Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор петлевой гравитации 9
1.1 Канонический формализм — гравитация Аштекара-Барберо 9
1.2 Гильбертово пространство 11
1.3 Физические результаты 14
1.4 "Spin foam" модели 16
2 Лоренц-ковариантная каноническая формулировка гравитации 20
2.1 Обобщённое действие Гильберта-Палатини 20
2.2 Канонический анализ ковариантной формулировки 22
3 Квантование методом функциональных интегралов 26
3.1 BRST квантование ковариантной формулировки 26
3.2 Функциональный интеграл и параметр Иммирци 28
4 Ковариантная петлевая гравитация и оператор площади 31
4.1 Оператор площади в квантовой гравитации 31
4.2 Лоренцева связность в ковариантном формализме 33
4.3 Спектр оператора площади 35
4.4 Трансформационные свойства при временных диффеоморфизмах 37
4.5 Воспроизведение результатов SU(2) подхода 41
5 Структура гильбетова пространства 44
5.1 Спроецированные Вильсоновские линии 44
5.2 "Spin networks" 48
5.3 Гильбертово пространство 49
5.3.1 Пространство состояний 50
5.3.2 Скалярное произведение 56
5.3.3 Калибровочно инвариантное подпространство 58
5.3.4 Связь с SU(2) пространством состояний 61
5.4 Обсуждение построенной модели 62
Заключение 64
- Гильбертово пространство
- Канонический анализ ковариантной формулировки
- Функциональный интеграл и параметр Иммирци
- Трансформационные свойства при временных диффеоморфизмах
Введение к работе
Данная диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию квантовой гравитации в рамках петлевого подхода.
Актуальность темы исследования.
Одной из основных проблем, стоящих перед современной теоретической физикой, является задача построения теории квантовой гравитации. Помимо чисто теоретического интереса решение этой проблемы может быть связано со множеством актуальных вопросов, на которые наука пока не способна дать ответ. Так понимание физики на планковских масштабах, где квантовые эффекты гравитации играют ведущую роль, обещает пролить свет на природу ультрафиолетовых расходимостей квантовой теории поля. Великое объединение взаимодействий может быть возможно только при учёте гравитации, а в теории суперструн она появляется с необходимостью, и потому с необходимостью должна квантоваться. Наконец возможно, что наша Вселенная была рождена из эпохи квантовой гравитации, и поэтому для понимания явлений, происходивших в то время, и дальнейших процессов, приведших мир к современному состоянию, необходима её последовательная теория.
Существует несколько подходов к квантованию гравитации. Особое место здесь занимают теория суперструн и различные суперсимметричные теории. В них обеспечивается возможность объединения гравитации с полями материи, но рассмотрение сопровождается рядом принципиальных проблем, главная из которых — зависимость теории от фоновой метрики. Фоновая независимость — ключевое свойство, которое требуется от всякой фундаментальной теории, включающей гравитацию. В качестве альтернативы теории суперструн (или скорее как её дополнение) выступают методы, основанные на каноническом квантовании. Именно здесь проявляются такие характерные черты гравитации как диф-феоморфная инвариантность, проблема выбора времени, нелинейность и т.д.
Наиболее значительные успехи в этом направлении были достигнуты в рамках, так называемой, петлевой квантовой гравитации [6, 7, 8]. Используя этот подход, удалось построить гильбертово пространство теории, т.е. развить её на кинематическом уровне, а также получить некоторые физические результаты. Наиболее существенные из них касаются описания геометрических операторов и чёрных дыр. Более конкретно, были рассчитаны спектры операторов площади и объёма [9]-[16], которые оказались дискретными! А также была воспроизведена формула Бекенштейна-Хокинга для энтропии чёрной дыры [17, 18].
Основным математическим ингредиентом петлевого подхода является формулировка гравитации в терминах новых переменных — триады и 5м(2)-связности Аштекара-Барберо [19]-[22]. Последняя является вещественным аналогом хорошо известной самодуальной связности, введение которой Аштекаром вызвало целый бум исследований в области канонического квантования гравитации, так как в терминах этой связности связи теории приобретают очень простой вид, становясь полиномиальными [23, 24]. На самом деле есть целое семейство связностей Аштекара-Барберо, параметризуемое параметром /3, который называется параметром Иммирци [25]. Все эти связности на классическом уровне связаны между собой каноническими преобразованиями, поэтому физические результаты, полученные в рамках этого формализма, не должны зависеть от этого параметра. Но оказывается, что упоминавшиеся выше спектры геометрических операторов, также как и энтропия чёрной дыры прямо пропорционально зависят от параметра /3 [25]. В результате встаёт вопрос о происхождении этой зависимости, о правомочности полученных результатов и о справедливости всего подхода. Эта проблема носит название проблемы параметра Иммирци. Было предложено несколько возможных объяснений возникающей зависимости [26], главное из которых состоит в том, что параметр /3 описывает физически неэквивалентные квантования и является новой фундаментальной физической постоянной. Однако реального понимания ситуации до сих пор не было.
Ещё одним слабым местом петлевой гравитации является использование частичной фиксации калибровки до квантования. Тогда как исходная калибровочная группа гравитации, действующая в касательном пространстве, в используемом формализме первого порядка — группа Лоренца, в стандартном петлевом подходе она редуцируется до SU(2). Это позволяет использовать компактность оставшейся группы и существенным образом упрощает каноническую структуру теории. Однако правомочность этой процедуры далеко не очевидна.
Содержание работы.
В настоящей работе предлагается новый подход к этим двум проблемам. Он основывается на идее, что проблема параметра Иммирци возникает из-за квантовой аномалии, которая является следствием потери лоренц-инвариантности. Таким образом, можно попытаться разрешить одновременно обе проблемы, если построить обобщение стандартного петлевого формализма, сохраняющее полную калибровочную симметрию классической теории. Как показано в данной диссертационной работе, такое обобщение действительно существует и полученные в нём результаты не зависят от параметра Иммирци. В результате этот параметр остаётся такой же нефизической константой, какой он был в классической теории, а его появление в спектрах физических операторов — не более чем артефакт некорректного квантования.
Работа начинается с обзора петлевой гравитации, который даётся в главе 1. Туда также включены элементарные сведения о так называемых моделях spin foam, которые с одной стороны возникают как пространственно-временная картина результатов петлевого квантования, а с другой — как независимый подход к квантованию гравитации.
В следующей главе построен формализм, который с одной стороны близок к формализму Аштекара-Барберо, а с другой обладает полной лоренц-инвариантностыо. В качестве исходного пункта было взято так называемое обобщенное действие Гильберта-Палатини. Как было показано раньше [27], после частичной фиксации калибровки оно в точности воспроизводит гравитацию Аштекара-Барберо. В настоящей работе был проведён гамильтонов анализ этого действия без фиксации какой-либо калибровки. При этом оказалось возможным представить соответствующую формулировку гравитации в очень компактной и элегантной форме [2]. Так в качестве канонических переменных в этой формулировке выступают зо(3,1)-связность Af и поле P(j3)x- построенное из тетрады и преобразующееся по присоединенному представлению калибровочной группы. Аналогично, все ингредиенты теории являются величинами, преобразующимися ковариантным образом.
В разделе 2.2 проведён анализ системы связей. Кроме связей первого рода формализм содержит связи второго рода. Из них построена соответствующая скобка Дирака. Для неё получены некоторые общие соотношения, а также она вычислена для набора канонических переменных. Главный результат состоит в том, что коммутатор {Af, P(P)Y}D недиагонален по пространственным индексам г, j, а связность оказывается некоммутативной.
В третьей главе исследуется функциональный интеграл, для построенной ковариантной формулировки. В разделе 3.1 он выводится из формализма BRST квантования. А в разделе 3.2, основываясь на результатах работы [1], демонстрируется, что в определённом классе калибровок этот функциональный интеграл не зависит от параметра Иммирци /3 [2].
В четвёртой главе построенный классический формализм используется для петлевого квантования гравитации. Главный объект исследования — оператор площади пространственно подобной поверхности. В разделе 4.1 показано, что такой оператор недиагонален на состояниях, порождённых канонической связностью Af, в виду недиагональности её коммутатора с Р(р)у [3]. В разделе 4.2 исследован произвол в петлевом квантовании, связанный с выбором связности, которая используется в определении Вильсоновской линии. Воспроизведён результат работы [4], где было найдено, что существует двухпараметрическое семей ство Лоренцевых связностей, диагонализующих оператор площади. В следующем разделе соответствующий спектр площади выражен через операторы Казимира SO(3,l) и SO(3) [4]. Важная особенность полученного спектра состоит в том, что в него входят Казимиры как полной группы симметрии, так и ее подгруппы, что отличается от всех предыдущих результатов и имеет очень важные следствия для дальнейшего квантования. Также приведены явные формулы для унитарных представлений, показывающие, что спектр площади всегда вещественен.
В разделе 4.4 на упомянутое выше семейство связностей наложено дополнительное условие: формула преобразования при временных диффеоморфизмах. После того, как был найден генератор этих преобразований в каноническом формализме, показано, что только одна связность удовлетворяет данному условию [4]. Поэтому корректное квантование должно быть основано на этой связности. Замечательным образом её коммутатор с триадой, а следовательно и спектр площади, не зависят от параметра Иммирци. Тем самым решается одна из важных проблем петлевого квантования [3, 4]. Более того, в разделе 4.5 доказывается, что стандартный петлевой подход, использующий калибровочную группу SU(2), неправилен. Это заключение можно сделать, так как он оказывается включённым в описанный формализм: найденное двухпараметрическое семейство содержит Лоренцеву связность, являющуюся обобщением связности Аштекара-Варберо. Она же воспроизводит стандартный спектр для оператора площади. Однако, так как она неправильным образом преобразуется при временных диффеоморфизмах, основанное на ней квантование нарушает эту инвариантность. Проблема параметра Иммирци есть следствие этого нарушения.
В пятой главе представлены результаты работы [5], где была предложена модель гильбертова пространства квантовой гравитации. Она выведена из результатов относительно спектра оператора площади и из предположения, что можно одновременно диагонализовать все такие операторы. В разделе 5.1 построены так называемые спроецированные Вильсо-новские линии, являющиеся их общими собственными состояниями. Исследованы свойства этих объектов и показано, что при определённых ограничениях и с точностью до преобразований Лоренца на концах они совпадают с SO(3) голономиями со связностью аналогичной связности Аштекара-Варберо. В разделе 5.2 построено обобщение spin network состояний, реализующих базис в гильбертовом пространстве. В следующем разделе 5.3 представлена функциональная модель пространства состояний. Оно реализовано функциями на некотором однородном пространстве. Используя теорию гармонического анализа, в нём выделен базис. Базисные векторы ортонормированны по отношению к скалярному произведению, определенному как интеграл по однородному пространству. Важный результат — ограничение простыми представлениями вида (0,ір) для спроецированных Вильсоновских линий. Благодаря этому ограничению решается проблема некоммутативности связности, так как спроецированные Вильсоновские линии в простых представлениях коммутируют друг с другом. В конце раздела описан калибровочно инвариантный сектор и показана некорректность SU(2) подхода на уровне гильбертова пространства. В разделе 5.4 приведено обсуждение различных проблем построенной модели и её связи с моделями spin foam.
В заключении сформулированы основные полученные результаты и отмечены дальнейшие перспективы. В Приложении А приведены различные соотношения между матрицами и мультиплетами, появляющимися в построенном во второй главе ковариантном формализме. В Приложении Б описана алгебра связей ковариантного формализма. В Приложении В вычислены её структурные функции, необходимые для BRST квантования. В Приложении Г приведён коммутатор двух пространственно-временных связностей, диагонализующих оператор площади. В Приложении Д описаны матричные элементы генераторов группы Лоренца в неприводимых представлениях.
Теоретическая и практическая ценность.
Построена новая каноническая формулировка общей теории относительности, которая может быть использована для её квантования. Такое квантование начато в рамках петлевого подхода к квантовой гравитации. Показано, что аналогичное квантование, основанное на калибровочной группе SU(2), некорректно, так как нарушает диффеоморфную инвариантность. Тем самым решена проблема параметра Иммирци, так как результаты, полученные в новом ковариантном формализме, не зависят от этого параметра. Вычисленный в рамках ковариантного подхода спектр оператора площади, может быть применён для исследования энтропии чёрных дыр и других приложений теории. Построенная модель гильбертова пространства является первым шагом на пути построения полной теории квантовой гравитации в петлевом формализме и позволяет осуществить следующие этапы квантования.
Апробация диссертации.
Материалы диссертации докладывались на научных семинарах НИИФ СПбГУ, Service de Physique Theorique, CEA - Saclay и Centre de Physique Theorique, Lummy во Франции, а также на международных конференциях International Workshop "Quantum Gravity and Superstrings" (JINR, Dubna, September 2000), Journee Jeunes Chercheurs (Saumur, France,
December 2000), Workshop on Canonical and Quantum Gravity III (Banach. Center, Warsaw, Poland, June 2001) и International V.A.Fock School for Advances of Physics (St.Petersburg, November 2003).
Публикации.
Результаты диссертации опубликованы в работах:
1. S.Yu. Alexandrov and D.V. Vassilevich, Path integral for the Hilbert-Palatini and Ashtekar gravity. — Phys. Rev. D 58, 124029 (1998) [gr-qc/9806001].
2. S. Alexandrov, SO(4,C)-covariant Ashtekar-Barbero gravity and the Immirzi parameter. — Class. Quantum Grav. 17, 4255 (2000) [gr-qc/0005085].
3. S. Alexandrov and D. Vassilevich, Area spectrum in Lorentz covariant loop gravity. — Phys. Rev. D 64, 044023 (2001) [gr-qc/0103105].
4. S. Alexandrov, On choice of connection in loop quantum gravity. — Phys. Rev. D 65, 024011 (2002) [gr-qc/0107071].
5. S. Alexandrov, Hilbert space structure of covariant loop quantum gravity. — Phys. Rev. D 66, 024028 (2002) [gr-qc/0201087].
Структура и объём диссертации.
Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и 5 Приложений. Общий объём диссертации — 79 страниц, включая библиографию из 77 наименований.
Гильбертово пространство
Главным таким ингредиентом является то, что одна из канонических переменных — связность калибровочной группы симметрии. Это позволяет ввести голономии этой связности где Та — Бо(3)-генераторы. Если а — замкнутая петля, то можно определить функционал связности как след голономии вокруг этой петли Они порождают так называемые петлевые состояния, от которых и произошло название петлевой гравитации. Основная идея петлевого квантования состоит в том, что состояния (7) образуют базис физических состояний квантовой гравитации [6, 7]. Математически это означает, что все такие состояния обладают конечной нормой. Чтобы придать этому утверждению определённый смысл, необходимо определить структуру гильбертова пространства, т.е. скалярное произведение, на пространстве функционалов от связности. Для этого дадим несколько определений. Рассмотрим граф Г„ = {7i,..-,7n}, представляющий собой набор из п кривых (рёбер графа), вложенных в трёхмерное пространство и пересекающихся только в концевых точках. Любая связность ассоциирует с каждым ребром графа элемент группы hi Є SU(2) посредством голономии вдоль кривой 7;: К = Uyi[A ]. Таким образом, каждая связность порождает отображение {Гп} — [SU(2)]n. Фиксируем теперь комплекснозначную функцию /„ на [SU(2)]n. Набор (Гп,/п) определяет функционал связности
Так определённые функционалы называются цилиндрическими функциями [39, 40, 41]. Они образуют плотное подпространство в линейном пространстве всех функционалов от связности. Поэтому достаточно определить скалярное произведение на таких функционалах, и затем гильбертово пространство получается как пополнение пространства цилиндрических функций по индуцированной норме. Заметим, что цилиндрическую функцию всегда можно продолжить на больший граф Гт D Гп, m п, содержащий исходный, если выбрать функцию fm независящей от m — п аргументов. Поэтому любые две цилиндрические функции всегда можно считать определёнными на одном и том же графе, являющимся объединением двух исходных. Тогда скалярное произведение можно определить следующим образом [39, 40, 41] где fi(h) — мера Хаара на SU(2). Так определённое скалярное произведение калибровочно инвариантно и не зависит от фоновой метрики. Поэтому на соответствующем гильбертовом пространстве реализуются унитарные представления калибровочной группы и группы диффеоморфизмов. Очевидно, что состояния вида (7) нормируемы, также как и их произведения (мультипет-левые состояния) Ф„(А ) = Щ=і Фа.И ]- Всевозможные линейные комбинации мульти-петлевых состояний образуют базис в гильбертовом пространстве. Однако они не являются линейно независимыми. Ортонормированный базис даётся так называемыми spin network состояниями [42, 43]. Определим вначале, что такое "spin network" S. Рассмотрим граф Г с п рёбрами 7г и s вершинами vr. С каждым ребром ассоциируем неприводимое представление калибровочной группы SU(2), характеризуемое спином j,-, а с каждой вершиной — базисный элемент Nv в тензорном произведении пространств представлений, соответствующих тем рёбрам, которые встречаются в данной вершине, Spin network — это набор из графа, представлений и базисных элементов (переплетающих операторов): S = (Г, {j,-}, {Nv}). Из каждого spin network можно построить цилиндрическую функцию. Так как граф уже задан, то достаточно определить функцию на [SU(2)]n. Пусть Rj(h) — элемент h Є SU(2) в представлении спина j. Замечая, что Rj(h) Є ftj "Hj, соответствующая функция может быть определена как скалярное произведение Это означает, что, чтобы получить spin network состояние Ws(A ), нужно взять голономии в представлениях, ассоциируемых с рёбрами, и свернуть их в каждой вершине с некоторым переплетающим оператором из пространства (10). Ортогональность таких состояний по отношению к скалярному произведению (9) следует из обычной теоремы Петера-Вейля. В итоге мы получаем детальное описание исходного гильбертова пространства петлевой квантовой гравитации. Однако на него нужно ещё наложить связи теории. Это сделать тривиально для связей, генерирующих калибровочные преобразования и пространственные диффеоморфизмы. Так ядро операторов Qa описывается SU(2) инвариантным подпространством, где базис реализуется spin network состояниями, в которых Nv — инвариантные тензоры, принадлежащие тривиальному представлению в разложении произведения (10) на неприводимые. В свою очередь диффеоморфно инвариантные состояния можно получить, если ограничиться только топологическими свойствами графа, определяющего spin network, т.е. отбросить конкретную координатную реализацию вложения графа в пространство. Результат этой факторизации — кинематическое гильбертово пространство в петлевом подходе. На построенном гильбертовом пространстве можно определить квантовые операторы, соответствующие различным классическим величинам. Калибровочно инвариантные операторы будут описывать наблюдаемые в квантовой теории. Простейшим калибровочно инвариантным оператором является Вильсоновская петля (7). Очевидно, на любое состояние она действует просто как оператор умножения.2 Оператор, играющий роль оператора производной, можно построить из триады Ег, а. Формально из (3) мы получаем
Однако функциональная производная является операторным распределением и требует регуляризации. Её можно осуществить усреднением оператора триады по некоторой двумерной поверхности. Такая регуляризация фоново независима и приводит к хорошо определённому квантовому оператору [10]. Более подробно процедура регуляризации описывается в разделе 4.1, где она применяется в лоренц-ковариантном формализме. Используя регуляризованный оператор триады можно построить геометрические операторы площади [9, 10, 11] и объёма [12, 13, 14, 15, 16]. Основной физический результат, полученный в рамках петлевой гравитации, — это вычисление спектров этих операторов. Оба они оказываются дискретными, что интерпретируется как существование в квантовой гравитации минимальной длины и дискретной структуры пространства-времени. Мы при-видём лишь результат для основной серии собственных значений оператора площади. Пусть ІРк} — Г)Г, пересечение измеряемой двумерной поверхности S с графом Г, задающим spin network, не содержит вершин графа (см. рис. 1).
Канонический анализ ковариантной формулировки
В этом разделе мы исследуем каноническую структуру лоренц-ковариантной формулировки (31). Каноническими переменными являются Af и Рцз)Х, т.е. Однако, как следует из определения (29), не все импульсы Р(/з)Х являются независимыми. Между ними существует 6 связей, которые могут быть записаны в ковариантной форме Следуя алгоритму Дирака [62], рассмотрим скобки Пуассона этих связей с гамильтонианом. Как ясно из (31), гамильтониан является линейной комбинацией связей бх, % и И. В дальнейшем нам будет более удобно работать с эквивалентным набором связей, получающимся при замене Тогда гамильтониан выглядит следующим образом: Из явного вида связей следует, что {0х,фг } = 0 и {Т к,фг } ф1- Единственная нетривиальная скобка — это коммутатор с гамильтоновой связью. Из (31), (182), (183) и (184) 3С этого момента мы не будем указывать явно зависимость от пространственных координат в коммутационных соотношениях. Всегда подразумевается, что результат содержит J-функцию от этих координат. получаем и симметризация идёт с весом 1/2, тогда как антисимметризация не включает никакого веса. Таким образом, ф новый набор вторичных связей. Можно получить следующие коммутаторы: Чтобы найти максимальный набор связей первого рода, переопределим Фа = (Ях,Т {,Н) Тогда Фа — связи первого рода с алгеброй связей, представленной в Приложении Б. Оставшиеся связи второго рода ipr = (фг\ф1і) образуют матрицу коммутаторов Более того, из (39) и тождества Якоби следует, что {Ох,Фг } — 0 и {Т к, ф } ф%3 .
Поэтому последний член в (47) выживает, только когда Фа — гамильтонова связь, a L зависит от связности. Во всех остальных случаях скобка Дирака сводится к обычной скобке Пуассона. С помощью этого факта можно проверить следующие замечательные соотношения между скобками Дирака в формулировках с разными значениями параметра Иммирци 0: Здесь индекс (0) указывает, в какой формулировке вычисляется данная скобка. Последнее равенство не выполняется для гамильтоновой связи, так что Ф = [Qx, А). Используя совпадение скобок Дирака и Пуассона, можно также найти законы преобразования мультиплетов: Как и должно быть, триадные мультиплеты образуют присоединённое представление so(3,1), тогда как Ах — истинная Лоренцева связность. Чтобы закончить построение канонического формализма, нужно найти Pf1 в ковари-антном виде. Для этого введём обратные триадные мультиплеты: Они удовлетворяют следующим соотношениям Таким образом, они играют роль обратных матриц к Р и Q при свёртке по внутренним индексам. Свёртывая же по пространственным индексам и используя определения (29), мы получаем Несмотря на сложную форму, соотношения (52) имеют простую интерпретацию. Матрицы іїр)х и I(Q)x являются проекторами на Р и Q-мультиплеты в линейном пространстве, составленном из этих векторов. Действительно, легко проверить следующие равенства: удовлетворяет соотношению Z i Z?! 1)(fc;)(m„) = Sun Jy. Это позволяет найти скобки Дирака канонических переменных. Результат имеет вид: Эти коммутаторы будут служить исходной точкой для канонического квантования теории.
Главная особенность соотношений (55) — это некоммутативность связности, что является существенным отличием от гравитации Аштекара-Барберо. Другая характерная черта, ко-торая будет иметь важные следствия, — недиагональность коммутатора {Af ,P )Y}D ПО пространственным индексам. Мы вернёмся к этой проблеме в главе 4, когда будем обсуждать оператор площади в ковариантном формализме. Гравитация — это динамическая система со связями. При этом в используемой нами формулировке (31) алгебра связей оказывается открытой, т.е. структурные константы С , определяемые соотношениями (189), являются функциями канонических координат. (В этом смысле они больше не являются "константами". Тем не менее мы будем использовать этот стандартный термин.) В этом случае, чтобы построить функциональный интеграл, описывающий теорию, необходимо использовать процедуру BRST (Бекки-Руэ-Стора-Тютин) квантования, развитую для гамильтоновых систем с открытой алгеброй связей [63, 64, 65]. Опишем вкратце эту процедуру, следуя обзору [66]. Рассмотрим динамическую систему с фазовым пространством (gs,ps), гамильтонианом Я0 и набором связей первого рода Фа. Пусть Ма — множители Лагранжа, ассоциированные со связями Фа, а 7га — им сопряжённые импульсы. Определим расширенное фазовое пространство, добавив поля духов и антидухов (6а,са,са,6а) со следующими ненулевыми антикоммутационными соотношениями:
Функциональный интеграл и параметр Иммирци
В этом разделе мы исследуем зависимость функционального интеграла (64), построенного для описанной выше ковариантной формулировки гравитации, от параметра Иммирци. Как мы видели, анализ предыдущего раздела приводит к очень сложному функциональному интегралу, содержащему мультидуховые взаимодействия. Их источником служит зависимость структурных констант от канонических переменных. Однако оказывается, что при подходящем выборе калибровки эти взаимодействия исчезают. Действительно, чтобы устранить члены со структурными функциями второго порядка, достаточно потребовать, чтобы функции да не зависели от Яд . Кроме того, если при этом функции fa не зависят от связности Af, пропадает также член со скобкой Дирака {/ ,С }д. Таким образом мы ограничиваем возможные типы калибровочных условий теми, которые не фиксируют множители Лагранжа для Гауссовой связи и компоненты связности.5 Такие калибровки были введены в работе [1] и называются калибровками Янга-Миллса. Для таких калибровок высшие духовые члены в эффективном действии отсутствуют, и функциональный интеграл совпадает с обычным функциональным интегралом для теории типа Янга-Миллса в гамиль-тоновой формулировке [69]. Он даётся выражением (64), где Мы явно указали зависимость членов в эффективном действии от параметра Иммирци (3. Чтобы исследовать зависимость от него функционального интеграла (64), перепишем его в терминах пременных соответствующих (3 = оо (Р( = Р) и поэтому независящих от (3. В результате возникает несколько /3-зависящих вкладов. Первый вклад происходит из &{Gx ) появляющийся после интегрирования по Afg . (Этот интеграл можно взять благодаря первому условию на калибровки Янга-Миллса.) Так как д{Р = (1 + J2){R 1)XGY\ ЭТО
Даёт множитель Второе место, где возникают /3-зависящие вклады, это действие. Однако в [1] было показано, что мнимая часть действия Аштекара исчезает на поверхности связей второго рода и Гауссовой связи Qx- А вся / -зависимость в (21) идёт как раз из этой мнимой части, как видно из (28). Кроме того, функциональный интеграл (64) содержит -функции всех этих связей ф1і, фг: и QX- Поэтому Sp сводится к ReSA = 5(оо) и не вносит / -зависимости. Наконец, мера даёт три вклада. Первый вклад происходит из VP lx = det3 пі + jp)R l) VP) Таким образомВторой вклад даётся J\A\ = det(D1). Так как (3 входит в (42) только в виде общего множителя, получаем Последний вклад возникает из детерминанта Фаддеева-Попова. Однако оказывается, что детерминанты в формулировках с различными (3 совпадают. Это следует из независимости 5То, что калибровочные условия на компоненты связности приводят к проблемам на уровне функционального интеграла, было замечено ранее при исследовании конечномерной модели гравитации Аштекара [68]. от Р структурных констант алгебры связей (189) и соотношений (48) между скобками Дирака. Так как в калибровке Янга-Миллса fa не может зависеть от связности, в (66) можно заменить скобку Дирака скобкой, независящей от (5: {Ф \ f13 (Р)} Таким образом параметр Иммирци не появляется во втором члене эффективного действия (66), который и порождает детерминант Фаддеева-Попова. В результате вся зависимость функционального интеграла от /3 содержится в трёх множителях (67), (68) и (69), которые в точности сокращают друг друга. Таким образом, по крайне мере на формальном уровне, функциональный интеграл для квантовой гравитации не зависит от параметра Иммирци. В этой главе описанная выше лоренц-ковариантная формулировка используется для построения петлевой гравитации. Ключевой факт, который делает это возможным, состоит в том, что одна из переменных Af является Лоренцевой связностью (49), так что можно построить оператор Вильсоновской линии где а — некоторый путь (замкнутый или открытый), Тх — генераторы алгебры so(3,l). Используя эти операторы вместо (6), можно попытаться повторить процедуру построения гильбертова пространства, описанную в главе 1. Однако мы сталкиваемся с серьёзной трудностью на этом пути, так как вместо простых коммутационных соотношений (3) канонические переменные подчиняются очень нетривиальной алгебре скобок Дирака (55).
В частности, операторы типа (70) не образуют петлевую алгебру. Более того, так как связность Af некоммутативна, не существует соответствующего представления, где бы она была диагональным оператором. Несмотря на эти трудности, некоторые результаты могут быть получены, исходя только из коммутационных соотношений (55). В частности, можно вывести спектр оператора площади, который был до этого предметом широкого исследования в рамках стандартного подхода к петлевой гравитации, использующего калибровочную группу SU(2) [9, 10, 11]. В настоящей работе мы близко следуем изложению, предложенному в [28]. В частности, используется та же регуляризация для квантового оператора площади. Более конкретно, определим сначала оператор триады, усреднённой по двумерной поверхности, вложенной в трёхмерное многообразие: где вложение описывается координатами хг(а), а щ = Eijfcffrff? — нормаль к поверхности. Тогда регуляризованный оператор площади определяется следующим образом п где сумма берётся по разбиению р поверхности Е на малые части „, \Jn En = S, и
Трансформационные свойства при временных диффеоморфизмах
До сих пор мы имеем двухпараметрическое семейство Лоренцевых связностей (83). Его существование означает наличие произвола в квантовании теории, так как все допустимые связности ведут к разным результатам для спектра оператора площади (99), т.е. определяют неэквивалентные квантования гравитации. Если мы надеемся найти однозначный ответ в поисках теории квантовой гравитации (по крайней мере в рамках петлевого подхода), мы должны наложить некоторое дополнительное физическое условие, которое бы позволило отобрать одну единственную связность из найденного семейства. Именно эта связность и должна использоваться в определении петлевых квантовых операторов. Наш предыдущий анализ был основан на симметриях: мы требовали, чтобы симметрии классической теории сохранялись при квантовании. Это требование было выражено в терминах трансформационных свойств связности, в терминах которой затем определялась Вильсоновская линия. Однако среди условий (80) и (81) одна симметрия была до сих пор пропущена, а именно симметрия относительно временных диффеоморфизмов. Поэтому в качестве искомого дополнительного условия мы должны взять требование правильных трансформационных свойств при таких преобразованиях.
Только связность, удовлетворяющая этому требованию, может привести к квантовой теории, независящей от введения пространственно подобной гиперповерхности, так как только в этом случае при временных трансляциях Вильсоновская линия отображается в такой же оператор, но уже на сдвинутой во времени гиперповерхности. В противном случае 4-мерная алгебра диффеоморфизмов приобретает квантовую аномалию. Таким образом, мы приходим к необходимости наложить на связность (83) следующее условие: где Л — соответствующее обобщение временной компоненты исходной связности Л 0. Связность, удовлетворяющую (80), (81) и (105), будем называть пространственно-временной связностью. Чтобы применить условие (105), прежде всего нужно найти генератор временных диффеоморфизмов, выраженный в терминах связей. Он совпадает с полным гамильтонианом теории: Это выражение было найдено в [71] для случая гравитации Аштекара, но можно проверить, что оно справедливо и в данном случае. Для этого достаточно показать, что генераторы V — (V0,Vi) образуют алгебру 4-мерных диффеоморфизмов Это соотношение может быть проверено, используя законы преобразования множителей Лагранжа Ма = (Л/J ,Л/,ЛГ), и уравнения движения Так как связи Qa — (Qx, , ) образуют обычную алгебру (189) (совпадающую, например, с алгеброй связей гравитации Аштекара), результат работы [71] остаётся справедливым и соотношение (107) выполняется. В тоже время, можно заметить, что, если взять другой эквивалентный набор связей Qa = [Qxi Hi. H) и соответствующих множителей Лагранжа Йа = (A ,J\f ,Af), в алгебре (107) возникает аномальный член, пропорциональный квадрату гауссовой связи. Причиной его возникновения является некоммутативность связности. Из-за неё разные выборы множителей Лагранжа ведут к неэквивалентным квантованиям. Фиксируя множитель Лагранжа, мы фиксируем величину, которая коммутирует с каноническими переменными. Поэтому, если его переопределение зависит от канонических переменных, оно может дать неэквивалентный результат по сравнению с исходным. Именно это и происходит в данном случае и ситуация оказывается существенным образом отличной от ситуации в гравитации Аштекара. Зная генератор (106), легко получить законы преобразования для любой величины.
Достаточно заметить простую формулу, справедливую для любой функции ip канонических переменных: Она означает, что нужно учитывать только члены с производными от . Тогда можно получить Появление аномального члена (114) в преобразовании канонической связности несколько странно, так как она заведомо обладает пространственно-временной интерпретацией. Можно попытаться сократить этот член переопределением множителя Лагранжа Afg , которое приводит к тому, что в гамильтоновой связи появляется дополнительный член, пропорциональный Qx- Тогда согласно рассуждениям предыдущего параграфа это может изменить трансформационные свойства полей. Однако, как оказывается, таким образом можно сократить только диагональные члены &\I?QY В результате мы приходим к выводу, что, чтобы воспроизвести пространственно-временную форму временных диффеоморфизмов, нужно использовать помимо динамических уравнений движения (109) ещё и Гауссову связь. Ясно, что единственная связность из семейства (83), удовлетворяющая условию (105), получается при значениях параметров а = Ъ — 0. Временные диффеоморфизмы всех других связностей содержат много дополнительных членов, неисчезающих на поверхности связей. (Среди них есть даже члены со второй производной от .) Мы не приводим их явный вид, так как он нигде в дальнейшем не используется. Таким образом на поверхности Гауссовой связи и уравнений движения семейство (83) содержит только одну Лоренцеву пространственно-временную связность:
То, что она совпадает с исходной канонической связностью на поверхности связей, очень естественно, так как Af обладает свойствами пространственно-временной связности. Отсюда видно, почему не подходят остальные связности из семейства (83), так как они в свою очередь с ней на поверхности связей не совпадают. Заметим, что все они могут быть выражены через Af следующим простым образом В итоге наше дополнительное условие (105) оказалось достаточным, чтобы разрешить произвол в квантовании, связанный с выбором связности, так как мы получили одну единственную связность, удовлетворяющую всем необходимым требованиям. Несмотря на то, что этот результат очень естественен с физической точки зрения, в данном формализме он выглядит замечательным и нетривиальным совпадением. Чтобы получить спектр оператора площади в интересующем нас случае, достаточно взять в (99) а = Ъ = 0:
