Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Дифференциальные уравнения и возмущащая функция ... 9
1.1. Уравнения движения 9
1.2. Разложение возмущающей функции, обусловленной несферичностью геопотенциала 13
1.3. Разложение возмущающей функции от притяжения внешнего тела 23
Глава 2. Движение спутника в поле геопотенциала 32
2.1. Метод интегрирования 32
2.2. Вековые возмущения 34
2.3. Долгопериодические возмущения 39
2.4. Короткопериодические возмущения 44
2.5. Второе приближение 51
2.6. Оценка вековых возмущений и некоторые замечания 55
Глава 3. Возмущения в движении спутника от притяжения солнца . 58
3.1. Вводные замечания 58
3.2. Вековые возмущения 59
3.3. Прямые периодические возмущения 61
3.4. Смешанные периодические возмущения 63
3.5. Формулы второго приближения 70
Глава 4. Возмущений в движении спутника от притяжения луны . 73
4.1. Вводные замечания 73
4.2. Вековые возмущения 73
4.3. Периодические возмущения 74
4.4. Возмущения от лунных неравенств 77
4.5. Некоторые заключительные замечания и оценка вековой составляющей лунно-солнечных возмущений 89
Глава 5. Построение полуаналитической методики расчета движения исз типа навстар 92
5.1. Постановка задачи 92
5.2. Анализ структуры возмущений 93
5.3. Исходная система уравнений 97
5.4. Процедура усреднения 99
5.5. Реализация алгоритма и численный эксперимент 100
5.6. Рабочие формулы алгоритма 104
Заключение 115
Литература 118
- Разложение возмущающей функции, обусловленной несферичностью геопотенциала
- Оценка вековых возмущений и некоторые замечания
- Смешанные периодические возмущения
- Некоторые заключительные замечания и оценка вековой составляющей лунно-солнечных возмущений
Введение к работе
Широкое использование в настоящее время искусственных спутников Земли для решения различных практических задач приводит к необходимости постоянного совершенствования уже имеющихся и создания новых методик расчёта их движения. Значительное место среди них отводится аналитическим методам. Достаточно подробный обзор полученных в этом направлении результатов содержится а [і]. Поэтому здесь мы ограничимся лишь кратким введением к теме нашего исследования и минимальным количеством библиографических ссылок.
Построение аналитической теории основывается, как правило, на выборе какой-либо промежуточной орбиты и дальнейшем учёте возмущений этой промежуточной орбиты [2 - 4J. При этом выделяется так называемая главная проблема в теории движения ИСЗ - проблема учёта второй зональной гармоники геопотенциала, как наиболее существенной для большей части спутниковых орбит* Решается она либо применением методов теории возмущений к кеплеровой промежуточной орбите [5,б], либо построением промежуточной орбиты, включающей в себя влияние второй зональной гармоники [7]. Среди различных решений главной проблемы при помощи построения промежуточной орбиты решение, полученное на основе обобщённой задачи двух неподвижных центров (эйлерова орбита) [4,8J, бесспорно является наилучшим. В этом решении полностью учитывается вторая, третья и частично четвертая зональные гармоники геопотенциала. Предложенная впервые ещё в 1961 году [9J, идея аппроксимации потенциала
Земли потенциалом обобщённой задачи двух неподвижных центров оказалась чрезвычайно плодотворной и до сих пор не исчерпала все возможности её применения.
Очевидным является преимущество использования эйлеровой орбиты для построения аналитической теории движения спутника, так как в этом случае уже в первом приближении можно учесть влияние смешанных со второй зональной гармоникой возмущений.
Важность учёта таких возмущений, а также возмущений, обусловленных взаимодействием между собой гармоник более высокого порядка, была хорошо показана Кс. Берже [lO,IIJ. С этой целью им была построена на основе кеплеровой орбиты аналитическая теория движения спутника несферичной планеты 3-го порядка относительно сжатия, учитывающая взаимодействие семи первых зональных гармоник геопотенциала f12].
Работа по построению аналогичной теории на основе симметричного варианта эйлеровой орбиты была предпринята впервые Е.И.Ти-мошковой. Ею были получены дифференциальные уравнения типа Лагра-нжа для оскулирующих эйлеровых элементов [із], найдено соответствующее этим уравнениям разложение возмущающей функции геопотенциала [l4] и определены комбинированные со сжатием вековые возмущения элементов орбит спутников [15].
В данной работе также ставится задача построения аналитической теории движения ИСЗ на основе симметричной эйлеровой орбиты. Модель возмущающих сил ограничена притяжением центрального тела (Земли) и внешних тел (Луны и Солнца). Используются уравнения движения спутника в форме Лагранжа [із], и разложение возмущающей функции от притяжения центрального и внешнего тел, полученное автором [іб]. Методом последовательных приближений определяются вековые, долгопериодические и короткопериодические возмуще-
ния от произвольной гармоники геопотенциала, а также лунно-солнечные возмущения. Основное отличие от выполненных ранее в этом направлении работ (например, [17 - 2IJ) состоит в том, что эффект взаимодействия гармоник геопотенциала и внешнего тела со второй зональной гармоникой учтён здесь полностью.
В работе рассматривается также возможность применения эйлеровой орбиты для построения полуаналитической методики расчёта движения ИСЗ. Существующие в настоящее время методики такого типа основаны на кеплеровой орбите [22-24]. Нами был разработан алгоритм построения полуаналитической методики расчёта движения ИСЗ в эйлеровых элементах [25], и осуществлена его программная реализация на ЭВМ БЭСМ-6 в системах программирования аналитических выкладок БОРА [2б]и УІШ [27]. Вариант алгоритма, в котором учтено сжатие и лунно-солнечное притяжение, применён к расчёту движения ИСЗ типа НАВСТАР [28].
Изложение представленного в диссертации материала распределено по главам следующим образом.
В главе I приводится вид используемых в дальнейшем дифференциальных уравнений возмущённого движения спутника и выполняется разложение возмущающей функции, обусловленной несферичностью потенциала Земли и лунно-солнечным притяжением. Для случая внешних тел рассмотрены различные способы задания модели их движения (экваториальные кеплеровские элементы; эклиптические кеплеров-ские элементы; теория Хилла-Брауна для Луны и теория Ныакома для Солнца). Разложения возмущающих функций выполнены с точностью до членов порядка произведения сжатия на возмущающий фактор fl6,29j.
В главе 2 строится аналитическая теория движения спутника в поле притяжения несферичной Земли. Получены в явном виде формулы, описывающие прямые и смешанные со второй зональной гармони-
кой возмущения в движении ИСЗ от произвольной гармоники в разложении геопотенциала. Выполнены сравнительные оценки величины прямых и смешанных вековых возмущений для различных орбит ИСЗ[30].
В главах 3 и 4 выводятся формулы для вычисления возмущений в движении спутника от притяжения внешних тел. Как и в случае геопотенциала, выполнены оценки прямых и смешанных вековых возмущений [30].
В главе 5 эйлерова орбита применяется к построению полуаналитической методики расчёта движения ИСЗ типа НАВСТАР [25,28]. Приводятся также некоторые результаты численного анализа структуры возмущений в движении спутников этого класса [зі].
Научная новизна данной работы состоит в следующем:
а) получено с точностью до членов порядка произведения сжатия
на возмущающий фактор общее разложение для потенциалов
центрального и внешнего тел;
б) выведены явные формулы для полного учёта комбинированных
со сжатием возмущений от произвольной гармоники в разложе
нии этих потенциалов;
в) сделана строгая численная оценка структуры возмущений в
движении спутников типа НАВСТАР и создана на основе эйле
ровой орбиты приближённая методика расчёта их движения.
Материал, изложенный в главах 1-4, представляет практическую ценность как основа для построения аналитической теории движения спутника 3-го порядка относительно сжатия.
Практическая ценность предложенной в главе 5 полуаналитической методики состоит в возможности использования её для приближённого оперативного расчёта параметров движения навигационных ИСЗ.
Актуальность выполненной работы обусловлена с одной стороны -
потребностью в простых оперативных алгоритмах пользователей системы спутников типа НАВСТАР, с другой - необходимостью построения аналитической теории, соответствующей точности современных лазерных наблюдений ИСЗ.
Объем диссертационной работы составляет в целом 122 страницы машинописного текста. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и содержит 7 таблиц и 2 рисунка. Список используемой литературы включает 49 наименований.
Автор выносит на защиту:
Разложение по эйлеровым элементам с точностью до членов порядка произведения сжатия на возмущающий фактор пертурбационной функции геопотенциала и внешнего тела.
Аналитическую методику вычисления комбинированных со сжатием возмущений от произвольной гармоники геопотенциала и лунно-солнечного притяжения.
Полуаналитическую методику расчета движения ИСЗ в эйлеровых элементах.
Разложение возмущающей функции, обусловленной несферичностью геопотенциала
Полученные в этой и предыдущих главах формулы можно рассматривать как первый шаг на пути к построению аналитической теории движения спутника 3-го порядка относительно сжатия в поле притяжения Земли, Луны и Солнца. Для достижения такой конечной цели необходимо будет учесть взаимодействие между собой всех гармоник в разложении геопотенциала и потенциалов Луны и Солнца, приводящее к возмущениям указанного порядка.
Необходимо также вычислить таблицы тех членов неравенств в параллаксе, долготе и широте возмущающих тел, которые приводят к возмущениям в движении спутника, сравнимым по порядку с учитываемыми. Приведём в заключение результат оценки вековой составляющей лунно-солнечных возмущений, выполненной по формулам, исходящим из разложения потенциала внешнего тела в виде (1.3.43) [зо] ( табл. 2 и 3 ). Проделанные расчёты показывают, что для низких спутников вековые возмущения от смешанных членов /z, где Yz есть порядок хилловского члена в разложении лунной возмущающей функции, сравнимы с прямыми возмущениями от членов Y2 , принадлежащих второму параллактическому члену этого разложения. Возмущения от смешанных членов /3 даже превосходят на порядок возмущения от прямых членов Ун Дяя высоких ИСЗ влияние членов s ifz сравнимо с влиянием членов / , . Аналогичное сопоставление для солнечных возмущений в движении невысокого спутника показывает, что вековые возмущения вг/ на шесть порядков превосходят прямые возмущения. Как известно, спутниками типа НАВСТАР принято называть ИСЗ, входящие в навигационную систему спутников, характеризующихся следующими значениями периода обращения Т , эксцентриситета е и наклона I :
Построение аналитической теории расчёта движения таких спутников приводит к проблеме малых знаменателей в долгопериодичес-ких членах. В то же время универсальные методы точного численного интегрирования, для которых такой проблемы не существует, могут оказаться недостаточно оперативными для пользователей навигационной системы. Выход из создавшегося положения возможен на пути использования так называемой полуаналитической методики.
Основные принципы построения полуаналитических алгоритмов хорошо изложены в работе М.Л.Лидова [45 J. Сущность их сводится к основной идее методов теории возмущений и состоит в исключении из правых частей дифференциальных уравнений движения быстрой переменной, связанной с движением спутника по орбите. Эта операция существенно упрощает правые части дифференциальных уравнений и позволяет во много раз увеличить шаг интегрирования, размеры которого будут определяться самой быстрой из оставшихся переменных ( например, средней аномалией Луны ).
В настоящее время существуют программные реализации такого типа методик в применении к геостационарному ИСЗ /22 J, спутнику типа НАВСТАР [23] и спутнику типа МОЛНИЯ [24]. Все они построены на основе кеплеровой орбиты. Использование с этой целью орбиты, уже содержащей в себе учёт наиболее значительного возмущающего фактора V2 0 » даст возможность повысить быстродействие расчётного алгоритма. Реализация такого алгоритма представляет интерес также и с чисто методической точки зрения.
Ранее, при помощи численных методов, нами был выполнен подробный анализ структуры возмущений в движении спутников рассматриваемого класса [Зі]. Оценивались возмущения на интервале в 30 суток. В качестве рабочего инструмента использовались две программы численного интегрирования. Оценка наиболее значительных возмущений выполнялась по программе, реализующей метод Адамса-Мультона 8-го порядка [46] и дающей гарантированную точность 100 м на рассматриваемом интервале. Более тонкая структура исследовалась при помощи программы, основанной на интеграторе Эверхарта [зі], методическая точность которой порядка 0.1 см. Вклад каждого рассматриваемого возмущающего фактора определялся по разности двух интегрирований - с учётом этого фактора и без него. С целью выявления максимально возможного возмущения вари-ировались начальные значения угловых элементов орбиты спутника.
Приведём для примера график, ішгострирующий зависимость максимума лунно-солнечных возмущений от элементов to и О. на 30-суточном интервале (рис.1). На этом графике Д =уАз 2+ду2+Л 2, а начальные элементы орбиты спутника и) и ъ2 изменяются от 0 до 360.
Характер такой зависимости сохраняется и на большем интервале времени. На рисунке 2 кривая I представляет максимальные лунно- солнечные возмущения на интервале в 30 суток, а кривая 2 - на интервале в 90 суток.
Оценка вековых возмущений и некоторые замечания
В настоящей работе рассмотрены два аспекта применения эйлеровой промежуточной орбиты: а) построение на основе эйлеровой орбиты аналитической тео рии движения искусственного спутника Земли; б) построение полуаналитической методики расчета движения ИСЗ в эйлеровых элементах. В первом случае конечной целью является построение аналитической теории движения спутника 3-го порядка относительно сжатия. В данной работе выполнен лишь один из двух этапов этой большой и трудоемкой задачи - полностью учтены смешанные со второй зональной гармоникой возмущения. При этом силовое поле было ограничено наиболее значительными гравитационными факторами в движении широкого класса спутников - геопотенциалом и потенциалами внешних тел: Луны и Солнца. В итоге проделанной работы получены следующие новые результаты: I. Найдено с точностью до членов порядка произведения сжатия на возмущающий фактор разложение возмущающей функции от притяжения центрального и внешних тел. При этом для случая внешних тел рассмотрены различные модели задания их движения: кеплеров-ские элементы, отнесенные к экваториальной плоскости; кеплеров-ские элементы, отнесенные к плоскости эклиптики; ряды Хилла -Брауна для Луны и ряды Ньюкома для Солнца. 2. Получены явные формулы для вековых, долгопериодических и короткопериодических возмущений эйлеровой орбиты от произвольной гармоники геопотенциала, включающие в себя все смешанные со второй зональной гармоникой возмущения. Это потребовало выполнения первого приближения и части операций из второго приближения в применении к уравнениям типа Лагранжа. 3. С точностью до смешанных со сжатием членов получены формулы для вычисления лунно-солнечных возмущений в движении ИСЗ. Целью второго аспекта применения эйлеровой орбиты было создание на основе полуаналитической методики приближенного алгоритма для оперативного расчета параметров движения навигационных ИСЗ типа НАВСТАР. При помощи точных численных методов был выполнен подробный анализ важнейших возмущающих факторов в движении спутников данного класса. Далее, с использованием усредняющих преобразований Ли, был разработан алгоритм построения полуаналитической методики расчета движения ИСЗ в эйлеровых элементах, и осуществлена его программная реализация на ЭВМ БЭСМ-6 в системах программирования аналитических выкладок БОРА [26] и УШІ [27j.
В результате проделанной работы получен алгоритм, в котором учитывается сжатие и лунно-солнечное притяжение. Этот алгоритм был успешно применен к решению одной из важнейших тем, выполняемых в лаборатории небесной механики НИЖШМ при Томском госуниверситете.
В заключение автор считает своим долгом выразить благодарность В.К.Абалакину за поддержку данной работы, всем соавторам - за возможность использования в главе 5 результатов совместных работ, а Т.В.Бордовищной и А.МЛерницову также и за советы относительно стиля изложения.
Автор благодарит сотрудников лаборатории небесной механики и звездной динамики АО ЛГУ за внимание к работе и обсуждение полученных результатов.
Особое чувство признательности автор испытывает к Е.И.Тимош-ковой, К.В.Холшевникову и Н.В.Емельянову, советы и замечания которых в процессе выполнения данной работы были наиболее полезны.
Смешанные периодические возмущения
В работе рассматривается также возможность применения эйлеровой орбиты для построения полуаналитической методики расчёта движения ИСЗ. Существующие в настоящее время методики такого типа основаны на кеплеровой орбите [22-24]. Нами был разработан алгоритм построения полуаналитической методики расчёта движения ИСЗ в эйлеровых элементах [25], и осуществлена его программная реализация на ЭВМ БЭСМ-6 в системах программирования аналитических выкладок БОРА [2б]и УІШ [27]. Вариант алгоритма, в котором учтено сжатие и лунно-солнечное притяжение, применён к расчёту движения ИСЗ типа НАВСТАР [28].
Изложение представленного в диссертации материала распределено по главам следующим образом.
В главе I приводится вид используемых в дальнейшем дифференциальных уравнений возмущённого движения спутника и выполняется разложение возмущающей функции, обусловленной несферичностью потенциала Земли и лунно-солнечным притяжением. Для случая внешних тел рассмотрены различные способы задания модели их движения (экваториальные кеплеровские элементы; эклиптические кеплеров-ские элементы; теория Хилла-Брауна для Луны и теория Ныакома для Солнца). Разложения возмущающих функций выполнены с точностью до членов порядка произведения сжатия на возмущающий фактор fl6,29j.
В главе 2 строится аналитическая теория движения спутника в поле притяжения несферичной Земли. Получены в явном виде формулы, описывающие прямые и смешанные со второй зональной гармоникой возмущения в движении ИСЗ от произвольной гармоники в разложении геопотенциала. Выполнены сравнительные оценки величины прямых и смешанных вековых возмущений для различных орбит ИСЗ[30].
В главах 3 и 4 выводятся формулы для вычисления возмущений в движении спутника от притяжения внешних тел. Как и в случае геопотенциала, выполнены оценки прямых и смешанных вековых возмущений [30].
В главе 5 эйлерова орбита применяется к построению полуаналитической методики расчёта движения ИСЗ типа НАВСТАР [25,28]. Приводятся также некоторые результаты численного анализа структуры возмущений в движении спутников этого класса [зі]. Научная новизна данной работы состоит в следующем: а) получено с точностью до членов порядка произведения сжатия на возмущающий фактор общее разложение для потенциалов центрального и внешнего тел; б) выведены явные формулы для полного учёта комбинированных со сжатием возмущений от произвольной гармоники в разложе нии этих потенциалов; в) сделана строгая численная оценка структуры возмущений в движении спутников типа НАВСТАР и создана на основе эйле ровой орбиты приближённая методика расчёта их движения. Материал, изложенный в главах 1-4, представляет практическую ценность как основа для построения аналитической теории движения спутника 3-го порядка относительно сжатия. Практическая ценность предложенной в главе 5 полуаналитической методики состоит в возможности использования её для приближённого оперативного расчёта параметров движения навигационных ИСЗ. Актуальность выполненной работы обусловлена с одной стороны - потребностью в простых оперативных алгоритмах пользователей системы спутников типа НАВСТАР, с другой - необходимостью построения аналитической теории, соответствующей точности современных лазерных наблюдений ИСЗ. Объем диссертационной работы составляет в целом 122 страницы машинописного текста. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и содержит 7 таблиц и 2 рисунка. Список используемой литературы включает 49 наименований. Автор выносит на защиту: 1. Разложение по эйлеровым элементам с точностью до членов порядка произведения сжатия на возмущающий фактор пертурбационной функции геопотенциала и внешнего тела. 2. Аналитическую методику вычисления комбинированных со сжатием возмущений от произвольной гармоники геопотенциала и лунно-солнечного притяжения. 3. Полуаналитическую методику расчета движения ИСЗ в эйлеровых элементах.
Некоторые заключительные замечания и оценка вековой составляющей лунно-солнечных возмущений
При помощи формул (2.2.5) и (2.2.6) была выполнена оценка вклада прямых и смешанных возмущений в вековое изменение элементов орбиты искусственного спутника Земли. Рассматривались варианты, в которых полуось изменялась в пределах от 8 000 до 40 000 км, эксцентриситет от 0.01 до 0.2, наклон от 10 до 90. Приведём здесь в качестве примера лишь вариант, в котором важность смешанных возмущений в сравнении с прямыми возмущениями проявляется особенно наглядно (табл.1). Результаты приведенные в этой таблице показывают, что в случае орбит спутников с d 40 000 км вековые возмущения от гармоник геопотенциала сравнимы между собой для членов пропорциональных „и С1о 0 , аг С8о и С . Возмущения от членов Со на порядок больше возмущений от членов пропорциональных zCgo и С12 0 .
Полученные в данной главе формулы решают задачу полного учёта комбинированных со второй зональной гармоникой возмущений в теории движения искусственного спутника в гравитационном поле Земли. Эти формулы содержат стандартные функции наклона Каулы и коэффициенты Ганзена, для вычисления которых могут быть использованы готовые процедуры из Фонда алгоритмов и программ Института теоретической астрономии АН СССР, опубликованные в [42] и [43J. Дальнейшее уточнение изложенной теории требует учёта комбинированного влияния на спутник различных зональных гармоник геопотенциала с номером Ті 2, так как возникающие от такого взаимодействия возмущения сравнимы по порядку с возмущениями, смешанными со второй зональной гармоникой.
В этой и следующей главах будут получены формулы для вычисления вековых и периодических возмущений порядков Y и Y в движении ИСЗ от притяжения Луны и Солнца. Наиболее подходящим для этой цели является разложение возмущащей функции в виде (1.3.43), в котором для модели движения Луны и Солнца используются соответственно ряды Хилла-Брауна и Ньюкома. Однако такое представление возмущающей функции приводит в процессе интегрирования к громадному количеству аналитических выкладок, что вряд ли осуществимо без помощи ЭВМ. Поэтому мы предпочли здесь такому разложению выражения для возмущающей функции вида (1.3.14) и (1.3.36). движение внешнего тела задается в этих разложениях кеплеровским эллипсом, позиционные элементы которого постоянны, а угловые являются линейными функциями времени. Такая орбита, отнесенная к плоскости экватора в случае Солнца и к плоскости эклиптики в случае Луны, достаточно близка к их реальному движению, а ряды для возмущений элементов находятся при этом в компактном, удобном для программирования виде. Отрезки рядов, обусловленные неравенствами в движении Луны или Солнца, имеют ограниченную длину, и их можно учесть по методике, предложенной в работе [44].
