Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оператор эволюции и операторві симметрии уравнения ФКПП с квадратичнвш гамильтонианом 14
1 Класс траекторно-сосредоточенных функции 14
2 Объединенная система и квазиклассическое приближение 16
3 Система ЭЭ для многомерного нелокального уравнения ФКПП 19
4 Структура решения нелокального уравнения ФКПП в классе траекторно-сосредоточеннвгх функций 22
5 Оператор эволюции уравнения ФКПП с квадратичнвш оператором 27
6 Квазиклассические асимптотики нелокального уравнения ФКПП с точностью O (DN/2). 34
7 Невязка квазиклассических асимптотик нелокального уравнения ФКПП в одномерном случае 35
Глава 2. Квазиклассические симметрии и операторві симметрии уравнения ФКПП 43
8 Симметрии объединенной системві 43
9 Нелокальное одномерное уравнение ФКПП с постоянной функцией влияния 46
10 Лиевские симметрии 47
11 Общая схема ввгчисления операторов симметрии 52
12 Фундаментальный сплетающий оператор уравнения ФКПП 55
13 Операторві симметрии и генерация решений для одномерного уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния 60
Глава 3. Асимптотические решения уравнения ФКПП на больших временах 64
14 Многообразие локализации 64
15 Эволюция мнообразия локализации 66
16 Решения системві ЭЭ без конвективного слагаемого 67
17 Точное решение системы ЭЭ 70
18 Асимптотические решения системы ЭЭ на больших временах 72
19 Уравнение на КСП с диффузионным слагаемым 78
20 Краевая задача для одномерного уравнения ФКПП 80
Глава 4. Двухкомпонентное уравнение ФКПП 83
21 Система ЭЭ для мнокомпонетного уравнения ФКПП 83
22 Многомпонентное ассоциированное уравнение ФКПП 86
23 Пример решения двухкомпонентного уравнения ФКПП 88
Заключение 91
Приложение А 93
Приложение Б 94
Приложение В 95
Список литературы 9
- Структура решения нелокального уравнения ФКПП в классе траекторно-сосредоточеннвгх функций
- Общая схема ввгчисления операторов симметрии
- Точное решение системы ЭЭ
- Система ЭЭ для мнокомпонетного уравнения ФКПП
Введение к работе
Актуальность темы
Нелинейные математические модели являются одним из основных инструментов анализа сложных систем и процессов. Модели реакционно-диффузионного типа описывают эволюцию систем, состоящих из большого числа элементов, взаимодействие которых носит нелинейный характер. Среди таких моделей широкое распространение получила модель, основанная на уравнении Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова (ФКПП). Уравнение ФКПП возникает также при описании эволюции амплитуд физических процессов в квантовой хромодинамике в области высоких энергий. Нелокальные обобщения уравнения ФКПП используются в биофизике для описания по-пуляционной динамики, образования структур, популяционных волн и стационарных состояний в колониях микроорганизмов и т.д. Таким образом, развитие методов интегрирования нелокального уравнения ФКПП является актуальной задачей при исследовании таких систем.
Нелокальное уравнение ФКПП представляет собой интегро-дифференци-альное уравнение с частными производными. Для уравнений данного вида применение аналитических методов интегрирования сдерживается принципиальными математическими трудностями по сравнению с дифференциальными уравнениями. Как следствие, аналитических методов для нелинейных многомерных интегро-дифференциальных уравнений известно мало и область их применения крайне ограничена, что объясняет широкое применение методов компьютерного моделирования в исследованиях нелокальных реакционно-диффузионных систем. Таким образом, становится очевидной актуальность разработки новых аналитических методов интегрирования нелокального уравнения ФКПП как с точки зрения развития современной нелинейной математической физики, так и в плане приложений к анализу соответствующих моделей физических и биологических систем.
Существует ограниченное число методов нахождения точных решений нелинейных и нелокальных уравнений, поэтому во многих случаях лишь асимптотические методы позволяют получить аналитические решения исходного уравнения с заданной точностью. Одним из таких методов, доказавших свою
эффективность при решении широкого класса уравнений квантовой механики, уравнения Гросса-Питаевского, уравнения Фоккера-Планка, является метод квазиклассических асимптотик. Уравнение ФКПП с нелокальной нелинейностью относится к классу нелинейных уравнений, близких к линейным. Таким образом, подходы, развитые для уравнения ФКПП, могут быть использованы для исследования других уравнений, близких к линейным. Поэтому развитие квазиклассических методов исследования моделей, описываемых нелокальным уравнением ФКПП, является актуальной задачей.
Цели и задачи работы
Цель работы — развитие квазиклассических методов интегрирования нелокального уравнения ФКПП и использование полученных результатов для анализа нелинейных систем.
Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:
-
Разработать методы нахождения квазиклассических симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным. Разработанный метод применить для нахожения симметрии одномерного нелокального уравнения ФКПП.
-
Разработать методы нахождения квазиклассических операторов симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным. Найти сплетающий оператор ассоциированных линейных уравнений ФКПП с квадратичным оператором. Разработанный метод применить для нахождения операторов симметрии одномерного нелокального уравнения ФКПП.
-
Разработать методы построения асимптотических решений краевой задачи для нелокального уравнения ФКПП на больших временах. Применить разработанный метод для описания структур, локализованных на неполномерном многообразии в конфигурационном пространстве, для многомерного уравнения ФКПП и для решения краевой задачи с периодическими граничными условиями для одномерного уравнения ФКПП.
-
Разработать асимптотические методы построения квазиклассических решений многомерного нелокального уравнения ФКПП и многокомпонентного одномерного нелокального уравнения ФКПП.
Научная новизна
Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.
Для многокомпонентного одномерного уравнения ФКПП в явном виде найдено формальное асимптотическое решение с точностью до 0(D3'2). Для одномерного нелокального уравнения ФКПП проведена оценка точности построенных квазиклассических асимптотик. Впервые разработаны методы вычисления квазиклассических симметрии и операторов симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным. Найден фундаментальный сплетающий оператор для ассоциированных линейных уравнений ФКПП с квадратичным оператором с различными наборами констант. В явном виде найдены симметрии и операторы симметрии одномерного нелокального уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния. Впервые разработан метод нахождения асимптотических решений краевой задачи для нелокального уравнения ФКПП на больших временах. Найденные решения нелокального уравнения ФКПП позволяют описать квазистационарные структуры.
Теоретическая и практическая ценность
Результаты, полученные в диссертации, вносят значительный вклад в развитие асимптотических методов нелинейной математической физики.
Разработанные методы приближенного решения задачи Коши и краевой задачи для нелокального уравнения ФКПП открывают возможности аналитического исследования сложных физических и биофизических систем, состоящих из большого числа элементов, в частности, позволяют провести аналитическое описание важных в современной биофизике явлений - процессов структурной самоорганизации в колониях микроорганизмов.
Разработанные методы вычисления квазиклассических симметрии и операторов симметрии могут быть использованы для исследования симметрий-ных свойств интегро-дифференциальных уравнений, близких к линейным.
Методология и методы исследования
В расчетах, проведенных при выполнении диссертационной работы, были использованы стандартные методы математической и теоретической физики,
теории групп и комплексного ростка В.П.Маслова. Для повышения достоверности ряд результатов аналитического расчета сравнивался с результататами численного моделирования.
Положения, выносимые на защиту:
-
Метод вычисления симметрии интегро-дифференциальных уравнений в квазиклассическом приближении. С помощью разработанного метода вычислены квазиклассические симметрии одномерного нелокального уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния.
-
Метод вычисления квазиклассических операторов симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным. В явном виде найден фундаментальный сплетающий оператор ассоциированных линейных уравнений ФКПП с квадратичным оператором и квазиклассические операторы симметрии одномерного нелокального уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния.
-
Метод построения асимптотических решений краевой задачи для нелокального уравнения ФКПП на больших временах. Разработанный метод применен для описания структур, локализованных на неполномерном многообразии в конфигурационном пространстве, для многомерного уравнения ФКПП и для решения краевой задачи с периодическими граничными условиями для одномерного уравнения ФКПП.
-
Асимптотическое решение для многокомпонентного уравнения ФКПП. В явном виде получена динамическая система Эйнштейна-Эренфеста, найдены функция Грина и оператор эволюции.
Степень достоверности
Научные положения и выводы полностью обоснованы. Достоверность результатов, полученных в диссертации, определяется корректным применением строгого математического аппарата и апробированных методов, а также совпадением в ряде частных случаев с результатами, опубликованными в работах российских и зарубежных ученых.
Личный вклад автора
Все результаты, вошедшие в диссертацию, получены при личном участии автора в постановке задач и вычислениях. Совместно с научными руководителями были сформулированы цели и задачи исследования. Анализ современной литературы по тематике диссертации, проведение расчетов, а также апробация результатов на российских и международных конференциях проводились автором лично.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на конференциях:
XXI Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», Дубна, февраль 2014 г.;
X Международная конференция «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, апрель 2013 г.;
XX Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, январь - февраль 2013 г.;
III Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», Томск, апрель 2012 г.;
IX Международная конференция «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, апрель 2012 г.;
XIX Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», Дубна, январь - февраль 2012 г.;
XVIII Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, январь 2011 г.;
VII Международная конференция «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, апрель 2010 г.,
а также на научных семинарах кафедры высшей математики и математической физики Томского политехнического университета, кафедр теоретической физики и квантовой теории поля Томского государственного университета.
По теме диссертации опубликовано 9 статей в отечественной и зарубежной научной печати, а также 8 тезисов докладов на всероссийских и международных конференциях.
Структура и объем диссертации
Структура решения нелокального уравнения ФКПП в классе траекторно-сосредоточеннвгх функций
Уникальность применения метода квазиклассических асимптотик к исследованию уравнения ФКПП состоит в том, что именно в этом подходе возникают уравнения (так назві-ваемвіе «классические» динамические уравнения), описвівающие основнвіе характеристики популяций, а именно положение локального максимума распределения (локального центра) и ввісших моментов, описвівающих область локализации популяции.
Подстановка асимптотического решения в уравнение дает невязку, норму которой (например, в L2) можно использовать в качестве критерия точности приближенного решения. Соответствие точнвгх и асимптотических решений детально изучалось для линейнвгх уравнений квантовой механики [27]. В частности, бвіли полученві оценки времени разрушения заданной точности асимптотического решения [28]. Для нелинейнвгх уравнений исследование соответствия точнвгх и асимптотических решений является принципиальной проблемой. Суть этой проблемві состоит в получении априорнвгх оценок решений соответствующего нелинейного уравнения, равномернвгх по малому асимптотическому параметру. В отличие от линейнвгх уравнений, получение таких оценок существенно зависит от вида исследуемого нелинейного уравнения. Отметим, что из соображений, приведеннвгх в [27], оценка разности между точнвім и построеннвім формальнвім асимптотическим решениями может бвіть получена с использованием методов, развитвгх в работах [26,27].
Свойства симметрии дифференциального уравнения (ДУ) ассоциируются с преобразованиями, оставляющими инвариантнвім множество решений уравнения. Такие преобразования будем назвшать операторами симметрии (ОС). Симметрия уравнения ввгявляет характернвіе его особенности, позволяющие находить решения уравнения. Например, если известно какое-либо частное решение, то, действуя на него последовательно оператором симметрии, получим семейство новвіх решений. Процедура генерации решений является лишь иллюстрацией воз 7 можностей операторов симметрии уравнений, но не исчерпвгвает их. Проблема заключается в том, как найти в явном виде операторві симметрии или инвіе симметрийнвіе конструкции.
В основополагающих работах конца 19 века С. Ли ввел понятие непрервівной группві (группы Ли) точечных преобразований, оставляющих инвариантным дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частнвгх производнвгх). Группу инвариантности уравнения называют также группой симметрии, или группой, допускаемой уравнением. Нахождение такой однопараметрической группві сводится к решению линейной системві определяющих уравнений для инфинитезимального оператора (генератора) группы Ли. Построенная по генератору группа Ли конечнвгх преобразований может применяться к любому решению уравнения, допускающему группу, и, таким образом, генерировать параметрические семейства новвгх решений уравнения из известного решения [29-31].
Другим словами, группу Ли точечнвгх преобразований инвариантности дифференциалв-ного уравнения можно рассматривать как однопараметрическую группу Ли операторов симметрии уравнения. Подробное описание применения групп Ли к обвікновеннвім ДУ можно найти, например, в [32-34]. Для ДУ с частивши производивши (ДУЧП) применение методов теории групп Ли опирается на процедуру продолжения действия группві Ли на частнвіе производнвіе ввісших порядков. Инфинитезимальнвій оператор продолженной группві Ли имеет специальную структуру и является базоввш объектом исследования свойств симметрии ДУЧП. Инфинитезимальнвій оператор продолженной группы Ли, допускаемой ДУЧП, определяется линейнвш уравнением в частнвгх производнвгх на коэффициентві оператора, которвіе задают так назвіваемвіе симметрии уравнения. Множество симметрий обладает алгебраическими свойствами, которвіе используются для анализа свойств уравнений и нахождения семейств их решений [32-35]. Исследовано Применение теоретико-групповвгх методов для уравнений гидродинамики [36,37], механики сплошной средві [38] и т.д.
Построение группві Ли преобразований по ее генератору возможно лишь в случае точечнвгх преобразований независимвгх и зависимвгх переменнвгх уравнения, а также в особом случае контактнвгх преобразований, когда генератор зависит также от производнвгх первого порядка. Если симметрии уравнения зависят от производнвгх ввісших порядков (ввісшие симметрии), то построить конечную группу Ли преобразований, а следовательно, и группу Ли операторов симметрии в общем виде не удается. Кроме ввічисления ввісших симметрий существуют и другие направления применения методов теории групп Ли, например, нахождение нелокальнвгх симметрий, законов сохранения и др. [32-34].
Группві симметрии для ИДУ могут бвіть ввічисленві с помощью прямвгх или косвен-нвіх методов [39]. Алгоритмві методов косвенного расчета основанві на замене исходного нелокального ИДУ системой дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП). Полученная система анализируется стандартными методами классического группового анализа Ли уравнений в частных производных [32,40-42]. Нелокальные уравнения могут быть сведены к системе УЧП с помощью метода моментов, метода покрытия и др. (см., например, [39]). Метод моментов был использован для вычисления симметрий точечной группы Ли для уравнения Власова-Максвелла в теории плазмы [43] и для кинетических уравнений Бенни, уравнений типов Власова и Больцмана [44]. Метод покрытия был разработан в [45] и применен для кинетического уравнения коагуляции.
Прямые методы вычисления симметрий были разработаны и применены для уравнения Больцмана, уравнения движения вязкоупругих сред, уравнений Бенни и Власова-Максвелла (см. [1,39,46,47] и ссылки в них).
Исследования в области теории одно- и многопараметрических приближенных групп преобразований были инициированы Байковым [48], Фущичем [49] и др. Приближенные симметрии включают в себя малый параметр и могут быть рассчитаны для уравнений в частных производных при наличии или отсутствии малого параметра. Приближенные симметрии были найдены для уравнения Буссинеска [50], нелинейного волнового уравнения и других типов уравнений [48].
Достижения в области нелокальных методов открывают новые перспективы развития симметрийного анализа. В [51] использован нелокальный анзатц, чтобы свести нелинейное уравнение в частных производных к уравнению с меньшим числом независимых переменных. Было показано, что нелокальные анзатцы относятся к условным (неклассическим) симмет-риям УЧП [52-54]. Ибрагимов, Газизов, Ахатов изучали квазилокальные симметрии для нелинейного уравнения диффузии [55]. Использование нелокальных методов симметрийного анализа для исследования дифференциальных уравнений развивается в настоящее время Блуманом [56,57], Поповичем [58,59], Бойко [60], Ждановым [61] и другими.
Общая схема ввгчисления операторов симметрии
Нелинейные математические модели являются одним из основных инструментов анализа сложнвіх систем и процессов. Значительное число моделей, используемвгх для изучения нело-кальнвгх взаимодействий в физических, химических и биологических системах, описвшаются нелинейными нелокальными интегро-дифференциальными уравнениями (ИДУ).
Среди ИДУ, нашедших широкое применение в физике, особое место занимают кинетические уравнения. Подробнвш обзор кинетических явлений и их моделей в физике плазмы, в динамике разреженного газа и других физических системах можно найти в [1,2].
В теории бозе-эйнштейновского конденсата используется уравнение Гросса - Питаевско-го (УГП) [3]. Нелокальные УГП описывают эволюцию когерентнвгх квантоввгх ансамблей дипольнвіх квантоввгх газов с дальнодействующим диполь-дипольнвім взаимодействием, которое приводит к появлению новвіх свойств квантовой материи (см., например, [4] и ссвшки вней).
Уравнение Фоккера - Планка с нелокальной нелинейностью применяется в стохастической теории (см., например, [5]), для описания явлений в нелинейной гидродинамике, астрофизике, физике плазмы, атомной физике и т.д.
Нелокальные уравнения типа реакция-диффузия (РД) используются для описания структур, упорядоченнвгх в пространстве и времени. Структурві подобного типа появляются в ре-зультате самоорганизации и играют роль во многих важнвгх явлениях в биологии, медицине, эпидемиологии и экологии (см., например, [6-8]).
Эволюция микробнвгх популяций одного вида с эффектами дальнодействия между индивидами моделируется нелокальнвіми обобщениями классического уравнения Фишера-Колмо-горова-Петровского-Пискунова (ФКПП) [9,10] для популяционной плотности u(x,t): щ(х, t) = DAu(x, t) + аи(х, t) - bu2(x, t). (0.1)
Здесь D - постояннвій коэффициент диффузии, процесс производства популяции происходит с постояннвім темпом роста а и квадратичнвіми по плотности конкурентнвіми потерями с коэффициентом Ъ.
Нелинейное уравнение ФКПП возникает, в частности, при описании эволюции амплитуд физических процессов в квантовой хромодинамике в области ввісоких энергий. Но наиболее наглядную интерпретацию уравнение ФКПП имеет в биофизике, где оно применяется для описания популяционной динамики, образования структур, популяционнвгх волн и стацио-нарнвіх состояний в колониях микроорганизмов. Поэтому в дальнейшем основное внимание уделим биофизической интерпретации уравнения ФКПП. В диссертационной работе рассмотрено нелокальное обобщенное многомерное уравнение ФКПП вида
щ = DAu- V, u[Vg(X, t) + к у Wx(x, у, t)u(y, t)dy\) + +a(X, t)u -ни [ 6Y(X, y)u(y, t)dy, (0.2) I где u(X,t) является гладкой функцией, принадлежащей пространству Шварца S по пространственной переменной XGRnв каждый момент времени t; (a, 6) обозначает евклидово скалярное произведение векторов a,6 G W1, \а\2 = {а, a). Здесь слагаемое локальных конкурентных потерь в уравнении (0.1) заменено на слагаемое, описывающее нелокальные потери, которые контролируются функцией влияния Ъ1{х,у) с параметром гу.
Внешние факторы могут вызвать конвективные процессы, которые вносят вклад в динамику популяций [11]. Векторы-градиенты \г = VxV(X,t) и Wx = VxW(X,у,t) в уравнении (0.2) описывают локальные и нелокальные средние конвективные скорости, соответственно. В популяциях бактерий нелокальное конвективное слагаемое описывает поток бактерий, которые двигаются под действием силы, произведенной другими бактериями [12]. Уравнение ФКПП с локальной конвекцией рассматривалось в [11], с нелокальной - в работах [12,13]. Одномерное уравнение ФКПП с локальной и нелокальной конвекцией рассмотрено в [14].
Точное решение системы ЭЭ
Сделаем некоторые замечания относительно области применения построенных решений. Квазиклассическое приближение применимо в условиях, когда диффузию можно считать медленной. Данное приближение соответствует реальнвім условиям и не является серьез-нвім ограничением. Другим ограничением, принятвім в работе, является условие убвівания построеннвгх асимптотических решений на бесконечности. Это условие можно понимать в следующем смвісле. Предположим, что в малую окрестность области, заполненной лимитирующим субстратом, локально вносится небольшое количество бактериальной культу-ры, дальнейший рост которой определяется популяционнвіми механизмами, отраженнвіми в модели, сопровождается расширением области, занимаемой популяцией, и формированием структуры. Убвівание решения на бесконечности означает, что эти решения описвівают рост популяции на стадии, когда ее естественнвіе границві не достигли границ области, заполненной субстратом. Тем самвім, квазиклассические асимптотики такого типа, построеннвіе в диссертационной работе, не учитвівают граничнвіе эффекты.
Уникальность применения метода квазиклассических асимптотик к исследованию уравнения ФКПП состоит в том, что именно в этом подходе возникают уравнения (так назві-ваемвіе «классические» динамические уравнения), описвівающие основнвіе характеристики популяций, а именно положение локального максимума распределения (локального центра) и ввісших моментов, описвівающих область локализации популяции.
Подстановка асимптотического решения в уравнение дает невязку, норму которой (например, в L2) можно использовать в качестве критерия точности приближенного решения. Соответствие точнвгх и асимптотических решений детально изучалось для линейнвгх уравнений квантовой механики [27]. В частности, бвіли полученві оценки времени разрушения заданной точности асимптотического решения [28]. Для нелинейнвгх уравнений исследование соответствия точнвгх и асимптотических решений является принципиальной проблемой. Суть этой проблемві состоит в получении априорнвгх оценок решений соответствующего нелинейного уравнения, равномернвгх по малому асимптотическому параметру. В отличие от линейнвгх уравнений, получение таких оценок существенно зависит от вида исследуемого нелинейного уравнения. Отметим, что из соображений, приведеннвгх в [27], оценка разности между точнвім и построеннвім формальнвім асимптотическим решениями может бвіть получена с использованием методов, развитвгх в работах [26,27].
Свойства симметрии дифференциального уравнения (ДУ) ассоциируются с преобразованиями, оставляющими инвариантнвім множество решений уравнения. Такие преобразования будем назвшать операторами симметрии (ОС). Симметрия уравнения ввгявляет характернвіе его особенности, позволяющие находить решения уравнения. Например, если известно какое-либо частное решение, то, действуя на него последовательно оператором симметрии, получим семейство новвіх решений. Процедура генерации решений является лишь иллюстрацией воз 7
можностей операторов симметрии уравнений, но не исчерпвгвает их. Проблема заключается в том, как найти в явном виде операторві симметрии или инвіе симметрийнвіе конструкции.
В основополагающих работах конца 19 века С. Ли ввел понятие непрервівной группві (группы Ли) точечных преобразований, оставляющих инвариантным дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частнвгх производнвгх). Группу инвариантности уравнения называют также группой симметрии, или группой, допускаемой уравнением. Нахождение такой однопараметрической группві сводится к решению линейной системві определяющих уравнений для инфинитезимального оператора (генератора) группы Ли. Построенная по генератору группа Ли конечнвгх преобразований может применяться к любому решению уравнения, допускающему группу, и, таким образом, генерировать параметрические семейства новвгх решений уравнения из известного решения [29-31].
Другим словами, группу Ли точечнвгх преобразований инвариантности дифференциалв-ного уравнения можно рассматривать как однопараметрическую группу Ли операторов симметрии уравнения. Подробное описание применения групп Ли к обвікновеннвім ДУ можно найти, например, в [32-34]. Для ДУ с частивши производивши (ДУЧП) применение методов теории групп Ли опирается на процедуру продолжения действия группві Ли на частнвіе производнвіе ввісших порядков. Инфинитезимальнвій оператор продолженной группві Ли имеет специальную структуру и является базоввш объектом исследования свойств симметрии ДУЧП. Инфинитезимальнвій оператор продолженной группы Ли, допускаемой ДУЧП, определяется линейнвш уравнением в частнвгх производнвгх на коэффициентві оператора, которвіе задают так назвіваемвіе симметрии уравнения. Множество симметрий обладает алгебраическими свойствами, которвіе используются для анализа свойств уравнений и нахождения семейств их решений [32-35]. Исследовано Применение теоретико-групповвгх методов для уравнений гидродинамики [36,37], механики сплошной средві [38] и т.д.
Построение группві Ли преобразований по ее генератору возможно лишь в случае точечнвгх преобразований независимвгх и зависимвгх переменнвгх уравнения, а также в особом случае контактнвгх преобразований, когда генератор зависит также от производнвгх первого порядка. Если симметрии уравнения зависят от производнвгх ввісших порядков (ввісшие симметрии), то построить конечную группу Ли преобразований, а следовательно, и группу Ли операторов симметрии в общем виде не удается. Кроме ввічисления ввісших симметрий существуют и другие направления применения методов теории групп Ли, например, нахождение нелокальнвгх симметрий, законов сохранения и др. [32-34].
Группві симметрии для ИДУ могут бвіть ввічисленві с помощью прямвгх или косвен-нвіх методов [39]. Алгоритмві методов косвенного расчета основанві на замене исходного нелокального ИДУ системой дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП). Полученная система анализируется стандартными методами классического группового анализа Ли уравнений в частных производных [32,40-42]. Нелокальные уравнения могут быть сведены к системе УЧП с помощью метода моментов, метода покрытия и др. (см., например, [39]). Метод моментов был использован для вычисления симметрий точечной группы Ли для уравнения Власова-Максвелла в теории плазмы [43] и для кинетических уравнений Бенни, уравнений типов Власова и Больцмана [44]. Метод покрытия был разработан в [45] и применен для кинетического уравнения коагуляции.
Прямые методы вычисления симметрий были разработаны и применены для уравнения Больцмана, уравнения движения вязкоупругих сред, уравнений Бенни и Власова-Максвелла (см. [1,39,46,47] и ссылки в них).
Исследования в области теории одно- и многопараметрических приближенных групп преобразований были инициированы Байковым [48], Фущичем [49] и др. Приближенные симметрии включают в себя малый параметр и могут быть рассчитаны для уравнений в частных производных при наличии или отсутствии малого параметра. Приближенные симметрии были найдены для уравнения Буссинеска [50], нелинейного волнового уравнения и других типов уравнений [48].
Достижения в области нелокальных методов открывают новые перспективы развития симметрийного анализа. В [51] использован нелокальный анзатц, чтобы свести нелинейное уравнение в частных производных к уравнению с меньшим числом независимых переменных. Было показано, что нелокальные анзатцы относятся к условным (неклассическим) симмет-риям УЧП [52-54]. Ибрагимов, Газизов, Ахатов изучали квазилокальные симметрии для нелинейного уравнения диффузии [55]. Использование нелокальных методов симметрийного анализа для исследования дифференциальных уравнений развивается в настоящее время Блуманом [56,57], Поповичем [58,59], Бойко [60], Ждановым [61] и другими.
Система ЭЭ для мнокомпонетного уравнения ФКПП
С точки зрения квазиклассического формализма рассматривается специальный случай формирования двумерной структуры. Для этого исследуется двумерное уравнение (0.6) в классе функций, сосредоточенных в окрестности 1D кривой (окружности) в 2D пространстве (R2). В отсутствие дрейфа найдено точное решение данной системы для постоянного начального условия. Для нахождения асимптотического решения системы применена теория возмущений и построены асимптотики на больших временах T (T то). Проведено численное моделирование исходной системы и показано, что результаты аналитического расчета и численного моделирования хорошо согласованы.
Здесв t Є E1; x = (жь...,жга)т; у = (Уі,... ,уга)т; х,у Є Ега -- независимвіе переменнвіе: угловвіе скобки (.,.) обозначают евклидово скалярное произведение векторов пространства Rn; dx = dxi dxn; функция u(x,t) принадлежат пространству Шварца S по переменнвім х Є Rn и равномерна по t 0; вещественнвій параметр D еств постояннвш коэффициент диффузии; # = Ш?, 0 = 9/&г. Функции a(,t), &(, ), V(,i), W(f, у, t) являются бесконечно гладкими и растущими при \х\, \у\ — сю не бвістрее, чем полином. Далее в диссертации рассматривается нелокалвное уравнение ФКПП, поэтому слово "нелокалвное"будем опускатв.
Ключеввім элементом квазиклассического подхода к построению асимптотических решений является ввібор класса функций, сингулярно зависящих от малого асимптотического параметра, в котором строятся квазиклассические асимптотики. В качестве такого класса в работе ввібран класс траекторно-сосредоточеннвгх функций (ТСФ) [76,77]
Здесв вещественная функция ip(rf,t,D) принадлежит пространству Шварца S по перемен ной fj Є W1, гладким образом зависит от t и регулярно зависит от при D — 0, Ат = x-X(t,D), а вещественнвіе функции S(t, D) (аналог классического действия в линейном случае при х = 0) и X(t,D), характеризующие класс Vf (X(t, D), S(t, -D)), регулярно за висят от \JD в окрестности D = 0 и подлежат определению. Там, где это не приводит к недоразумениям, вместо VtD(X(t,D),S(t,D)) будем исполвзоватв сокращенное обозначение VD и вместо X(t, D), S(t, D) будем писатв X(t), S(t). Предположим, что для нелинейного уравнения (1.1) существуют точнвіе (или отличающиеся от них на величину 0(D)) решения u(x,t) в классе ТСФ с началвнвгм условием и(х,0) = ф) Є VtD(X(t,D),S(t,D)). Обозначим - оператор с вейлевским символом Aat/3(T?,x,t,D) = ъа(Ах)р и а,(3 Є Z - мулвтииндексві. Наряду с классом V," будем рассматриватв класс многокомпонентных траєкторно-сосредоточенных функций [78, 79]
Двухкомпонентная функция v(x, t) назвівается траекторно-сосредоточенной функцией класса Jp если ее можно представитв в виде v(x, t) = $(, )Ф(;г, t), где двухкомпонентная вектор-функция, зависящая от переменной t, а функция Ф(;г,) является траекторно-сосредоточенной (Ф(;г,) Є Pf) Для функций класса J," справедливві асимптотические оценки (1.9).
Таким образом, в рамках квазиклассического приближения, исходное ИДУ (2.1) - (2.3) сводится к объединенной системе (2.18), которая определяет главный член квазиклассического разложения (2.6).
Такая схема построения квазиклассических асимптотических решений была разработана для линейных уравнений квантовой механики (см., например, [76,77,80]). Для линейного случая L [u] = L, асимптотические решения могут быть найдены явно, если невозмущенная задача (2.9) может быть решена точно. Таким образом, точное решение невозмущенной задачи (2.18) является ключевым моментом построения асимптотического решения исходного уравнения (2.1).
Нелокальное уравнение Гросса-Питаевского (известное в математической литературе как уравнение типа Хартри) [81,82], нелокальное уравнение Фоккера-Планка [83-85] и нелокальное одномерное уравнение ФКПП [14] являются примерами нелинейных уравнений, для которых квазиклассические асимптотики в классе траекторно сосредоточенных функций были построены.
Эти уравнения относятся к специальному классу нелинейных уравнений: уравнений близких к линейным. Уравнение (2.1) является уравнением, близким к линейному, если оператор F (2.3) линеен по u(x,t), ux(x,t), ..., uxx...x(x,t) с коэффициентами, зависящими от x,t,I[u](x,t).
