Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Анализ распределения тока внутри частицы 15
1.1 Постановка задачи 15
1.2 Математическая модель и расчет 19
1.3 Обсуждение результатов 21
ГЛАВА 2. Электромагнитное поглощение частицы с учетом от- клонения от закона Видемана-Франца 37
2.1 Постановка задачи 37
2.2 Моментный метод 41
2.3 Математическая модель и расчет 49
2.4 Обсуждение результатов 52
ГЛАВА 3. Учёт влияния скин-эффекта на сечение поглощения 65
3.1 Постановка задачи 65
3.2 Математическая модель и расчет 67
3.3 Обсуждение результатов 74
Заключение 81
Список литературы 83
Введение к работе
Актуальность работы
Изучение электромагнитных свойств малых металлических частиц обнаружило значительные отличия от подобных свойств у массивных металлических образцов. Причиной таких отличий являются линейный размер R исследуемых объектов, который сопоставим с характерной длиной свободного пробега А носителей заряда в металлах. Это приводит к тому, что характер взаимодействия электронов проводимости оказывает заметное влияние на их отклик на внешнее электромагнитное поле. Сечение поглощения - одна из составных оптических величин (характеристик) - проявляет нетривиальную зависимость от отношения RkA.
В большинстве металлов с хорошей электро- и теплопроводностью (медь, алюминий, серебро, золото и т.п.) при комнатной температуре величина длины свободного пробега электронов лежит в характерном диапазоне от 10 до 100 нм. А размеры экспериментально исследуемых и промышленно получаемых частиц могут достигать значения всего нескольких нм, что делает осуществимым реализацию условия R«A.
Возрастающий интерес к проблеме взаимодействия излучения с малыми металлическими частицами связан с многочисленными применениями последних. Ряд технологических приложений, таких как создание композитных радиопоглощаю-щих материалов и метаматериалов, деталей микроэлектронных устройств, требуют всестороннего исследования свойств систем, состоящих из мелких частиц металла.
В настоящее время становится актуальной защита населения и территорий от воздействия электромагнитных полей повышенной интенсивности. Всемирной Организацией Здравоохранения официально введен термин "электромагнитное загрязнение среды", что отражает новые экологические условия, сложившиеся на Земле в плане воздействия электромагнитного излучения на человека и все элементы биосферы. Одним из способов такой защиты может выступать применение ра-диопоглощающих и радиоэкранирующих материалов на основе малых металлических частиц.
Целью данной работы является изучение особенностей взаимодействия электромагнитного излучения с мелкой металлической частицей. Исследования нацелены на:
анализ плотности распределения вихревых токов в мелкой проводящей сферической частице в случаях зеркально-диффузного характера взаимодействия электронов металла с границей образца. Дано сравнение результатов для различных размеров частицы и частот падающей электромагнитной волны в отсутствии скин-эффекта;
разработку варианта моментного метода к вычислению оптических свойств малых металлических частиц. Приведено сравнение сечений поглощения в сферической частице рассчитанных моментным методом со значением, полученным в точном кинетическом расчете;
решение модифицированного кинетического уравнения с интегралом столкновений, учитывающим отклонение свойств металлов от закона Видемана— Франца при низких температурах, с учетом диффузного рассеяния электронов на границе образца;
проведение последовательного учета влияния скин-эффекта на сечение поглощения при произвольном соотношении длины свободного пробега электронов проводимости и размеров частицы.
Научная новизна работы
Впервые кинетическим методом вычислена эффективная проводимость металла, и, как следствие, плотность распределения вихревых токов внутри малой проводящей сферической частицы. Рассмотрены закономерности поведения эффективной проводимости в случае зеркально-диффузного характера рассеяния электронов для частиц различных размеров и произвольных частот.
Впервые разработан моментный метод, позволяющий наряду с последовательным кинетическим расчетом вычислять оптические величины в малых металлических частицах.
Впервые решено двухпараметрическое уравнение Больцмана для электронов, учитывающее отклонение свойств металлов от закона Видемана— Франца при низких температурах. Проведен анализ зависимости сечения поглощения частицы от параметра, описывающего это отклонение.
Впервые вычислено сечение поглощения электромагнитного излучения металлической частицы сферической формы с учетом влияния скин-
эффекта. Показано, что учет кинетических эффектов приводит к существенной модификации известных результатов по скин-эффекту в сферической частице. Практическая значимость Использование особых электрических и оптических свойств малых проводящих частиц и тонкопленочных структур уже сейчас находит обширное технологическое применение.
Поверхность, покрытая краской с примешанными в нее малыми металлическими частицами, сильно меняет характер поглощения и отражения электромагнитного излучения.
В добывающих отраслях на горно-обогатительных комбинатах применяется технологический метод добычи драгоценных металлов, основанный на использовании свойств наведенных вихревых токов в частицах получаемых металлов.
Широко используются отличительные свойства мелких металлических структур в изделиях военного назначения. Внедрение технологии «стеле» позволяет в разы снизить радиозаметность объектов, а аэрозольное облако из металлических частиц или метаматериалов может эффективно бороться с лазерным излучением. На защиту выносятся:
расчет эффективной проводимости металла, как функции координаты точки внутри частицы, и анализ пространственного распределения плотности вихревого тока в зависимости от размеров частицы, частоты внешнего поля и коэффициента зеркальности;
модификация моментного метода применительно к вычислению оптических величин в малой проводящей частице сферической формы;
решение двухпараметрического уравнения Больцмана для электронов проводимости с учетом поправки в интеграле столкновений, описывающей отклонение свойств металлов от закона Видемана-Франца при низких температурах в случае диффузного рассеяния электронов;
построение теории аномального скин-эффекта в металлической частице. Нахождение зависимости сечения поглощения электромагнитного излучения сферической частицы от размера образца и частот падающего излучения в случае, когда влиянием скин-эффекта нельзя пренебрегать.
Апробация работы
По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведён в конце автореферата.
Материалы диссертации докладывались на международной конференции стран СНГ (Одесса, 2002 г.), международной аэрозольной конференции в Московском институте физической химии (Москва 2000 г.), на международной конференции в Московском станкостроительном институте, (Москва 2000 г.). Основные результаты диссертации обсуждались на научных конференциях и семинарах кафедры теоретической физики Московского государственного областного университета.
Структура и объём диссертации Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 91 страницу машинописного текста, включая 27 рисунков.
Математическая модель и расчет
Для решения уравнения (1.3) воспользуемся методом характеристик-траекторий [93]. Изменение функции f\ вдоль такой траектории df = Vdt можно выразить, преобразовав уравнение (1.3): Обозначим через t n - моменты времени, когда происходит л-ое отражение электрона от поверхности частицы; v = z l-ico- комплексная частота рассеяния. Если рассматривать граничные условия (1.5) в случае зеркального характера взаимодействия электронов с поверхностью, то функция f\ в точке отражения t = t n меняется скачкообразно: при этом сохраняется угловой момент [FP]=[?F ]= const. Это означает, что все звенья данной траектории являются конгруэнтными и располагаются в плоскости круга, и разность t n n_x не зависит от п — номера точки отражения. t n=nT + const, ieZ, где T = -2\Pn-rn)/V2 - время пролета со скоростью V между точками гп_х и rn . Вдоль траектории величина Ё- V постоянна. Данное утверждение вытекает из закона сохранения момента импульса во время пролета электрона между столкновениями. Действительно, используя выражение (1.1), получаем: Ё V = — [РЯ0 J V exp(-ia t) = [г V\ Н0 exp(-ia t) = const. Решая уравнение (1.6) на интервале времени (t „.\, t n) с применением условия (1.7), получаем выражение, связывающее начальные значения функции/! на двух соседних звеньях траектории: /.(/: + 0) = J- [ ](l-exp(-vn)+ (C,+0)exp( -vT ) . Выражая с помощью данного рекуррентного соотношения величину/i(Y „_i +0) через f\{t «-г +0) и т.д., получаем выражение для/і(ґ „ + 0) как сумму геометри -vT _, ческой прогрессии со знаменателем q е . Суммируя ее, получаем: /{l-qexpi-vn) /fe + o)=- (1.8) Mff -exp(-vr)) v Удє J Интегрируя далее (1.6) с начальным условием (1.8), находим вид функ ции/і( : УїМ ҐЙ. (1.9) (l-g)cxp(-vQ v Кдє l-qrexp(-v7")
При и Ои f0 = F параметры / и Г связаны с координатами точки (г; к) в фазовом пространстве следующими условиями: 7-?0 + PY; F-?0 0; rQ2 = R2; Г = -г(к 70)/v2, Исключая отсюда г0, получаем: t = (г-9)+ 7-vf+V R2- (1.10) Vі г TJT2 r = 2 -vf+V2{R2-r2\ Выражения (1.9) и (1.10) полностью определяют функцию/ {?; V), а, еле довательно, и ток внутри частицы (1.4): Ф, (1.11) 7 = / U f(i- )f"i-(l g)exp(-Z77) \mVF)Azix _ 1-?ехр(- о) где г = vД/У/г = х - iy; х = R/{VFT) = R/A; у = Rco/VF; \Уг \Уг r1 = VFt /R = fr + (t2S+l2y;i0=VFT /R = 2{t2ju2 + \2)2; = r/R;M = cos( F) = (К. r)/(Vr). Из формул (1.2) и (1.11) приходим к следующему выражению для про водимости Z: ,?)=f lfj(i- ) (l-g)exp(-zr?) l-gexp(-z770) dfi (1.12) Для оценки электромагнитных свойств часто используется так называемая модифицированная проводимость Друде 2MD- Данная проводимость позволяет эффективно учитывать наряду с объемными столкновениями также столкновения электронов с поверхностью частицы. В ряде случаев использование EMD, которая не зависит от координат внутри частицы, позволяет дать разумные оценки для сечения поглощения а частицы [54, 55]. Учитывая это, введем безразмерную величину, равную отношению проводимости Е к модифицированной проводимости Друде 27MD- Поскольку, проводимость ZMD учитывает объемное и поверхностное рассеяния электронов, то нормировка на 27MD позволит при всех значениях q иметь наиболее удобное обезразмеривание. Анализируемое нами отношение Е(со)/ми, согласно (1.12) и
В дальнейшем, будем называть частицей крупного радиуса такую, у которой геометрические размеры существенно превышают длину свободного пробега электронов в металле. Под частицей среднего радиуса будем понимать частицу с сопоставимыми значениями радиуса и длины свободного пробега. Частицей малого радиуса назовем такую, у которой длина свободного пробега электронов значительно превосходит ее линейные размеры. 1. Случай чисто зеркального отражения (q = 1). Интеграл (1.12) сильно упрощается и вычисляется в явном виде, мы имеем переход в классический результат, описанный в [23]: Ек = Еи/(1-гс0т) - проводимость не зависит от координаты и совпадает с объемной проводимостью металлов. При зеркальном отражении граница образца не оказывает никакого влияния на функцию распределения f\\r;v\ из-за чего вихревой ток внутри такой зеркально отражающей сферической частицы подчиняется локальному закону Ома при любом соотношении между размерами R и длиной свободного пробега электрона Л. То есть, отсутствуют нелокальные (поверхностные) эффекты. Рис. 1.1. 2. Случай чисто диффузного отражения (q = 0). а) Частица крупного радиуса (х 1) При больших радиусах наблюдается отклонение от объемного поведения эффективной проводимости в так называемом слое Кнудсена (в данном случае слой образован электронами у поверхности частицы и его ширина равна длине свободного пробега электрона). Причем, на больших частотах добавляется особый поверхностный эффект, который приводит к некоторому росту эффективной проводимости в зоне перед слоем Кнудсена. Рис. 1.2 и 1.3 б) Частица малого радиуса (х 0. 1) В частицах малого радиуса и при не высоких частотах падающего излучения хорошо прослеживается схожесть полученных результатов с данными работы [28]. На рис. 1.4, при повышении частоты, зависимость эффективной проводимости приобретает плавно осциллирующий характер. Подобное поведение демонстрирует величина аргумента эффективной проводимости на рис. 1.5.
Моментный метод
Покажем, что с помощью моментного метода [92] можно найти функцию f\ как решение уравнения (2.3) и рассчитаем сечение поглощения частицы. Для этого функцию/! представим в виде: дє mVv (2.6) Подставим fi в виде (2.6) в кинетическое уравнение (2.3). Помножим полученное уравнение на величину комплексно сопряженную к (р \ - на Ф\ : — гсо s(y-vF) mVr, ФхФх deYl f_?_5(K-KF) -+e n = mVF v dr = sjv-v cp; tmVl (2.7) Заметим, что третий член левой части равенства (2.7) можно записать следующим образом: eVtj"ттгФ\ - ду "?)Фі mVv дЕ Выразим плотность тока (2.5) как J - 2е Пусть Q=\ \]E dlr mYr V J 5(V-Vv) p V U mVr - диссипируемая в объеме частицы в единицу времени энергия [23], тогда уравнение (2.7) можно записать в виде: \ Ґ Ы1 2em3V \ E d r yh mV diV-V cp.d V f Ґ m ±Re 160 з Л = 2 x yxmV? h3 KmVFj USlV-V tp d Vd2 x5(F-FFW V + f2 UReJ (K-FF)- L VV V. h )2 mVF dr Отсюда получим выражение для Q 6=JReJJfVV = 2 з = 2 (J_Ref5(F-FF) dYdV h 2т J mVr , . (2.8) -LRe(ico)\s(V-VF)? d3Vd3r + mVF 0 J rnV +lRcJ-Le(K-n) -ftvrav). 2 J тигр or Второй член правой части выражения (2.8) равен нулю, а третий, используя уравнение Остроградского-Гаусса, запишем в следующем виде: J mVF or J mvv \or ) d3Vd3r = rS{V-VT)r, . ,3„.c J J ml/ 2J mVv Таким образом, для средней диссипируемой мощности Q справедливо выражение: — Re J JE d3r = = 2 .(±-R,l3(V-VF) d3Vd3r+ (2.9) h 2т J my F v y + W v). 4 J mFp Проведем разложение функции (p і на моменты Cv и С-С [94]: cp f= (a 0 +bC(pCr)exip(-ia Osin0, где а и b - комплексные функции координаты г. С,риСг — безразмерные скорости (cr = —cos а, Ср =—sin a cos/?), а, Д 9, (р - углы в сферической системе координат в пространстве скоростей с полярной осью вдоль оси г. Представим а и b в виде: a(r) = ai(r) + і a2(r), b(r) = b\(r) + і b2(r) . Здесь a\{r), a2(r), b\{r) и b2{r) - действительные функции. Найдем решение уравнения Больцмана (2.3), записанное в сферических координатах.
Проделав умножение его первый раз на момент С9 и второй раз на момент CrQ, [92], проинтегрируем по всему пространству скоростей. Получим систему из двух уравнений, связывающих моменты функции распределения с электромагнитным полем внутри и вне частицы: 10( ш)а + 6—Lb + 2VF =5 -— r г dr с VT тг da — а - KF — г (--1(0)6 = 0 dr x Для низкочастотного случая (RJVv«\ и CORIVY«\) будем иметь: г dr с г dr Проведя обезразмеривание г = R, dr — R d, a = ai() е H0R,b = /?i() e H0R, получим: ".#,,, # -icoR dt; 6 + 2 - = 5 - «1 d(XX=Q Решения соответствующих дифференциальных уравнений приводят к следующему результату: (2.10) ai = ( / = і ю Д 2/(2с) + С2/ 3 где Сі и С2- неизвестные коэффициенты. Так как ai(0) Ф оо и /?i(0) = оо, тоС2=0и/3! = іші? 2/(2с). Теперь рассмотрим граничные условия функций распределения [45]: Cr pi=0 при г = R и Сг 0. (2.11) Отметим, что граничное условие (2.11) не может быть строго удовлетворено рассматриваемой нами моментной функцией распределения. Это связанно с тем, что в данном случае используется полно пространственный, а не полупространственный моментный метод [92]. При этом обычно выбираются моментные граничные условия. Они получаются домножением на моменты граничного условия (2.10) и интегрированием по полупространству скоростей, соответствующему условию Сг 0. Число моментных граничных условий в общем случае зависит от числа используемых моментов. В нашем случае имеется одно моментное условие. Обычно в качестве такового берут моментное условие меньшего порядка. При этом уравнение (2.11) домножается на момент наименьшего порядка (у нас это С ) и интегрируется по полупространству скоростей Сг 0.
В связи с этим будем использовать обобщенный способ формулировки моментных граничных условии: второй член правой части выражения (2.9) представим в виде двух слагаемых - падающего и отраженного потоков энергии: -RelS(-v Vv)vr(pl(p;d3vds=±RelS(-v V vr(p,cp:d vds+ 4 J mVv l 4 { mVv r x о _ (2-12) + IRe \S( V V \(pl(pld3VdS 4 mVF Второй член в (2.12) в точной кинетической теории равен нулю, поэтому минимизируем его по отношению к падающему потоку. Воспользуемся методом нахождения условного экстремума — нахождения минимального значения функционала. В нашем случае функционалом Ф будет полный поток энергии, исходящий из частицы, А — поток энергии, переносимый электронами, движущимися от поверхности частицы, В -поток энергии, переносимый электронами, движущимися к поверхности частицы. Ф=А-уВ, где у- коэффициент, (сделаем замену Cr= Ccos0, С р= С sin(9-cos p, cos 9= ju, С =VIVi)
Обсуждение результатов
В ходе решения двухпараметрического уравнения (2.4) был получен вид функции сечения поглощения а. Величина и зависит от трёх параметров: безразмерной длины свободного пробега электронов х, безразмерной частоты электромагнитного излучения у и параметра g, выражающего отклонение свойств металла от закона Видемана-Франца. Согласно экспериментальным данным [75] коэффициент W отклоняется от единицы и может принимать значение порядка 0.2 для натрия при температуре около 20 К, при этом g = 0.8. Напомним, что при g = 0, уравнение (2.4) переходит в т-модельное однопараметрическое уравнение (2.3). Оценим точность полученных результатов, сравнив их с расчётами классических теорий. При выполнении закона Видемана-Франца (W= 1, g — 0), кривая, описывающая сечение поглощения Fg у частицы среднего размера (х = 1) с отличием менее 0.5% совпадает с кривой, построенной с помощью формулы кинетического расчета [54]: и близка с кривой, построенной с помощью модифицированной форму Заметим, что значение х в выражениях для F0 и Fm i необходимо заменить на (1 - g)x. Это объясняется тем, что сравниваются сечения поглощения при одинаковой электропроводности, зависимой от значения параметра g. В условии низкочастотного предела (у стремится к 0), когда реализуется режим чисто поверхностного и чисто диффузного рассеяния (х = 0), пренебрегаем рассеянием электронов внутри частицы и получаем вид функции сечения поглощения rx,y,g - 1 _ ргУ , см. (2.17), что хорошо согласуется с результатами работы [56].
Представляет интерес сравнение сечений поглощения, вычисленных с учетом и без учета отклонения от закона Видемана-Франца. Сравнение наиболее наглядно при условии, что сечение поглощение вычисляется при одном и том же значении проводимости Z. На рисунках представлены графики зависимости отношения величин F, вычисленных при конечных (величина F(x, у, g)) и нулевых (величина F(x, у)) значениях коэффициента g. На рисунке 2.3 приведен график зависимости отношений сечений от безразмерной частоты столкновений х в низкочастотном случае. Из рисунка видно, что влияние параметра g немонотонно зависит от х. При этом отличие от классического случая может достигать 18%. Статическая проводимость определяется величиной (1 — g)x. На рисунке 2.4 приведена зависимость отношения сечений поглощения от частоты излучения у при фиксированном значении проводимости металла, т.е. при фиксированном значении величины (1 — g)x. Из рисунка видно, что при одной и той же величине проводимости наблюдаются различия в поглощении излучения частицей. При увеличении g отношение между расчетами, учитывающими поправку к закону Видемана-Франца F(x, у, g) и не учитывающими его F(x, у), существенно возрастает, достигая значения порядка 15%. Наблюдаемая картина демонстрирует, что на характер поглощения в большей мере оказывает влияние именно значение параметра 1 - g, а не безразмерной частоты столкновений х. Причем имеется определенное значение частоты излучения , при котором поправка к закону Видемана-Франца не играет никакой роли, и дальнейшее увеличение частоты приводит к уменьшению значения сечения поглощения.
На рисунках 2.5 - 2.10 представлено поведение функции сечения поглощения для различных значений безразмерной частоты падающего излучения у (рис. 2.5 - 2.7) при фиксированном размере частицы х, и наоборот (рис. 2.8 - 2.10). Отметим, что, как видно из рисунков, учет влияния параметра g (учет отклонения от закона Видемана-Франца) может приводить как к росту, так и к уменьшению сечения поглощения частицы. Учет поправки к закону Видемана-Франца приводит к существенной модификации уравнения Больцмана для электронов, превращая его в двухпараметрическое (2.4), а вид функции сечения поглощения - в нетривиальную функцию (2.22).
Математическая модель и расчет
Для решения уравнения (4) воспользуемся моментным методом [92]. При этом функцию/і представим в виде комбинации моментов С9 и СгС(р . ка; a(r) и b{r) - коэффициенты при моментах. V V Cr =— cos а,С 9 =— sin a cos/? - безразмерные компоненты скоростей, а Ур VF и /3- углы в пространстве скоростей. С учётом последнего, функцию f\ можно представить следующим образом: Умножим уравнение (3.4) последовательно на моменты С9 и СгС,р, и проинтегрируем по всему пространству скоростей. После некоторых преобразований и сокращений получим систему следующих уравнений: электрическое поле внутри частицы, которое в 0 і со отсутствии экранировки будет иметь вид i =— or; 4 - электрическое поле вне частицы. Введём следующие безразмерные величины: Ф,= После подстановки и соответствующих преобразований получим систе а i ;«i = 1 Я/"1 RHe 1 RHe ; = -(0 l);x = — і?4 ; тК ;j му уравнении: lOza, +6 -+2 - = 100,, «! fitoj А=0. (3.5) Из этой системы уравнений можно получить следующее уравнение для функции сс\(): (3.6) d ( Л_2ах=52 2 _5ф 2 dSV d$) Обозначая поле вне частицы через Ч , уравнения Максвелла для поля внутри частицы W\ и поля вне частицы 4 будут иметь вид: -68 d( 2dWA — r \ dr dr An -2x=-ia —JS J с (3.7) 2!F2=0. d( 2dW dr\ dr j Граничные условия (3.2) на поверхности частицы для величин % и 4 можно записать в виде: dWt _dW2 1 , , и j—и или dr d0-, dr d0 ш\ -ш I r=R і r=R A (3.8) ;«i = dE, V =1 d$ и=ф2 =i «=i Последнее из условий (3.8) вытекает из граничных условий диффузного отражения электронов от границы металла (3.2).
Применяя метод нахождения условного экстремума, при котором минимизируется функционал С—А-уВ — полный поток энергии (складывается из потоков отраженной А и поглощенной В частицей электромагнитной энергии), поступающий к частице, получаем, что на границе частицы выполняется условие al = —F= и соответствующая ошибка вычислении при использовании таких граничных условий составляет 4%. Плотность тока jv можно представить в виде [23]: / \3 і т h л=2т «К« = %em2nVl , ч Se2HnRm27rV2 3/ґ 3/ґ am (3.9) 2„2D2„ 2тгЗ Введём безразмерную величину w = 32/rVW К Ъкъс2 При этом систему уравнений (3.7) для полей, учитывая (3.9), можно переписать в виде: -69 d [?йфЛ dS d (s:1d02\ dt, [ d$) 1i-1. -20l=-iyw zal -2Ф2 = 0. (3.10) Из первого уравнения системы (10) следует, что влияние токов проводимости на поведение поля внутри частицы при заданной частоте про-порционально w . Таким образом, именно эта величина характеризует степень влияния на поглощение величины скин-слоя. Рассмотрим поведение поля (ЗЛО) и электронов внутри частицы (3.6), описываемое системой уравнений: d I d% ) dB, d і 2 dal dt, I dt) 2к2 -2Фх=-іум А ах, 2ax=5z Aax-50xz Произведём замену —iyw =l2\, —5z=l\\, 5z =/12. В результате получим: Решение системы (11) будем искать в виде Ф\=Ка\, где К— некоторый коэффициент. Id d$\J d% d% d f 2da d% V -2Ф,=/212а1; -2ax = 1Х2%2ах+ІххФх%2. (3.11) Обозначим через Q. следующий оператор — Таким образом, систему (3.11) можно записать так: Ф, [ПФх=112КФх+1пФ1. Сравнивая эти выражения, получаем h\/K =К- 1\\+1п. Из этого квадратного уравнения находим значения коэффициента К. -70 42 ЛГ12 + 4 11 21 и К2 = -/12+T//12+4/n/21 К: 2/ 11
Подставляя вместо /ц, /і2и /2i их значения, имеем для К\ и ІС2: ( 4iywJ А ,= и 1-,1 1 + ЛІ 4zyw 2 7" V Теперь, решая первое дифференциальное уравнение системы (11) и учитывая, что К имеет два решения, а также соотношения Фі=іі;2-а и /. _ у2 „ — /1,2, получаем: А1,2 Л-2Ф,= =-Г12Ф дФу К, 1,2 Общее решение для Ф[ имеет вид Ф\=ХгС\+ХгС2, где С\ и С2 — некоторые коэффициенты, которые могут быть найдены из граничных условий (3.8). Из четырех значений х оставим только такие, которые ограничены в точке ,=0. _ Oi,2 + 0 expQ i,2g) + (Уі,2І - 0 exp(-z 1)2g) Х\,г — -2 В дальнейшем нам понадобятся производные от xi и Xi- Они имеют сле дующий вид: .2 -2 2 Е2 0Уі,2 -2ru -20 ехр0 і 2) (- 1 2 -2/,,2 +20 exp(-zyli2 ) 1,2 «3 I3 Определим вид коэффициентов Сі и С2 из граничных условий (3.8). Из решения второго дифференциального уравнения системы (3.10) (поле вне частицы) имеем, что: Ф 2 эффициент. Так как ау=Ф\/К\ 2, то iyV + т 2", где С3 - некоторый ко -71 «і=-7гЖі+-гг-Ж23 А -г— -Я , ; Z T, Подставим в граничные условия (3.8) выражения для Ф\,Фг и а,\, f3\. При =1 получается следующая система уравнений: 2с iyVF 2с \Х\ + іХі -2С3, Сх с. ІХі + к2Хг 4ъ к}Хх х1)+ 4ъ1к}Хг х г) Решая её, находим выражения для С\, С2 и С3,или выражая через S\ и ,%: з С,= 2с Ьх2+Хг)+(2Хі+Х і) 37 5 2с V с2 = iyVF 2с К, Хг Sz Хх Хг Х г V32 Хх Хх 4bz -Jbz (2Xx + Xl)+{2x2 + z 2) ? yVF 2с з — \Х\ " " iXi v 2с 2с Зная коэффициенты S\ и %, мы можем отыскать вид функции сечения поглощения а. Согласно формуле (3.1) получаем: СГ = — і feH X, =48 т0/{[ + 1( + (3.12) сгп = где о0 7r2ne2VfR4 з , " - концентрация носителей заряда; Si , S2 ,Xi и %2 - соответствующие комплексно-сопряжённые величины. -72 Также значение интеграла (3.12) можно найти из уравнения для _4жа , , поглощения, представленного в [23]: а - amv , где ат — магнит ный момент, вычисляемый по формуле т тт у , V - бъем час тицы. Производя подстановки и замены, получаем формулу для сечения магнитного поглощения 48v a = -a0—fRe(C3) (3.13) w и вид функции безразмерного сечения поглощения: F(x,y,w) = - -Re(C3) (3.14) W Уравнения (3.12) и (3.13) эквивалентны. Это обстоятельство допускает возможность использования для расчётов сечения поглощения метод, в котором не используется интегральное исчисление, что во многом ускоряет процесс вычисления.
