирующих параметров 180

3.4. Выбор начальных условий алгоритма поиска ^-стабилизирующих параметров 184

3.5. Построение регулятора, одновременно стабилизирующего конечное семейство объектов 188

Глава 4. Топологические методы в задаче об одновременной стабилизации 193

4.1. Постановка задачи об одновременной стабилизации для линейных векторных стационарных объектов 193

4.2. Достаточное условие одновременной стабилизации на основе топологического метода 195

4.3. Алгоритм проверки существования универсального стабилизатора для семейства линейных векторных стационарных объектов 201

4.4. Постановка задачи об одновременной стабилизации для линейных нестационарных объектов 205

4.5. Робастная стабилизация линейных нестационарных объектов 208

4.6. Условие существования общего стабилизатора для семейства линейных нестационарных объектов 215

Глава 5. Одновременная стабилизация разрывным регулятором 219

5.1. Одновременная приводимость линейных объектов к канонической форме управляемости 221

5.2. Одновременная релейная стабилизация управлением с заданным ограничением 224

5.3. Одновременная стабилизация линейных динамических объектов одинаковых порядков регулятором переменной структуры 229

5.4. Одновременная стабилизация линейных динамических объектов различных порядков регулятором переменной структуры 240

Литература 251

Полиномиальный подход к проблеме одновременной стабилизации семейства объектов
Одновременная стабилизация с заданной степенью устойчивости
Общая схема алгоритма поиска универсального стабилизатора
Достаточное условие одновременной стабилизации на основе топологического метода

Введение к работе

Актуальность работы. Предлагаемая диссертация посвящена одной из актуальных задач современной теории управления, а именно задаче одновременной стабилизации конечного семейства линейных динамических объектов, т.е. задаче построения единого регулятора, обеспечивающего стабилизацию каждого объекта семейства.

Важность задачи одновременной стабилизации динамических объектов обусловлена тем фактом, что она возникает во многих практических задачах. Например, в случае, когда объект управления может работать в нескольких режимах (каждый из которых описывается своей математической моделью), причем информация о переходе от одного режима к другому может отсутствовать, если такой переход вызван отказом какого-либо элемента объекта. Цель управления — синтез регулятора, обеспечивающего устойчивость системы в любом из возможных режимов.

В настоящей работе рассматривается задача стабилизации динамических объектов с использованием закона управления в виде обратной связи. В случае, когда все переменные состояния доступны для измерения, может быть сформулирована задача построения обратной связи по состоянию, если же измеряется лишь вектор выхода, то ставится задача построения обратной связи по выходу.

В общей постановке задача стабилизации¹ по состоянию динамического конечномерного объекта, заданного системой обыкновенных дифференциальных уравнений

x = f(x,u), /(0,0) = 0, xeRⁿ,

может быть качественно сформулирована одним из следующих способов:

^хДля определенности рассматривается стабилизация в нуле пространства состояний, т.е. при х = 0.

1) найти статическую обратную связь по состоянию

и = д(х), при которой замкнутая система

х = f(x,g(x))

асимптотически устойчива в нуле;

2) найти динамическую обратную связь по состоянию

і = q(x, z), и = g(x,z), при которой решение х = О, z = 0 замкнутой системы

х = f(x,g(x,z)),

z = q(x, z)

является асимптотически устойчивым.

Аналогично, задача стабилизации с использованием обратной связи по выходу для объекта

x = f(x,u), /(0,0) = 0, iGKⁿ, _y ₌ h(x), /i(0) = 0

заключается в том, чтобы построить: 1) статический регулятор по выходу

и = д(у),

обеспечивающий асимптотическую устойчивость нулевого решения замкнутой системы

х = f(x,g(h(x)))

2) динамический регулятор по выходу

z = q(y,z),

и = g(y,z),

обеспечивающий асимптотическую устойчивость решения х = О, z = 0 замкнутой системы

х = f(x,g(h(x),z)),

z = q(h(x), z).

Таким образом, стабилизирующая обратная связь не единственна и может быть реализована в различных классах регуляторов. В зависимости от используемых математических моделей динамических объектов возможны различные варианты формулировок задач стабилизации.

Так, в случае стабилизации по выходу линейного стационарного объекта

х = Ах + Ви, х є Rⁿ, и є R^l, y = Cx_} уєШ

линейным же (динамическим) регулятором, требуется указать обратную связь

вида

и = -Dz - My,

z = Hz + Qy, ze R^m,

при которой замкнутая система

х = (А- ВМС)х - BDz, z = QCx + Hz

экспоненциально устойчива.

Если объект линейный, стационарный и скалярный, то задачу стабилизации можно переформулировать следующим образом.

Объекту

х = Ах + bu, х Є Wⁿ, и Є R,

у = сх, у єШ ставится в соответствие скалярная передаточная функция

W{s) = c{sI-A)-\ являющаяся дробно-рациональной функцией комплексной переменной s, т.е.

где тип — степени полиномов (3_m(s) и a_n(s) соответственно:

п > т.

Требуется найти такую передаточную функцию регулятора

ОД = Щ

q(s)

с полиномами p(s) и q(s)_: при которой устойчивы все следующие дробно-рациональные функции

W pq R ар

l + WR ~ aq + (3p' l + WR ~ aq + (3p'

WR _ (Зр 1 _ ад

l + WR ~ aq + (3p' 1 + WR ~ aq + (3p

b(s)

(напомним, что устойчивость какой-либо дробно-рациональной функции

a{s)

означает устойчивость ее знаменателя и deg a(s) ^ deq b(s)). Устойчивость указанных дробно-рациональных функций влечет так называемую внутреннюю стабилизацию динамического объекта, которая обеспечивает

— физическую реализуемость регулятора R(s)_: т.е. выполнение условия

deg q(s) ^ deg p(s); 6

правильность передаточной функции (степень числителя не превосходит степени знаменателя) замкнутой системы;

грубость замкнутой системы по отношению к малым вариациям параметров регулятора и объекта.

Если же при стабилизации объекта W(s) ограничиться только требованием устойчивости полинома

Ф) = a(s)q(s)+P(s)p(s),

то в результате передаточная функция регулятора или замкнутой этим регулятором системы могут оказаться неправильными (степень числителя больше степени знаменателя), либо замкнутая система может оказаться не грубой, что приведет к ее неустойчивости. Чтобы исключить это, необходимо требовать устойчивость функций (2).

Теперь отметим, что всякий регулятор стабилизирует некоторое семейство объектов. Например, если регулятор с фиксированными параметрами

и = -Dz - My, z = Hz + Qy

стабилизирует номинальный объект

х = AqX + BoU, у = CqX,

то он также стабилизирует (в силу непрерывной зависимости решений системы дифференциальных уравнений от ее параметров) и любой объект из окрестности (может быть достаточно малой) точки

{А₀,В₀,Со}.

Такой регулятор можно назвать универсальным (для объектов из указанной окрестности). В классической теории управления универсальность регу-

лятора гарантируется непрерывной зависимостью свойств замкнутой системы от параметров задачи при сохранении порядка и относительного порядка объекта. Как правило, подобная универсальность сохраняется при достаточно малом шевелении параметров задачи. Таким образом, универсальный регулятор обеспечивает стабилизацию некоторого "локального" семейства, порождаемого номинальным объектом (вследствие малых изменений его параметров).

Синтез универсального регулятора для заданного семейства объектов — стандартная и амбициозная задача теории обратной связи. Проблема состоит в описании в исходных терминах всего стабилизируемого семейства объектов, в определении проверяемого условия существования универсального регулятора, в нахождении процедуры синтеза такого регулятора, а при возможности, и в описании всего семейства универсальных стабилизаторов.

Как уже отмечалось, существуют различные варианты постановок задач стабилизации семейств динамических объектов. Упомянем некоторые из них.

Так в теории робастной стабилизации рассматриваются задачи построения стабилизирующего регулятора для некоторых классов неопределенных объектов. Неопределенность объекта, в данном случае, выступает в роли возмущения номинального объекта. Номинальный объект при этом может рассматриваться как точка в некотором пространстве, а возмущенные объекты представляют собой другие точки, содержащиеся в окрестности номинального объекта. Универсальный регулятор строится в этом случае таким образом, чтобы стабилизировать любой объект из указанной окрестности. При этом неопределенность (параметрическая или частотная) предполагается в некотором смысле "ограниченной". Фактически, речь идет об одновременной стабилизации бесконечного семейства динамических объектов, "незначительно" отличающихся друг от друга.

Задачи адаптивной стабилизации возникают в случаях, когда необходи-

мо стабилизировать неопределеный объект, чьи динамические характеристики в процессе функционирования системы управления могут изменяться в сколь угодно широких пределах. В этом случае речь идет об одновременной стабилизации бесконечного семейства объектов, которые могут существенно отличаться друг от друга, но эти отличия удовлетворяют некоторому условию согласования. Так, при построении адаптивного регулятора неопределенность характеризуется набором неизвестных параметров и обратная связь используется не только для стабилизации, но и для того, чтобы оценить эти параметры в процессе функционирования объекта.

Методы абсолютной стабилизации, опирающиеся на теорию абсолютной устойчивости, предполагают построение регулятора, стабилизирующего некоторое множество нелинейных объектов, определяемых заданными линейными динамическими звеньями и заданным классом нелинейных статических звеньев.

В современной теории управления сформировались методы, позволяющие синтезировать универсальные стабилизаторы для параметрических семейств объектов, допускающих изменения неизвестного параметра в ограниченных или даже бесконечных пределах. К ним, в первую очередь, относятся: методы глубокой обратной связи или больших коэффициентов усиления; адаптивного управления; активного поиска; универсальные регуляторы Нуссбаума; методы теории систем переменной структуры и др. Общая особенность классов стабилизируемых подобными регуляторами объектов — постоянство их порядка и/или относительного порядка.

Поэтому естественным развитием проблемы синтеза универсального стабилизатора является переход к семействам объектов, вообще говоря, разных порядков и относительных порядков, но отличающихся, может быть, не только этим. Такие объекты называют разнородными. Впервые на проблему стабилизации в такой постановке обратили внимание J. Birdwell, D. Castanon и

M.Athans в 1979 г. А в 1982 г. R. Saeks и J.Murray ввели для нее термин одновременная стабилизация (simultaneously stabilizatioin).

Сегодня под задачей одновременной стабилизации семейства динамических объектов подразумевается поиск универсального регулятора, стабилизирующего, как правило, конечное семейство разнородных объектов.

Таким образом общепризнано, что для линейных скалярных и стационарных объектов, описываемых передаточными функциями вида (1), постановка задачи одновременной стабилизации формулируется следующим образом. Рассматривается к линейных стационарных объектов различных порядков щ_: і = 1,..., к_: с передаточными функциями

ттл ( \ /M^s) ттл ( \ Pk{s) ,_.

ai(s) a_k(s)

где pi(s) = Ьщ-^в¹⁴'¹ H h &o,i, (*i{s) = sⁿⁱ + a„,-i_;8s^nj_1 H h a_0ji, причем

все полиномы (3i(s)_: ckj(s) взаимно просты.

Спрашивается, существует ли универсальный линейный стационарный регулятор

ад = g, (4)

внутренне стабилизирующий все объекты (3). Решение задачи стабилизации в указанной постановке носит название полиномиального подхода.

Естественно, можно сформулировать задачу одновременной стабилизации и в пространстве состояний (матричный подход), рассматривая стабилизацию по выходу, или по состоянию.

При одновременной стабилизации по выходу к линейных стационарных скалярных объектов, задаваемых уравнениями

А_г є М^ПгХп% х,Ъ_г,с_г Є Ш^щ, и,уеШ, (5)

и находящихся в общем положении (управляемых и наблюдаемых), требуется построить универсальный линейный регулятор, задаваемый уравнениями

z = Rx + п/, ReR^lxl, zM Gl⁽, r,h₂ Є К, и = h\z + /i2l/,

который стабилизирует все объекты указанного семейства (5).²

Заметим, что в приведенных постановках задачи одновременной стабилизации объекты (3) или (5) являются строго физически реализуемыми, однако это требование можно ослабить и заменить на условие обычной физической реализуемости, что в случае полиномиального подхода предполагает выполнение неравенств deqa(s) ^ deq/3(s), а в случае матричного подхода объекты задаются уравнениями

х = AjX + biU,
А_г є М^ПгХп% х,Ь_иа є Ш^п\ u,y,d_{ Є R. (6)

у = _СгХ + d{U,

При одновременной стабилизации по состоянию к линейных стационарных управляемых объектов одинаковых порядков, задаваемых уравнениями

х = А_гх + Ьць, А_{ Є M^nxn, ж, Ь_г є М^п, и Є R, (7)

требуется построить универсальный линейный стационарный регулятор

и = вх, ЄєШ^п

стабилизирующий все объекты семейства (7), т.е. обеспечивающий устойчивость всех матриц

Аі = Аі + Ьів, і = 1,..., к.

²¹ Аналогичным образом ставятся задачи одновременной стабилизации для объектов дискретного времени

_xt+i ₌ _Axt _|_ _but^

у¹ = сх^г.

В какой-то степени задачи одновременной стабилизации семейства объектов близки к задачам теории робастной стабилизации, в рамках которой разрабатываются методы стабилизации объектов с параметрической неопределенностью, при этом параметры, как правило, меняются в некоторой области, заданной известными ограничениями. Важное отличие между задачами робастной стабилизации и одновременной стабилизации семейства объектов состоит в следующем. Во-первых, известные методы робастной стабилизация применяются к бесконечным семействам объектов одного и того же динамического порядка и одинаковой структуры, в то время как методы одновременной стабилизации семейств ориентированы на конечное число стабилизируемых объектов с, вообще говоря, различными динамическими порядками; во-вторых, в отличие от теории робастной стабилизации, объекты которой параметризованы неопределенными параметрами специальным образом и в этом смысле должны лежать "близко" к номинальному, для одновременной стабилизации семейств такое ограничение на класс объектов в явном виде отсутствует. Принципиальное отличие задачи одновременной стабилизации от задач робастной стабилизации можно продемонстрировать с помощью примера, приведенного в монографии V.Blondel (1995 г.) а именно, известно, что если для континуального семейства Р = {XW(s) : А Є [0; 1]}, где W(s) строго правильная передаточная функция порядка п, существует универсальный стабилизатор, то его порядок строго меньше Зп — 1; с другой стороны как доказал B.Ghosh в 1986 г., для конечного семейства Р' = {XW(s) : А = 0, -, 1} не существует оценки сверху порядка универсального регулятора (в случае его существования) для этого семейства, зависящей только от п.

За истекший период для решения задачи одновременной стабилизации предложены различные методы: это, например, метод факторизации, геометрический метод, методы параметризации в рамках полиномиального подхода, метод сверхстабилизации, методы, основанные на решении линейных матрич-

ных неравенств в рамках матричного подхода.

Как известно, для стабилизации одного объекта решение задачи всегда существует, более того, можно описать все стабилизующие регуляторы с помощью параметризации Youla.

Проблема возможности одновременной стабилизации двух динамических объектов, как показал Vidyasagar в 1982 г., сводится к задаче стабилизации одного объекта с помощью устойчивого регулятора (т.е. регулятора с устойчивой передаточной функцией) и допускает полное решение в терминах перемежаемости действительных нулей и полюсов объекта.

Но уже в случае одновременной стабилизации трех объектов общее решение проблемы отсутствует. Более того, известны результаты о так называемой рациональной неразрешимости задачи одновременной стабилизации к ^ 3 объектов. Blondel в 1994 году установил следующий факт: невозможно построить алгоритм, который позволял бы за конечное число шагов ответить на вопрос об одновременной стабилизации трех и более объектов, используя только коэффициенты их передаточных функций, арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление), логические операции ("и", "или") и системы равенств или неравенств. Поэтому в виду сложности решения проблемы одновременной стабилизации в общем случае, в современных исследованиях по указанной тематике предлагается использовать следующие подходы:

сужение классов объектов, для которых устанавливаются необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации;

получение общих необходимых условий одновременной стабилизации;

расширение классов объектов, для которых устанавливаются достаточные условия одновременной стабилизации;

ограничение класса регуляторов, среди которых устанавливается существование одновременно стабилизирующего регулятора.

Важно отметить, что в общем случае все известные критерии одновременной стабилизации трех и более объектов (Vidyasagar, Viswanadham, Ghosh, Blondel, Gevers, Mortini, Rupp и другие) либо носят неконструктивный характер и, фактически, сводят одну нерешенную задачу к другой, либо применимы к достаточно узким классам стабилизируемых объектов. Другими словами, в настоящее время нет алгоритмов, позволяющих в общем случае однозначно ответить на вопрос о существовании одновременно стабилизирующего регулятора для к ^ 3 объектов. В то же время многие известные необходимые условия одновременной стабилизации (Ghosh, Wei, Blondel, Gevers, Mortini, Rupp и другие), как правило, носят конструктивный характер, т.е. допускают численную реализацию и применимы к широким классам объектов. Известные в настоящее время достаточные условия (Maeda, Vidyasagar, Alos, Emre, Kwakernaak, Wei, Debowsky, Kurilowicz, Blondel, Campion, Gevers и другие) также, в основном, носят конструктивный характер, но применимы к узким классам объектов.

Отметим, что фактически, проблема одновременной стабилизации включает в себя две задачи: задачу об условиях существования одновременно стабилизирующего регулятора и задачу разработки конструктивного алгоритма его построения.

Цель диссертационной работы. Целью работы является разработка теории универсальных стабилизаторов для конечных семейств линейных скалярных динамических объектов.

В рамках поставленной задачи предполагается рассмотреть две проблемы:

1) проблему разработки новых подходов к решению задачи одновременной стабилизации линейных динамических объектов, позволяющих получать конструктивные условия существования одновременно стабилизирующего регулятора для конечного семейства динамических объектов (скалярных, векторных, стационарных и нестационарных);

2) проблему разработки алгоритмов построения универсальных стабилизаторов, допускающих численную реализацию.

При этом ограничения, накладываемые на порядок и параметры стабилизируемых объектов, должны быть минимальными.

Методы исследования. В работе использованы методы математической теории управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, интервальный анализ, топологические методы, матричный анализ.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

Проведен анализ и предложена классификация известных методов одновременной стабилизации конечных семейств линейных динамических объектов.
Разработана теория универсальных стабилизаторов для семейств динамических объектов, в рамках которой развиты новые подходы к одновременной стабилизации с помощью регулятора заданного порядка, основанные на исследовании аффинных полиномов и свойств аффинных преобразований пространства параметров регуляторов в пространство коэффициентов характеристических полиномов замкнутых объектов с использованием методов теории робастной устойчивости и теории систем линейных неравенств.
Получены новые конструктивные условия существования универсального стабилизатора для семейств динамических объектов различных порядков, обеспечивающего устойчивость замкнутых объектов как с произвольным спектром, так и с заданной степенью устойчивости.
Рассмотрена задача о существовании цифрового универсального стабилизатора для семейства динамических объектов различных порядков, для решения которой предложен метод синтеза стабилизатора, основанный на переходе к дискретным моделям замкнутых систем и получены условия од-

новременной стабилизации дискретных объектов с помощью единого дискретного регулятора.

Предложена численно реализуемая процедура (основанная на методах интревального анализа) построения одновременно стабилизирующего регулятора для семейств линейных стационарных скалярных динамических объектов.
Разработан новый метод исследования одновременной стабилизируемо-сти семейств векторных объектов, основанный на топологическом подходе.
На основе развитого топологического подхода к задаче одновременной стабилизации получены условия существования универсальных стабилизаторов для конечных семейств линейных векторных стационарных объектов, а также семейств линейных нестационарных объектов.
Предложены алгоритмы одновременной стабилизации с использованием разрывных законов управления.
Разработан новый метод построения универсальных стабилизаторов для объектов различных порядков в рамках матричного подхода.

Практическая значимость. Предложенные в работе методы одновременной стабилизации динамических объектов имеют не только теоретическую, но и практическую значимость и, в частности, могут быть использованы для решения задач стабилизации в условиях параметрической неопределенности, в условиях смены (возможно неконтролируемой) режимов функционирования объекта. Использование универсальных стабилизаторов позволяет существенно повышать надежность технических систем управления.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её части докладывались: на научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова; на научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление" под руковод-

ством академиков РАН СВ. Емельянова и С.К. Коровина; на Первой Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2005 (12-16 сентября 2005 г., г. Переславль); на Второй Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2007 (10-14 сентября 2007 г. Обнинск, Россия); на семинарах в университете Лафборо (Великобритания) 2007 г.; на Третьей Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2009 (Россия); на XI Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (ИПУ РАН), 2010; на Научной конференции "Ломоносовские чтения" в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2011 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 24 работах, из них 22 работы - в ведущих математических журналах (Доклады РАН, Дифференциальные уравнения, Автоматика и телемеханика) и рецензируемых сборниках. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.

Лично автором получены следующие результаты:

Анализ и классификация известных подходов и методов одновременной стабилизации линейных динамических объектов.
Методы одновременной стабилизации линейных стационарных объектов различных порядков универсальным регулятором заданной структуры.
Методы одновременной стабилизации с заданной степенью устойчивости линейных стационарных объектов.
Методы одновременной стабилизации линейных стационарных объектов универсальным цифровым регулятором.

Топологические методы одновременной стабилизации линейных динамических объектов.
Методы одновременной стабилизации линейных векторных объектов на основе разработанного топологического подхода.
Методы одновременной стабилизации линейных нестационарных динамических объектов.
Методы одновременной стабилизации регулятором переменной структуры.
Метод построения универсальных стабилизаторов по состоянию для линейных объектов различных порядков.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 284 страницы текста, состоит из введения, 5 глав и 2 приложений. Главы разбиты на параграфы, параграфы на пункты. Нумерация утверждений, теорем, лемм, замечаний, примеров и формул — двойная, сквозная по каждой главе. В конце приведена библиография из 93 наименований, вначале в алфавитном порядке перечислены работы на кириллице, затем в алфавитном порядке - работы на латинице.

Полиномиальный подход к проблеме одновременной стабилизации семейства объектов

Полиномиальный подход к решению задачи поиска универсального стабилизатора для семейств линейных стационарных динамических объектов предполагает представление этих объектов через передаточные функции вида (1.1). В рамках указаного подхода в настоящем разделе приводится ряд известных методов решения задачи одновременной стабилизации конечных семейств линейных скалярных стационарных объектов, позволяющих получать различные условия существования универсального стабилизатора, а также разрабатывать конструктивные алгоритмы его построения.

Далее будем рассматривать задачу одновременной стабилизации в следующей общей постановке [59]. Рассматривается к линейных стационарных объектов различных порядков пг, г — 1,...,к с передаточными функциями W%(s) Є F(s) с взаимно простыми числителями и знаменателями. Спрашивается, существует ли универсальный линейный стационарный регулятор R(s) Є IP(s), внутренне стабилизирующий все объекты }г(з).

Заметим, что в указанной постановке допускаются любые относительные порядки как для стабилизируемых объектов, так и для универсальных стабилизаторов (отрицательные, нулевые, положительные). Подобное допущение вполне естественно в рамках полиномиального подхода и позволяет получать результаты в достаточно общих формулировках, которые без труда переносятся для случая физически реализуемых или строго физически реализуемых объектов. В дальнейшем, при формулировках утверждений и изложении алгоритмов стабилизации будет отдельно оговариваться для каких классов объектов и стабилизаторов они формулируются.

Прежде чем перейти к задаче одновременной стабилизации нескольких объектов, рассмотрим задачу о существовании и построении регулятора, обеспечивающего внутреннюю стабилизацию одного объекта, а также проблему описания всего множества стабилизирующих регуляторов для заданного объекта. Будем предполагать, что все рассматриваемые объекты представляются в виде несократимых передаточнх функций. Из приведенных рассуждений вытекает следующее необходимое и достаточное условие внутренней стабилизации строго физически реализуемого объекта.

Основная идея метода факторизации (подробно изложенного в работе М. Vidyasagar в 1985 г. [87]) в теории стабилизации линейных объектов состоит в представлении передаточных функций объектов и регуляторов, которые обычно записываются в виде отношения двух полиномов, через отношения двух устойчивых дробно-рациональных функций. Указанная идея основана на следующих соображениях. Множество дробно-рациональных функций F(s) является полем относительно обычных операций сложения и умножения, при этом оно является полем частных кольца полиномов P[s] (см. теорему Б.1 прил. Б), а указанная алгебраическая структура и предполагает представление ее элементов в виде отношения двух полиномов. Эквивалентное представление дробно-рациональных функций можно получить с помощью множества SP устойчивых дробно-рациональных функций. Заметим, что это множество полем не является, поскольку не любой элемент из SP обратим, но при этом SP — это коммутативное кольцо с единицей, для которого понятия обратного элемента, делимости и взаимной простоты вводятся следующим образом.

Одновременная стабилизация с заданной степенью устойчивости

Наряду с проблемой одновременной стабилизации, предполагающей поиск универсального стабилизатора, обеспечивающего устойчивость каждого объекта из конечного семейства, представляет интерес и задача одновременной стабилизации с нагрузкой, заключающейся в построении для заданного конечного набора линейных объектов регулятора, который не только стабилизирует каждый объект из семейства, но и обеспечивает заданное расположение полюсов замкнутых объектов, когда все действительные части полюсов оказываются строго меньшими заданного числа —а (а 0). Такую задачу будем называть задачей одновременной а-стабилизации. Подобная задача может возникать при синтезе систем управления с заранее заданными показателями качества, например, при необходимости обеспечения желаемого времени переходных процессов.

В настоящем параграфе рассматривается задача одновременной а-стаби-лизации произвольного конечного числа линейных скалярных стационарных объектов произвольных порядков, для которых предложены проверяемые численно необходимые условия одновременной стабилизации, а также достаточное условие одновременной стабилизации регулятором заданного порядка с указанием алгоритмов построения стабилизирующего регулятора. Для решения указанных задач использован подход, основанный на взаимно-однозначном преобразовании областей «-устойчивости в пространствах коэффициентов полиномов.

Полином будем называть а-устойчивым, если на комплексной плоскости все его корни лежат строго левее вертикальной прямой Re s = —а, и а-неустойчивым в противном случае. Используя теорему 2.12, можно в явном виде привести взаимно-однозначное отображение пространства коэффициентов Еп полиномов вида (2.29) в себя Фа : Шп — R", при котором каждому се-устойчивому полиному p(s, а) (a-устойчивой точке а) соответствует устойчивый полином pa(s,a) (устойчивая точка а).

Обозначим через Sn и Un соответственно множества устойчивых и неустойчивых точек в пространстве Шп, а через Sa,n и Ua,n — множества а-устойчивых и а-неустойчивых точек соответственно.

Доказательство теоремы 2.13. Отождествим точки пространства W1 с соответствующими радиус-векторами. При этом координаты (ао, Cbn-i) точки а будут также являться координатами соответствующего радиус-вектора а (обозначения для точки и соответствующего радиус-вектора будем использовать одинаковые).

Доказательство теоремы 2.15. В силу теоремы 2.14 а-стабилизируе-мость объектов (2.27) эквивалентна существованию вектора параметров v — для которого полиномы (2.33) с коэффициентами (2.35) устойчивы. Но тогда, в силу необходимого условия устойчивости полиномов, все коэффициенты устойчивых полиномов либо строго положительны, либо строго отрицательны. А поскольку старшие коэффициенты знаменателей замкнутых систем равны единице, то условие (2.36) является необходимым условием их устойчивости. Теорема 2.15 доказана.

Используя известные [54] утверждения о совместности систем линейных неравенств (2.36), можно сформулировать следующее ранговое необходимое условие одновременной «-стабилизации линейных объектов (2.27). Уравнения с первого по четвертое представляют математическое описание работы объекта управления, цифро-аналогового преобразователя, цифрового вычислительного устройства (цифрового регулятора) и аналого-цифрового преобразователя. Здесь функции y(t)) u(t), e(t), g(t) представляют аналоговые сигналы выхода, управления, ошибки управления и задания соответственно (в случае системы стабилизации считаем задающий сигнал g(t) тождественно равным нулю), а дискретные функции и[гТ], е[гТ) представляют дискретные сигналы, определенные в дискретные моменты времени гТ (Т — период квантования); k(t) — весовая функция объекта управления, равная обратному преобразованию Лапласа от передаточной функции W(s); kc(t) — финитная весовая функция цифро-аналогового преобразователя (ее выбор, вообще говоря, неоднозначен), 6(і) — дельта-функция

Уравнения (2 42) задают непрерывно-дискретную модель системы управления, работа с которой представляет некоторые трудности (в силу одновре 143 менного присутствия в них и обычных и дискретных функций). В связи с этим для анализа таких систем, а также синтеза алгоритмов управления (стабилизации) удобно перейти к дискретной модели такой системы.

Таким образом, задача стабилизации непрерывного объекта с помощью цифрового регулятора может быть сведена к задаче стабилизации дискретного объекта дискретным регулятором в рамках приведенной модели (2.45).

Заметим, что поиск решения задачи одновременной стабилизации, заключающийся в поиске универсального регулятора для конечного семейства динамических объектов, может осуществляться, вообще говоря, в различных классах регуляторов, в том числе и среди цифровых регуляторов. Фактически, приведенные выше рассуждения позволяют свести задачу одновременной стабилизации универсальным цифровым регулятором к задаче одновременной стабилизации дискретных объектов универсальным дискретным регулятором.

В настоящем параграфе рассматривается задача одновременной стабилизации дискретных линейных стационарных объектов дискретным регулятором заданного порядка, при этом сформулировано легко проверяемое необходимое условие одновременной стабилизации, а также приведено достаточное условие одновременной стабилизации и построен конструктивный алгоритм поиска регулятора.

Общая схема алгоритма поиска универсального стабилизатора

Заметим, что необходимое условие теоремы (совместность системы (3.5)) дает возможность построить множество в пространстве параметров регулятора [50], в котором могут содержаться стабилизирующие параметры (если они существуют). Ниже, на рис. 3.1, представлена общая схема поиска одновременно стабилизирующего регулятора (3.2) для объектов .

Как видно из схемы анализ совместности и ограниченности множества решений системы (3.5)) дает нам три возможных ситуации: 1. Система линейных неравенств (3.5) несовместна. Тогда стабилизирующих параметров не существует и объекты (3.1) одновременно не стабилизируемы. 2. Система линейных неравенств (3.5) совместна и множество ее решений ограничено. В этом случае можно построить (см. пункты 2.3 и 2.4 настоящей главы) численный алгоритм поиска стабилизирующих параметров в ограниченной области пространства параметров (до,..., qi-i,po, ,Pi) регулятора ((2/ + 1)-мерном параллелепипеде) с использованием методов интервального анализа [16]. При этом упомянутая область поиска должна содержать все множество решений системы неравенств (3.5). Один из способов поиска ограниченной области приведен, например, в [54]. Заметим, что в случае ограниченности множества решений системы неравенств (3.5), соответствующая система однородных неравенств 3.7 не совместна. Система линейных неравенств (3.5) совместна и множество ее решений не ограничено. В этом случае построение численной процедуры поиска стабилизирующих параметров осложняется тем, что нельзя однозначно определить в какой именно ограниченной области во множестве решений системы (3.5) надо искать эти стабилизирующие параметры, поскольку численные алгоритмы работают только на ограниченных множествах. Заметим, что в случае неограниченности множества решений системы (3.5) система (3.7) может оказаться как совместной так и не совместной.

Таким образом, основной проблемой построения численных алгоритмов поиска одновременно стабилизирующего регулятора для объектов (3.1) в случае 3) является задача локализации ограниченной области в пространстве параметров (cfo,... , qi-i,Po, iVi)- в которой, в случае их существования, содержатся стабилизирующие параметры.

Алгоритм расчета параметров одновременно стабилизирующего регулятора по cj-устойчивому решению системы (3.7) приведен в параграфе 2.1. Более подробное представление численной реализации этого алгоритма приведено в параграфе 3.5 настоящей главы.

Таким образом, задачу поиска одновременно стабилизирующего регулятора для объектов (3.1) в случае, когда система (3.5) имеет неограниченное множество решений можно разбить на три этапа. 1) Поиск w-устойчивого решения системы (3.7); 2) Построение устойчивого решения системы (3.5) по w-устойчивому решению системы (3.7); 3) Построение одновременно стабилизирующего регулятора по устойчивому решению системы (3.5). Ниже, в параграфе 3.3 приведено утверждение о локализации области поиска w-устойчивого решения системы (3.7), сформулированы основные понятия интервального анализа [16] и приведен алгоритм поиска w-устойчивого решения системы (3.7) на основе методов интервального анализа. анализа для построения алгоритма поиска -стабилизирующих параметров Методы интервального анализа [16] позволяют строить численные алгоритмы, обеспечивающие гарантированную аппроксимацию множеств, описанных с помощью различных систем равенств и неравенств и, в силу этого, дает возможность применения этих методов в инженерной практике и компьютерных расчетах. Ниже приведены основные понятия интервального анализа.

Основным объектом интервального анализа является, так называемое вещественное интервальное число. Вещественное интервальное число [х] — од-носвязное подмножество из Ш, для простоты называемое интервалом. Нижняя граница интервала [х] обозначается х и определяется как х = sup{a ElU {—со, со} Ух Є [х] а х]. Верхняя граница интервала [х] обозначается х и определяется как х = Ы{Ь Є R U {-оо, со} \/х Є [х] Ъ х}. Ширина непустого интервала [х] определяется как if ([я]) — х — х. Обозначим через Ж множество всех замкнутых интервалов. Тогда любой интервал [х] из Ш. может быть единственным образом задан своей нижней х и верхней х границами: [х] = [х, х] Для интервальных чисел вводятся основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и теоретико-множественные операции (объединение, пересечение, декартово произведение и др., см. [16]).

Основное отличие численных алгоритмов, построенных на основе методов интервального анализа от алгоритмов, предполагающих использование сеточных методов заключается в том, что результаты, получаемые с помощью обычных численных методов носят локальный характер и не гарантируют, что все точки множества, покрытого сеткой, удовлетворяют тем же свойствам, которым удовлетворяют узлы сетки. Методы интервального анализа, в свою очередь, дают возможность аппроксимировать множество, удовлетворяющее необходимым свойствам, выпуклыми множествами — параллелотопами, внутренние точки которых гарантированно обладают нужными свойствами.

Достаточное условие одновременной стабилизации на основе топологического метода

Решение задачи о существовании общего стабилизатора для объектов (4.1) при выборе параметров из условий (4.5) сводится к вопросу о пересечении множеств Лг, т.е. стабилизатор существует. Достаточные условия существования общего стабилизатора дает следующая теорема. Теорема 4.1. Пусть задано семейство линейных векторных стационарных динамических объектов одинакового порядка (4.1) и для каждого объекта построен свой стабилизатор Я,г = R(Xt) вида (4.4) (здесь Хг — единичные векторы (4-6)) .

Доказательству теоремы предпошлем лемму, но вначале приведем некоторые факты из топологии. Пусть р\,... ,рп — множество точек евклидова пространства . Доказательство теоремы. Пусть 5/ = (Лг1,..., Xla) — произвольная грань симплекса S — (Лі,..., Л/с) С Rfc, образованная его вершинами с индексами из множества / = {г\,... ,ia] С {1,..., к}. В соответстствии с условием теоремы, если Л Є 5/, то регулятор R(\ ) является стабилизирующим хотя бы для одного из объектов подсемейства семейства (4.1), определяемого набором индексов /, т.е. Л Е tj Лг, где Лг — введенные выше открытые множества наборов Л таких, что Й(Л) стабилизатор для г-ro объекта. Следовательно, Si G (J Лг. Но тогда, по доказанной лемме 1, к г=1 Теорема доказана. Замечание. В силу того, что наборы параметров Лг, отвечающие стабилизаторам для объектов (4.1), являются единичными векторами (в условиях теоремы 1), то выпуклая комбинация этих стабилизаторов может быть описана наборами Л, удовлетворяющими условиям к Лг 0, ]Глг = 1. (4.8) Проиллюстрируем действие теоремы 4.1 на простом примере. На третьем шаге алгоритма требуется проверить, удовлетворяет ли система (4.18) при каждом допустимом наборе Л = (Лі,..., Л&) условию теоремы 4.1. Покажем, что эта проверка приводит к анализу положительности в замкнутых областях функций от Л, причем эти функции имеют вид мини-макса. Для этого подставим стабилизатор (4.18) в каждую из систем г. В настоящем параграфе рассматривается задача о существовании (а, по возможности, и построении) единого стабилизатора для заданного конечного семейства линейных нестационарных динамических объектов. Подобная задача возникает в случаях, когда параметры объекта управления могут меняться в процессе функционирования (например, в результате износа различных узлов) и при этом возможно скачкообразное изменение математической модели объекта в результате прогнозируемых сбоев.

Как показано выше, усилиями многих исследователей получены различные условия существования общего стабилизатора для семейств динамических объектов различных типов. Подавляющее большинство относится к линейным стационарным объектам. Задача же для нестационарных объектов рассматривается редко ввиду ее сложности, многие подходы, используемые для стационарных объектов (например, алгебраические) плохо переносятся на нестационарный случай.

В данном разделе для решения задачи предлагается использовать топологический метод, который был описан в параграфе 4.2 для стационарного случая. Подход основан на поиске общего стабилизатора в виде линейной комбинации стабилизаторов для отдельных объектов и применения известных утверждений о свойствах множеств на симплексах. Такой подход позволяет получить достаточные условия существования общего стабилизатора и для семейства нестационарных линейных объектов. Далее подробно рассматривается задача одновременной стабилизации линейных скалярных нестационарных объектов. Разработанный при этом подход может быть применим и для решения задачи одновременной стабилизации линейных векторных нестационарных объектов.

Однако условие асимптотической устойчивости линейной нестационарной системы (в частности, системы (4.29)) является не грубым (оно может нарушаться при определенных условиях при сколь угодно малых возмущениях параметров системы). Поэтому первый вопрос, который рассматривается в работе, это построение стабилизаторов, обладающих некоторой устойчивостью к малым вариациям параметров системы. Основной же задачей работы является получение условий, гарантирующих существование регулятора вида (4.28), решающего задачу стабилизации сразу для всех объектов семейства (4.27) (т.е. общего или универсального стабилизатора).

Под задачей робастной стабилизации линейного нестационарного объекта будем понимать выбор стабилизатора вида (4.28), обеспечивающего отрицательность особого показателя для замкнутой системы (типа (4.29)). Это позволяет сохранять асимптотическую устойчивость системы при произвольных достаточно малых вариациях параметров. Покажем, что этого всегда можно добиться выбором стабилизатора вида (4.28). Для этого, по аналогии со стационарным случаем, разобьем задачу стабилизации объекта (4.27) по выходу на задачу наблюдения (восстановления фазового вектора х {і)) и задачу стабилизации по известному фазовому вектору. Применим к системе (4.31) и наблюдателю обратное ляпуновское преобразование (сохраняющее все соответствующие показатели). Для наблюдателя (4.34) перейдем от координат х к х = L (t) х. В новых координатах наблюдатель (4.34) имеет вид