Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Введение 7
1.1. Общая характеристика работы 7
1.1.1. Актуальность темы диссертации 7
1.1.2. Цели и задачи диссертационной работы 9
1.1.3. Научная новизна работы 10
1.1.4. Теоретическая и практическая значимость работы 11
1.1.5. Методология и методы исследования 13
1.1.6. Положения, выносимые на защиту 14
1.1.7. Публикации 14
1.1.8. Апробация результатов 16
1.1.9. Структура и объем диссертации 17
1.2. Асимптотические методы для уравнения реакции-диффузии 18
1.2.1. Постановка задачи для уравнения реакции-диффузии 18
1.2.2. Понятие контрастной структуры 20
1.2.3. Асимптотические методы 22
1.2.4. Метод дифференциальных неравенств 27
1.2.5. Периодические по времени решения уравнения реакции-диффузии 30
1.2.6. Решения уравнения реакции-диффузии типа движущегося фронта 31
1.2.7. Устойчивость решений для уравнения реакции-диффузии 32
1.2.8. Формальная асимптотика для неоднородности с кратными корнями 33
1.2.9. Контрастные структуры типа всплеска 34
1.2.10. Интегродифференциальные уравнения 35
1.2.11. Многомерные контрастные структуры 36
1.2.12. Системы уравнений с малым параметром з
1.3. Обобщенное уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова 38
1.3.1. Постановка задачи 38
1.3.2. Обобщенные решения 40
1.3.3. Физические модели для ОКПП члена uxxt 41
1.3.4. Принцип сравнения 44
Глава 2. Асимптотический метод исследования несбалансированного уравнения ОКПП 47
2.1. Постановка задачи 47
2.1.1. Условия формирования ВПС 47
2.2. Формальная асимптотика 48
2.2.1. Алгоритм построения асимптотического разложения 50
2.2.2. Нулевой порядок асимптотики 51
2.2.3. Первый порядок асимптотики 52
2.2.4. Последующие порядки асимптотики 55
2.3. Обоснование метода 55
2.3.1. Принцип сравнения для ОКПП 55
2.3.2. Построение верхнего и нижнего решений 58
2.3.3. Обоснование верхнего и нижнего решений 60
Глава 3. Асимптотические методы исследования сбалансированного уравнения ОКПП 65
3.1. Постановка задачи 65
3.1.1. Условия для формирования ВПС 65
3.2. Формальная асимптотика 66
3.2.1. Алгоритм построения асимптотического разложения 66
3.2.2. Нулевой порядок асимптотики 69
3.2.3. Первый порядок асимптотики 71
3.2.4. Второй порядок асимптотики 74
3.2.5. Последующие порядки асимптотики 76
3.3. Обобщенный принцип максимума 77
3.4. Применение метода дифференциальных неравенств
3.4.1. Построение верхнего и нижнего решений 79
3.4.2. Обоснование верхнего и нижнего решений 82
Глава 4. Асимптотический анализ уравнения ОКПП в окрестно сти особой точки 86
4.1. Постановка задачи 86
4.2. Построение формальной асимптотики
4.2.1. Алгоритм построения асимптотического разложения 89
4.2.2. Нулевой порядок асимптотики 91
4.2.3. Первый порядок асимптотики 92
4.3. Особые точки контрастной структуры 95
4.3.1. Останавливающая особая точка 96
4.3.2. Проходимая особая точка 96
4.3.3. Особая точка, запертая в нулевом приближении, для кубической неоднородности 97
4.3.4. Особая точка, запертая в нулевом приближении, для квадратичной неоднородности 97
4.3.5. Степенная особая точка, проходимая в нулевом приближении
4.4. Второй порядок асимптотики 98
4.5. Третий порядок асимптотики 101
Глава 5. Существование обобщенного решения для уравнения ОКПП 104
5.1. Постановка задачи обобщенного решения 104
5.1.1. Оператор J — є2А и его свойства 109
5.1.2. Операторная запись уравнения КПП 111
5.1.3. Теорема о глобальной разрешимости 112 5.2. Теорема сравнения 114
5.3. Разрывная функция плотности источников 1 5.3.1. Основные предположения 119
5.3.2. Асимптотические ряды 121
5.3.3. Асимптотическое разложение и сшивание 122
5.3.4. Нулевой порядок асимптотики 124
5.3.5. Первый порядок асимптотики 124
5.3.6. Вычисление скорости дрейфа нулевого порядка 126
5.3.7. Второй порядок асимптотики 128
5.3.8. Условие сшивания второго порядка 129
5.3.9. Последующие порядки 130
5.3.10. Построение верхнего и нижнего решений 130
5.3.11. Обоснование верхнего и нижнего решений 133
Глава 6. Численный эксперимент 136
6.1. Дискретная аппроксимация уравнения ОКПП 136
6.2. Результаты численного моделирования для уравнений РД и ОКПП 1 6.2.1. Дрейф КС для уравнения РД 139
6.2.2. Дрейф КС для уравнения ОКПП 140
6.2.3. Дрейф ВПС для уравнения РД в случае пяти корней вырожденного уравнения 141
6.2.4. Влияние скоростей различных порядков на движение ВПС для уравнений РД и ОКПП 143
6.3. Численное моделирование задач с особой точкой 145
6.3.1. Сверхкритический режим остановки ВПС для уравнения РД 145
6.3.2. Критический режим остановки ВПС для уравнения РД 147
6.3.3. Докритический режим остановки ВПС для уравнения РД 148
6.4. Запертые КС для уравнений РД и ОКПП 149 6.4.1. Дрейф для сбалансированного уравнения РД в критическом случае 151
6.4.2. Градиентный дрейф сбалансированного уравнения ОКПП со средним значением /І 151
6.4.3. Градиентный дрейф сбалансированного уравнения ОКПП с большим значением /І 152
6.4.4. Несбалансированная задача с непроходимой особой точкой 153
6.5. Проходимая особая точка для уравнения ОКПП 155
6.5.1. Несбалансированная задача с проходимой особой точкой для ОКПП 155
6.5.2. Сбалансированная задача с проходимой особой точкой для ОКПП 156
6.6. Разрывная функция плотности источников 158
6.6.1. Исследование задач с разрывной функцией плотности источников 158
6.6.2. Величина скачка 5U = 0,1 159
6.6.3. Величина скачка 5U = 0,01 159
6.6.4. Комбинированная разрывная функция плотности источников с гладкой частью и скачком SU = 0, 01 160
Заключение 163
Список литературы
- Теоретическая и практическая значимость работы
- Алгоритм построения асимптотического разложения
- Алгоритм построения асимптотического разложения
- Особая точка, запертая в нулевом приближении, для кубической неоднородности
Теоретическая и практическая значимость работы
Теоретическая значимость работы заключается в развитии метода асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра, а также метода дифференциальных неравенств на новый класс задач - сингулярно возмущенные уравнения в частных производных третьего порядка со смешанной производной старшего порядка. Предложено применение указанных методов к построению формальных асимптотик для обобщенных решений сингулярно возмущенных параболических уравнений. Разработанный метод решения задач с особой точкой может быть использован в теории для решения ряда параболических и псевдопараболических начально-краевых задач. Практическая ценность полученных в данной работе результатов обусловлена огромной ролью, которую играет теория полупроводников в современной физике и технике, в том числе процессы, описываемые уравнением ОКПП.
Мы рассматриваем начально-краевую задачу для уравнения ОКПП, называемого также обобщенным уравнением Буссинеска, Данная начально-краевая задача (1.3) получается из системы уравнений Максвелла. Детальный вывод уравнения дан в разделе 1.4.1.
В качестве примера физических моделей, описываемых уравнением ОКПП, можно привести модель нестационарных процессов в униполярном полупроводнике во внешнем магнитном поле [34], модель, описывающую процессы, происходящие в полупроводнике с отрицательной дифференциальной проводимостью [70].
Существует широкий класс прикладных задач, для которых решение эволюционного уравнения реакции-диффузии, являющееся частным случаем ОКПП, имеет вид контрастной структуры (КС) с перемещающимся фронтом. Укажем некоторые основные модели. Уравнение реакции-диффузии описывает процесс генерации магнитных полей в турбулентной среде в астрофизике [29], в частности, в теории галактического динамо. В этом случае и определяет напряженность магнитного поля, плотность источников антисимметрична, f(—u,x) = —f(—u,x), эта функция имеет несколько корней, причем положение корней зависит от координат.
Задача с особой точкой также возникает в теории полупроводников. Например, полученные результаты о прохождении и останове ВПС могут быть применены для исследования пробоя в полупроводниках. Рассматриваемый нами частный случай кубической функции плотности источников имеет широкое физическое применение, например, в задачах астрофизики [29], а также при описании так называемого эффекта Олла в динамике популяций [86].
Рассматриваемая задача является сингулярно возмущенной, это означает, что при є = 0 уравнение из дифференциального в частных производных превращается в алгебраическое. Физический смысл введенного малого параметрам состоит в том, что он позволяет описать так называемые "быстрые" и "медленные" процессы во времени [45]. Сингулярно возмущенные уравнения описывают широкий класс задач, встречающихся в физике, химии, биологии.
Исследование рассматриваемой нами задачи основано на комбинации двух подходов: 1. Метод асимптотического разложения сингулярно возмущенных задач в ряд по степеням малого параметра. Данный метод основан на построении формальной асимптотики, а также верхнего и нижнего решений путем модификации формальной асимптотики. Показано, что решение уравнения ОКПП заключено между верхним и нижним решениями. Для псевдопараболического уравнения третьего порядка для обоснования данного утверждения используется так называемый обобщенный принцип максимума и метод дифференциальных неравенств. Таким образом, нами произведено обобщение метода дифференциальных неравенств на новый класс задач. 2. Метод обобщенных решений, изложенный, например, в работах М. О. Кор-пусова и А. Г. Свешникова [35]. С помощью данного метода построено обобщенное решение и доказана теорема сравнения. Также в работе приведены результаты, полученные с помощью метода численного моделирования, позволяющего сравнить аналитические результаты с результатами численного счета.
Алгоритм построения асимптотического разложения
В [70] доказана следующая Теорема. Для любого щ Є HQ( ) существует То 0, такое что существует единственное обобщенное решение задачи (1.24), принадлежащее классу непрерывных функций CW([0,T];Hj(ft)) для любого Т Є (0,Т0). При этом, либо оно существует на конечном промежутке по времени, То +оо, и тогда linit T0\\ u\\i2{t) = +оо, либо на бесконечном промежутке по времени. Получены условия разрушения решения: при выполнении указанных выше условий и неравенства /3 jn u (x)dx (2а + 1) V моІ2 + (а + 2)11-гхо112 имеет место разрушение решения, То Є [Ti,T2J. Г) В случае Фо = 7 VMo2 + 2llMo2 — 2 ( +I i) ТОГДа о = +оо и, более того, V lll + \\\u\\l [ф-і/2_ е-0з«/2]]2і где С2 = /323/2Cf, С3 = -, констан-та С\ подобрана таким образом, чтобы обеспечить наилучшее вложение HQ ) в h3(Q): \\v\\s Сі 11 V 112 для любого v Є HQ ). 1.3.3. Физические модели для ОКПП члена uxxt
В [34] приведены примеры физических процессов, модели для которых содержат слагаемое с частными производными составного типа третьего порядка с производной по времени первого порядка. К таким процессам относятся, например, где Ф - обобщенный потенциал электрического поля, Ф - потенциальная функция. Начально-краевые задачи для уравнения третьего порядка с производной по времени и вторыми производными по пространству возникают при описании следующих явлений:
Эффект стратификации (появления узких противоположно заряженных областей в первоначально однородном полупроводнике после облучения лазе ром) объемного заряда в полупроводнике. Уравнение для которого может быть представлено в следующем виде ф - потенциал электрического поля, г - характерное время жизни свободных электронов. 6) Квазистационарные процессы в двухкомпонентной квазилинейной полу проводниковой плазме в приближении квазинейтральной плазмы, где в каче стве переменной выступает потенциал электрического поля:
В [39] рассмотрены вопросы разрешимости в "ослабленном" смысле и раз-рушения решений псевдопараболических уравнений, содержащих — для многомерных задач, получены оценки на время разрушения решений. В работе [32] рассмотрена модель униполярного полупроводника с источниками тока свободных зарядов с плотностью в электрическом поле потенциала
Доказано, что при выполнении определенных условий уравнение разрешимо единственным образом в глобальном смысле по времени в классе сильных обобщенных решений, сформулированы условия глобальной неразрешимости и разрушения решения. Доказательство основано на применении метода последовательных приближений.
Указанные уравнения являются довольно громоздкими, поэтому мы проводим исследование более простого уравнения, на котором удобно применить методы асимптотического разложения в ряд, построения верхних и нижних решений, доказать существование обобщенного решения.
Обозначим результаты для некоторых других уравнений третьего порядка. В работе [1] найдены условия, при которых уравнение, возникающее в полупроводниках с сильной пространственной дисперсией, имеет решение вида гладкой периодической бегущей волны и(х — ct). Проведен анализ данного уравнения, получены некоторые интегралы сохранения.
Уравнение Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса, описывающее длинные волны на поверхности воды, а также резкое увеличение электрического тока в кристаллических полупроводниках, Приведены условия локальной разрешимости и разрушения решения. Показано, что непрерывно-дифференцируемое решение данного уравнения является классическим. В [36] рассмотрено сильно нелинейное псевдопараболическое уравнение
С помощью методов Галеркина, монотонности и компактности доказана локальная во времени разрешимость в слабом обобщенном смысле. Определены условия глобальной разрешимости, разрушения решения в зависимости от величины показателя р.
Также указано, что доказательство существования регулярного решения может быть проведено с помощью метода срезок, рассмотренного в [42]. Для степенных функций if;, q доказано существование регулярного решения, получены оценки на область значений уравнения. монотонно не убывающая функция. Доказана единственность решения задачи Коши в классе неотрицательных функций u(x,t) Є CX\{U.T)I Для которых с граничными условиями Дирихле и\дп = 0, и(х,0) = щ{х) Є Но(Г2), (Q -ограниченная область в Ж) на конечном (t Є [0,То], То +оо) или бесконечном интервале, причем в первом случае имеет место следующее предельное соотношение limt T0suP\\ VMlh = +оо. Получены достаточные условия разрушения решения и разрешимости на бесконечном временном интервале.
В [38] рассмотрена начально-краевая задача для обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным граничным условием Неймана
В данной главе мы провели обзор результатов по методу асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра и методу дифференциальных неравенств, привели результаты, полученные для уравнений реакции-диффузии и ОКПП. Результаты, полученные нами в следующих главах, были получены с использованием методов, обозначенных в этой главе, и являются их обобщением на квазилинейное псевдопараболическое уравнение ОКПП.
Алгоритм построения асимптотического разложения
В процессе обоснования корректности построенного ряда нам потребуются дополнительные условия, которые мы сформулируем в соответствующем месте. Условие 2.2 означает, что имеются два устойчивых состояния, разделенных неустойчивым, что и создает возможность формирования ВПС. Условие 2.3, как будет показано далее, гарантирует знакоопределенность скорости дрейфа ВПС на промежутке (а, Ь).
Для построения асимптотического приближения решения используем метод сшивания асимптотических представлений решения в областях левее и правее точки перехода. Этот метод пригоден для любого числа ВПС, но в рамках данной работы мы рассмотрим КС, включающую ровно два пятна, разделенных одним ВПС.
Асимптотические приближения решений задач (2.2) и (2.3) дополним индексами (—) и (+) соответственно. Асимптотическое разложение слева и справа от точки перехода представим в виде суммы рядов по степеням малого параметра: функции переходного слоя, Па,ь(Са,ь5є) пограничные функции. Растянутые переменные определяются выражениями где - переменная в области ВПС, (а - переменные в пограничных областях. Положение ВПС определяется из условия Смешивания функций (2.4) и (2.5) в точке перехода
Заметим, что первое из условий (2.7) выполняется автоматически в силу соответствующих граничных условий (2.2) и (2.3). Каждое слагаемое в (2.4), (2.5) и точка перехода х раскладываются в ряд по степеням є:
Алгоритм построения асимптотического разложения Представим /(it, ж, є) в виде суммы трех слагаемых, каждое из которых зависит от основной и растянутых переменных на промежутке ж (, є) х Ь, причем ж() = ж + є , ж(а)5 х((ъ) определены равенствами (2.6). Подставим представления (2.4, 2.9) и (2.5, 2.9) в (2.2) и (2.3) и приравняем по отдельности слагаемые, зависящие от каждой из переменных. Получим следующие уравнения для определения членов асимптотического разложения (2.4) и (2.5): Пограничные функции Ua((a) и П&(Сь) находятся из двух краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Условие на одной из границ выводится из соответствующего граничного условия для функции u(x,t), второе условие обеспечивает экспоненциальное убывание П-функции соответственно при (а +оо или при (ь — оо. Обе краевые задачи аналогичны рассмотренным в работе [48] и в данной работе не рассматриваются.
Перейдем к построению формальной асимптотики в области ВПС. Регулярную функцию нулевого порядка щ(х) найдем из уравнения /(йо, ж, 0) = 0. В соответствии с Условием 2.1 мы выберем решение щ (х) = Lply \x) при х х } щ (х) = (/?(+) (ж) при X X .
Как известно [48], при сформулированных условиях для любого XQ Є ((2,6) найдется единственное значение WQ(XQ) 0, при котором краевая задача кщ + W0uo = /(й0(0 жо,0), щ(-оо) = р (х0), щ(+оо) = р(+\х0), имеет решение, удовлетворяющее условию ito — (р (хо)\ С\в С2 \ причем С\ 0 и С2 0. Решение задачи (2.10) при выбранном таким образом значении Wo(xo) 0 обозначим щ(, XQ). Величина WQ выражается через решение задачи (2.10): следует, что при выполнении Условия 2.3 WQ{XQ) 0 при любом XQ Є (а, Ь). Из (2.10) следует, что функции переходного слоя нулевого порядка Q0 () можно найти из краевых задач причем знаменатель отличен от нуля вследствие Условия 2.2. Аналогично определяются члены регулярной части асимптотики следующих порядков.
Функции переходного слоя первого порядка слева и справа от точки перехода найдем из краевых задач
В нулевом порядке скорость дрейфа ВПС для уравнения ОКПП, так же как и для уравнения реакции-диффузии, определяется величиной баланса функции интенсивности источников /. В первом порядке дрейф обусловлен диффузионным членом (в (2.20) содержит коэффициент к) и ОКПП членом (в (2.20) содержит коэффициент /і).
Координата X\{t) находится из задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка dt жі(0) = 0. - = - + . (2.21) Выражения W\a и W\b не приводим, их можно вывести из (2.20). 2.2.4. Последующие порядки асимптотики Аналогично можно показать, что функции переходного слоя j -ro порядка слева и справа от точки перехода находятся из двух краевых задач, известная функция Fj зависит от Wj-\, Xj-\, a также от всех уже найденных ранее координат и скоростей меньших порядков. Условия гладкого сшивания в точке = 0 решений задач (2.22) при j = т приводят к линейному обыкновенному дифференциальному уравнению
Определим верхнєє (3(x,t,s) и нижнее a(x,t,s) решения задачи (2.1) так же как в [31], но допуская существование точки ж , в которой имеется скачок первой производной нужного знака, [/Зж] _0 0, [скж] _0 0. Заметим, что верхнее и нижнее решения определяются аналогично тому, как это делается для параболических уравнений. Определение 2.1. Функция (3(x,t,s) называется верхним решением задачи (2.1), если найдется такое Єо О, что на промежутке є Є (0, є о] выполняются следующие условия:
Особая точка, запертая в нулевом приближении, для кубической неоднородности
Константа С2 представляет собой комбинацию сходящихся несобственных интегралов от степенных и гиперболических функций, но ее выражение слишком громоздко, чтобы его здесь приводить. Числовое значение этой величины, однако, легко получить. Аналитическое вычисление интегралов и последующее преобразование дает С2 = 2, 4674...
Заметим, что для рассматриваемого нами случая Uxxx(x) 0 выражение W2(x ) 0, поэтому W 2 \x ) 0 в окрестности ж , это означает, что ВПС перейдет через особую точку и продолжит движение в том же направлении, которое было до приближения к данной точке. Таким образом, в третьем порядке аппроксимации Теорема 4.1. В приближении третьего порядка найдется такая окрестность Q точки xstop, что при Ux(xstop) = 0, Uxx(xstop) = 0, Uxxx(xstop) 0и при любом Жоо stop, 00 Є Г2, что трижды непрерывно дифференцируемая функция x (t) является возрастающей на (0,Т), причем уравнение x (t) = xstop имеет единственный простой корень t\ to.
Методика обоснования формальной асимптотики аналогична доказательству в главах 2, 3. Упорядоченность верхнего и нижнего решений проводится так же, как и в главе 3, за исключением следующего отличия. Так как условие ЭДЛ0 ) о для нашей задачи заменено на W 0, мы будем использовать для построения верхнего и нижнего решений порядок асимптотического разложения не менее трех и предположим, что Wz(x ) W%o 0 на [а, Ь] (достаточно предположить это в некоторой окрестности точки lEstop)- В остальном доказательство проводится аналогично. Для задачи, рассмотренной в данной главе, справедливы теоремы, сформулированные в главе 3.
В этой главе мы рассмотрим обобщенные решения из класса W ) для сбалансированного уравнения ОКПП, рассмотренного в главах 3 и 4. Напомним определение пространства W ), совпадающего с гильбертовым пространством И1 (П).
Мы применяем метод исследования обобщенного уравнения КПП, разработанный в [55], для анализа аналогичного уравнения с другим видом функции плотности источников, которая обеспечивает существование решения типа КС. При этом результаты для измененной плотности источников значительно отличаются от полученных в [55], поэтому мы достаточно подробно приведем соответствующие выкладки. в ограниченной области Q С М3 с границей с?Г2 Є Сл2 , Є (0,1]. Зависимость йоте имеет место, но в явном виде в этой главе не указывается. Так как мы будем доказывать существование обобщенного решения задачи, введем требуемые обозначения и приведем соответствующие определения.
Функциональное пространство HQ есть пополнение по норме линейного пространства функций, непрерывно дифференцируемых на Q и таких, что и = 0 в некоторой приграничной полосе. Именно эту норму в пространстве Ид (Л) мы будем использовать в дальнейшем.
Известно, что HQ -гильбертово пространство со скалярным произведением Пространство, сопряженное к пространству Нд(Г2), обозначим через Н (Г2), а через (.,.) обозначим скобки двойственности между этими пространствами. Скалярное произведение и норму в!Ь2(Г2) будем обозначать, соответственно, через (u,v)2 И мІ2 106
Чтобы сформулировать обобщенную постановку задачи (5.6), напомним определение слабой производной. Для этого введем в рассмотрение пространство H_1(i7), сопряжённое к пространству MQ(Q).
Определение 5.1. Слабой производной функции v Є L2(i7) в смысле скобок двойственности между гильбертовыми пространствами 1щ(Q) и Ш (Г2) будем называть такой элементчто (на самом деле эта норма равна 1, как показывает выбору; = у, но для нас это не принципиально). Наконец, введем нелинейный оператор F по правилу F(y) = f(v(x), х). Справедлива следующая лемма: Лемма 5.1. OnepamopF(v) является Липшиц-непрерывным оператором, действующим в 1 (0,) (при любом р 1), с константой Липшица, равной С из формулы (5.4).
Этот нелинейный оператор является Липшиц-непрерывным. В самом деле, оператор A-1 A : HQ( ) — HQ( ) является ограниченным линейным оператором в силу вышедоказанного; оператор А o JJ20Fo JJ1 Липшиц-непрерывен как композиция непрерывных линейных операторов JJj, і = 1,2 и Липшиц-непрерывных операторов A_1,F.
Исходная задача в обобщенной постановке приведена к виду абстрактной задачи Коши с Липшиц-непрерывной правой частью
В силу стандартной теоремы Коши—Липшица, известной также под именем Пикара—Линделефа, в банаховом пространстве абстрактная задача Коши (5.22) глобально разрешима, то есть существует единственное решение и(і) Є С([0,+оо);Е1о(Г2)), а любое другое решение (на конечном промежутке Т) является его ограничением с промежутка [0, +оо) на промежуток Т. Для удобства, не претендуя на оригинальность, мы докажем соответствующую теорему в следующем разделе.
