Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время общепризнано, что теория калибровочных полей представляет собой универсальный метод описания взаимодействий с группами симметрии посредством соответствующих калибровочных потенциалов, представляемых в геометрической формулировке калибровочной теории связностями на главных расслоениях. Однако не все полевые модели сводятся к стандартной янг-миллсовской калибровочной схеме. Это относится и к гравитации, где группа общих ковариантных преобразований не является локализацией какой-либо группы Ли. Поэтому в диссертации развивается общая геометрическая формулировка классической теории поля. Ключевым является то, что
JMJlll^mt JlfUl^ltVllllUUIL XIJJ^W 1|/U)1VI *JVA.X iiV*/iW*i i* l^VX^ W.JXIUJ1 41V
бесконечномерное функциональное пространство, а конечномерное дифференцируемое многообразие струй.
Из фуіщаментальньгх взаимодействий только гравитационное поле долгое время не удавалось удовлетворите.льньім образом описать в рамках калибровочное теории. Главная трудность состояла в том, что с математической точки зрения калибровочные поля это связности на расслоениях, тогда как гравитация это метрическое (тетрадное) поле, геометрическое или эффективное. Многочисленные попытки представить тетрадное гравитационное поле как калибровочные потенциалы группы трансляций не имели успеха. При этом упускалось из виду, что в калибровочных моделях со спонтанным нарушением симметрии, помимо калибровочных потенциалов, присутствует еще хштсовские поля. Именно таковым и представляется гравитационное поле в развиваемой в диссертации калибровочной модели гравитации.
Хиггсовекий механизм нарушения симметрии является в настоящее время одним из главных элементов объединенных моделей. Обнаружение хштсовских бозонов стоит сейчас в ря-
2 Хиггсовская модель классического гравитационного поля
ду первоочередных экспериментальных задач. В то же время, физическая природа хштсовского поля остается невыясненной. Нет пока и математически строгой квантовой модели хштсовского вакуума. Поэтому исследование гравитации как хштсовского поля представляется весьма актуальным, хотя в силу специфики пространственно-временных симметрии гравитационное поле существенно отличается от хиггсов-ских полей, нарушающих внутренние симметрии. Гравитация это единственное известное макроскопическое динамическое хиггсовское поле, допускающее содержательную классическую модель. Ее пример подтверждает справедливость описания классических хигтсовских полей в терминах редуцированных структур на расслоениях (геометрия Клейна—Чженя).
Хиггсовская модель гравитационного поля затрагивает концептуальную основу теории гравитации. Именно принцип эквивалентности, требующий в своей геометрической формулировке, адаптированной к калибровочной теории, существование редуцированной лоренцевской структуры, обуславливает ситуацию спонтанного нарушения пространственно-временных симметрии, где хиггсовским полем является геометрическое гравитационное поле. Принцип относительности как условие инвариантности лагранжианов относительно (активных) общих ковариантных преобразований ведет к законам сохранения энергии-импульса в гравитационных моделях.
Физической первопричиной нарушения пространственно-временных симметрии и возникновения геометрического гравитационного поля является факт существования ди-раковских фермионных полей, допускающих только группу Лоренца точных симметрии. Хиггсовский характер гравитации обусловлен тем, что спиновые структуры, ассоциированные с разными тетрадными полями, неэквивачентны. Таким образом, мы приходим к давно известной проблеме описания фермионных полей в присутствии разных гравитационных полей, общей (нелоренцевской) связности и под действием общих ковариантных преобразований. Хиггсовская модель гравитации указывает ее два возможных решения.
Первое состоит в построении универсальной спиновой структуры (композиционного спинорного расслоения),
Общая характеристика работы 3
допускающей общие ковариантные преобразования и описывающей полную систему фермионных и гравитациоїшьгх полей. Эта модель — аффинно-метрическое обобщение ОТО при наличии фермионных полей. Гравитационные поля в ней ассоциируются с разными тетрадными полями.
Второе решение фиксирует фоновое тетрадное поле и соответствующую фоновую спиновую структуру, а гравитационные поля связываются с его годдстоновскими девиациями, которые описываются сечениями группового расслоения. Такие девиации не являются новым тетрадным полем и сохраняют спиновую структуру, хотя могут трактоваться как эффективное тетрадное поле. Рассматриваются калибровочные преобразования, которые сохраняют фоновые структуры, а на эффективные поля действуют как общие ковариантные преобразования. Получаемая модель представляет собой аффинно-метрическое обобщение РТГ А. А. Логунова при наличии фермионных полей.
Проблема энергии-импульса в теории поля и, в част-HuCffl, и теории гравитации широко известна: канонический тензор энергии-импульса не является тензором, а метрический имеет смысл только в моделях с фоновой метрикой. Поэтому существуют весьма различные подходы к построению законов сохранения энергии-импульса. В диссертации разработана общая процедура построения дифференциальных законов сохранения в теории поля, исходя из первой вариационной формулы. Эта формула каноническим образом выделяет в производной Ли лагранжиана вдоль векторного поля дивергентный член. Если это векторное поле является генератором калибровочных преобразований, оставляющих лагранжиан инвариантным, мы получаем слабый закон сохранения, в частности, энергии-импульса, когда векторное поле имеет пространственно-временные компоненты. Указанная процедура применяется к теории гравитации, где калибровочными преобразованиями являются общие ковариантные преобразования. Установлено, что сохраняющийся поток энергии-импульса сводится к суперпотенциалу, и для основных гравитационных моделей — это обобщенный суперпотенциал Комара.
Хиггсовская модель классического гравитационного поля
Когда было показано, что калибровочные потенциалы группы трансляций не описывают гравитационное поле, встал вопрос об их физической интерпретации. Оказалось, что в калибровочной теории деформаций упругой среды калибровочный потенциалы пространственных трансляций успешно моделируют дислокации. Перенесение этой конструкции на пространственно-временное многообразие позволяет, как показано в диссертации, описывать девиации хиггсовских гравитационных полей. Дело в том, что девиации хиггсовских полей, характеризующих в алгебраической квантовой теории неэквивалентные состояния алгебр квантовых полей, не являются хштсовскими полями. Это ключевая проблема, например, для квантования хиггсовских полей, в том числе гравитационного поля. Указанные девиации, в отличие от эффективного поля РТГ, описываются негравитационными лагранжианами и приводят к калибровочной модели гипотетической пятой силы. Хотя в ходе самых активных поисков эффекты пятой силы на лабораторных расстояниях так и не оылк оонаружены, ее существование на других маснгшоах продолжает обсуждаться.
Одним из вариантов объединения фундаментальных взаимодействий является супергравитация. Однако в большинстве моделей она описывается алгебраически как составная часть некоторого супермультиплета. В диссертации эта проблема решается по аналогии с гравитацией. Супергравитация вводится геометрически как суперметрика из условия существования редуцированной структуры на суперрасслоении.
Критерий и описание гравитационных сингулярностей остается одной из трудностей современной теории гравитации. Проблема состоит в том, чтобы найти геометрическую структуру, которую можно было бы интерпретировать как сингулярное гравитационное поле. Такая структура, сингулярное слоение, существует, если описывать гравитационные сингулярности как особенности пространственно-временных слоений. В хиггсовской модели гравитации это описание следует из того факта, что всякая редуцированная лорен-цевская структура сужается до группы пространственных вращений, где хиггсовским полем является распределение
Общая характеристика работы 5
3-мерньгх пространственноподобных касательных подпространств к мировому многообразию, наделяемое, тем самым, пространственно-временной структурой. В диссертации дается классификация особенностей пространственно-временных слоений. В отличие от других известных критериев гравитационных сингулярностей (по скалярам кривизны, Ь-неполноте), только фиксирующих сингулярности, поведение слоения при подходе к особым точкам позволяет представить себе топологию пространства-времени вблизи гравитационной сингулярности.
Целью диссертации является построение калибровочной теории гравитации, где гравитация характеризуется как хшт-совское поле, включая описание полной системы фермион-ных и гравитационных полей и получение законов сохранения энергии-импульса.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации разработана полная геометрическая формулировка классиче-
ctbom полей — сечений расслоения Y —> X — является конечномерное многообразие струй JlY этого расслоения.
Впервые описана геометрия композиционных расслоений Y —> Е —> X, построены композиционные связности и вертикальный ковариантный дифференциал. Дана общая схема описания полевых систем со спонтанным нарушением симметрии в терминах композиционных расслоений Y —> Е -+ X, где Е — X — расслоение хиггеовских полей и JlY — конфигурационное пространство системы. Эта схема апробирована на примере гравитационного поля.
В диссертации впервые дана геометрическая (адаптированная к теории поля) формулировка принципа эквивалентности в терминах редуцированной лоренцевской структуры на расслоении LX —» X касательных реперов к мировому многообразию X. Исходя из этого принципа эквивалентности, впервые построена самосогласованная калибровочная модель гравитации со спонтанным нарушением пространственно-временных симметрии, включающая в себя метрическое (тетрадное) гравитационное поле как сечение расслоения
6 Хиггсовская модель классического гравитационного поля
хиггсовских полей LX/L -* X, где L — связная группа Лоренца. Таким образом, в диссертации реализована идея, высказывавшаяся также рядом авторитетных авторов, что гравитационное поле имеет хиггсовскую природу.
В диссертации принцип эквивалентности и наличие тетрадного гравитационного поля впервые связаны как необходимое условие с самим фактом существования дираковских фермионньгх полей, описываемых в терминах расслоений на алгебры Клиффорда. При этом хиггсовская природа гравитационного поля проявляется в том, что разным тетрадным полям h отвечают неэквивалентные спиновые структуры на X. Впервые дано описание полной системы фермионных и гравитационных полей. Для этого построена универсальная спиновая структур — композиционное расслоение S -» LX/L — X, такое что ограничение S на h(X) С LX/L воспроизводит спиновую структуру, ассоциированную с произвольным тетрадным полем h. Конфигурационным пространством системы является многообразие струй «7*5 композиционного расслоения S, на котором определены полный оператор Дирака и полный лагранжиан системы (формулы (3.55) и (3.57) диссертации).
В терминах универсальной спиновой структуры, решена проблема общих ковариантных преобразований спинорньгх полей. В явном виде построен генератор этих преобразований — канонический лифт на S векторных полей на X (формула (3.59) диссертации), что является ключевым для вывода закона сохранения сохранения энергии-импульса в калибровочной теории гравитации.
Как один из вариантов калибровочной теории гравитации получено аффинно-метрическое обобщение РТГ при наличии фермионных полей, где динамическими переменными являются тензорные гравитационные поля А. А. Логунова (сечения ассоциированного с LX группового расслоения), общие линейные связности на I и спинорные поля в присутствии фоновой геометрии.
Исходя из первой вариационной формулы лагранже-ва формализма на конфигурационном пространстве JlY,
Общая характеристика работы
впервые разработана стандартная процедура получения дифференциальных законов сохранения в лагранжевой теории поля (формулы (2.20), (2.22), (2.27) диссертации). При этом показано, что всякий такой закон сохранения является суперпозицией нетеровского закона сохранения и закона сохранения потока энергии-импульса и, обратно, два разных потока энергии-импульса отличаются друг от друга нетеров-ским током.
Впервые получены законы сохранения энергии-импульса в аффинно-метрической и калибровочной теориях гравитации. Показано, что поток энергии-импульса в этих теориях сводится к обобщенному суперпотенциалу Комара, впервые введенному в диссертации (формула (2.100) диссертации). Таким образом, установлено, что обобщенный суперпотенциал Комара являются общим выражением для суперпотенциала энергии-импульса во всех основных моделях теории гравитации: ОТО, формализме Палатини, аффинно-метрической теории гравитации, калибровочной теории гравитации и РТГ.
Б рамках калибровочной теории ірушіьі трансляций дано описание нового типа флуктуации гравитационного поля. Проведен расчет вклада этих флуктуации в ньютоновский потенциал. Он имеет вид экспоненциальной добавки и показывает, что предложенная конструкция может служить калибровочной моделью гипотетической пятой силы.
По аналогии с гравитацией впервые дано геометрическое описание супергравитации как суперметрики. Показано, что теоремы редукции переносятся на суперрасслоения, и суперметрика определяется как хиггеовское поле из условия редукции структурной супергруппы касательного суперрасслоения.
В диссертации разработан новый критерий гравитационных сингулярностей как особенностей пространственно-временных слоений, что позволяет характеризовать топологию пространства-времени вблизи таких сингулярностей. Они представляют собой топологические переходы и каустики слоений. Впервые дано описание каустик слоений как особенностей лагранжевых отображений, а также произведена их классификация.
8 Хиггсовская модель классического гравитационного поля
Проведенные в диссертации исследования существенно расширяют круг решенных вопросов, связанных с включением гравитации в объединенную калибровочную картину фундаментальных взаимодействий и с такими фундаментальными проблемами классической теории гравитации, как проблема энергии гравитационного поля, гравитационных сингулярно-стей, совместного описания фермионных и гравитационных полей.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции по общей теории относительности и гравитации (Иена, Германия — 1980); на Всесоюзных конференциях «Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации» (Москва — 1981, Москва — 1984, Цахнадзор — 1988); на Международных конференциях по дифференциально-геометрическим методам в теоретической
на Советско-французском геометрическом симпозиуме (Марсель, Фраіщия — 1992); на Международном симпозиуме "New Frontiers in Gravitation" (Монтеродуни, Италия — 1995); на семинаре «Гравитационная энергия и гравитационные волны» в ЛТФ ОИЯИ (Дубна — 1995), на XV школе по геометрическим методам в физике (Беловежье, Польша — 1996), на ХГХ Международном семинаре по физике высоких энергий и теории поля (Протвино — 1996); в лекциях в университете Софии (Болгария — 1981), в Эйнштейновской лаборатории теоретической физики (Потсдам, Германия — 1988), в университете Камерино (Италия — 1989—1997), в университете Генуи (Италия — 1989), в Международном центре теоретической физики (Триест, Италия — 1990, 1992), в университете Феррары (Италия — 1991), в Варшавском университете (Варшава, Польша — 1995), в Силезском университете (Опава, Чехия — 1995, 1996), в университете Бергамо (Италия — 1996); на научных семинарах кафедры теоретической физики физического факультета МГУ.
Общая характеристика работы 9
Публикации. Диссертация написана на основании 50 работ автора, включая 7 монографий, указанных в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 175 наименований. Объем диссертации составляет 182 страницы текста, набранного в издательской системе LaTeX.
