Содержание к диссертации
Введение
Глава I, Радиационный сдвиг коллективных сверхизлучательных уровней
1.1 Собственно-энергетическая часть взаимодействия двух атомов
1.2 Радиационный сдвиг коллективных энергетических уровней протяженных систем
48 Глава II. Полуклассическая теория кооперативного излучения 55
2.1 Основы полуклассического подхода к излучению распределенных сред 55
2.2 Приближение однород- ных волн .62
2.3 Влияние однородного и неоднородного уширений на динамику и спектр кооперативного излучения 71
2.4 Сверхизлучение при учете пространствен ной протяженности 67
Глава III. Сверх излучение с учетом кулоновского взаимодействия 108
3.1 Уравнение для матрицы плотности двух уровневого атома в классическом электро магнитном поле 105
3.2 Баланс энергии при кооперативном излучении .11!?
3.3 Пространственно-однородная модель --123
3.4 Сверхизлучение малой системы с учетом кулоновского взаимодействия L34
3.5 Сверхизлучение протяженной системы ( L > X ) без учета кулоновского взаимодействия 1ЭД
3.6 Сверхизлучение протяженной системы ( L > X ) с учетом кулоновского взаимодействия 1?6
Заключение 176
Литература
- Радиационный сдвиг коллективных энергетических уровней протяженных систем
- Приближение однород- ных волн
- Баланс энергии при кооперативном излучении
- Сверхизлучение малой системы с учетом кулоновского взаимодействия
Введение к работе
Актуальность проблемы В связи с развитием экспериментальных возможностей генерации и измерения сверхкоротких импульсов все большее значение приобретает проблема кооперативного поведения атомов при взаимодействии их с излучением. Исследование кооперативных когерентных процессов в излучении является одним из направлений современной нелинейной оптики.
Система атомов, взаимодействующих друг с другом через общее магнитное поле, излучает быстрее, чем система невзаим-действующих атомов. Это происходит благодаря тому, что в процессе излучения система самопроизвольно переходит в коллективное атомное состояние, в котором атомные дипольные моменты переходов коррелированны, т.е. в системе образуется макроскопический дипольный момент. Такой тип излучения принято называть сверхизлучением ( сверхфлюоресценция, кооперативное излучение).
Явление сверхизлучения впервые было предсказано Дике [i] . Рассматривая систему ъ/ двухуровневых [48] атомов, размеры которых много меньше длины волны излучения, как единую квантомеханическую систему, Дике показал, что для нее существуют такие коллективные квантовые состояния l",m., , что в процессе излучения или поглощения фотона т. может изменятьс я на I , а квантовые числа t и J» не изменяются. Зцесь т - собственное значение третьего компонента энергетического спина - характеризует энергию возбуждения системы Е = Ксдггъ, t - собственное число квадрата полного энергетического спина а - дополнительное квантовое число. Неизменность квантового числа ч. для системы Дике (размеры много меньше длины волны излучения, кулоновское взаимодействие атомов не учитывается) связана с тем, что гамильтониан взаимодействия системы с электромагнитным полем пропорционален оператору полного дипольного момента системы и, следовательно, квадрат полного энергетического спина системы - сохраняющаяся величина, (Оператор полного дипольного момента пропорционален линейной комбинации компонент полного энергетического спина системы).
Радиационный сдвиг коллективных энергетических уровней протяженных систем
Основными недостатками указанных работ являются проведение вычисления в рамках приближения медленно меняющихся амплитуд ( тогда приходится вводить обрезание интегралов в области высоких частот) и ограничение вкладом в сдвиг толь ко радиационного поля, хотя вклад статического кулоновского взаимодействия существенно превышает вклад радиационного поля. Попытка вычисления радиационного сдвига для протяженной системы была предпринята в [68] с использованием дисперсионного соотношения для собственно-энергетической части взаимодействия. Однако дисперсионные соотношения ошибочно использовались не по частоте Фурье преобразования, а по частоте атомного перехода. Поэтому полученные в [68] выражения для сдвига , вероятно, неправильны.
В серии работ [77 - 79] на основе анализа неоднородности суммарного электрического поля по системе делается вывод о том, что атомная система с размерами меньше длины волны потеряет когерентность за времена много меньше времени когерентного радиационного излучения системы. Тем самым предсказывается отсутствие сверхизлучения для системы с размерами меньше длины волны излучения. Однако в этих работах учитывается вклад поля только в волновой зоне. Отсутствует самосогласованность в процессе решения задачи: поле вычисляется в любой момент времени в предположении пространственно-однородной поляризации образца, в то же время показывается, что поляризация быстро меняется по образцу.
.Напротив, в работе [80] предположено (без доказательств), что действующее на атомы поле и атомные характеристики пространственно однородны. Тогда, исходя из полуклассических уравнений для вектора Блоха, для системы с размерами много меньше длины волны излучения получены аналитические выражения для динамики компонент вектора Блоха и интенсивности излучения
Показано также, что частота излучения меняется в процессе сверхизлучения, что согласуется с [74] Ф — азимутальный угол вектора Блоха, О. - усредненное по образцу кулоновское взаимодействие, R - кооперативное квантовое число, - радиационная константа затухания одиночного атома, td - время задержки. Таким образом, согласно [80] , кулоновское взаимодействие атомов не влияет на динамику излучения системы, но влияет на спектральные характеристики излучения»
В работах [84 - 86] , используя технику уравнений для редуцирования атомного оператора плотности Г 87,88 ] , исследуется влияние кулоновского взаимодействия на излучение системы нескольких атомов в условиях постоянной накачки (системы 3-х и 4-х атомов) и в начальной стадии сверхизлучения (24 и 48 атомов) В работах [ 84 - 86 ] численным расчетом получен ряд интересных зависимостей интенсивности и спектра излучения от расположения атомов и наименьшего расстояния между ними. Однако крайне малое число атомов в исследованных системах не позволяет распространить полученные результаты на сверхизлучение атомных систем реальных размеров;
В ряде работ [89 - 92] исследуется кооперативное излучение системы небольшого количества магнитных осцилляторов» Взаимодействие магнитных излучателей друг с другом отличается от взаимодействия электрических диполей, и основное внимание в этих работах сосредоточено на исследовании влияния допол нительного взаимодействия.
Таким образом, отсутствовала достаточно надежная оценка величины радиационного сдвига для протяженных систем. Отсутствовала ясность в вопросе о влиянии кулоновского взаимодействия на кооперативное излучение системы с размерами меньше длины волны. Не было исследовано влияние кулоновского взаимодействия на сверхизлучение протяженных систем.
Экспериментальное обнаружение сверхизлучения. Исследование явления сверхизлуч ния было стимулировано появлением первой работы по экспериментальному наблюдению сверхизлучатель-ных импульсов [96] . Сверхизлучение было обнаружено в газе HF при низких давлениях на переходе между соседними вращательными подуровнями молекулы ИГ (длина волны излучения X = 84/uu). Длина излучающей системы - 30 - 100 см, поперечный диаметр - 12 - 18 мм. Получены импульсы сверхизлучения с колебательной структурой (отчетливо видны два пика). Параметры импульса: время задержки - 660 исвк, ширина импульса -порядка 100 нсек. , временное расстояние между максимумами интенсивности - 16 5 нее , отношение энергий, излученных во втором и первом пиках импульса,- 0,2.
Приближение однород- ных волн
Следует отметить, что величины, относящиеся к левой и правой волнам, связаны друг с другом только через инверсию населенности. Системы уравнений (29) и (30) имеют характерную для квазиклассических уравнений точку неустойчивого равновесия ( L = Ru = 0 и R =Rfc=0 при t = 0). Поэтому для полностью возбужденной системы необходимо часть этих величин задавать отличными от нуля (при этом левая и правая волны порождаются независимо),
Приближение пространственно-однородных волн. /56,58/ Будем считать, что амплитуды волн поля и поляризации атомных величин не зависят от пространственных координат (приближение пространственно-однородных волн). Тогда из ( 2.1.29)
Приближение пространственно-однородных волн предсказывает цля случая медленного ухода из образца (маятник со слабым затуханием ( т &Q ) колебательный режим сверхизлучения. Максимум интенсивности пропорционален первой степени полного числа частиц. Затухание пиков сверхизлучения будет определяться константой выхода излучения т . Ширина пиков уменьшается по мере развития процесса, стремясь к половине периода колебания гармонического осциллятора %/Q Время задержки сверхизлучения учетом того, что быстроизлучающая система с медленным уходом фотона накапливает поле внутри себя. В результате система проскакивает максимум распада инверсии, накопившиеся фотоны снова поглощаются, возвращая систему в возбужденное состояние, и т.д. В результате формируется серия убывающих по мере выхода излучения ! цщюв"» В случае быстрого вылета фотона {- Q ) поле не может накапливаться внутри образца и вся энергия излучается за один пик импульса. Этим случаям соответствуют периодический и апериодический режимы колебаний маятника.
С целью исследования перехода от однопикового к колебательному режиму проводились численные расчеты сверхизлучения при различных значениях вероятности вылета фотонов. На рис.3 приведены импульсы удельной (в расчете на один атом) интенсивности излучения системы. Переход от однопикового к колебательному режиму происходит при значении ot Q. Обращает внимание также наличие наиболее эффективного значения вероятности вылета ( ae o.sQ)t при котором удельная интенсивность в первом максимуме наибольшая (при постоянной плотности атомов) (см. рис.6). В связи с этим можно ожидать, что при импульсном возбуждении системы (типа пластинки или стержня) излучение не будет распространяться в направлении наибольшего усиления (направление максимального а ), если для другого направления выполняется оптимальное соотношение. Подобное явление наблюдалось в работе Галанина и др. [127] для сверхлюминесценции тонких пластин антрацена, хотя приведенные авторами параметры системы не позволяют сделать заключения о выполнении оптимального условия. На рис.7 представлена зависимость максимума удельной интенсивности сверхизлучения от числа атомов при заданных вероятности вылета фотона и объеме системы. дует из предыдущего рассмотрения, при малых т/ зависимость линейная (полная интенсивность квадратична по числу атомов), а при больших Jv удельная интенсивность стремится к постоянному пределу 2 -эе ( интенсивность линейна и равна 2^зе ),
Приближение пространственно-однородных волн может выполняться строго лишь для систем бесконечной протяженности (бесконечный цилиндр или замкнутый образец типа тора) или отвечать солитон-ному решению при прохождении света [128] .
Для систем с числом Френеля F Э> 4 излучение происходит практически только вдоль системы. Время пролета системы в этом направлении TnP = L/c Вероятность вылета фотонов из образца обратно пропорциональна времени пролета в направлении излучения ( те. ~ТПр = L/c ) Более точно X можно оценить из сравне ния формул для времени сверхизлучения 5 через X (26) и формул, приведенных в 1.2 ( УрГ^^эОс^У/ск^) ) При равнивая эти выражения, получаем: 9Є =сД (31) Быстрому вылету фотонов из образца (x»Q. ) соответствуют короткие длины систем ( L < c/Q ), медленному - большие ДЛИНЫ ( L>b/Q )
Для систем с числом Френеля Г<^1 большая часть излучения выходит через боковые поверхности системы под углом А/р , определяемым угловой расходимостью излучения. Время пролета системы в этом направлении равно Т.Р = D /(Ас) . Соответственно, 2.Х ~ТпР =СЛ/Е>2 Сравнивая 0 = 2/эе с выражением, приведенным в 1.2 ( Sfc" =<.SQttfj//(KL) )f получаем кв2- D2- ~ я Ъа Таким образом, для систем с числом Френеля F« 1 случаю быстрого вылета фотонов соответствуют тонкие системы (D
Следует однако заметить, что справедливость приближения пространственно-однородных волн, вероятно, ограничена в случае с большим числом Френеля неоднородностью характеристик в направлении оси системы, а в случае малых чисел F«l - неоднородностью в поперечных направлениях.
Баланс энергии при кооперативном излучении
Баланс энергии при кооперативном излучении-, --П еречислим использованные приближения и запишем систему уравнений для кооперативного излучения многоатомной системы, используя результаты предыдущего параграфа. Используемые приближения: 1. Для описания атомов используется двухуровневое приближение. 2. Излучение атомов считаем дипольным. 3. Дипольныи момент стационарных состоянии атома равен нулю. 4. Полуклассическое приближение: электромагнитное поле описы вается классически и иницируется средним дипольным моментом атома. 5. .Приближение медленноменяющихся амплитуд. Кроме того, будем считать в дальнейшем: 6. Частоты перех ода атомов одинаковы. Дипольные моменты пере - 116 хода одинаковы.
Система уравнений для развития многоатомной системы: Идя малой ( L « 1 ) системы диаграмма направленности излучения совпадает с диаграммой направленности одиночного диполя. Матрица С ei совпадает с недиагональным матричным элементом двух атомов, (см# Г.2) Введем обозначение
Для численного интегрирования (27 - 28) использовалась схема интегрирования с полушагом С1241 Как видно из структуры получившейся системы уравнений, имеется точка неустойчивого равновесия при R = 0. Для выведения системы из положения неустойчивого равновесия будем придавать поляризации малое начальное значение: Re = R0 . Величина Rez шжет быть оценена из требования, чтобы в начальный, момент времени интенсивность излучения была равна интенсивности спонтанного излучения. - W = Н (а» С учетом начального условия W е с« (Я) Отсюда _ Rft R« kO ,Л 0 Є І Є J (32) Несмотря на наличие этой оценки, Ro является скорее феноменологическим параметром. Система Дике; Для системы малых размеров ) = t и С Ro - Aty/f AYV-W + У/) = У" (33) Для линейной регулярной плотной ( ка « і ) протяженной ( L» ) цепочки Rej = я-1 -j I и, проводя в (32) с: ров ание - 121 -учетом Jv ( a) (см.3.3),получим ЮІ- r Cl Q) -і Ъ (34)
Баланс энергии.Рассмотрение будем производить в пренебрежении запаздыванием между атомами системы", в медденноменяю-щихся амплитудах поляризации. Это предположение справедливо при условии, если время проле та система t/c много меньше характерного времени изменения поляризации Тж ( L/c Тх) . Настоящее предположение неадекватно предположению о полном отсутствии запаздывания, так как наиболее существенная часть запаздывания учитывается наличием « (LKR ).
Рассмотрим интегральную интенсивность излучения системы 3(ti-$(?(ti-R./c)fli?)-R J(gR.) (35) Зцееь &Ro - сфера большого ( по сравнению с размерами системы) радиуса Rc f нормаль к S Ro совпадает с а0 ; сі? = Ъ dQ.7i0 При пренебрежении запаздыванием между атомами J Q[(?t/ ) - U A)C 2j)]есеріік(п.Rep]] (36) Вычислим выражение db.e = J Q{(/ p4fro/e)(M«/)} ( ( )) (37) Направим ось 2 по R 2j и введем сферические координаты. Тогда dQ. Заметим, что для пространственно-однородной системы кулоновское взаимодействие не влияет на динамику сверхизлучения. Выражение (18) для поляризации "R" отличается от соответствующего при отсутствии кулоновского взаимодействия ( QR =0) быстро осциллирующим множителем, причем, частота осцилляции определяется в основном взаимодействием соседних диполей, С точностью до множителя порядка I О. R определяется формулой (где j/R -координационное число (число ближайших соседей), а - расстояние до ближайшего соседашграктически не зависит ни эт формы образца, ни от его размеров В начале процесса, когда t І В ходе процесса фаза амплитуды поляризации R меняет свой знак, что находит свое отражение в увеличении частоты сверхиз-иучения с течением времени ОТ )о — .QR /я ДО Сдс +-&я/% ш Спектр сверхизлучения испытывает уширение, по величине равное 2Й . Когда , »1, то это уширение определяет ширину зпектра сверхизлучения Пространственно-однородное приближение позволяет рассчитать не только динамику, но и диаграмму направленности сверх излучения.Подставив (18) в (3.2,12), получаем для вектора Умова-Пойнтинга »Rc2. «ocpCUlaoRc])) (25)
Таким образом, диаграмма направленности определяется как диа-граммой направленности одиночного диполя I - ( ne, a )f так и коллективным сомножителем, определяемым двойной суммой в (25). Диаграмма направленности в пространственно-однородном приближении стационарна»
Система Дике и линейная цепочка атомов в рамках пространственно-однородного приближения. Для системы с размерами много меньше длины волны излучения К } «. 3t (система Дике).
Формулы (27-29) показывают характерные для сверхизлучения малой системы особенности, известные еще со времен работы Дике [I] : а) сокращение времени излучения пропорционально общему числу молекул; б) квадратичная зависимость интенсивности излучения в максимуме от общего числа молекул; в) однопиковый колоколооб-разный вид импульса сверхизлучения; г) совпадение диаграммы направленности с диаграммой направленности одиночного диполя.
Сравним для малой системы величины дипольного сдвига Q& И сверхизлучательной константы Q ДА 2f lf J ж У, JL т.е. для системы Дике кулоновское взаимодействие по величине существенно превышает константу сверхизлучательного распада,
Линейная регулярная депочка атомов. В рамках пространственно-однородного приближения проведем точное вычисление величин QR и l{v для случаев малой ( L X ) и протяженной (L А ) регулярной цепочки атомов.
Сверхизлучение малой системы с учетом кулоновского взаимодействия
Как видно, результаты квантового и полуклассического подхода совпадают друг с другом. Более точную картину происходящего процесса для малой системы можно получить, решая систему балансных уравнений для случая излучения короткой системы. Я -Л І Ркг + 0Rft i PR I (22) где Рца вероятность заселения уровня с квантовым числом R , с начальными условиями, соответствующими полностью возбужденной системе PR%(o) -. (23)
На рис.25 представлены распределения вероятностей заселения в различные моменты времени системы Дике, содержащей 100 атомов, по числу испущенных фотонов = j- е (указано также для каждого времени среднее число испущенных фотонов
Отметим, что распределения получились достаточно широкими, особенно в районе максимума излучения системы. Представленный на рис.26,27 импульс сверхизлучения отличается от вычисленного по формуле (3). В частности, он имеет меньшую максимальную интенсивность. Полученный результат , . объясняется отличием распределения вероятностей от дельтообразного. Аналогичные результаты для одномодовой модели получены в С 24 ]
Наименее изученным вопросом в теории кооперативного излучения системы Дике остается влияние кулоновского взаимодействия, Между тем для достаточно плотной системы (а X ) кулонов-ское взаимодействие может конкурировать с радиационным;
Актуальность учета кулоновской части взаимодействия можно оценить, сравнивая времена, характерные для процессов коллективного спонтанного распада ( ) и обмена возбуждением между парой атомов на расстоянии а ( ГС ). В случае дипольних излучателей время % имеет порядок обратной величины взаимодействия двух диполей, то есть 51- -я Для системы Дике Як = 9i/j/ , 2Г = j-gr - 1 радиационное время жизни одного атома. Составляя отношение % к Зя , получаем: / l/a 1% - (L/X) & Ї . Таким образом, для системы Дике движение населенностей опережает сверхизлучательный распаде
Для решения вопроса о влиянии кулоновского взаимодействия на динамику кооперативного излучения системы Дике нами проведено численное исследование. Кулоновское взаимодействие даже в случае малой системы нарушает пространственную однородность. На рис.28 представлены результаты , излучения для систем Дике с QR5 R = 369» Начальные условия брались в виде Ек ) = 0,5 , R"4 о) = Ю-"2. Импульс сверхизлучения с учетом кулоновского взаимодействия, рассчитанный в приближении учета взаимодействия с ближайшим соседом, (кривая б) отличается от импульса пространственно-однородной модели, который, как отмечено выше, совпадает для системы Дике с импульсом в отсутствии кулоновского взаимодействия, (кривая а) увеличением задержки времени. Форма и амплитуда импульсов практически не отличаются. Увеличение времени задержки связано, по нашему мнению, с тем, что кулоновское взаимодействие вызывает фазовую модуляцию поляризации в начале развития системы.
Для систем с размерами меньше или порядка длины волны ( L Д. ) пренебрежение взаимодействием не приводит к условию пространственной однородности. Соответственно, импульс излуче ния системы без учета взаимодействия отличается от импульса в пространственно-однородном приближении. На рис.29,30 представлены импульсы излучения для системы с а/Я =0,016 и l/ = 10,20; На рис.31 представлены импульсы кооперативного излучения с }/ - 50. И мпульсы сверхизлучения для случаев L 41 сохраняют характерную гладкую однопиковую форму и меняются от близкой к пространственно-однородному импульсу для системы Дике (для }/ = 10) до близкой к пространственно-однородному импульсу для бесконечной цепочки. Это изменение параметров импульсов связано с изменением величины коллективного времени сверхизлучения 3"R . Импульс сверхизлучения всегда остается близок к импульсу пространственно-однородного случая. Эти особенности сверхизлуче ния систем с Ш связаны с выполаживающим дей ствием кулоновского взаимодействия. На рис.32 представлены про странственные зависимости инверсии населенности системы с У = 50, а/я = 0,016 в разные моменты времени с учетом и без учета взаимодействия. Существенное нарушение пространст венной однородности (с учетом взаимодействия) проявляется толь ко на концах цепочки. Дія внутренних же атомов инверсия слабо зависит от положения атома (приблизительно пространственно-од нородна);
На рис.33 представлены коллективные составляющие вектора Зйюва-їїойнтинга в разные моменты времени для случая J/ =50. С ростом длины системы эта коллективная составляющая меняется от строго изотропной для системы Дике до имеющей уже развившуюся направленность вбок для случая J\f - 50. Следует отметить, что и диаграмма направленности соответствует в основном диаграмме направленности пространственно-однородной модели;
