Содержание к диссертации
Введение
1 Гиперядра: эксперимент и теория 4
1.1 Обзор эксперименталвных даннвіх 4
1.2 Мезонная теория и свойства AiV-сил 12
1.3 Феноменологический подход 17
2 Расчет систем небольшого числа частиц 22
2.1 Характеристика исполвзуемвіх методов расчета 22
2.2 Вариационный метод 29
2.2.1 Выбор базисных функций и процедуры оптимизации 29
2.2.2 Матричнвіе элементы Н и Н2 38
2.3 Каркаснвіе функции в расчетах кулоновских и ядерных систем 48
2.4 Верхние и нижние оценки энергии 55
3 Энергии связи гиперядер и AiV-взаимодействие 68
3.1 Л-гиперядра и проблема AiV-взаимодействия 68
3.2 Гиперядра ls-оболочки и AiV-потенциал 70
3.3 Гиперядра и кластеры, модель Л-остов 77
3.4 Гиперядра Гр-оболочки и тяжелые гиперядра 82
4 Двойные гиперядра и ЛЛ-взаимодействие 87
4.1 лдНе и потенциал ЛЛ взаимодействия 87
4.2 Анализ энергий связи двойных гиперядер 90
4.3 Гиперядра и суперядра 92
Заключение 95
- Мезонная теория и свойства AiV-сил
- Выбор базисных функций и процедуры оптимизации
- Гиперядра Гр-оболочки и тяжелые гиперядра
- Анализ энергий связи двойных гиперядер
Введение к работе
Проблема силвных взаимодействий в настоящее время время продолжает оставаться центральной в современной физике, причем центр тяжести исследований все более перемещается в сторону более высоких энергий и все меньших межчастичных расстояний. 60 лет назад под сильным взаимодействием понимали нуклон-нуклонное взаимодействие, которое оказывается способным удерживать нуклоны в связанном состоянии. Однако после открытия мезонов и странных частиц и, наконец, доказательства существования связанных состояний странных барионов (Л-частиц) с нуклонами, так называемых, гиперядер, стало очевидным, что существует широкий класс частиц, участвующих в сильных взаимодействиях — адронов. В связи с этим естественно возник вопрос о том, что общего и в чем отличия в сильных взаимодействиях различных разновидностей адронов. Общее для них это, прежде всего, зарядовая симметрия (SU(2)) установленная еще в ядерной физике для нуклонов и распространяемая на другие виды адронов. Как сейчас очевидно, отклонения от SU(2) симметрии существуют, но они невелики и могут быть аккуратно учтены. Анализ экспериментальных данных приводит также к заключению о существовании более широкой симметрии во взаимодействии адронов — SU(3) симметрии; возможно, что существует и более высокая симметрия SU(6). Есть основания ожидать, что отклонения от SU(3) симметрии могут оказаться значительными и обстоятельная проверка этой гипотезы весьма актуальна.
В этом отношении наиболее подходящими объектами являются странные частицы — гипероны — и особенно Л-частицы, для которых накоплен наиболее обширный экспериментальный материал (не считая, разумеется, данных ядерной физики о NN-взаимодействии). Это — данные по рассеянию гиперонов на нуклонах и гиперядра, т.е. системы, содержащие в связанном состоянии с нуклонами одну или две Л-частиц, которые дают прямую информацию о потенциале (сильного) взаимодействия ЛЛ^ и ЛЛ.
Информацию о взаимодействии гиперонов дают также реакции образования Л-частиц и гиперядер, спектры гиперядер и распад Л-частиц и гиперядер. На данный момент, за 50 лет, прошедших после первого наблюдения образования гиперядра, по гиперядерной тематике было опубликовано несколько тысяч теоретических и экспериментальных работ, и поток публикаций продолжается и даже за последние несколько лет стал более интенсивным. Фактически появился новый раздел физики ядра и частиц — физика гиперядер. Круг вопросов, рассматриваемых в физике гиперядер, расширяется и включает теперь не
только гиперядра и различные странные частицы, но и экзотические системы, содержащие в связанном состоянии частицы, в состав которых входят с и Ь-кварки, так называемые суперядра.
Проблемы гиперядер тесно переплетаются с проблемами смежных областей, например, анализ распада Л-частиц и гиперядер дает ценную информацию о свойствах слабых взаимодействий. С другой стороны, анализ энергий основных и возбужденных состояний гиперядер позволяет, используя Л-частицу как пробную частицу, исследовать структуру обычных ядер, например получить информацию о распределении в ядрах как протонов, так и нейтронов. Исследование AN и ЛЛ-потенциалов представляет интерес для кварко-вой теории, поскольку эти потенциалы более короткодействующие, чем iViV-потенциалы и поэтому в них кварковые эффекты играют гораздо более существенную роль.
Настоящая работа посвящена проблеме AN и ЛЛ-взаимодействия на основе совместного анализа энергий связи гиперядер и Лр-рассеяния. Результаты такого анализа содержатся в гл. 3 для потенциала AiV-взаимодействия и в гл. 4 — для ЛЛ-взаимодействия. Решение обратной задачи восстановления ЛЛ^ и ЛЛ-потенциала на основании анализа экспериментальных данных потребовало разработки эффективных методов расчета систем трех, четырех, пяти и шести частиц, которые изложены в гл. 2. При этом надежность расчета энергий таких систем обеспечивалась благодаря нахождению как верхней, так и нижней оценки энергии.
Возможно, такой метод расчета оказался бы полезным при рассмотрении таких активно обсуждаемых вопросов, как существование различных экзотических систем, например, пентакварков, К~-ядер и г^-ядер.
Мезонная теория и свойства AiV-сил
Изучение сильных взаимодействий гиперонов является одной из центральных и важнейших задач физики гиперядер. При этом, поскольку имеющаяся экспериментальная информация о сильных взаимодействиях гиперонов относится, главным образом, к низкоэнергетической области, анализ YN- и (YY-) взаимодействий проводится обычно в раках потенциальной теории. Существующие потенциалы YN- и УУ-взаимодействия варьируются в довольно широких пределах: от чисто феноменологических до модельных. Наиболее распространенный вариант модельного потенциала — это мезонно-обменный потенциал, который строится исходя из идеи о том, что барионы (нуклоны, гипероны) взаимодействуют путем обмена мезонами. Другой вариант — это кварково-модельный потенциал. Наконец имеется вариант чисто притягивающих потенциалов с запрещенными по моментам состояниями, так называемый Московский потенциал [33,34], который позволил охватить все данные по AW-рассеянию.
В мезонной теории предполагается, что существует связь барионов (В) с мезонным полем (М), благодаря чему взаимодействие между барионами осуществляется путем обмена мезонами различных типов. Однако взаимодействие на самых малых расстояниях описывается феноменологически как жестки или мягкий кор. Число констант связи барионов с полями различных мезоно удается существенно сократить в случае существования симметрии — изотопической (SU(2)) и унитарной (SU(3)) (а также и SU(6)). В рамках SU(3) симметрии нуклоны Л и Л-частица (а также Е и S-гипероны) входят в один и тот же унитарный октет неприводимого представления (1.1). Из произведения представлений 8 8 для В+ и В выделяются неприводимые представления размерности {27}, {10}, {10 }, {8}, {8 } и {1}. Отсюда можно подсчитать, что потенциал AW-взаимодействия соответствует потенциалу представления {27} V/vw = V{27}, а VAN = fo i27) + Ія ВД и VAA = 40 (27) + 40 (8}Іо Ш- Если учесть, что 7г, rj, Х±-мезоны также входят в унитарный октет и что существует унитарный синглет, то лагранжиан -взаимодействия приобретает вид: Феноменологическую теорию AN- и ЛЛ-взаимодействий мы рассмотрим подробно чуть ниже; здесь же — кратко остановимся на основных выводах, полученных в рамках теоретико-полевого анализа YN-сил.
Взаимодействие Л-частиц с нуклонами тесно связано с EiV-взаимодействием. Действительно, хотя Л- и Е-гипероны отличаются массами, они обладают одинаковой странностью (S = — 1) и могут превращаться друг в друга при взаимодействии с нуклонами. Переходы AN - EiV происходят как ниже (виртуально), так и (реально) выше ЕІУ-порога(ов). Это означает, что (Л, Е)іУ-взаимодействие является многоканальным. Так, для полного заряда Q = 0,1 УІУ-системьі получаем Зх-канальную проблему: (An — ТРп — Е р) для Q = О и (Ар — Ер — Е+?г) для Q = 1, взаимодействие остается одноканальным для состояний с полным изоспином / = : Е+р (Q = 2) и ТГп (Q = — 1). Разница масс между каналами AN и UN составляет в среднем около 78 МэВ, а между различными EiV-каналами — 1.8 МэВ (Q = 1) и 3.6 МэВ (Q = 0). В случаях, когда можно пренебречь расщеплением масс в EiV-каналах, обычно рассматривают один-единственный EiV-канал; это приводит к двхканальной модели (AN и Y.N) для I = \ Элементы потенциальной матрицы, описывающей взаимодействие между связанными каналами, конструируют вполне аналогично iViV-случаю, исходя из учета простейших диаграмм мезонного обмена. Модели УІУ-потенциалов с жестким кором имеют вид: где ТРЕР означает потенциал двухпионного обмена, а ОВЕР — потенциалы однобозонного обмена. Помимо жесткого кора существуют и варианты потенциалов с мягким кором.
Двухпионный обмен в AiV-системе играет особую роль по сравнению с iViV-случаем. Действительно, при зарядовой независимости адронных взаимодействий процессы одно-пионного обмена (ОРЕ) запрещены законом сохранения изоспина1-1 Поэтому полагают, что основной вклад в AiV-взаимодействие вносит обмен двумя пионами с Е-частицей в промежуточном состоянии (рис. 1.1а, б). Этот механизм формирует в частности, периферию AiV-потенциала (асимптотическое поведение V е 2 г, /іж = jf-)- Что касается других возможных двухбозонных обменов, например, ті К (рис. 1.1в), К К и т.д., то они дают дополнительный вклад в AiV-взаимодействие, однако радиус действия этих сил значительно меньше радиуса 27г-обмена, хотя и сопоставим с радиусом действия в случае обмена одиночными тяжелыми векторными мезонами.
В ранних работах [35] двухпионный обмен рассчитывался в статическом приближении (гЯтг тпм), однако, как показано Шарапом и фубини [36], статическое приближение не является корректно определенной процедурой. Последним не удалось получить замкнутой формулы для ТРЕР, однако они исследовали асимптотическое поведение, которое
Заметим, что слабое электромагнитное 5]Л-смешивание приводит к возможности однопионного обмена в Л_/У-канале. оказалось существенно отличным (отталкивание на хвосте) от ассимптотики потенциала Бракнера-Ватсона [35]. Впоследствии предпринимались интенсивные попытки обоснования однозначного вывода ТРЕР и применения его к AiV-случаю. В более поздних моделях гиперон-нулонного взаимодействия двухпионный механизм обмена исключался из рассмотрения. Это мотивируется частично надеждой на то, что многие (если не все) эффекты ТРЕ содержатся в различных ОВЕ, и, частично, стремлением избежать значительных усложнений модели в тех случаях, когда учитываются оба механизма. Однако в последних работах двухбозонный обмен снова стали включать в рассмотрение.
Диаграмма однобозонного обмена в многоканальном формализме показана на рис. 1.2. Всего имеется 4 типа диаграмм, соответствующих: 1) прямому упругому взаимодействию (В = Y), 2) прямому неупругому взаимодействия (В = У ф Y), 3) обменному упругому (В = Y) и 4) обменному неупругому (В = Y ф Y). Стандартным приемом построения ОВЕР (как, впрочем, и ТРЕР) является вычисление в системе центра масс оператора рассеяния т в импульсном представлении с последующим переходом к потенциалам в координатном представлении с помощью Фурье-преобразования. Для самой общей диаграммы (рис. 1.2) результирующий оператор т = 2І=Ї 9 Fit І, где величины Fi зависят от относительных импульсов р и ff частиц, а операторы ti строятся в виде инвариантных комбинаций р, ff и спиновых матриц барионов. ОВЕР при этом принимает вид где r — расстояние между гипероном и нуклоном, X — оператор относительного орбитального момента, тензорный оператор SYN = 3 2 — (&Y&N), квадратичный спин-орбитальный оператор QYN = \[{. JYL){ 7NL ) + (GNL)((JYL), а обменный оператор Р = 1 при обмене гиперзарядом Y = Ои Р = —РхРа при обмене гиперзарядом Y ф 0 (обмен К, К , к, К мезонами), где Рх и Ра — соответственно пространственный и спиновый обменные операторы. Радиальная зависимость различных членов в (1.9) весьма сложна, как и в случае ТРЕР, они сильно расходятся при г — сю. Потенциалы содержат целый ряд констант связи, лишь немногие из которых известны из эксперимента (например, дЖ7Тм)-Для определения остальных констант обычно прибегают к соотношениям, вытекающим из различных схем симметрии адронных взаимодействий.
Выбор базисных функций и процедуры оптимизации
Последовательные расчеты систем более чем двух частиц в рамках релятивистской квантовой теории на данный момент практически неосуществимы. Однако в нерелятивистской области, когда не рассматриваются эффекты рождения частиц, вполне приемлем потенциальный подход. Он заключается в описании межчастичного взаимодействия с помощью потенциалов и решения дифференциального уравнения в частных производных — стационарного уравнения Шредингера где Н — гамильтониан системы частицы, ф — волновая функция этой системы, а Е — энергия. Но даже в нерелятивистском случае с бесспиновым гамильтонианом задача трех и тем более большего числа тел не имеет замкнутого аналитического решения. Неудачи аналитических методов заставляют разрабатывать эффективные алгоритмы и численные схемы решения.
Прямое интегрирования уравнения Шредингера наталкивается на немалые вычислительные трудности для систем с числом частиц 3 и больше, связанные главным образом с большим числом степеней свободы, а также — при наличии тождественных частиц — с требованиями, налагаемыми на свойства симметрии волновой функции. Поэтому при рассмотрении систем большого числа частиц прибегают к различным модельным предположениям, уменьшающим число независимых переменных. Примерам таких модельных подходов являются: метод генераторных координат [66], резонансных групп [67,68], независимых пар [69,70], Томаса-Ферми и другие. Такой подход, едва ли не единственно возможны при исследовании сложных систем, связан со значительными погрешностями, вследствие чего не оправдывает себя в случае небольшого числа частиц. Для расчета систем небольшого числа частиц более эффективными оказались различные методы, не использующие модельные представления, которые, в принципе, эквивалентны решению уравнения Шредингера. Это в первую очередь метод Хартри-Фока, метод Фаддеева, ме тод гиперсферических функций (К-гармоник), метод Монте-Карло, метод конечных элементов, адиабатический и вариационный методы.
Метод Хартри-Фока или, как его иначе называют, метод самосогласованного поля был предложен из интуитивных соображений Д. Хартри в 1927 году [71, 72] и теоретически обоснован В.А. Фоком в 1930 году [73]. Первоначальная идея Хартри в применении к атомным задачам состояла во введении эффективного центрального поля, создаваемого ядром и всеми электронами атом, в котором электроны движутся независимо друг от друга. Такое предположение позволяет разделить переменные в полной волновой функции атома и приводит к системе самосогласованных уравнений относительно волновых функций отдельных электронов. Требование антисимметрии волновой функции системы относительно перестановок электронов приводит к представлению волновой функции системы в виде слетеровского детерминанта и к появлению в уравнениях Хартри-Фока обменных членов. В общем случае система уравнений Хартри-Фока является интегродифферециальной [74].
Представление волновой функции в виде детерминанта Слетера является достаточно грубым приближением, в частности, оно часто не обеспечивает определенного орбитального момента и спина атома, а также не позволяет учесть корреляции между движениями электронов. Гораздо более точным является представление волновой функции системы в виде суммы различных слетеровских детерминантов. Такой подход называют методом взаимодействующих конфигураций, а именно он позволяет получать достаточно точные решения в задачах небольшого числа частиц. Например, в работе [75] энергии основного и возбужденных б -состояний атом гелия были рассчитаны с относительной погрешностью от 0.01% до 0.0001%.
Метод Хартри-Фока широко применяется не только в атомной, но и в ядерной физике [76-80], а также при расчетах электронных волновых функций молекул и кристаллов. К его недостаткам относится большая трудоемкость (неоправданная при рассмотрении систем малого числа частиц) при учете конфигурационного взаимодействия и низкая точность в рамках однодетерминантного приближения.
Метод Фаддеева был предложен Л. Д. Фаддеевым [81], который создал строгую теорию рассеяния в системах трех тел. Он представляет собой, по существу, процедуру решения не самого уравнения Шредингера, а уравнения Липпмана-Швингера [82, 83]. В то же время предоложенная Фаддеевым регуляризация устраняет недостатки уравнения Липпмана-Швингера [81] и приводит к системе интегродифференциальных уравнений, эквивалентной [84] исходному уравнению Шредингера, но значительно более удобной, чем уравнение Шредингера, в конкретных приложениях. Эти уравнения имеют однозначное решение [81] и позволяют аккуратно учесть сложные граничные условия, что особенно важно в задаче рассеяния. Имеются обобщения метода Фаддеева и на случай произвольного числа частиц [85-87]. Однако, реализация метода Фаддеева в практических расчетах весьма трудоемка, что ограничивает возможности метода по существу лишь трехчастич-ными [88-101] и четырехчастичными [102-109] системами. Достоинством метода является преемственность при переходе от iV-частичной задачи к (iV+ 1)-частичной. Метод Фадде-ева можно использовать как в интегральной, так и в дифференциальной формулировке, в импульсном и в координатном представлении [85, 110-112]. Интегральные уравнения для компонент волновой функции служат математической базой задачи и используются для изучения общих свойств решения — гладкости, асимптотик, выделения основных сингулярностей. Численные же расчеты проводятся на основе дифференциальной формы уравнения, которая возникает путем обращения интегральных операторов. Теоретически метод Фаддеева универсален по отношению к типу рассматриваемой системы и взаимодействия в ней. Он применим и к системам нескольких нуклонов, и к мезоатомных системам, и к кварковым образованиям. С точки зрения взаимодействия метод Фаддеева позволяет исследовать системы с короткодействующими силами, кулоновским взаимодействием, растущим взаимодействием, заданным граничными условиями (контактным). Однако метод становится крайне сложным в случае несепарабельных потенциалов. В связи с этим локальные потенциалы часто приводят к сепарабельной форме [92,113]. Дополнительные сложности возникают в случае дальнодействующих кулоновских потенциалов [111,114]. Наличие в исследуемой системе нескольких сортов частиц приводит к росу числа уравнений в решаемой системе [101], что усложняет решение задачи.
При анализе малочастичных систем очень продуктивными оказались различные методы приближенного решения уравнения Шредингера. При разработке этих методов зависимость волновой функции ф от части степеней свободы представляют в более удобном для вычислений виде. В ряде случаев вообще пренебрегают частью степеней свободы. Наиболее универсальным подходом является разложение волновой функции по некоторому фиксированному базису функций {д} — собственным функциям какого-либо оператора, обладающего дискретным спектром:
При этом векторы {д} задаются в некотором подпространстве Х\ пространства независимых переменных х, а коэффициенты разложения фі зависят от остальных переменных х2(х = х\ ф Х2). Уравнение Шредингера проецируется на введенный базис {д}. При этом по переменным Х2 получают бесконечную систему зацепляющихся (вообще говоря, дифференциальных) уравнения. На практике ограничиваются конечным числом членов разложения (2.2).
Одним из самых распространенных вариантов базиса {д} является {Ука( зм-4)} — гиперсферический базис на поверхности ЗІУ-мерной гиперсферы. Причем Ука являются собственными функциями угловой части оператора кинетической энергии — оператора Лапласа на поверхности ЗІУ-мерной гиперсферы. Они классифицируются значениями так называемого глобального момента
Гиперядра Гр-оболочки и тяжелые гиперядра
Основным достоинством гауссовского вариационного разложения является его применимость к расчетам систем произвольного числа частиц. Причем имеются аналитические выражения для всех матричных элементов, необходимых для расчетов как верхней, так и нижней вариационной оценки энергии систем любого числа тел [200,202]. Именно в гаус-совском базисе произведены наиболее точные расчеты четырехчастичных кулоновских систем, далеких от одноцентрового предела [203-205], а также многочастичных систем сильновзаимодействующих частиц [200,206].
В некоторых версиях вариационного метода, несмотря на успех вариационных разложений в естественных координат, матричные элементы гамильтониана вычисляются прямым численным интегрирование. Так, в методе ATMS [207,208] базисные функции строятся на базе парных функций, полученных путем численного решения двухчастичных уравнений Шредингера или эквивалентных задач. Отметим, что расчет матричных элементов прямым численным интегрированием требует значительного объема вычисления. Метод весьма гибок, обеспечивает хорошую точность для потенциалов сложной формы. К его недостаткам следует отнести высокие затраты машинного времени.
Численная оценка интегралов, входящих в выражения для матричных элементов гамильтониана и нормировки, открывает значительно более широкие возможности в построении пробных функций. Это особенно важно при расчетах ядерных систем, связанных потенциалами, обладающими мощным отталкиванием на малых расстояниях [209,210]. Такой подход использовался при расчетах трех- и четырехчастичных ядерных систем [211]. При этом интегралы, кратность которых (3N — 6), оценивались методом Монте-Карло (детали см. в [210], что требовало колосальных вычислительных затрат.
Несколько более экономичная в трехчастичном случае процедура расчета интегралов, основанная на квадратурных формулах, использовалась группой Делвеса при расчете трехчастичных ядер с реалистическими iViV-потенциалами весьма сложной структуры. При этом трехчастичная функция разлагалась по полному набору базисных функций спин-изоспиновых переменных и углов Эйлера [212,213], радиальные же функции требуемой симметрии строились из одночастичных функций, выбиравшихся в виде определенных комбинаций экспонент [164,214].
Функции полиномиального, экспоненциального и гауссовского типа с успехом применялись для расчетов атомных и мезоатомных систем. Экспоненциальный и гауссовский базис находятся вне конкуренции при вариационных расчетах кулоновских систем, состоящих из частиц, близких по массе, в том числе систем, состоящих из частиц равной массы Ps и Ps2, а также мезомолекул, ядер и гиперядер. Однако в случае, когда в исследуемую систему входят частицы с массами, различающимися на несколько порядков, и при этом взаимодействие между тяжелыми частицами носит отталкивательный характер (например, это одноименные заряды в кулоновских системах) сходимость вариационных оценок энергии на традиционных базисах при увеличении числа функций оказывается очень низкой, и практически не удается достичь точности расчета выше, чем 3-4 значащих цифры. Это, в первую очередь, относится к молекулярным системам. Причина медленной сходимости состоит в том, что вероятность относительного положения ядер, а вмести с ней и волновая функция молекулы имеет узкий максимум при некотором межядерном расстоянии. Ширина максимума тем меньше, чем больше массы ядер. Описать такое поведение волновой функции линейной комбинацией экспонент и гауссоид чрезвычайно сложно.
Для улучшения аппроксимационных свойств базисных функций при вариационных расчетах двухцентровых систем было предложено модифицировать экспоненциальную пробную функцию путем введения тригонометрических множителей [215] или, что эквивалентно, расширить область задания нелинейных параметров в показателе экспоненты, позволяя им принимать комплексные значения [195]. Использование таких экспоненциально-тригонометрических функций позволило при большом числе параметров повысить точность расчета двухцентровых систем почти до величины, достигнутой в рамках адиабатического приближения. Например, в работе [195] точность расчетов молекулярных ионов составила примерно 10 значащих цифр при 500 базисных функциях. Однако и эта точность значительно ниже достигнутой в расчетах одноцентровых систем с тем же числом базисных функций.
Другой вариант преодоления трудностей при расчете двухцентровых систем состоит в использовании пробных функций вида Rme aR, где R — расстояние между тяжелыми частицами. Недостатком таких базисных функций является необходимость использовать большие т для описания узкого максимума волновой функции, что увеличивает сложность расчета матричных элементов и приводит к большим потерям точности в применяемых рекурентных формулах. Так, в работе [216] при расчете системы рре использовалось значение т = 10, что позволило получить 7 верных знаков в оценке энергии. Дальнейшее повышение точности требует увеличения т в несколько раз, а это сопряжено со значительным увеличением объема вычислений (см. расчеты в работах [217,218]).
С трудностями, аналогичными возникающим в двухцентровой задаче, сталкиваются в расчетах ядерных систем при использовании нуклон-нуклонных потенциалов с жестким кором. В этом случае волновая функция имеет более или менее острые максимумы при некоторых межчастичных раасстояниях, и можно говорить об образовании пространственного каркаса, относительно которого размазывается положение частиц.
В работе [219] для расчетов ядерных систем с потенциалами, содержащими жесткий кор, были предложены так называемые «каркасные» пробные функции: где f3pq и Rpq вариационные параметры, определяющие жесткость и пространственную ориентацию каркаса. Достоинством таких базисных функций по сравнению с подходом работы [216] является единообразность вычисления матричных элементов при произвольной ширине каркаса и применимость к расчетам систем произвольного числа частиц и с произвольным числом каркасных связей.
Существенным недостатком пробных функций (2.15) является то, что они представляют собой комбинацию состояний с различными значениями полного орбитального момента. Для получения функции, обладающей нулевым орбитальным моментом, требуется усреднить (2.15) по всевозможным ориентациям каркаса Rpq, что приводит к необходимости численного нахождения однократных интегралов.
С другой стороны, каркас базисной функции можно задать с помощью расстояний Щ между каждой из пар (г, j) частиц [220-222]. В этом случае каркасную базисную функцию можно записать в виде: и рассматривать а" и Щ- в качестве вариационных параметров. Каркас, составленный из длин Щр не связан с ориентацией координатных осей, и мы будем называть каркасные функции (2.16) свободными (неориентированными). Они соответствуют, очевидно, нулевому орбитальному моменту и представляют хорошую основу для аппроксимации функций основного состояния.
Аналитические выражения для матричных элементов при использовании свободного каркасного базиса удалось пока получить только для систем трех частиц с любым количеством каркасных связей или для систем большего количество частиц, но при условии наличия только одной каркасной связи. При этом по остальным связям приходится использовать гауссовские пробные функции, что ухудшает сходимость при расчетах куло-новских систем. Эти ограничения являются недостатком свободного каркасного базиса.
Анализ энергий связи двойных гиперядер
Результаты расчетов с различным числом каркасных функций приведены в табл. 2.1 для трехчастичных двухцентровых систем щле, рре, dde и tte.
Как отмечалось, при расчете молекулярных двухцентровых систем наиболее эффективным является применение каркасных базисных функций. В качестве трехчастичных систем были рассмотрены двухцентровые кулоновские системы /i/ie, рре, dde и tte. Расчеты проводились со сравнительно небольшим числом (не более 50) пробных функций, однако при этом достигается очень высокая точность. Использование всего одной базисной функции позволяет рассчитать энергии рассматриваемых двухцентровых систем с точностью до трех значащих цифр, т.е. такой же, как с сотней экспоненциальных или гауссовских функций. Это иллюстрируется в табл. 2.1, где приведены результаты расчетов с каркасно-экспоненциальными функциями при различном числе пробных функций для кулоновских систем щле, рре, dde, tte.
Как видно из табл. 2.1 вычисленные значения энергии Ец быстро насыщаются при увеличении числа базисных функций, особенно при увеличении массы тяжелых частиц. Укажем для сравнения, что расчеты работ [195,229] с 500 комплексных экспоненциальных функций привели к Еи = -0.597139 0631076 а.е. для рре , Ev = -0.598 788 783 890 а.е. для dde , Еи = -0.599 506 909 80 а.е. для tte и Еи = -0.585126 097176 а.е. для щіе . В работе [230] значение Еи(рре ) = —0.597139 063123 а.е. было найдено в приближении Борна-Оппенгеймера.
В табл. 2.2 для тех же кулоновских систем приведены рассчитанные при п = 50 средние значения полной, кинетической, потенциальной энергии (соответственно Еи, (Т) и (V)), потенциальной энергии взаимодействия легкой и тяжелой частиц (Vi), взаимодействия тяжелых частиц (V3), средних и среднеквадратичных расстояний между легкой и тяжелой частицами (Ri) и (Д2)1/2 и то же самое для расстояний между тяжелыми частицами ((Дз) и (Д2)1/2). В табл. 2.2 указана также дисперсия 1)3 = ((Д?;3) — (Ді,з)2) /(- і,з) в процентах, характеризующая степень отклонения от жесткой каркасной структуры. Как Применение для вариационных расчетов кулоновских систем функций гауссовского типа вместо экспонент значительно ухудшает результаты. Это проявляется уже в двух-тельной атомной задаче, и тенденция сохраняется в системах большего числа частиц. Например, в случае атома Не точность, достигаемая при использовании гауссоид, на три порядка ниже (при одном и том же числе функций п), чем с экспонентами. При использовании каркасно-гауссовских функций в расчете системы рре при п = 30 удается получить семь-восемь правильных значащих цифр вместо одиннадцати в случае каркасно-экспоненциального базиса. Векторные же каркасные функции без усреднения по углам каркасных векторов обеспечивают лишь три правильных цифры.
Сравнение результатов расчета системы рре с экспоненциальными, гауссовскими, каркасно-экспоненциальными, каркасно-гауссовскими и векторными каркасными функциями производится на рис. 2.1. Если сравнивать векторный каркасный базис и гауссовский базис (базисы, которые применимы к расчету систем любого числа частиц), то оказывается, что преимущество векторного каркаса проявляется только при очень небольшом числе функций, за счет того, что он с хорошей точностью описывает относительного положение тяжелых частиц. Однако при увеличении числа пробных функция, описание относительного положения тяжелых частиц с помощью гауссовских фукнций улучшается и энергия приближается к точному значению, тогда как наличие ненулевого орбитального момента у пробной функции векторного каркаса не позволяет приблизится к точному значению энергии. Это видно на рис. 2.1. Рис. 2.1 свидетельствует также о том, что точность расчета с каркасно-экспоненциальными базисными функциями выше, чем с каркасно-гауссовскими. вых молекулярных систем: молекулы водорода Н 2 и ионизированного гидрида гелия НеН+. Используемый метод позволяет надежно оценить изотопические эффекты. В отличие от трехчастичных молекулярных систем при расчете четырехчастичных систем приходится использовать каркасно-гауссовские функции.
Характер сходимости энергии Еи с ростом числа п в вариационном разложении иллюстрируют следующие числа (в а.е.): 1.068 при п = 1, 1.161 при п = 10, 1.1627 при п = 20, 1.1635 при п = 50 и 1.16401 при п = 200. Результаты расчета Ец с п = 200 для системы рре е () отличаются от наиболее точных расчетов работ [217, 218] в последней из приведенных цифр.
В табл. 2.3 приведены результаты расчетов энергии основного состояния Еи и энергии диссоциации Еи для молекул водорода различного изотопного состава, полученные при использовании 200 каркасно-гауссовских функций. Отметим, что отклонение от ви-риальной теоремы для рассмотренных четырехчастичных систем коррелирует (как и для трехчастичных систем) с точностью расчета энергии.
Как и следовало ожидать, энергия диссоциации ED медленно растет (на несколько процентов) при увеличении массы молекулы. Полученные результаты находятся на уровне лучших из опубликованных в литературе.
Другой подробно рассмотренной молекулярной системой был положительный ион гидрида гелия НеН+, состоящий из альфа-частицы, протона и двух электронов. Эта система представляет интерес для астрофизики, так как в значительной концентрации образуется в межзвездных облаках под воздействием ионизирующего звездного излучения. Экспериментально эта система наблюдалась в работах [231,232], и ее энергия диссоциации была оценена как 1.835 эВ (0.0674 а.е.). Расчеты в рамках адиабатического приближения без учета кинетической энергии тяжелых частиц проводились в работах [233-235] для системы 4НеН+.
