Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Космологическая динамика в обобщёной модифицированной гравитации 20
1.1. Основные уравнения 21
1.2. Стационарные точки и их характер устойчивости для f1 = Л3 . 26
1.3. Стационарные точки и их характер устойчивости для f1 = Л + /ЗЛ3 36
1.4. Исследование устойчивости решения дс Ситтсра и поиск некоторых других решений
1.5. Выводы 55
Глава 2. Космологическая динамика в модели с неминимально связанным скалярным полем 57
2.1. Основные уравнения 59
2.2. Стационарные точки и их характер устойчивости для В(ф) = ф , У(ф) = У0фп, N ф 2 63
2.3. Исследование устойчивости решения де Ситтера 83
2.4. Стационарные точки и соответствующие решения для>(0) = ф , У(ф) = У0фп, N = 2 88
2.5. Поведение изучаемой модели на диаграммах параметров „определителей состояния" 93
2.6. Выводы 96
Глава 3. Космологическая динамика в модели с неминимальной кинетической связью и степенным потенциалом 98
3.1. Основные уравнения 100
3.2. Стационарные точки и их характер устойчивости для V(ф) = У0фм 103
3.3. Примеры космологических сценариев для V (ф) = Vо\ф\2 и V(ф) = V0ф2 120
3.4. Выводы 128
Заключение 131
Список литературы
- Стационарные точки и их характер устойчивости для f1 = Л + /ЗЛ3
- Исследование устойчивости решения дс Ситтсра и поиск некоторых других решений
- Исследование устойчивости решения де Ситтера
- Стационарные точки и их характер устойчивости для V(ф) = У0фм
Стационарные точки и их характер устойчивости для f1 = Л + /ЗЛ3
Вселенная в CDM-модели; д — относительная плотность тёмной энергии, за которую отвечает ч лен. На данный момент Стандартная космологическая модель (СКМ или CDM-модель, о которой подробно изложено в книге [25]), основанная на ОТО в плоском пространстве с барионами, нерелятивистской холодной тёмной материей и космологической постоянной (впервые введена Эйнштейном в 1917 году в работе [26]), играющей роль тёмной энергии (ртэ = РА): удовлетворяет всему набору наблюдательных данных и принята в космологии как основная для описания эволюции Вселенной и образования её структуры. В эпоху до 7 минирования космологической константы Л масштабный фактор зависит от времени экспоненциально: a(t) = аоеv з ; а параметр Хаббла Н = const = у Это решение было впервые получено де Ситтером в 1917 году в статье [27]. Хотя ACDM-модель хорошо согласуется с наблюдениями, она имеет серьёзные недостатки (эти проблемы описываются, например, в книге [28]): 1). проблема чрезвычайной малости наблюдаемного современного значения Ртэ Ю 46ГэВ (здесь приведено значение в единицах Планка h = с = G = 1, где h — постоянная Планка, с — скорость света, G — гравитационная постоянная) по сравнению с рассчитанной теоретически плотностью вакуумной энергии рвак 1074ГэВ (вакуум — одно из возможных объяснений физической природы Л) — это „проблема космологической постоянной", 2). в ACDM-модели не решается „проблема совпадений" — соизмеримость современных значений плотностей энергии барионов, тёмной материи и тёмной энергии рв Рты Ртэ7 которую показывают наблюдения. Вообще, к любой модели ТЭ есть, по крайней мере, два требования: она должна давать механизм достижения наблюдаемого малого значения ртэ Для широкого диапазона начальных данных (то есть не требуя их „точной подстройки"), а также механизм получения соотношения / Б Рты Ртэ- Первая задача может быть разрешима с помощью аттракторных решений — режимов, устойчивых во времени и по начальных данным, которым в фазовом пространстве соответствует аттрактор (подмножество фазового пространства, к которому стремятся все траектории в некоторой его окрестности с течением времени), а второму тербованию можно удовлетворить за счёт так называемых „скей-линг-решений", на которых - = const, где рм — плотность энергии материи (барионной или тёмной).
Модели с переменной ТЭ (ш э = wT3(t)) также не противоречат данным наблюдательной космологии, поэтому широко исследуются. Наиболее популярные из них в рамках ОТО — так называемые модели „квинтэссенции", в кото рых, как правило, для описания современного ускоренного расширения используется маломассивное практически однородное и изотропное скалярное поле Ф(ї) (Ртэ = Рк) с отрицательным давлением и потенциалом У(ф) по аналогии с инфляцией. Если потенциал взят таким, что -г - 1, где = т, то эволюция / к Для широкого диапазона начальных данных даёт наблюдаемое значение Ртэ- Это аттракторное или „следящее" решение. Таким образом, предлагается возможный механизм получения чрезвычайно малого ртэ в современную эпоху, не ограничивая при этом её величину в ранней Вселенной как вЛСБМ-модели. Проблема в том, что потенциалы, дающие аттракторные решения с большим бассейном притяжения (областью начальных данных, начиная с которых траектории в фазовом пространстве выходят на аттрактор, по определению из книги [29]) плохо согласуются с наблюдениями. Кроме того, потенциалы „следящих" полей не находят объяснения в физике элементарных частиц. В моделях квинтэссенции —1 г к 1, а наблюдательные данные допускают и ш э — 1.
Широкий диапазон изменения эффективного параметра уравнения состояния ТЭ (возможно гогэ — 1 и и;тэ 1) допускают скалярно-тензорные теории гравитации (СТТ), которые выходят за рамки ОТО. Соответствующий лагранжиан содержит слагаемые вида F((f))R — члены с так называемой „неминимальной связью" скалярного поля ф и гравитации, где — константа неминимальной связи (иногда данные модели называют „расширенной квинтэссенцией"). Теории такого типа впервые были предложены Иорданом в 1959 году в работе [30], а затем окончательно сформулированы Брансом и Дикке в 1961 году в статье [31]. Кинетическая энергия в лагранжиане имеет положительный знак, а „фантомное" поведение (ш э = " стт 1) осуществляется за счёт зависимости от времени эффективной ньютоновской гравитационной постоянной Сэфф = Сгэфф() (оценки изменения величины Сэфф в СТТ см. в книге [32]). В моделях „расширенной квинтэссенции" малое современное значение Ртэ достигается для широкого диапазона начальных данных при потенциалах, допускаемых наблюдениями (например, У(ф) = \фА для Г(ф)Я = !;ф2Я) и осмысленными с точки зрения физики элементарных частиц. В этом преимущество СТТ по сравнению с моделями квинтэссенции (см., например, статью [33]). Для получения поздней ТЭ модели с ниминимально связанными скалярными полями используются работах [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43] (см. также книги [44], [45]).
Ещё одна альтернативная ОТО теория, позволяющая описывать инфляцию и современное ускоренное расширение Вселенной — /(Л)-гравитация. В космологическом действии данных теорий вместо скалярной кривизны R стоит функция f(R). Ещё в начале 1980-х годов /(Л)-гравитация стала использоваться для получения инфляционной стадии (например, модель f(R) = R + jp инфляция Старобинского, предложенная в статье [46]). Когда было открыто современное космическое ускорение в 1998 году, /(Л)-гравитация снова нашла применение (см. работы [47], [48], [49], [50], [51], [52], [53], [54], [55], [56], [57], [58], [59], [60], [61]). Существуют два способа получения уравнений в данной теории: 1). метрический формализм, котором коэффициенты связности Леви-Чивиты Го выражаются через компоненты метрического тензора g V) а уравнения гравитационного поля получаются варьированием действия по g v и имеют четвёртый порядок, 2). формализм Палатини, в котором коэффициенты связности Г о и метрический тензор д у рассматриваются как независимые, а варьирование действия производятся отдельно по каждой из этих величин, что даёт уравнения движения второго порядка. В метрическом формализме получены ограничения на вид функции/(Л): 1). / 0 при R R0 0, где = д, R0 — значение R в современную эпоху, 2). /" 0при R Д0, 3). f(R) - R - 2Л при R Д0, 4). 0 1 и f = -2. Эти условия требуются для избежания антигравитации (1).), удовлетворения проверкам в Солнечной системе (2). и 3).), существования эпохи доминирова
Исследование устойчивости решения дс Ситтсра и поиск некоторых других решений
Здесь, как ранее уже случалось, одно из собственных значений не выражается в общем виде как функция от w: поэтому оно вычислено для пяти конкретных значений w из отрезка [-1; 1]. Видно, что для них данная точка является устойчивым фокусом. Масштабный фактор зависит от времени как
Решения кубического уравнения 20аА3 + 2А2(15 — 8а) — А(57 + 6а) — 6 = 0. Жирной линией показаны ветви устойчивых вакуумных степенных решений. Пунктирными линиями показаны две асимптоты для
Все действительные значения А были уже ранее найдены при решении системы (1.30). Таким образом, найдены все вакуумные степенные решения. 2. В присутствии материи (при р 0) (1.58) будет справедливо, если показатели степени при (t - t0) во всех слагаемых будут одинаковыми, то есть
Среди собственных значений присутствуют положительные числа, поэтому для любого значения w точка неустойчива. При всех w из полуинтервала (—1; 1] точка является седлом, а при w = — 1 одно из собственных значений обращается в нуль, поэтому последний случай требует дополнительных исследований.
Чтобы найти зависимость масштабного фактора от времени используем 2/стац = — jp — 2 = —2. Тогда jp = 0. Откуда получим Н = 0, то есть Н = Н0 = const nR = R0 = -12#02 ЭТО деситтеровская точка. Константу Щ найдём из определения переменной х в (1.13).
Координаты этой стацинарной точки те же, что и у точки 3 для случая f\ = Д3, J2 = ctRO\R с а = 1. Здесь показаны знаки собственных значений всех w из отрезка [—1;1]. При всех w из полуинтервала (—1; 1] точка является седлом, а при w = — 1 одно из собственных значений обращается в нуль, поэтому последний случай требует дополнительных исследований. В любом случае точка неустойчива. Так как координаты совпадают у рассматриваемой точки и точки 3 из предыдущего параграфа, то масштабный фактор и плотность энергии материи зависят от времени одинаково для них обеих
Координаты этой точки совпадают с координатами точки 5 в случае f1 = Д3, J2 = ctRO\R с а = 1. Вес собственные значения остались тс же, и появилось одно дополнительное (так как число переменных увеличилось по сравнению с указанным случаем). Тип неустойчивости не изменился — седло, и поведение мастштабного фактора осталось прежним
Эта точка имеет те же координаты, что точка 6 в случае f1 = Л3, f2 = aR\3R с а = 1. Добавилось ещё одно собственное значение по сравнению с той точкой. Тип устойчивости для пяти разных w — седло. Для масштабного фактора получим
Перейдём к случаю с а = -1, (3 = 1. Решая нелинейную систему (1.69) с равными нулю левыми частями, найдём стационарные точки. 0. Собственные значения для данной точки
Данная точка присутствовала в случае с а = 1, но собственные значения для неё изменились. При всех w из полуинтервала (—1; 1] точка является седло-фокусом, а при w = — 1 одно из собственных значений обращается в нуль, поэтому последний случай требует дополнительных исследований. В любом случае точка неустойчива. Масштабный фактор зависит от времени также как и в случае с а = 1.
Координаты этой точки совпадают с координатами точки 3 в случае f\ = Д3, j2 = ctRO\R с а = —1. Для всех w из полуинтервала (—1; 1] данная точка является седло-фокусом, а при w = — 1 одно из собственных значений обращается в нуль, поэтому последний случай требует дополнительных исследований. В любом случае точка неустойчива. Для масштабного фактора и плотности энергии материи получим a(t) = a0t - t0w+1
Эта точка имеет те же координаты, что точка 4 из случая f1 = Л3, f2 = aR\3R с а = - 1. Добавилось ещё одно собственное значение по сравнению с той точкой. Тип неустойчивости для пяти разных w — устойчивый фокус. Масштабный фактор зависит от времени как
Теперь проверим, все ли степенные решения уравнений гравитационного поля (1.10), (1.11) вида a(t) = a0(t - t0) были найдены при решении системы (1.69). Как и в случае f1 = Л3 подставим a(t) = a0t - і0 в уравнение (1.10), учтём также (1.56), получим для f\ = R + /Зі?3
Из этого уравнения видно, что при любых а и /3 существует один корень А\ = 2 как и в случае с f\ = Л3. Но при анализе системы (1.69) данное решение не было найдено, так как ему соответсвуют координаты х = у = 0, сумма которых стоит в знаменателе системы. Вторая скобка в (1.93) даёт кубическое уравнение для А 20аА3 + 2А2(15/3 - 8а) - А(57/3 + 6а) -6/3 = 0. (1.94)
График функции = function(A) = 2ЖЮА2-8А-З) показан на Рисунке 1.2, он такой же как и зависимость а(А) в случае f\ = Л3 (см Рисунок 1.1 на с. 35). 1). При а = 1, (3 = 1 уравнение (1.94) имеет следующие корни
Теперь проанализируем, как повлияло на космологическую динамику моделей f(R) = it 3 и / = R + Л3 добавление слагаемых aR\3R. Результаты по /(Л)-гравитации возьмём из статей [91], [92]. В случае / = Л3 (см. [91]) с материей при нулевой пространственной кривизне имеются два вакуумных степенных решения (устойчивое — a{t) = a0(t - t0) и неустойчивое — a{t) = a0(t - t0)2) и одно неустойчивое решение с материей — a(t) = a0(t - 0)w+1 p(t) = p0(t - t0)- .
В модели f = R + R3 (CM. [93]), кроме названных, имеется ещё и неустойчивое решение де Ситтера. При добавлении слагаемых aR\3R к упомянутым моделям f(R) существуют все те же решения (у аттрактора немного отличается показатель степени), но кроме них могут появляются ещё два неустойчивых степенных режима в зависимости от а (см. Рисунок 1.1, Рисунок 1.2).
Исследование устойчивости решения де Ситтера
Однако, это не означает, что подавляемые слагаемые совсем не играют роли в некоторые эпохи. Слагаемые в полевых уравнениях с производными от скалярной кривизны высокого порядка, идущие от ЛПЛ, могут влиять на тип устойчивости стационарных точек динамической системы, существующих в /(Д)-гравитации. Здесь был детально изучен особый пример такой ситуации, а именно, устойчивость решения де Ситтера. Известно, что это решение существует и устойчиво в модифицированной гравитации f = R + /3R при N 2, N ф \. Члены с R\3R исчезают на деситтеровском режиме, однако, повышение размерности фазового пространства может нарушить его устойчивость. В этой главе было показано, что при N 1 рассматриваемое решение нестабильно, а для 1 N 2 устойчивость зависит от констант а, (3 (см. Рисунок 1.3). Устойчивые решения де Ситтера подходят для описания современного ускоренного расширения, а неустойчивые — для описания инфляционной стадии в ранней Вселенной. Однако, как было показано, в рассмотренной модели условия устойчивости деситтеровского решения требуют, чтобы показатель степени N был дробным.
Наконец, в модели с / = R + /3R2 -\-aR\3R было найдено асимптотическое решение с параметром Хаббла Н = \/—їііа ЯВЛЯК)Щееся модификацией решения Рузмайкиных, которое существует в R + (3R2 гравитации. Кроме того, получено несколько асимптотических степенных решений. Глава 2
Космологическая динамика в модели с неминимально связанным скалярным полем Теории со скалярным полем, неминимально связанным с гравитацией, изучаются десятилетиями. Впервые они были предложены Иорданом в 1959 году, а затем окончательно сформулированы Брансом и Дикке (которые руководствовались принципом Маха) в 1961 году (см. статьи [30], [31]). В этой теории гравитационная постоянная зависит от скалярного поля 0, присутствующего в действии в комбинации со скалярной кривизой ф2К
Позже были исследованы другие формы скалярно-тензорного действия. Например, хорошо известная теория со связью F(0)i?, где F = 1 — ф2. Космологическая динамика таких теорий довольно богата и до сих пор является предметом исследований. Например, в работе [108] было показано, что неминимально связанное поле Хиггса благодаря большой константе неминимальной связи может успешно описывать инфляцию, которая при малых невозможна.
С точки зрения тёмной энергии неминимально связанное скалярное поле интересно благодаря своим новым свойствам, таким как возможность пересечения границы гпф = —1, где гиф — это эффективный параметр уравнения состояния скалярного поля, а также появление скейлинг-решений, которые важны для устранения ”роблемы совпадени“. Фантомные скейлинговые решения являются общим свойством неминимально связанных систем с F = 1 — ф2 (см. статью [22]).
В последние годы в космологии широко используютя методы теории динамических систем для получения общей картины динамики для многих космологических моделей, включая модели со скалярным полем и модифицированную гравитацию. Этот метод позволяет находить асимптотические решения и иссле 58 довать их на устойчивость. Он требует введения нового набора переменных, в которых исходная система может быть переписана как система дифференциальных уравнений первого порядка. Но, как было показано в предыдущей главе, есть опасность упустить некоторые важные решения, а также в этой схеме невозможно исследовать переходные режимы, которые могут быть не менее важны, чем асимптотические. И тем не менее, классификация устойчивых асимптотических режимов, даваемая этим методом, может быть полезна для понимания общей картины динамики. В статье [42] модель с F((j)) = ф2 и потенциалом У(ф) = Хфп уже была исследована с помощью теории динамичаских систем.
Ограничимся в этой главе полиномными функциями видаі ((/ ) = 1 — ф и степенными потенциалами У(ф) = Уофп7 которые обобщают рассмотренные ранее модели (см. статьи [22], [42], [109], [ПО], [П1]). С помощью методов теории динамических систем в настоящей главе найдено обобщение фантомного решения, полученного в [112], [113], [22], [42], а также некоторые другие решения. Следует заметить, что набор переменных, используемый в данной главе, не может выявить эйнштейновский колебательный режим. Для его подробного описания нужны другие методы (см. работы [114], [115], [116], [117], [118], [119], [120]). Также введённые в этой главе переменные не могут помочь в изучении решения де Ситтера в рассматриваемой модели. Для получения условий устойчивости этого решения будут использованы исходные переменные. Кроме того, в данной главе изучается поведение рассматриваемой модели на диаграммах параметров ”пределителей состояни“, которые содержат третью производную по времени от масштабного фактора.
Стационарные точки и их характер устойчивости для V(ф) = У0фм
Следут также подчеркнуть различие между стандартной инфляцией, производимой минимально связанным скалярным полем (см., например, [122], [123]), и инфляционным режимом в стационарной точке 5 рассматриваемой модели. В стандартной инфляции начальные условия почти никак не сказываются на дальнейшей эволюции (они как бы „забываются"), то есть в конце инфляционной стадии значения скалярного поля и его производной приблизительно одинаковые у всех траекторий. В рассматриваемой здесь модели на инфляционном решении в стационарной точке 5 поведение скалярного поля отличается от режима ”едленного скатывани“, и значение ф в конце инфляции может отличаться в зависимости от начальных условий. Это приводит к различной судьбе траекторий после инфляции, что можно видеть на Рисунке 3.4: часть траекторий выходит на колебательный режим сразу после первой инфляции (траектория 1).), другие — перед осцилляциями проходят временную вторую инфляционную фазу (траектории 2)., 3)., 4).), а третьи — никогда не сходят со второй инфляции (траектоия 5).).
Заметим, что колебательный режим не был найден при анализе стационарных точек, так как на этом решении координата т может принимать бесконечно большие значения. На Рисунке 3.7 показана для наглядности одна траектория на плоскости (0, ф) и соответствующее поведение координаты m(t).
Случай с У(ф) = У0ф2 В случае, когда потенциал У(ф) = У0ф2, существуют либо три экспоненциальных решения, либо два, либо одно, в зависимости от значения произведения У0К (смотри анализ стационарного множества 7). Численное интегрирование (3.106) при N = 2 и У0 = 0.1, к = 0.1, когда есть три инфляционных режима, показывает, что (см. Рисунок 3.8, Рисунок 3.9, Рисунок 3.10) 1). асимптотическое решение с наименьшим значением Н = Н\ — неустойчиво, с него начинаются все траектории, а затем или попадают на колебательный режим (траектории 1)., 2)., 3)., 4). на Рисунке 3.9), или выходят на вторую инфляционную стадию с максимальным Н = Щ (траектория 5). на Рисунке 3.9), 2). экпонециальный режим с максимальным Н = Н% устойчив, это локальный аттрактор, к которому приходят траектории для некоторого диапазона начальных условий,
3). инфляционное решение с Н = И2 (Н\ Н2 Н3) — неустойчиво, траектории сначала притягиваются к этому решению, а затем сходят с него на колебательный режим (траектории 2)., 3)., 4). на Рисунке 3.9). Заметим, что если брать VoK, когда существует только одно экспоненциальное решение (при 32 VQK, 4), ТО ОНО оказавается устойчивым и не позволяет выйти с инфляции.
Рисунок 3.8. Фазовая диаграмма скалярного поля ф и его производной ф = фг для потенциала У(ф) = 0.1ф2 при параметре к = 0.1. Начальные условия брались: 0(0) от -8 до 8 с шагом 0.8, ф(0) = -8; 8.
Колебательный режим хорошо известен по моделям с обычным минимально связанным скалярным полем (см. статьи [124], [125]). В модели с неминимальной кинетической связью он рассматривался, например, в работах [75], [126].
Так как при N 2 инфляционные режимы на ранних этапах эволюции отсутствуют, здесь не будет производится численное интегрирование с такими потенциалами. Для N 2 существует устойчивое степенное решение с син 127 гулярностью „Большой разрыв", найденное в стационарной точке 4, поэтому можно предполагать, что динамика будет иметь фантомоподобный характер. Оставим изучение неинфляционных режимов в рассматриваемой модели для будущих исследований.
В этой главе была рассмотрена космологическая динамика Вселенной, за-поненной скалярным полем с неминимальной кинетической связью в лагранжиане и степенным потенциалом У(ф) = Уоф с Vo 0, N 0, для пространственно плоской метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера. Одно из интересных свойств этой модели, найденных ренее в работах [72], [73], [74] — существование инфляционного поведения на ранних временах в случаях с нулевым и постоянным потенциалами скалярного поля, то есть только благодаря неминимальной кинетической связи. Такой режим существует только при положительной константе связи к. В данной главе изучено влияние на динамику модели степенного потенциала скалярного поля.
Было найдено, что для случая квадратичного потенциала, наиболее интересного с физической точки зрения, инфляционные режимы существуют для ограниченной области параметров модели (VO,). ДЛЯ потенциалов с другими степенями с помощью методов теории динамических систем получено два новых асимптотических режима. Первый — это устойчивый степенной режим, ведущий к сингулярности „Большой разрыв" и существующий для потенциалов круче квадратичного. В этом случае инфляционных режимов нет, так что крутые потенциалы разрушают сценарий из статьи [74].
С другой стороны, для потенциалов менее крутых, чем крадратичный, инфляционный режим появляется точно такой же, как и в случаях с нулевым и постоянным потенциалами. Кроме того, появляется новый (это второй) асимптотический режим, который представляет собой экспоненциальное увеличение масштабного фактора и степенной рост скалярного поля. Он устойчив или неустойчив в зависимости от начальных данных и параметров Vo, . С точки зрения динамики, когда это решение устойчиво — это вечная инфляция, с которой выход невозможен. В этом состоит опасность рассматриваемой модели. Численноые исследования показали, однако, что для широкого диапазона начальных данных и параметров Vo и , траектории, выходящие с начальной инфляции, заканчивают эволюцию не на вторичной инфляции, а приходят к устойчивому колебательному режиму. Итак, когда потенциал менее крутой, чем квадратичный, сценарий начальной инфляции, управляемый неминимальной кинетической связью, выживает для широкого диапазона параметров Vo, .
Наконец, нужно заметить, что в данной главе рассматривались принципиальные возможности и свойства инфляционных сценариев в модели с неминимальной кинетической связью и степенным потенциалом. Однако, остаётся ещё открытым вопрос, согласуются ли полученные инфляционные траектории и, в особенности, спектр возмущений, который они производят, с наблюдательными данными? Согласуются ли они с измерениями реликтового излучения? Ответы на эти вопросы не были предметом проведённой в данной главе работы
