Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I ОДНОМЕРНЫЕ ДИСПЕРСИОНБЫЕ ПРВДСТАВЛЕБИЯ 14
1.1 Общие свойства, формулы и обозначения 15
1.2 Одномерные .дисперсионные соотношения на аналитических кривых и парциальные амплитуды 19
1.3 Одномерные представления функций .двух: комплексных переменных на ветвях многозначных функций и неаналитических кривых 28
1.4- Представления амплитуд на лучах 35
1.5 Представления для парциальных амплитуд и длин рассеяния 41
1.6 Правила сумм для амплитуд рассеяния на большие углы 47
ГЛАВА 2 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПИОНОВ ПРИ НИЗКИХ ЭНЕРГИЯХ И ОЦЕВКА ШСОКОЭНЕРГЕГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ 51
2.1 Некоторые следствия .дисперсионных соотношений на лучах в резонансном приближении 53
2.2 Приближенное представление для парциальной амплитуда 67
2.3 Асимптотика амплитуд на большие углы 73
2.4 Правила сумм и асимптотика ДА/ амплитуд при высоких энергиях на большие углы 82
2.5 Описание фаз рассеяния при низких энергиях. 93
2.6 Полюсные модели, общие формулы 100
2.7 Простой полюс Померанчука 109
2.8 Модель амплитуды с логарифмическим ростом полного сечения 114
2.9 Замечания о модели с максимальным ростом полного сечения 118
ГЛАВА 3 ДВОЙНЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ ПРОСТАВЛЕНИЯ И МОДЕЛЬ ДВОЙНЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 122
3.1 Простой пример > -функции 123
3.2 Поведение длин рассеяния при асимптотически больших моментах 128
3.3 Двойные дисперсионные представления амплитуд с рэджевской асимптотикой 132
3.4 Условия на амплитуду и .двойную спектральную функцию 138
3.5 Пример двойной спектральной функции . 145
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 147
ПРИЛОЖЕНИЕ I 150
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 153
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 158
ЛИТЕРАТУРА 161
- Общие свойства, формулы и обозначения
- Некоторые следствия .дисперсионных соотношений на лучах в резонансном приближении
- Поведение длин рассеяния при асимптотически больших моментах
Введение к работе
Первая попытка формулировки принципа причинности и получения дисперсионных соотношений в квантовой теории была сделана Гелл-Манном, Гольдбергером и Тиррингом / I/ . Интенсивное развитие нового метода, получившего название метода дисперсионных соотношений, было завершено на первом этапе академиком Н.Н. Боголюбовым, предложившим математическую формулировку принципа причинности/2/ и давшим первое доказательство одномерных дисперсионных соотношений с фиксированным переданным импульсом. Вслед за этим Боголюбовым Медведевым и Поливановым/3/ была дана первая последовательная формулировка метода дисперсионных соотношений, как отражения фундаментальных свойств теории - причинности, унитарности и кроссинг-симметрии» Развитие принципиальных основ теории дисперсионных соотношений завершилось гипотезой Мандель-стама / 4 / о двойных дисперсионных представлениях,явно отражающих аналитические свойства амплитуд двухчастичных процессов, как по энергии, так и по переданному импульсу.
Вобрав в себя основные принципы теории, метод дисперсионных соотношений установил аналитические свойства амплитуд рассеяния и предоставил возможность воспользоваться методами теории аналитических функций. В основе метода лежит дисперсионное соотношение, отражающее прежде всего аналитические свойства амплитуд рассеяния. Имея дело с функциями нескольких комплексных переменных и выбирая различные дисперсионные представления, помимо факта реализации аналитических свойств, дисперсионные соотношения задают также и способ аналитического продолжения амплитуд. Например, если в качестве исходного дисперсионного соотношения выбрано представление с фиксированным переданным импульсом, то прослеживаются тесные связи между низкоэнергетической областью и асимптотической областью рассеяния в окрестности вперед. Поэтому, вообще говоря, преследуя заранее цель установления определенных связей, следует исходить из таких дисперсионных соотношений, где эти связи отражаются наиболее непосредственно.
Из многочисленных приложений метода дисперсионных соотношений выделим два. Уже на заре возникновения метода были сделаны попытки построения динамических моделей взаимодействия элементарных частиц в области низких и средних энергий и применение их к интерпретации результатов фазового анализа реакций. Непосредственным следствием дисперсионного подхода является установление правил сумм. Начиная с известной работы Логунова-Соловьева-Тавхелидзе /5/ , методы, основанные на правилах сумм, позволили связать процессы, протекающие в существенно различных областях энергий и переданных импульсов и явились источником ряда плодотворных физических гипотез.
Проследим более детально за развитием этих двух направлений в рамках метода дисперсионных соотношений. В построении динамических схем известно два самостоятельных подхода. В основе одного из них лежат одномерные дисперсионные соотношения, в основе другого, получившего название динамической схемы Мандельстама, лежат двойные представления /4/ . Обратимся к первому, наиболее результативному из этих подходов, который восходит к классической работе Чью, Голбергера, Лоу и Намбу /б/ . Существо схемы весьма прозрачно. Пусть имеется одномерное дисперсионное представление для полной амплитуды по одной из переменных, зависимость по другой переменной передается некоторым фиксированным параметром. Получаем из этого представления представление для парциальных амплитуд, т.е. амплитуд состояний с определенными изотопическим спином, полным моментом, спином. В области низких энергий амплитуды с высшими спинами не существенны и ими можно пренебречь, отсутствуют неупру- гие процессы и, следовательно, амплитуды с хорошей точностью удовлетворяют упругому условию унитарности. Сделав эти упрощения, приходим к системе сингулярных интегральных уравнений, которые в ряде интересных случаев сводятся к краевой задаче для аналитических функций и эффективно решаются. Решение возникающих линейных задач обычно не вызывает затруднений (см,, например, /7/ ), для возникшей нелинейной задачи было найдено решение Кастильехо, Далитцем и Дайсоном (КДЦ) /8/, Простая с первого взгляда схема натолкнулась, однако, на рад, как позже выяснилось, принципиальных математических трудностей. Ряды парциальных амплитуд в подинтегральных выражениях сходятся в ограниченной области изменения внешних переменных для представления, например, с фиксированным переданным импульсом, что приводит к ограниченной применимости представлений для парциальных амплитуд. Пренебрежение этим обстоятельством иногда приводило к . уравнениям, не имевшим физических решений /9/. Попытки обойти эту трудность /10-13/ привели лишь к незначительному расширению области энергий, где представления для парциальных амплитуд остаются справедливыми, к существенному усложнению самих представлений. Следующее затруднение, уже в большей степени физическое, возникло в связи с ростом амплитуд в области высоких энергий в окрестности рассеяния вперед, необходимостью вычитания дисперсионных интегралов и определения коэффициентов вычитательных полиномов. Математическая формулировка в этом случае оказалась таковой, что по существу представления с фиксированным переданным импульсом связывали область взаимодействия при низких энергиях с окрестностью рассеяния вперед при высоких энергиях. То есть, физически область низких энергий оказалась незамкнутой. Осознание этого факта привело к созданию простых динамических моделей и удовлетворительно согласующихся с экспериментально установленными фактами не только качест- венно, но и количественно /14/ . Однако, детализация низкоэнергетической картины требует соответствующей детализации информации о высокоэнергетическом поведении амплитуд в окрестности вперед. Картина процессов, протекающих при больших энергиях с малыми переданными импульсами, сложна сама по cetfe и в настоящее время не является в достаточной мере установленной, что оказывается принципиальным препятствием для продвижения в этом направлении.
Другой подход к описанию низко энергетических процессов был предложен Мандельстамом /4 / и известен как Мандельстамовская унитарная схема. Схема состоит в определении двойных спектральных функций, исходя из условия унитарности. Формулировка в этих терминах задачи, ограниченной даже упругим условием унитарности, оказывается математически сложной и простых аналитических методов ее анализа не разработано. В результате разносторонних исследований были предложены приближенные методы, например, стрип-аппроксима-ция Чью /15/ , было показано существование решений в некоторых конкретных схемах, предложены некоторые модификации схемы и, наконец, получены численные решения для некоторых конкретных процессов. Помимо упомянутой математической необозримости задачи, в этом подходе также возникают трудности, связанные с необходимостью достаточно детального описания асимптотических свойств амплитуды рассеяния в окрестности рассеяния вперед на языке двойных спектральных функций, согласованное с условием унитарности (смнапример, /16/ );
Существенное продвижение в понимании как качественной, так и количественной картины взаимосвязей процессов взаимодействия при низких энергиях и высоких энергиях было связано с развитием техники правил сумм /5/ . Основное качественное наблюдение привело к формулировке принципа дуальности и его многочисленного приложения. На этой основе были предложены модели амплитуд, вначале дуальной резонансной модели Венециано /17/ , а затем и ее обобщения, передающего аналитические свойства амплитуд /18/ Модельные представления амплитуд нашли широкое применение в различных вопросах физики взаимодействия частиц (см.,например, /18,19/ ) В частности, на моделях проявились явно трудности Мандельстамовской схемы. Например, было показано /18/ , что приближенное отражение аналитических свойств в дуальных аналитических моделях приводит к нарушению даже простейших унитарных свойств амплитуды рассеяния в околопороговой области. Этим можно объяснить и трудности, возникавшие в ранних попытках численной реализации Мандельстамовской унитарной схемы.
За последнее десятилетие достигнут существенный прогресс в физике высоких энергий. С одной стороны этому мпособствовал прогресс в теоретических представлениях - развитие квантовой хромоди-намики, установление свойств автомодельности и т.д. С друтой стороны, получена новая экспериментальная информация о поведении полных сечений, дифференциальных сечений как в области дифракции,так и в области больших переданных импульсов.
В традиционной области низких энергий к настоящему времени накоплен большой фактический материал. При этом не только уточнены и расширены сведения о фазах рассеяния и в существенной степени устранен произвол в их определении, но также предприняты экспериментальные попытки оценить такие тонкие структурные факторы, как расположение нулей в подпороговой области. Все это вновь ставит вопрос о развитии и разработке новых методов, позволяющих сопоставить результаты, полученные в этих различных областях энергий.
Как уже говорилось, на пути применения одномерных спектральных представлений принципиальные затруднения связаны с тем, что теоретически хорошо обоснованные представления с фиксированным переданным импульсом (или представления им аналогичные До-13/ , которые ниже будем называть І - подобными) существенно включают в рассмотрение асимптотическую область с малыми переданными импульсами, а такие процессы сами по себе определяются динамикой взаимодействий. Развитие представлений о взаимодействии адронов (см.,например, /20, 2l/ ) привело к выводу об их асимптотической свободе в области больших энергий при фиксированном угле рассеяния отличном от направления рассеяния вперед или назад. Иначе говоря, можно полагать, что в этой области амплитуда рассеяния имеет достаточно простую структуру, определяющуюся кинематическими размерными соображениями. Имея это в виду, отметим принципиальную возможность устранить трудность, связанную с 1 - подобными представлениями: следует попытаться получить представления для амплитуды рассеяния, не содержащие в асимптотике вкладов от областей малых переданных импульсов. В таком случае факт асимптотической свободы взаимодействий приведет к возможности простого моделирования вкладов от асимптотических областей и, например, область низкоэнергетического взаимодействия окажется в этом смысле замкнутой. Успешное решение низкоэнергетической задачи в таком подходе в принципе позволяет путем продолжения парциальных амплитуд в комплексную t - плоскость устанавливать связи низкоэнергетических процессов с процессами в области больших энергий при малых переданных импульсах. С другой стороны, возникающие в рамках таких представлений правила сумм будут связывать околопороговую и резонансную области с асимптотиками, предсказываемыми квантовой хромодинамикой, что может явиться независимым способом оценки подобных асимптотик. Точнее говоря, речь идет об асимтотике амплитуды в автомодельной области /22/ .
В первой главе диссертации излагаются вопросы, связанные с возможными модификациями t - подобных дисперсионных соотношений, их достоинства и недостатки. В результате этого анализа делается вывод о необходимости построения дисперсионных представлений на ветвях аналитических кривых в плоскости Мандельстама,покрывающих с изменением параметра физические области каналов реакций и имеющих асимптоты, не совпадающие с линиями S - О , t ~ О, и = о . Устранение возникающих при этом вкладов от нефизических особенностей приводит к необходимости предельного перехода к неаналитическим кривым, В 1.3, 1.4 вводятся такие представления и дается доказательство представлений амплитуд вдоль лучей, покрывающих полностью области физических каналов реакций. Параметрическое семейство лучей при изменении параметра в одном из физических каналов приводит к тому, что информация от перекрестных каналов черпается также из физических областей кроссинг-процессов. Это приводит к сходимости парциальных разложений в каждой конечной области изменения физических переменных и, как следствие этого факта, к справедливости представлений для парциальных амплитуд во всей области внешней переменной (исключая бесконечно удаленную точку) ( 1.5 ). Далее, поскольку при каждом фиксированном S (например, рассматривая S -канал реакции) ,лучи имеют ненулевой утол с линиями { s О » U* 0 » а амплитуды вдоль таких направлений падают, то спектральные интегралы существуют в невычтенной форме, что избавляет такой подход от неопределенностей, связанных с определением коэффициентов вычитательных полиномов. Непосредственным следствием свойств амплитуд, записанных представлениями на лучах и предположений о достаточно быстром падении амплитуд в асимптотической области являются правила сумм для полных амплитуд при произвольном фиксированном утле рассеяния отличном от значений 0} Л ( 1.6).
Вторая глава диссертации посвящена вопросам физики взаимодействия пионов. В 2.1 проводится оценка констант порогового разло- жения в приближении узких резонансов ( -приближение). В отличие от L -подобных представлений в рамках представлений на лучах возникающие ряды парциальных амплитуд носят знакопеременный характер и вклады высших резонансов оказываются порядка вкладов резонансов с низшими спинами. Так,взамен отрицательных вкладов от асимптотической области в t -подобных представлениях,возникает необходимая компенсация больших вкладов от состояний с низшими спинами при определении,налример, длин рассеяния.
Получаемые дисперсионные представления для парциальных амплитуд имеют сложную структуру и не позволяют получать аналитические решения унитарной задачи. С этой целью в 2.2 проводятся необходимые упрощения, основным предположением при этом является пренебрежение вкладами от асимптотических областей в интегральных членах. Справедливость этого предположения проверяется в конце 2.3. Основное содержание 2.3,2.4 состоит в анализе правил сумм для лл. и л. -амплитуд с фиксированным углом рассеяния. Оказывается, что вклад от резонансной области насыщается суммой низших, экспериментально известных, резонансов. Это обстоятельство позволяет сделать оценку асимптотики мнимой части амплитуды рассеяния при больших энергиях и фиксированном угле рассеяния. Полученные оценки дифференциальных сечений и сравнение их с наблюдаемыми величинами позволяют сделать два вывода. Асимптотический режим на- р ступает при относительно низких энергиях ^10 Гэв . Главный асимптотический коэффициент dec) г Ііуїі S1*^ 2m A Cs,c) может быть выражен в виде суммы известных низших резонансов.
В 2.5 - 2.9 строятся парциальные л л амплитуды А{(} при произвольных і Для физических t ^ 2 полученные решения хорошо согласуются с известной низкоэнергетической информацией. Продолжением A$(s) в комплексную плоскость орбитального момента устанавливается связь низкоэнергетических решений с асимптотикой амплитуды рассеяния вперед в перекрестном канале. Аналитическое продолжение А{() существенно определяется продолжением КДД параметров, входящих в Aj(S) » в частности длин рассеяния. Предполагаемая зависимость длин рассеяния от г определяет характер особенностей парциальной амплитуды в г -плоскости и, следовательно, вид асимптотики полной амплитуды. В работе анализируются модели с однократным, двойным и тройным полкюом Померанчука.Оенов-ное следствие развитого формализма состоит в выделении из параметров амплитуды, характеризующих ее поведение при высоких энергиях, тех, которые определяются низкоэнергетическими свойствами взаимодействия. При дополнительных предположениях вычислены коэффициенты разложения полных сечений в перечисленных моделях в асимптотической области.
Третья глава посвящена построению модели двойных спектральных функций амплитуд с рэджевской асимптотикой и определению амплитуд с помощью таких спектральных функций. Для определения амплитуд в 3.3 вводится двойное дисперсионное представление, в котором коэффициенты вычитательных полиномов определяются с помощью аналитического продолжения спектральных интегралов из области переменных, где такие интегралы существуют в невычтенной форме. Возможность такого определения тесно связана со свойствами рэджев-ских траекторий. Например, пусть функция ACs,i) имеет асимптотику A(sfO."~~ *ЬЫ и является аналитической функцией I с разрезом. Если Ы(&) < С при S меньше некоторого s t то в области, определяемой этим S , АС^Д ) можно представить по переменной t невычтенным интегралом Коши. Вне этой области АС^д} будет определяться аналитическим продолжением первоначального интеграла."
3,4,3.5 посвящены формулировке условий на двойные спектральные функции и построению примера двойной спектральной функции, удовлетворяющей перечисленным требованиям. Как уже упоминалось, наибольшую сложность вызывает согласование асимптотики рэд-жевского типа с условием упругой унитарности, в частности с правильным пороговым разложением амплитуд, следующим из условия унитарности. Трудность состоит в том, что эти два свойства определяются характером поведения двойной спектральной функции в окрестности точки ее границы S-»A , t-* чэ при различных подходах к ней^ Лишь наличие специфической особенности двойной спектральной функции в этой точке может обеспечить совместное выполнение этих условий. Приведенный пример показывает возможность такого определения.
14* ПАВА. І ОДНОМЕРНЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Наиболее результативное применение дисперсионных соотношений к упругим процессам связано с одномерными представлениями, т.е. с представлениями, отражающими аналитические свойства по одной из переменных, когда другая переменная фиксирована» Наибольшее распространение получило дисперсионное представление с фиксированной передачей импульса t . Связано это естественно с тем обстоятельством, что представление с фиксированным переданным импульсом, как уже отмечалось, является следствием основных принципов квантовой теории поля.
Однако, являясь строго доказанным, представление с фиксированным t » как выясняется в приложениях к конкретным задачам, недостаточно полно отражает основные свойства амплитуд* В частности, это касается необходимых свойств кроссинг-симметрии амплитуд. Представление также требует существенного доопределения расходящихся интегралов, т.е. определения коэффициентов вычита-тельных полиномов,
В настоящей главе подробно излагаются возможные модификации одномерных представлений для амплитуд, основанные на выборе различных однопараметрических семейств кривых в плоскости Мандельс-тама, вдоль которых реализуются свойства аналитичности и симметрии амплитуд. Рассмотрение этого вопроса разбивается на анализ семейств аналитических ( 2) и неаналитических ( 3, 4) кривых, где вводится основное для дальнейшего представление на лучах. В 5 приводится представление для парциальных амплитуд и некоторые общие следствия этого представления. В 6 выводятся правила сумм для рассеяния на большие углы. Результаты этой главы изложены в работах ДО, ІЗ, 30, 31/.
15 I.I. Общие свойства, формулы и обозначения
Приведем кинематику упругого взаимодействия JL -мезонов /9/ : (%> Я* )"-*(Я* >%) Бсе шш^лъси ^с будем считать входящими. В системе центра масс первой и второй частиц запишем отсюда для инвариантных переменных получим (Ъ = с s тлг ^) t e («}, +^02 «-2^zfl- ^4^, (ід)
У - угол между f и ^ , ^ e V ~ - импульс в с.ц.
Амплитуда перехода этого процесса связана с & -матрицей следующим соотношением откуда вытекают выражения для дифференциального и полного сечений st г гсгя IA1' (I-3)
Рассеяние заряженных пионов характеризуется тремя амплитудами А , соответствующими состояниям с определенным значением изотопического спина. Соотношения между амплитудами, описывающими рассеяние в состояниях с определенным изотопическим спином I в S - , t - и U - каналах имеют вид Ai =Z. ^4b(i,i')As , і'-о>\л (1.5) A««Z- ^И5<ХД,)А1 * (1.6) - ортогональные изотопические матрицы, обладающие свойствами *1Ъ 3 (^tO"1 - *at » ^м* в (Ы"ьУ* = <**"> (1.7)
Амплитуды физических процессов выражаются через изотопические амплитуды А следующим образом
А(л*л*-»л*л*) «А2,
АО^л^л^О-^А^А1),
А (л*л-->лвл) ^(А-Аг), (i^8)
А (л*л~ -» л*л-) *А%А'-А*, АСлл -»лЛл) -fA + 2A2) Разложение Ах(2Д,и) по парциальным амплитудам имеет вид Ar(s.i,(0 ..(*** О A?Cs> P^CCose),
С - Cos9 Вследствие симметрии полных амплитуд относительно замены СоьО -* - СоьЪ ряд парциальных амплитуд при четных I содержит только четные / при нечетных I - нечетные I .
Парциальные амплитуды А^ О) удовлетворяют условию уни тарности . 1,4
ImA^O-KCeMA^M+i^J. (1Д0) т.е. могут быть представлены в виде і tf ахрCats?)-<
I [ s-4 т S$(s)- фазовые сдвиги, К(&) * v ~s~ , ^е ($) - неупрутости :
0 ^ ^ 0s) 1 отличные от нуля, вообще говоря, при S ^ 16 ,
Для парциальных амплитуд на пороге реакции s = 4 имеет место разложение х 2 ^Re А.»СО = Qt ^^ +
Аналитические свойства амплитуд ACS»*>«) наглядно отображаются на плоскости Мандельстама. На рис. I.I стрелками отмечены физические области S-,t- и 1А - каналов. Физические пороги реакций в каждом из каналов соответствуют линиям s , t , U = А ф Заштрихованы области, в которых двойные спектральные функции отличны от нуля. Эти области в S -канале ограничены кривыми - . /\ га (I.I3) отсюда заменой S , -fc , U переменных, вследствие симметрии пи-онных амплитуд, получаются кривые в I- и М- -каналах.
Для фиксированного значения s= 0>4 , например, амплитуда A(s,t>u)2 p(s,С%)является функцией Cs- (Ььв5 „ На этой линии запишем при | Cs I ^ 1 F(s,cs) - Ae FCs,Cs) + I Inn FC*,<4) Re F(s, С&)- аналитическая функция в комплексной плоскости cs с разрезами (- 00>Х1"\ , [хд , о ) ; 1ю r(%Cs} „ аналитична в cs -плоскости, исключая разрезы (- >#i~\ > L^jl >) .Область аналитичности определяет сходимость ряда парциальных амплитуд (1.9). Реальные полуоси эллипса Немана в комплексной плоскости Cos 9 с фокусами С = ± \ определяются расположением особых точек х^ , $-х Отсюда следует, что при малых энергиях ряд парциальных амплитуд для I F(s,c) сходится в гораздо более широкой области Cs9 (большой эллипс Лемана), чем Re F(s,c)
Рис, I.I (малый эллипс Лемана) Приведем явные выражения для полуосей эллипсов Лемана : малый эллипс - ІКеСмІ * 1 * 7ГЧ ' (І.І4)
Id- о і -с 1 + (I.I5) большой эллипс - ІРеСБ1 * Мнимая полуось эллипса Лемана определяется соотношением Xmc = ^е2с -І *„_., (ІД6)
Аналитические свойства амплитуд и условия кроссинг-симметрии (1.5) тесно связаны. Соотношение (1.5) означает, что амплитуда А, , определенная в физической области t -канала, аналитичес-ки продолженная в физическую область s -канала, выражается линейной комбинацией физических амплитуд S -канала.
1.2. Одномерные дисперсионные соотношения на аналитических кривых и парциальные амплитуды
Одномерные спектральные представления служат источником для установления соотношений реальных частей амплитуды рассеяния с полными сечениями, для получения правил сумм, а также являются тем фундаментом, на котором покоятся методы парциального анализа процессов. Отражая аналитические свойства амплитуды как функции нескольких комплексных переменных, дисперсионные соотношения могут эффективно связывать различные кинематические области переменных, устанавливая, тем самым, связи между различными процессами или их различными свойствами. Всегда тогда, когда ставится цель исследования определенных физических соотношений между амплитудами це- лесообразно исходить из представлений, в которых эти связи выражаются наиболее непосредственно»
Обсудим подробно постановку задачи о построении парциальных амшштуд. Обратимся к простейшему случаю взаимодействия нейтральных пионов. Отправным моментом в формулировке модели парциальных амплитуд является дисперсионное представление для парциальной амплитуды, дисперсионные представления для парциальной амплитуды возникают как следствие представления для полной амплитуды. Наибольшее распространение получили подходы,в основе которых лежит представление с фиксированным переданным импульсом. Проследим за основными этапами на этом пути , обращая внимание на возникающие трудности.
Представление с фиксированной передачей импульса t в указанном простейшем случае имеет вид (см. напр., /23/)
Отметим основные недостатки, связанные с таким представлением амплитуд. Представление отражает явно свойство симметрии при замене s*-> и, и не отражает свойства симметрии s ** t '> содержит неопределенную функцию Q(i) ; справедливо при -1т;м<^ ^-4 (см.рис.1.1), что приводит к представлениям для парциальных амшштуд справедливым в ограниченной физической области S -канала ; содержит существенно область малых t при больших 6 , что приводит к большим вкладам от асимптотической области в парциальные амплитуды.
Отсутствующее явно свойство симметрии по переменным (S, t ), можно использовать для определения функции Or (і)/9, 14, 24, 25/ в терминах мнимых частей амшштуд и длины рассеяния. Действитель- но, полагая в представлении (I.I7) «о из условия симметрии A(0,i)- А (-1,0) t находим соотношение подставляя которое в представление (I.I7), получим
АС*.*) -о. \ъпА<й4й* s^ - ^7Tt] f +
, <* (ІД8)
Здесь учтено, что оставшаяся произвольная константа g(o) = A(o,t) = Оо совпадает с длиной рассеяния.
Обратимся кп, 3. Переход к парциальным амплитудам *s -канала осуществляется интегрированием представления (I.I8) по
С - СоьЭ (1.9) в интервале - і б с s і . При заданном s параметр t изменяется в пределах -(s -4)*fc*0 Представления же (ІД7), (ІД8) справедливы при im;yt^b * 4 (для р -[функций с границами (I.I3) t „,;„ = -32 ), поэтому представление для парциальных амплитуд окажется справедливым при
О ё S 36 .
Эту область можно расширить, если учесть симметрию амплитуды A (sA) при замене с -*- С t т.Єі; считать, что 0 ^ &404 J
Рассуждая аналогично, убедимся, что представление парциальной амплитуды в этом случае окажется справедливым в более широкой области -4^S *г 4 8 . (І Д9)
Термин справедливость представления (1.17),(1.18) означает, что скачки на разрезах выражаются через мнимые части парциальных амплитуд ; при і < імї скачок становится комплексным, парциальные разложения расходятся в подинтегральных выражениях. Иными словами в этом случае угловая переменная выходит за границу эллипса Іемана (І.І5) и представление для парциальных амплитуд не существует.
Сделаем несколько замечаний относительно п. 4. Поскольку при переходе к парциальным амплитудам в подинтегральных выражениях явно входит окрестность t = О , где амплитуды растут, то в определение парциальных амплитуд в области низких энергий войдут существенные вклады от области рассеяния вперед. Этот факт впервые был замечен в работах Серебрякова и Ширкова Д4/ и вводился в низкоэнергетические уравнения как некоторое феноменологическое отталкивание. Позднее это же обстоятельство учитывалось также в работах /26/ как появление в низкоэнергетических соотношениях феноменологических " driwtHA "U^ws "# Определение таких вкладов от области рассеяния, изобилующей различными динамическими явлениями сопряжено как с необходимостью достаточно полного моделирования процессов в этой области, так и с трудностью определения соответствующих вкладов в представлениях для парциальных амплитуд /27/, Обсуждаемая связь области низких энергий и асимптотической области в окрестности рассеяния вперед не является обязательным физическим существом дела, а отражает лишь математический факт способа аналитического продолжения 4(s,-t) как функции двух комплексных переменных отраженным представлением (1,17), Последнее же обусловлено характером соотношения переменных при формулировке одномерного представления.
Проведенный анализ наводит на мысль, что п, 1-4 могут быть явно реализованы некоторым представлением путем подходящего выбора переменных вместо S , Ї , И , иными словами путем получения одномерных спектральных представлений вдоль некоторых специфичес- ких кривых в плоскости Мандельстама. Для целей парциального анализа впервые такая идея применялась в работе ДО/. Основу этой работы составляет дисперсионное представление на кривых хи. * 4ш<с. Там указывалось также, что п. I, 2 могут быть явно отражены вдоль кривых (ом. рис* I.I). siu.- # » 4<**« >о (1.20)
Приведем кратко вывод одномерного представления на кривых (1.20) для функции F(.y.)s А(ііі<0 . Переменные ( "t, It ) в рассматриваемом случае имеют вид
Пусть амплитуда A(s,-l,u.) удовлетворяет представлению Мандельстама (см., напр., /9/) А(М,и)^2иыр0*|О
Особенности в S -плоскости функции F(s^) при фиксированном g. определяются знаменателями Коши o/-S=o , oi--fc- о, ъ1 - и ~ о (1.23) при * -1^,00) и точками ветвления, обусловленными квадратным корнем в выражении (I.2I). Однако, поскольку А симметрична при замене -Ь*-* u , а скачки на разрезах в s -плоскости функции F(s,u) обусловленных корнем (I.2I) различаются только знаками, то их вклад в одномерное представление F(S/#) отсутствует. Анализируя равенства (1.23) и записывая теорему Коши для FCs.^f) , получим с учетом возможного роста
Н*4)~ <*-+ ±\*Ь,**Ы» S(s-it) К*-4) U«M) &'-s + &'--t * s'-u , (1.24)
Полученное представление явно отражает свойство симметрии амплитуды и не содержит произвольных вычитательных функций. Однако, недостатки п, 3, 4 , встретившиеся в представлении { - 4"*-^-, имеют место и для представления (1,24), Действительно, асимптотами семейства кривых (1,21) являются прямые s*-|r-iu0 ив области больших в' интегралы определяются амплитудами рассеяния вперед, аналогично представлению (1,18), Далее, покрывая все большую часть физической области s -канала с увеличением ч , угол рассеяния **.||-& SCS-4)2- окажется чисто мнимым и выйдет из эллипса Лемана (I.I5), что приводит к ограниченной применимости ( ^^«Г* 24) представления для парциальных амплитуд, следующего из (1.24),
Независимо идею одномерных представлений вдоль аналитических кривых применил Вандерс /28/ для получения новых правил сумм. Вместо трех переменных a , -t , и Вандерс ввел два независимых симметричных аргумента * ,6 l (1.25) соответствующее отображение плоскости Мандельстама показано на рис, 1,2. Кривая + на этом рисунке соответствует мнимой полуоси эллипса Лемана, а физическая область ограничена кривыми
3+ 2?L J (I#26) ^-o , X ^ о
Пунктирная линия, соответствующая siu*4»"*c , иллюстрирует обсуждавшийся выход СъФ за границу эллипса Лемана по мнимой оси.
Как в работе Вандерса /28/, так и во всех работах на эту тему /10-13/, исходным моментом для получения одномерных пред- ставлений является изучение особенностей амплитуды (1.22), определяющейся нулями функции на кривых ^ = ^0«Л) в плоскости (х ,^-)« Простейшие представления, предложенные Вандерсом /28/ на семействе прямых были проанализированы позднее в работах ДІ/ и оказалось, что для двух семейств ( а1 , Хо' ) и С & , *« ) соответствующие одномерные спектральные представления могут дать представления для парциальных амплитуд справедливые в отличие от ограничения (І.І9) вплоть до - 28 < S < 125.8 (1.27)
Позднее, в работе /13/ на параболических многообразиях было получено явное представление, повторяющее достижение работы /11/(1.27), но в отличие от предыдущего случая оказывающееся единым во всей области (1.27).
В работе /12/отмечалась принципиальная возможность расширить область (1.27) до s^ ^ 164,7 на гиперболических многообразиях, однако явных представлений предложено не было.
Итак, с помощью одномерных дисперсионных представлений вдоль аналитических кривых, требуя, чтобы амплитуды обладали правильными аналитическими свойствами, точными условиями кроссинг-симметрии, а мнимые части амплитуд, входящие в спектральные интегралы представлялись бы сходящимися парциальными разложениями, удается реализовать эти свойства лишь в ограниченной области энергетической переменной.
В связи с этим естественно возникает вопрос : нельзя ли устранить трудности 1-4, обсуждавшиеся выше, рассматривая более общие
В
t«S
Рио. 1.2 классы кривых ? Б частности таковыми могут быть ветви аналитических кривых. Это соображение можно проиллюстрировать в плоскости (X ,^). Действительно, необходимое семейство кривых должно покрывать всю физическую область. В соответствии с замечанием 4 такая кривая должна иметь асимптотику при каждом фиксированном значении s и іс I 1 , отличающуюся от линий S * t * м - О . Поскольку образом прямой в плоскости Мандельстама {- «/з * а (*- Vs) является пара кривых (см. рис. 1.2) 5/Н (1.28) І" і - зсзх-н) ± ^aC^* ] >Г5 а(а+0 где As , - * ' Требуемое семейство +СХ'А>> должно иметь асимптотику с а < I , поскольку граница эллипса Лемана Е+ при больших х совпадает с асимптотикой граничной кривой (1.26). Отсюда следует, что либо это некоторая ветвь многозначной кривой, либо ветвь кривой (1.26), т.е. совокупность лучей в плоскости Мандельстама, т.е., вообще говоря, неаналитическое семейство.
С математической точки зрения представление аналитической функции двух комплексных переменных одномерным представлением вдоль ветви многозначной кривой или, более того, неаналитической кривой не представляет особых трудностей, за исключением быть может технических. С практической же стороны характеристики на вводимых дополнительных особенностях могут потребовать недостижимой нефизической информации.
1.3. Одномерные представления функций двух комплексных переменных на ветвях многозначных функций и неаналитических кривых
В этом параграфе будет установлено одномерное представление для аналитической функции двух комплексных переменных вдоль неаналитической кривой в вещественной плоскости переменных, представляющей из себя пару лучей, исходящих из одной вершины. Такая пара лучей является представителем однопараметрического семейства лучей, покрывающих при изменении параметра заданную подобласть вещественной плоскости. Для получения представления используется предельный переход от семейства ветвей аналитической кривой. В качестве аналитического семейства выбирается семейство ветвей гипербол.
Пусть функция -^Cs.t) удовлетворяет представлению к*,П - \ [[^^ Р(01'^ > (1.29) pCeJ.p") - вещественная функция, отличная от нуля в некоторой области oi,p > 4, например (I.I3). Рассмотрим кривую в вещественной плоскости « -S-So (I#3I) т »4--to у&<Цл|/ . Кривая (1.30) представляет из себя гиперболу «1*_у*Л*.| (1.32) в плоскости е{т' повернутой относительно плоскости 5",Ї на угол <Ь : <$' = ^ Cos4і + t" &пф, t'«=-^^«4 ч-1ГбоъФ. (1.33)
Асимптоты гиперболы определяются прямыми (1.34) параметр а определяет положение вершины :
Из двух ветвей гиперболы выбираем в дальнейшем ту, которая проходит в физических областях переменных.
Установим область изменения параметров гиперболы. Пусть ветвь гиперболы покрывает физические области при изменении параметров. Приведем два способа покрытия. Если положить Ф» Л/8 » а <ф - Ч*"?i» то Я-Р11 изменении О s-Ч ^ асимптоты (1.34) составляют между собой угол ^л и, вращаясь, покрывают физические области (1.35) при подходящем выборе s« , 4в . При достаточно малом а ветвь гиперболы также покрывает физические области, Далее в основном будет использоваться другой способ параметризации. Положим <4> ^/ц . При изменении ф в пределах
О ^ ф 6 -1 (1.36) асимптоты вращаются в противоположных направлениях от прямой Т=-5" до совпадения с осями ?- О , <з*»о . Границы допустимых значений параметров se,-t0 будут обсуждаться ниже в связи со свойствами представления полной амплитуды.
Перейдем от функции JX*»^) (1.29) к функции Р^Ф) *f(iA). Аналитические свойства F(s, Ф) по s при фиксированном Ф определяются знаменателями Коши */- s = О, *f- 4С*/Ф) * О . (1.37) при ы [4,оо), а также особенностями функций 1(5, Ф) , следующей из уравнения гиперболы (1,30) Q+f)s КпФсЬьФ yvW2 + Q*(Sm24>- к*а*<4) (I-38) s— ——_—-—-—-—і— , — » содержащей две точки ветвления с, « » я So і і J Sih24 - у W4» . CI.39)
В формуле (1,38) ветвь корня выбрана так, что в функции Т+ Сs,«J0 при s> So выбирается положительное значение корня. При продолже нии ТГ+ на отрицательную полуось следует учитывать обход одной из точек ветвления, что приводит к
Т+О,40 = ———— при S
Г -<$ eta СФ+ЧО ) S>So; Т, С*,40 - < соответствует выбору ветви гиперболы, покрывающей физические области (1.35).
Перейдем к определению аналитических свойств функции РС^Ф) в комплексной S -плоскости при фиксированном значении Ч7 (1.36), Что касается первого из знаменателей Коши (1.37) и коренных точек ветвления, то это не вызывает затруднений. Поясним особенности, возникающие от второго из знаменателей (1.37) *-t+(s,4>) .о, (1.40) где t(*j+) определяется выражением (1.38) с указанным выбором ветви корня : T(s,40 в Т+(*А) при S>s0 и корень принимает положительные значения. Найдем корни S+ уравнения (1,40). Избавляясь от радикала, переходим к уравнению (1,30), в котором Т заменяется на <4 ~t0 и, разрешая его относительно С* , получим ±к * а»г4>-уг&*4 (І.4І)
Поскольку в уравнении (1.37) ^ > 4, то не оба найденных корня S±<<»4) являются решениями уравнения (1.37). Действительно, б4- < s*+ и щщ достаточно малых ос 6^.>o t a s*- < Наличие двух корней S± соответствует наличию двух ветвей гиперболы t ± (s, \) . Зафиксировав достаточно малое значение Ы, при подстановке положительного корня S+ с*,40 в уравнение (1.37) выбранная ветвь гиперболы дает значение ос* и уравнение (1.37) удовлетворяется. Напротив подставляя в уравнение (I. 3 7 ) S = ь.ы.У) на выбранной ветви і+ (&-&.*),$) >ы. , поскольку t+(s,40 монотонно возрастает с уменьшением S . Таким образом, решением уравнения (1.37) из двух корней (I.4I) является корень S » s+ ы, ф).
Итак, функция F(s,40 имеет следующие особенности в комплексной плоскости S при фиксированном т : - точки ветвления ^, возникающие от знаменателя ^ - s «о, щш ос є [4,<*0; точки ветвления - о=> > s^(^oq) соответствующие обращению в нуль знаменателя ы - Ь+(&А) = о при ^ 14,**>) j
ТОЧКИ ВеТВЛеНИЯ *)_ } YJ+ (1.39).
В разрезанной комплексной s -плоскости S^eC^**^» Sf(-j%M]l Sf [*)- > )* 1 функция FC^'V) - однозначная аналитическая функция. Отсюда, если РСя.Ф) падает при ls|-»o равномерно относительно й^& для каждого 4^(] , следует представ ление s+(^} ?- R*+)«5i-^ds^i *'-* "I s'"s (I.42) — <ЙО fC&*f>)
Л+(*,+)"л) Р p.t+cs^; (Sj4>)=! [j(s,t+ (s-q,+)) - jC^(s+0'*#| (1.43)
Полученное представление содержит нефизический разрез і % ? *J*1 » скачок на котором, вообще говоря, не выражается в терминах физических амплитуд. Эту трудность можно устранить с с помощью предельного перехода по параметру Си от ветви гипер болы к ее асимптотам. Определенная выше функция непрерыв на по параметру (X в точке 0. = 0 . Осуществляя предельный переход в выражениях . (1.42, 1,43) и замечая, что ^+-^ ?- при ходим к представлению +(4» в выражения (1.43) для скачков Q,-» О . Запишем выражения для прямых, образующих асимптоты гиперболы - с|а (4 "»4» X*- * ) S > Se _^C4-4HWo) i>^o (1.45) ^а^ЬвМ-Ц(4^)Г^4с) ^<4о -oJC4-4)Cs-s>o) s>s0 f-W4-K»0-+.) + >* здесь t_ - есть продолжение лучей bj + и - - обращение соответственно т+ и I _ . Рассмотрим интеграл ] s'-s 3 s,+CjbA "> ~ s — oo ^ пользуясь формулами (1.45) выполним преобразования
С помощью этих соотношений выражение для скачка упрощается и рассматриваемый интеграл принимает вид
Итак, окончательно представление для функции Ffs.,40 принимает следующий вид
Оо *» n ,TJ ^J s'-s Л J л'-І^ЧО (I*46)
ГДЄ &o IwF*f*. + )- 5. У* oj - &+С«,<Ю (1.47)
Заметим, что изменяя ^ в интервале (о, "%] следует положить
Ц> = L , тем самым лучи в S- и І -каналах располагаются симмет- рично. Обращаясь к формулам (1.45), поскольку ta (5-4) = = ^-)-^(5+^) і находим что в выражениях (1.45) 4+(s/f) =
Полученное представление Ffo'JO (1.46) не является представлением Коши аналитической функции. Так записанная функция Ffs,^) недифференцируема, например в точке s * s0 . это свойство есть отражение недифференцируемости введенной функции ТС^О (1.45). В дальнейшем полученное представление будем называть представлением на лучах.
В качестве иллюстрации приведем в заключение простой пример. Пусть т.е. в формуле ( 1.2 9 )
Вычисляя мнимые части (1.29) в этом случае получаем /*- - +ч Cs,+) т rf/ їх 8 (&-/<>Im F Cs,40 s л L ч *
Подставляя эти выражения в представление (1.46) для F(s,hO получаем fC«, + >- <5>-s)Qu- t+(D,+)) (^ - *+СМДО - ^С|Ч^)) (1.48) Преобразуем во втором слагаемом знаменатель:
Полученное выражение (1.48), таким образом, есть разложение по полюсам функции
0-sXf*--Vs^
Приведенные рассуждения относительно вывода представления (1.46) допускают обобщение на случай лучей, исходящих из различных точек, лежащих вне физических областей. Действительно, пусть О - вершина луча, А, и Az- точки, лежащие на лучах L, , Lz соответственно. Впишем в треугольник OA,Az гладкий замкнутый контур . На этом контуре
Поскольку функция непрерывна, то это свойство останется и в пределе -»0А,А2. Вводя соответствующий член в представление (1,42), а затем осуществляя предельный переход, получим, что кривой, вдоль которой выписано представление (1*46), будет ломаная ( 1,А,,А, А і , Az L.2. ),
1.4. Представление амплитуд на лучах
В предыдущем параграфе для аналитической функции двух комплексных переменных (1,29) получены одномерные представления (1.46), (1,47), Основываясь на этом результате, выпишем представления для амплитуды рассеяния. Определенности ради будем рассматривать процесс взаимодействия л -мезонов, по существу излагаемый метод допускает непосредственное обобщение на более широкий класс двухчастичных процессов.
Рассмотрим, как изображено на рис, 1.3, три пары симметрично расположенных лучей х (s,t) t-p-.-X(b-f) > s>f n >u) u-p--*(s-p) > S>p (1.49) (u.s) s-f « - X("-p) > W>P (t,u> u-p = -a(W> + >P (u,t) -fc -p = - XCu-p) u>p в соответствии с равенствами (1.45), где \ я ^3-(44) изменяется в пределах о ї» X з \ . Здесь также полагаем для простоты So» t« а р , условие покрытия физических областей лучами и отсутствие пересечения их с областями двойных спектральных функций налагает на р ограничение; *
О * р 2 На каждой из кривых ІЧП запишем представление (1.46) функций вида (1.29) в соответствующих переменных г СМ)- я ) s,_s *J &,_u (1.50) ill ч , (ImFC' С&'Л) , ! ( ImFjCs^js'
В соответствии с гипотезой о двойных представлениях Мандельстама, например (1.22), определим амплитуду рассеяния в виде суммы А(*Л>и) = FJCs>) -> F^O + F-a*).
Из представлений (1.50) для F получаем представление для A CSA> u) при фиксированном А А(^4І +=\ 7ГТ л ia'-w F(%a) b.F^Wd4>+ < UrriE!i^ f-t J "~" (І-51)
Рис, 1,3 или переходя к Iw^ запишем представление в окончательной форме (sb N д, , .f^Ac^C^ucs^^^ ці - U
Заметим, что определение мнимых частей в этих представлениях совпадает с их определением в двойных дисперсионных представлениях. Действительно, по определению представления (1.50) функции rCsA) (1.29) .. ( Pi*L«u *і\ р-^^. (1.53) что совпадает с соответствующей мнимой частью в двойном представлении (1.22).
Функции tCS/X} и Ц($,Х) по определению (1.45), (1.49) совпадают. Это означает, что от пары лучей в каждом из каналов можно перейти к одному лучу исходящему из верпины сектора, тогда выражение (1.53) примет вид (s,v> С*ио
При выводе представлений (1.52) не использовались свойства конкретного процесса, поэтому эти представления могут быть выписаны для произвольного двухчастичного процесса. Отличие будет состоять в явном учете кинематики процесса, наличии полюсных вкладов, При выборе параметризации лучей (1.45) покрывающих физические области следует обратить внимание на различие геометрии физических областей для различных процессов (см. напр. /29/ ).
Одно из приложений, как уже говорилось, дисперсионного одномерного представления состоит в получении на его основе представления для парциальной амплитуды. Переход к парциальным амплитудам, состоящий в интегрировании представления (1,52) с полиномами Ле-жандра (1,9) по с-Соь0 , который определяется из уравнения лучей (1.49). Например, в S -канале получим
В подинтегральных выражениях соответствующее с = соъв определяется из аналогичного равенства (s'-4)0-O*2f
Л - ' *
2С*'-р)
Сравнивая эти два выражения, находим соотношение между с' и с
С = *-Х Г ±J2- С + - Г \ (1.54) S'-^ L S-P s'-p s-p і
Обратим внимание на то, что, если вершины всех лучей совпадают, т.е. Р= Vs » т0 эта Формула принимает существенно более простой
, s'-p s»-4 CSTTTT (I-55)
При покрытии физических областей лучи не пересекают областей, где двойные спектральные функции отличны от нуля. Это означает, что как амплитуда рассеяния А(*Д,и) так и ее мнимые части в подинтегральных выражениях представления (1.52) разлагаются в сходящиеся ряды по парциальным амплитудам. Легво и непосредственно убедиться в том, что с' , определенное выражением (1.55), не выходит за границу эллипса Лемана в физической области изменения S и о . Действительно, сравнивая формулу (1.55) с границей эллипса Лемана, видим, что необходимо выполнение условия
40 s - 0-O(s-4)-2p l<.. откуда совместно с ограничением 0 ^ р 2 находим S > l . (1.56)
В заключение подчеркнем важное свойство полученных представлений, состоящее в отсутствии произвола, связанного с необходимостью вычитания спектральных интегралов. Асимптотическое поведение амплитуды рассеяния при больших s в области больших углов рассеяния носит достаточно быстрый убывающий характер и вследствие этого существуют невычтенные дисперсионные интегралы в представлении (1,52), В окрестности рассеяния вперед асимптотика определяется рэджевскими вкладами и приводит к росту амплитуд. Однако, в представлении (1,52), записанном на лучах в плоскости Мандельстама, при каждом фиксированном значении полной энергии подинтегральные мнимые части не достигают рэджевской области. Действительно, в асимптотической рэджевской области имеем (S -канал) :
На луче (1.49) t'.p-X(s'-r) при этом для каждого конечного S и |<Ььб1 * 1 , * я XoCS) >о. По этой причине при s' -> о , t' -* «> и ot(i') < < О 9 что и означает существование невычтенных интегралов в полученном одномерном представлении (1,52),
Подводя итог этого параграфа, выпишем представления для изотопических амплитуд л л взаимодействия. Учитывая условие кроссинг-симметрии (1,5) в формуле (1,52), получаем для S -канала реакции представление, введенное в работе /30/
, ОїоТїйА^ (1.57) c^CI,X') _ изотопические матрицы (1.6) с/ = Cs*в определяются формулами (1.54, 1.55).
1.5. Представления дая парциальных амплитуд и длин рассеяния
Представление на лучах, введенное в предыдущем параграфе, не содержит вычитательных членов, а парциальные разложения амплитуд, входящие в интегральные выражения где С определяются формулами (1.34), оказываются сходящимися в физической области. Интегрируя представление (1.57) с полиномом Іежандра (1.9), меняя порядок интгерирований и суммирования, получаем
С v. 4 +z»w*»t'>Vr«'ls'b',1,,,A'cs,Jd*' * ««» №0b sw, _L..\VoP,f^c,
Г«сударст«гии I БИБЛИОТЕКА ceo им. В. И-_ -І ** " входящее сюда С' определяется формулой (1.55), Учитывая очевид-ное соотношение Uajp*~ (-О Г Тр/» а также свойство «^ -матриц (1,7), перепишем представление для А в в следующем виде «о < v l< .. x, СІЛ) +2. [1 (-i^l^tttnS V(S,S')ImAj,(S')dsj
Отметим некоторые свойства парциальных амплитуд, вытекающие из полученного представления. Как уже отмечалось, это представление справедливо при условии (1,65), Явное отражение факта выполнения этого условия, связанного с параметром р в представлении для парциальных амплитуд, заключается в наличии полюсов при S» р , где разложение мнимых частей на парциальные амплитуды естественно утрачивает смысл.
Представление (1,57) правильно отражает пороговое разложение парциальных амплитуд (1,12), Этот факт есть следствие обращения в нуль линейно множителя при Cos 0 в определении С7 (1,54, 1,55) при S-* к Разлагая ядра S , "J в представлении (1,59) при S-*4 для длин рассеяния, получаем выражение aT-77LpV)^rl7 ^ & .,ч fit**1 ? г*+< РІ' S * г J + C-O
Г+Т'+К*^ Sk^tt,+ JI^ *ві&ї'>
2(S4) " IX
I7 (1.60) здесь рк - коэффициенты полиномов Лежандра : Зю-Д.Р.,* , J 2 2 (I.6I) несколько первых коэффициентов приведено в табл. I.I.
Покажем, что представление (1.59) имеет по крайней мере одну асимптотику, согласованную с условием унитарности. Пусть ImA*<*>« VS тогда ^1 а*
I (24% 0 Ids'T^'Cs.sOlJnAiCsO-jg; T+l'' А/^ ~ Jl*iS ої-z. 0*(-о* )^ад')а
В простейшем, нейтральном случае, А^*'* ~T~U и с помощью ус ловия унитарности получаем ограничение Q« ^/
Остановимся еще на двух свойствах, присущих представлению на лучах. Как видно из формулы для длин рассеяния (1.60), резо-
Таблща I.I Значения коэффициентов Рц. (1.39)
45 нанс с массой М вносит вклад в длину рассеяния jr Ск/ г(г-к+і) , (1.62)
А к-о -і -ці+о т.е. присутствуют все вклады от At до М # Переход к парциальной амплитуде в представлениях, например, с фиксированным І (І.І7) и оценка резонансных вкладов показывает, что соответствующий вклад ~ ьУм
2(4+1)
Другое свойство состоит в том, что вклады различных парциальных амплитуд в длины рассеяния (1.60) имеют, вообще говоря, раз-личные знаки, которые определяют коэффициенты )РК (І.6І). Вместе с характером зависимости этих вкладов от массы резонанса (1.62) это означает, что вклады с различными соседними одного порядка и отличаются знаком. Ниже ( 2.1) на конкретном примере будет показана существенная компенсация вкладов амплитуд с различными -i .
Полученное представление для длин рассеяния путем интегрирования представления для полной амплитуды с полиномами Лежандра и последующим разложением при s-»4 можно получить дифференцированием представления (1.57) по косинусу угла рассеяния С при 6*% . Дифференцируя парциальное разложение (1.9), получаем аналогичной процедурой с помощью представления (1.57) приходим к представлению для производных ^AW^i^ pV>3,b"ACs',0 (1.64) .-4) r 4 K=o (1^)
46~ I i^ fas') *' здеоь s-« *'-/>
Переходя в этом представлении к пределу S-»4 и замечая, что і р, Df>ACs>0 получим представление для длин рассеяния
А Р-о+\ l+I+f-р г/ которое совпадает с выражением (1.60), если принять во внимание соотношение (1.63). Из этого выражения видим, что длины рассеяния определяются производными амплитуды при угле в = ^/Z . Равенством (1.63) определена дифференциальная процедура, приводящая к правильному пределу на пороге, поэтому представление (1.64) естественно использовать для формулировки дифференциального приближения взнитарных схемах построения парциальных амплитуд.
Приведем в заключение выражение для эффективного радиуса (I.I2), воспользовавшись представлением (1.64), -^sitrjZs'h^1'')?^ ci-65)
Заметим, что это выражение справедливо при і > О . Действительно, первый из интегралов имеет особенность на нижнем пределе. Запишем его явно л/ л г отсюда следует возникновение особенности на нижнем пределе при г ' О . Следует также иметь ввиду, что хотя при (= \ лодин-тегральная функция имеет интегрируемую особенность, это может приводить к большому вкладу в интеграл от окрестности нижнего предела.
В заключение этого параграфа еще раз отметим, что представление для парциальных амплитуд (1.58) справедливо в некоторой области S , в частности, во всей физической области, как обсуждалось выше. Достигнуто это формальным приемом, связанным с получением представления для полной амплитуды (1.57). Следствию такого приема - появлению полюсных особенностей в представлении (1.58) не следует придавать какого-либо особого смысла, тем более рассматривать представление (1.58) в окрестности этой особенности для каждого фиксированного і , поскольку в основе равенства (1.58) лежит предположение о сходимости парциальных разложений, которое не выполнено в окрестности вершины луча S*p .
1.6 Правила сумм для амплитуд рассеяния на большие углы
Перейдем к одному из наиболее важных общих следствий представлений, полученных в 1.4. Вследствие выбора лучей в плос- кости Мандельстама (1.45) выражение для косинуса утла рассеяния с' в подинтегральных выражениях (1.57) определяется из равенст- S-Ьо S'' S» и имеет вид r/. ± *z*?c 111—Ы. s. - М . (1.66)
При s-*oo это выражение переходит в соотношение с « С * іЬс - 2t* + b»-* (1.67) s' - 4 ^'- 4
Эти формулы показывают, что в представлении (1.57) можно перейти к фиксированному утлу'рассеяния с при любых Ъ .
Предположим, что амплитуды рассеяния Л Cs*0 при больших S и фиксированных С имеют следующее поведение іа'соі * 7^ (1-68) >0 , AWO - некоторая константа. Это условие для каждого фиксированного значения изоспина І в представлении (1.57) требует выполнения асимптотического равенства
Записанное при Х-0,1) 2. это условие является однородной сис-темой линейных уравнений относительно интегралов от Хм А с ненулевым определителем, отсюда вытекает правило сумм /31/ ",КІ.»А,(''.Йс-;ЙТГГІ)-<Мі.И>
Этот результат может быть получен не только для ля-реакции, он имеет место для тех процессов, для которых может быть по- лучено представление (1,52) и выполнено условие (1,68) при фик сированном параметре У* Запишем представление (1,52) для функ ции в S -канале GCs,X)sa\ s'-s d *Js'-to« як-«й« (I.
Отсвда при условии (1*68) с X -фикс получаем Ul»G,«x).i(I-,As,'x)*I,"tlcsJ>0Mds''0-
Повторя эту процедуру в каждом из двух других каналов (что соответствует перестановке индексов 4-++2. , 1 *» 3 в последнем равенстве) , приходим также к алгебраической системе с ненулевым определителем и заключаем, что 'і s J 2, і « Возвращаясь к началу этого параграфа, отсюда следует правило сумм для амплитуд в каждом из каналов при фиксированном косинусе угла рассеяния ^IwAV-cOcK-O.
Для амплитуд, падающих достаточно быстро (>l) , можно было бы получить дополнительные правила сумм s'KImA'0''Ocls' = 0 (I.7I) ц.^ і , однако, как будет видно ниже из феноменологического анализа ( 2.3, 2.4) практическая значимость последних с К > 1 не столь прозрачна, как это будет с k »f .
От известных правил сумм Яогунова-Соловьева-Тавхелидзе /5/, связывающих резонансную область с асимптотикой амплитуд в окрестности рассеяния вперед, правила сумм (I.7I) отличаются тем, что они связывают резонансную область с асимптотикой амплитуд на большие" утлы. В связи с этим отметим, что из правил сумм (1,71) можно извлекать сведения при углах не слишком близких к ^/z Связано это, как уже неоднократно упоминалось, со знакоперемен-ностью вкладов парциальных амплитуд с соседними значениями орбитального момента и их существенной компенсацией. Вследствие этого следовало бы учесть достаточно большое число членов ряда, что может потребовать экспериментально недостижимой информации, В области углов достаточно близких к направлению вперед, в правилах сумм возникнет три конкурирующих вклада : резонансный, от асимптотической области степенного падения амплитуды, а также существенного рэджевского вклада в промежуточной области переменной интегрирования, что усложняет анализ следствий. Можно ожидать, что достаточно простыми средствами из соотношения (1,71) можно извлечь информацию об асимптотическом поведении амплитуд в области больших углов, исключая их малые и близкие к &/z значения.
Общие свойства, формулы и обозначения
Аналитические свойства амплитуд ACS» «) наглядно отображаются на плоскости Мандельстама. На рис. I.I стрелками отмечены физические области S-,t- и 1А - каналов. Физические пороги реакций в каждом из каналов соответствуют линиям s , t , U = А ф Заштрихованы области, в которых двойные спектральные функции отличны от нуля. Эти области в S -канале ограничены кривыми отсюда заменой S , -fc , U переменных, вследствие симметрии пи-онных амплитуд, получаются кривые в I- и М- -каналах.
Для фиксированного значения s= 0 4 , например, амплитуда A(s,t u)2 p(s,С%)является функцией Cs- (Ььв5 „ На этой линии запишем при Cs Re F(s, С&)- аналитическая функция в комплексной плоскости cs с разрезами (- 00 Х1"\ , [хд , о ) ; 1ю r(%Cs} „ аналитична в cs -плоскости, исключая разрезы (- #i \ L JL ) .Область аналитичности определяет сходимость ряда парциальных амплитуд (1.9). Реальные полуоси эллипса Немана в комплексной плоскости Cos 9 с фокусами С = ± \ определяются расположением особых точек х , $-х Отсюда следует, что при малых энергиях ряд парциальных амплитуд для I F(s,c) сходится в гораздо более широкой области Cs9 (большой эллипс Лемана), чем Re F(s,c).
Некоторые следствия .дисперсионных соотношений на лучах в резонансном приближении
В этом параграфе рассмотрим простейшие оценки параметров порогового разложения амплитуд (I.I2), (1.60), 1.65) в приближении узких резонансов. В рамках такой относительно грубой картины попытаемся представить качественно ответы на два вопроса. Прежде всего обратим внимание на отсутствие вычитательных членов в представлении на лучах (1.57). Как хорошо известно/19, 14/, узкорезонансное приближение в представлениях с t -фиксированным не отражает низкоэнергетической картины, пока не учтены в области низких энергий вклады от высокоэнергетической области. Рассмотрение все большего числа членов в пороговом разложении амплитуд (I.I.2) требует все большей детализации высокоэнергетических вкладов /26/. В связи с этим возникает вопрос насколько информативна простейшая узкорезонансная картина в рамках представления на лучах. Следующий вопрос касается величин низкоэнергетических параметров и, в частности, величины р - волновой длины рассеяния; насколько убедительны аргументы в пользу органичений ее возможных значений? Результаты оценок этого параграфа используются ниже при оценке асимптотики амплитуд при больших углах рассеяния.
Поведение длин рассеяния при асимптотически больших моментах
В предыдущем параграфе приведено в рамках рассматриваемой модели выражение для длин рассеяния (3.13). Не только сама формула зависит от выбора модели, но изменяется и характер поведения при больших в зависимости от параметров її] и Р в представлении для -функции (3.15). Свойства длин рассеяния в области больших угловых моментов можно подробно изучить в самых общих предположениях /109/, что явится в дальнейшем дополнительным ограничением на выбор модели двойных спектральных функций.
Формулы .для .длин рассеяния с произвольными моментами в теории с нелинейным киральным лагранжианом были получены Волковым и Первушиным /зз/ во втором порядке теории возмущений. Авторами показано, что при I 2- длины рассеяния определяются пионной петлей. При больших - из их выражений получаем
Этот результат есть отражение весьма общих свойств амплитуды и ниже будет использован в качестве условия при определении J -функций.
Рассмотрим в t -канале парциальную амплитуду рассеяния hi (s) для случая рассеяния нейтральных Л. -мезонов. При достаточно больших t она записывается следующим образом где D(x,t) - абсорбтивная часть амплитуды в S -канале. Отсюда при і -» 4 получш
При больших і подинтегральная функция быстро падает и поведение А і (t) определяется поведением подинтегральной функции на нижнем пределе. Функция D(s,i) при S-4 , t-4 совпадает с мнимой частью амплитуды S -канала, которая в окрестности точки ія4 представима равномерно сходящимся рядом.
Мнимая часть парциальной амплитуды при S- 4 имеет следующее разложение: где ъ 0 - квадрат длины рассеяния соответствующей парциальной амплитуды. С помощью (3.20) и (3.19) из (3.18) получаем следующее асимптотическое разложение .длин рассеяния в t -канале.
В частности, to совпадает с квадратом длины рассеяния нулевой волны S -канала.
Таким образом, из выражения (3.21) следует, что асимптотические коэффициенты разложения длин рассеяния при г -» связаны с коэффициентами разложения парциальных амплитуд на пороге перекрестного канала, а главный асимптотический член длины рассеяния определеяется длиной рассеяния низшей парциальной волны разложения (3.20) и имеет вид
