Содержание к диссертации
Введение
1 Когерентное пленение населенностей 27
1.1 Введение 27
1.2 Динамика трехуровневых систем в формализме векторов состояний 33
1.2.1 Общий формализм когерентного взаимодействия 33
1.2.2 Анализ решения в упрощенном виде 37
1.2.3 Общее выражение для населенностей 42
1.2.4 Равные расстройки 43
1.2.5 Феноменологический учет спонтанной релаксации 46
1.3 Уравнение распространения монохроматического излучения в среде 48
1.4 Прозрачность 51
1.4.1 Самоиндуцированная прозрачность 51
1.4.2 Электромагнитно-индуцированная прозрачность 52
1.4.3 "Винтовая" прозрачность 53
1.5 Когерентное пленение населенностей в формализме матрицы плотности 65
1.5.1 Уравнение для матрицы плотности для Л системы 65
1.5.2 Критерий возникновения когерентного пленения населенностей в Л-системе 71
1.6 Самофокусировка лазерного излучения в подпороговом режиме КПН 75
1.6.1 Постановка задачи 75
1.6.2 Вычисление элементов матрицы плотности . 77
1.6.3 Упрощенное уравнение 78
1.6.4 Численные оценки 79
1.6.5 Результаты численных расчетов 81
1.7 Выводы 85
Конденсат Бозе-Эйнштейна 89
2.1 Гамильтониан N-частичной системы 89
2.2 Уравнение Шредингера в представлении первичного квантования 90
2.3 Разложение N-частичного вектора состояний по векторам состояний невзаимодействующей системы . 91
2.4 Представление чисел заполнения 92
2.5 Уравнение Шредингера в представлении чисел заполнения 94
2.6 Операторы рождения и уничтожения бозонов 95
2.7 Оператор Шредингера в представлении вторичного квантования 97
2.8 Оператор числа частиц в представлении вторичного квантования 98
2.9 Энергия межчастичного взаимодействия 99
2.10 Приближение Боголюбова 100
2.11 Приближение среднего поля 102
2.12 Приближение Боголюбова в рамках приближения среднего поля 104
2.13 Обобщенно-канонический оператор 105
2.14 Уравнение Гейзенберга 107
2.15 Диагонализация обобщенно-канонического гамильтониана в приближении Боголюбова 109
2.16 Уравнение Гросса-Питаевского 111
2.17 Гидродинамические уравнения и приближение Томаса-Ферми 112
2.18 Нестабильность конденсата Бозе-Эйнштейна при взаимодействии с бихроматическим лазерным излучением 114
2.19 Выводы 118
Структурный фактор двухкомпонентного конденсата Бозе-Эйнштейна 119
3.1 Постановка задачи 119
3.2 Однокомпонентный конденсат 121
3.2.1 Приближение Боголюбова для однокомпонентного конденсата 121
3.2.2 Приближение Томаса-Ферми для однокомпонентного конденсата 122
3.2.3 Вычисление элементарного возмущения плотности однокомпонентного конденсата 124
3.2.4 Связь коэффициентов Боголюбова с элементарным возмущением плотности однокомпонентного конденсата 125
3.2.5 Структурный фактор однокомпонентного конденсата 127
3.3 Двухкомпонентный конденсат 131
3.3.1 Приближение Боголюбова для двухкомпонент-ного конденсата 131
3.3.2 Приближение Томаса-Ферми для двухкомпо-нентного конденсата 133
3.3.3 Вычисление элементарного возмущения плотности двухкомпонентного конденсата 135
3.3.4 Связь коэффициентов Боголюбова и элементарного возмущения плотности двухкомпонентного конденсата 136
3.3.5 Парциальный структурный фактор двухкомпонентного конденсата 138
3.4 Выводы 139
Заключение и краткие выводы 142
- Уравнение распространения монохроматического излучения в среде
- Критерий возникновения когерентного пленения населенностей в Л-системе
- Диагонализация обобщенно-канонического гамильтониана в приближении Боголюбова
- Связь коэффициентов Боголюбова с элементарным возмущением плотности однокомпонентного конденсата
Введение к работе
Результатом развития экспериментальной техники в конце 20-го века явился качественный прорыв в охлаждении атомов щелочноземельных металлов [1]. Удалось получить ансамбли атомов с температурами в несколько нанокельвинов. Авторы этих работ были удостоены в 1997 году нобелевской премии.-Ансамбли ультрахолодных атомов обладают новыми свойствами, которые невозможно наблюдать при больших температурах.
Одним из наиболее значительных результатов сверхнизкого охлаждения явилось экспериментальное достижение "Бозе-Эйнштейновской конденсации" (БЭК) в парах щелочноземельных металлов [2, 3, 4, 5]. Это достижение также было отмечено нобелевской премией в 2001 году.
Кроме Бозе-Эйнштейновской конденсации, упомянутой выше, в газах при сверхнизких температурах более отчетливо проявляются когерентные эффекты. Например, такое явление как "когерентное пленение населенностей" (КПН), возникающее вследствие деструктивной интерференции каналов возбуждения при распространении многомодового резонансного лазерного излучения в многоуровневой среде, играет значительно большую роль. Это положение имеет экспериментальное подтверждение. В частности, в работе [6] экспери-
ментально исследовалась температурная зависимость скорости рас-
* пространения резонансного лазерного импульса в среде, находящей-
ся в условиях КПН. В работе [6] наблюдалось, что с уменьшением
температуры образца уменьшается скорость распространения им
пульса в нем. Распространение импульса в такой среде обусловлено
переходом части атомов в состояние КПН и накоплением энергии
импульса в нераспадающемся когерентном состоянии, созданным
квантовой интерференцией. (В то время как при распространении
импульса в нормальной резонансной среде, где нет КПН, энергия из
лучения не может запасаться атомами на необходимое время из-за
диссипации вследствие спонтанного распада; что приводит к погло
щению импульса.) По завершении прохождения импульса, энергия
возвращается обратно в поле. Чем меньше температура атомного ан
самбля, тем большая часть атомов находится в состоянии КПН; сле-
* довательно, тем большая энергия распространяющегося импульса
запасается в нераспадающемся когерентном состоянии и тем меньше скорость импульса. Кроме того, при уменьшении температуры ниже критической температуры конденсации Бозе-Эйнштейна наблюдалось скачкообразное падение скорости распространения импульса (примерно в 4 раза). Это может объяснятся увеличением плотности ансамбля атомов при переходе в состояние БЭК. В работе [6] также отмечается исключительно высокая оптическая нелинейность ультрахолодного газа.
Для оценки масштабности проявления когерентных эффектов в газе ультрахолодных атомов по сравнению с проявлением аналогичных эффектов в газе при комнатной температуре, заметим, что
при нормальной температуре, в условиях КПН, скорость света удалось уменьшить в 165 раза [7], тогда как при температурах чуть выше точки конденсации Бозе-Эйнштейна скорость света в аналогичных условиях уменьшается более чем в миллион раз, а ниже точки конденсации — еще в 4 раза [6].
Таким образом в газе ультрахолодных атомов возможно наблюдение таких когерентных эффектов, проявление которых при ббльших температурах сложно обнаружить. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию подобных эффектов. В частности, предсказывается наблюдение нового типа прозрачности, названного нами "винтовой". Эта прозрачность наблюдается только при соблюдение достаточно жестких условий на первоначально наведенную когерентность среды и согласованными с этой когерентностью параметрами падающего импульса. Только при соблюдении этих условий импульс пройдет в среде без потерь, определенным образом изменив при этом свою форму и спектральный состав. Далее рассматривается самофокусировка непрерывного лазерного излучения в когерентной среде. Из-за квантовой интерференции нелинейность среды наблюдается при гораздо меньших интенсивностях, чем в двухуровневой среде. А нелинейность может привести к самофокусировке. Рассматривается также среда в состоянии БЭК. А именно, взаимодействие лазерного излучения с БЭК, приводящее к экспоненциальному росту коллективных колебаний конденсата. Кроме этого исследуется структурный фактор как однокомпонентного, так и двухкомпонентного БЭК.
Рассмотрим подробнее явления КПН и БЭК, лежащие в основе
перечисленных выше эффектов.
КПН возникает вследствие наведения в среде некой нетривиальной когерентности. Поясним этот момент более подробно. Когерентность в среде, как правило, возникает при распространении в ней резонансного лазерного излучения. Эта когерентность выражается в отличии от нуля недиагонального матричного элемента матрицы плотности:
Рпт = СпС*т - ICnCVnl exp [i(9n - вт)} (1)
где Сп, Сщ — комплексные амплитуды вероятности нахождения атомов в стационарных состояниях \(рп) и \ірт) (то есть вектор состояния атома \ф) = Cn \ipn) + Сщ \ipm) + ...)> а 0Пі 9т — фазы с„ и с; черта означает статистическое усреднение по всему ансамблю атомов. Очевидно, что (1) отлично от нуля только если Ав = 9п — 9т примерно одинаково для различных атомов среды. То есть когда между фазами волновых функций атомов существует определенная корреляция. Если попытаться найти классическую аналогию для понятия когерентности для среды, то можно сказать, что электроны каждого атома среды колеблются с частотой перехода \п) — \т) с одинаковой фазой.
Предположим теперь, что в среде наведена когерентность на двух смежных переходах. (Например, переход из сверхтонкого подуровня основного состояния в возбужденное состояние и смежный переход из другого сверхтонкого подуровня основного состояния в тоже возбужденное состояние.) Причем частоты переходов примерно одинаковы, а фазы противоположны. Тогда несмотря на приложенные резонансные поля колебания электронов не происходят,
поскольку колебание с одной частотой происходит в противофазе с колебанием с другой, примерно равной, частотой. Этот эффект можно назвать деструктивной интерференцией каналов возбуждения. Вследствие такой интерференции резонансное излучение не переводит атомы среды в возбужденное состояние, происходит, так называемое, "когерентное пленение населенностей" (КПН).
Явление КПН было открыто в 1976 году [8]. В этих экспериментах среда состояла из трехуровневых Л-атомов Na (рис. 1.1 на стр. 30). Среда облучалась многомодовым лазерным излучением, в котором расстояние между модами лазера равнялось сверхтонкому расщеплению основного состояния (расстоянию между уровнями |1) и |2)). При этом флуоресценция с состояния |3) существенно редуцировалась.
Состояние КПН, при определенных условиях, возникает в трехуровневых (и вообще говоря, многоуровневых) квантовых системах [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]. Когерентное пленение населенностей заключается в возникновении в квантовой системе, взаимодействующей с электромагнитным излучением, особого суперпозиционного состояния {фис), не связанного взаимодействием с остальной системой: V-\фмс) — 0, где V — оператор взаимодействия атома с полем. Состояние \фмс) ~~ одно из собственных состояний возмущенного га-
Л Л УЧ
мильтониана (гамильтониана системы атом плюс поле) Н = Щ-\-V. Состояние \ipNc) является суперпозицией собственных состояний |1) и |2) невозмущенного гамильтониана Hq.
Если спонтанная релаксация в атомах направлена таким образом, что заселяется, кроме прочих, и состояние \tpNc), которое
само является стабильным, то через некоторое время практически вся населенность атомной системы будет аккумулирована, иными словами, пленена, захвачена в \фнс) ~ происходит когерентное пленение населенностей (здесь термин "когерентное" отражает образование когерентной суперпозиции состояний).
Состояние Бозе-Эйнштейновской конденсации (БЭК)
— это состояние трансляционного движения атомов. То есть здесь атом рассматривается как единое целое. БЭК наступает при охлаждении атомного ансамбля до такой степени, что длина волны де Бройля атома, определяемая соотношением Хлв = h/p (h — постоянная Планка, р — модуль импульса атома), становиться больше или порядка межатомного расстояния. При этом атомы среды занимают наинизшее энергетическое состояние своего трансляционного движения, определяемое потенциалом ловушки в которой атомы удерживаются.
Конденсация Бозе-Эйнштейна была теоретически предсказана Эйнштейном [15, 16, 17] и Бозе [18] в 1924-1925 годах. БЭК является ключевым элементом в объяснении таких макроскопических явлений, как сверхпроводимость и сверхтекучесть. Однако БЭК в чистом виде так и не удавалось получить вплоть до 1995 года, когда несколько экспериментальных групп [2, 3, 4, 5], почти одновременно, получили БЭК в парах щелочных металлов.
Эйнштейн [15, 16, 17] обобщил работу Бозе [18] о квантовой статистике фотонов на случай идеального газа бозонов (атомов с целым спином, как у фотона) с заданным числом атомов. Оказалось,
что функция распределения атомов по импульсам равна
пр —
Т > ТУ,
(2)
где /і — химический потенциал газа, кв— постоянная Больцмана и е(р) = р2/2тп. Ситуация меняется при температуре фазового перехода (мы полагаем фактор вырождения д = 1)
3.31
квгп
2/3
(3)
где п — плотность газа. Ниже этой температуры число атомов Nq в состоянии с р = 0 макроскопически велико, то есть пропорционально полному числу атомов N:
3/2"
(4)
с /
N0 = N
Остальные атомы распределены согласно распределению (2), но с химическим потенциалом /і = 0:
пр =
т < т
(5)
Явление становиться понятнее, если учесть, что при температуре, близкой к Т де-бройлевская длина волны атомов газа, которая характеризует неопределенность в позиции атома, связанную с тепловым распределением импульсов, \dB = {2тгП2/тквТ)^2, становиться сравнима со средним межчастичным расстоянием п-1/3. То есть при выполнении условия
n\3dB > n\3dB\T=T0= 2.612
(6)
наинизшее состояние трансляционного движения приобретает макроскопическую населенность.
Таким образом можно сказать, что среда находящаяся как в состоянии КПН, так и в состоянии БЭК обладает нетривиальными свойствами. Эти свойства проявляются, в частности, при распространении излучения в таких средах.
В первой главе1 настоящей диссертационной работы рассматривается трехуровневая Л-среда, находящаяся в состоянии "когерентного пленения населенностей" (КПН). Рассматриваются два нетривиальных явления в такой среде: 1) явление "винтовой" прозрачности, возникающая при распространении 27г-импульса в среде; и 2) явление самофокусировки, проявляющееся при непрерывном взаимодействии лазерного излучения со средой.
Следует подчеркнуть, что при рассмотрении этих явлений пре-небрегается тепловым движением атомов, то есть наблюдение "винтовой" прозрачности и самофокусировки в подпороговом режиме КПН будет более ярким именно в ультрахолодном разреженном газе, где тепловое движение минимально и эффекты квантовой интерференции проявляются максимально.
Прежде чем говорить о новом типе прозрачности, названной нами "винтовой", кратко остановимся на известных типах прозрачности — электромагнитно-индуцированной прозрачности (ЭИП) и самоиндуцированной прозрачности (СИП).
СИП [30, 31, 32] наблюдается как в двухуровневых системах, так и в многоуровневых. СИП возникает вследствие того, что составляющие среду частицы подвергаются действию поля не одновременно, а по мере прохождения импульса через занимаемую ими
1 Основные результаты этой главы опубликованы в работах [19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29]
область пространства. Под действием переднего фронта импульса
$ частицы переходят из нижнего состояния в верхнее. Накрываемая
импульсом часть объема среды поляризуется. В ней запасается энергия, почерпнутая из уже прошедшего излучения. Если импульс достаточно большой, то уже его передняя часть эффективно переводит частицы в верхнее состояние. Оставшаяся часть импульса распространяется уже в среде возбужденных частиц. Под действием этой "хвостовой" части импульса частицы когерентно излучают, отдавая энергию полю. После прохождения импульса частицы в той части объема среды, из которой излучение уже ушло, возвращаются в исходное состояние. Поглощение и переизлучение сбалансированы только тогда, когда площадь под импульсом (интеграл от частоты Раби по времени) составляет величину, кратную 2ж.
^ Кроме самоиндуцированной прозрачности (СИП) существует
другой механизм, а именно, электромагнитно-индуцированная про
зрачность (ЭИП). Если при СИП энергия излучения запасается в
возбужденном состоянии, то при ЭИП — в суперпозиционном состо
янии \^nc), образованном квантовой интерференцией. Таким об
разом ЭИП имеет место в многоуровневых системах, находящихся
в состоянии КПН. Передний фронт падающего импульса создает в
среде суперпозиционное состояние |Фм?) и переводит атомы среды
в это состояние. А задний фронт импульса вызывает передачу энер
гии обратно в излучение. При этом переход в возбужденное состоя
ние практически не происходит и даже при наличии радиационного
щ распада возбужденного уровня потерь энергии нет.
Следует также сказать, что ЭИП может проявляться и при
непрерывном взаимодействии лазерного излучения с многоуровне-
"^ вой средой, но этот вопрос выходит за рамки настоящей работы.
Таким образом, в трехуровневой Л-среде может наблюдаться как СИП [33], так и ЭИП [34]. Кроме этого, предсказана возможность наблюдения в такой среде "винтовой" прозрачности, при которой часть населенности запасается в возбужденном состоянии |3), а часть — в суперпозиционном состоянии |\jvc)-
Для наблюдения "винтовой" прозрачности необходимо создать
определенную пространственную структуру когерентности между
состояниями |1) и |2) (а это можно сделать, например, при облуче
нии среды спаренным импульсом [34]). Если параметры падающего
резонансного импульса соответствуют пространственной периодич
ности первоначально наведенной когерентности, то импульс пройдет
0^ среду без потерь, определенным образом изменив свой спектраль-
ный состав. Это явление мы называем "винтовой" прозрачностью. Доля населенности, которая пленяется в состоянии |Флгс), и доля, которая эволюционирует через состояние |3) зависит от параметров падающего импульса и соответствующей этим параметрам пространственной периодичности начальной когерентноости низкоэнергетических состояний среды (шага решетки когерентности).
Кроме прозрачности среды происходит еще и преобразование частоты падающего импульса. На выходе из среды возможна либо полная конвертация частоты (если падающий импульс имел частоту равную частоте перехода |1) —) |3), то на выходе из среды импульс будет иметь частоту равную частоте смежного оптического перехода |2) —> |3)), либо более сложное преобразование падающего импульса
в два импульса с несущими частотами равными частотам смежных оптических переходов в Л-среде (рис. 1.1 на стр. 30).
Термин "винтовая" имеет следующий смысл: данной частоте, максимальной амплитуде и пространственной ширине падающего импульса заданной формы (резьба на винте) должна соответствовать определенная пространственная периодичность начальной когерентности и начальных населенностей низкоэнергетических уровней среды (резьба на гайке) для наблюдения прозрачности данного типа. Это свойство рассматриваемого явления интересно в связи с возможностью создания устройства аналогичного "оптическому ключу".
Кроме "винтовой" прозрачности в первой главе рассмотрено и другое интересное явление — самофокусировка лазерного излучения в среде находящейся в условиях КПН.
Кратко явление самофокусировки можно назвать эффектом наведения линзы. Речь идет об искажении волнового фронта, создаваемом самим световым пучком при его прохождении через нелинейную среду. Самофокусировка световых лучей в нелинейных средах была открыта достаточно давно [35, 36, 37]. Будучи весьма общим нелинейноволновым явлением, она присутствует не только в оптике, но и в акустике [38, 39, 40]. Результаты исследования в классической модели атома с нелинейной диэлектрической проницаемостью обобщены, например, в [41, 42].
Для наблюдения этого явления необходимо, чтобы самофокусировка компенсировала действие дифракции, то есть необходима достаточно большая интенсивность излучения, определяемая интен-
сивностью насыщения нелинейности резонансных переходов атомов среды. Однако в условиях КПН насыщение в системе наступает при гораздо меньших (на два-три порядка) интенсивностях, чем при возбуждении обычного оптического перехода (в двухуровневой системе). Таким образом, в режиме КПН возможно наблюдение самофокусировки излучения малой мощности. Точнее говоря самофокусировка может наблюдаться в системах находящихся в подпороговом режиме КПН, то есть когда интенсивность излучения меньше пороговой интенсивности КПН, определяемой скоростями релаксации в системе.
Кроме того, самофокусировка в подпороговом режиме КПН может быть использована для более глубокого понимания особенностей эффекта КПН при непрерывном режиме взаимодействия лазерного излучения с многоуровневыми средами. Вместе с тем, самофокусировка в подпороговом режиме КПН сильно зависит от разности отстроек двух спектральных составляющих поля. Эта зависимость была исследована в [43]. Там рассматривался случай, когда фокусируется лишь один луч, тогда как интенсивность другого луча предполагалась постоянной по длине кюветы. В настоящей главе исследуется случай одновременной фокусировки двух лучей, а также рассматривается процесс разрушения фокусировки двух лучей при увеличении разности отстроек.
Во второй главе2 рассматривается среда, находящаяся в состоянии конденсата Бозе-Эйнштейна. Достаточно детально представлен теоретический формализм, описывающий БЭК. Дело в том, что теория, развитая Эйншейном и предсказывающая БЭК, описы-
2 Основные результаты этой главы опубликованы в работах [44, 45, 46, 47, 48]
вает идеальный однородный невзаимодействующий газ бозонов, в
^ то время как в современных экспериментах имеют дело с неодно-
родными системами, где межчастичное взаимодействие играет существенную роль. Поэтому для теоретического описания реально наблюдаемого БЭК требуется иной подход.
Например, в работе [44] рассматривается процесс одномерного распространения резонансного лазерного импульса в оптически плотном БЭК. На основе уравнения Гейзенберга для оператора бо-зонного поля, описывающего конденсат, получена аналитическая зависимость пространственного распределения плотности конденсата и зависимость этой плотности от площади импульса. Данный результат удалось получить пренебрегая межчастичным взаимодействием в процессе прохождения импульса, что отражается на точности полученных результатов.
Однако, в последнее время сложился теоретический подход к описанию БЭК, позволяющий учесть межчастичное взаимодействие. Этот подход основан на приближении Боголюбова [49], приближении среднего поля, уравнении Гросса-Питаевского [50, 51] и дает удовлетворительные результаты, согласуемые с экспериментальными. Он и представлен в настоящей главе.
Этот подход базируется на вторичном квантовании системы 7V тождественных бозонов — квантовании по числам заполнения одно-частичных состояний в эффективном потенциале, образованном из внешнего пленяющего потенциала и потенциальной энергии взаи-модействия частицы с другими частицами находящимися в ловушке. Такой формализм пренебрегает межчастичными корреляциями,
что можно сделать для разреженных систем. Данное приближение является приближением среднего поля (Хартри-Фока). Кроме приближения среднего поля используется приближение Боголюбова, заключающееся в замене операторов рождения и уничтожения бозона в основном состоянии эффективного потенциала на числа. Приближение Боголюбова справедливо для систем, где населенность основного состояния высока (No ^> 1), что имеет место в состоянии бозе-эйнштейновской конденсации. Упомянутые выше приближения приводят нас к системе состоящей из двух частей: конденсатной части, описываемой волновой функцией удовлетворяющей уравнению Гросса-Питаевского, и надконденсатной части, описываемой оператором.
Данное рассмотрение является формализмом нулевой температуры. Однако оно обобщается [52] на случай системы с конечной температурой, находящейся в тепловом равновесии.
Для описания малых возмущений конденсата можно использовать волновую функцию, удовлетворяющую зависящему от времени уравнению Гросса-Питаевского. Такая волновая функция описывает как сам конденсат, так и коллективные возмущения конденсата. Этот подход позволяет получить "гидродинамические уравнения" для плотности и скорости конденсата. Эти уравнения существенно упрощаются пренебрежением кинетической энергией ассоциированной с флуктуацией плотности (энергией "квантового давления") по сравнению со энергией межчастичного взаимодействия и энергией взаимодействия с пленяющим потенциалом. Это приближение называют приближением Томаса-Ферми или гидродинамиче-
ским приближением [53]. Приближение Томаса-Ферми справедливо при достаточно большом числе частиц конденсата (N >> ацо/о^ гДе а — длина s-рассеяния атомов, ацо ~ характерная длина ловушки) [54, 53].
На основе рассмотренного здесь теоретического формализма, описывающего БЭК, исследовано взаимодействие бихроматическо-го лазерного излучения с конденсатом. Показано [45, 55, 46, 47], что при определенных условиях взаимодействие излучения с БЭК может привести к экспоненциальному росту коллективных колебаний конденсата. Этот результат интересен в связи с возможностью получения когерентных материальных волн, распространяющихся в направлении распространения излучения, взаимодействующего с БЭК.
Третья глава3 посвящена исследованию структурного фактора как однокомпонентного, так и двухкомпонентного конденсата. Под двухкомпонентным конденсатом подразумевается атомная система в состоянии БЭК, состоящая либо из двух типов атомов, либо из атомов одного типа (например, 87Rb), находящихся на различных сверхтонких подуровнях.
Динамический структурный фактор является важной характеристикой, определяющей отклик многочастичных систем при рассеянии на них частицы, например, фотона. В частности, структурный фактор дает информацию о спектре коллективных возбуждений при рассеянии с малым переданным импульсом, или характеризует импульсное распределение при передачи достаточно большого импульса, когда отклик системы определяется одночастичными
3 Основные результаты этой главы опубликованы в работе [56]
эффектами. Для разреженных газов он может быть измерен экспериментально, например, с помощью неупругого рассеяния света на находящемся в магнитной ловушке бозонном газе [57, 58].
В настоящей главе в качестве многочастичной системы рас-сматриватся бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) разреженного газа в сферически-симметричной гармонической ловушке. Межчастичное взаимодействие предполагается достаточно слабым, чтобы обеспечить применимость теории приведенной в предыдущей главе.
Существует несколько работ посвященных вычислению структурного фактора БЭК слабо неидеального газа. Рассматривались как пространственно однородные [59, 60] так и неоднородные [61, 62, 63, 64] газы. Следует заметить, что для пространственно однородного БЭК вычисления достаточно просты, в то время как для БЭК в гармонической ловушке задача не имеет точного решения. В последнем случае необходимо использовать некоторое приближение. В частности, в работе [62] использовалось квазиклассическое приближение, а в [64] - приближение локальной плотности и импульсное приближение. Данные приближения применимы только для достаточно больших переданных импульсов. Например в [64] q ^$> 1/Я, где R - размер конденсата, a ftq - переданный при рассеянии импульс. Для малых переданных импульсов отклик системы чувствителен к дискретным модам коллективных возбуждений этой системы. Теоретический анализ динамического структурного фактора однокомпонентного БЭК в режиме малых переданных импульсов выполнен в работе [63], где был использован формализм квантования гидродинамических уравнений, описывающих коллективные
22 колебания БЭК и использовалось приближение Томаса-Ферми.
В настоящей главе найдено выражение для динамического структурного фактора в приближении Томаса-Ферми. Используемый формализм отличается от [63] большей наглядностью и простотой. В отличие от [63], где дан лишь общий подход, мы выводим формулы для структурного фактора в замкнутом аналитическом виде. Кроме того, результат полученный для однокомпонентного конденсата мы сравниваем с квазиклассическим, полученным в [62]. В пределах области своей применимости квазиклассический результат дает завышенную оценку; однако оба выражения для структурного фактора равны нулю при тех же значениях переданного импульса hq. Таким образом, квазиклассическое выражение для структурного фактора, полученное в [62], и достаточно простое, может быть использовано, в рамках его применимости, для вычисления тех значений переданного импульса hq, при которых структурный фактор равен нулю.
Далее рассмотрен двухкомпонентный конденсат. В работе [65] впервые продемонстрирована возможность одновременной конденсации двух различных атомных систем. В качестве одной атомной системы использовались атомы 87Rb, находящиеся на сверхтонком подуровне |F,шр) = |1,—1), а в качестве другой — атомы 87Rb на |2,2) подуровне. При этом системы атомов с каждым из подуровней формировали два слегка перекрывающихся облака. В последующих работах [66, 67, 68] удалось воспроизвести двухкомпонентный БЭК в котором центры конденсатов каждой из компонент совпадали. Здесь использовались |1, — 1) и |2,1) сверхтонкие подуровни 87i?6, которые
имеют одинаковый магнитный дипольный момент.
^ Основное состояние двухкомпонентного БЭК теоретически ис-
следовалось в [69], а коллективные возбуждения в [70, 71, 72]. В частности, в работе [70] показано, что для случая чистого бинарно-фазового конденсата (когда облака конденсатов компонент полностью перекрываются) в сферически-симметричной ловушке в приближении Томаса-Ферми зависимость частоты коллективных возбуждений от радиального и орбитального квантовых чисел возбуждения п и I такая же, как и для однокомпонентного конденсата
и% = u^\/2n2 + 2nl + 3n + l, (7)
но коэффициент uJq имеет два значения, соответствующих двум
ветвям скорости звука (двум ветвям дисперсионного соотношения).
Этот коэффициент зависит от отношений амплитуд s-рассеяния: а\
^ - атомов первой компоненты, а^ - атомов второй компоненты и ayi
- атома первой компоненты на атоме второй компоненты; и эффективных частот ловушки для первой компоненты Qi и для второй компоненты 0,2-
В настоящей главе исследуется ситуация, когда центры конденсатов совпадают, а пленяющий потенциал для каждой из компонент имеет сферически-симметричный вид. Рассмотрено рассеяние фотона на таком двухкомпонентном конденсате. Причем считается, что фотон находится в резонансе с атомами первой компоненты и рассеивается только на них, в то время как с атомами второй компоненты не взаимодействует. Таким образом исследуется парциальный (рассеяние фотона только на атомах одной компоненты) структурный фактор.
Оказалось, что для двухкомпонентного конденсата зависимость парциального структурного фактора от q такая же как и для однокомпонентного конденсата. Однако для двухкомпонентного конденсата происходит расщепление передаваемой при рассеянии энергии на две ветви, причем для каждой из этих ветвей структурный фактор домножается на коэффициент /9+ и /?"", соответственно. Важно заметить, что при определенной комбинации амплитуд рассеяния компонент, /3+ или /3~ может быть больше единицы, выражая тем самым усиление рассеяния фотонов одной из компонент БЭК из-за наличия другой.
Каждая из глав завершается разделом "Выводы", в котором формулируются основные результаты главы. Диссертация в целом завершается заключением, в котором формулируются главные выводы, полученные в диссертации.
На защиту выносятся следующие результаты:
Новый тип прозрачности в Л-среде с первоначально наведенной низкочастотной когерентностью.
Одновременная самофокусировка двух спектральных составляющих бихроматического излучения в подпороговом режиме КПН.
Экспоненциальный рост коллективных колебаний БЭК при взаимодействии конденсата с резонансным двухкомпонентным лазерным излучением.
Аналитическое выражение для динамического структурного фактора однокомпонентного и двухкомпонентного конденсата
Бозе-Эйнштейна учитывающее дискретные моды возбуждения конденсата.
Апробация результатов диссертации. Результаты исследований, включенных в диссертацию, докладывались на
Всероссийской научно-технической конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" в Санкт-Петербурге в 1997 и 1998 годах,
6-й международной конференции по атомной и молекулярной физике (ЕСАМР VI) в городе Сиена в Италии в 1999 году,
международном семинаре по высоким технологиям "Nondestructive Testing and Computer Simulations in Science and Engineering" в Санкт-Петербурге в 1998 и в 1999 годах,
евроконференции по квантовой электронике (EQEC98) в Глазго в Шотландии в 1998 году,
евроконференции по слабым столкновениям между манипули-руемыми лазером системами (ESCOLAR'99) на острове Крит в Греции в 1999 году,
международной конференции по низким температурам (LT22) в Хельсинки в Финляндии в 1999 году.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 статьях в научных журналах [27, 19, 25, 26, 44, 56] и в 11 тезисах конференций [20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 45, 46, 47, 48].
Благодарности. Автор искренне признателен профессору Александру Григорьевичу Чиркову за практическую помощь в ра-
боте над диссертацией и всему коллективу кафедры "Теоретическая физика" за благожелательное отношение.
Также автор сердечно благодарен профессору Борису Григорьевичу Матисову за помощь и поддержку в работе на всем ее протяжении.
Автор выражает глубокую признательность Игорю Евгеньевичу Мазецу за существенную помощь.
Также хочу выразить особую благодарность Татьяне Дмитриевне Ивановой, без моральной поддержки которой настоящая работа едва бы увидела свет.
Уравнение распространения монохроматического излучения в среде
Данное рассмотрение является формализмом нулевой температуры. Однако оно обобщается [52] на случай системы с конечной температурой, находящейся в тепловом равновесии.
Для описания малых возмущений конденсата можно использовать волновую функцию, удовлетворяющую зависящему от времени уравнению Гросса-Питаевского. Такая волновая функция описывает как сам конденсат, так и коллективные возмущения конденсата. Этот подход позволяет получить "гидродинамические уравнения" для плотности и скорости конденсата. Эти уравнения существенно упрощаются пренебрежением кинетической энергией ассоциированной с флуктуацией плотности (энергией "квантового давления") по сравнению со энергией межчастичного взаимодействия и энергией взаимодействия с пленяющим потенциалом. Это приближение называют приближением Томаса-Ферми или гидродинамиче ским приближением [53]. Приближение Томаса-Ферми справедливо при достаточно большом числе частиц конденсата (N ацо/о гДе а — длина s-рассеяния атомов, ацо характерная длина ловушки) [54, 53].
На основе рассмотренного здесь теоретического формализма, описывающего БЭК, исследовано взаимодействие бихроматическо-го лазерного излучения с конденсатом. Показано [45, 55, 46, 47], что при определенных условиях взаимодействие излучения с БЭК может привести к экспоненциальному росту коллективных колебаний конденсата. Этот результат интересен в связи с возможностью получения когерентных материальных волн, распространяющихся в направлении распространения излучения, взаимодействующего с БЭК.
Третья глава3 посвящена исследованию структурного фактора как однокомпонентного, так и двухкомпонентного конденсата. Под двухкомпонентным конденсатом подразумевается атомная система в состоянии БЭК, состоящая либо из двух типов атомов, либо из атомов одного типа (например, 87Rb), находящихся на различных сверхтонких подуровнях.
Динамический структурный фактор является важной характеристикой, определяющей отклик многочастичных систем при рассеянии на них частицы, например, фотона. В частности, структурный фактор дает информацию о спектре коллективных возбуждений при рассеянии с малым переданным импульсом, или характеризует импульсное распределение при передачи достаточно большого импульса, когда отклик системы определяется одночастичными Основные результаты этой главы опубликованы в работе [56] эффектами. Для разреженных газов он может быть измерен экспериментально, например, с помощью неупругого рассеяния света на находящемся в магнитной ловушке бозонном газе [57, 58].
В настоящей главе в качестве многочастичной системы рас-сматриватся бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) разреженного газа в сферически-симметричной гармонической ловушке. Межчастичное взаимодействие предполагается достаточно слабым, чтобы обеспечить применимость теории приведенной в предыдущей главе.
Существует несколько работ посвященных вычислению структурного фактора БЭК слабо неидеального газа. Рассматривались как пространственно однородные [59, 60] так и неоднородные [61, 62, 63, 64] газы. Следует заметить, что для пространственно однородного БЭК вычисления достаточно просты, в то время как для БЭК в гармонической ловушке задача не имеет точного решения. В последнем случае необходимо использовать некоторое приближение. В частности, в работе [62] использовалось квазиклассическое приближение, а в [64] - приближение локальной плотности и импульсное приближение. Данные приближения применимы только для достаточно больших переданных импульсов. Например в [64] q $ 1/Я, где R - размер конденсата, a ftq - переданный при рассеянии импульс. Для малых переданных импульсов отклик системы чувствителен к дискретным модам коллективных возбуждений этой системы. Теоретический анализ динамического структурного фактора однокомпонентного БЭК в режиме малых переданных импульсов выполнен в работе [63], где был использован формализм квантования гидродинамических уравнений, описывающих коллективные колебания БЭК и использовалось приближение Томаса-Ферми.
В настоящей главе найдено выражение для динамического структурного фактора в приближении Томаса-Ферми. Используемый формализм отличается от [63] большей наглядностью и простотой. В отличие от [63], где дан лишь общий подход, мы выводим формулы для структурного фактора в замкнутом аналитическом виде. Кроме того, результат полученный для однокомпонентного конденсата мы сравниваем с квазиклассическим, полученным в [62]. В пределах области своей применимости квазиклассический результат дает завышенную оценку; однако оба выражения для структурного фактора равны нулю при тех же значениях переданного импульса hq. Таким образом, квазиклассическое выражение для структурного фактора, полученное в [62], и достаточно простое, может быть использовано, в рамках его применимости, для вычисления тех значений переданного импульса hq, при которых структурный фактор равен нулю.
Далее рассмотрен двухкомпонентный конденсат. В работе [65] впервые продемонстрирована возможность одновременной конденсации двух различных атомных систем. В качестве одной атомной системы использовались атомы 87Rb, находящиеся на сверхтонком подуровне F,шр) = 1,—1), а в качестве другой — атомы 87Rb на 2,2) подуровне. При этом системы атомов с каждым из подуровней формировали два слегка перекрывающихся облака. В последующих работах [66, 67, 68] удалось воспроизвести двухкомпонентный БЭК в котором центры конденсатов каждой из компонент совпадали. Здесь использовались 1, — 1) и 2,1) сверхтонкие подуровни 87i?6, которые имеют одинаковый магнитный дипольный момент.
Критерий возникновения когерентного пленения населенностей в Л-системе
Но наиболее яркий пример для Л-схемы — это атом 4Не в метастабильном состоянии 235i, которое обладает очень большим временем жизни — 7900 с (все параметры атома АНе приводятся согласно данным [73]). Радиационная ширина возбужденного 23Р состояния (1,022 107с-1) много меньше величины тонкого расщепления, поэтому можно резонансным образом возбуждать с помощью лазерного поля атомы только на один из тонких подуровней состояния 23Р. Если мы выберем для этого подуровень 23Рі, то в точности реализуем Л-схему: распад состояния 23Pi; mz — О) в 235i; mz = О) запрещен, и Л-схему составляют подуровни 123«Sri; т2 = —l), 235i; т2 = -f-l) и 23Pi; т2 = 0). Здесь т2 — проекция полного углового момента атома на ось квантования.
После обсуждения когерентных взаимодействий наше рассмотрение будет продолжено анализом трехуровневых систем с учетом релаксационных процессов. В частности, учетом времени жизни возбуждаемого уровня, которое определяется временем релаксации энергии, так называемым продольным временем релаксации. Во многих случаях это время существенно (на несколько порядков величины) превышает время релаксации фазы, так называемое поперечное время релаксации, или время релаксации когерентности.
Явление КПН проявляется только для определенной интенсивности световых волн, и, например, для Л-системы необходимая интенсивность равна [14] где Un — интенсивность насыщения оптического перехода, 7 — скорость продольной релаксации верхнего уровня, Г — скорость по перечной релаксации между нижними уровнями. Считая Г 7i имеем соответственно Uс С Uп (для атомов щелочных металлов Un 0,1 Вт/см2).
В динамике трехуровневых атомов релаксация когерентности между крайними состояниями 1) и 2) играет очень важную роль, как будет показано ниже. В реальных экспериментах источниками релаксации когерентности или поперечной релаксации являются различные дефазирующие процессы, среди которых спонтанная релаксация состояний, времяпролетное уширение, столкновения, амплитудные и фазовые флуктуации (иначе говоря, ширина спектра) приложенных лазерных полей [74] и др. Спонтанная релаксации дает вклад порядка Ysp = (7 + 7 )/2 [74], где 7 и 7 — скорости продольной релаксации нижних уровней. В Л-системе эти уровни, как правило, долгоживущие и спонтанная релаксация, практически, отсутствует. Времяпролетное уширение определяется временем г взаимодействия атомов с лазерным пучком: Г г \/{-кт) [75], а столкновительное — средним временем Tcoii между последовательными столкновениями частиц: Т Ц 1/(2 7- ) [74, 75]. Значительный вклад в поперечную релаксацию дает конечная ширина спектра лазеров. Однако для трехуровневых систем скорость релаксации когерентности между состояниями 1) и 2) за счет конечного спектра равна [76, 77, 78]: где Ат (т = 1,2) — спектральная ширина лазеров, a Ai2 — кросс-спектральная ширина, Аі2І (Лі А2) . Поэтому при взаимной корреляции полей Аі2 Ф 0 величина Г// уменьшается и при критиче ской кросс-корреляции (Ai2 = (Ai А2)1 , Ai = А2) полностью исчезает. Эти выводы были продемонстрированы в эксперименте [79], где двухчастотное лазерное излучение было получено из одномодо-вого излучения методом акустооптической модуляции. Полученная в результате малая величина Tfi определяется только шумами модулятора и механической стабильностью оптических элементов оборудования [80]. В заключении отметим, что экспериментально достижимой является величина Г = 2 Гц, полученная для медленного пучка Л-атомов (Na), возбуждаемых хорошо скоррелированными лазерными лучами [81].
В настоящей главе дается детальное исследование когерентного пленения населенностей в Л-системах и рассматриваются явления основанные на КПН: винтовая прозрачность и самофокусировка в подпороговом режиме КПН.
Диагонализация обобщенно-канонического гамильтониана в приближении Боголюбова
В настоящем разделе рассмотрим прозрачность Л-среды для резонансного импульса. Если длительность импульса не превышает времен релаксации, то взаимодействие такого импульса со средой является когерентным и развитый выше формализм достаточен для описания распространения такого импульса.
При взаимодействии резонансного импульса с двухуровневой средой он поглощается, то есть среда является непрозрачной для резонансного импульса. Однако для импульса определенной формы и площади (интеграл от огибающей импульса по времени) среда может оказаться прозрачной. Этот эффект носит название самоиндуцированной прозрачности (СИП). Это явление было обнаружено и теоретически объяснено в оптическом диапазоне С. Мак-Коллом и Э. Ханом [30, 31, 32]. Эта прозрачность возникает вследствие того, что составляющие среду частицы подвергаются действию поля не одновременно, а по мере прохождения импульса через занимаемую ими область пространства. Под действием переднего фронта импульса частицы переходят из нижнего состояния в верхнее. Накрываемая импульсом часть объема среды поляризуется. В ней запасается энергия, почерпнутая из уже прошедшего излучения. Если импульс достаточно большой, то уже его передняя часть эффективно переводит частицы в верхнее состояние. Оставшаяся часть импульса распространяется уже в среде возбужденных частиц. Под действием этой "хвостовой" части импульса частицы когерентно излучают, отдавая энергию полю. После прохождения импульса частицы в той части объема среды, из которой излучение уже ушло, возвращаются в исходное состояние. Процесс поглощения и переизлучения занимает некоторое конечное время, вследствие чего результирующий импульс установившейся формы движется замедленно. Поглощение и переизлучение сбалансированы только тогда, когда площадь под импульсом составляет величину, кратную 2я\
Эффект СИП можно наблюдать так же и в трехуровневой среде. Однако в трехуровневой среде возможен и другой тип прозрачности — электромагнитно-индуцированная прозрачность (ЭИП). ЭИП основан на эффекте КПН. Если отстройки двух лазерных мод от соответствующих резонансных частот удовлетворяют условию двух-фотонного резонанса (равенство расстроек), то коэффициент поглощения среды может быть уменьшен на несколько порядков по сравнению со случаем некогерентной оптической накачки. Двухмодовое лазерное излучение, распространяясь в Л среде, устанавливает в этой среде состояние когерентного пленения населенностей. Передний фронт падающего импульса переводит атомы среды в состояние Фж?). А задний фронт импульса вызывает передачу энергию обратно в излучение. При этом переход в возбужденное состояние 3) практически не происходит (как это имеет место при СИП) и даже при наличии радиационного распада уровня 3) потерь энергии нет. ЭИП может иметь место как в стационарном режиме, так и под действием лазерных импульсов. В последнем случае она проявляется либо как распространение без потерь бихроматических пар импульсов, согласованных по амплитуде и фазе [84], либо как формирование солитоноподобных волн — адиабатонов [85], — отвечающих режиму адиабатического переноса населенностей. На последнем следует остановиться особо. Если параметры внешнего излучения меняются достаточно медленно, то атомная волновая функция успевает адиабатически следить за ними. Таким образом, оказывается возможным перенос населенности, первоначально аккумулированной в одном долгоживущем состоянии, в другое без сколько-нибудь существенного заселения промежуточного быстро распадающегося резонансного состояния и связанных с этим потерь [86, 87, 88, 89]. Кроме того ЭИП создает когерентность между нижними уровнями в Л среде, которая может быть использована, например, для наблюдения "винтовой" прозрачности.
В трехуровневой Л-среде возможно наблюдать другое интересное явление, которое получило название "винтовой" прозрачности [19]. Дело в том, что если в Л среде наведена определенная когерентность между состояниями 1) и 2) (а это можно сделать, например, при облучении среды спаренным импульсом [34]), то такая среда будет прозрачна только для импульса с определенными параметрами, соответствующими параметрам первоначально наведенной когерентности. Кроме прозрачности рассматриваемое здесь явление заключает в себе преобразование частоты падающего излучения в процессе его распространения. Данное преобразование при определенных условиях может свестись к полной конвертации частоты.
Термин "винтовая" имеет следующий смысл: данной частоте, максимальной амплитуде и пространственной ширине падающего импульса заданной формы (резьба на винте) должна соответствовать определенная пространственная периодичность начальной неоднородной низкочастотной когерентности и начальных населен-ностей низкоэнергетических уровней среды (резьба на гайке) для наблюдения прозрачности данного типа. Это свойство рассматриваемого явления интересно, на наш взгляд, в связи с возможностью создания устройства аналогичного "оптическому ключу".
Связь коэффициентов Боголюбова с элементарным возмущением плотности однокомпонентного конденсата
Обозначим вектор состояний N-частичной системы как 1 1,2,..., ( ))- Тогда уравнение Шредингера, описывающее эволюцию этого вектора состояния в N-частичном гильбертовом пространстве, имеет вид где Н — оператор Шредингера, соответствующий гамильтониану (2.1). Для использования уравнения (2.2) необходимо выбрать какой-нибудь базис в N частичном гильбертовом пространстве. Например, если в качестве базисных векторов состояний использовать вектора с фиксированным координатами каждой частицы, то до-множив уравнение (2.1) справа на эти базисные вектора, получим координатное представление уравнения Шредингера, описывающее временную эволюцию N-частичной волновой функции. Квадрат модуля такой волновой функции описывает вероятность нахождения данной N-частичной системы в таком состоянии, что частица "1" находится в точке с координатой "х\", частица "2" — в точке с координатой "#2" и так далее.
Из квантовой механики известен принцип тождественности, согласно которому, для системы N тождественных частиц, находящихся в достаточно малом объеме, невозможно с достоверностью определить, что в данной точке пространства находится именно частица "1", а не "2" или какая-либо другая. Следовательно, координатное представление для системы тождественных частиц не дает реальную физическую картину и необходимо использовать другие базисные вектора состояний.
Разложение N-частичного вектора состояний по векторам состояний невзаимодействующей системы
Рассмотрим систему N невзаимодействующих частиц (Uk,i = О для любых киї). Гамильтониан (2.1) распадается на сумму гамильтонианов, каждый из которых описывает поведение одной частицы во внешнем поле с энергией взаимодействия с этим полем Vk. Одно-частичный гамильтониан имеет полный набор собственных векторов состояний в одночастичном гильбертовом пространстве, обозначим их \Ek), где Ек обозначает полный набор одночастичных квантовых чисел, то есть определяет одночастичное состояние.
Обозначим вектор состояния N-частичной системы, где первая частица находится в состоянии \Е\), вторая — в состоянии 12) и так далее, как Вектор состояния (2.3) является собственным вектором состояния гамильтониана системы N невзаимодействующих частиц. Множество таких векторов состояний образует ортонормированный базис в N-частичном гильбертовом пространстве. То есть любой вектор состояния в N-частичном гильбертовом пространстве может быть
Для системы тождественных частиц вектора состояния (2.3) являются также неприемлемыми в качестве базисных векторов, поскольку волновая функция системы в их представлении С(Е\1..., EN, t) описывает состояние системы, при которой частица "1" находится в состоянии "Е\\ частица "2" — в состоянии "2%" и так далее, что противоречит неразличимости частиц. Правильнее было бы, если бы волновая функция описывала такое состояние системы, когда в одночастичном состоянии W (W = 1,2,...,оо) находится п\у частиц.
Вектор состояния системы тождественных бозонов не должен измениться при замене одной частицы другой. То есть для любых киї. Подставляя в (2.5) разложение (2.4) и делая замену в правой части равенства в немых переменных суммирования Е к -В-Е[ получаем, что достаточным условием симметричности векторов состояний (2.5) является условие
Необходимость условия (2.6) для симметричности векторов состояний (2.5) доказывается аналогично. Симметричность коэффициентов относительно перестановки квантовых чисел (2.6) позволяет произвести перегруппировку кван товых чисел таким образом, чтобы квантовые числа располагались в порядке возрастания
